Tải bản đầy đủ

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán phần nguyên hàm,logarit

CHUYÊN ĐỀ 8 - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LÔGARIT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Nguyên hàm vô tỉ:
Với α ≠ −1 thì:
α
∫ x .dx =

xα +1
u α +1
+ C ; ∫ u α .u '.dx =
+C
α +1
α +1

Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số

m

n

a m = a n ,…


Các dạng tích phân vô tỉ:
b


a
b


a

dx
: nhân hợp liên hiệp (trục căn ở mẫu)
px + q + px + r
x−k
dx : trục căn ở tử
x+k

b

dx

∫ ( x + m) ( x + n)

: Đặt t =

x+m +

x+n

a
b


a

px
x +m
2


dx : Đặt u = x 2 + m

b



k 2 − x 2 dx : Đặt x = k sin t hoặc k cos t

a
b


a

1
x +m
2

:Đặt t = x +

x2 + m

b



x 2 + mdx : Đặt u = x 2 + m , dv = dx

a

b

∫ (αx + β )
a

dx
px + qx + r
2

: Đặt t =

1
αx+ β

)

∫ R ( x,

k 2 − x 2 dx : Đặt x = k sin t hoặc k cos t

∫ R ( x,

k 2 + x 2 dx : Đặt x = k tan t hoặc k cot t

b

a
b

a

)

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 1


)

∫ R ( x,
b

a



b

∫ R  x;

k
k
hoặc
sin t
cos t

x 2 − k 2 dx : Đặt x =

αx + β
γ x +δ

n

a


αx+ β
÷dx : Đặt t = n
γ x +δ


∫ R ( x, ( x − α ) ( β − x ) ) dx : Đặt x = α + ( β − α ) sin
b

2

t

a

)

∫ R ( x,
b

px 2 + qx + r dx : Đặt

a

px 2 + qx + r = t + x p hoặc

px 2 + qx + r = t − x r

Nguyên hàm mũ và lôgarit:

∫ e dx = e
x

x

∫ e .u ' dx = e

+c

u

ax
∫ a dx = ln a + c

u

+c

au
∫ a .u '.dx = ln a + c ( a > 0, a ≠ 1)

x

u

Các dạng tích phân từng phần:
b

∫ P ( x ) .e

αx

dx : Đặt u = P ( x ) , dv = eα x dx

a
b

∫x

α

.ln xdx : Đặt u = ln x, dv = xα .dx

a
b

∫e

αx

.sin β xdx : Đặt u = eα x , dv = sin β xdx

a
b

∫e

αx

.cos β xdx : Đặt u = eα x , dv = cos β xdx

a

2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 8.1: Tính a)

∫(

)

x + 3 x dx

b)

∫ x(

3

)

x − 4 x + 1 dx

Hướng dẫn giải
1
 12

2 32 3 34
3
x + x dx = ∫  x + x ÷dx = x + x + C
3
4



a)

∫(

b)

∫ x(

3

3

)

3
1
 56

6 116 4 74 4 32
4
2
x − x + 1 dx = ∫  x − x + 2 x ÷dx = x − x + x + C
11
7
3


4

)

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 2


Bài toán 8.2: Tính a)

1 
 1
− 3 ÷dx
x
x

x x+ x
∫ x 2 dx

∫

b) 

Hướng dẫn giải
3
− 
 1
x x+ x
2
dx = ∫ 
+ x 2 ÷dx = 2 x −
+C
a) ∫
2
x
x
 x

1
− 
 1
1 
3
 1
− 3 ÷dx = ∫ 
− x 3 ÷dx = 2 x − 3 x 2 + C
b) ∫ 
2
x
 x
 x


Bài toán 8.3: Tính
a) I =



dx
x+3− x−4

b) J =



dx
, a ≠ 0, b ≠ c
ax + b + ax + c
Hướng dẫn giải

1
7∫

a) I =

=
b) J =

(

)

x + 3 + x − 4 dx =

3
3
2 
( x + 3) 2 + ( x − 4 ) 2  + C
21 


1
b−c ∫

=

1
1
1 

2 + ( x − 4 ) 2 dx
x
+
3
(
)

÷

7 


(

2
a ( b − c)

)

ax + b − ax + c dx

(

( ax + b )

Bài toán 8.4: Tính a) E =



3



( ax + c )

3

) +C

x 4 + x −4 + 2dx

b) F =



3

xdx
x+2

Hướng dẫn giải
2
1 
1
1

+ x −2 ) dx = ∫  x 2 + 2 ÷dx = x 3 − + C
x 
3
x


a) E =

∫ (x

b) F =

2
1
5
2
x+2−2
3
− 

3 − 2 ( x + 2 ) 3 dx =
3 − 3( x + 2) 3 + C
dx
=
x
+
2
x
+
2
(
)
(
)
÷
∫ 3 x+2
∫ 
5


2

Bài toán 8.5: Tính: a) A =

∫ ( 2 x − 3)

x − 3dx

b) B =

1
∫ 1 − x dx

Hướng dẫn giải
http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 3


a) Đổi biến: Đặt t =

x − 3 ⇒ x = t 2 + 3 ⇒ dx = 2t.dt

A = 2 ∫ ( 2t 2 + 3) dt = 2 ∫ ( 2t 4 + 3t 2 ) dt
2

3
4
2
= t 5 + 2t 3 + C = ( x − 3) 2 ( 2 x − 1) + C
5
5

b) Đặt t = 1 − x ⇒ x = ( 1 − t ) ⇒ dx = −2 ( 1 − t ) dt
2

Q = 2∫

t −1
 1
dt = 2 ∫ 1 − ÷dt
t
 t

= 2 ( t − ln t ) + C = −2
Bài toán 8.6: Tính: a)



(

(

)

x + ln 1 − x + C

dx

x 1+ x

)

b)

2



1
x2 + 9

dx

Hướng dẫn giải
a) Đặt t = 1 + x ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2t.dt



