Tải bản đầy đủ

BO DE 09 NGUYEN HAM CUA CAC HAM SO VO TI 0050 0050 0079 to

o
B

L
n
To
a
Th
i
e
D
o
B
oa

L
an
To
i
Th
e

D
o
B

L
an
To
i

Th
e
D
o
B
oa
H

L

Ly

-

-

an

an

To

To

i

i

Th

Th



e

e

D
o
B

oa
H

L

Ly

D

e

www.moon.vn
o

Th
e
D
o

Th
i

i

To

To

an

an

-

-

an
To
i
Th

e

D

o

L
an
To
i
Th
e
D
o
B
oa
oa

H

Ly

-

To
an
i
Th
e
D
D
o

H

Ly

Ly

an
To
Th
i

D
e

B

oa

oa

1
5
5
7
ln x + + x 2 + x + + C .
4
2
2
2

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!
o

o

Ly

2

-

-

an
To

=

5  31

x+  +
4  16


2) Một số các dạng nguyên hàm vô tỉ thường gặp
i

2x + 1
+ C.
3

Th

D



H

H
Ly

= arcsin

5

dx+ 
4


o
B



2

i

1
3 
  −x+ 
2
2
  

dx
1
=
5
7
2
x2 + x +
2
2

oa



B

oa

H

2

e

e
o
B

1
=
2
2 x2 + 5x + 7

H

oa
H

Ly

-



D

D

o

B

I3 =

dx

dx =

x 2
a
x ± a ± ln x + x 2 ± a + C.
2
2

an

To

=

Th
i

9 
1
−x+ 
4 
2

2

1

dx+ 
2


To
an

Ly

an

dx



x2 ± a

Th
i

e

D

o

B

oa

H

oa

H

Ly

an
e

Th

=

( x 2 ± a) ∓ a

To

To

i

Th

e

B

o

D



-

2− x− x

2



= x x 2 ± a − I 3 ± a ln x + x 2 ± a ⇒ I 3 =

an

To
a

n



Ly
-

To
an
i
Th
e

= x x2 ± a −

oa

x2 ± a

-

-

2



dx



i

To

I2 =

H
Ly
an
To
i
Th
e
D
o
o

D



B

x 2 dx

H

dx



Ly

x 2 ± adx ± a





Th

B

e
D
o
B

B

→ I = x x2 ± a −
x 2 ± a 

x ±a
dx = a cos tdt
dx
I4 =
. Đặt x = a sin t ⇒ 
2
2
2
2
2
a2 − x2
 a − x = a − a sin t = a cos t
dx
a cos t dt
x

→ I4 =
= dt = t + C = arcsin + c.
2
2
a cos t
a
a −x
Một số ví dụ minh họa:
dx
d ( x + 2)
I1 =
=
= ln x + 2 + x 2 + 4 x + 10 + C.
2
2
x + 4 x + 10
( x + 2) + 6

i
Th
e

oa

an

Th
i

i

D

o

xdx

oa

H

Ly



H



e

x 2 ± a dx.

Ly

dx
d (x + t)
=
= ln x + x 2 ± a + C
t
x+t
To

x ±a



x ±a

xdx
dx dt dx + dt d ( x + t )

→ = =
=
t
t
x
x+t
x+t

n

=

2

=

2

To
a

dx

xdx

-

-

Ly

H

. Đặt t = x 2 ± a ⇒ dt =

-

To
i
Th
B

e

D

B



oa



Th

an





o

o

Ly

x ±a
2

To
Th
i

I3 =

e
D

o

B

oa

-

To
an

i

Th

Th

e

D

D

o

B

B

H
oa

dx



H

Ly

Ly

an



i





D

= ln u + u 2 ± a + C

2

To

To

an



= x x2 ± a −

o

D
o

o
B
oa

H

du



-

2


2
u = x ± a ⇒ du =
Đặt 
dv = dx ⇒ v = x


B

e

D
e

e

o

D

Ly

-

x ±a

= ln x + x 2 ± a + C 


u ±a
x
a
I3 =
x 2 ± a dx =
x 2 ± a ± ln x + x 2 ± a + C.
2
2
dx
x
du
u
I4 =
= arcsin + C 

= arcsin + C
2
2
2
2
a
a
a −x
a −u
Chứng minh:
xdx
d ( x 2 ± a)
1 d ( x 2 ± a)
I1 =
=
=
= x 2 ± a + C.
2
2
2
2
2 x ±a
x ±a
x ±a

i
Th
e

B

oa



x ±a
dx

Khi đó, I 2 =

e

an

an

Th

Th

i

i

To

To

Thầy Đặng Việt Hùng

= x 2 ± a + C.

