Tải bản đầy đủ

Các dạng toán và bài tập số phức có lời giải chi tiết – nguyễn bảo vương

Tài liệu toán 12

năm học 2018

S PHC
A.TểM TT GIO KHOA.
1. nh ngha s phc.
Xột
Hai phn t

v

bng nhau

.

:
Phộp cng :
Phộp nhõn:
nh ngha. Tp


, cựng vi phộp cng v phộp nhõn trờn gi l tp s phc

. Phn t

gi l

mt s phc.

2. Tớnh cht phộp cng.
Giao hoỏn:
Kt hp:
Tn ti phn t khụng:
Mi s cú s i:
Phộp tr:

3. Tớnh cht phộp nhõn.
Giao hoỏn:
Kt hp:
Tn ti phn t n v:
Mi s khỏc
Gi s

cú s nghch o :
, tỡm

. Ta cú:

. Gii h cho

ta

Vy,

Phộp chia:

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

vi

- 0946798489



Page | 1


Tài liệu toán 12

năm học 2018

4. nh lý.

S phc bt kỡ
H thc

c biu din duy nht dng

,

, trong ú

, c suy t nh ngha phộp nhõn:

Biu din

gi l dng i s ca s phc
: phn thc ca

Tng

s phc:

Hiu

s phc:

Tớch

s phc:

,

.
. Do ú:

: phn o ca

.

. n v o l .
.
.
.

5. Ly tha n v o
:
,

,

,

, bng quy np ta c:

,

,

,

,

Do ú:

6. S phc liờn hp:
Cho

, s phc

gi l s phc liờn hp ca

. Tht vy,

( pcm ).

. Tht vy,

( pcm ).

l s thc khụng õm.
Tht vy,

( pcm ).
Tht vy,
( pcm ).
Tht vy,
( pcm ).
Tht vy,

tc l

Tht vy,

( pcm ).

( pcm ).

,
Tht vy,
Do ú

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

,
,

( pcm ).

- 0946798489

Page | 2


Tài liệu toán 12

năm học 2018

8. Mụun ca s phc
S

gi l mụun ca s phc

9. Biu din hỡnh hc ca s phc
Mi s phc

c biu din mt im

hoc

hay vộc t

trờn mt phng phc.Ta vit:

.

10. Tớnh cht
i. Gi

. Khi ú:

ii. Gi

ln lt l biu din ca hai s phc

iii. Cho
Khi ú:

i xng vi

qua

;

. Khi ú:

i xng vi
l biu din ca

qua

.

.

.
l biu din ca

v

.

B.PHNG PHP GII TON.

Dng 1. Cỏc phộp tớnh v s phc v cỏc bi toỏn nh tớnh.
Phng phỏp:
Dng 1: Cỏc phộp tớnh v s phc.
S dng cỏc cụng thc cng, tr, nhõn, chia v ly tha s phc.
Dng 2: S phc v thuc tớnh ca nú.
Tỡm phn thc v phn o:
, suy ra phn thc , phn o
Biu din hỡnh hc ca s phc:

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ d 1 Xỏc nh phn thc v phn o ca cỏc s phc :
1. z i 2 i 3 i

2. z

3 4i
4i

2

3. 1 i 1 i z 8 i 1 2i z
Vớ d 2
1. Tỡm mụun ca s phc z, bit rng: 1 2i z 3 8i
2. Tỡm cỏc s thc b, c phng trỡnh z 2 bz c 0 nhn s phc z 1 i lm 1 nghim.
3
2


Vớ d 3. Tỡm s phc z tha món: 2 z z . z3 z 1 4i z 2 zz z




Vớ d 4.



1. Tỡm phn o ca s phc z , bit : z







2 i

1 2i .



2

3

1 i 3
2. Tỡm phn thc v phn o ca s phc z
.
1 i


Vớ d 5.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 3


Tài liệu toán 12

năm học 2018



2. Tỡm phn thc ca s phc z , bit

2


z 1 i z 1 2i

1. Tỡm phn o ca s phc z , bit z 3z 1 2i

2

Vớ d 6. Tỡm s phc z tha món:
9
z 2i
1. z 3i 1 iz v z l s thun o. 2. z z 2 2i v
l s o.
z
z2
z 1
z 3i
1 v
1
Vớ d 7. Tỡm s phc z tha món:
zi
zi
Vớ d 8.1.7 Cho s phc z x yi; x, y tha món z 3 18 26i . Tớnh T z 2

2012

4 z

2012

1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn

Bi 1.
1. Cho 2 s phc z1 , z 2 tha món z1 z 2 1 , z1 z 2 3 . Tớnh z1 z 2
2. Tỡm cỏc s thc x, y sao cho :
a. z z' , bit rng: z 2x 3 3y 1 i , z' 2y 1 3x 7 i .
b.
c.

x 2y 4 i 3 3x y x 2i 47 20i .
x yi



3 yi

d.

3 xyi

1 2i

3

1
3

i.
2 2

v

x y 2i

1 2i 3

l ( phc ) liờn hp.

3. Cho z cos180 cos 720 i . Tớnh z .
4. Xỏc nh phn thc v phn o ca cỏc s phc :
33

10
1 i
1
z
1 i 2 3i 2 3i
i
1i
5. Thc hin cỏc phộp tớnh :
9

10

A 1 i 1 i

8
1 1 i
B 1 i i13
13 1 i

i


M i5 i6 i7 ... i18

2

21

3

N 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i

2010

6. Xỏc nh phn thc v phn o ca cỏc s phc :
a. z 2 3i 3 2i
b. z

2

c. z 1 i 1 i

1 2i
3 2i

2

3
2 i 1 i

d. 4) z

4 3i

2

7. Cho z 2x 3x 1 x 1 y 3 i vi x, y l cỏc s thc
Tỡm x, y sao cho:
a. z l s thc.

c. z 6 5i

b. z l thun o v z 4

8. Thc hin cỏc phộp tớnh :
3
3
2 i 2 i

A
2 i 3 2 i 3

1 3 3i
B

2 3i



C i i 2 ... i 2009

D 1 i 1 i ... 1 i

2

2009

3

2010

9. Cho s phc z (1 2x)(1 x) (2 x)(2y 1)i
Trong ú x, y l cỏc s thc. Tỡm x, y sao cho
a. z l s thc

b. z l s thun o v z 1

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

c. z 20 15i .
Page | 4


Tài liệu toán 12

năm học 2018

10. Tỡm phn thc v phn o ca cỏc s phc sau:
a. z
c. z

(1 2i)2
3i
(3 i)(1 2i)

b. z (2 i)3 (3 2i)3
d. z (1 3i)(2 i)2

2

(3 2i)
11. Tỡm modun ca s phc z bit:
a. (1 2z)(3 4i) 29 22i

b.

z

(1 2i)(2 i)
(2 3i)2
Bi 2
1. Tỡm phn thc v phn o ca s phc :
c.

1 i 2 2 i z 8 i 1 2i z

4 2i
1 3i

3 2i (2 3i)2

z 2i
3 2i

d. (2 i)(3z 1) (z 2)(4 5i) .

thi Cao ng nm 2009.

2. Chng minh nu z1 z 2 1 , z1 z2 1 thỡ

z1 z2
l s thc.
1 z1z2

3. Tỡm s phc z tha món z 2 i 1 . Bit phn o nh hn phn thc 2 n v.


5. Tỡm s phc z tha món z.z 3 z z 5 6i .

4. Tỡm s phc z tha món z 1 z 2i l s thc v z 1 5 .

6. Tớnh z bit:
a. 3i 1 z 2i 1

2

b.

z1
2i 3
z2

c.

z 1 3i 2

3z 2
i 1

7. Tỡm s phc z bit :
b. 3z 2(z)2 0

a. 4z (3i 1)z 25 21i

Bi 3 Xột cỏc im A, B,C trong mt phng phc theo th t biu din cỏc s

4i
2 6i
, 1 i 1 2i ,
.
i1
3i

1. Chng minh ABC l tam giỏc vuụng cõn
2. Tỡm s phc biu din bi im D sao cho ABCD l hỡnh vuụng.
Bi 4 Trong mt phng ta Oxy , cho A v B l hai im ln lt biu din 2 nghim phc ca phng trỡnh:
z 2 6z 18 0 . Chng minh rng tam giỏc OAB vuụng cõn.
Bi 5 Chng minh rng:

1. 1 i
2.



2010

1 i

2009



3i 1

2010

l mt s thc

3i 1



2009

l s thun o.

Bi 6 Cho u, v l biu din ca hai s phc 1 3i v 3 2i



1. 3u 2v ; 5u 3v biu din nhng s phc no?



2. Gi x l biu din ca s phc 6 4i . Hóy phõn tớch x qua u, v .
Bi 7 Gi A1 , A 2 , A 3 , A 4 ln lt l biu din hỡnh hc ca cỏc s phc
z1 1 3i, z 2 3 2i, z 3 5 i, z 4 4 5i .

