Tải bản đầy đủ

PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM TRÊN NGHIỆM DƯỚI GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

Bùi Thị Oanh

PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM TRÊN NGHIỆM DƯỚI
GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. HOÀNG QUỐC TOÀN

HÀ NỘI - 2014


Mục lục

Mở đầu

3

1 Cơ sở toán học
1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Khái niệm về không gian Sobolev . . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian H01 (Ω) và H −1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Toán tử vi phân đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai . .
1.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace . . . . . . . .
1.3.1 Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Nguyên lý cực đại cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Toán tử −∆ của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . .
1.3.5 Các tính chất của toán tử −∆ . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phương pháp biến phân ứng dụng vào bài toán Dirichlet đối
phương trình elliptic nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . .

. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
với
. .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

. 14

2 Nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp lặp đơn điệu trong
không gian Banach
2.1 Tập hợp nón thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và phép xấp xỉ liên tiếp .
2.3 Áp dụng vào phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phân nửa tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và bài toán biên Dirichlet nửa tuyến tính đối với toán tử Laplace
3.1 Phương pháp nghiệm trên, nghiệm dưới . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Phương pháp nghiệm trên yếu, nghiệm dưới yếu . . . . . . . . . .
3.3 Một số ví dụ áp dụng của phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới
vào các bài toán biên Elliptic nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . .

Kết luận

6
6
6
7
9
10
10
11
11
11
13

16
16
19
22
22
24

27
27
33
40
49

1


Tài liệu tham khảo

50

2


Mở đầu
Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu và nghiên cứu về: "Phương pháp
nghiệm trên nghiệm dưới giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic".
Nguyên tắc của phương pháp này dựa vào nguyên lý cực đại của nghiệm của
phương trình elliptic. Bản luận văn này gồm ba chương trong đó gồm phần kiến
thức cơ bản và hai chương chính:
Chương 1. Cơ sở toán học
Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại. Đó là:
- Không gian Sobolev
- Toán tử vi phân đạo hàm riêng Elliptic tuyến tính cấp hai
- Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace: Phương trình Laplace, nguyên
lý cực đại cực tiểu, bất đẳng thức Harnck, toán tử −∆ và các tính chất của toán
tử −∆
- Phương pháp biến phân ứng dụng vào bài toán Dirichlet đối với phương trình
elliptic nửa tuyến tính.
Chương 2. Nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp lặp đơn điệu trong không
gian Banach
Ở chương này, luận văn đi vào trình bày khái niệm về tập hợp nón thứ tự, từ
đó dẫn đến phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và phương pháp xấp xỉ liên
tiếp. Thông qua đó tác giả luận văn đã có một số ví dụ minh họa áp dụng vào
phương trình vi phân để giải bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phân
nửa tuyến tính.
Chương 3. Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và bài toán biên Dirichlet nửa
tuyến tính đối với toán tử Laplace
Ở chương này, luận văn đề cập hai mảng: Nghiệm trên, nghiệm dưới và nghiệm
trên yếu, nghiệm dưới yếu. Trong chương này chúng tôi giới thiệu khái niệm
3


"nghiệm trên nghiệm dưới" của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace,
chứng minh định lý cơ bản của phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới. Và đã
đưa ra được một số ví dụ áp dụng của phương pháp nghiệm trên nghiệm trên
nghiệm dưới vào các bài toán biên elliptic nửa tuyến tính.
Mặc dù bản thân đã cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa
học nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chế nên trong quá
trình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất. Rất mong nhận được
sự góp ý của thầy cô và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

4


Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS
Hoàng Quốc Toàn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp
các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà
Nội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013 đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quá
trình học tập và làm luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Học viên
Bùi Thị Oanh

5


Chương 1

Cơ sở toán học
1.1
1.1.1

Không gian Sobolev
Khái niệm về không gian Sobolev

Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn , với biên ∂Ω.
Ký hiệu C0∞ (Ω) là không gian tuyến tính các hàm ϕ(x) khả vi vô hạn và có giá
compact trong Ω. Rõ ràng:
C0∞ (Ω) ⊂ Wk,p (Ω)

Giả sử Ω ⊂ Rn là một miền mở liên thông, ta định nghĩa không gian Sobolev:
W k,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα (u) ∈ Lp (Ω), ∀α :| α |≤ k}

với chuẩn :
u

p
Wk,p

Dα u

=

p
Lp

|α|≤k


u

p
Wk,+∞

= M ax Dα u
|α|≤k

L+∞

Ta chú ý rằng phép đạo hàm của hàm suy rộng là liên tục theo nghĩa hội tụ
yếu trong L1loc (Ω). Nhiều tính chất của không gian Lp (Ω) cũng đúng trong không
gian W k,p (Ω).

Nhận xét 1.1.
• Với p = 2 : H k (Ω) = W k,2 (Ω), k = 1, 2, ... là không gian Hilbert.

6


• H 0 (Ω) ≡ L2 (Ω).

Định lý 1.1. Với k ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞, W k,p (Ω) là một không gian Banach.
Không gian W k,p (Ω) là không gian phản xạ nếu và chỉ nếu 1 < p < +∞. Hơn
nữa W k,2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng:
u, v

Wk,2

Dα uDα vdx

=
|α|≤k Ω

Với 1 ≤ p ≤ +∞, W k,p (Ω) là không gian tách được.

