Tải bản đầy đủ

CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ

Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp

CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN
I.

Tuyệt chiêu tính giới hạn dạng




hoặc

𝟎
𝟎

khi x→ x0 (∞)ta dùng quy tắc l'Hopital

đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑡ử

L=𝑙𝑖𝑚 đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑚ẫ𝑢 =..... cứ đạo hàm bao h hết dạng vô định thì thôi nhé em!
II.


Lý thuyết về các vô cùng bé và các vô cùng lớn:

+) vô cùng bé ( khi x→x0 ( x0≠ ∞) )
sinu~𝑡𝑎𝑛𝑢~𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑢~𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢~𝑢 khi u→ 0
1-𝑐𝑜𝑠 2 𝑢~

𝑢2
2

khi u→ 0

(1 + 𝑢)𝛼 -1 ~ 𝛼𝑢 khi u→ 0
Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0
Khi tính giới hạn nếu x không tiến ra vô cùng thì ta cố gắng sử dụng tối đa Tuyệt chiêu thay vô cùng bé .
Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé : ta ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao. ( lim 𝑓(𝑥) =0 thì f(x) gọi là vcb)
𝑥→𝑥0

+) vô cùng lớn
Khi x→ ∞ thì thằng nào tiến ra vô cùng nhanh hơn thì giữ lại , thằng nào tiến ra vô cùng chậm hơn thì bỏ
Quy tắc ngắt bỏ vô cùng lớn: ta ngắt bỏ vô cùng lớn bậc thấp. ( lim 𝑓(𝑥) =∞ thì f(x) gọi là vcl)
𝑥→∞

𝑥 100 +𝑥 50 +1
𝑥→∞ 𝑥 100 +𝑥 99 +100

VD : lim

Phân tích : rõ dàng khi x→ ∞ khi tử số 𝑥 100 tiến ra vô cùng nhanh nhất do đó ta gắt bỏ các thành phần
khác đi thì tử số tương đương với 𝑥 100 , 𝑙ậ𝑝 𝑙𝑢ậ𝑛 ℎ𝑜à𝑛 𝑡𝑜à𝑛 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑡𝑎 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑚ẫ𝑢 𝑠ố
tương đương với 𝑥 100
𝑥 100
𝑥→∞ 𝑥 100

Như vậy L= lim
I.

=1

Sử dụng cách diễn giải trên để xử lý các bài tập


Câu 13 : tính giới hạn
3

2
√𝑐𝑜𝑠𝑥 − √𝑐𝑜𝑠𝑥
2
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥→0

L=lim

3

2

√𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1− √𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑥→0

=lim

Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội


Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
khi x→ 0 thì sinx~𝑥 và cosx-1~ − 𝑥 2 /2 do đó
2

3

2

2

√1−𝑥 − √1−𝑥
2

L=lim

2

lim

𝑥2

𝑥→0

3

( √1−

𝑥2
2

2

−1)−( √1−

𝑥2
−1)
2

𝑥2

𝑥→0

1
1
𝑥2
𝑥2 2
3
(1− ) −1−[(1− ) −1]
2
2

= lim

𝑥2

𝑥→0

𝛼

Khi u→ 0 (1 + 𝑢) -1 ~ 𝛼𝑢 do đó L== lim
𝑥→0

−1.𝑥2 −1.𝑥2

3.2
2.2
𝑥2

== lim

−1. −1.

3.2 2.2

1

𝑥→0

1

=12

Câu 14 : tính giới hạn
1−𝑐𝑜𝑠𝑥√𝑐𝑜𝑠2𝑥
L=lim
𝑥2
𝑥→0

=lim

𝑥2
)(1−𝑥 2 )
2
2
𝑥

𝑥→0

𝑥2

𝑥→0

1−(1−

=lim

1−(𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1)√(𝑐𝑜𝑠2𝑥−1+1)

= lim

𝑥→0

1
𝑥2
(2𝑥)2
)[(1−
)2 −1+1]
2
2
𝑥2

1−(1−

=lim

1−(1−

𝑥→0

𝑥2
1.(2𝑥)2
)(1−
)
2
2.2
2
𝑥

𝟎

( đến đây có dạng 𝟎 => L’Hopital dùng 2 lần)

Em nhân ra rồi tính đạo hàm 2 lần nhé ,sau đó thay x=0 vào ta đc kết quả nhé!
Câu 15 : tính giới hạn
1−𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑐𝑜𝑠2𝑥.𝑐𝑜𝑠3𝑥
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥→0

L=lim

Sau khi biến đổi tích thành tổng ta được
L=lim

𝑥→0

1−𝑐𝑜𝑠6𝑥+1−𝑐𝑜𝑠4𝑥+1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
4(1−𝑐𝑜𝑠𝑥)

