Tải bản đầy đủ

Nhìn bài toán dưới dạng hình động

NHÌN BÀI TOÁN DƯỚI DẠNG HÌNH ĐỘNG
Bài tập mở đầu: Cho hình bình hành BEFP nội tiếp tam giác ABC
( E ∈ AB; F ∈ AC ; P ∈ BC ). Biết S AEE = a; SCFP = b .
a) Tính S ABC theo a vµ b
b) Tìm diện tích lớn nhất của hình bình hành BEFP
c) Chứng minh rằng: S ABC =

AB
BC
.a +
.b
AE
CP

Lời giải(Hình 1):
- Kiến thức: Dùng tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình
phương tỉ số đồng dạng
a) Ta có các tam giác AEF, FPC, ABC đồng dạng nên:
S AEF EF BP
=
=

;
S ABC BC BC

SCFP CP
=
. Ta có:
S ABC BC

SCFP
S AEF
+
=1
S ABC
S ABC

Hay S ABC = ( a + b )

2

b) Ta có:
S BEFP = S ABC − S AEF − S FPC = 2 ab ≤ a + b ⇒ 4 ab ≤ a + b + 2 ab = ( a + b ) 2
⇒ 2.SBEFP ≤ S ABC ⇔ SBEFP ≤

Vậy: GTLN( SBEFP ) =

1
S ABC
2

.

1
S ABC ⇔ a = b
2
A

E

B


c)Từ kết quả S ABC = ( a + b ) ta có:

F

P

C

H×nh 1.

2

S ABC = a + b ⇔ S ABC =

S ABC
S ABC
AB
BC
.a +
.b ⇔ S ABC =
.a +
.b (đpcm)
a
b
AE
PC

Nhận xét: Nếu điểm F không thuộc đoạn thẳng AC, chẳng hạn F thuộc
tia đối của tia CA thì kết quả sẻ thay đổi như thế nào?


Ta có bài tập 1: Cho tam giác ABC. Điểm F thuộc tia đối của tia CA.
Kẻ FE //BC; FP //AB ( E ∈ AB; P ∈ BC ) . Đặt S ABC = S ; S AEE = a; S FPC = b .
a) Tính S ABC và S BEFP theo a và b
b) Chứng minh rằng: S =

AB
BC
.a −
.b
AE
CP

Lời giải(Hình 2):
a) Ta có hai tam giác AEF và FPC cùng đồng dạng với tam giác ABC
Ta có:
S AEF EF
=
;
S ABC BC

S FPc CP
=
. Suy ra:
S ABC BC

Hay S ABC = ( a − b )

S FPC EF − PC
S AEF

=
=1.
S ABC
S ABC
BC

2

Ta có: S BEFP = S AEF + S FPC − S ABC = a + b − (a + b − 2 ab ) ⇒ S BEFP = 2 ab
A

C

B

P

F

E

Hình 2

b) Từ kết quả : S ABC = ( a − b ) ta có:
2

S ABC = a − b ⇔ S ABC =

S ABC
S ABC
AB
BC
.a −
.b ⇔ S =
.a −
.b (đpcm)
a
b
AE
PC

*Nếu điểm F nằm trong tam giác ABC thì kết quả sẻ thay đổi như thế
nào ?
Bài tóan 2 : Cho tam giác ABC. Điểm F nằm trong tam giác ABC. Qua F
kẻ MN//BC;PQ//AB;IK//AC ( I , M ∈ AB; P, N ∈ AC ; Q, K ∈ BC ) .
Đặt S ABC = S ; S FQK = a; S PFN = b; S IMF = c .
a) Tính S ABC và S BEFP theo a, b và c
b) Tìm giá trị lớn nhất của tổng : S APFI + S MBQF + S NCKF theo a, b và c
AB

BC

AC

c) Chứng minh rằng: S ABC = FQ .a + FN .b + FI .c


Lời giải(Hình 3):
a) Dễ thấy các tam giác: FQK, PFN, IMF, ABC đôi một đồng dạng với nhau
nên ta có:
S FQK

+

S ABC

S PFN
S IMF QK FN MF QK KC BQ
+
=
+
+
=
+
+
=1
S ABC
S ABC BC BC BC BC BC BC

⇒ S FQK + S PFN + S IMF = S ABC ⇒ S ABC = ( S FQK + S PFN + S IMF ) 2

Vậy: S ABC = (a + b + c)2
b) Ta có:
S APPI + S MBQF + S NCKF = S ABC − (a + b + c) = (a + b + c) 2 − (a + b + c)
⇒ S APPI + S MBQF + S NCKF = 2 ab + 2 ac + 2 bc ≤ 2( a + b + c )
⇒ 3.( S APPI + S MBQF + S NCKF ) ≤ 2(a + b + c) + 2.( S APFI + S MBQF + S NCKF ) = 2 S ABC
2
S ABC
3
2
+ S NCKF ) = S ABC ⇔ a = b = c ⇔ F là trọng tâm
3

