Tải bản đầy đủ

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨUTÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

HÀ THỊ LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

HÀ THỊ LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU

TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2015


Mục lục
Mở đầu

3

1 Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định
nghiệm của các hệ phương trình vi phân.
1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân
1.1.1 Hệ rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng Lyapunov
1.3 Số mũ đặc trưng của hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ phương trình
vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Phép biến đổi Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Một số ví dụ về phương pháp số mũ . . . . . . . . . . . . .
1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . . .
1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . . .
1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . . .

1.6 Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . .
2 Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov- Badanov để
nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực
2.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một vài khái
niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều . . . . . .
2.1.2 Định nghĩa tập bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Tập ω− giới hạn của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Điểm đứng yên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov. . . . . .
2.2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tính ổn định của tập V của hệ động lực f (p, t) . . . . . . .
1

5
6
6
7
8
9
9
9
10
11
15
15
16
17
17
17

20
21
21
21
21
22
22
22
23
24


2.2.3

Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kết luận

30

2


Mở đầu
Trong các mô hình ứng dụng của lý thuyết phương trình vi phân, chúng ta
thường gặp các bài toán liên quan đến các hệ phương trình vi phân phi tuyến
hoặc một tập nghiệm nào đó của các phương trình vi phân. Trong các trường
hợp này nếu sử dụng các phương pháp thông thường để nghiên cứu hệ động lực
tuyến tính hoặc hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể sẽ gặp nhiều khó
khăn, phức tạp. Từ lâu, người ta đã xây dựng được nhiều phương pháp khác
nhau để vượt qua các khó khăn trên (xem [4], [8], [1] ).
Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả liên quan tới
việc phát triển và cải tiến các phương pháp quen thuộc đã biết trong lý thuyết
định tính của phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov
hay phương pháp tập bất biến của hệ động lực ) và sử dụng chúng cho việc
nghiên cứu tính ổn định của chuyển động theo Lyapunov hoặc theo Lagrange.
Nội dung của luận văn có thể chia làm hai phần chính
- Phần thứ nhất trình bày lại các kết quả cơ bản về phương pháp số mũ
Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov.
- Phần thứ hai của bản luận văn dành cho việc trình bày lý thuyết số mũ đặc
trưng tổng quát Lyapunov - Badanov và tính ổn định của hệ động lực tổng quát
trong không gian mêtric.
Bố cục luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định
nghiệm của các hệ phương trình vi phân.
Chương 2: Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov - Badanov để nghiên
cứu tính ổn định của các hệ động lực.
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS.
Đặng Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi
trong việc hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,
3


trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức và những điều
tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn
phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục
học tập và bảo vệ luận văn.
Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân đã là chỗ dựa
vững chắc cho tôi trong cuộc sống và học tập.
Mặc dù đã có nhiều sự cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản
luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Hà Thị Ly

4


Chương 1

Sử dụng các phương pháp Lyapunov
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm
của các hệ phương trình vi phân.
Bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân là một
trong những bài toán cơ bản của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Để
xác lập các điều kiện đủ cho tính ổn định của các nghiệm hoặc tập nghiệm của
hệ phương trình vi phân ta có thể sử dụng các phương pháp của nhà toán học
Nga A.M. Lyapunov. Phương pháp này được Lyapunov xây dựng từ năm 1918
(xem [2] ) và ngày nay đã được phát triển thành một lý thuyết khá hoàn thiện
và có khả năng áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học
tự nhiên.
Trong chương 1 của bản luận văn này, chúng tôi sẽ dành cho việc trình bày
lại một số kết quả cơ bản nhất của các phương pháp nghiên cứu tính ổn định
chuyển động của Lyapunov. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov (xem [4] ) và
phương pháp hàm Lyapunov (xem [4], [8] ). Dựa vào các phương pháp cơ bản
này người ta có thể mở rộng và phát triển thành các phương pháp mới để áp
dụng cho một số dạng của hệ động lực quen thuộc (xem [10] ). Một trong các
mở rộng thú vị của các phương pháp Lyapunov mà chúng tôi sẽ đề cập tới trong
bản luận văn này là phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov- Badanov
(xem [6], [11] ). Phương pháp này sẽ được giới thiệu trong chương 2.
Một trong những vấn đề thường được thảo luận sâu sắc trong các công trình
nghiên cứu gần đây là "bình luận " về tính ưu việt hoặc các hạn chế còn để lại
trong các phương pháp nghiên cứu tính ổn định. Trong khuôn khổ của một bản
luận văn thạc sĩ chúng tôi xin phép không trình bày một cách chi tiết vấn đề
này. Chúng tôi sẽ dành sự quan tâm nhiều hơn cho việc xây dựng các ví dụ với
mục tiêu là ứng dụng các phương pháp đã được trình bày trong chương này cho
bài toán nhiễu.
5


Trước khi đi vào các phương pháp, chúng tôi đưa ra một số khái niệm về tính
ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân.

