Tải bản đầy đủ

BO DE 06 KI THUAT DONG NHAT TIM NGUYEN HAM 0040 0040 0069

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tài liệu bài giảng:

06. KĨ THUẬT ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng

1) Khái niệm về phân thức đơn giản

Một phân số được gọi là đơn giản nếu nó có một trong các dạng sau

k
k
mx + n
mx + n
;
;
;
, ( b 2 − 4ac < 0 )
n
2
2
ax + b ( ax + b)
ax + bx + c (ax + bx + c)n

Ví du 1: Các phân thức sau được gọi là phân thức đơn giản
1
2
2
5
5
;
;
;
;
4
2
2
x + 1 3x − 1 (2 x + 3)
x + 3 x + 10 (2 x + x + 4)3

Ví du 2: Các phân thức sau chưa được gọi là phân thức đơn giản

1
;
x −1
2

2
...
2x + x − 3


2

2) Quy tắc đồng nhất
Xét phân thức

P( x)
. Ta xét một số trường hợp có thể xảy ra
Q( x)

TH1: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ...( x − xn )

Khi đó

A3
An
A
A2
P( x)
P( x)
luôn được phân tích được dưới dạng
= 1 +
+
+ ... +
Q( x)
Q ( x) x − x1 x − x2 x − x3
x − xn


→ P( x) ≡ A1 ( x − x2 )( x − x3 ) .. ( x − xn ) + A2 ( x − x1 )( x − x3 ) ...( x − xn ) + ... An ( x − x1 )( x − x2 ) ...( x − xn −1 )
Bằng phép đồng nhất hệ số tương ứng ta tìm được các giá trị A1; A2…
Ngoài ra, chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp gán các giá trị đặc biệt.

Ví dụ 1: Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản
2x − 1
x2 + x + 1
a)
b)
3 x2 + 2 x − 5
x x2 − 4

(

)

Hướng dẫn giải
2x −1
2x −1
A
B
a) Ta có 2
=
=
+

→ 2 x − 1 ≡ A(3 x − 5) + B( x − 1),
3 x + 2 x − 5 ( x − 1)(3x + 5) x − 1 3x − 5
+ Phương pháp hệ số bất định:
1

 A = − 2
2 = 3 A + B
Đồng nhất hệ số tương ứng của (*) ta được 
⇔
−1 = −5 A − B
B = 7

2
2x −1
−1
7
Khi đó 2
=
+
3 x + 2 x − 5 2( x − 1) 2(3 x − 5)
+ Phương pháp gán giá trị đặc biệt:
1
Cho x = 1 ⇒ −2 A = 1 ⇔ A = −
2
1 7
Cho x = 2 ⇒ A + B = 3 ⇔ B = 3 − A = 3 + =
2 2
2x −1
−1
7
Khi đó 2
=
+
3 x + 2 x − 5 2( x − 1) 2(3 x − 5)

b)

(*)

x2 + x + 1
x2 + x + 1
A
B
C
=
= +
+

→ x 2 + x + 1 ≡ A ( x 2 − 4 ) + Bx ( x − 2 ) + Cx ( x + 2 )
2
x
x
+
2
x

2
x
x
+
2
x

2
x ( x − 4)
(
)(
)

1
+ Cho x = 0 ⇒ −4 A = 1 ⇔ A = − .
4

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

www.moon.vn


Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
7
+ Cho x = 2 ⇒ 8C = 7 ⇔ C = .
8

3
+ Cho x = −2 ⇒ −8B = 3 ⇔ B = − .
8
2
x + x + 1 −1
3
7
Khi đó
=

+
2
4
x
8
x
+
2
8
x
x ( x − 4)
(
) ( − 2)

TH2: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ...( x − xk ) ...( x − xn )
m

Khi đó

 B
Bm 
An
A
A2
B2
P ( x)
= 1 +
+ 1 +
+ ...
+ ... +
2
m 
Q ( x) x − x1 x − x2  x − xk ( x − xk )
x − xn
( x − xk ) 

Ví dụ 2: Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản
x2 − x + 5
3x + 1
a) 2
b)
x ( x + 3)
( x + 1) x 2 + 4 x + 4

(

)

Hướng dẫn giải
x − x+5 A B
C
Ax + B
C
a) Ta có 2
= + 2+
=
+

→ x 2 − x + 5 ≡ ( Ax + B ) ( x + 3) + Cx 2
2
x ( x + 3) x x
x+3
x
x+3
17
+ Cho x = −3 ⇒ 9C = 17 ⇔ C = .
9
5
+ Cho x = 0 ⇒ 3B = 5 ⇔ B = .
3
17
5−
5
9 ⇒ A = −8
+ Cho x = 1 ⇒ 5 = 4 ( A + B ) + C ⇔ A + =
3
4
9
2
x − x+5
8
5
17
Khi đó, 2
=− + 2 +
x ( x + 3)
9 x 3x
9( x + 3)
3x + 1
A
B
C
2
b) Ta có
=
+
+

