Tải bản đầy đủ

SKKN ƯNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI MỌT SỐ BÀI TOÁN

Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM

Mục Lục
Trang
Lời mở đầu
A. Phần nội dung
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích và nhiệm vụ
3. Tóm tắt lí thuyết
B. Những vấn đề cụ thể
Phần I: Ứng dụng của đạo hàm để
chứng minh các bất đẳng thức
Phần II: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trò lớn nhất
giá trò nhỏ nhất của một hàm số
Phần III:Ứng dụng đạo ham để xét sự tồn tại nghiệm
của một phương trình
Phần IV: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
C. Tài liệu tham khảo

Kí hiệu viết tắt: Vd1: ví dụ 1
HD: Hướng dẫn giải

BBT: Bảng biến thiên
KSHS: khảo sát hàm số

1
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM

LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình toán phổ thông hiện nay đặc biệt là chương trình
toán lớp 12 “Đạo hàm ” là một phần kiến thức không thể thiếu đối với
mỗi học sinh. Việc nắm vững các kiến thức về đạo hàm như: đònh nghóa đạo
hàm, các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo hàm và ứng dụng
của đạo hàm vào giải toán giúp cho mỗi học sinh giải quyết bài toán đơn
giản và nhanh gọn, qua đó phát triển tư duy của mình.
Đối với những học sinh lớp 12 và luyện thi vào các trường đại học
cần nắm vững các kiến thức về “Đạo hàm “ và vận dụng nó vào giải toán.
Những năm gần đây trong mỗi đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông cũng
như thi tuyển sinh vào các trường đại học lượng kiến thức về “ Phép tính
đạo hàm và phép tính tích phân “ chiếm khoảng 30% số điểm của tổng
điểm toàn bài thi, vì vậy việc nắm vững các “Phép tính đạo hàm và phếp
tính tích phân” giúp học sinh đạt được điểm cao hơn.
Hiện nay đã có rất nhiều cuốn sách viết về rèn luyện kó năng phép
tính đạo hàm, ứng dụng hình học và vật lý của đạo hàm, các bài toán thực
tế có sử dụng đạo hàm….Chính vì những lý do thực tiễn đó mà người viết
SKKN đã trình bày SKKN của mình như là một phương pháp giải toán sơ
cấp nhằm góp một phần nhỏ vào công việc giảng dạy và học tập ở trường
phổ thông.
Mặc dù đã cố gắng hết sức mình nhưng với kinh nghiệm còn non yếu
nên không thể tránh được những thiếu sót rất mong sự lượng thứ của quý
thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh. Người viết SKKN xin
trân trọng lắng nghe và đón nhận những ý kiến đóng góp chân thành của
quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh.
2
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM
A. NỘI DUNG
1. Lí do chọn đề tài
Như đã nói ở trên “phép tính đạo hàm và phép tính tích phân” là một
phần kiến thức quan trọng không thể thiếu đối với mỗi học sinh. Thông
thường học sinh chỉ học một cách máy móc và dưới áp lực của các kỳ thi nên
không nên không nắm được một cách hệ thống và thấy được lợi ích to lớn của
phép tính đạo hàm và phép tính tích phân vì vậy người viết SKKN cố gắng
trình bày SKKN của mình sao cho học sinh nắm được cơ bản của phép tính
đạo hàm và hệ thống kiến thức xuyên suốt chương trình đã học.
2. Mục đích và nhiệm vụ của SKKN
Với mục đích giúp học sinh ôn lại, nắm vững kiến thức một cách hệ thống và
giúp học sinh hiểu sâu rộng thêm về ứng dụng của đạo hàm đồng thời tránh trình bày
lại SGK 12 hiện hành nên nội dung của cuốn SKKN được trình bày ngắn gọn và chỉ
làm rõ một số ứng của “Đạo hàm” mà trong SGK hiện hành không đưa ra hoặc chỉ
giới thiệu sơ qua. Cuốn SKKN cũng không trình bày chi tiết và rộng rải như một cuốn
sách chuyên đề. Một số kiến thức trong sách giáo khoa không trình bày lại (Xem như
học sinh đã học và phải tự xem lại). Nội dung cuốn SKKN được chia thành 4 phần :
Phần I: Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh các bất đẳng thức
Phần II: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của
một hàm số
Phần III: Ứng dụng đạo hàm để xét sự tồn tại nghiệm của một phương
trình
Phần IV: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
Trong mỗi phần đều có bài toán tổng quát, ví dụ minh họa để học sinh
nắm được phương pháp, vận dụng vào giải hệ thống các bài tập từ cơ bản đến
nâng cao giúp học sinh tự rèn luyện kó năng giải toán và khắc sâu kiến thức.
3.Tóm tắt lý thuyết.
1. Đònh nghóa đạo hàm:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và x
0

