Tải bản đầy đủ

BÀI TẬP LỚN TÍCH PHÂN LEBESGUE

I.

LỜI MỞ ĐẦU

Ở chương trình phổ thông, chúng ta đã bước đầu làm quen với khái niệm tích phân và những ứng
dụng hữu ích của nó. Khi đó, phép lấy tích phân của những hàm liên tục hoặc gián đoạn tại hữu
hạn điểm được thực hiện một cách dễ dàng bằng tích phân Riemann. Thế nhưng, đối với những
hàm gián đoạn tại vô số điểm hoặc tất cả các điểm thì làm thế nào để có thể lấy tích phân theo
một nghĩa nào đó? Đây là một câu hỏi đã được đặt ra trong suy nghĩ của em, em đã có cơ hội để
trả lời câu hỏi đó qua việc tìm hiểu về tích phân Lebesgue. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một
môn học, em không có điều kiện để nghiên cứu sâu về các tính chất cũng như các điều kiện khả
tích của loại tích phân này trong những trường hợp khác nhau.
Trong giải tích cổ điển, Ta đã biết đến tích phân Riemann. Phần lý thuyết về loại tích phân này đã
được xây dựng 1 cách hoàn chỉnh. Tuy nhiên trong nhiều loại bài toán của các lĩnh vực Vật lý
học, Lý thuyết xác suất,... thực tế ta phải xây dựng 1 loại tích phân khác, với cách tiếp cận khác.
Lý thuyết về loại tích phân mới này được đặt nền móng bởi công trình của Henri Lebesgue
(1875-1941, người Pháp).
Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu thế kỷ XX.
Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được
những khiếm khuyết của tích phân Riemann. Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp
ứng được các yêu cầu phát triển trong các lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ

học lượng tử…
Ở đây ta sẽ không xét đên tích phân Riemann nên tích phân Lebesgue sẽ được gọi đơn giản là
tích phân.


II.

TÍCH PHÂN LEBESGUE

1. TÍCH PHÂN CỦA HÀM ĐƠN GIẢN
Xét các hàm đơn giản trên

 X , A ,   . Chú ý rằng trong chủ đề này tất cả các hàm

ta nói đến đều đo được nên không cần nói đến f hay g ,... là đo được. Ngoài ra, f
chỉ có thể nhận 1 số hữu hạn các giá trị và các tổng lấy theo mọi giá trị của f có thể
chỉ là một số hữu hạn các số hạng, nhưng ta vẫn sẽ dùng thuật ngữ “Chuỗi” để nói về
những tổng như vậy và tổng hữu hạn luôn được coi là chuỗi hội tụ, thậm chí là hội tụ
tuyệt đối.
f  X    y1 , y2 ,..., yk ,..
A  f 1   yk  
Giả sử f là hàm đơn giản và
. Đặt k
và ký
Y ,Y
hiệu 1 2 làn lượt là tập các giá trị không âm và không dương của f , (khi đó

Y1 �Y2  �hoặc Y1 �Y2   0 ) Xết các chuỗi sau
� yk   Ak 
yk �f  X 

 1.1
 1.2 
 1.3

�y   A 
k

k


yk �Y1

�y   A 
k

Dễ thấy chuỗi

k

yk �Y2

 1.1

hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi 2 chuỗi

tụ. Trong trường hợp đó tổng của chuỗi

 1.2 

 1.2  và  1.3 đều hội

là số không âm, còn tổng của chuỗi

 1.3 là số không dương.
 1.1 là hội tụ tuyệt đối thì tổng của nó được gọi là tích
Định nghĩa 1.1: Nếu chuỗi
phân của hàm f trên X và ký hiệu bằng một trong các biểu thức sau:
f  x d  �
f  x   dx �
fd 

fd 
,
,
, �
X

X

X

Trong trường hợp này, ta nói f khả tích (hay khả tổng) trên X
Từ định nghĩa ta có thể có được các mệnh đề đơn giản sau:


f khả tổng khi và chỉ khi f  và f  đều khả tổng. Khi đó

f d




f d
1.2
1.3

lần lượt là các tổng của các chuỗi   và   ; do đó:
fd   �
f d  �
f d





X

X



X

f
Từ đó cũng suy ra rằng f khả tổng khi và chỉ khi
khả tổng. Khi đó

 1.4 


�f d   �f d   �f d 


X



X

 1.5 

X

Và do đó

�fd  ��f d 
X



Mọi hàm đơn giản bị chặn, trong đó có tất cả các hàm bậc thang, đều khả
tổng trên không gian với độ đo hữu hạn. Với những hàm như vậy ta có
fd  � Sup