→ 3x + 1 ≡ A ( x + 2 ) + B ( x + 2 )( x + 1) + C ( x + 1)
2
2
( x + 1) ( x + 4 x + 4 ) x + 1 x + 2 ( x + 2 )
2

+ Cho x = −2 ⇒ −C = −5 ⇔ C = 5.
+ Cho x = −1 ⇒ A = −2.
+ Cho x = 0 ⇒ 1 = 4 A + 2 B + C ⇔ −8 + 2 B + 5 = 1 ⇒ B = 2
3x + 1
−2
2
5
Khi đó,
=
+
+
2
( x + 1) ( x + 4 x + 4 ) x + 1 ( x + 2 ) ( x + 2 )2

TH3: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ...( ax 2 + bx + c ) ...( x − xn ) ; b 2 − 4ac < 0

Khi đó

An
A1
A2
P( x)
mx + n
, đồng nhất ta thu được các hệ số tương ứng.
=
+
+
+ ... +
Q ( x) x − x1 x − x2 ax 2 + bx + c
x − xn

Ví dụ 3: Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản
2 x2 − x + 1
x−3
a)
b) 3
2
x ( x + x + 2)
x −1

Hướng dẫn giải

2x − x + 1
A
Bx + C
= + 2

→ 2 x 2 − x + 1 ≡ A ( x 2 + x + 2 ) + ( Bx + C ) x
2
x( x + x + 2) x x + x + 2
1
+ Cho x = 0 ⇒ 2 A = 1 ⇔ A = .
2
3
+ Lại có, A + B = 2 ⇒ B = , (đồng nhất hệ số của x2)
2
3
+ Ta cũng có A + C = −1 ⇒ C = − , (đồng nhất hệ số của x)
2
2
2x − x + 1
1 3 x −1
Khi đó,
=
+
2
x( x + x + 2) 2 x 2 x 2 + x + 2
2

a) Ta có

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

www.moon.vn


Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
b) Ta có

x−3
x−3
A
Bx + C
=
=
+ 2

→ 2 x 2 − x + 1 ≡ A ( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1)
3
2
x − 1 ( x − 1) ( x + x + 1) x − 1 x + x + 1

2
+ Cho x = 1 ⇒ 3 A = 2 ⇔ A = .
3
4
+ Lại có, A + B = 2 ⇒ B = , (đồng nhất hệ số của x2)
3
1
+ Ta cũng có A − C = 1 ⇒ C = − , (đồng nhất hệ số tự do)
3
x−3
2
4x −1
Khi đó, 3
=
+
x − 1 3 ( x − 1) 3 ( x 2 + x + 1)

3) Áp dụng vào bài toán tìm nguyên hàm
Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau
2x + 1
a) I1 = ∫ 2
dx
3x − x − 2

x2 + x + 2
dx
x2 − 4 x + 3
Hướng dẫn giải

b) I 2 = ∫

2x + 1
2x + 1
dx = ∫
dx
2
3x − x − 2
( x − 1)(3 x + 2)
2x + 1
A
B
Xét
=
+

→ 2 x + 1 ≡ A(3 x + 2) + B ( x − 1)
( x − 1)(3 x + 2) x − 1 3x + 2
3
+ Cho x = 1 ⇒ 5 A = 3 ⇔ A =
5
1
+ Cho x = 0 ⇒ 2 A − B = 1 ⇔ B = 2 A − 1 =
5
 3

2x + 1
1
3
1
Khi đó, I1 = ∫
dx = ∫ 
+
 dx = ln x − 1 + ln 3x + 2 + C.
( x − 1)(3x + 2)
5
15
 5( x − 1) 5(3 x + 2) 

a) Ta có I1 = ∫

b) Ta có I 2 = ∫

x2 + x − 2
x2 + x − 2
dx
=
∫ ( x − 1)( x − 3) dx
x2 − 4x + 3

x2 + x + 2
A
B
=
+

→ x 2 + x + 2 ≡ A( x − 3) + B ( x − 1)
( x − 1)( x − 3) x − 1 x − 3
+ Cho x = 1 ⇒ −2 A = 4 ⇔ A = −2
+ Cho x = 3 ⇒ 2 B = 14 ⇔ B = 7
x2 + x − 2
7 
 −2
Khi đó, I 2 = ∫ 2
dx = ∫ 
+
 dx = 7 ln x − 3 − 2ln x − 1 + C.
x − 4x + 3
 x −1 x − 3 
Xét

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau
x2 + 3 x − 1
a) I1 = ∫
dx
x3 + 1

b) I 2 = ∫

2x − 1
dx
x 2 ( x + 1)

Hướng dẫn giải

a) Ta có I1 = ∫

x + 3x − 1
x + 3x − 1
dx = ∫
dx
3
x +1
( x + 1)( x 2 − x + 1)
2

2

x 2 + 3x − 1
A
Bx + C
=
+ 2

→ x 2 + 3 x − 1 ≡ A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1)
2
( x + 1)( x − x + 1) x + 1 x − x + 1
+ Cho x = −1 ⇒ 3 A = −3 ⇔ A = −1
+ Đồng nhất hệ số của x2 ta được A + B = 1 ⇒ B = 2
+ Đồng nhất hệ số tự do ta được A + C = −1 ⇒ C = 0
x 2 + 3x − 1
2x
(2 x − 1) + 1
 −1

dx = ∫ 
+ 2
dx =
Khi đó, I1 = ∫
 dx = − ln x + 1 + ∫ 2
3
x +1
x − x +1
 x +1 x − x +1
Xét