(a;b). Giới hạn, nếu
có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x
0
, khi số gia của
biến số dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x
0
.
KH:
)(xy
0

hay
)(xf
0

:
y’(x
o
) =
x
y
x


→∆
0
lim
hay
)(xf
0

=
0
lim

óm


Δx
)f(xΔx)f(x
00
−+
2. Đạo hàm một bên
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
o
thuộc TXĐ
3
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM
- Đạo hàm bên trái của hàm số y= f(x) tại
x
0
, ký hiệu là
)x(f
0


, được
đònh nghóa là:
x
y
0x
lim)x(f
0






=

-Đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại
x
0
, được ký hiệu là
)x(f
0
+

,
được đònh nghóa là:

x
y
0x
lim)x(f
0


→∆
=

+
+
3. Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn:
Đònh nghóa:
Hàm số y= f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b), nếu nó có
đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đo.ù
Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn
[ ]
b;a
nếu nó có
đạo hàm trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải tại a, đạo hàm bên
trái tại b.
4. Ý nghóa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x
0
và (C) là đồ thò của hàm số
Đònh Lý 1: Đạo hàm
f

(x) của hàm sô f(x) tại x
0
bằng hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thò (C) tại M
0
( x
0
,f(x
0
)).
Đònh lý 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) của hàm số y= f(x) tại điểm
)y,x(M
000
là:

)x).(x(xfyy
000


=−
5. Các quy tắc tính đạo hàm:
Đònh lý 1: Nếu u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại x thì tổng và hiệu của
chúng cũng có đạo hàm tại điểm đó và

vu)vu(
vu)vu(



=



+

=

+
Đònh lí 2: Nếu u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm tại x thì tích của chúng cũng có
đạo hàm tại điểm đó và.

vuvu)uv(

+

=

Đònh lý3: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x và v

0 thì thương
v
u
cũng
có đạo hàm tại x và :
2
v
vuvu
v
u



=







6. Tính đơn điệu của hàm số
Đònh lí 1:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b)
1) Nếu
)x(f

> 0 với mọi x ∈(a;b) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó
2) Nếu
)x(f

< 0 với mọi x∈(a;b) thì hàm số nghòch biến trên khoảng đó
(dấu bằng có thể xãy ra tại một số hữu hạn điểm)
4
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM
7. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
Ta xem như các hàm số sau đều xét trên TXĐ của chúng và u = u
(x)
1. (C)’ = 0. (C = const)
2. (x)’ = 1, mọi x
3.
x2
1
)x(
=

, mọi x > 0
4. (x
n
)’ = n.x
n – 1

5.
2
x
1
)'
x
1
(
−=
, mọi x khác 0
6. (sinx)’ = cosx
7. (cosx)’ = - sinx
8. (tgx)’ =
2
)x(cos
1
, đk: cosx

0
9. (cotgx)’ =
2
)x(sin
1

đk: sinx

0
10. (ln
x
)’ =
x
1
, đk: x

0
11. (a
x
)’ = a
x
lna
12.
alnx
1
)'(log
x
a
=
, a > 0 và a

1, x

0
13.
u2
'u
)'u(
=
, đk: u > 0
14. (
α
u
)’ =
1
u.