X





 1.6 

X

f  x   X 

 1.7 

x �X

I A khả tổng khi và chỉ khi   A   �và khi đó

fd     A 


I A d  �0
Nếu f �0 và khả tổng thì �
Nếu f , g khả tổng (trên X ) thì với mọi  ,  ��hàm  f   g đều khả

tổng và

fd    �
gd 
 f   g d   �

X

X

X

 1.8 

Ta sẽ có hệ quả 1.1: Nếu f và g cùng khả tổng và f �g trên X thì
fd  ��
gd 

X

X

2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT.
Trước hết giả sử  là độ đo hữu hạn. Định nghĩa tích phân của hàm tùy ý , ta cần bổ
đề sau:
Bổ đề 2.1: Nếu

 f n  là dãy hàm đơn giản khả tổng hội tụ đều thì dãy  I n  ,với
In  �
fn  x d 
X

Là dãy hội tụ.
Chứng minh: Ta có

Im  In 

 f  x   f  x   d  �sup  f  x   f  x   .  X 

m

n

m

n

X

sup  f m  x   f n  x   � 0
I 
Do tính liên tục nên
khi m, n � �. Do đó, dãy n là dãy
cơ bản nên nó hội tụ (đpcm).

Bổ đề 2.2: Nếu

 f n  và  g n  là 2 dãy hàm đơn giản khả tổng và cùng hội tụ tới
lim �
f n  x  d   lim �
gn  x  d 
X

X

Việc chứng minh thực hiện bằng các xen kẽ 2 dãy hàm.

f thì


Hai bổ đề trên đảm bảo tính hợp lý cho định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1: Nếu

lim �
fn  x  d 
X

 f n  là dãy hàm đơn giản khả tổng hội tụ đều tới

được gọi là tích phân của hàm f trên X và ký hiệu là

f thì

�f  x  d 
n

X

f  x    dx 

n

( hoặc X
,...) Khi đó f cũng được gọi là hàm khả tích hay khả tổng.
Định nghĩa này không có mâu thuẫn với định nghĩa tích phân và tính khả tổng của các
hàm đơn giản.
X ,A, 
Định nghĩa 2.2: Cho 
là không gian với độ đo   hữu hạn. Ta nói hàm f
khả tổng trên X , nếu:
f khả tổng trên mọi tập hợp A�A với   A   �( A xem như là không gian
i.

con của X )


ii.

Với mọi dãy

X 1 , X 2 ,..., X n ,... �A sao cho

  X n   �
thì dãy số
In 

X n �X n 1 , U X n  X
n 1



�f  x  d 

 2.1

n

Xn

Đều hội tụ.
2.1
Khi đó, giới hạn của dãy   (có thể chứng minh rằng không phụ thuộc vào
X , X ,...
việc chọn dãy 1 2 ) được gọi là tích phân của f trên X và cũng ký hiệu

f  x d 

X

,( hay

f  x    dx 

X

,...)

Từ các định nghĩa trên suy ra các mệnh đề sau:



Hàm bị chặn trong không gian với độ đo hữu hạn luôn khả tổng. Có thể thay
tính bị chặn thành tính bị chặn hầu khắp nơi.
Nếu f , g khả tổng với mọi  ,  ��, hàm  f   g đều khả tổng và

fd    �
gd 
  f   g d   �

X

X

X

Tính chất này được chứng minh bằng cách xét các dãy hàm đơn giản

 f n  ,  g n  và   f n   g n  rồi chuyển qua giới hạn.


Nếu f khả tổng trên A và B sao cho A �B  �thì f khả tổng trên A �B và
fd   �
fd 
�fd   �
A�B

(tính cộng được của tích phân)

A

B





Tính chất này được chứng minh bằng nhận xét là
Nếu f khả tổng trên mọi tập con đo được của A .

I A�B  I A  I B

fd   0


  A  0

Nếu
thì A
Để chứng minh tính chất này, trước hết ta xét hàm đơn giản g trên A , với
g  A   y1 , y2 ,...