1+ x
t 2 dt
1 

dx = 2∫ 2
= 2 1 + 2 ÷dt
x
t −1
 t −1

1 
 1
= 2 ∫ dt + ∫ 

÷dt = 2t + ln t − 1 − ln t + 1 + C
 t −1 t +1
= 2 1 + x + ln

1+ x −1
+C
1+ x +1

b) Đặt t = 1 + x ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2t.dt



1+ x
t 2 dt
1 

dx = 2∫ 2
= 2 1 + 2 ÷dt
x
t −1
 t −1

1 
 1
= 2 ∫ dt + ∫ 

÷dt = 2t + ln t − 1 − ln t + 1 + C
 t −1 t +1
= 2 1 + x + ln
b) Đặt t = x +

1+ x −1
+C
1+ x +1


x 2 + 9 ⇒ dt = 1 +



÷dx ⇒
x2 + 9 
x

dx
x2 + 9

=

dt
t

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 4




dx
x +9
2

=∫

dt
= ln t + C = ln x + x 2 + 9 + C
t
7/3



Bài toán 8.7: Tính: a) K =

0

x +1
dx
3
3x + 1

3

b) L =


2

dx
x +1 − x −1

Hướng dẫn giải

t3 −1
a) Đặt t = 3 x + 1 ⇒ x =
⇒ dx = t 2 dt
3
3

7
thì t = 2 .
3

Khi x = 0 thì t = 1, x =
2

1
K = ∫ ( t 4 + 2t ) dt =
31
3

1
b) L = ∫
22

(

2

 t5 t3 
46
 + ÷ =
 15 3  1 15
2

3
3
1
7−3 3 + 2 2

x + 1 + x − 1 dx =  ( x + 1) 2 + ( x − 1) 2 ÷ =
3
3
1

)

a

Bài toán 8.8: Tính: a) A =



a /2

a − x dx
2

2

b) B =

0


0

dx
a − x2
2

Hướng dẫn giải
a) Đặt x = a sin t với −

π
π
≤ t ≤ thì dx = a cos t
2
2

Khi x = 0 thì t = 0, x = a thì t =

A=a

π /2
2



cos t .cos tdt = a

π /2
2

0


0

π
.
2

a2
cos tdt =
2
2

π /2

∫ ( 1 + cos 2t ) dt
0

π /2

a 2  sin 2t 
π a2
= t +
=
÷
2
2 0
4
b) Đặt x = a sin t với −

π
π
< t < thì dx = a cos tdt
2
2

Khi x = 0 thì t = 0; x =

B=

π /6


0

a cos tdt
=
a cos t

π /6

a
π
thì t = .
2
6

π

∫ dt = 6
0

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 5


b

Bài toán 8.9: Tính: a) C =

b

dx



x +b

0



b) D =

2

x 2 + b .dx

0

Hướng dẫn giải
a) Đặt t = x +

C=

b + 2b



b


x 2 + b ⇒ dt = 1 +


dt
= ln t
t

b + 2b
b

(

= ln 1 + 2

(

b

b) D =



x 2 + bdx = x + x 2 + b

0

b

=b 2−



x2 + b − b

0

x +b

b 2 b

nên D =
2
2

2

0

0

b




0

x2 + b
b

1
x +b
2

dx =

0

=

dt
t

dx

1
x +b
2

(

dx

b 2 1
− ln 1 + 2
2
2

1 + x2
dx
x4



x +b
2

x2

dx = b 2 − D + b ∫

2

Bài toán 8.10: Tính: a) K =

)

b

dx

)

0

b




÷dx ⇒
x2 + b 
x

2

b) L =



1/2

(x

2

)

+ 1) dx

x x4 + 1

Hướng dẫn giải

1
t

a) Đặt x = ⇒ dx =
1/2

−1
dt
t2

K = − ∫ t 1 + t 2 dt = −
1

2

b)

L=



1/2

1
2

1

1 5 5
2 2
2
1
+
t
d
1
+
t
=


2
2
(
)
(
)

÷
∫1
3 8


1/2

1
2
1
1

x 2 dx =
dx− ÷

2
x
1

1/2 
1
x2 + 2
x

+
2

÷
x
x


1+

2

2


1
1
13 + 3


= ln x − +  x − ÷ + 2 ÷ = ln

÷
x
x
13 − 3


 1/2
1



Bài toán 8.11: Tính: a) A = x
0

1

2

1 − x dx b) B = ∫ x 5 1 − x 2 dx
2

0

Hướng dẫn giải
http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 6


π
 π
≤ t ≤ ÷ ⇒ dx = cot dt
2
 2

a) Đặt x = sin t  −

Khi x = 0 thì t = 0, x = 1 thì t =

A=

π /2


0

1
=
4

π /2


0

1
sin t cos tdt =
4
2

2

π
2

π /2

∫ sin

2

2tdt

0

π /2

1 − cos 4t 1  sin 4t 
π
= t −
÷ =
2
8
4 0
16

b) Đặt t = 1 − x 2 ⇒ x 2 = 1 − t 2 ⇒ xdx = −tdt
Khi x = 0 thì t = 1, x = 1 thì t = 0 .
0

B = ∫ ( 1− t
1

)

2 2

1

 t7 2 5 1 3 
8
.t ( −t ) dt = ∫ ( t − 2t + 1) t dt =  − t + t ÷ =
3  0 105
7 5
0
1

4

2

2

Bài toán 8.12: Tính:
1

a) I =

a/ 3

x 2 dx



b)

x2 + x + 1

0

J=


0

xdx
a2 + x2 +

(a

2

+ x2 )