2

H

I2 =

xdx

Ly

Ly

-

-

an

an
To
i
Th
e
D

o

B



I2 =

D

H

H
Ly

Ly
-

09. NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM VÔ TỈ



o

oa

H
oa

oa

oa
H

Tài liệu bài giảng:

1) Các công thức nguyên hàm vô tỉ cơ bản thường gặp
I1 =

D

D
o
B

B

B

o

o

D

D

D

o

B

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng


o

L

Ly

-

-

To
a

n

an

Th
i
e
D

L
an
To
i
Th
e
D
o
B

oa

H

L
an
To
i
Th
e
D
o
B

oa
H

L

Ly

an
To
i
e
D

)

− 3 x + 1 dx
H

x2 − 4

oa

2

o

dx

B

x − 3x + 2

(2x

Th

To
an

-

o
B

dx

2

L

Ly

e

e

B

B

o

o

D

D

D

o

B

Th

Th

i

i

To

To

an

an

-

-

i
Th
e

e

o

oa

H

Ly

-

Ly

-

To
an

i
Th
i

Th

e



9)

H

2 − 2x − x2

D

o

x2 − 2x
3x − 2



6)

To
an

-

To

oa

( 2 x − 3) dx

H

H

-

-

an

an

D

e

www.moon.vn
o

Th
e
D
o

Th
i

i

To

To

To

i
Th

e

D

o

L

Ly

Ly

-

an

an

To

Th
i

D
e

oa

oa

oa

H

Ly

-

-

an

To

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!
o

D
D

D

o

B

dx

ax 2 + bx + c

B

oa



x2 − 2 x + 2

Ly



x + x −1
2



Ly

H

o

B

oa
e

oa
Ly

8)

2x + 1

B

To

an

To

i

Th

e

e

D

o

B

oa

H

H

3)

dx





i
Th

i

Th

e

D

o

B

oa

H

Ly

Ly
an
To



x2 − x + 1

Th
i

Cách giải:

=

1
7

x−  +
4
16



Th
i

5)

2x −1

dx

∫ ( mx + n )
an

-

an

To
i
e

=

ax + bx + c

Ly

e

D

o

an
i
Th



e

2)

D
o

B

dx

H

x2 + x − 2

2

oa

H

Ly

oa

x2 + 2 x − 1

dx

Ly



x − x +1
2

H



To

To
a
i



x 2 − 3x + 4



B

B

oa

H

Ly

n

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
dx
1)
2
x − 2x + 2

D
D

dx

2

-

-

an

To

dx
1
3
=
2x2 − x + 1 −
x 1 2
4 2
x2 − +
2 2



1

dx− 
4




Th
i

Th

D

e

2



1
dt
1 n
Đặt mx + n = ⇒ mdx = − 2 ; x =

t
mt m
t
du

= ln u + u 2 ± a + C

2
u ±a
Thay vào ta được I = g (t )dt 
→
.

du
u
= arcsin + C

2
2
a
 a −u
Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau

o

B

H

oa

H
oa
To

To
an

i

Th

e

D

o

oa

Ly

-

To
a

n



i



o

e

Th
i

To

an

-

Ly

H

H
oa



Dạng 2: Nguyên hàm I =

B







B



1
3
1
x 1
2x2 − x + 1 −
ln x − + x 2 − + + C.
2
4
2 2
4 2

e

Th

i

Th

o

oa

H

Ly

an

To

i

Th

e

D

B

o







7)

Th

bm 

+n −

2a 
ax + bx + c 
2

-

-

an

To



1 d (2 x − x + 1)
3

2
2 2 2x − x + 1 4 2

4)