1. Tớnh di cỏc on A1A 2 , A1 A 3 , A1A 4
2. Tỡm s phc cú biu din l im M sao cho A1 A 2 A 4 M l hỡnh bỡnh hnh.
Bi 9.
n

1. Tỡm phn thc ca s phc z 1 i , n N tha món phng trỡnh: log 4 n 3 log 4 n 9 3
2. Tỡm phn o ca s phc z , bit

iz 1 3i z
1 i

z

2

Bi 10.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 5


Tài liệu toán 12

năm học 2018

1. Gi z l nghim ca phng trỡnh z 2 2z 2 0 . Tớnh giỏ tr ca biu thc Q z 2012



1
z

2012

.



2. Tớnh z , bit 2z 11+i z 1 1 i 2 2i.
thi i hc Khi A nm 2011
Bi 11 Tỡm s phc z tha món:
z 1 i
1. z 2i z 1 i v
l mt s thun o.
z 2i
2. z 5 v phn thc ca z bng 2 ln phn o ca nú.
3. z z3

4. z 2 v z 2 l s thun o. thi i hc Khi D ,2010

Bi 12 Tỡm s phc z tha món:
1.

z
z

4
2

z

200
0
1 7i

5i 3
1 0
z
3. z (2 3i)z 1 9i

2. z

thi i hc Khi B nm 2011
thi i hc Khi D nm 2011

2

4. z 2 z z
Bi 13 Tỡm s phc z tha món:
2 z i z z 2i

1.
2
2
z z 2 2

z 2 i 10
3.
z.z 25

z 2i z
2.
z i z 1
z2
1

4. z 2i
z 1 z i 5

zi 1

6.
z i 1 2



5.

1 z 2z i

1 i
1 i

7. z 2 z 8z 44

8. z 3 z

Bi 14
1. Nu z1 z2 1, z1z2 1 thỡ T
2. Nu z1 z2 z3 r thỡ T

z1 z 2
l s thc.
1 z1z 2

z1 z2 z2 z3 z3 z1
z1z 2 z 3

l s thc v

z1z 2 z 2 z3 z 3 z1
z1 z2 z 3

r vi

z1 z 2 z 3 0 .

3. S phc w

z 1
l s thun o z 1 .
z1

Bi 15.
Cho , l hai s phc liờn hp tho món


2

R v 2 3. Tớnh .

Bi 16. Tớnh z1 z2 , z1 z2 , z1 .z2 , z1 2z 2 , 2z1 z 2 bit:
1. z1 5 6i, z 2 1 3i

2. z1 2 3i, z 2 3 4i

1 3
1 2
3. z1 i, z 2 i
4. z1 3 2i,z 2 2 i
2 2
3 3
Bi 17. Cho cỏc s phc z1 1 2i, z 2 2 3i, z 1 i . Tớnh :

1. z1 z 2 z 2

2. z1z 2 z 2 z 3 z 3 z1

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

3. z1 z 2 z 3

Page | 6


Tµi liƯu to¸n 12

4. z12  z 22  z23

n¨m häc 2018

5.

z1 z2 z 3


z 2 z 3 z1

6.

Bài 18. Tìm số phức z thỏa mãn:
1. z  5  7i  2  i

z 22  z 23

2. 2  3i  z  5  i
z
4.
 3  2i
1  3i

3. z(2  3i)  4  5i
5.

z12  z 22

2i
1  3i
z
1 i
2i

6. 2z(1  i)  2iz(1  i)  4i

1
3
1
3

i . Hãy tính: ; z; z 2 ;  z  ; 1  z  z 2 .
z
2 2
Bài 20. Gọi A, B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1  3  2i, z 2  2  3i , z 3  5  4i .

Bài 19. Cho z 

1. Chứng minh A, B,C là ba đỉnh của tam giác. Tính chu vi tam giác đó.
2. Gọi D là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm z để ABCD là hình bình hành.
3. Gọi E là điểm biểu diễn của số phức z' . Tìm z' sao cho tam giác AEB vng cân tại E .

Dạng 2. Biểu diễn hình học của số phức và ứng dụng .
1. các ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z  i  1  i  z
Ví dụ 2.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z  2  i  z
Ví dụ 3.2.7 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z  2  z  2  5
1i. Bài tập tự luận tự luyện

Bài 1: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện: z 2 là số ảo.
Bài 2: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện:



1. z 2  z

2

2. 2 z  i  z  z  2i

Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức:





1. z'  1  3i z  2 , trong đó z là số phức thỏa mãn z  1  2 .
2. z  i  z  i  4

3. z  4  z  4  10

Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức:
1. z  i  z  2  3i
3. z   3  4i   2
2. 2z  3  5i  2

4. z  4  3i  z  3  2i  10

Bài 5: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa:
1. z  4  3i là số thực
2. z  1  2i  1
3. z  3i  z  2  i

4. z  4  3i  z  3  2i  2

5. 5  4i  3z  1

6. z  1  i  z  2  3i  2 .

Bài 6: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa
2z  i
z  2i  3
1.
có phần thực bằng 3
2.
là một số thực dương.
z  2i
z3i
Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
1. Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
2. Phần thực của z thuộc đoạn [2;1] .
3. Phần thực của z thuộc đoạn [2;1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3] .
4. z  2

5. 2  z  3

7. 2 z  i  z  z  2i

8. 1  z  2 và phần ảo lớn hơn hoặc bằng

Gi¶ng d¹y: ngun b¶o v­¬ng

- 0946798489

6. z  1  2i  2
1
.
2
Page | 7


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Dng 3. Cn bc hai ca s phc v phng trỡnh bc hai
Phng phỏp:
1. nh ngha: Cho s phc . Mi s phc tha
Xột s thc
(vỡ cú cn bc hai l ).
Nu

thỡ

cú hai cn bc hai l

v

c bit :
cú hai cn bc hai l
v
2. Cỏch tỡm cn bc hai ca s phc
Vi
. tỡm cn bc hai ca
T

gi l cn bc hai ca

. Nu
(

thỡ

.

cú hai cn bc hai l

l s thc khỏc 0) cú hai cn bc hai l

v

.

.

ta gi

gii h ny, ta c

.

3. Phng trỡnh bc hai vi h s phc
L phng trỡnh cú dng:

, trong ú

a. Cỏch gii: Xột bit thc

v

l cỏc s phc

.

l mt cn bc hai ca

Nu

phng trỡnh cú nghim kộp:

Nu

phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
.

b. nh lớ viột
Gi

l hai nghim ca phng trỡnh :

. Khi ú, ta cú h thc sau:

.

1. caực vớ duù minh hoùa

Vớ d 1.Trờn tp s phc, tỡm m phng trỡnh bc hai z 2 mz i 0 cú tng bỡnh phng hai nghim bng 4i .
Vớ d 2. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp s phc:
2. z2 (2i 1)z 1 5i 0

1. z 2 2z 17 0

4z 3 7i
z 2i
4. 25 5z2 2
zi
Vớ d 3. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp s phc:



3.



2

2

4 25z 6 0

1. z 3 (2 2i)z2 (5 4i)z 10i 0 bit phng trỡnh cú nghim thun o
3

zi
3.
8
z 1

2. z 4 2z3 z 2 2z 1 0


16x 11y
7
x 2
x y2


y 11x 16y 1

x2 y2



3
12
10x 1
x 1
3
2
5x y
3x y


;

3
y 1 12 6
y 1
1


5x y
3x y




78y
20
x 2
x y2

Vớ d 4. Gii h phng trỡnh:
;
y 78x 15

x2 y2




Vớ d 5. Gii h phng trỡnh:



Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 8


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Vớ d 6. Cho s phc z tho món iu kin 11z10 10iz9 10iz 11 0. Chng minh rng z 1.
1i. Baứi taọp tửù luaọn tửù luyeọn

Bi 1: Tỡm cn bc hai ca s phc:
1. z 8 6i
2. z 33 56i
3. z 1 4i 3
4. z 5 12i
Bi 2: Tỡm cn bc hai ca cỏc s phc sau:
2
5
5
3 i
3. 1 2i

1. 3i
2.
4
1 i
Bi 3: Gii phng trỡnh sau trờn :
4z 3 7i
1. z 2 1 3i z 2 2i 0 2.
z 2i thi Cao ng nm 2009
zi
z

4

200
0
4. z 3 3 1 2i z 2 3 8i z 2i 5 0
1 7i
z
Bi 4: Gii phng trỡnh sau trờn :

3.