. Ta có:

gd   �y   A 

k

k

A



A  g 1   yk  
Trong đó k
 A �  A
Vì  k 
 A 0
Nên  k 
.
gd   0

A
Suy ra
Vì trên A thì f là giới hạn (hội tụ đều) của dãy hàm đơn giản nên chính f có
tích phân bằng 0
Nếu f khả tổng trên X và g tương đương với f thì g khả tổng và tích phân

của chúng bằng nhau.

gd   �
fd 

X



X

Nếu f và g khả tổng và f �g hầu khắp nơi thì
fd  ��
gd 

X



X

g �f
Nếu f khả tổng và
hầu khắp nơi thì g khả tổng.
f
Từ mệnh đề trên cũng dễ suy ra rằng f và
hoặc cùng khả tổng hoặc cùng
không khả tổng.

3. TÍNH   CỘNG ĐƯỢC CỦA TÍCH PHÂN.


Định lý 3.1: Giả sử f khả tổng trên
Khi đó

A  U An
n 1

, với

An �A , Am �An  �, m �n



fd   ��
fd 

A

Ngoài ra vế phải của

n 1 An

 3.1 là chuỗi hội tụ tuyệt đối.

 3.1

y , y ,...
Chứng minh: Trước hết giả sử f là hàm đơn giản trên A với các giá trị 1 2 Đặt
Bk  f 1   yk  



Bnk  An �Bk . Khi đó


fd   �y   B 

k

k

k

A

 �yk �  Bnk 
k

n

 ��yk   Bnk 
n

k

 ��
fd 

 3.2 

n An

3.2
Đồng thời các chuỗi trong   đều hội tụ tuyệt đối.
Bây giờ giả sử f là hàm khả tổng tùy ý. Khi đó, với mỗi k nguyên dương đều tồn tại

f k khả tổng trên A sao cho
1
fk  x   f  x  
k
Theo chứng minh trên thì
f k d   ��
fk d 

hàm đơn giản

 3.3
 3.4 

n An

A

Và chuỗi ở vế phải của
Mặt khác, vì

 3.4  là chuỗi hội tụ tuyệt đối.

�fd   �f d  ��f  f
k

An

An

Nên

An

k

1
d  � .  An 
k

1
.  An   �
f k d  ��
fd 
k
An
An
1
� .  An   �
fk d 
k
An

��fd 

Từ đó suy ra tính tính hội tụ tuyệt đối của chuỗi n An
. Ngoài ra
1
1
.  An   �
f k d  ��
fd  � .  An   �
fk d 
k
k
An
An
An

 3.3
Từ

suy ra

f d � �
fd 

k

A

A

. Kết hợp điều này với
fd 
��fd   �
n An

 1.5 

 3.5

ta có:

A

Định lý đã được chứng minh.
X ,A , 
Hệ quả 3.1: Nếu f là hàm khả tổng không âm trên 
thì ánh xạ từ A vào

fd 

� biến A thành A
là hàm độ đo trên X .
Theo một nghĩa nào đó ta có thể coi đây là mệnh đề đảo của định lý 3.1


Định lý 3.2: Nếu

A1 , A2 ,... ��
A , Aƹi  A j

(i

j ), A

UA

n

n

Và chuỗi

��f d 
n An

Hội tụ thì f khả tổng trên A
Chúng ta thừa nhận định lý này.

 3.6 


4. BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHOV
Ta chứng minh một bất đẳng thức về tích phân cần dùng cho bài toán sau.
Cho f �0 và khả tổng. Khi đó, với   0 thì
1
  x γ�
X : f  x 
fd 
�
X
(bất đẳng thức Chebyshov)
C   x  X : f  x 
Thật vậy, với
thì
fd   �
fd   �
fd  ��
fd  � �
fd    .  C 






X

1
  C �

Suy ra

Vậy công thức

Cc

C

C

C

fd 

X

 4.1 được chứng minh.

Hệ quả 4.1: Nếu f �0 , khả tổng và

fd   0

X

thì

f  x  0

hầu khắp nơi.