e

( 2ax + b ) dx

B

B

oa

Ly

H



i
Th
e
D

o

B

B

o

D

=

o



D
e

e

D

D

o

B



o





B

an

an

To

i

Th



m d (ax 2 + bx + c) 
bm 
dx
m
+n −
=
ax 2 + bx + c + J

a 2 ax 2 + bx + c 
2a  ax 2 + bx + c a
dx
Trong đó, J =
thuộc một trong số các dạng nguyên hàm đã đề cập ở trên.
2
ax + bx + c
Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau
2x + 3
x −1
a) I1 =
dx
b) I 2 =
dx
x2 − 2 x + 4
2 x2 − x + 1
Hướng dẫn giải:
(2 x − 2) + 5
(2 x − 2) dx
dx
d ( x 2 − 2 x + 4)
dx
a) I1 =
+5
=2
+5
=
dx =
2
2
2
2
2
2 x − 2x + 4
x − 2x + 4
x − 2x + 4
x − 2x + 4
x − 2x + 4
d ( x − 1)
= 2 x2 − 2 x + 4 + 5
= 2 x 2 − 2 x + 4 + 5ln x − 1 + x 2 − 2 x + 4 + C.
2
( x − 1) + 3
1
3
(4 x − 1) −
x −1
1 (4 x − 1)dx
3
dx
4
4
b) I 2 =
dx =
dx =

=
2
2
2
2
4
2x − x + 1
2x − x + 1
2x − x + 1 4
2x − x + 1
=

D

Ly

Ly

-

-

an

To



=

o

dx

H

ax 2 + bx + c

Cách giải:
Phân tích tử số chứa đạo hàm của mẫu ta được
m
bm
2ax + b ) + n −
(
mx + n
2a dx = m
I=
dx = 2a
2
2
2a
ax + bx + c
ax + bx + c

i
Th
e

oa

mx + n



Ly

H

oa

Dạng 1: Nguyên hàm I =

D

D
o
B

B

B

o

o

D

D

D

o

B

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng


o
B

oa
H

L

Ly

To
a
Th
i
e
D
o
B

oa

L

H

To

an

Ly
-

an

To

i

i

Th

Th

e

e

D

D

o
B
oa

H

To

D

e

dx

o

x4 + 2 x2 − 1

Th

i

dx

an

-

L

Ly
To
an
i
Th
e
D
o

dx
B

B

oa
H

H

an
To
i

Th

e
D
o
B
oa
H

L

Ly

-

-

an

an

To

To

= 2 J − 3ln x + x 2 − 1

L
an
To
Th
i

e

D

e
D
o

www.moon.vn
o

Th

Th

i

i

To

To

an

an

-

-

Ly

Ly

H

H

oa

oa

B

B

o

o

D

D

e

e

Th

Th

i

i

i

Th

e

x −1
2

e

D

L

Ly
To
an

i

Th

e
D

To
an

dx

D

o
o

ax 2 + bx + c

o

x2 − 4

B

oa

H

Ly
an
To
Th
i

dx

B

oa

( 2 x + 1) dx

∫ ( x + 1)

Ly

Ly

-

an

To

Th
i

e

D

B

D
e

x 2 + 3x + 2

∫ ( mx + n )

H

H

b) I 2 =

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!
o

dx

đã xét đến ở phần trên.

Hướng dẫn giải:

o

oa

H
Ly
an
To

∫x

Ly

ax 2 + bx + c

1

x =2−
1 
t
. Đặt 2 − x = ⇒ 
t
x2 − 1
 dx = dt

t2

i

6)

-

an

To

Th
i

e
D

o

oa

oa

H

∫ (2 − x)

∫ ( x − 1)

An 

+B−

m 
ax 2 + bx + c 
dx



dx

∫ ( mx + n )
B

và I 2 =

ax 2 + bx + c

Ly

D

o

dx

3)

oa

oa

H

-

an

To

i

Th

e
D

o

B



dx

-

an
To
i

a) Ta có

Xét J =

n

an

i

Th

e

To

Th
i

e

D
o
B

x2 − 4 x − 3

dx

( 3x − 4 ) dx = 2 − 3 ( 2 − x ) dx = 2
dx
I1 = ∫
− 3∫


( 2 − x ) x2 − 1 ( 2 − x ) x2 − 1
( 2 − x ) x2 − 1

e

Th

dx

Ly

Ly

-

To
a
i



dx

dx

ax 2 + bx + c

Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau
( 3 x − 4 ) dx
a) I1 =
(2 − x ) x2 − 1