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

www.moon.vn


Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
1

dx− 
d ( x − x + 1)
dx
2

= − ln x + 1 + ∫ 2
+∫ 2
= − ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 + ∫
=
2
2
x − x +1
x − x +1


1
3



x−  +
2

  2 
2
 2x −1 
− ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 +
arctan 
+C
3
 3 
2x −1
C 
A B
b) Ta có I 2 = ∫ 2
dx = ∫  + 2 +
 dx
x ( x + 1)
x +1
x x
2x − 1
A B
C
Xét 2
= + 2+

→ 2 x − 1 ≡ Ax( x + 1) + B ( x + 1) + Cx 2
x ( x + 1) x x
x +1
+ Cho x = −1 ⇒ 3 A = −3 ⇔ A = −1
+ Đồng nhất hệ số của x2 ta được A + B = 1 ⇒ B = 2
+ Đồng nhất hệ số tự do ta được A + C = −1 ⇒ C = 0
x 2 + 3x − 1
2x
(2 x − 1) + 1
 −1

Khi đó, I1 = ∫
dx = ∫ 
+ 2
dx =
 dx = − ln x + 1 + ∫ 2
3
x +1
x − x +1
 x +1 x − x +1
1

dx− 
2
d ( x − x + 1)
dx
2

= − ln x + 1 + ∫ 2
+∫ 2
= − ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 + ∫
=
2
2
x − x +1
x − x +1
1  3


x−  +
2  2 

2
 2x −1 
arctan 
− ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 +
+C
3
 3 
2

Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau
x
a) I1 = ∫ 3
dx
x −1

b) I 2 = ∫

x2 + x + 2
dx
x ( x 2 − 9)

Hướng dẫn giải
x
x
a) Ta có I1 = ∫ 3
dx = ∫
dx
x −1
( x − 1)( x 2 + x + 1)
x
A
Bx + C
Xét
=
+ 2

→ x ≡ A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1)
2
( x − 1)( x + x + 1) x − 1 x + x + 1
1
+ Cho x = 1 ⇒ 3 A = 1 ⇔ A =
3
1
+ Đồng nhất hệ số của x2 ta được A + B = 0 ⇒ B = −
3
1
+ Đồng nhất hệ số tự do ta được A − C = 0 ⇒ C =
3
1
3
(2 x + 1) −
x
1
1
x −1
1
1 2
2 dx =
Khi đó, I1 = ∫ 3
dx =

dx = ln x − 1 − ∫
x −1
3( x − 1) 3 ∫ x 2 + x + 1
3
3
x2 + x + 1

1
1 d ( x 2 + x + 1) 1
dx
1
1
2x + 1
= ln x − 1 − ∫ 2
+ ∫
= ln x − 1 − ln ( x 2 + x + 1) +
+C
arctan
2
2
3
6
x + x +1
2 
3
3
3
1  3

x+  +
2  2 

x2 + x + 2
x2 + x + 2
b) Ta có I 2 = ∫
dx
=
∫ x( x + 3)( x − 3) dx
x( x 2 − 9)
x2 + x + 2
A
B
C
= +
+

→ x 2 + x + 2 ≡ A( x 2 − 9) + Bx( x − 3) + Cx( x + 3)
x( x + 3)( x − 3) x x + 3 x − 3
2
+ Cho x = 0 ⇒ −9 A = 2 ⇔ A = −
9
Xét

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

www.moon.vn


Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng

Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
Tai Lieu - Bao CaoT
+ Cho x = 3 ⇒ 18C = 14 ⇔ C =

7
9

4
9
2
 2
x +x+2
4
7 
2
4
7
Khi đó, I 2 = ∫
dx = ∫  − −
+
 dx = − ln x − ln x + 3 + ln x − 3 + C .
2
x( x − 9)
9
9
9
 9 x 9( x + 3) 9( x − 3) 
+ Cho x = −3 ⇒ −18B = 8 ⇔ B = −

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Tính các nguyên hàm, tích phân sau:
0
2 x3 − 6 x 2 + 9 x + 9
a) I1 = ∫
dx
x 2 − 3x + 2
−1
2x + 3
c) I 3 = ∫ 2
dx
x ( x − 1)

e) I 5 = ∫

1 − 2 x2
dx
( x + 1)( x 2 + x + 4)

3x 2 + 3 x + 3
dx
3
2 x − 3x + 2
x −1
d) I 4 = ∫
dx
( x + 2) 2 (2 x + 3)
3

b) I 2 = ∫

f) I 6 = ∫

x +1
dx
2 x( x 2 + 4 x + 5)

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!

www.moon.vn



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×