2

z

1. z 2 1 5i z 8 i 0

2. z 2 3 4i z 5i 1 0

3. z 2 3 2i z 5 5i 0

4. z 2 8 1 i z 63 16i 0

5. 1 i z2 2 1 2i z 4 0

6. z 2 2i 1 z 1 5i 0

Bi 5: Gii phng trỡnh sau trờn :
1. z 3 2 1 i z2 5 4i z 10 0

2. z 3 4 5i z2 4 2 5i z 40i 0

3. z 3 3 2 i z 2 2 5 9i z 30i 0
2

Bi 6:


z1
Gii phng trỡnh: z 2
, bit z 3 4i l 1 nghim ca phng trỡnh.
z
7


Bi 7:

Gii phng h trỡnh sau trờn :

Bi 8:


3x y
3
x 2
x y2

Gii h phng trỡnh:
,
y x 3y 0

x2 y 2


z2 z 2 5 2i
1
2
z1 z 2 4 i

1
2



1
3x 1
2
xy



7y 1 1 4 2



xy



Bi 9:
1. Tỡm cỏc s thc a, b : 2z3 9z2 14z 5 (2z 1)(z2 az b) ri gii phng trỡnh sau trờn C:
2z3 9z 2 14z 5 0 .

2. Tỡm cỏc s thc a, b : z 4 4z 2 16z 16 (z2 2z 4)(z 2 az b)
ri gii phng trỡnh sau trờn C: z 4 4z 2 16z 16 0 .
Bi 10:
1. Tỡm tt c cỏ giỏ tr thc ca m phng trỡnh sau cú ớt nht mt nghim thc: z 3 (3 i)z 2 3z (m i) 0 .
2. Bit phng trỡnh 1 i x 2 i x 1 i 0 khụng cú nghim thc. Tỡm nhng giỏ tr cú th cú ca .
Bi 11: Gii cỏc h sau trờn tp s phc
z 1
z1 z 2 z1z 2 9 2i

1. 2
2. z z
2
z1 z 2 11 2i
1.
z z

Dng 4. Phng trỡnh quy v bc hai

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 9


Tµi liƯu to¸n 12

n¨m häc 2018

1i. Bài tập tự luận tự luyện

z2
z1 0
2

Bài 1: Giải phương trình sau trên  : z 4  z 3 
Bài 2: Giải phương trình:

2. 2z4  7z3  9z 2  7z  2  0

1. z 4   2  i  z 2  2i  0

3. 4z4   6  10i  z 3   15i  8  z 2   6  10i  z  4  0
4. z 4   3  i  z3   4  3i  z2  2  3  i  z  4  0



5. 25 5z2  2



2

2

 4  25z  6   0

Bài 3: Giải phương trình:
4

4

1.  z  4    z  6   82



3. z2  1



4

 16  z  1



2. z2  1

4



2

2

  z  3  0

4. z  z  2  z  1 z  3   10

Bài 4: Gọi z1 ,z 2 , z3 , z 4 là các nghiệm phức của phương trình
4

 z 1 
2
2
2
2

  1 . Tính P  z1  1 z2  1 z3  1 z4  1 .
 2z  i 









Dạng 5. Dạng lượng giác của số



phức

Phương pháp:
Cơng thức De – Moivre: Có thể nói cơng thức De – Moivre là một trong những cơng thức thú vị và là nền
tảng cho một loạt cơng thức quan trọng khác sau này như phép luỹ thừa, khai căn số phức, cơng thức Euler.
Cơng thức 1:

Cơng thức 2 :
Số phức

Với

ta có:

và góc

được gọi là argument của z, ký hiệu là

. Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai căn

1. các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z 2012


1. z  2  2i
2. z  6  2i
3. z  1  cos  i sin
8
8





Ví dụ 2. Gọi z1 , z 2 là 2 nghiệm của phương trình: z 2  1  3  1  i  z  4i  0 . Tính giá trị biểu thức

Q  z12012  z 2012
2
Ví dụ 3.Tìm số phức z sao cho z 5 và

1
z2

là hai số phức liên hợp.

1
Ví dụ 4. Giải phương trình cos x  cos 2x  cos 3x  .
2
1
Ví dụ 5. Giải phương trình : cos x  cos 3x  cos 5x  cos 7x  cos 9x  .
2
1i. Bài tập tự luận tự luyện
Gi¶ng d¹y: ngun b¶o v­¬ng

- 0946798489

Page | 10


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Bi 1 :
12

1. Tớnh A 1 i

12

1 i

3

1 i 3
2. Tỡm phn thc v phn o ca s phc z
.
1 i



thi i hc Khi B nm 2011
4

z z
3. Cho s phc z1 ,z2 tha món z1 z2 z1 z2 0 . Tớnh A 1 2
z2 z1

1 3i
4. Cho s phc z tha món z
1 i

4

2

. Tỡm mụun ca s phc z iz
thi i hc Khi A nm 2010

Bi 2 :
k

2
4
2k
2008
2010
1. Tớnh giỏ tr biu thc S C02010 3C 2010
32 C2010
... 1 C2010
... 31004 C2010
31006 C 2010

2. Rỳt gn biu thc:
A cos x cos 2x cos 3x ... cos nx B sin x sin 2x sin 3x ... sin nx
Bi 3 : Tớnh tớch phõn

4



2

s in5x
2. J
dx
sin
x


0

cos 5x
dx
cos x
0

1. I

Bi 4 : Cho dóy s u n xỏc nh bi u1 1, u 2 0, u n 2 u n 1 u n n . Chng minh u n b chn.
Bi 5 : Vit cỏc s phc sau di dng i s
1 i
1. z

1 3i

2012



2. z (1 i)19 1 3i



40

z1 z 2 z3 1

Bi 6 : Cho ba s phc z1 , z 2 , z 3 tho món h: z1 z 2 z3
.
z z z 1
3
1
2

Tớnh giỏ tr ca biu thc T az1 bz 2 cz 3 vi a, b,c .
Bi 7 : Vit dng lng giỏc ca cỏc s phc sau:




2. z 2 cos i sin
6
6



4. z sin i cos
7
7

1. z 3 3i
3. z cos



i sin
9
9

5. z 1 sin



i cos
8
8

6. z

1

7

3i



3 i

8

1 i 9

Bi 8 : Vit cỏc s phc sau di dng i s.
2. z (1 i)11

1. z 1 3i
4. z

(1 i)10 ( 3 i)5

2i

3. z
5. z

( 1 3i)10
Bi 9 : Tỡm s phc z dng lng giỏc bit rng:
5
1. z 2 v mt argument ca 1 i z l
.
12

2. zz 9 v mt argument ca 1 3i z l .
4

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

(1 3)9
(1 i)5

(1 2i)34 (1 i)20
( 3 i)22

Page | 11


Tµi liƯu to¸n 12

3. z 

n¨m häc 2018

1
và một argument của
4

z

2
.
3



3 i

z 1  i   4  3 3i 
3

và một argument của

.
16
12
13  3i
Bài 10 : Tìm các số ngun dương n để số phức sau là số thực? số ảo?

4. z 

 13 3  9i 
1. 

 12  3i 

n

 7  17i n

2.

3.

 2  3i 2n

 59  11 3i n
 3 3  2i 2n

Bài 11 : Tìm số phức z thoả mãn:
1
1. z 4 và
là hai số phức liên hợp của nhau.
z3
32
2. z 3 và
là hai số phức liên hợp.
z2

Dạng 6. Cực trị của số phức
1. các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn: z  4  3i  3 . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.
Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z
Ví dụ 3.6.7 Cho số phức z 

im
, m .
1  m  m  2i 

1
2
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để z  1  k

1. Tìm m để z.z 

Ví dụ 4. Tìm số phức z thỏa mãn: z  2i có một acgumen bằng một acgumen của z  2 cộng với


. Tìm giá trị lớn
4

nhất của biểu thức T  z  1  z  i
1i. Bài tập tự luận tự luyện

Bài 1: Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất thỏa mãn:
1.

z  1  5i
z3i

 z  3  4i  1 
2. log 1 
1
 3 z  3  4i  3 


2

1

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn:
1. z  1  2i  2 . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.
2. z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.
Bài 3:
1. Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Chứng minh rằng: 1  1  z 3  1  z  z 2  5
2. Chứng minh: z1  z2

2

 z1  z2

2



2

 2 z1  z2

2



3. Chứng minh rằng với mỗi số phức z , có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: z  1 
4. Cho số phức z  0 thỏa mãn z 3 

1
z3

 2 . Chứng minh: z 

2
hoặc z 2  1  1 .
2

1
2
z

Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời thỏa 2 điều kiện: z  z  4  3i và biểu thức A  z  1  i  z  2  3i có giá
trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hai số phức z1 và z 2 . Chứng minh rằng:
Gi¶ng d¹y: ngun b¶o v­¬ng

- 0946798489

Page | 12


Tài liệu toán 12

1. z1 z2

2

2. 1 z1z 2

năm học 2018

z1 z 2

2

2

z1 z 2

2



2

2 z1 z 2



1 z1z2

2



2

z1 z2

2

3. z1 z 2 z1 z2 z1 z 2 .
Bi 6: Cho s phc z tha z 1 . Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca:

A

z 5i
z

B z 2 z 1 z3 1

Bi 7: Cho s phc tho món z 1 . Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca:
B 1 z 1 z z2
A 1 z 3 1 z
Bi 8: Cho s phc tho món z 2 2i 1. Tỡm Giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca z .
Bi 9: Cho cỏc s phc a, b,c . t a b m, a b n vi mn 0 . Chng mnh rng:





max ac b , bc a

mn
m2 n2

.
1ii. Baứi taọp traộc nghieọm tửù luyeọn
C. P 6 2i.