Sử dụng 1-𝑐𝑜𝑠 2 𝑢~

𝑢2
2

(6𝑥)2 (4𝑥)2 (2𝑥)2
+
+
2
2
2
𝑥2
𝑥→0
4.
2

khi u→ 0 ta được
(6)2 (4)2 (2)2
+
+
2
2
2
1
4.
𝑥→0
2

= lim

L=lim

=14

Câu 16 : tính giới hạn
1
𝑥

L= lim 𝑥 2 (1 − 𝑐𝑜𝑠 )
𝑥→∞

1

Rõ dàng khi 𝑥 → ∞ thì 𝑥 → 0 do đó đủ điều kiện áp dụng vô cùng bé tương đương
2

1 2
𝑥

( )

Khi đó L= lim 𝑥 [
𝑥→∞

2

1
𝑥→∞ 2

] = lim

1

=2

Câu 17 : tính giới hạn
L= lim+ 3
𝜋
2

𝑥→

𝑐𝑜𝑠𝑥

√(1−𝑠𝑖𝑛𝑥)2

𝜋 𝜋
2 2
𝜋 𝜋
𝜋+ 3
√[1−sin(𝑥− 2 + 2 )]2
𝑥→
2

= lim

cos(𝑥− + )

Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58

𝜋
2
𝜋
𝜋+ 3
√[1−cos(𝑥− 2 )]2
𝑥→
2

= lim

−sinx(𝑥− )

𝜋
2
2
𝜋+ (𝑥−𝜋)
2 ]^2
𝑥→ [
2
2
3

= lim

−(𝑥− )

2

= lim+
𝜋
2

𝑥→

−(2)3
𝜋
2

1

=-∞

(𝑥− )3

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội


Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
Câu 18 : tính giới hạn
L=lim

𝑥→0

√1+𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥−1
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

Áp dụng sinx~𝑥 khi x→ 0
𝑥2

1

(1+𝑥 2 )2 −1
L=lim
=lim 𝑥22
𝑥2
𝑥→0
𝑥→0

= lim

1
2

𝑥→0 1

1

=2

Câu 19 : tính giới hạn
√1−𝑡𝑎𝑛𝑥−√1+𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑥→0

L=lim

Áp dụng tanx~𝑥 và sin2x~2 𝑥 khi x→ 0
(1−𝑥)−(1+𝑥)

√1−𝑥−√1+𝑥
2𝑥
𝑥→0

( liên hợp )= lim 2𝑥(

Ta được L=lim

𝑥→0

−1
−1
=lim
= 2
√1−𝑥+√1+𝑥) 𝑥→0 (√1−𝑥+√1+𝑥)

Câu20 : tính giới hạn
L=lim𝜋(2𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 −
𝑥→

2

𝜋
) =lim [2𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥→𝜋

𝜋
2

𝜋
2

− + )−

𝜋
𝜋 𝜋
2 2

] =lim𝜋[

cos(𝑥− + )

2

𝑥→

−2𝑥
𝜋
2

tan(𝑥− )

2

+

𝜋
𝜋
2

]

sin(𝑥− )

Thay vô cùng bé tương đương
−2𝑥

𝜋

𝑥−

𝑥−

=lim𝜋(
𝑥→

2

𝜋+
2

𝜋
2

−2(𝑥− )

[
𝜋) =lim
𝜋
𝑥→

2

𝑥−

2

𝜋
2

] =lim𝜋 −2 =-2
𝑥→

2

Câu 21 : tính giới hạn
L=lim

𝑥→0

ln(1+3𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝑡𝑎𝑛2 𝑥

Thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0

Khi đó
ln(1+3𝑥 2 )
𝑥2
𝑥→0

L=lim

3𝑥 2
𝑥→0 𝑥 2

=lim

= lim 3 = 3
𝑥→0

Câu 22: tính giới hạn
ln(1+𝑥−3𝑥 2 )

L=lim ln(1+3𝑥−4𝑥2 )
𝑥→0

Thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0

Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội


Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
𝑥−3𝑥 2

1−3𝑥

1

Khi đó L=lim 3𝑥−4𝑥2 = lim 3−4𝑥 =3
𝑥→0

𝑥→0

Câu 23: tính giới hạn
ln(𝑥 2 −𝑥+1)
𝑥→∞ ln(𝑥 10 +𝑥 5 +1)

L= lim

Thay vô cùng lớn tương đương
Tử số ~ ln(𝑥 2 ) = 2𝑙𝑛𝑥
Mẫu số ~ ln(𝑥 10 ) = 10𝑙𝑛𝑥
2𝑙𝑛𝑥
2 1
= lim =
10𝑙𝑛𝑥
10
5
𝑥→∞
𝑥→∞