1.1

Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương
trình vi phân

1.1.1

Hệ rút gọn

Trong không gian Banach B xét hệ phương trình vi phân
dy
= Y (t, y) ,
dt

(1.1)

(0,1)
(Ω) và Ω = {(t, y) |a < t < ∞, y ∈ B} .
với Y ∈ Cty
Trong đó, mỗi điểm (t0 , y0 ) đối với hệ (1.1) với điều kiện ban đầu y (t, t0 , y0 ) =
y0 . Trong chương này ta giới hạn chỉ xét nghiệm thực.
Giả sử η = η (t) (a < t0 < ∞) là nghiệm của hệ (1.1) và ta cần nghiên cứu tính
ổn định của nó. Gọi UH(η(t)) là lân cận của nghiệm đó sao cho UH(η(t)) ⊂ B với
t ∈ [0, +∞), trong đó

UH(η(t)) = {t0 ≤ t < +∞ : y − η (t) < H < ∞} .

Ta đặt
x = y − η (t) ,

tức x là nghiệm lệch của nghiệm y đối với nghiệm η .Vì
η˙ ≡ Y (t, η (t)) ,

nên ta nhận được phương trình vi phân đối với x
dx
= G (t, x) ,
dt

(1.2)

trong đó,
(0,1)

G (t, x) = [Y (t, x + η (t)) − Y (t, η (t))] ∈ Ctx

(H0 ) ,

H0 = {a < t < ∞, x < H1 < +∞} .

Hơn nữa, rõ ràng G (t, 0) = 0. Do đó, hệ (1.2) có nghiệm tầm thường x = 0
tương ứng với nghiệm đã cho η = η (t). Hệ (1.2) được gọi là hệ rút gọn (hoặc
hệ phương trình của chuyển động bị nhiễu). Như vậy, sự nghiên cứu tính ổn
định của nghiệm η = η (t) được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm
thường x ≡ 0.

6


1.1.2

Các khái niệm về ổn định

Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân chúng ta thường áp
dụng các phương pháp của Lyapunov. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov hoặc
phương pháp hàm Lyapunov. Trước hết chúng tôi sẽ nhắc lại các khái niệm về
sự ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (1.2) được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.1. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2) được
gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu ∀ε > 0, t0 ∈ R+ ; ∃δ = δ (t0 , δ) > 0:
∀x0 ∈ H0 ; x0 < δ ⇒ x (t, t0 , x0 ) < ε; ∀t ≥ t0 .

Định nghĩa 1.2. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2)
được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.2) có thể
chọn không phụ thuộc vào t0 .
Định nghĩa 1.3. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2)
được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định.
(ii) Tồn tại ∆ > 0 sao cho với mọi x0 ∈ H0 và x0 < ∆ thì
lim

t→+∞

x (t, t0 , x0 (t)) = 0.

Định nghĩa 1.4. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2)
được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định đều.
(ii) Tồn tại ∆ = ∆ (t0 ) > 0 (không phụ thuộc vào t0 ) sao cho với mọi x0 ∈ H0 và
x0 < ∆ thì
lim x (t, t0 , x0 (t)) = 0.

t→∞

Định nghĩa 1.5. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2)
được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu như mọi nghiệm x (t) = x (t, t0 , x0 ) của
phương trình (1.2) luôn thỏa mãn bất đẳng thức
x (t) ≤ M.e−λ(t−t0 ) . x0 ; ∀t ≥ t0 ,

trong đó M ,λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x0 .
Định nghĩa 1.6. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2)
được gọi là ổn định mũ đều khi t → ∞ nếu như số M ở trên không phụ thuộc
vào t0 .
Nhận xét:
1. Nghiệm ổn định đều suy ra ổn định theo Lyapunov.
2. Nghiệm ổn định tiệm cận đều suy ra ổn định đều.
3. Nghiệm ổn định mũ suy ra ổn định tiệm cận và nghiệm ổn định tiệm cận suy
ra ổn định theo nghĩa Lyapunov.
Trên đây là một số khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình
vi phân. Mục tiếp theo chúng tôi trình bày các phương pháp để xét tính ổn định
nghiệm của phương trình vi phân. Trước tiên là phương pháp số mũ Lyapunov.
7


A. Phương pháp số mũ Lyapunov
1.2

Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng
Lyapunov

Cho một hàm giá trị phức f (t) xác định trên khoảng [t0 , +∞).
Định nghĩa 1.7. Định nghĩa về số mũ đặc trưng Lyapunov.
Số ( hoặc ký hiệu ±∞ ) được xác định bởi công thức
1
ln |f (t)| ,
t→∞ t