Vn 1. PHN THC PHN O
Cõu 1. Tỡm phn thc v phn o ca s phc z 3 2i.

D. P 6 2.

Cõu 5. Kớ hiu a , b ln lt l phn thc v phn o ca s
phc z i 1 i . Khng nh no sau õy l ỳng?

A. Phn thc bng 3 v phn o bng 2i.

A. a 1, b i .

B. a 1, b 1.

B. Phn thc bng 3 v phn o bng 2.

C. a 1, b 1.

D. a 1, b i .

C. Phn thc bng 3 v phn o bng 2i.

Cõu 6. Tớnh tng T ca phn thc v phn o ca s phc

D. Phn thc bng 3 v phn o bng 2.

z

Cõu 2. Cho s phc z a bi a; b . Tỡm phn thc v





2

2 3i .

A. T 11 .

B. T 11 6 2 .

C. T 7 6 2 .

D. T 7 .

2

phn o ca s phc z .
A. Phn thc bng a 2 b 2 v phn o bng 2a 2 b 2 .
Cõu
B. Phn thc bng a 2 b 2 v phn o bng 2ab.
C. Phn thc bng a b v phn o bng a 2 b 2 .
D. Phn thc bng a b v phn o bng ab .
Cõu 3. ( CHNH THC 2016 2017) S phc no di
õy l s thun o?
A. z 2 3i.

B. z 3i.

C. z 2.

D. z 3 i.

7.

Tỡm phn

thc

v

phn

o

ca

s

phc

z 4 3i 1 i .
3

A. Phn thc bng 2 v phn o bng 5i .
B. Phn thc bng 2 v phn o bng 7i .
C. Phn thc bng 2 v phn o bng 5 .
D. Phn thc bng 2 v phn o bng 5i .
Cõu 8. Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc m s phc

z m 2 1 m 1i l s thun o.

Cõu 4. Kớ hiu a , b l phn thc v phn o ca s phc
A. m 1.

3 2 2i . Tớnh P ab.
A. P 6 2i.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

B. m 1 .

C. m 1 .

D. m 0.

B. P 6 2.
- 0946798489

Page | 13


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Cõu 9. Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc x , y s phc Cõu 16. ( CHNH THC 2016 2017). Tỡm tt c cỏc s
thc x ; y sao cho x 2 1 yi 1 2i

z x iy 2 x iy 5 l s thc.
2

A. x 1 v y 0 .

B. x 1 .

A. x 0; y 2 .

B. x 2; y 2 .

C. x 1 hoc y 0 .

D. x 1 .

C. x 2; y 2 .

D. x 2; y 2 .

Cõu 10. Cho s phc z a bi . Khi z 3 l mt s thc, khng Cõu 17. Tỡm tt c
x 2 y 2 y 4 i 2i .
nh no sau õy l ỳng ?
A. b 0 v a bt kỡ hoc b 2 3a 2 .

D. a 0 v b bt kỡ hoc b 2 a 2 .

Vn 2. HAI S PHC BNG NHAU
Cõu

11.

Cho

hai

s

z1 a bi a; b

phc

v

z 2 2017 2018i . Bit z1 z 2 , tớnh tng S a 2b.
A. S 1.



3;3 hoc x ; y 3;3 .

z 2 x 3 3 y 1 i

v

cỏc khng nh sau:
5
A. x ; y 0 .
3

5
4
B. x ; y .
3
3

C. x 3; y 1 .

D. x 1; y 3 .

Cõu 13. Bit rng cú duy nht mt cp s thc x ; y tha món

x y x y i 5 3i . Tớnh S x y.

Cõu

B. S 3 .

14. Tỡm tt c

C. S 4 .
cỏc

s

B. x ; y



3;3 hoc x ; y

C. x ; y



3;3 hoc x ; y 3;3 .

D. x ; y



3;3 hoc x ; y 3;3 .

x; y

D. x 1; y 1 .



3;3 .











tha

D. P 12.

Mnh no sau õy l sai?


x 2 y 2 8
A.
.



xy 3



x 4 8x 2 9 0


B.
.
3

y


x



x 1
x 1


C.
hoc
.






y 3
y 3

D. x 2 y 2 2 xy 8 6i .

20.

Vi

x, y

l

hai

s

thc

tha

món

x 3 5i y 1 2i 9 14i . Tớnh giỏ tr ca biu thc
món

P 2 x 3 y.
A. P

C. x 1; y 1 .





Cõu 19. Cho s phc z x iy tha món z 2 8 6i .

2

B. x 1; y 1 .



món

3

2 x y i y 1 2i 3 7i.
A. x 1; y 1 .



tha

Cõu 18. Cho hai s phc z1 a bi a; b v z 2 3 4i .

Cõu
D. S 6 .

thc



D. S 2016.
A. P 168. B. P 600. C. P 31.

z ' 3 x y 1 i . Khi z z ' , chn khng nh ỳng trong

A. S 5.



x, y

thc

Bit z1 z 22 , tớnh P ab.

B. S 4035. C. S 2019.

Cõu 12. Cho hai s phc

s

A. x ; y

B. b 3a .
C. b 2 5a 2 .

cỏc

205
353
172
94
. B. P
. C. P
. D. P
.
109
61
61
109

Vn 3. BIU DIN HèNH HC S PHC

Cõu

15.

Cho

hai

s

thc

Cõu 21. im biu din s phc z 2 3i cú ta l:

x, y

tha

món

2 x 3 1 2 y i 2 2 i 3 yi x . Tớnh giỏ tr ca biu

thc P x 2 3 xy y .
A. P 13 .

B. P 3 .

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

C. P 11 .

D. P 12 .

- 0946798489

A. 2;3 .

B. 2;3 . C. 2;3 .

D. 2;3 .

Cõu 22. ( CHNH THC 2016 2017) Cho s phc
z 1 2i . im no di õy l im biu din ca s phc
w iz trờn mt phng ta ?
Page | 14


Tài liệu toán 12

A. Q 1;2 .

năm học 2018

B. N 2;1.

C. M 1; 2 D. P 2;1.

Cõu 24. Trong mt
phng ta (hỡnh v
bờn),
s
phc
z 3 4i c biu
din bi im no trong
cỏc im A, B , C , D ?
A. im A .

y

A

4

B

Cõu 27. Trong mt phng ta ,
im M l im biu din ca s
phc z (nh hỡnh v bờn). im
no trong hỡnh v l im biu
din ca s phc 2z ?

3

y

Q

E
x

M
O
N

P

A. im N . B. im Q.
x
-4

B. im B .
C. im C .

1

O

-3

C

-4

D

D. im P .

Cõu 28. Trong mt phng ta cho hai im A 4;0 v

B 0;3 . im C tha món iu kin OC OA OB . Khi
ú, s phc c biu din bi im C l:

D. im D .
Cõu 25. ( CHNH
THC 2016 2017) S
phc no di õy cú
im biu din trờn mt
phng ta l im M
nh hỡnh v ?

C. im E .

3

y
M

A. z 3 4i .

B. z 4 3i .

C. z 3 4i .

D. z 4 3i .

1
x
O

-2

A. z 4 2 i.

Cõu 29. Gi A l im biu din ca s phc z 1 6i v
B l im biu din ca s phc z ' 1 6i . Mnh no
sau õy l ỳng?
A. Hai im A v B i xng vi nhau qua trc honh.

B. z 2 1 2i.

B. Hai im A v B i xng nhau qua trc tung.

C. z 3 2 i.

C. Hai im A v B i xng nhau qua gc ta O .

D. z1 1 2i .

D. Hai im A v B i xng nhau qua ng thng y x .

Cõu 26. Gi s M , N , P , Q c
cho hỡnh v bờn l im biu din
ca cỏc s phc z1 , z 2 , z 3 , z 4 trờn
mt phng ta . Khng nh no
sau õy l ỳng?
A. im M l im biu din s
phc z1 2 i.

y
2

N

Cõu 30. Gi A l im biu din ca s phc z 2 5i v B
l im biu din ca s phc z ' 2 5i . Mnh no sau
õy l ỳng?
M
A. Hai im A v B i xng vi nhau qua trc honh.
1 x

-1

B. Hai im A v B i xng nhau qua trc tung.

O
C. Hai im A v B i xng nhau qua gc ta O .
P

B. im Q l im biu din s
phc z 4 1 2i.
C. im N l im biu din s
phc z 2 2 i.
D. im P l im biu din s
phc z 3 1 2i.

-2

Q

D. Hai im A v B i xng nhau qua ng thng y x .
Cõu 31. Gi A l im biu din ca s phc z 4 7i v B
l im biu din ca s phc z ' 4 7i . Mnh no sau
õy l ỳng?
A. Hai im A v B i xng vi nhau qua trc honh.
B. Hai im A v B i xng nhau qua trc tung.
C. Hai im A v B i xng nhau qua gc ta O .
D.Hai im A v B i xng nhau qua ng thng y x .