Chứng minh: Với mỗi n nguyên dương, thì


 ��x γ�
X : f  x 



1 ��
fd 
� n�
n �
� X

0

Do đó

   x �X
:γf  x 

0



�� �
�
U�x
�n 1 �

��
�γ
 ��x

n 1
��

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

X : f  x

1 ��

n �


X : f  x

1 ��
� 0
n �


 4.1


5. QUA GIỚI HẠN DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN
Định lý 5.1 Levi ( hội tụ đơn điệu)
Giả sử:
f n  n ��* 
i.
là các hàm đo được trên A và
0  f n  x   f n 1  x 
ii.

lim f n  x   f  x  , x �A

x �A

n ��

Khi đó

lim �
fn d   �
fd 
n ��

A

A

Định lý 5.2 Lebesgue (hội tụ bị chặn)
Giả sử:
f
i.
Các hàm n đo được trên A và tồn tại hàm g khả tích trên A sao cho
f n  x  �g  x  , n ��* , x �A

ii.

lim f n  x   f  x  , x �A
n ��

Khi đó

fd   lim �
fd 

A

n ��

A


III.

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Trong các bài tập dưới đây ta luôn có giả thiết có một không gian độ đo
Các tập được xét luôn thuộc A

 X ,A , 

.

Bài 1: Cho hàm f đo được trên A , hàm g , h khả tích trên A sao cho
g  x  �f  x  �h  x  , x �A

. Chứng minh rằng f khả tích trên A

Giải.

g  x  �f  x  �h  x  , x �A
Ta có
�f  �h 
��

�f �g

� f  d  � hd 

��
A
� �A

f d  ��
g d 
��
�A
A
� f d   �
��
A
��
f d   �
��
�A
Do các tích phân ở vế phải hữu hạn nên
Suy ra f khả tích.

f �0 , đo được trên A
. Xét các hàm
�f  x  , f  x  �n
fn  x   �
� n, f  x   n

Bài 2: a, Cho hàm số

Chứng minh

lim �
fnd   �
fd 
n ��

A

A

1

b, Ứng dụng kết quả trên để tính

dx
x

 L �
0

Giải:

f  x   min  n, f  x  
a, Ta có n
. Do đó:
fn  x 

đo được, không âm
f n  x   min  n, f  x   �min  n  1, f  x    f n 1  x 








lim f n  x   min lim n, f  x   min  �, f  x    f  x 
n ��

n ��

Theo định lý 5.1 Levi ta có đpcm

 n �� 
*


b, Đặt

f  x 

1
, x � 0;1 , f  0   �
x
. Ta tìm được
�1
�1 �
;1�
� , x ��
n2 �
�x

fn  x   �
1�
�n, x ��
0; 2 �


�n �

1

1

0

0

f n  x  dx   R  �
f n  x  dx  2 
 L �

Theo câu a, ta có

Bài 3: Cho hàm

1

1

0

0

1
n

f  x  dx  lim �
f n  x  dx  2
 L �
n ��

f
f khả tích trên A
. Ta xây dựng các hàm n như sau:
�f  x  , f  x  �n


f n  x   � n, f  x   n
�n, f  x   n


Chứng minh

lim �
fn d   �
fd 
n ��

A

A

Giải:
Ta thấy



f n  x   min n, max  n, f  x  

.

Suy ra



f n đo được, f n � f , n ��*





lim f n  x   min �.max  �, f  x    f  x  , x �A
n ��

Áp dụng định lý 5.2 Lebesgue ta sẽ có đpcm.
Bài 4: Cho  là hàm đo được không âm trên X . Ta định nghĩa:
  A  �
 d  , A �A
A



a. Chứng minh  là độ đo
b. Giả sử f là hàm đo được, không âm trên X . Chứng minh
fd   �
f d 

X

X

Giải:
a. Vì hàm  đo được, không âm nên
�
fd  �0
A

d   0

 A 0
 � 0
Chú ý rằng A
khi  
, ta có  
Sử dụng tính chất   cộng tính của tích phân ya suy ra  đo được.
b. Đầu tiên khi f là hàm đơn giản không âm
n

f �
aƹi 1Ai , Ai

i 1

n

i

Aj

j  , U Ai

X

i 1

Thật vậy
n

�fd  �ai  Ai 
i 1

X

n

n

1Ai  d   �ai �
d 
�f  d   �ai �
i 1

X

i 1

X

Ai

Từ đây ta sẽ có được đpcm.
f
Nếu f đo được không âm thì tông tại dãy hàm đơn giản n
0 �f n �f n 1 , lim f n  f

Ta có:

f d  �
f  d  , n ��

n

n

X

X


lim f n d   �
fd 
� �
X
X
��
lim �
f n d   �
f d 

� X
X

Theo định lý Levi
Từ dây ta có đpcm.
Bài 5. Cho các hàm f , g khả tích trên A .Với n ��ta đặt:



An  x  A : n

Chứng minh:
lim �
gd   0
n ��
An
a.


b.