α
α
15.
2
u
'u
)'
u
1
(
−=
, mọi u khác 0
16. (sinu)’ = u’.cosu
17. (cosu)’ = - u’.sinu
18. (tgu)’ =
2
)u(cos
'u
, đk: cosu

0
19. (cotgu)’ =
2
)u(sin
'u

đk: sinu

0
20. (ln
u
)’ =
u
'u
, đk: u

0
21. (a
u
)’ = u’.a
u
lna
22.
alnu
1
)'(log
u
a
=
, u

0

8. Đạo hàm cấp cao.
Giả sử y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x). Nếu hàm số f’(x) lại có đạo hàm,
thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và KH: y”
hay f”(x).
Đònh nghóa tương tự cho đạo hàm cấp 3, 4,….
Một cách tổng quát, đạo hàm cấp n (n

2) của hàm số y = f(x), KH: y
(n)

hay f
(n)
(x), được đònh nghóa như sau: f
(n)
(x) = [f
(n -1)
(x)]’
B. NHỮNG VẤN ĐỀ CỤ THỂ
PHẦN I
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ
CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
1. Bất đẳng thức mở đầu
Bài toán1: Chứng minh rằng: e
x – 1


x với mọi x

R (1)
Dấu đẳêng thứătrong (1) xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Chứng minh
Xét hàm số f(x) = e
x – 1


x , trên R
Ta có: f’(x) = : e
x – 1


1 (
Rx
∈∀
)
5
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM
f’(x) = 0

e
x – 1


1 = 0

x = 1
Từ tính chất của hàm số mũ suy ra
f’(x) > 0 khi x > 0, f’(x) < 0 khi x < 0
Ta có BBT:
x -

1 +

f’(x) - 0 +
f(x) +

+

f(1)=0
Từ BBT ta thấy f(x) > 0,
Rx
∈∀
x

1 và f(x) = 0

x = 1, nghóa là
e
x – 1


x với mọi x

R, dấu đẳng thức xẫy ra khi và chỉ khi x = 1
Bài toán được chứng minh
Bài toán 2: (Bất đẳng thức Bernoulli)
Với mọi số thực x > - 1 và với mọi số tự nhiên n ta luôn có
(1 + x)
n



1 + nx,
Dấu đẳng thức xẫy ra khi và chỉ khi n = 0; 1 hoặc x = 0
Chứng minh:
Với n = 0; 1 ta có ngay điều cần chứng minh
G/sử n


2. ta xét hàm số
f(x) = (1 + x)
n
-

1 - nx, với - 1 < x < +

Ta có: f’(x) = n[(1 + x)
n – 1
– 1] => f’(x) = 0 khi x = 0
Nếu x > 0 thì 1 + x > 1, nên (1 + x)
n – 1
– 1 > 0 => f’(x) > 0
Nếu x < 0 thì (1 + x)
n – 1
– 1 < 0 => f’(x) < 0
BBT
x
-1 0 +

f’(x) - 0 +
f(x)
+

f(0) = 0
Dựa vào BBT ta có f(x)


0 với mọi -1 < x < +


suy ra: (1 + x)
n



1 + nx,
):1(x
+∞−∈∀
. Cũng nhờ bảng biến thiên ta nhận
thấy dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 0
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. e
x
> 1 + x, với mọi x > 0
2. ln(1 + x) < x, với mọi x > 0
3. cosx > 1 -
2
x
2
, với mọi x > 0
6
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM
4.
4
1xx
3x2x2
2
2

++
++
, với mọi x thuộc R
5. ln(1 + x) > x -
2
x
2
, với mọi x > 0
BÀI TẬP NÂNG CAO
1. Chứng minh rằng:
1
2
x3
tgxxsin2
222
+
>+
, với mọi







2
;0x
π
2. Chứng minh rằng, với – 1< x <1, và với mọi n nguyên dương, n >1 ta đều
có : (1 + x)
n
+ (1 - x)
n
< 2
n
PHẦN II
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ
Kiến thức cần nhớ:
1. Đònh nghóa:
Cho hàm số y= f(x) xác đònh trên tập D
a) Số M được gọi là giá trò lớn nhất của hàm số trên tập D nếu:
* ∀ x ∈ D : f(x) ≤ M
* ∃
x
0
∈ D : f(
x
0
) = M
Kí hiệu: M =
max
D
f(x)
b) Số m được gọi là giá trò nhỏ nhất của hàm số trên tập D nếu:
* ∀ x ∈ D : f(x) ≥ m
* ∃
x
0
∈ D : f(
x
0
) = m
Kí hiệu m =
min
D
f(x)
2. Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng:
Bài toán:
Cho hàm số y= f(x) liên tục trên (a;b). Hãy tìm
);(
max
ba
f(x) và ø
);(
min
ba
f(x).
Phương pháp: Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a,b) rồi dựa vào
đó để kết luận.
3. Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn:
Bài toán:
Cho y = f(x) liên tục trên [a;b] và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn trên
đoạn đó. Hãy tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn đó.
Phương pháp giải:
1) Tìm các điểm tới hạn
x
i
(i= 1,2 ...) của f(x) trên [a;b]
2) Tính f(a), f(b), f(
x
i
) ( i= 1,2...)
7
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM
3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên đó cũng là giá trò
lớn nhâùt và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên [a;b]
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = f(x) = x - 5+
1
x
( x > 0). Tìm
min
( ; )0