Th

D

o

∫ ( x + 2)

x2 − x + 1

=

1 − 9t 2 − 4t

o

Ly

5)

an



-

2x −1

2)

dt



1
 9t + 2 
= − arcsin 
 + C.
3
 13 

H

H
B

H

oa

Ax + B

∫ ( mx + n )

n



1 9t

−t
4 4

oa

oa

 13   2  2

 − t + 
 9   9

n
To
a

dx

=−

B

2

Cách giải:
Ta phân tích tử số chứa (mx + n) như sau:
A
An
( mx + n ) + B −
Ax + B
m dx = A
I=
dx = m
m
( mx + n ) ax 2 + bx + c
( mx + n ) ax 2 + bx + c



2

i



D

x2 − 2x + 2

e

Th

1
3

i
Th

e

dx
o

o

=−

 2
d t + 
 9

Ly

Ly

-

Th
i

To

an



dt



Th

e
D

13  2 
− t + 
81  9 

2

o

dt



B

1
3

H
oa

1 2 4
−t − t
9
9

=−

Các nguyên hàm I1 =

e

oa
H

Ly

-

To
an

an

To

i

Th

e
B

o

dt



∫ ( 2 x + 1)

D

e

B

B
oa

H

Ly

-



D

D

o

B

1
3

B
D

To

To

i

Th

D
e

o

o

B
oa

H

Ly

-

an

To
i
e

Th

2

1 1

dt
x= −

1 
1
2t 2
2t 2
b) Đặt 2 x + 1 = ⇒ 

→ I2 = −
=−
2
t
2
 dx = − dt
1  1 1
 1 1
2

+
3


1





2t
t  2t 2 
 2t 2 

Dạng 3: Nguyên hàm I =

o

-

-

an

an

To

i

Th

e

D

D

o

B



4)

B



2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
dx
1)
( x − 1) x 2 − 2 x + 2

B

H
oa

H
Ly

-

-

an

To



1
1
 1 
= − ln t + t + 1 = − ln
+ 
+ 1 + C.
 +
2
x +1
x +1
 x +1
1+ t
dt

=−

D

x2 + 3x − 1

Hướng dẫn giải:
1

dt
dt
x = −1
2
1 
t
t
t2
a) Đặt x + 1 = ⇒ 

→ I1 = −
=−
=
2
2
t
 dx = − dt
1 1 
1
1
1
1






 − 1 + 2  − 1 + 2
 − 1 + 2  − 1 + 2
t2

t t 
t
t
t
t








o

dx

∫ ( 2 x + 3)

Ly

oa

H

x2 + 2 x + 2

i
Th
e

b) I 2 =

oa

dx

∫ ( x + 1)

Ly

a) I1 =

D

D
o
B

B

B

o

o

D

D

D

o

B

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng


o
B

oa

H

n
To
a
Th
i
e
D

L
an
To
i
Th

D

L
an
To
i
Th
e
D
o
B

oa
H

L

Ly

-

-

To

an

To
an

i

i

Th

Th

e

e

D

D

o

o

B

B

oa
H

an

an

a+b
( a + b)

x+
 + ab −
2
4



To

To

2

oa
H

Ly

L
-

-

an

an

To
Th
i

D

e

www.moon.vn
o

e
D
o

o

D

e

Th

Th

i

i

To

To

)

)

Ly

(

= ln x + a + x + b + 2 ( x + a)( x + b) =
-

2

an

)

H

oa

B

B

o

o

D

D

e

e

Th

Th

i

i

i
Th
D

a+b
+ ( x + a )( x + b) + C
2

x+a + x+b

L

Ly
-

dx
2

e

-

an

To

Th
i

D
e

o

To

(

o

oa
H
Ly
To
an
i
Th
e
D
o
B

oa
oa

H
Ly



To
an

=

-

x + ( a + b ) x + ab

H

Ly

(

=

x2 − 2 x + 3

H
Ly
an

To
Th
i

dx
2

oa

oa

H

Ly

-

an

)

2

B

B

oa

H

Ly

-

an

To
Th
i

e
D

( x + 2 ) dx

)

o

= ln x +

x + a + x + b = ln

o

oa
H
Ly
an
To
i
D

o

4  1
− t + 
9  3

x + a + x + b + C.

a+b


= ln 2 x + a + b + 2 ( x + a)( x + b) = ln  x +
+ ( x + a )( x + b)  + ln 2
2


Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

i
Th
e
D

o

(

B

Th

o
e

dt

3∫

a+b
(a + b)2

x
+
+
ab



2 
4

Bình luận: Thoạt nhìn, ta tưởng hai cách giải cho hai đáp án khác nhau, nhưng không phải vậy.
Thật vậy, 2ln