3

Hướng dẫn giải
2

1 3

x + x + 1 =  x + ÷ + , ( x 2 + x + 1) ' = 2 x + 1
2 4

2

a) Ta có

2

1 3
+ B ( x + 1) + C
Đặt x = A   x + ÷ + ÷
÷
2
4




2

Đồng nhất thì được A = 1, B = −2, C = −

1
nên
2



2
1
1 3
2x + 1
1
1
 
I = ∫  x + ÷ + −

2
3
2 4
0
1 3 2 
1 3

 
2 x+ ÷ +
x+ ÷ +

2 4
2 4





÷
÷
÷dx
÷
÷


1

 2x + 1 2
1 
1

=
x + x + 1 − ln  x + + x 2 + x + 1 ÷÷
8 
2
 0
 4
http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 7


=

3 3 −1 1 
2 
− ln 1 +
÷
4
8 
3
a/ 3

xdx



b) J =

a2 + x2 . 1 + a2 + x2

0

xdx

2
2
Đặt t = 1 + a + x ⇒ dt =

J=

2 a +1

(

dt
= 2 t
t



a +1

)

2 a +1
a +1

=2

a2 + x2

(

2a + 1 − a + 1

4096

Bài toán 8.13: Tính: a) K =



128

⇒ xdx = ( t − 1) dt

xdx
3

x2 − 4 x

)
6

b) L =


4

dx
x2 − 5x + 6

Hướng dẫn giải
a) Đặt x = t12 thì dt = 12t 11dt
Khi x = 128 thì t = 2, x = 4096 thì t = 2 .
2
 9 4
t14
t4 
K = 12 ∫ 5
dt = 12 ∫  t + t + 5 ÷dt
t −1
t −1 
2
2
2

 t10 t 5 1

= 12  + + ln t 5 − 1 ÷
 10 5 5

b) Đặt t =

2

2

 464 − 4 2 1
31 
= 12 
+ ln
÷
5
5 4 2 −1 


x−2 + x−3


1
1 
x − 2 + x − 3 ⇒ dt 
+
÷dx
2
x

2
2
x

3



1
1 
⇒ dt = 
+
÷dx ⇒
 2 x −2 2 x −3 
6

L=∫
4

2+ 3

dx

( x − 2 ) ( x − 3)

:

2dt
∫ t = ln t
2 +1

dx

( x − 2 ) ( x − 3)
2+ 3
2 +1

= ln

=

2dt
t

2+ 3
2 +1

Bài toán 8.14: Tính:
1

a) A =

∫ ( x + 1)
0

dx
x2 + 2x + 2

1/2

b) B =

∫ (x
0

dx

2

− 1) x 2 + 2

Hướng dẫn giải
http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 8


1
1
dt
⇒ x = − 1 ⇒ dx = − 2
x +1
t
t

a) Đặt t =
1/2

dt

A=−∫

2
. Đặt u = t + t + 1 ⇒

t2 +1

1

Do đó A = −

dt
t2 +1

=

du
u

(

( 1+ 5 ) /2

2 1+ 2
du
( 1+ 5 ) /2
= − ( ln u ) 1+ 2 = ln
u
1+ 5



1+ 2

)

2t 2
2dx
⇒ dt =
b) Đặt t = x + 2 ⇒ x =
2
1− t
( x2 + 2) x2 + 2
2

2

3/2

3/2

dt
1
D= ∫ 2
=
3t − 1 2 3
2
1  t 3 −1 
=
 ln
÷
2 3  t 3 + 1 ÷




1
1 

÷dt
3 −1 t 3 +1 

∫  t
2

3/2

=
2

1
2 3

ln

(

)
6)

5 3 − 12 3

(

23 7 − 2

Bài toán 8.15: Tính:
1

a) I n = ∫
0

1

(1+ x )
n

n

1+ x

n

1



dx

n
b) J n = x . 1 − xdx
0

Hướng dẫn giải
1

a) I n =

∫ (1+ x )
n

0

=

1

1 + xn − xn
n

1 + xn

dx = ∫
0

1

1
 1
− ∫ xd 
n
1 + xn 0 0  n 1 + xn

x

1
n

1 + xn

1

dx − ∫
0

xn

(1+ x )
n

n

1 + xn

dx

 1
xn

dx
÷ ∫
n n
n
 0 (1+ x ) . 1+ x

1

1

1
xn
xn
1
= n +∫
dx − ∫
dx = n
n n
n
2 0 ( 1 + xn ) n 1 + xn
2
0 (1+ x ) . 1+ x
b) u = x n , dv = 1 − xdx
n −1
Khi đó du = nx dx, v = −

2
Jn = − x
3

(

1− x

)

3

1

2
3

( 1− x)

3

1

2n n −1
+
x ( x − 1) 1 − xdx
3 ∫0
0

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 9


= 0+
Vậy J n =

2n
2n
J n −1
( J n−1 − J n ) ⇒ J n =
3
2n + 3
2n 2 ( n − 1) 2
2n +1.n !
.
... J 0 =
2n + 3 2n + 1 5
3.5... ( 2n + 3)
x

Bài toán 8.16: Tìm hàm số f và số thực a > 0 thỏa mãn điều kiện:


a

f ( t)
dt + 6 = 2 x với mọi x > 0 .
t2

Hướng dẫn giải
Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của hàm số

f ( t)
t2

Theo định nghĩa tích phân, ta có với mọi x > 0

F ( x) − F ( a) + 6 = 2 x
Cho x = a ta được a = 9 và F ( x ) − F ( 0 ) + 6 = 2 x
nên F ' ( x ) =

f ( x)
1
1
⇒ 2 =
⇒ f ( x ) = x3
x
x
x

Bài toán 8.17: Tính: a)

x
x
∫ ( 2 − 3 ) dx
2

b)



5 x ( 1 − 5− x )
3x

dx

Hướng dẫn giải
a)

∫( 2

x

−3

)

x 2

4x
6x
9x
dx = ∫ ( 4 − 2.6 + 9 ) dx =
−2
+
+C
ln 4
ln 6 ln 9
x

x

x

x

b)