f(x) và
);0(
max

f(x)
Bài giải:
Với mọi x > 0 ta có:

y
=
x
x
2
2
1

=> y’= 0 ⇔ x = -1(loại), x= 1
Bảng biến thiên:
x
0 1 +

y’ - 0 +
y
+

-3
Dựa vào BBT ta suy ra

),0(
min
+∞
f(x) = -3 khi x = 1, hàm số không tồn tại GTLN
Ví dụ 2:
Cắt 4 góc hình vuông cạnh a, gập lên để có một hình hộp. Tìm cạnh hình hộp
để có thể tích lớn nhất.
Bài giải.
Gọi x là cạnh của hình vuông bò cắt, điều kiện 0<x<
2
a
Thể tích khối hộp là: V(x) = x(a-2x)
2
, (0 < x <
2
a
).
Ta phải tìm x
)
2
;0(
a

sao cho V(x) có giá trò lớn nhất.
Xét hàm số V(x)= x(a-2x)
2
,với x
)
2
;0(
a

V’(x)= 12x
2
–8x +a
2
=0

x=
2
,
6
a
x
a
=
(lọai).
Lập bảng biến thiên để kết luận: maxV(x)=
27
2
3
a
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính
R, thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhất và có diện tích lớn nhất
Bài giải.
Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x
độ dài cạnh kia sẽ là
22
xR4

Với 0 < x < 2R
+) Chu vi của hình chữ nhật sẽ là:
u = 2(x +
22
xR4

)
8
O
x
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM
Ta có: u’ =










22
xR4
x
12
=> u’ = 0

22
xR4

= x

x = R
2
BBT
x 0 1 2R
u’ + 0 -
u 4R
2

4R 4R
Dựa vào BBT ta thấy
=
umax
)R2;0(
4R
2
Từ đó suy ra, trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R, thì
hình vuông (với cạnh R
2
) là hình có chu vi lớn nhất (bằng 4R
2
)
HD:
Ta vẫn có thể giải bài toán theo cách khác là
Áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có
22222
xR4x.11.2u
−++≤
= 4R
Dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi
x =
22
xR4


2.x
2
= 4R
2


x = R
2
(do x > 0)
Từ đó suy ra điều cần chứng minh
+) Diện tích của hình chữ nhật sẽ là: S = x.
22
xR4

Ta có
S’ =
22
2
22
xR4
x
xR4

−−
=
22
22
xR4
x2R4


=> S’ = 0

22
x2R4

= 0

x = R
2
BBT
x 0 2R
u’ + 0 -
u 2R
2

0 0
Nhờ vào BBT ta thấy
=
Smax
)R2;0(
2R
2
Từ đó suy ra
diện tích đạt GTLN khi x = R
2
, khi đó cạnh thứ hai bằng
22
xR4

= R
2
Do đó hình có diện tích lớn nhất là hình vuông , cạnh bằng R
2
, S = 2R
2
HD:
Ta có thể áp dụng BĐT Cauchy như sau
S
2
= x
2
(4R
2
– x
2
)


2
1
(x
2
+ 4R
2
– x
2
) = 2R
2
Dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x
2
= 4R
2
– x
2


x = R
2
, (do R > 0)
Từ đó suy ra đpcm
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
9
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM
1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau trên tập tương ứng
a. y =
2x3x
2
+−
trên [-10;10]
b. y = sinx – cosx trên R
c. y = 2x +
1x
2
+
trên (-