Định lý 1.2. Định lý nhúng Sobolev
Giả sử Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên Lipchitz, k ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞. Khi đó:
np
thì ta có phép nhúng: W k,p (Ω) → Lq (Ω) là liên
n − kp
n.p
tục và phép nhúng là compact nếu q <
.
n − k.p
k
n
ii) Nếu 0 ≤ m < k − < m + 1, 0 ≤ α ≤ k − m − thì phép nhúng liên tục
p
p
n
k,p
m,α
W (Ω) → C
(Ω) và phép nhúng là compact nếu α < k − m −
p

i) Nếu k, p < n, 1 ≤ q ≤

Tính compact của phép nhúng W k,p (Ω) → Lq (Ω) là hệ quả của định lý Rellich
KondraKov.

Nhận xét 1.2.
Định lý nhúng Sobolev vẫn đúng với các không gian W k,p (Ω) trên mọi miền
Ω bị chặn.

1.1.2

Không gian H01 (Ω) và H −1 (Ω)

Giả sử Ω là miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω.
Ký hiệu C0∞ (Ω) là không gian tuyến tính các hàm ϕ(x) khả vi vô hạn và có giá
compact trong Ω. Trong C0∞ (Ω) ta đưa vào tích vô hướng và chuẩn như sau:
Dϕ1 .Dϕ2 dx, với ϕ1 (x), ϕ2 (x) ∈ C0∞ (Ω)

(ϕ1 , ϕ2 ) =


7

(1.1)


ϕ

H01 (Ω)

|Dϕ|2 dx, ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω)

=

(1.2)



trong đó Dϕ là véc tơ đạo hàm (hay là vectơ gradient) của hàm ϕ(x), x ∈ Ω.
Dϕ = (

∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ
,
, ...,
)
∂x1 ∂x2
∂xn
n

Dϕ1 .Dϕ2 =
i=1
n

|Dϕ|2 =
i=1

∂ϕ1 ∂ϕ2
.
∂xi ∂xi
∂ϕ
∂xi

2

Khi đó C0∞ (Ω) trở thành không gian tiền Hilbert. Ta ký hiệu H01 (Ω) là bổ sung
đủ của C0∞ (Ω) theo chuẩn (1.2). Khi đó H01 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô
hướng (1.1) và chuẩn (1.2). Hơn nữa H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω).
Theo đinh lý nhúng Sobolev thì phép nhúng H01 (Ω) vào L2 (Ω) là compact
nghĩa là nếu M ⊂ H01 (Ω) là một tập bị chặn thì M là tập compact tương đối
trong L2 (Ω).
Ký hiệu H −1 (Ω) là đối ngẫu của H01 (Ω), có nghĩa là H −1 (Ω) là không gian các
phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trong H01 (Ω).
f : H01 (Ω) → R
u → f, u
., . ký hiệu là phép toán f tác động vào hàm u ∈ H01 (Ω).
f

−1

=

sup
u∈H01 (Ω)

| f, u |
u H01 (Ω)

Định lý 1.3. Bất đẳng thức Poicaré Giả sử Ω là miền bị chặn trong RN , d
là đường kính của Ω, u ∈ H01 (Ω). Khi đó
|u|2 dx ≤ d2


|Du|2 dx


Từ đó ta có định lý sau:
8


Định lý 1.4. Giả sử Ω ⊂ RN là miền bị chặn thuộc lớp C 1 , tồn tại một hằng số
c = c(Ω) sao cho với mọi u ∈ H01 (Ω) ta có:
|u|2 dx ≤ c2 (


1.2

|Du|2 dx +


|u|2 dσ)
∂Ω

Toán tử vi phân đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai

Trong miền Ω ⊂ Rn ta xét toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai
có dạng :
n

(A) : Lu := −
i,j=1

∂ 2u
aij (x)
+
∂xi ∂xj

n

bi (x)
i=1

∂u
+ c(x).u
∂xj

hoặc dạng tự liên hợp (Divergence)
n

(B) : Lu := −
i,j=1


∂u
(aij (x)
) + c(x).u
∂xi
∂xj

với các hệ số bi chặn aij (x) = aji (x), bi (x), c(x).
Toán tử vi phân đạo hàm riêng L được gọi là elliptic tại điểm x ∈ Ω nếu:
n

aij (x)ξi ξj = 0, ∀ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) = 0, ξ ∈ Rn

L0 (ξ) =
i,j=1

Nếu L là elliptic tại mọi điểm x ∈ Ω thì L được gọi là toán tử elliptic trong Ω.
Khi đó L0 (ξ) giữ nguyên dấu + hoặc − tại x ∈ Ω với mọi ξ = 0, ξ ∈ Rn .
Như vậy không giảm tổng quát ta có thể giả thiết L0 (ξ) > 0, ∀ξ ∈ Rn , ∀x ∈ Ω
Do đó sẽ tồn tại λ > 0 sao cho:
n

aij (x)ξi ξj ≥ λ |ξ|2 , ∀ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn , ∀x ∈ Ω.
i,j=1

9


1.3
1.3.1

Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace
Phương trình Laplace

Giả sử Ω là tập mở trong Rn , ϕ(x) ∈ C 2 (Ω). Ta ký hiệu:
n

∂ 2ϕ
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
∂ 2ϕ
=
+ 2 + ... + 2
∂xn
∂x2i
∂x21
∂x2

∆ϕ(x) =
i=1

Toán tử vi phân:

n

∆=
i=1

∂2
∂x2i

được gọi là toán tử Laplace hay thường gọi là Laplacian.
∆ϕ: là biểu thức Laplacian của hàm ϕ(x).