5 x ( 1 − 5− x )
3x

5
x
x
 ÷
 5 

5 −1
3x
3
−x

dx = ∫ x = ∫   ÷ − 3 ÷dx =
+
+C
 3 
÷
5 ln 3
3


ln
3



sin x
Bài toán 8.18: Tính: a) e cos xdx

b)

∫e

x

1
dx
− e− x

Hướng dẫn giải
a)

∫e

sin x

cos xdx = ∫ esin x d ( sin x ) = esin x + C
1
t

x
b) Đặt t = e x thì dt = e dx ⇒ dx = dt

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 10


∫e
=

x

1
1
1
1  1
1 
dx = ∫
dt = ∫ 2
dt = ∫ 

÷dt
−x
−1
−e
t −1
2  t −1 t +1 
t(t −t )

1
1 ex −1
ln
t

1

ln
t
+
1
+
C
=
ln
+C .
(
)
2
2 ex +1

Bài toán 8.19: Tính: a)

∫ ( 1 + tan x )

2

e 2 x dx b)

( x + 1) dx

∫ x ( 1 + xe )
x

Hướng dẫn giải
a)

∫ ( 1 + tan )

2

e 2 x dx = ∫ ( 1 + tan 2 x + 2 tan x ) e 2 x dx

= ∫ ( tan x.e 2 x ) dx = tan x.e 2 x + C
x
b) Đặt t = 1 + xe x thì dt = ( x + 1) e dx

( x + 1) dx

∫ x ( 1 + xe )
x

t −1
xe x
 1 1
= ∫
− ÷dt = ln
+ C = ln
+C
t
1 + xe x
 t −1 t 





3 x
Bài toán 8.20: Tính: a) I = x .e dx

b) J = e

3 x −9

dx

Hướng dẫn giải





3 x
x 3
2 x
a) Đặt u = x 3 , v ' = e x thì J = x .e dx = e x − 3 x .e dx

Đặt u = x 2 , v ' = e x thì

∫ x .e dx = x e
2

x

(

2 x

− 2 ∫ xe x dx = 2 xe x − I

)

x
3
2
Do đó J = e x − 3x + 6 x − 6 + C

2
b) Đặt t = 3 x − 9 ⇒ 3 x = t + 9 ⇒ dx =

J=

2
tdt
3

2 t
t
t
t
te dt . Đặt u = t , v ' = et thì ∫ te dt = t.e − e + C

3

nên J =

2
3

(

3x − 9e



3 x −9

−e

Bài toán 8.21: Tính: a) ln xdx

3 x −9

) +C

b)



x ln xdx
Hướng dẫn giải

a) Đặt u = ln x, dv = dx . Khi đó du =

1
dx, v = x . Ta có:
x

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 11


1

∫ ln xdx = x ln x − ∫ x. x dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C
b) Đặt u = ln x, v ' =



1
2 3
x ⇒ u ' = , v = x 2 . Ta có:
x
3

2 32
2 12
2 32
4 32
x ln xdx = x ln x − ∫ x dx = x ln x − x + C
3
3
3
9

Bài toán 8.22: Tính: a)



( ln x )

2

x

dx b) ∫ x ln

x
dx
1+ x
Hướng dẫn giải

a)



( ln x )

2

x

1
2
dx = ∫ ( ln x ) d ( ln x ) = ln 3 x + C
3

1
x2
x
,v =
, du = xdx . Khi đó du =
b) Đặt u = ln
x(1+ x)
2
1+ x

∫ x ln

x
x2
x
1
x
dx = ln
− ∫
dx
1+ x
2 1+ x 2 1+ x

x2
x
1  1
x2
x
1
1

= ln
+ ∫
− 1÷dx = ln
+ ln 1 + x − x + C
2 1+ x 2 1+ x 
2 1+ x 2
2
Bài toán 8.23: Tìm nguyên hàm
3
a) I = x ln ( 2 x ) dx

2
b) J = x cos ( 2 x ) dx





Hướng dẫn giải
3
a) Đặt u = ln ( 2 x ) , dv = x dx . Khi đó du =

Ta có: I =

1
x4
dx, v = .
x
4

x 4 ln ( 2 x )
x 4 ln ( 2 x ) x 4
x3
− ∫ dx =
− +C
4
4
4
16

2
b) Đặt u = x , dv = cos ( 2 x ) dx . Khi đó du = 2 xdx, v = −

sin ( 2 x )
.
2

x 2 sin ( 2 x )
Ta có: J =
− ∫ x sin ( 2 x ) dx
2
Đặt u = x, dv = sin ( 2 x ) dx . Khi đó du = dx, v =

cos ( 2 x )
:
2

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 12


∫ x sin ( 2 x ) dx = −

x cos ( 2 x )
cos ( 2 x )
x cos ( 2 x ) sin ( 2 x )
+∫
dx =
+
+C
2
2
2
4

x 2 sin ( 2 x ) x cos ( 2 x ) sin ( 2 x )
nên J =
+

+C
2
2
4
Bài toán 8.24: Tính:
a) I = sin ( ln x ) dx

x
b) J = e ( cos x + 2 x sin x ) dx





2

Hướng dẫn giải
a) Đặt u = ln x thì x = eu nên dx = eu du

A = ∫ sin u.eu du = ∫ sin ud ( eu ) = sin u.eu − ∫ cos u.eu du
= sin u.eu − ∫ cos u.d ( eu ) = sin u.eu − cos u.eu − ∫ sin u.eu du
Từ đó suy ra A =

1
x ( sin ( ln x ) − cos ( ln x ) ) + C
2

b) Đặt u = e x , dv = cos x . Khi đó du = 2 xe x dx, v = sin x
2

2

x
x
x
∫ e .cos xdx = e .sin x − ∫ 2 xe .sin xdx
2

2

2

x
x
nên J = e ( cos x + 2 x sin x ) = e .sin x + C



2

2

1

Bài toán 8.25: Tính: a) K =

∫( x
0

2

1

+ x + 1) e dx

b) L =

x

∫( x

3

0

+ 2 ) e x dx

Hướng dẫn giải
x
a) Đặt u = x 2 + x + 1, dv = e x dx . Khi đó du = ( 2 x + 1) dx, v = e .

