Tải bản đầy đủ

Bài 5 bất đẳng thức cauchy

Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải

TOANHOC24H

Tài liệu bài giảng

Bài 2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Giáo viên: Phạm Tuấn Khải

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Bất đẳng thức Cauchy


Nếu a,b là các số thực không âm thì a  b  2 ab . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b .

Nếu a, b, c là các số thực không âm thì a  b  c  3 3 abc . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a b c.
Một số hệ quả


Cho a, b, c, x , y, z là các số thực dương, ta có

1. 2(a 2  b 2 )  (a  b )2  4ab .
2. 3(a 2  b 2  c 2 )  (a  b  c )2  3(ab  bc  ca ) .
3. 9(a 3  b 3  c 3 )  (a  b  c )3  27abc .
4.

1 1
4
1 1 1
9
 
;   
.
a b a b a b c a b c

5.

a 2 b 2 (a  b )2 a 2 b 2 c 2 (a  b  c )2
 
;
  
.
x
y
x y
x
y
z
x y z

6. ax  by  a 2  b 2 . x 2  y 2 ; ax  by  cz  a 2  b 2  c 2 . x 2  y 2  z 2 .
7.

a 2  b 2  x 2  y 2  (a  x )2  (b  y )2 ;
a 2  b 2  c 2  x 2  y 2  z 2  (a  x )2  (b  y )2  (c  z )2 ;
a 2  x 2  b 2  y 2  c 2  z 2  (a  b  c)2  (x  y  z )2 .

II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
1) a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
2)



a 2 b2 c2
   a b c.
b
c
a

3)

a
b
c
1 1 1
 2  2    .
2
a b c
b
c
a

4)

a2
b2
c2
a b c



a b b c c a
2

5)

a 3 b3
c3


 a b c
bc ca ab

Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC

Trang | 1


TOANHOC24H

Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải

6) a 3  b 3  c 3  a 2b  b 2c  c 2a
7)

a 3 b3 c3
   a2  b2  c2
b
c
a

8)

a
b
c
1
1
1
 3  3  2  2  2
3
b
c
a
a
b
c

9)

a3
b3
c3
a 2  b2  c2



b c c a a b
2

10)

a3
b3
c3
a b c



b(a  b ) c(b  c) a(c  a )
2

11)

a3
b3
c3
a b c



(a  b)(a  c ) (b  c )(b  a ) (c  a )(c  b )
4

Ví dụ 2. 1) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 .
Chứng minh rằng

a2
b2
c2


 1.
a  2b b  2c c  2a

2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  3 .
Chứng minh rằng

a3
b3
c3
3


 .
b c b c c a 2

3) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1 .
Chứng minh rằng

1
1
1
3
 3
 3
 .
a (b  c) b (a  a ) c (a  b ) 2
3

Ví dụ 3. 1) Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng

1 1
4
 
.
x y x y

2) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nữa chu vi.
Chứng minh rằng

 1 1 1
1
1
1


 2     .
a b c 
p a p b p b

3) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  4abc . Chứng minh rằng

1
1
1


 1.
2a  b  c a  2b  c a  b  2c
Ví dụ 4. 1) Cho a,b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

a 2 b 2 (a  b )2
 
và từ đó suy ra
x
y
x y

a 2 b 2 c 2 (a  b  c )2
  
.
x
y
z
x y z
Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC

Trang | 2


TOANHOC24H

Khóa học bất đẳng thức – Thầy Phạm Tuấn Khải

2) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

1 2 3
9
  
.
a b c a  2b  3c

3) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  4abc . Chứng minh rằng

1
1
1


 1.
2a  b  c a  2b  c a  b  2c
Ví dụ 5. 1) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng ax  by  a 2  b 2 . x 2  y 2 và từ
đó suy ra ax  by  cz  a 2  b 2  c 2 . x 2  y 2  z 2 .
2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  3b  4c  26 . Chứng minh a 2  b 2  c 2  26 .
3) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  b  ca  3(a 2  b 2  1) . Chứng minh rằng
a 2  b2  c2  3 .
Ví dụ 6. 1) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh

a2  x 2  b2  y2  (a b)2  (x  y)2

và từ đó suy ra a 2  x 2  b 2  y 2  c 2  z 2  (a  b  c)2  (x  y  z )2 .
2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng
a2 

1
1
1
 b 2  2  c 2  2  82 .
2
a
b
c

Ví dụ 7. 1) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a  b)(b  c)(c  a )  8abc và từ đó suy
ra (a  b)(b  c)(c  a ) 

8
(a  b  c)(ab  bc  ca ) .
9

2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  1 . Chứng minh rằng
a3
b3
c3
3



.
2
2
2
4
a 1 b 1 c 1

Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC

Trang | 3



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×
x