;+

)
d. y = x +
2
x2

trên [-
2
;
2
]
2. Tìm GTNN của tổng hai số dương, biết rằng tích của chúng bằng 26
3. Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích bằng 48m
2
, hãy xác đònh hình
chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
4. Tìm chiều cao của hình nón nội tiếp trong hình cầu bán kính R để hình nón này
có thể tích lớn nhất.
5. Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất biết rằng chu vi của nó không đổi và
bằng 16cm
BÀI TẬP NÂNG CAO
1. Cho hai số thực x, y thay đổi sao cho x
2
+ y
2
= 1. Tìm các GTLN, GTNN
của biểu thức
P = x.
y1
+
+ y.
x1
+
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = sinx +
xsinx2cos
+
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = 3
x -1
+ 3
-x-1
4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y =
xcosxsin
22
44 +
PHẦN III
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH
Trong khi giải toán ta thường gặp dạng toán như: Chứng minh phương
trình có nghiệm duy nhất, tìm điều kiện của tham số để phương trình có đúng
n nghiệm thoả một tính chất nào đó….. Việc giải bài toán bằng những phương
pháp thông thường đôi khi gặp nhiều khó khăn cho học sinh. Nếu ta ứng
dụng đạo hàm để giải bài toán thì sẽ thuận lợi và đơn giản hơn nhiều.
Ví dụ1:
Giải phương trình: 2
x
+ 3
x
= 5
x
(1)
Bài giải
10
Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM
Ta dễ thấy x = 1 là nghiệm của phương trình (1), ta chứng minh x = 2 là nghiệm duy
nhất.
Thât vậy (1) được viết lại như sau:
1
5
3
5
2
xx
=






+






Xét hàm số f(x) =
xx
5
3
5
2






+






trên R,
Ta có
f’(x) =
x
5
2






.ln
5
2
+
x
5
3






.ln
5
3
< 0 , mọi x thuộc R => hàm số nghich biến trên R
Do vậy với mọi x > 1 thì f(x) < f(1) = 1 => phương trình (1) vô nghiệm

x > 1
x < 1 thì f(x) > f(1) = 1 => phương trình (1) vô nghiệm

x < 1
Từ đó x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
HD:
Ta có thể sự dụng tính đơn điệu của hàm số mũ để giải (Đã học ở lớp 11)
Mọi x > 1 thì
x
5
2






<
5
2
, và
x
5
3






<
5
3
=>
x
5
2






+
x
5
3






<
5
2
+
5
3
= 1, từ đó suy ra phương
trình (1) vô nghiệm với mọi x > 1
Tương tự với mọi x < 1 thì
x
5
2






>
5
2
, và
x
5
3






>
5
3
=>
x
5
2






+
x
5
3






>
5
2
+
5
3
= 1, từ đó suy ra
phương trình (1) vô nghiệm với mọi x < 1
Ví dụ 2:
Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện a
2
+ b
2
= c
2

Chứng minh rằng, phương trình: a
x
+ b
x
= c
x
(*) có một nghiệm duy nhất
Chứng minh
Từ điều kiện a
2
+ b
2
= c
2
, a > 0, b > 0, c > 0 suy ra 0 <
c
a
<1, 0 <
c
b
<1
Phương trình (*) được viết lại:
x
c
a






+
x
c
b






= 1
Ta dễ thấy x = 2 là nghiệm của (*), ta chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất
của (*) thật vậy:
Xét hàm số f(x) =
x
c
a






+
x
c
b






, trên R
Ta có : f’(x) =
x
c
a






ln






c
a
+
x
c
b






ln






c
b
< 0 , mọi x thuộc R
=> hàm số nghòch biến trên R. Do vậy
f(x) > f(2) = 1 với mọi x < 2 => phương trình (*) vô nghiệm

x < 2
f(x) < f(2) = 1 vỡi mọi x > 2 => phương trình (*) vô nghiệm

x > 2
Vì vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 2 (đpcm)
Ví dụ 3:
Tìm tất cả các giá trò của tham số m để phương trình
x
3
– x
2
+ 18mx – 2m = 0 (*), có ba nghiệm phân biệt.
11

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×