K = ( x + x + 1) e
21

x

1
0

1

1

− ∫ ( 2 x + 1) e dx = 3e − 1 − ∫ ( 2 x + 1) e x dx
x

0

0

Đặt tiếp u = 2 x + 1, dv = dx thì được K = 2 ( e − 1) .
b) Đặt u = x 3 + 2, dv = e x dx . Khi đó du = 3 x 2 dx, v = e x .
1

L = e ( x + 2 ) − 3∫ x 2e x dx
x

3

1

0

0

Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L = 4 .

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 13


ln 4

Bài toán 8.26: Tính: a) A =



ln 2

dx
e −1
x

1

b) B = ∫

xe x

0 ( 1+ x)

2

dx

Hướng dẫn giải
x
a) Đặt u = x 2 + x + 1, dv = e x dx . Khi đó du = ( 2 x + 1) dx, v = e .
1

1

0

0

K = ( x 2 + x + 1) e x − ∫ ( 2 x + 1) e x dx = 3e − 1 − ∫ ( 2 x + 1) e x dx
1

0

Đặt tiếp u = 2 x + 1, dv = dx thì được K = 2 ( e − 1) .
b) Đặt u = x 3 + 2, dv = e x dx . Khi đó du = 3 x 2 dx, v = e x .
1

L = e ( x + 2 ) − 3∫ x 2e x dx
x

1

3

0

0

Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L = 4 .
ln 4

Bài toán 8.26: Tính: a) A =



ln 2

dx
e −1
x

1

b) B =

xe x

∫ ( 1+ x)

2

dx

0

Hướng dẫn giải
x
x
2
a) Đặt t = e − 1 ⇒ e = t + 1 ⇒ dx =

3

A=

∫t
1

2tdt
t2 +1

π
dt
. Đặt t = tan u thì B =
6
+1

2

1

1

ex
ex
dx − ∫
dx
2
1
+
x
1
+
x
)
0
0 (

b) B = ∫

 −e x 1 1 e x
 e
ex
=∫
dx − 
+∫
dx ÷ = − 1 .
1+ x 0 0 1+ x ÷ 2
1+ x
0


1

π



π



2x
2
Bài toán 8.27: Tính: a) e cos xdx b) J = e sin xdx
0

x

0

Hướng dẫn giải
a) Đặt u = cos x, dv = e x , du = − sin x, v = e x
π

π

0

0

I = cos x.e x + ∫ e x .sin xdx = −1 − eπ + ∫ sin xd ( e x )
π

0

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 14


= −1 − e + ( sin x.e
π

x

)

π

π

− ∫ e x cos xdx = −1 − eπ − I

0

0

Do đó 2 I = −1 − eπ ⇒ I = −

1 + eπ
.
2
π

π

π

1
1 2x
1 2x
2x
b) J = ∫ ( 1 − cos 2 x ) d ( 2 ) = e ( 1 − cos 2 x ) − ∫ e .sin 2 xdx
40
4
20
0
Dùng từng phần 2 lần liên tiếp thì J =

1 2π
( e − 1) .
8

2

Bài toán 8.28: Tính a) I =

1

1

3x
dx
x
−x
3
+
3
0

1  x+ x

1
+
x


÷e dx
∫0.5 
x

b) J = ∫

Hướng dẫn giải
2

a) I =

∫e

x+

1
x

2

dx +

0,5

Đặt u = e

x+

1
x

1

1  x+

∫0,5  x − x ÷ e x dx
1

1  x+ x

, dv = dx . Khi đó du =  x − x ÷e dx, v = x



2

1 2

1

x+
1  x+

Ta có: ∫  x − ÷e x dx = xe x
x
0,5 

Suy ra I = xe

x+

1 2
x
0,5

2



∫e

x+

1
x

dx

0,5

0,5

3
= e 2,5 .
2

1

1

3− x
dx thì J + E = ∫ dx = 1
b) Xét E = ∫ x
−x
3
+
3
0
0
1

1

3x − 3− x
1
1
5
dx =
.ln ( 3x + 3− x ) =
ln
và J − E = ∫ x
−x
3 +3
ln 3
ln 3 3
0
0
Do đó: J =

1
1
5
ln ÷.
1 +
2  ln 3 3 
1

Bài toán 8.29: Tính: a) A =



−1

1 − x2
dx
1 + 2x

1



2 x
b) B = x e sin xdx
0

Hướng dẫn giải

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 15


0

a) A =



−1

1

1 − x2
1 − x2
dx + ∫
dx
1 + 2x
1 + 2x
0
0



Đặt x = −t thì

−1
1

Do đó A =



1

(1+ 2 )

1 − x2

x

1+ 2

0

1

1 − x2
2t 1 − t 2
2x 1 − x2
dx = ∫
dt = ∫
dx
1 + 2x
1 + 2t
1 + 2x
0
0

Đặt x = sin t thì A =

x

1

dx = ∫ 1 − x 2 dx
0

π
.
4

b) Đặt u = x 2 sin x, dv = e x dx thì
1

B = e x sin x − ∫ e x ( 2 x sin x + x 2 cos x ) dx
x

1

2

0

0

1

1

= e sin1 − 2 ∫ xe sin xdx − ∫ x 2e x cos xdx
x

0

0

Từ đó tính được B = e sin1
1

dx
Bài toán 8.30: Tính a) I = ∫ x
2
−1 ( e + 1) ( x + 1)

b) J =

π

sin 2 x
∫−π 3x + 1 dx

Hướng dẫn giải
a) Đặt x = −t thì dx = − dt . Khi x = −1 ⇒ t = 1, x = −1 ⇒ t = 1 .
−1