Phương trình ∆ϕ = 0, x ∈ Ω được gọi là phương trình Laplace và phương trình
vi phân không thuần nhất:
∆ϕ = f (x), x ∈ Ω

được gọi là phương trình poisson.
Hàm u(x) ∈ C 2 (Ω) được gọi là hàm điều hòa trong Ω nếu: ∆u(x) = 0 với mọi
x∈Ω

Hàm u(x) ∈ C 2 (Ω) được gọi là hàm điều hòa dưới trong Ω nếu ∆u(x) ≥ 0( hay
−∆u ≤ 0), x ∈ Ω và được gọi là hàm điều hòa trên trong Ω nếu ∆u(x) ≤ 0( hay
−∆u ≥ 0), x ∈ Ω

Nếu Ω0 là miền bị chặn trong Rn với biên trơn ∂Ω0 , →
ν là vectơ pháp tuyến

đơn vị ngoài của Ω0 , khi đó với mọi trường vectơ w = (w1 , w2 , ...wn ) ∈ C 1 (Ω0 ), ta
có công thức Oxtrogradski:
divwdx =
Ω0

w.vds


Thay w = Du, u ∈ C 2 (Ω0 ) ta có công thức Green đối với toán tử Laplace:
∂u
ds
∂ν

∆udx =
Ω0

∂Ω

10


1.3.2

Nguyên lý cực đại cực tiểu

Giả sử Ω là một miền trong Rn ( nói cách khác Ω là một tập mở và liên thông
trong Rn ). Khi đó nguyên lý cực đại đối với hàm điều hòa dưới và nguyên lý cực
tiểu đối với hàm điều hòa trên như sau:

Định lý 1.5. Giả sử Ω là miền bị chặn và u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) sao cho:
i) ∆u ≥ 0 trong Ω. Khi đó: sup u = sup u, x ∈ Ω


∂Ω

ii) ∆u ≤ 0 trong Ω. Khi đó: inf u = inf u


∂Ω

iii)u là hàm điều hòa trong Ω. Khi đó: inf u ≤ u(x) ≤ sup u, x ∈ Ω
∂Ω

∂Ω

Hệ quả 1.1.
Nếu u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) sao cho:
∆u = ∆v trong Ω
u = v trên ∂Ω

Khi đó u(x) = v(x) với mọi x ∈ Ω.

1.3.3

Bất đẳng thức Harnack

Giả sử Ω là miền trong Rn .u(x) là hàm điều hòa không âm trong Ω. Khi đó
với mọi miền con bị chặn Ω ⊂⊂ Ω tồn tại hằng số c = c(u, Ω , Ω) > 0 sao cho
sup u ≤ c. inf u




1.3.4

Toán tử −∆ của bài toán Dirichlet

Ta kí hiệu: −∆ là toán tử:
−∆ : H01 (Ω) → H −1 (Ω)

(1.3)

(−∆u; v) = (Du; Dv), ∀u, v ∈ H01 (Ω)

(1.4)

xác định theo công thức:

11


hoặc dưới dạng tích phân đó là:
Du.Dvdx, ∀u, v ∈ H01 (Ω)

(−∆u; v) =


Ta chú ý rằng: ∀u, v ∈ C0∞ (Ω) thì :
(−∆u; v) =

Du.Dvdx


n

=
i=1 Ω
n

=
i=1 Ω
n

∂u ∂v
∂xi ∂xi dx
2

∂u

(v. ∂x
)−v. ∂∂xu2 )dx
( ∂x
i
i

=−
i=1 Ω
n

=−
i=1 Ω

i

n

2

v. ∂∂xu2 dx +
i


∂xi .v.cos(xi ; v)ds

i=1 ∂Ω

2
v. ∂∂xu2 dx
i

Từ đó suy ra:

n

−∆u =
i=1

∂ 2u
∂x2i

và ∆ là toán tử Laplace. Toán tử −∆ được xác định bởi (1.3) và (1.4) được gọi
là toán tử của bài toán Dirichlet với điều kiện biên thuần nhất đối với phương
trình Laplace.
−∆u = f (x) trong Ω
u = 0 trên ∂Ω

(1.5)

Định nghĩa 1.1.
Giả sử f ∈ L2 (Ω). Hàm u ∈ H01 (Ω) được gọi là nghiệm suy rộng tức là nghiệm
yếu của bài toán Dirichlet (1.5) nếu nó thỏa mãn điều kiện:
(Du; Dv) = (f ; v), ∀v ∈ C0∞ (Ω)

Nhận xét 1.3.
Nếu nghiệm suy rộng u của bài toán Dirichlet (1.5) thỏa mãn điều kiện
u ∈ H01 (Ω) ∩ C 2 (Ω) thì:

1. u ∈ H01 (Ω) cho ta (Du; Dv) = (f ; v), ∀v ∈ C0∞ (Ω)
2. u ∈ C 2 (Ω) cho ta (Du; Dv) = (−∆u; v), ∀v ∈ C0∞ (Ω). Nghĩa là: (−∆u; v) =
(f ; v), ∀v ∈ C0∞ (Ω) hay −∆u = f trong Ω.