L

Ly

To
i
Th
e
D

1

∫ ( x + 1)

3)

e
D

o

(

B

2

B

oa

H

Ly

-

To
an

i

Th

e

D

o
o

e

D



o

=

B

D

B

oa

To



Th
i

i
Th
e

a+b

dx+

2 


=−

dx
dx
1 x+a + x+b
dx
2dt
+
=
dx 

=
t
2 x + a 2 x + b 2 ( x + a )( x + b)
( x + a)( x + b)

H

Ly

-

an

-

To

an

dx
=
( x + a )( x + b)



dt

x −4

1 2
− t − t2
3 3

B

oa
H
Ly
an

To

i
Th
D
o

B

Ly

H

oa



Cách 2: Ta có I =

o

( x + 2 ) dx
∫ (1 − x ) x2 + 1

5)

dx
2dt
=
= 2ln t + C = 2ln
t
( x + a)( x + b)



= 2ln x + x 2 − 4 + K

2

x 2 − 3x + 2

dx
( x + a )( x + b)

Cách 1: Đặt t = x + a + x + b ⇒ dt =
Khi đó, I =

∫ ( x − 1)

e

Cách giải:



( 2 x − 1) dx

o

B

oa

H

Ly

-

n
To
a
i
Th
e

dx

∫ ( x + 1)

B

D

D

o

B
D

+

oa

H

Ly

-

n

To
a

i

Th

e

e

Th
i

( 2 x − 3) dx
∫ ( 2 x − 1) x2 + 2



3

2
4 1
+ t2 − t + + C
3
3 3

ln t −

e

an

i

D
e

o

B

H

Ly

-

an

H
oa

Ly

-

an

To

1
 3t + 1 
arcsin 
 + C.
3
 2 

2)

Dạng 4: Nguyên hàm I =

o

x −4
2

To

i

Th

B

B

o

o

D

e



BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
( 2 x + 3) dx
1)
( x + 1) x 2 + 2 x + 2

B

dx

oa

oa

H

-

an

To
i
Th
e
D



Khi đó, I 2 = 2ln x + x 2 − 4 −

1

 2 1
t −  −
 3 9

Th

Th

e

D

o

B

o

B

Ly





4)

=

2

 1
x = −1
dx
1 
t
Xét K =
. Đặt x + 1 = ⇒ 
2
t
( x + 1) x − 4
 dx = − dt

t2
dt
dx
dt
1
t2
⇒K =
=−
=−
=−
2
3
1 − 2t − 3t 2
( x + 1) x 2 − 4
1 1 

1

4


t t 
 1
d t + 
1
1
 3t + 1 
 3
=−
=−
arcsin 
+C
2
2
3
3
 2 
 2  1
  − t + 
 3  3



dt

To

To

i

i
D

( 2 x + 1) dx = 2 ( x + 1) − 1 dx = 2
∫ ( x + 1) x2 − 4 ∫ ( x + 1) x2 − 4




B

3∫

-

-

4 1
t2 − t +
3 3

1

2
2
4 1
ln t − + t 2 − t + − 3ln x + x 2 − 1 + C .
3
3 3
3

Khi đó ta được I1 =

b) Ta có I 2 =

=

an

dt

3∫

H
oa

1

=

Ly

3t − 4t + 1
2

-

oa
H

dt



an

an
To

1

 2 −  −1
t 
t

e

Th

=

2

Ly

oa

H

∫1

Ly

⇒J=

dt
t2

D

D
o
B

B

B

o

o

D

D

D

o

B

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng


D

D

o

o

B

B

B

B

o

o

D

D

D

o

B

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

H

n
To
a

Th
i
e

L
an
To
i
Th
e

L
an
To
i
Th
e
D
o
B

L
an
To
i
Th
e

L
an
To
e
D

D

i



Th

9)

B

o

x

H

oa

dx

x2 + 6 x + 8

L

Ly

-

-

D

e

www.moon.vn
o

Th
e
D
o

Th
i

i

To

To

an

an

an
To
i
Th

e

D

o

oa
H

an
To

∫ x( x + 1) dx

Th

6)

3

-

an
To
Th
i

D
e

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!
o

∫1+

o
H

oa

B

B

(2 x + 1)2 − 2 x + 1

dx
x +1

e

i

i

o

x
dx
x−3x
dx
3

Ly

Ly

3)

dx
( x + 3)( x + 5)