1

1

dx
dt
et
I
=
=

=
Ta có
∫−1 ( e x + 1) ( x 2 + 1) ∫1 ( e−t + 1) ( t 2 + 1) −∫1 ( et + 1) ( t 2 + 1) dt
1

ex
I=∫ x
dx
2
−1 ( e + 1) ( x + 1)
1

nên 2 I = I + I =

∫t

−1

dt
π
π
= . Vậy I = .
+1 2
4

2

−π

b) Đặt x = −t thì dx = − dt nên:
π

J =−∫
π

π

sin 2 t
3x.sin 2 x
dt = ∫
dx
x
1
1
+
3
−π
+1
3t

π

1
π
Do đó 2 J = ∫ sin xdx = ∫ ( 1 + cos 2 x ) dx ⇒ J =
2 −π
2
−π
2

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 16


3

∫ (

2

)



5
Bài toán 8.31: Tính a) A = ln x − x dx b) B = x ln xdx
2

2

1

Hướng dẫn giải
3

3

2x −1
1 

dx = 3ln 6 − 2ln 2 − ∫  2 +
a) A = x ln ( x − x ) − ∫
÷dx = 3ln 3 − 2
2
x −1
x −1 
2
2
3

2

b) Đặt u = ln x, dv = x 5 dx . Khi đó du =

dx
1
, v = x6
x
6

2

2 5
 x 6 ln x 
x dx 32
7
B=

= ln 2 −
÷ ∫
3
4
 6 1 1 6
e

e



2
Bài toán 8.32: Tính a) C = x ln xdx

b) D =

1

∫( x
1

2

− x + 1) ln xdx

Hướng dẫn giải
a) Đặt u = ln 2 x, dv = xdx . Khi đó du =

2ln x
1
dx, v = x 2
x
2

e

e
e
 x2 2 
e2
C =  ln x ÷ − ∫ x ln xdx = − ∫ x ln xdx
2 1
 2
1 1

Đặt u = ln x, dv = xdx . Khi đó du =
e

e

dx
x2
,v =
x
2

e

x2
1
e2 1 2
e2 − 1
x
ln
xdx
=
ln
x

xdx
=

e

1

C
=
( )
∫1
2
2 ∫1
2 4
4
1

(

)

2
b) Đặt u = ln x, dv = x − x + 1 dx thì:
e

e
 x3 x 2

 x3 x 2
1
D =  − + x ÷ln x − ∫  − + x ÷ dx
3 2
 3 2

x
1
1

=

e
 x2 x 
e3 e 2
2e3 e 2 31
− + e − ∫  − + 1÷dx =
− +
3 2
3
2
9
4 36

1
e

Bài toán 8.33: Tính: a) I =


1

4

1 + ln x
ln x
dx b) J = ∫
dx
x
x
1
Hướng dẫn giải

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 17


e

a) I =

∫ ( 1 + ln x )

1
2

1

4



b) J = 2 ln xd
1

e

( x) = ( 2

= 4ln 4 − 4

(

)

3
1
2
d ( 1 + ln x ) = ( 1 + ln x ) 2 = 2 2 − 1
2
3
1

( x)

4
1

x .ln x

)

4
1

4

− 2∫
1

dx
x

= 4 ( ln 4 − 1)

Bài toán 8.34: Tính: a) A =

π /2

3

∫ cos x ln ( sin x ) dx



b) B = ln

π /4

2

x −1
dx
x +1

Hướng dẫn giải
a) A =

π /2

π /2

∫ ln ( sin x ) d ( sin x ) = sin x.ln ( sin x )

π /4

π /4



π /2

∫ cos xdx

π /4

π /2

2
2
2− 2
=
ln 2 − sin x =
ln 2 −
4
4
2
π /4
3

3

x −1 
2x

b) B =  x ln
÷ − ∫ 2 dx = 3ln 3 − 6ln 2
x +1  2 2 x −1

3

Bài toán 8.35: Tính: a) C =

3 + ln x

∫ ( x + 1)

2

dx

b) D =

1

3



(

x ln x + x 2 + 1
x2 + 1

0

) dx

Hướng dẫn giải
3

3

3

3 + ln x
dx
 −1 
+∫
a) C = ∫ ( 3 + ln x ) d 
÷= −
x + 1 1 1 x ( x + 1)
 x +1
2
3

3

3 + ln 3 3
1
dx
1
27 
=−
+ + ∫ dx − ∫
=  3 + ln ÷
4
2 1x
x +1 4 
16 
1

)

(

x

2
b) Đặt u = ln x + x + 1 , dv =

(

D = x + 1.ln x + x + 1
2

2

)

x +1
2

3
0

thì:

3



∫ dx = 2ln 3 −

3

0

Bài toán 8.36: Tính:
e

a) I =


1

( 1 + 2 x ) ln x + 3 dx
1 + x ln x

2

b) I = ∫
1

x + 2ln x

( x + 1)

3

dx

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 18


Hướng dẫn giải
e



a) Ta có I =

( 1 + 2 x ) ln x + 3 dx = e 2 ( 1 + x ln x ) + ( 1 + ln x ) dx



1 + x ln x

1

e

1 + x ln x

1

e

e

1 + ln x
1 + ln x
e
= 2 ∫ dx + ∫
dx = 2 x 1 + ∫
dx = 2 ( e − 1) + J
1 + x ln x
1 + x ln x
1
1
1
e

1 + ln x

∫ 1 + x ln x dx

Tính J =

1

Đặt t = 1 + x ln x ⇒ dt = ( 1 + ln x ) dx
Khi x = 1 thì t = 1 , khi x = e thì t = 1 + e
nên J =

1+ e


1

2

b) I =

dt
1+ e
= ln t 1 = ln ( 1 + e ) nên I = 2 ( e − 1) + ln ( 1 + e )
t

x + 2ln x

∫ ( x + 1)
1

3

 1
1
2ln x 
dx = ∫ 

+
÷dx
2
3
3

( x + 1) ( x + 1) ÷
1  ( x + 1)
2

2

2

2

2

1
1
1
ln x
7
ln x
=−
+ .
+
2
dx
=
+
2
∫1 ( x + 1) 3 12 ∫1 ( x + 1) 3 dx
x + 1 1 2 ( x + 1) 2
1