Vậy u là nghiệm cổ điển của bài toán.

12


1.3.5

Các tính chất của toán tử −∆

Xét u ∈ H01 (Ω) bất kỳ. Từ định nghĩa 1.1 của toán tử −∆, ta có:
2
L2 (Ω)

(−∆u; u) = (Du; Du) = Du

(1.6)

Theo bất đẳng thức Poincare tồn tại γ > 0 sao cho:
Du

2
L2 (Ω)

≥ γ. u

2
H01 (Ω) , ∀u

∈ H01 (Ω)

Hơn nữa:
(−∆u; u) ≤ ∆u

H −1 (Ω) .

u

(1.7)

H01 (Ω)

Do đó:
γ. u

2
H01 (Ω)

≤ −∆u

H −1 (Ω) .

u

H01 (Ω)

Vậy ta có khẳng định sau:
c. u

H01 (Ω)

≤ −∆u

(1.8)

H −1 (Ω)

với c > 0 nào đó. Ta đi đến định lý sau:

Định lý 1.6. Toán tử − : H01 (Ω) −→ H −1 (Ω) là ánh xạ 1 - 1 và lên.
Định lý 1.7. Toán tử nghịch đảo T của toán tử −∆ là compact, xác định dương
và tự liên hợp trong L2 (Ω).
Nhận xét 1.4.
Từ định lý 1.7 ta suy ra tồn tại một cơ sở trực giao trong L2 (Ω) ký hiệu là:

{ui }∞
i=1 gồm các hàm riêng của toán tử T ứng với các giá trị riêng {µi }i=1 trong

đó µi > 0 giảm dần về 0 khi j → +∞, tức là: T ui = µi ui ; µi

0. Hơn nữa, vì:

T : L2 (Ω) −→ H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω)

nên từ đẳng thức trên ta suy ra ui ∈ H01 (Ω) với mọi i = 1, 2...
Mặt khác cũng từ đẳng thức trên ta có:
T −1 (T ui ) = T −1 (µi ui ) = µi (−∆ui )
13


Do đó: −∆ui =

1
µi u i

Điều đó chứng tỏ rằng toán tử −

có dãy các hàm riêng {ui } trong H01 (Ω) tương

1
đơn điệu tăng khi i −→ +∞, nghĩa
µi
là: 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λi ≤ ..., λi −→ ∞ khi i −→ ∞.

ứng với dãy các giá trị riêng {λi }∞
i=1 , λi =

1.4

Phương pháp biến phân ứng dụng vào bài toán Dirichlet
đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính

Giả sử Ω ⊂ Rn là miền bị chặn. Ta xét bài toán Dirichlet sau đây:
−∆u(x) = f (x, u(x)) trong Ω
u(x) = 0 trên ∂Ω.

(1.9)

trong đó f (x, s), x ∈ Ω, s ∈ R là hàm không tuyến tính đối với s, liên tục theo
(x, s) ∈ Ω × R.

Định nghĩa 1.2.
Hàm u ∈ H01 (Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán (1.9) nếu và chỉ
nếu:
f (x, u0 ).vdx với mọi v ∈ H01 (Ω)

∇u0 .∇v0 dx =


(1.10)



Giả thiết rằng:
|f (x, s)| ≤ c.(1 + |s|), s ∈ R, x ∈ Ω

với c là hằng số.

(1.11)

s

F (x, s) =

f (x, t)dt
0

Đặt I : H01 (Ω) → R là phiếm hàm xác định trên H01 (Ω) theo công thức:
1
I(u) = . |∇u|2 dx − F (x, u)dx, u ∈ H01 (Ω)
2 Ω


14

(1.12)


u ∈ H01 (Ω) được gọi là phiếm hàm Euler- Lagrange liên kết với bài toán (1.9).

Khi đó I là phiếm hàm khả vi liên tục theo nghĩa Fréchet và đạo hàm Fréchet
I (u) của nó được xác định theo công thức:
I(u + τ v) − I(u)
= (I (u), v)
τ →0
τ
lim

với mọi v ∈ H01 (Ω)và
f (x, u).vdx với mọi v ∈ H01 (Ω)

∇u.∇vdx −

(I (u), v) =


(1.13)



Hàm u0 ∈ H01 (Ω) sao cho:
(I (u0 ), v) = 0 với mọi v ∈ H01 (Ω) được gọi là điểm tới hạn của phiếm hàm I.