Khi đó L= lim

Câu 24: tính giới hạn
ln(𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥)

ln(𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−1+1)

L=lim ln(𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥) =lim ln(𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥−1+1)
𝑥→0

𝑥→0

Vì cosax-1→ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 0 , tương tự cosbx-1→ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 0
Do đó áp dụng thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0
−(𝑎𝑥)2

Ta được L=

𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−1
lim
=lim 2 2
𝑥→0 c𝑜𝑠𝑏𝑥−1 𝑥→0 −(𝑏𝑥)

=lim

𝑥→0

2

−(𝑎)2
2
−(𝑏)2

=

𝑎2
𝑏2

2

Câu 25: tính giới hạn
8𝑥 −7𝑥

L=lim 6𝑥 −5𝑥
𝑥→0

𝟎

(có dạng 𝟎 => L’Hopital dùng 1 lần)
8𝑥 𝑙𝑛8−7𝑥 𝑙𝑛7

1.𝑙𝑛8−1.𝑙𝑛7

𝑙𝑛8−.𝑙𝑛7

L=lim 6𝑥 𝑙𝑛6−5𝑥 𝑙𝑛5 = lim 1.𝑙𝑛6−1.𝑙𝑛5 =lim 𝑙𝑛6−.𝑙𝑛5
𝑥→0

𝑥→0

𝑥→0

Câu 26: tính giới hạn
𝑥 𝑥 −1
𝑥→1 𝑥𝑙𝑛𝑥

L=lim

𝟎

(có dạng 𝟎 => L’Hopital dùng 1 lần)
Trước hết anh nói về cách tính đạo hàm của 𝑥 𝑥
Đặt y=𝑥 𝑥 𝑚ụ𝑐 𝑡𝑖ê𝑢 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑎 𝑙à đ𝑖 𝑡í𝑛ℎ 𝑦′=> ( lấy loganepe 2 vế ) lny=xlnx
Bây giờ đạo hàm 2 vế ta được

𝑦′
𝑦

= (xlnx)’ = lnx+1

Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội


Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
Do đó y’=y.(lnx+1)= 𝑥 𝑥 (𝑙𝑛𝑥 + 1) hay (𝑥 𝑥 )′ = 𝑥 𝑥 (𝑙𝑛𝑥 + 1)
(𝑥 𝑥 −1)′
𝑥 𝑥 (𝑙𝑛𝑥+1)
=lim
=lim 𝑥 𝑥
𝑥→1 (𝑥𝑙𝑛𝑥)′ 𝑥→1 (𝑙𝑛𝑥+1)
𝑥→1

Áp dụng L’Hopital L=lim

=1

Câu 27: tính giới hạn
1

1+𝑡𝑎𝑛𝑥

L=lim ( 1+𝑠𝑖𝑛𝑥 )𝑠𝑖𝑛3𝑥
𝑥→0

Tuyệt chiêu tính giới hạn dạng L= lim [𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥)

( với x0 có thể bằng 1 số hoặc bằng vô cực )

𝑥→𝑥0

lim 𝑔(𝑥).ln[𝑓(𝑥)]

Thì L=𝑒 𝑥→𝑥0

=…………….. ( chú ý 𝑓(𝑥)∞ mà f(x) tiến đến 1 là dạng vô định )

Áp dụng Vào bài toán : trước hết ta thay vô cùng bé tương đương

1

1+𝑥 1

lim .ln(

L=lim (1+𝑥)𝑥 =𝑒 𝑥→0𝑥

1+𝑥
)
1+𝑥

𝑥→0
lim

[ln(

=𝑒 𝑥→0

1+𝑥
)]′
1+𝑥
𝑥′

lim

[ln(

=𝑒 𝑥→0

1+𝑥
)]′
1+𝑥
𝑥′

tanx~𝑥 và sinx~𝑥 khi x→ 0

𝟎

(có dạng 𝟎 => L’Hopital dùng 1 lần)
lim

𝑜

=𝑒 𝑥→01 =𝑒 𝑜 =1

Câu 28: tính giới hạn
1
𝑥

1
𝑥

L= lim (𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 )𝑥
𝑥→∞

Trước hết ta thay vô cùng bé tương đương ta được :
1
𝑥→∞ 𝑥

1 𝑥
)
2𝑥 2

L= lim ( + 1 −
1
𝑥

Vì ln( + 1 −

1
)
2𝑥 2

1

1

1

1

lim 𝑥.ln( +1− 2 )
lim 𝑥.( − 2 )
𝑥
𝑥 2𝑥 =
2𝑥 =𝑒 𝑥→∞

=𝑒 𝑥→∞

1
𝑥

~ −

1
2𝑥

lim (1− )