2

Tính J =

ln x

∫ ( x + 1)

3

dx

1

Đặt u = ln x, dv =

J =−

dx

( x + 1)
2

ln x
2 ( x + 1)

+

2
1

3

. Khi đó du =

dx
1
1
,v = − .
x
2 ( x + 1) 2

2
2
1
dx
ln 2 1  1
1
1 
=

+



÷dx
2 ∫1 x ( x + 1) 2
18 2 ∫1  x x + 1 ( x + 1) 2 ÷

2

ln 2 1 
x
1 
ln 2 1  4 1 
=−
+  ln
+
+  ln − ÷
÷ =−
18 2  x + 1 x + 1  1
18 2  3 6 
=−

ln 2 1 4 1
+ ln −
18 2 3 12

Suy ra I =

7
4 ln 2 5
 ln 2 1 4 1 
+ 2 −
+ ln − ÷ = ln −

12
3 9
72
 18 2 3 12 

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 19


ln 2

Bài toán 8.37: Tính: a) I =


0

1

x
dx
x
e + e− x + 2

b) I =

2 + xe x
∫0 x 2 + 2 x + 1dx

Hướng dẫn giải
ln 2

a) Ta có I =

x
dx =
x
e + e− x + 2


0

Đặt u = x, dv =


0

( e x + 1)

0

2

dx

dx . Khi đó du = dx, v = − 1
ex + 1
( e + 1)
2

x

ln 2

ln 2



xe x

ex

x
+
Ta có: I = − x
e +1 0
Tính J =

ln 2

ln 2


0

dx
ln 2
=
+
x
e +1
3

ln 2

∫e

dx
+1

x

0

dx
dt
. Đặt e x = t thì x = ln t ⇒ dx =
x
e +1
t

Khi x = 0 ⇒ t = 1; x = ln 2 ⇒ t = 2
2

2

2
2
dt
1 1 
J =∫
= ∫ −
÷dt = ln t 1 − ln t + 1 1
t t + 1) 1  t t + 1 
1 (

5
= 2ln 2 − ln 3 nên I = ln 2 − ln 3 .
3
1

1

1

1

1

−2
xe x
xe x
I
=
dx
+
dx
=
+
dx
=
1
+
b) Ta có
∫0 ( x + 1) 2 ∫0 ( x + 1) 2
∫0 ( x + 1) 2 dx
x + 1 0 ∫0 ( x + 1) 2
1

Tính

2

xe x

∫ ( x + 1)

2

xe x

x
dx . Đặt u = xe , dv =

0

x
Khi đó du = ( x + 1) e .dx; v = −
1

1

dx

( x + 1)

2

.

1
x +1
1

xe x
−1
dx
=


Ta có: ∫
( x + 1) e x dx
2

x +1 0 0 x +1
0 ( x + 1)
xe x

1

1
e
e
e
= − + ∫ e x dx = − + e x dx = − 1
0
2 0
2
2

Thay vào ta được I =

e
2.
2

Bài toán 8.38: Chứng minh F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) :
http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 20


)

(

1

2
a) F ( x ) = ln x + 1 + x + C ; f ( x ) =

1 + x2

1
x π
+ ÷ + C; f ( x ) =
cos x
2 4

b) F ( x ) = ln tan 

Hướng dẫn giải
a)

b)

F '( x ) =
F '( x ) =

=

1+

x
1

x2 + 1 =
x + x2 + 1

x +1
2



đpcm.

1
1
.
x π
x π
2cos 2  + ÷ tan  + ÷
2 4
2 4

1
1
1
=
=
π  cos x
x π x π

2cos  + ÷sin  + ÷ sin  x + ÷
2
2 4 2 4


Bài toán 8.39: Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số f ( x ) =

e2 x

∫ t ln tdt

ex

Hướng dẫn giải
Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên ( 0; +∞ )

( ) ( )
f ' ( x ) = F ' ( e ) 2e − F ' ( e ) e

2x
x
Ta có: f ( x ) = F e − F e , suy ra:
2x

2x

x

x

= 4 xe 4 x − xe 2 x = xe 2 x ( 4e 2 x − 1)

f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − ln 2
Lập BBT thì f đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = − ln 2 .



n x
*
Bài toán 8.40: Đặt I n = x e dx, n ∉ ¥ . Tính I theo I n −1 với n ≥ 2 . Suy ra I 3 .

Hướng dẫn giải

I n = ∫ x n d ( ex ) = x n .e x − n ∫ x n −1e x dx = x n .e x − nI n−1
3 x
2 x
x
x
Do đó I 3 = x e − 3I 2 , I 2 = x e − 2 I1 , I1 = xe dx = e ( x − 1) + C



(

)

x
3
2
nên I 3 = e x − 3x + 6 x − 6 + C .

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 21


1



n x
Bài toán 8.41: Cho I n = x e dx . Tính I n theo I n −1 .
0

Hướng dẫn giải
1

In = ∫ x d ( e
n

0

x

) = ( x .e )
n

x

1

1

− n ∫ x n −1e x dx = e − nI n −1

0

0

e

Bài toán 8.42: Cho J n =

∫ ( ln x )

n

e
n +1

dx . Chứng minh J n−1 ≤ J n ≤

1

Hướng dẫn giải

J n = x ( ln x )

n e
1

e

− n ∫ ( ln x )

n −1

= e − nJ n −1

1

Với 1 ≤ x ≤ e ⇒ 0 ≤ ln x ≤ 1 ⇒ J n +1 ≤ J n
Do đó J n = e − nJ n −1 ≤ e − nJ n

⇒ ( n + 1) J n ≤ e ⇒ đpcm.
Bài toán 8.43: Tính tích phân
1



2

x2 − 1
b) I = ∫ 2 ln xdx
x
1

a) I = x 2 − x dx
2

0

Hướng dẫn giải
1

1

1

1
1 1/2
2 1/2
2
a) I = ∫ x 2 − x dx = − ∫ ( 2 − x ) d ( 2 − x ) = − ∫ u du
20
22
0
2

2

2

=

(

)

1 1/2
1
1

u du (đặt u = ( 2 − x 2 ) ) =  u 3/2  = 2 2 − 1 .