Từ (1.10) và (1.13) ta suy ra nếu u0 ∈ H01 (Ω) là điểm tới hạn của phiếm hàm
I thì u0 là nghiệm yếu của bài toán (1.9).
Nội dung của phương pháp biến phân là đưa việc chứng minh sự tồn tại
nghiệm yếu của bài toán (1.9) về việc chứng minh sự tồn tại điểm tới hạn của
phiếm hàm Euler - Lagrange liên kết với nó.

15


Chương 2

Nghiệm trên nghiệm dưới và
phương pháp lặp đơn điệu trong
không gian Banach
2.1

Tập hợp nón thứ tự

Trong mục này ta quan tâm đến một khả năng mở rộng khái niệm về hàm
đơn điệu cho toán tử trong không gian Banach vô hạn chiều.
Ta nhắc lại, hàm số f : R −→ R được gọi là hàm đơn điệu tăng nếu với mọi:
x, y ∈ R mà x ≤ y thì f (x) ≤ f (y)

(2.1)

Rõ ràng điều kiện (2.1) có thể viết lại dưới dạng:
Hàm f : R −→ R là đơn điệu tăng nếu với mọi x, y ∈ R thì :
(f (x) − f (y))(x − y) ≥ 0

(2.2)

Để mở rộng khái niệm "đơn điệu tăng" cho trường hợp tổng quát chúng ta
phải đưa vào một quan hệ bất đẳng thức trong không gian Banach mà chúng ta
sẽ sử dụng tương tự như khái niệm bất đẳng thức trong tập hợp số thực.

Định nghĩa 2.1.
Giả sử X là một không gian Banach thực và K là tập hợp con của X . Khi đó
K được gọi là tập hợp nón thứ tự nếu:

i) K là tập hợp đóng, khác rỗng và K = {0} .
ii) ∀a, b ∈ R, a, b ≥ 0, ∀x, y ∈ K thì a.x + b.y ∈ K
16


iii) x ∈ K và −x ∈ K thì x = 0
Khi đó ta định nghĩa : Cho x, y ∈ X
Nếu y − x ∈ K thì ta nói x ≤ y
Nếu x ≤ y và x = y thì x < y
Nếu y − x ∈ intK thì x

(2.3)

y

Giả sử x, y ∈ X ta kí hiệu: [x; y] = {z ∈ X : x ≤ z ≤ y}
Tập hợp [x; y] được gọi là "đoạn x, y " trong X .

Chú ý 2.1.
Điều kiện ii) trong định nghĩa 2.1 tương đương với điều kiện sau đây:
ii’) K là tập hợp lồi và nếu x ∈ K, a ≥ 0 thì ax ∈ K .
Thật vậy, giả sử x, y ∈ K, a, b ≥ 0 ⇒ ax + by ∈ K
Khi đó: Với t ∈ [0; 1], x, y ∈ K ⇒ t.x + (1 − t).y ∈ K ⇒ K lồi,
với x ∈ K, a ≥ 0 : a.x = a.x + 0.y ∈ K, ∀y ∈ K ⇒ a.x ∈ K
Ngược lại giả thiết K lồi và ∀x ∈ K, a ≥ 0 ⇒ a.x ∈ K
Khi đó với x, y ∈ K, a, b ≥ 0 ⇒ a.x ∈ K, b.y ∈ K
1
2

1
2

1
2

1
2

Vì K lồi nên ax + bx ∈ K . Do đó: 2( ax + bx) = ax + bx ∈ K
Định nghĩa 2.2.
Không gian Banach thực X được gọi là không gian Banach được sắp thứ tự
nếu X có một tập hợp nón thứ tự.
Ví dụ 2.1.
Ω là tập hợp bị chặn trong RN . X = C(Ω) là không gian Banach với chuẩn
f ∈ X : f = max | f (x) | .
C + (Ω) = {f ∈ C(Ω) : f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ Ω}

Khi đó K = C + (Ω) là tập nón thứ tự trong X và ta có:
f ≤ g nếu và chỉ nếu f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ Ω ⇔ f (x) − g(x) ∈ K.
f

g nếu và chỉ nếu f (x) < g(x) với mọi x ∈ Ω ⇔ f (x) − g(x) ∈ Int K .

Ví dụ 2.2.
Cho X = Rn . Đặt :
K = x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ; xi ≥ 0(i = 1, 2, ..., n) Khi đó: cho x, y ∈ Rn , ta có:

17


x≤y ⇔y−x∈K
x < y ⇔ y − x ∈ Int K

Định lý 2.1. Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự. Khi đó:
1) Với mọi u, x, xn , yn , y, z ∈ X, a, b ∈ R ta có :
• x≤x
• x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y
• x ≤ y và y ≤ z suy ra x ≤ z

2) Hơn nữa :
• Nếu x ≤ y, 0 ≤ a ≤ b thì ax ≤ by
• Nếu x ≤ y và u ≤ z thì x + u ≤ y + z
• Nếu xn ≤ yn với mọi n thì limn→∞ xn ≤ limn→∞ yn

Nếu các giới hạn này tồn tại. Thì giới hạn này được hiểu theo nghĩa giới hạn
theo chuẩn trong không gian Banach.