Ly

H
Ly

Th

oa



8)

e



x +1
dx
x−2
D

5)

B

oa

Ly
an
To
i
Th
e

∫x

o

dx
x+4x
dx
3
x + x + 24 x
H

D

Th
i



2)

e

7)

1
dx
x +1

D



o

B

To

To
i
Th

4)

e

∫1+

dx
oa

oa
H



To
an

an

9)

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP VỀ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ
1)

x2 + 1

0

Ly

x2 − 5 x + 6

x3

∫ x+

6)

D

i

−1
1

dx
x+4+ x+2

o

D
o
B



B

e

e

Th

Th
i

0

3)

dx



-

To
an

an
To

8)

H

)

D

o

oa
H
Ly

dx

D

To
an

i

Th

e

D

B

o

oa

( x + 2)3 − ( x − 3)3 + C .

H

Ly

-

)

(

(2 x + 1)3 + (2 x + 5)3 + C.

2

B


1

an

(

x
dx
x+2 + 2− x

-

Ly

x+9 − x



D

o

B

o

B

oa

Ly
-

e

D

o

To
i
Th

e

D

o

5)

oa
H

3

-



1
6

2
15

dx
x +1 + x −1

1
2

B

B

0

0

2

2)

x
dx
2+ x + 2− x

1

7)

)

an

n
To
a



x + 2 − x − 3 dx =

2 x + 1 + 2 x + 5 dx = −

-

Ly

1

H

H

Ly

-

2x + 1 + 2x + 5

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1
dx
1)
x +1 + x
0

)

1

oa

∫ ( 2 x + 1) − ( 2 x + 5) dx = − 4 ∫ (

oa

c) I 3 =



B

x+2 − x−3

∫ ( x + 2) − ( x − 3) dx = 5 ∫ (

-

dx
=
x+ 2 + x−3



i
Th
e

an

Th
i

i

Th

B

o

D

e



b) I 2 =

o

D

To

To
a

To
Th
i

B

o

D

e



2

D

oa

H

H

H
Ly

Ly
n

an

1 1
1 
1  x −1 + x − 2 
dx
2dt
Đặt t = x − 1 + x − 3 ⇒ dt = 
+
=
 dx ⇔
 dx = 
2  x −1
2  ( x − 1)( x − 3) 
t
x −3 
( x − 1)( x − 3)
dx
dt
Khi đó, I1 =
=2
= 2ln t + C = 2ln x − 1 + x − 3 + C.
t
( x − 1)( x − 3)

4)

o

Ly

Th

e

D

o

B

oa

oa

H

dx
.
( x − 1)( x − 3)

-

an

To

i

i

Th

e

D

o

B

B



-



-

Ly

Cách 2: I1 =



L

Ly

-

an

To
i
Th
e

D

o

oa

Ly

-

To

i

Th

D

o

H
oa





To
an

an

-



e



)



H

H

Ly

Ly

To

an

-



i
Th
e

(∫

oa



H

oa



B

B

B

o

o

o

B
D

o

B

oa

H
oa

Ly

-

an

To
i
Th

Cách giải:
Các nguyên hàm dạng này được giải đơn giản bằng phép trục căn thức.
dx
x+a ∓ x+b
1
Thật vậy, I =
=
dx =
x + a dx ∓
x + b dx
a −b
a −b
x+a + x+b
Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau
dx
dx
dx
a) I1 =
b) I 2 =
c) I 3 =
2
x+2 + x−3
2x + 1 − 2x + 5
x − 4x + 3
Hướng dẫn giải:
dx
a) I1 =
2
x − 4x + 3
dx
dx
d ( x − 2)
Cách 1: I1 =
=
=
= ln x − 2 + x 2 − 4 x + 3 + C.
2
2
2
x − 4x + 3
( x − 2) − 1
( x − 2) − 1
D

D

dx
x+a ± x+b

D
e

Th

i



e

e

Th

i

Dạng 5: Nguyên hàm I =

To

To

an

an

-

-

Ly

Ly

H

H

oa

oa

 
a+b
′  
a+b

 ′
Và rõ ràng, ln  x +
+ ( x + a )( x + b)  + ln 2  = ln  x +
+ ( x + a )( x + b)  
2
2


 
  
Như vậy, thực chất hai cách giải đều cho cùng một phép toán, có chăng, đó là sự khác biệt trong việc tính đạo hàm
cuối cùng để kiểm tra!!!



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×