21
3
1 3
2

b) I =

x2 − 1
∫1 x 2 ln xdx

Đặt t = ln x ⇒

dx
= dt , x = et , t ( 1) = 0, t ( 2 ) = ln 2 ⇒ I =
x

ln 2

∫ t(e
0

t

− e − t ) dt

Đặt u = t ⇒ du = dt , dv = et − e − t , chọn v = et + e − t

⇒ I = t ( et + e −t )  −
0
ln 2

ln 2

∫ (e
0

t

+ e −t ) dt =

5ln 2 − 3
2

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 22


Cách khác: Đặt u = ln x ⇒ du =

dv =

dx
x

x2 − 1
1 
1

dx = 1 − 2 ÷dx ⇒ v = x +
2
x
x
 x 
2

2

2

2

1
1  dx 5
1 
5
1




⇒ I =  x + ÷ln x − ∫  x + ÷ = ln 2 − ∫ 1 + 2 ÷dx = ln 2 −  x − ÷
x
x x 2
x 
2
x 1


1
1
1
5
1 5
3

= ln 2 −  2 − ÷ = ln 2 − .
2
2 2
2


3. BÀI LUYỆN TẬP
Bài toán 8.1: Chứng minh F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) :
a) F ( x ) = x ln x − x; f ( x ) = ln x
b) F ( x ) = ln tan

x
1
+ C; f ( x ) =
2
sin x
Hướng dẫn

a) Dùng định nghĩa và công thức đạo hàm
b) Dùng định nghĩa và công thức ( ln u ) ' =



2
Bài tập 8.2: Tính: a) A = x 7 − 3 x dx

u'
u
b) P =



x
3

x2 + 4

dx

Hướng dẫn
a) Đổi biến t = 7 − 3 x 2 . Kết quả −

3
1
2 2
7

3
x
(
) +C
3

2
3 2
b) Kết quả ( x + 4 ) 3 + C
4

Bài tập 8.3: Tính a)



(

dx

x 1+ x

)

2

b)

∫ 2x

xdx
2

− 1 + 3 x2 − 1

Hướng dẫn
a) Đổi biến t = 1 + x . Kết quả −

2
+C
1+ x

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 23


b) Kết quả 1 ln

)

(

2

x2 − 1 + 1

2

2 x2 − 1 + 1

+C

Bài tập 8.4: Tính
a) I =



1 + x dx

b) I =

2



1 + 2x x2 + 1 + 2x2
1 + x + x2 + 1

dx

Hướng dẫn
a) Dùng nguyên hàm từng phần
Kết quả

)

(

1
ln x + 1 + x 2 + x 1 + x 2 + C
2

(

1
2
b) Kết quả  x + x + 1
2
1

Bài tập 8.5: Tính: a) I =


0

) ( x −1+
2

x3dx

)


x 2 + 1 + 2ln x + x 2 + 1 + 1  + C

3

b) J =

4 − x2



x5 + 2 x3
x2 + 1

0

dx

Hướng dẫn
a) Đổi biến t = 4 − x 2 . Kết quả
b) Kết quả

16
−3 3
3

26
5
1

1

dx
x + x +1
0 1+

Bài tập 8.6: Tính: a) C = ∫

b) D = ∫
0

x 3dx
x + x2 + 1

Hướng dẫn
a) Trục căn thức ở mẫu. Kết quả
b) Kết quả D =

(

(

1
3 − 2 − ln 1 + 2
3

))

2 2 −1
15

Bài tập 8.7: Tính a)

∫ x e dx
4 x

12 x dx
b) ∫ x
16 − 9 x
Hướng dẫn

a) Dùng tích phân từng phần 4 lần liên tiếp.

(

)

4
3
2
x
Kết quả x − 4 x + 12 x − 24 x + 24 e + C

http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 24


1
4 x − 3x
.ln x
+C
2 ( ln 4 − ln 3)
4 + 3x

b) Kết quả

Bài tập 8.8: Tính: a)

)

ln ( sin x )
2
∫ cos 2 x dx b) ∫ ln x + 1 + x dx

(

Hướng dẫn
a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả tan x.ln ( sin x ) − x + C

)

(

2
2
b) Kết quả x ln x + 1 + x − 1 + x + C



Bài tập 8.9: Tính a) I = x ln

1− x
dx
1+ x

e

b) J =

ln x
dx
2
x
1



Hướng dẫn
a) Dùng tích phân từng phần

1 2 1− x 1 1+ x 1
x ln
+ ln
− x+C
2
1+ x 4 1− x 2

Kết quả

b) Kết quả 1 −

2
e

Bài tập 8.10: Tính:
a) I =

π /2

∫ (e

sin x

0

+ cos x ) cos xdx

b) J =

π /2

∫e

3x

sin 5 xdx

0

Hướng dẫn
a) Tách 2 tích phân và dùng đổi biến, tích phân từng phần.
Kết quả e +

π
−1
4


2
b) Kết quả 3.e + 5
34
1

∫ (

)

Bài tập 8.11: Tính: a) I = ln x + 1 dx
1

2

e

b) J =

∫ ( ln x )

2

dx

1

Hướng dẫn
a) Dùng tích phân từng phần. Kết quả ln 2 − 2 +

π
2

b) Kết quả e − 2
http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận
được nhiều tài liệu hay .
Trang 25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×