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 15


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Cõu 32. Gi A l im biu din ca s phc z 3 2i v B Cõu 38. Trong mt phng ta , ba im A, B, C ln lt
l im biu din ca s phc z ' 2 3i . Mnh no sau õy biu din cho ba s phc z 1 i , z 1 i 2 v
2
1
l ỳng?
z 3 a i a . Tỡm a tam giỏc ABC vuụng ti B .
A. Hai im A v B i xng vi nhau qua trc honh.
A. a 3 .

B. a 2 .

C. a 3 .

D. a 4 .

B. Hai im A v B i xng nhau qua trc tung.
C. Hai im A v B i xng nhau qua gc ta O .

Cõu 39. Cho cỏc s phc z1 , z 2 , z 3 cú im biu din trờn mt
phng ta l ba nh ca tam giỏc u cú phng trỡnh ng

D. Hai im A v B i xng nhau qua ng thng y x . trũn ngoi tip x 20172 y 20182 1. Tng phn thc
Cõu 33. Trong mt phng ta , im biu din ca cỏc s
phc z 3 bi vi b luụn nm trờn ng cú phng
trỡnh no trong cỏc phng trỡnh sau:
A. x 3 .

B. y 3 .

C. y x .

D. y x 3 .

v phn o ca s phc w z1 z 2 z 3 bng:
A. 1.

B. 1.

C. 3.

D. 3.

Cõu 40. Cho tam giỏc ABC cú ba nh A, B, C ln lt l
biu
din
hỡnh
hc
ca
cỏc
s
phc
z1 2 i , z 2 1 6i , z 3 8 i . S phc z 4 cú im biu

Cõu 34. Trong mt phng ta , cho s phc z a a 2 i vi
din hỡnh hc l trng tõm ca tam giỏc ABC . Mnh no sau
a . Khi ú im biu din s phc z nm trờn trờn ng
õy l ỳng?
cú phng trỡnh no trong cỏc phng trỡnh sau:
A. Parabol x y 2 .

B. Parabol y x 2 .

A. z 4 5.

B. z 4 3 2i.

B. ng thng y 2 x .

D. Parabol y x 2 .

C. z 4 13 12i.

D. z 4 3 2i.

Cõu 35. Trong mt phng ta , cho ba im A, B, M ln

2

Vn 4. PHẫP CNG PHẫP TR HAI S PHC

lt l im biu din ca cỏc s phc 4, 4i , x 3i . Vi giỏ Cõu 41. ( CHNH THC 2016 2017) Cho hai s phc
tr thc no ca x thỡ A, B, M thng hng?
z1 5 7i v z 2 2 3i. Tỡm s phc z z1 z 2 .
A. x 1 .

B. x 1 .

C. x 2 .

D. x 2 .

Cõu 36. Xột cỏc im A, B, C trong mt phng ta theo th

A. z 7 4i.

B. z 2 5i.

C. z 2 5i.

D. z 3 10i.

t biu din ln lt cỏc s phc z1 2 2i , z 2 3 i v

z 3 2i . Mnh no sau õy l ỳng?

Cõu 42. Tỡm s phc w z1 2 z 2 , bit rng z1 1 2i v

z 2 2 3i .
A. Ba im A, B, C thng hng.
A. w 3 4i .

B. w 3 8i .

C. w 3 i .

D. w 5 8i .

B. Tam giỏc ABC u.
C. Tam giỏc ABC cõn ti A .
D. Tam giỏc ABC l tam giỏc vuụng cõn.
Cõu 37. Gi A, B, C ln lt l cỏc im biu din cỏc s
phc z1 1 3i ; z 2 3 2i ; z 3 4 i . Mnh no sau
õy l ỳng?

Cõu 43. Cho hai s phc z1 1 2i v z 2 2 3i . Xỏc nh
phn o a ca s phc z 3z1 2 z 2 .
A. a 11 .

B. a 12 .

C. a 1 .

D. a 12 .

Cõu 44. Cho hai s phc z1 1 2i v z 2 3 i . Tỡm im

A. Ba im A, B, C thng hng.

biu din s phc z z1 z 2 trờn mt phng ta .

B. Tam giỏc ABC u.

A. M 2; 5.

B. N 4; 3.

C. Tam giỏc ABC cõn ti B .

C. P 2;1.

D. Q 1;7 .

D. Tam giỏc ABC l tam giỏc vuụng cõn.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 16


Tài liệu toán 12

Cõu

Gi

45.

năm học 2018

A 3;1,

y
P

B 2;3 ln lt l im biu

3

din cỏc s phc z1 v z 2 .

M

Trong hỡnh v bờn im no
trong
cỏc
im
M , N , P , Q biu din s

-1 O

z,
phc
z1 z z 2 .

bit

Cõu 51. Tỡm s phc liờn hp z ca s phc z a bi .

Q

4

N

2
x
5

rng

A. z a bi .

B. z b ai .

C. z a bi .

D. z a bi .

Cõu 52. ( MINH HA 2016 2017) Cho s phc
z 3 2i. Tỡm phn thc v phn o ca s phc z .
A. Phn thc bng 3 v phn o bng 2i.

A. M .

B. N .

B. Phn thc bng 3 v phn o bng 2.

C. P .

D. Q.

C. Phn thc bng 3 v phn o bng 2i.

Vn 5. NHN HAI S PHC

D. Phn thc bng 3 v phn o bng 2 .

Cõu 46. Cho hai s phc z1 2017 i v z 2 2 2016i .

Cõu 53. Cho s phc z 1 2i . Trờn mt phng ta , im
no di õy l im biu din ca s phc liờn hp ca s phc
z.

Tỡm s phc z z1 .z 2 .
A. z 2017 4066274i .

B. z 2018 4066274i .

C. z 2018 4066274i .

D. z 2016 4066274i .

A. M 1 1;2 .

B. M 2 1;2.

C. M 3 1; 1.

D. M 4 1; 2 .

Cõu 47. Kớ hiu a, b ln lt l phn thc v phn o ca s phc

z 2 z1 z 2 vi z1 3 4i v z 2 i . Tớnh tng S a b 2.
A. S 1.

B. S 4.

C. S 0.

D. S 16.

Cõu 54. Tỡm s phc liờn hp ca s phc z i 3i 1 .
A. z 3 i . B. z 3 i . C. z 3 i . D. z 3 i .

Cõu 48. Phõn tớch z 27 i v dng tớch ca hai s phc. Mnh Cõu 55. ( MINH HA 2016 2017) Cho s phc
no sau õy l ỳng?
z 2 5i. Tỡm s phc w iz z .
A. z 3 i 8 3i .
C. z

1
3 i 8 3i .
2

B. z 3 i 8 3i .
D. z

Cõu 49. ( MINH HA 2016
2017) Cho s phc z tha món

1
3 i 8 3i .
2
N

2

y

A. im P .

B. im Q.

C. im M .

D. im N .

-1

O

P

-2

1

Q

C. w 3 7i.

D. w 7 7i.

sau õy l ỳng?
x

din ca z l im no trong cỏc
im M , N , P , Q hỡnh bờn ?

B. w 3 3i.

Cõu 56. Cho hai s phc z1 3 4i , z 2 4 3i . Mnh no

M

1 i z 3 i. Hi im biu

A. w 7 3i.

A. z1 z 2 .

B. z1 z 2 .

C. z1 i.z 2 . D. z1 i.z 2 .

Cõu 57. Cho s phc z 0 v l mt s thun o. Mnh no
sau õy l ỳng?
A. z i.z .

B. z i .z .

C. z z .

D. z z .

Cõu 58. Cho s phc z 0 v z z . Gi A, B ln lt l
Cõu 50. Cho hai s phc z m 3i v z ' 2 m 1 i . Tỡm im biu din ca s phc z v z . Mnh no sau õy l
ỳng ?
cỏc giỏ tr ca tham s thc m z .z ' l s thc.
A. m 2 hoc m 3 .

B. m 2 hoc m 3 .

A. A, B i xng nhau qua gc ta O .

C. m 1 hoc m 6 .

D. m 1 hoc m 6 .

B. A, B i xng nhau qua trc honh.

Vn 6. S PHC LIấN HP
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

C. A, B i xng nhau qua trc tung.
Page | 17


Tài liệu toán 12

năm học 2018

D. A, B i xng nhau qua ng thng y x .

A. P 2 .

2
Cõu 59. Cho s phc z tựy ý v hai s phc z 2 z , Cõu

A. T 5 .

B. , l cỏc s thun o.

Cõu 60. Cho s phc z 5 3i . Tỡm phn thc a ca s phc

1 z z .
2

C. a 33.



z a bi a; b

tha

B. T 8 .

C. T 1 .

D. T 1 .

1
2

A. w 6 i .

B. w 6 i .

C. w 6 i .

D. w 6 i .

Cõu 70. Gi S l tng phn thc v phn o ca s phc

D. a 33.

w z 3 i , bit z tha món z 2 4i 2 i iz . Mnh



2i . Tỡm phn no sau õy ỳng?
A. S 46. B. S 36 . C. S 56 . D. S 1 .

o b ca s phc z .
A. b 2 .

phc

s phc w z 2 z .

