Tải bản đầy đủ

CHƯƠNG III dãy số cấp số

ĐS-GT 11

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

CHƯƠNG III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Tính chất chia hết của một tổng:
 Nếu tất cả các số hạng trong một tổng chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết
cho số đó.
 Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho mộ t số, còn các số hạng
khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.
2. Tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dương:
a, b  Q, m, n  Z+, ta có:
a0 = 1

a1 = a

(a ) = a
m n


m.n

am.an = am + n

(ab) = a b
n

n n

3. Tính chất của bất đẳng thức:
 a < b  a + c < b + c;
 Với c > 0 thì a < b  ac < bc;
 Với n  Z+ thì a < b  a2n + 1 < b2n + 1;
a  b
 a + c < b + d;
c  d



 Với a > 0 thì a < b  a < b ;

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

am
= am – n
n
a

a n an
( )  n (b ≠ 0)
b
b

 Với c > 0 thì a < b  ac > bc;
 Với n  Z+ thì 0 < a < b  a2n < b2n;
0  a  b


 ac < bd;
0  c  d

 a < b  3 a < 3 b , a  R.

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC

I– PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k  1 (gọi là giả
thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
* Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n  p (p là
một số tự nhiên) thì:
Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.
Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k  p và
phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị ngun
dương n, ta thực hiện như sau:
 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số ngun dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh
rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số ngun dương n  p
thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số ngun dương bất kì n = k  p và phải
chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

§2. DÃY SỐ

I– ĐỊNH NGHĨA:
1. Đònh nghóa dãy số: Mỗi hàm số u xác đònh trên tập các số nguyên dương N *
được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u: N*  R
n  u(n).
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển : u1, u2, u3,…, un,…, trong đó un = u(n)
hoặc viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng
quát của dãy số.
2. Đònh nghóa dãy số hữu hạn:
Mỗi hàm số u xác đònh trên tập M={1, 2, 3, …, m} với m N* được gọi là một
dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,…, um, trong đó u1 là số hạng đầu, um là số
hạng cuối.
II– CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ:
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát :
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi:
III– BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ:
Ví dụ: Các số hạng của dãy số cho bởi công thức u n=

n 1
n

được biễu diễn trên trục

số như sau:
0

1

5

4

4

3

u4 u3

3
2

2

u2

u1

u(n)

IV– DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN:
1. Dãy số tăng, dãy số giảm:
 Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n  N*.
 Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi n  N*.
* Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm.
Chẳng hạn, dãy số (un) với un =  3n , tức là dãy số: -3, 9, -27, 81,… không tăng và
cũng không giảm.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

2. Dãy số bò chặn:
 Dãy số (un) được gọi là bò chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un  M, n  N*.
 Dãy số (un) được gọi là bò chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un  m, n  N*.
 Dãy số (un) được gọi là bò chặn nếu nó vừa bò chặn trên vừa bò chặn dưới, tức là tồn
tại các số m, M sao cho m  un  M , n  N*.

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1. Dãy số

u: *
n u(n)

Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …

2. Dãy số tăng, dãy số giảm
 (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*.

 un+1 – un > 0 với nN*

un1

 (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N*.
 un+1 – un< 0 với  n  N* 
3. Dãy số bị chặn
 (un) là dãy số bị chặn trên
 (un) là dãy số bị chặn dưới
 (un) là dãy số bị chặn

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

un

 1 với

un1
un

n  N* ( un > 0).

 1 với

n N* (un > 0).

 M  R: un  M, n  N*.
 m  R: un  m, n  N*.
 m, M  R: m  un  M, n  N*.

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

§3. CẤP SỐ CỘNG

I– ĐỊNH NGHĨA:
 Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ
hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
 Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
 Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi:
un+1= un + d với n  N*
 Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng
đều bằng nhau).
II– SỐ HẠNG TỔNG QUÁT:
Đònh lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng
quát un được xác đònh bởi công thức:
un = u1 + (n – 1)d với n  2
III– TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG:
Đònh lí: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là
trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghóa là
uk =

uk 1  uk 1
với k  2
2

IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG:
Đònh lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un. Khi đó:
Sn =

n(u1  un )
2

* Chú ý: Vì un = u1 + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết:
Sn = nu1 +

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

n(n  1)
d
2

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐS-GT 11

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

§4. CẤP SỐ NHÂN

I– ĐỊNH NGHĨA:
 Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ
hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó vớ i một số không đổi q.
 Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
 Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:
un 1  un .q với n  N*.

* Đặc biệt:
Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,…,0,…
Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1,…, u1,…
Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0,…
II– SỐ HẠNG TỔNG QUÁT:
Đònh lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un
được xác đònh bởi công thức:
un  u1.q n 1 với n  2

III– TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN:
Đònh lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và
cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghóa là:
uk2  uk 1.uk 1 (hay uk  uk 1.uk 1 ) với k  2 .

IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN:
Đònh lí: Cho cấp số nhân (un) với công bội q  1. Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Khi đó:
Sn 

u1 (1  q n )
1 q

 Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1,…, u1,… Khi đó Sn = n.u1.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ



x

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×