�n  A   �
n 1

n





f  x  n 1 , Bn  x  A : f  x 



n


c.

lim n  Bn   0
n ��

Giải:

Ta có

, m

Am �
Anƹ 



n  , U An

A

n 0

a. Do tính chất   cộng ta có


gd   �
gd  ��
��
n  0 An

A

Do điều kiện cần về sự hội tụ của chuỗi
lim �
gd   0
n ��
An
Nên
(đpcm)


b. Do tính chất
cộng ta có


�f
n 0

d  �
f d  �
A

�f d  �n  A 
n

Mặt khác

An



Nên

�n  A   �
n

n 1

(đpcm)



 n  �k   Ak 
k n
c. Đặt
ta có:
lim  n  0
n��



 n �n�  Ak   n  Bn 
k n

Từ đây

lim n  Bn   0
n ��

Bài 6: Giả sử

( đpcm)

 X �
. Ta ký hiệu M là tập các hàm đo được hữu hạn trên X .

f  g � f  x   g  x  hkn
Trong M ta định nghĩa quan hệ "  " như sau:
trên X .

Ta định nghĩa :
f g
d  g, f   �
d
1 f  g
X

a. Chứng minh d là một metric trên M
lim f n  x   f  x 
lim f n  f
 M,d .
b. Giả sử n��
. Chứng minh n��
trong
Giải:

f , g �M


a. Trước hết ta kiểm tra số
h

d  f ,g

hữu hạn với mọi cặp f , g �M . Thật vậy, hàm

f g
1 f  g

 X �
đo được, bị chặn trên tập X và  
nên hàm khả tích. Kiểm
tra điều kiện i, iii, của metric như sau:
i,

d  f , g  �0

d  f ,g  0


f  x  g  x

1 f  x  g  x

0

� f  x  g  x
� f g
Trong M theo nghĩa hầu khắp nơi.

iii, Với f , g , h �M ta có:
f  x  g  x � f  x  h  x  h  x  g  x
f  x  g  x

1 f  x  g  x



f  x  h  x

1 f  x  h  x

h  x  g  x

1 h  x  g  x 

Lấy tích phân 2 vế ta có
d  f , g  �d  f , h   d  h, g 

b. Ta cần chứng minh
lim d  f n , f   0
n ��

hn 

Đặt




fn  f
1  fn  f

,  n ��* 

hn đo được trên X ,
 X �
)
lim hn  0, hkn
n ��

,ta có:
hn  hn �1

, hàm

g  x  1

khả tích trên X ( do

trên X

Áp dụng định lý Lebesgue, ta có

lim �
hn d   0
n ��

X

hay

lim d  f n , f   0
n ��


Bài 7: Cho hàm f là hàm đo được, dương, hữu hạn hkn trên A .Với mỗi k ��đặt
Ak   x �A : 2k 1  f  x  �2 k 
k �

. Chứng tỏ rằng f khả tích trên A khi và chỉ khi:

�2   A   �
k

k

k �

.

Giải.
B   x �A : f  x   �
A  k �� , B
Đặt
. Ta có các tập k ,
là những tập không giao
nhau có hợp bằng A . Do tính   cộng của tích phân, ta có:

fd  

A



k �

��fd 

k � Ak

(chú ý

fd   0

B

2k 1   Ak  ��
fd  �2k   Ak 
Ak

do

  B  0

)

ta có

�
1 n � k
2   Ak  ��
fd  ��2k   Ak 

2 n �
k �
A

Từ đây ta sẽ có được đpcm.
Bài 8: Cho dãy các hàm

 f n  khả tích, hữu hạn trên

A , hội tụ trên A về hàm f và

  A  �
.
Chứng minh f khả tích trên A và

lim �
fnd   �
fd 
n ��

A

A

Giải:
Vì các hàm
Vì dãy

f n đo được nên f đo được

 f n  hội tụ đều trên

*
A và f nên có số n0 �� thỏa mãn

f n  x   f  x  �1, x �A, n �n0



Từ


 1 ta có

f  x  �1  f n  x 

.