D. l s thun o, l s thc.

Cõu 61. Cho s phc z tha z i 2

s

D. P 2 .

Cõu 69. Cho s phc z tha món 1 i z 2iz 5 3i . Tỡm

C. l s thc, l s thun o.

A. a 22. B. a 22.

Cho

C. P 1 .

1 i z 3 i z 2 6i . Tớnh T b a .

z .z i z z . Hi khng nh no di õy l ỳng?

A. , l cỏc s thc.

68.

B. P 1 .

C. b 2 . D. b 2 .

B. b 2 .

Vn 7. Mễ UN CA S PHC

3
Cõu 62. Cho hai s phc z1 4 3i 1 i v z 2 7 i . Cõu 71. Gi M l im biu din ca s phc
z a bi a; b trong mt phng ta . Mnh no sau
Tỡm phn thc a ca s phc w 2 z1 z 2 .
õy ỳng?

A. a 9 .

B. a 2 .

C. a 18 .

D. a 74 .

Cõu 63. Cho s phc z tha món z 2.z 6 3i . Tỡm phn
o b ca s phc z.
A. b 3 .

B. b 3 .

Cõu 64. Cho s phc

C. b 3i .

D. b 2 .

z a bi a; b

B. S 4.

C. S 2.

B. OM a 2 b 2 .

C. OM a b .

D. OM a 2 b 2 .

Cõu 72. Gi M , N ln lt l hai im biu din s phc

z1 , z 2 trong mt phng ta . Mnh no sau õy ỳng?
tha món

iz 2 z 1 i . Tớnh S ab.

A. S 4.

A. OM z .

D. S 2.


A. z1 z 2 OM ON .


B. z1 z 2 MN .


C. z1 z 2 OM MN .


D. z1 z 2 OM MN .

Cõu 65. Cú bao nhiờu s phc z tha món z .z 10 z z v
Cõu 73. Mnh no sau õy l sai?

z cú phn o bng ba ln phn thc?
A. 0 .
Cõu

66.

B. 2 .
Cho

s

C. 1 .
phc

A. Hai s phc z1 v z 2 cú z1 z 2 0 thỡ cỏc im biu

D. 3 .

z a bi a; b

din z1 v z 2 trờn mt phng ta cựng nm trờn ng trũn
tha cú tõm l gc ta .

1 i z 2 z 3 2i. Tớnh P a b.
1
A. P .
2

B. P 1.

C. P 1.

1
D. P .
2

Cõu 67. Cho s phc z tha món z 2 3i z 1 9i . Gi
a, b l phn thc v phn o ca z . Tớnh P ab.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

B. Phn thc v phn o ca s phc z bng nhau thỡ im
biu din ca s phc z nm trờn ng phõn giỏc ca gúc
phn t th nht v th ba.
C. Cho hai s phc u, v v hai s phc liờn hp u , v thỡ

uv u .v .

Page | 18


Tài liệu toán 12

năm học 2018


z1 a bi a; b
D. Cho hai s phc
v


z

c

di
c
;
d





2


thỡ

z1 .z 2 ac bd ad bc i .

Cõu 81. Trong mt phng ta cho im M





2;3 . Mnh

no sau õy l sai?
A. im M biu din cho s phc cú mụun bng

Cõu 74. Cho s phc z z12 z1

2

vi z1 l s thun o. Mnh

11 .

B. im M biu din cho s phc z m cú z 2 3i .

no sau õy ỳng?
A. z l s thc õm.

B. z 0 .

C. z l s thc dng.

D. z 0 .

C. im M biu din cho s phc z 2 3i .
D. im M biu din cho s phc cú phn o bng

Cõu 75. Cho s phc z. Mnh no sau õy l ỳng?

Cõu 82. Tớnh mụun ca s phc z , bit z 4 3i 1 i .
A. z 25 2 .B. z 7 2 .C. z 5 2 .

2

A. z 2 2 z .

B. z 2 z .

Cõu 83. Gi M l im biu
din ca s phc z , bit tp
hp cỏc im M l phn tụ
Cõu 76. Cho s phc z tha món z z . Mnh no sau õy m hỡnh bờn (khụng k
biờn). Mnh no sau õy
l ỳng?
ỳng :
A. z l s thc khụng õm.
A. z 1.
B. z l s thc õm.
2

C. z 2 2 z .

D. z 2

2.

D. z 2 .
y

2

z .

x
O

1

2

B. 1 z 2.

C. z l s thun o cú phn o dng.

C. 1 z 2.

D. z l s thun o cú phn o õm.
Cõu 77. ( CHNH THC 2016 2017) Cho s phc

D. 1 z 2.

z 2 i . Tớnh z .
A. z 3 .

B. z 5 .

C. z 2 .

D. z 5 .

Cõu 84. Gi M l im biu
din ca s phc z , bit tp
Cõu 78. ( MINH HA 2016 2017) Cho hai s phc z1 1 i
hp cỏc im M l phn tụ
v z 2 2 3i. Tớnh mụun ca s phc z1 z 2 .
m hỡnh bờn (k c biờn).
Mnh no sau õy ỳng ?
A. z1 z 2 13. B. z1 z 2 5.
A. 1 z 2 v phn o
C. z1 z 2 1.

D. z1 z 2 5.

1
ln hn .
2

Cõu 79. Cho hai s phc z1 1 i v z 2 2 3i . Tớnh mụun
ca s phc z1 z 2 .
A. z1 z 2 17.

B. z1 z 2 15.

C. z1 z 2 2 13.

D. z1 z 2 13 2.

A. z 5.

C. z 4.

B. 1 z 2 v phn o

1
ln hn .
2
C. 1 z 2 v phn o

1
nh hn .
2
Cõu 80. Tớnh mụun ca s phc z , bit z tha món
iz 3 4i.
D. 1 z 2 v phn o
B. z 3.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

D. z 5 2.

- 0946798489

Page | 19


Tài liệu toán 12

năm học 2018

z1 , z 2 Tớnh din tớch S ca tam giỏc OAB vi O l gc ta

1
khụng ln hn .
2

.

Cõu 85. Mt hỡnh vuụng tõm l gc ta O , cỏc cnh song
A. S 12. B. S 6.
C. S 5 2.
song vi cỏc trc ta v cú di bng 4 . Hóy xỏc nh iu
kin ca a v b im biu din s phc z a bi nm
Cõu 90. Tp hp cỏc im biu
trờn ng chộo ca hỡnh vuụng.
din hỡnh hc ca s phc z l
ng thng nh hỡnh v.
A. a b 2.
B. a b 2.

D. S

25
.
2

y

1

Tỡm giỏ tr nh nht ca z .
C. a b 2.

x

D. a b 2.

O

1

A. z min 2.
Cõu 86. Gi M l im biu
din ca s phc z , bit tp
hp cỏc im M l phn tụ
m hỡnh bờn (k c biờn).
Mnh no sau õy ỳng ?

B. z min 1.
C. z min 2.
D. z min

A. z cú phn o khụng nh
hn phn thc.

1
2

.

Cõu 91. Tớnh mụun ca s phc w 1 i z , bit s phc z
2

B. z cú phn thc khụng
nh hn phn o v cú mụun
khụng ln hn 3.

cú mụun bng m .
A. w 4 m . B. w 2 m . C. w 2m . D. w m .

C. z cú phn thc bng
phn o.

Cõu 92. Tỡm phn o b ca s phc z m 3m 2i ( m l

D. z cú mụun ln hn 3.

tham s thc õm), bit z tha
y

Cõu 87. Cho ba im A, B, C ln lt biu din ba s phc món z 2 .

z1 , z 2 , z 3 vi z 3 z1 v z 3 z 2 . Bit z1 z 2 z 3

v

A

6
B. b .
5

z1 z 2 0. Mnh no sau õy l ỳng?

A. b 0.

A. Tam giỏc ABC vuụng ti C .

8
C. b . D. b 2.
5

B. Tam giỏc ABC u.

x

O
C

B

C. Tam giỏc ABC vuụng cõn ti C .
D. Tam giỏc ABC cõn ti C .
Cõu 88. Xột ba im A, B, C ca mt phng phc theo th t
biu din ba s phc phõn bit

z1 , z 2 , z 3

tha món

z1 z 2 z 3 v z1 z 2 z 3 0 . Mnh no sau õy l

Cõu 93. Cho s phc z tha 2 z 3 1 i z 1 9i .Tỡm phn
o b ca s phc z .
A. b 2.

B. b 3 .

C. b 2 .

D. b 3 .

ỳng?
Cõu 94. Tớnh mụun ca s phc z , bit z
A. Tam giỏc ABC vuụng.