⇒ S APPI + S MBQF + S NCKF ≤

Vậy GTLN( S APFI + S MBQF
A
P
I
M

B

F

Q

N

K

C

Hình 3

c) Ta có:
S ABC = ( S FQK + S PFN + S IMF ) 2 ⇔ S ABC = S FQK + S PFN + S IMF
⇔ S ABC = S FQK . S ABC + S PFN . S ABC + S IMF . S ABC
⇔S=
⇔S=

S ABC
S ABC
S ABC
.S FQK +
.S PFN +
.S IMF
S FQK
S PFN
S IMF
AB
BC
AC
.a +
.b +
.c
FQ
FN
FI

? Ta tiếp tục thay đổi vị trí điểm F. Chẳng hạn cho điểm F ở ngoài tam
giác ABC và thuộc góc BAC. Ta có bài tập sau:


Bài tập 3: Cho tam giác ABC. Điểm F thuộc góc BAC và nằm ngoài tam
giác ABC. Qua F kẻ PQ//BC; EN//AB; MD//AC

( D, P ∈ AB; E , Q ∈ AC; M , N ∈ BC )

Đặt: S ABC = S ; S FNM = a; S DPF = b; S EFQ = c
a) Tính S theo a, b và c
AB

AC

BC

b) Chứng minh rằng: S = PD .b + EQ .c − MN .a
Lời giải(Hình 4):
a) Dễ thấy các tam giác FNM, DPF, EFQ, ABC đôi một đồng dạng nên:
S EFQ
S
S DPF
PF FQ MN MN + BM MN + NC MN
+
− FNM =
+

=
+

=1
S ABC
S ABC
S ABC
BC BC BC
BC
BC
BC
⇒ S ABC = S DPF + S EFQ − S FNM
⇒S=

(

b+ c− a

)

2

A

E
D
B

M

P

b)Ta có:
S=

(

b+ c− a

)

2

N

F

C

Q

Hình 4

⇔ S = b + c − a ⇔ S = S .( b + c − a )

S
S
S
AB
AC
BC
.b +
.c −
.a =
.b +
.c −
.a
b
c
a
PD
EQ
MN
AB
AC
BC
Vậy: S = PD .b + EQ .c − MN .a
=

? Nếu điểm F thuộc góc đối của góc BAC ta tìm được kết quả tương tự bài
tập 3
Bài tập 4: Cho tam giác ABC. Điểm F thuộc góc BAC và nằm ngoài tam
giác ABC. Qua F kẻ PQ//BC; EN//AB; MD//AC

( D, P ∈ AB; E , Q ∈ AC; M , N ∈ BC )

Đặt: S ABC = S ; S FMN = a; S DPF = b; S EFQ = c


AB

AC

BC

Chứng minh rằng: S = PD .a − EQ .b − MN .c
Lời giải(Hình 5):
Làm tương tự bài tập 3 ta có kết quả:
S=

(

a− b− c

)

2

AB

AC

BC

Từ đó suy ra : S = PD .a − EQ .b − MN .c
Q

F

P
D

E
A

M

C

B

N

Hình 5

Trở lại bài tập 3: Nếu MN, PQ, IK không đồng quy tại F mà đôi một cắt
nhau. Ta có bài tập sau.
Bài tập 5: Cho hình 6 dưới đây. Biết MN//AC; PQ//AB; EF//BC.
S IKH = So ; S MEH = S1 ; S PKF = S2 ; S IQN = S3 . Tính S ABC theo So ; S1 ; S 2 ; S3
A

A

P

M

P

M
I

I
E

B

K

F

Q

Hình 6
Lời giải(Hình 7):
Kẻ HE song song với PQ

N

H

E

H

C

B

F

K
Q

E

N

Hình 7

C


Các cặp tam giác IKH, MEH, PKF, IQN đôi một đồng dạng:
Ta có:

S IKH KH QE
=
=
;
S ABC
BC BC

S MEH EH BE
=
=
;
S ABC
BC BC

S PKF KF
=
;
S ABC BC

S IQN
S ABC

=

QN
BC

Cộng vế theo vế của các đẳng thức trên ta có:
S PKF
S IQN QE + BE + KF + QN 3QE + BC
S IKH
S
S
+ MEH +
+
=
=
= 3 IKH + 1
S ABC
S ABC
S ABC
S ABC
BC
BC
S ABC


S PKF
S IQN
S MEH
S
+
+
− 2 IKH = 1 ⇔ S ABC =
S ABC
S ABC
S ABC
S ABC

(

S1 + S 2 + S3 − 2 S0

)

2



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×