Chứng minh
Áp dụng (2.3) và tính chất của K chẳng hạn : Nếu xn ≤ yn với mọi n. Khi đó

yn − xn ∈ K . Vì K đóng và các giới hạn của {xn }∞
n=1 và {yn }n=1 tồn tại, ta có

limn→∞ (yn − xn ) tồn tại, do đó y − x ∈ K ⇒ x ≤ y

Tập K nón sắp thứ tự được gọi là chuẩn nếu tồn tại c > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ K, 0 ≤ x ≤ y thì:
x ≤ c.

y

Bổ đề 2.1. Giả sử K là một tập sắp thứ tự với nón chuẩn. Khi đó đoạn [x; y]
trong K là tập bị chặn.

Chứng minh
Giả sử w ∈ [x; y], tức là :
x ≤ w ≤ y . Khi đó : w − x ≤ y − x, do đó:
w = w−x+x ≤ w−x

+

x ≤c

Suy ra [x; y] bị chặn trong X .

Định nghĩa 2.3.
18

y−x

+

x .


Giả sử X và Y là không gian Banach sắp được. Toán tử:
T : X −→ Y
DomT −→ Y

Trong đó DomT được ký hiệu là miền xác định của T trong X ) được gọi là
tăng đơn điệu nếu x < y thì T (x) ≤ T (y) với mọi x, y ∈ DomT ,

(2.4)

Toán tử T được gọi là đơn điệu tăng thực sự nếu x < y thì T (x) < T (y) với mọi
x, y ∈ DomT và được gọi là đơn điệu tăng mạnh nếu x < y thì T (x)

T (y) với

mọi x, y ∈ DomT .
Tương tự như vậy ta có định nghĩa các toán tử đơn điệu giảm, đơn điệu giảm
thực sự hay đơn điệu giảm mạnh.
Toán tử T được gọi là dương nếu T (0) ≥ 0 và với mọi x ∈ DomT, x > 0 thì
T (x) ≥ 0.

Cũng tương tự như trên ta có thể định nghĩa toán tử dương thực sự hay
dương mạnh.
Chú ý rằng nếu X = Y = R và K = R+ . Khi đó đối với hàm f : R −→ R các
khái niệm đơn điệu tăng (hay giảm) ở trên trùng với định nghĩa thông thường.
Hơn nữa nếu T : X −→ Y là toán tử tuyến tính thì các khái niệm dương (hay
dương thực sự, dương mạnh) giống như đơn điệu tăng ( hay đơn điệu tăng thực
sự, đơn điệu tăng mạnh).
Thật vậy, giả sử T là toán tử tuyến tính dương. Khi đó ta có: nếu x < y ⇒
0 < y − x ⇒ 0 ≤ T (y − x) ⇒ 0 ≤ T (y) − T (x) ⇒ T (x) ≤ T (y) tức là T đơn điệu

tăng.
Các chứng minh khác được tiến hành tương tự.

2.2

Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và phép xấp xỉ
liên tiếp

Giả sử X là không gian Banach được sắp thứ tự. T : X −→ X là một toán tử
ánh xạ không gian X vào chính nó. Ta xét phương trình toán tử: u = T (u) (2.5).
Ý tưởng của chúng ta sau đây là áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp cách
giải phương trình (2.5).

19


Định nghĩa 2.4.
Điểm u ∈ X được gọi là nghiệm trên của phương trình (2.5) (hay của toán tử
T ) nếu:
T (u) ≤ u

Điểm u ∈ X được gọi là nghiệm dưới của phương trình (2.5) nếu u ≤ T (u)
Nguyên lý tổng quát của phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới được phát
biểu như sau:
Nếu tồn tại nghiệm trên và nghiệm dưới của phương trình (2.5), thì nghiệm
của phương trình (2.5) có thể tìm được nhờ phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
un+1 = T (un ) và vn+1 = T (vn ), (n = 0, 1, 2, ...)

(2.6)

trong đó u0 là nghiệm dưới và v0 là nghiệm trên của phương trình (2.5).

Định lý 2.2. Giả sử T : X −→ X là một toán tử đơn điệu tăng, compact trong
không gian Banach được sắp thứ tự với nón chuẩn , u0 là nghiệm dưới, v0 là

nghiệm trên của phương trình (2.5). Khi đó các dãy {un }∞
n=1 và {vn }n=1 trong

(2.6) hội tụ nếu và chỉ nếu các dãy này bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới).
Nếu các dãy này hội tụ thì điểm giới hạn u = limn→+∞ un là điểm cố định bé
nhất của T , u0 ≤ u, và v = limn→+∞ vn là điểm cố định lớn nhất của T , v ≤ v0 .

Chứng minh
Ta xét trường hợp nghiệm dưới
Vì T là đơn điệu tăng nên: u0 ≤ T (u0 ) = u1 , u2 = T (u1 ) ≥ T (u0 ) = u1 ...
Tương tự ta có: u0 ≤ u1 ≤ u2 ≤ ...
Nếu tồn tại limn→+∞ un = u thì ta sẽ có un ≤ u với mọi n. Do đó dãy {un } bị
chặn trên. Ngược lại nếu dãy {un }∞
n=1 bị chặn trên thì dãy đó sẽ hội tụ. Thật
vậy, giả sử un ≤ v với mọi n. Khi đó u0 ≤ un ≤ v với mọi n.
Theo bổ đề 2.1 dãy {un } bị chặn trên theo chuẩn:

u0 ≤ un ≤ v .