B. Tam giỏc ABC vuụng cõn.

C. Tam giỏc ABC u.

D. Tam giỏc ABC

cú gúc

0

tha món

1 2i z 2 3i z 6 2i .
A. z 4.

B. z 2.

C. z 10. D. z 10.

120 .

Cõu 89. Cho cỏc s phc z1 , z 2 tha món z1 3, z 2 4 v

Cõu 95. Cho s phc z tha món 5 z 3 i 2 5i z .

z1 z 2 5. Gi A, B ln lt l im biu din cỏc s phc Tớnh P 3i z 1 .
2

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 20


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Cõu 105. Tớnh tng cỏc phn thc ca cỏc s phc z tha món

D. P 0 .

A. P 144. B. P 3 2. C. P 12.

z 1 1 v 1 i z i cú phn o bng 1 .

Cõu 96. ( CHNH THC 2016 2017) Cho s phc
z a bi a; b tha

z 1 3i z i 0 .

món

Tớnh

A. 2.

B. 1.

D. 0 .

C. 3.

S a 3b.
Cõu

7
A. S .
3

B. S 5.

7
D. S .
3

C. S 5.

Cõu 97. ( CHNH THC 2016 2017) Cho s phc z

106.

Cho

hai

s

z1 , z 2

phc

A.

3.

B. 2 3.

C. 3.

D.

bit z1 z 2 1 . Tớnh giỏ tr ca biu thc P z1 z 2 .

Cõu 98. ( CHNH THC 2016 2017) Cho s phc z
z 3 z 3 10i . Tỡm s phc

A. P

w z 4 3i.

3
. B. P 2.
2

2
.
2

C. P

D. P 3.

Cõu 108. Cho z1 , z 2 l hai s phc tha món z1 6, z 2 8

A. w 3 8i.

B. w 1 3i.

C. w 1 7i.

D. w 4 8i.

v z1 z 2 2 13. Tớnh giỏ tr ca biu thc P 2 z1 3 z 2 .

Cõu 99. Hi cú tt c bao nhiờu s phc z tha món z 1 2

A. P 1008. B. P 12 7. C. P 36.

D. P 5 13.

Cõu 109. Cho s phc z a bi a; b tha món iu

v z 2 l s thun o?
A. 0.

3
.
2

Cõu 107. Cho z1 , z 2 l hai s phc tha món 2 z i 2 iz ,

A. z 17 . B. z 17 . C. z 10 . D. z 10 .

z 5 v

món

z1 z 2 z1 z 2 1. Tớnh z1 z 2 .

tha món z 3 5 v z 2i z 2 2i . Tớnh z .

tha món

tha

B. 4.

kin z 2 4 2 z . t P 8 b 2 a 2 12. Mnh no

D. 3.

C. Vụ s.

di õy ỳng?
Cõu 100. ( CHNH THC 2016 2017) Cú bao nhiờu s
phc z tha món z 2 i 2 2 v z 1 l s thun o?
2

A. 0.

B. 4.

C. 3.

D. 2.



2





2



2

A. P z 2 .

B. P z 4 .

C. P z 4 .

D. P z 2 .

2

2

2

Cõu 101. Cú bao nhiờu s phc z tha món z z z 2 ?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

Cõu 110. Cho s phc z a bi a; b . Mnh no sau

D. 4.

õy l ỳng?

Cõu 102. Cú bao nhiờu s phc z tha món z 2 i 2 v

z i l s thc?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

A. z

2a b .

C. z 2 a b .

D. 3.

B. z

2a b .

D. z 2a b .

2
Cõu 103. Cho s phc z tha món zz 1 v z 1 2 . Tớnh Cõu 111. Xột s phc z tha món z 1 i z 2 1 i .
Mnh no sau õy ỳng?
tng phn thc v phn o ca z .

A. 0.
Cõu

104.

2

C. 1.

B. 1.


bao

nhiờu

s

A. z 2.

D. 2.
phc

z

tha

món

B. z 4 2.

C. 3 2 z 4 2. D.

2 z 3 2.

2

z 2 zz z 8 v z z 2 ?
Cõu 112. Xột s phc z tha món 2 z 1 3 z i 2 2.
A. 2.

B. 1.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

C. 3.

D. Vụ s.

- 0946798489

Mnh no sau õy ỳng?

Page | 21


Tài liệu toán 12

năm học 2018

x, y
3
1
3 Cõu 120. Tỡm cỏc s thc
z 2. D. z .
2
2
2
x 3 2i
2
y 1 2i 6 5i .
2 3i
Cõu 113. Tỡm mụun ca s phc z bit
z 4 1 i z 4 3 z i .
A. x 6; y 5 .
B. x 12; y 10 .

1
A. z .
2

B. z 2.

C.

A. z 1.

B. z 4.

C. z 2.

C. x 13; y 2 .

1
D. z .
2

tha

món

D. x 2; y 13 .

1
2
Cõu 114. Cho cỏc s phc z1 , z 2 tha món z1 2, z 2 2. Cõu 121. Tỡm phn o b ca s phc z , bit 1 i z z .
Gi M , N ln lt l im biu din cỏc s phc z1 , iz 2 sao
1
1
C. b .
D. b .
450 vi O l gc ta . Tớnh giỏ tr biu thc A. b 1. B. b 1.
cho MON
2
2
P z12 4 z 22 .
1
1 1
Cõu 122. Tỡm mụun ca s phc z , bit 2 i.
z
2 2
A. P 4 5. B. P 5.
C. P 5.
D. P 4.
Cõu

Cho

115.

ba

s

phc

z1 , z 2 , z 3

tha

món

A. z

z1 z 2 z 3 z1 z 2 z 3 z1 z 2 z 3 1 . Tớnh giỏ tr ca

biu thc P z12017 z 22017 z 32017 .
A. P 2017.

B. P 6051.

C. P 0.

Vn 8. PHẫP CHIA S PHC
Cõu 116. Tỡm phn o b ca s phc z

A. b

2
2
. B. b .
13
13

C. b

1
.
3 2i

Cõu 117. Tỡm s phc liờn hp z ca s phc z

A. z

1
3
i
.
2
2

C. z 1 i 3 .

2
.
1i 3

B. z 1 i 3 .

D. z

1
2
. B. z
.
2
2

C. z 4 2.

A. z 3 64 .



B.



2

3 i .

1 1
3

i.
z 8
8

D. z 2 2 3i .

Cõu 124. Cho ba s phc z1 , z 2 , z 3 phõn bit tha món
z1 z 2 z 3 3 v

1
1
1
. Bit z1 , z 2 , z 3 ln lt
z1 z 2
z3

c biu din bi cỏc im A, B, C trờn mt phng ta .

?
Tớnh gúc ACB
A. 60 .

B. 90 .

C. 120 .

1
z z vi
2i

z 5 3i .

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

C. b 3i .

y

món z 1 v im A trong

Cõu 119. Tỡm phn o b ca s phc w

B. b 6 .

D. 150 .

Cõu 125. Cho s phc z tha

1
3
.
i
2
2

hỡnh v bờn l im biu din
1 ca z . Bit rng trong hỡnh v
Cõu 118. Kớ hiu a, b l phn thc v phn o ca s phc
z bờn, im biu din ca s phc
1
vi z 5 3i . Tớnh tng S a b.
w
l mt trong bn im
z
1
1
M , N , P , Q . Khi ú im biu
A. S 2.
B. S .
C. S 2.
D. S .
17
17
din ca s phc w l:

A. b 0.

D. z 2.

Cõu 123. Cho s phc z 2 2 3i . Khng nh no di õy
l khng nh sai ?
D. P 1.

C. z

2
3
i. D. b .
13
13

4

A

M

x

N
O

P

1

Q

A. im M . B. im Q.
C. im N . D.im P .

D. b 3 .

- 0946798489

Page | 22


Tài liệu toán 12

Cõu 126. Cho s phc z
1
tha món z
v im
2
A trong hỡnh v bờn l im
biu din ca z . Bit rng
trong hỡnh v bờn, im biu
1
din ca s phc w l
z
mt
trong
bn
im
M , N , P , Q . Khi ú im
biu din ca s phc w l:

năm học 2018

y
M

N

B. Gúc phn t th II .

C. Gúc phn t th III .

D. Gúc phn t th IV .

xCõu 130. Cho s phc z

A
O

-2

A. Gúc phn t th I .

2

1 i 1 i

. Mnh no sau õy
1 i 1 i

l ỳng?
A. z .

Q

P

B. z cú s phc liờn hp khỏc 0 .

A. im M . B.im Q.

C. Mụun ca z bng 1 .

C. im N . D.im P .

D. z cú phn thc v phn o u khỏc 0 .

Cõu 127. Cho s phc z tha

2
v im A
2
trong hỡnh v bờn l im biu
din ca z . Bit rng trong
hỡnh v bờn, im biu din
1
ca s phc w
l mt
iz
trong bn im M , N , P , Q .
Khi ú im biu din ca s
phc w l
món

Cõu 131. Cho s phc z tha món 1 i z 1 5i 0 . Tớnh

y

Q

A z .z .

z

A

M
O

C. A 1 13 .

D. A 1 13 .

z
132.
Cho
s
phc
tha
món
2 1 2i
7 8i . Kớ hiu a, b ln lt l phn
2 i z
1 i

Cõu
P

thc v phn o ca s phc w z 1 i . Tớnh P a 2 b 2 .
A. P 13 .