𝑒 𝑥→∞

= 𝑒 1 =e

1
2𝑥 2

Câu 29: tính giới hạn
1

L= lim (𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝑥

2

𝑥→∞

Trước hết thay vô cùng bé tương đương
1

2

L = lim (1 − 2𝑥 2 )𝑥 = 𝑒
𝑥→∞

1

1

1

lim𝑥 2.ln(1− 2 ) lim𝑥 2.(− 2 ) 1
2𝑥 =𝑒 𝑥→∞
2𝑥 =
𝑥→∞
√𝑒

1

Vì ln(1 − 2𝑥 2 ) ~ − 2𝑥2
Câu 30: tính giới hạn
𝑛

√𝑎 +
2
𝑛→∞

L= lim (

𝑛

√𝑏 𝑛

)

với (a , b >0)

Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội


Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
1

Đặt x=𝑛 , x→ 0
𝑎 𝑥 +𝑏𝑥 1
L=lim ( 2 )𝑥
𝑥→0

𝑒

khi đó

=𝑒

1 𝑎𝑥 +𝑏𝑥
lim
.(
−1)
2
𝑥→0 𝑥

1
𝑎𝑥 +𝑏𝑥
.ln(
−1+1)
2
𝑥→0 𝑥

lim

=𝑒

𝑎𝑥 +𝑏𝑥 −2
lim
2𝑥
𝑥→0

=𝑒

=

lim

𝑥→0

(𝑎𝑥 +𝑏𝑥 −2)′
(2𝑥)′

lim

𝑎𝑥 𝑙𝑛𝑎+𝑏𝑥 𝑙𝑛𝑏
2

lim𝑥.(

−2
)
𝑥+1

=𝑒

𝑥→0

=𝑒

𝑙𝑛𝑎+𝑙𝑛𝑏
2

=√𝑎 +√𝑏

Câu 31: tính giới hạn
𝑥−1 𝑥
)
𝑥→∞ 𝑥+1

L= lim (

−2 𝑥
)
𝑥+1

= lim (1 +
𝑥→∞

lim𝑥.ln(1+

=𝑒 𝑥→∞

−2
)
𝑥+1

=𝑒 𝑥→∞

=

1
𝑒2

Câu 32: tính giới hạn
1

1

1

1

1

1

2

L= lim (𝑒 𝑥 + 𝑥)𝑥 = lim (𝑒 𝑥 − 1 + 1 + 𝑥)𝑥 = lim (𝑥 +1 + 𝑥)𝑥 = lim (1 + 𝑥)𝑥 =𝑒
𝑥→∞

𝑥→∞

𝑥→∞

2
𝑥

lim 𝑥.ln(1+ )
𝑥→∞

𝑥→∞

=𝑒

2
𝑥

lim 𝑥.( )
𝑥→∞

=𝑒 2

Câu 33: tính giới hạn
𝑡𝑎𝑛2 2𝑥

L=lim𝜋(𝑠𝑖𝑛2𝑥)
𝑥→

=lim𝜋[𝑠𝑖𝑛2(𝑥 − +
𝑥→

4

𝜋

𝜋
4

𝜋

=lim𝜋 sin [2 (𝑥 −

4

1
2 [2(𝑥−𝜋)]
4

=lim𝜋 cos [2 (𝑥 − 4 )]𝑡𝑎𝑛
𝑥→

𝜋 𝑡𝑎𝑛2 2(𝑥−𝜋+𝜋)
4 4
)
4

4

𝜋

==lim𝜋[1 −
𝑥→

+

𝜋

2
𝜋 𝑡𝑎𝑛 [2(𝑥− 4 )+ 2 ]
]
2

4

1

[2(𝑥− )]2 [2(𝑥−𝜋)]2
4
4
]
2

4

1

𝜋

𝑥→

𝜋
)
4

Đặt (𝑥 − 4 ) = t thì L=lim[1 − 2𝑡 2 ]4𝑡2 ==𝑒

1
.ln(1−2𝑡 2 )
𝑡→0 4𝑡2

lim

𝑡→0

lim

= 𝑒 𝑡→0

1
.(−2𝑡 2 )
4𝑡2

=

1
√𝑒

Câu 34: tính giới hạn
𝑥 𝛼 −2𝛼

L= lim 𝑥 𝛽−2𝛽
𝑥→2

phân tích : rõ dàng khi thay x=2 vào L có dạng

0
0

do đó thỏa mãn điều kiện L'Hopital

đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑡ử

khi đó L=đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑚ẫ𝑢 (viết cho vui thôi_ thi thì cứ băm luôn nhé :))
𝛼.𝑥 𝛼−1 −𝑜

𝛼

L=lim 𝛽.𝑥 𝛽−1 −𝑜 = 𝛽 . 𝑥 𝛼−𝛽
𝑥→2

Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội



x

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×