Vì un = T (un−1 ) và vì T là toán tử compact nên dãy {un } compact tương đối.
Do đó sẽ tồn tại dãy con {unk }∞
và u sao cho unk → u trong X .
k=1
Mặt khác vì dãy {un }∞
n=1 đơn điệu nên tất cả các dãy con hội tụ đều có cùng
giới hạn. Từ đó suy ra dãy {un } cũng hội tụ và có giới hạn u.
Vì un+1 = T (un ), (n = 0, 1, 2, ...), cho n −→ +∞ ta có u = T (u).
Nếu w ∈ X và w ≥ u0 cũng là một nghiệm của (2.5). Khi đó: u1 = T (u0 ) ≤
20


T (w) = w. Từ đó ta suy ra: un ≤ w với mọi n:

Qua giới hạn khi n −→ +∞ ta suy ra u ≤ v
Vậy u là nghiệm bé nhất của (2.5).
Việc chứng minh cho nghiệm trên được làm tương tự.

Hệ quả 2.1.
Phương pháp lặp đơn điệu
Cho X là không gian Banach thực, sắp được với nón chuẩn, T : X −→ X là ánh
xạ X vào chính nó. Giả sử u0 và v0 là nghiệm dưới và nghiệm trên của phương
trình (2.5), u0 ≤ v0 . Khi đó, nếu T là toán tử compact, đơn điệu tăng trên đoạn

[u0 ; v0 ] thì cả hai dãy lặp {un }∞
n=1 và {vn }n=1 được xác định bởi (2.6) đều hội tụ và

u = limn→+∞ un , v = limn−→+∞ vn

là điểm bất động bé nhất và lớn nhất tương ứng của T tức là u = T (u), v = T (v).
Hơn nữa ta có:
u0 ≤ un ≤ u ≤ v ≤ vn ≤ v0 , ∀n = 0, 1, 2, ...

Chứng minh
Vì u0 ≤ T (u0 ), T (v0 ) ≤ v0 và u0 ≤ v0 , T là đơn điệu tăng nên ta có:
u0 ≤ T (u0 ) = u1 ≤ v1 = T (v0 ) ≤ v0 ,

Lý luận tiếp tục như vậy ta có:
u0 ≤ u1 ≤ u2 = T (u1 ) ≤ T (v1 ) = v2 ≤ v1 ≤ v0

cuối cùng ta có:
un = T (un−1 ) ≤ v0 , u0 ≤ vn = T (vn−1 ), n = 0, 1, ...

Như vậy dãy un đơn điệu tăng và bị chặn trên, còn dãy vn đơn điệu giảm và bị
chặn dưới.
Do đó theo định lý 2.2, các dãy này đều hội tụ và ta có:
u = limn→+∞ un , v = limn→+∞ vn

là các nghiệm của phương trình (2.5) với u = T (u), v = T (v) và ta có: un ≤ u ≤
v ≤ vn , ∀n = 0, 1, 2, ...

21


2.3

Áp dụng vào phương trình vi phân

2.3.1

Bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phân nửa tuyến tính

Ta xét bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phân sau:
−x (t) = f (t, x(t)), t ∈ (0; 1)
x(0) = x(1) = 0

(2.7)

trong đó: f : [0; 1] × R −→ R là hàm liên tục theo biến thứ nhất t và khả vi liên
tục theo biến thứ hai x.
Giả sử u0 , v0 ∈ C 2 ([0; 1]) là các hàm số thỏa mãn tương ứng các điều kiện sau
đây:
−u0 (t) ≤ f (t; u0 (t)), t ∈ (0; 1)
u0 (0) ≤ 0, u0 (1) ≤ 0.

(2.8)


−v0 (t) ≥ f (t; v0 (t)), t ∈ (0; 1)
v0 (0) ≥ 0, v0 (1) ≥ 0

(2.8)

Ký hiệu:
α = min u0 (t), β = max v0 (t)
t∈[0;1]

t∈[0;1]

Theo giả thiết f (t, s) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [0; 1] × [α; β], khả vi
liên tục theo biến thứ hai. Do đó ta có thể chọn hằng số c > 0 đủ lớn sao cho:
∂f
(t, s) + c > 0, ∀(t, s) ∈ [0; 1] × [α; β]
∂s
Vì với g(t) ∈ C[0; 1], bài toán Dirichlet
−ω (t) + c.ω(t) = g(t), t ∈ [0; 1]
ω(0) =ω(1) = 0

(2.9)

có nghiệm duy nhất, do đó ta có thể xác định được ánh xạ: T : C[0; 1] −→ C[0; 1]
sao cho
C[0; 1]

g(t) −→ T (g) = ω(t) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.8).

