Tải bản đầy đủ

MỘT số PHƯƠNG TRÌNH CHỨA LOGARIT và số mũ cần CHÚ ý

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA LOGARIT VÀ SỐ MŨ CẦN CHÚ Ý
CỦA TÁC GIẢ ĐOÀN TRÍ DŨNG

 x4  x3  x2 
x 1

0
Bài 1: Giải phương trình: ln  4
 x  x 2  1  x 2  x  3 x 2  2










x3  1 
x 1


0
Cách 1: Đánh giá: PT  ln  1  4

2

 x2  x  3 x2  2
x

x

1









Nếu x  1 , LHS > RHS, Nếu x  1 , LHS < RHS. Vậy x  1 .






x2 x2  x  1

Cách 2: Hàm đặc trưng: PT  ln
 x 2  x  1 x 2  x  1











 



 x2  2  x2  x  3

0

2
2
x x 3 x 2










x2
1
1
 ln  2


0
 x  x  1  x 2  x  3 x 2  2



 

 ln x 2 

1
2

x 2





 ln x 2  x  1 

1

 x  1.

2

x x 3





Bài 2: Giải phương trình: log2 2  x  3  2x 





Ta có PT  log2 2  x  3  2x 





 log2 2  x  3  2x 

x 3









2x  2  2  0





x 3

 10


 x
1
 1 
2
2 x 3
2 x  3 2  x  3 ln 2 
1

 



 10  x  3  2 x  3 

Xét hàm số f x  log2 2  x  3  2x 

f' x 

 x  2x  2  2 x  3  9



x 3
2
0
 10  x  1 

 x 3 2

2
x

2

2







x 3

x 3



x 3

.

Hàm số f  x  đồng biến và liên tục có f 1  0 , sử dụng đánh giá ta sẽ có x  1 là nghiệm
duy nhất.


Bài 3: Giải phương trình:



e x 3
 x 
 ln 
  ln 2
x 1
x 7
 x 2

x 3  10x 2  2x  8

4x

2

4





 3

x  10x 2  2x  8

Phương trình 
 1   ln x  ln x  2  ln x  3  ln x 2  1
 4x 2  4 x  7










 3

x  10x 2  2x  8


 1   ln x x 2  1  ln x  3
 4x 2  4 x  7










 x 3  10x 2  2x  8  4x 2  4


4x 2  4 x  7


















x 2

x 7
  ln x 3  x  ln 







 x  2  x 2  1 x  10  4 x  7


4x 2  4 x  7









   ln x




3






 x  ln 




























x 2

x 2




x 6
2
1  x  1 


x  10  4 x  7  


 x 2 
 ln x 3  x  ln 

4x 2  4 x  7












Ta thấy hàm đặc trưng: f t  ln t 3  t đồng biến.









Nếu x  2  x  x  2  f



x  2  f x  x  2 (Vô lý).

Nếu x  2  x  x  2  f



x  2  f x  x  2 (Vô lý).

Vậy x  2 .







3



3


 x 2



 x  2


x 2



3


 x  2





x 2  15  3x  2  x 2  8  ln x

Bài 4: Giải phương trình:
Ta có:

x 2  15  x 2  8 . Do đó: 3x  2  x 2  8  ln x  x 2  8  3x  2  ln x  0 .

2
2
2
 1 thì 3x  2  ln x  ln  0 (Vô lý). Vậy x  .
3
3
3

Mặt khác, ta thấy, nếu x 

Chú ý: Học sinh có thể chứng minh: ln x  x  1 .



Thật vậy, xét hàm số: f x  ln x  x  1



f' x 

1
1x
1 
 0  x  1 . Lập bảng biến thiên ta được: f x  f 1  0 .
x
x



Do đó: 0  3x  2  ln x  3x  2  x  1  x 
Từ điều kiện trên, ta có:



3
. (Điều kiện đánh giá chặt hơn).
4

x 2  15  3x  2  x 2  8  ln x



  x 2  15  4   3 x  1   x 2  8  3   ln x







x 1
x 1
 x  1 3 

  ln x  0


2
2
x 8 3
x  15  4 







x 1
3 x 2  15  11  x 
 x 1 

 ln x  0
2
 x2  8  3

x  15  4 







 8x 2  135

x 1
1
 x 1 

 11    ln x  0



 x2  8  3
x 2  15  4  3 x 2  15  x









A

x  1  A  0, ln x  0  LHS  0

2
Đánh giá:   x  1  A  0, ln x  0  LHS  0 .
3
x  1  LHS  0
Vậy x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.


  x  1  3  1 x  2
Xét hàm số f x    3  1 x  1   3  1 x  2 , ta có:
3  1 x

f ' x   3 ln 3 x  1 
 3  1  x 3 ln 3
Bài 5: Giải phương trình: 3x  1
x

x

2

x

2

x

x

x

2

x

x2  1

 x
  x

 f ' x  3x ln 3  x 2  1  x   3x 
 1  
 1
 2
  2



 x 1
  x 1





1  x  x2  1
 f ' x  3x  x 2  1  x   ln 3 
 0 . Vậy x  0 .



 
x2  1 
x2  1









Bài 6: Giải phương trình: log3 x  x  5  x  5  4 x  7  log2 1  x .





Ta có: log3 x  x  5  x  5  4 x  7  log2 1  x



 



 log3 x  x  7  4 x  7 







x  5  2  log2 1  x





x 7
1
  log2 1  x
 log3 x  x  9 

 x 7 4

x

5

2



 















Nếu x  9 thì log2 1  x  log3 x . Đặt t  log3 x  x  3t . Ta có:


log2  1 


 


3  t  1

t

 3

t

t

t
1  3 
t
  1  t  2  x  9 (Vô lý).
2   
 2   2 

Tương tự cho x  9 . Do đó ta kết luận x  9 .



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×