C. im N . D. im P .

B. P 5 .

C. P 25 .

D. P 7 .

Cõu 133. Cho s phc z tha món 1 2i z 5 1 i . Tng
2

Cõu 128. Cho s phc z tha
hỡnh v bờn l im biu din
ca z . Bit rng trong hỡnh v
bờn, im biu din ca s phc
1
w
l mt trong bn im
iz
M , N , P , Q . Khi ú im biu
din ca s phc w l

B. A 13 .

N

A. im Q . B. im M .

món z 1 v im A trong

A. A 13 .
x

M

bỡnh phng phn thc v phn o ca s phc w z iz
bng:

y

A. 2.

A

N

B. 4.

C. 6.

x
O
P

Cõu 134. Cho s phc z tha món

D. 8.

1 i
1 i . im M
z 1

biu din ca s phc w z 3 1 trờn mt phng ta cú ta
l:

Q
A. M 2; 3 .

B. M 2;3 .

C. M 3; 2 .

D. M 3;2 .

A. im M . B. im N .
C. im P . D. im Q .

z 2 z 3i Cõu 135. Cho s phc z tha món z z 2 . Tớnh mụun
,
1 2i
z2 2
2
ca
s
phc
.
w

z

z
trong ú z l s phc tha món 2 i z i 3 z . Gi N
Cõu 129. Gi M l im biu din s phc

l im trong mt phng sao cho gúc lng giỏc Ox , ON 2

A. w 10 B. w 4

C. w 13

D. w 2 10 .

, trong ú Ox , OM l gúc lng giỏc to thnh khi quay
tia Ox ti v trớ tia OM . im N nm trong gúc phn t no?
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 23


Tài liệu toán 12

năm học 2018

Cõu 136. Cho s phc z tha món 1 2i z 3 i . Tớnh Cõu 143. ( CHNH THC 2016 2017) Cú bao nhiờu s
z
4
2
phc z tha món z 3i 13 v
l s thun o?
P z z 1 .
z 2
A. P 1.

B. P 13.

C. P 3.

Cõu 137. Cho s phc z tha món

D. P 10.

A. Vụ s.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

z
1
z 3 i .Khng Cõu 144. Cho s phc z tha món 3 4i z 4 8 . Trờn
1i
2
z

nh no sau õu ỳng?

mt phng ta , gi d l khong cỏch t gc ta n im
biu din s phc z . Mnh no sau õy ỳng?

A. S phc z cú phn thc bng 0.

9
A. d .
4

B. S phc z cú phn o bộ hn 0.

B.

1
5
1
1
9
d . C. 0 d . D. d .
4
4
4
2
4

C. S phc z cú phn thc ln hn phn o.
Cõu 145. ( TH NGHIM 2016 2017) Cho s phc z
D. S phc z cú phn thc bộ hn phn o.
z a bi a; b tha món

Cõu 138. Cho s phc
2

z
z

2iz

2 z i
1 i

a
0 . Tớnh t s P .
b

A. P 5 . B. P

3
.
5

3
C. P .
5

tha món 1 2i z
ỳng?
A.

D. P 5 .

10
2 i . Mnh no di õy
z

3
z 2.
2

1
C. z .
2

B. z 2.

D.

1
3
z .
2
2

Cõu 139. Gi S l tp hp cỏc giỏ tr ca tham s thc m s phc

z

m 1 2 m 1i
1 mi

Vn 9. LY THA N V O
l s thc. Tớnh tng T ca cỏc phn t
Cõu 146. Mnh no sau õy l ỳng?

trong S .
A. T 15.

B. T 3 .

C. T 1 .

A. i 2016 i .

B. i 2017 1 .

C. i 2018 1 .

D. i 2019 i .

D. T 2 3 .

Cõu 140. Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc m bỡnh phng s
phc z

m 9i
l s thc.
1 i

A. m 9 .

B. m 9 .

Cõu 141. Cho s phc z

Cõu147. im M biu din s phc z
C. m 9 .

D. m 3.

1
2

A. M 3; 4 . B. M 3; 4 . C. M 4;3.

D. M 4;3.

2017
i m
ta c
, trong ú m l tham Cõu 148. Thu gn biu thc P 1 5i 1 3i
1 m m 2i

s thc. Gi S l tp hp tt c cỏc giỏ tr ca tham s m sao
cho z i

3 4i
cú ta l:
i 2017

. Hi tp S cú tt c bao nhiờu phn t

A. P 2 2017 .

B. P 2 2017 i .

C. P 2 2017 i .

D. P 2 2017 i.

nguyờn?
Cõu 149. Mnh no sau õy l ỳng?
A. 1.

B. 5.

C. 2.

D. 3.
A. 1 i 4 .
4

B. 1 i 4i .

C. 1 i 16 .

D. 1 i 16 .

4

Cõu 142. Hi cú tt c bao nhiờu s phc z tha món z 1 v
8

z 1
l s thun o?
z 1

8

Cõu 150. Mnh no sau õy l ỳng?
A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. Vụ s.
A. 1 i

2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

2 2009 i .

B. 1 i

2018

2 2009 i .
Page | 24


Tài liệu toán 12

C. 1 i

2018

năm học 2018

D. 1 i

2018

2 2009 .

1 i
Cõu 157. Cho s phc z
1 i

2017

2 2009 .

Cõu 151. Tỡm s phc liờn hp z ca s phc z 1 i .

. Tớnh P z .z 7 .z 15 .

15

A. z 128 128i .

A. P i.

B. P 1 .

C. P i .

B. z i .

C. z 128 128i .

D. P 1 .

1 i
z
.
1 i
5

Cõu

D. z 128 128i .

158.

Cho

s

phc

Tớnh

S z 5 z 6 z 7 z 8.

Cõu 152. Tỡm phn thc v phn o ca s phc z 2 2i .
7

A. Phn thc bng 14 v phn o bng 14 .

A. b 1 .

D. Phn thc bng 210 v phn o bng 210 .
Tỡm

phn

o

b

ca

3

D. S 4 .

B. b 2 .

C. b 1 .

8

D. b 0 .

2i
Cõu 160. Cho s phc z tha món i z
. Gi a, b ln
1 i
8

w 1 1 i 1 i 1 i ... 1 i
2

C. S 3 .

16

C. Phn thc bng 210 v phn o bng 210 .

153.

B. S 1 .

1 i
1 i
Cõu 159. Tỡm phn o b ca s phc z

.
1 i
1 i

B. Phn thc bng 27 v phn o bng 27 .

Cõu

A. S 0 .

2018

A. b 21009 1 .

B. b 2 2019 1 .

C. b 21009 .

D. b 21009 1 .

s

phc

.

lt l phn thc v phn o ca s phc w 2 i z . Tớnh

S a b.
A. S 16 . B. S 16 .

B. S 2 1.

C. S 1 .

D. S 2 .

D. S 48 .

Cõu 161. Cú bao nhiờu s nguyờn n sao cho n i l mt s
4

Cõu 154. Thu gn s phc w i 5 i 6 i 7 ... i 18 cú dng nguyờn?
a bi . Tớnh tng S a b.
A. 2.
A. S 0.

C. S 32 .

B. 3.

C. 4.

D. Vụ s.

10

Cõu 162. Cú bao nhiờu giỏ tr m nguyờn dng thuc on
10

Cõu 155. Cho s phc z
s phc z

2017

2 6i
1;50 z
l s thun o?
3 i
m

1 i
. Tỡm phn thc v phn o ca
1i

A. 24.

A. a 1 .

C. Phn thc bng 0 v phn o bng i.

2

1
2024

.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

B. P

1
1012

2

D. P

.

B. a 16 .

C. a 1 .

D. a 16 .

1

.

A. b 2 2015 . B. b 21007 .

C. b 0 .

D. b 21007 .

Cõu 165. Cho s phc tựy ý z 1 .

.

1012

2

phc

Tỡm phn o b ca s phc w z 2 3i .

2024

.

s

2015

i
Cõu 156. Tớnh giỏ tr ca biu thc P
1 i

1

Cho

Cõu 164. Cho s phc z tha món z 2 3i 1 i 1 i

D. Phn thc bng 1 v phn o bng 1 .

2024

163.

z9 .

B. Phn thc bng 0 v phn o bng 1 .

2

D. 50 .

z
tha
món
2 z 12 i 3 i z 2i . Tỡm phn thc a ca s phc

A. Phn thc bng 1 v phn o bng 0 .

C. P

C. 26.

.
Cõu

A. P

B. 25.

Xột cỏc s phc
.

- 0946798489

i 2017 i
z 1

z 2 z v
2

2
z z
z z . Khi ú:
z 1
3



Page | 25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×