Ký hiệu A là toán tử của bài toán (2.9)
Aω = −ω ” (t) + cw(t), DomA = {ω(t) ∈ C 2 ([0; 1]) : ω(0) = ω(1) = 0}

Khi đó A−1 = T , đồng thời với mọi g(t) ∈ C[0; 1],
ω(t) = A−1 g = T g =

1
G(t, s)g(s)ds
0

trong đó G(t, s) là hàm Green

22


G(t, s) =

s(t − 1), 0 ≤ s ≤ t ≤ 1
t(s − 1), 0 ≤ t ≤ s ≤ 1

Hơn nữa vì G(t, s) ∈ C([0; 1] × [α; β]) cho nên theo tính chất của toán tử tích
phân, A−1 = T là toán tử compact từ C([0; 1]) −→ C([0; 1]).
Giả sử z(t) ∈ [α; β], ∀t ∈ [0; 1]
Ta xác định toán tử Nemytski
N : C([0; 1]) −→ C([0; 1])
z(t) → N (z) = f (t, z(t)) + cz(t) = F (t, z), t ∈ [0; 1]
DomN = z(t) ∈ C[0; 1] : z(t) ∈ [α; β], t ∈ [0; 1]

Xét toán tử hạn chế trên DomN
T = A−1 N : DomN −→ C[0; 1]
z(t) → T (z) = A−1 (F (t, z)) = A−1 (f (t, z(t) + cz(t)) = w(t)

trong đó w(t) là nghiệm của bài toán (2.8) ứng với hàm g(t) = f (t, z(t))+cz(t), t ∈
[0; 1]. Vì A−1 là toán tử compact nên T là toán tử compact. Ta sẽ chứng minh T

là toán tử đơn điệu tăng.
Thật vậy, giả sử z1 (t), z2 (t) ∈ DomN ⊂ C[0; 1] sao cho z1 ≤ z2
Đặt ωi (t) = T (zi (t)), (i = 1, 2). Khi đó:
−ωi (t) + c.ωi (t) = f (t, zi (t)) + c.zi (t), (i = 1, 2)
ωi (0) = ωi (1) = 0

Đặt ω = ω2 (t) − ω1 (t) = T (z2 ) − T (z1 )
Ta có:
−ω (t) + c.ω(t) = f (t, z2 (t)) + c.(z2 (t) − z1 (t)), (i = 1, 2)
ω(0) = ω(1) = 0, t ∈ (0; 1)

Hơn nữa ta chú ý rằng với c > 0 đủ lớn đã chọn sao cho hàm f (t, s) + c.s đơn
điệu tăng theo s, s ∈ [α; β] nên hàm:
F : (t, s) → f (t, s) + c.s, t ∈ [0; 1], s ∈ [α; β] là đơn điệu tăng theo s ∈ [α; β]. Do đó:

với z1 ≤ z2 , z1 (t), z2 (t) ∈ [α; β], ∀t ∈ [0; 1], ta có
0 ≤ F (t, z2 ) − F (t, z1 ) = f (t, z2 (t)) − f (t, z1 (t)) + c(z2 (t) − z1 (t)) = −ω ” (t) + c.ω(t)

23


Như vậy ta có:
−ω (t) + c.ω(t) ≥ 0, t ∈ (0; 1)
ω(0) = ω(1) = 0,

(2.10)

Ta sẽ chứng minh rằng ω(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0; 1]
Thật vậy giả sử tồn tại t ∈ (0; 1) sao cho ω(t) < 0 . Khi đó tồn tại t0 ∈ (0; 1)
sao cho 0 > ω(t0 ) = mint∈[0;1] ω(t). Nhưng tại t0 : ω ” (t0 ) ≥ 0, ω(t0 ) < 0 nên
−ω ” (t0 ) + cω(t0 ) < 0

Điều này mâu thuẫn với (2.10)
Vậy ω(t) = ω2 (t) − ω1 (t) = T (z2 ) − T (z1 ) ≥ 0 hay T (z2 ) ≥ T (z1 ) và T là toán tử
đơn điệu tăng. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng v0 ≥ T (v0 ) tức là v0 là nghiệm
trên của toán tử T .
Đặt: v1 = T (v0 ). Khi đó:
−v1” (t) + c.v1 (t) = f (t, v0 (t)) + c.v0 (t), t ∈ (0; 1)
v1 (0) = v1 (1) = 0

Đặt v(t) = v1 (t) − v0 (t). Khi đó từ (2.8) ta có :
−v ” (t) + c.v(t) = −(v1” (t) − v0” (t)) + c.(v1 (t) − v0 (t))
= f (t, v0 (t)) + c.v0 (t) + v0” (t) − c.v0 (t)
= f (t, v0 (t)) + v0” (t) ≤ 0, ∀t ∈ (0; 1)

Như vậy:
−v (t) + c.v(t) ≤ 0
v(0) = v(1) = 0

Lập luận tương tự như trên ta suy ra: v(t) ≤ 0, ∀t ∈ (0; 1)
hay v1 (t) − v0 (t) ≤ 0, ∀t ∈ (0; 1) ⇒ T (v0 ) = v1 (t) ≤ v0 (t), ∀t ∈ (0; 1)
Lặp lại lý luận này ta cũng suy ra rằng u0 ≤ T (u0 ) nếu u0 (t) ≤ v0 (t), ∀t ∈ (0; 1)
Khi đó theo hệ quả 2.1 bài toán Dirichlet (2.7) tồn tại nghiệm trong đoạn [u0 ; v0 ].

2.3.2

Ví dụ

Ví dụ 2.3.

24


x

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×