  A  �
1  fn
nên hàm
khả tích trên A do đó f khả tích trên A

 1




1
f �1  f
n �n0 
1 f
Cũng từ   ta có n
trên A 
và hàm
khả tích trên A
Áp dụng định lý Lebesgue ta sẽ có đpcm.

Bài 9:
Tính các giới hạn:
2

a.

n
lim �
1  x 2 n dx
n ��

0

1

x  x 2 e nx
lim � nx dx
n ��
1 e
1
b.
n
n
� x � 2 x
lim �
1  �e dx

n ��
n�

0
c.
Giải.
a. Đặt



f n  x   n 1  x 2 n , x � 0; 2 , n  1, 2,...

f n liên tục trên  0; 2 nên  L   đo được.
lim f  x   1
Khi 0 �x  1 ta có n��
Khi 1  x �2 ta có
1
lim x 2 n 1  2 n  x 2
n ��
x
lim f n  1  1
Hàm

n ��



lim f n  x   f  x 
Do đó n��
f x  1 x � 0;1 , f  x   x 2 , x � 1; 2
Với  
,
f n  x   f n  x  �1  x 2 , n ��*
Áp dụng định lý Lebesgue, ta có:
2
2
10
lim �
f n  x  dx  �
f  x  dx 
n ��
3
0
0

b. Đặt


c. Đặt

fn  x 

là hàm trong dấu tích phân thì ta có
lim f n  x   f  x 
f  x   x, x � 1;0 , f  x   x 2 , x � 0;1
n ��
với
x  x 2 enx
fn  x  �
�1, n ��* , x � 1;1
nx
1 e
n

� x � 2 x
1  �e , x � 0, n 


fn  �
� n�
� 0, x � n, �




fn

 L   đo được trên  0, �


Với mỗi



x   0,

 thì

x � 0, n 

khi n đủ lớn, do đó:
n

� x � 2 x
lim f n  x   lim �
1  �e  e x .e 2 x  e  x
n ��
n ��
� n�
n

� x � 2 x
f n  x  ��
1  �.e �e x .e 2 x  e x , n ��* , x � 0, �
� n�



t
( ta đã sử dụng 1  t �e , t �0 )
g  x   e x  L  
0; �
Hàm

khả tích trên 
Áp dụng định lý Lebesgue ta có
n
n
�
�
� x � 2 x
lim �
1  �e dx  lim �
f n  x  dx  �
e  x dx  1

n ��
n ��
n�
0�
0
0

Bài 10: Chứng minh:
1

xn
1
lim n � dx 
n ��
1 x
2
0

Giải:

Ở đay ta không thể áp dụng định lý Lebesgue cho dãy hàm
f  x  �g  x  , n
tìm được hàm g khả tích sao cho n

Ta tích phân từng phần và được:
1

xn
n � dx
1 x
0
1

n �x n 1 1
x n 1

�
dx

2

0
n 1�
1

x
1

x


0


n �1


�  In �
n  1 �2




Áp dụng định lý Lebesgue ta sẽ minh được
1

Vậy

xn
1
lim n � dx 
n ��
1 x
2
0

.

lim I n  0
n ��

fn  x  

nx n
1  x vì không


IV.

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc đối với các thầy cô của trường
đại học Hồng Đức, đặc biệt là các thầy cô khoa khoa học tự nhiên của trường đã tạo
điều kiện cho em thực hiện phần bài tập này. Và em cũng xin chân thành cám ơn thầy
Nguyễn Xuân Thuần đã nhiệt tình hướng dẫn hướng dẫn em hoàn thành bài tập lớn
này.
Trong quá trình thực hiện, cũng như là trong quá trình làm bài tập lớn, khó tránh khỏi
sai sót, rất mong các thầy, cô góp ý, chỉnh sửa đẻ em có thể hoàn thiện hơn về kiến
thức của mình.
Em xin chân thành cảm ơn!



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×