χ [f ] = lim

(1.3)

được gọi là số mũ đặc trưng Lyapunov của hàm f (t) (hay số mũ đặc trưng).
Quy ước: χ [0] = −∞.
Lưu ý một số tính chất:
1. χ [f ] = χ [|f |] .
2. χ [cf ] = χ [f ] ; |c| = 0.
3. Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| với t ≥ a thì χ [f ] ≤ χ [F ] .
Định lý 1.1. Số mũ đặc trưng của một tổng hữu hạn các hàm fk (t), k = 1, 2, ..., n
không vượt quá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của các hàm đó và
trùng với số đó nếu chỉ có một hàm số có số mũ đặc trưng bằng với số lớn nhất
đó.
Định lý 1.2. Số mũ đặc trưng của tích một số hữu hạn các hàm fk (t), k =
1, 2, ..., n không vượt quá tổng các số mũ đặc trưng của các hàm đó, tức là
n

n

fk (t) ≤

χ
k=1

χ [fk (t)].

(1.4)

k=1

Định nghĩa 1.8. Số mũ đặc trưng của f (t) được gọi là chặt nếu tồn tại giới
hạn hữu hạn
1
lim ln |f (t)| = α.
(1.5)
t→∞

t

Định lý 1.3. Hàm f (t) có số mũ đặc trưng chặt khi và chỉ khi
1
= 0.
f

χ [f ] + χ

8

(1.6)


Chú ý 1.1. Trong trường hợp này hiển nhiên f (t) = 0 với t > T .
Định lý 1.4. Nếu một hàm f (t) có số mũ đặc trưng chặt thì số mũ đặc trưng
của tích của các hàm f (t) và g(t) bằng tổng các số mũ đặc trưng của chúng.
χ [f g] = χ [f ] + χ [g] .

1.3

(1.7)

Số mũ đặc trưng của hàm ma trận

Ta xét ma trận
F (t) = {fij (t)} , i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m; m ≤ n,

được xác định trên [t0 , ∞).
Định nghĩa 1.9. Số (hoặc ký hiệu ±∞ ) được xác định bởi công thức
χ [F ] = max χ [fij ] ,
i,j

được gọi là số mũ đặc trưng của ma trận F (t).
Định lý 1.5. Số mũ đặc trưng của một tổng hữu hạn các ma trận không vượt
quá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của ma trận thành phần và trùng
với số đó nếu chỉ có một ma trận có số mũ đặc trưng lớn nhất đó.
Định lý 1.6. Số mũ đặc trưng của một tích hữu hạn các ma trận không vượt
quá tổng của các ma trận thành phần, tức là
N

N

Fs (t) ≤

χ

1.4

χ [Fs (t)].
s=1

s=1

Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ
phương trình vi phân tuyến tính

1.4.1

Phổ của hệ tuyến tính

Đầu tiên ta chứng minh một định lý có tính tổng quát.
Định lý 1.7. Nghiệm không tầm thường của hệ chuẩn tắc
x˙ = f (t, x) , x ∈ Rn , f (t, x) ≤ L x ,

có số mũ đặc trưng hữu hạn.
Chú ý 1.2. Với điều kiện bắt buộc đối với vế phải của hệ, nghiệm của hệ xác
định với mọi t ∈ R.
9


Bây giờ ta xét hệ tuyến tính
x˙ = A (t) x, x ∈ Rn , A ∈ C [t0 , ∞) .

(1.8)

Định lý 1.8. Nếu sup A (t) ≤ M thì nghiệm không tầm thường x(t) của hệ
t

tuyến tính (1.8) có số mũ đặc trưng hữu hạn và −M ≤ χ [x] ≤ M .
Định lý 1.9. Các hàm véc tơ x1 (t), x2 (t), ..., xm (t) được định nghĩa trên khoảng
[t0 , ∞), có các số mũ đặc trưng hữu hạn và khác nhau là độc lập tuyến tính.
Hệ quả 1.1. Các nghiệm của một hệ tuyến tính không thể có nhiều hơn n số
mũ đặc trưng khác nhau.
Định nghĩa 1.10. Tập hợp tất cả các số mũ đặc trưng riêng ( tức là khác +∞
và −∞ ) của các nghiệm của một hệ vi phân được gọi là phổ của hệ đó.
Chú ý 1.3. Một hệ không tuyến tính có thể có một phổ hữu hạn
tx˙ = x ln x ⇒ x = exp ct.

Bổ đề 1.1. Số mũ đặc trưng của một nghiệm có thể được tính bằng cách dùng
dãy số nguyên theo công thức
1
ln |x (n)| ,
n→∞ n

χ [x] = lim

(1.9)

ở đây n là số tự nhiên.
Hệ quả 1.2. Đối với nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.8) các mệnh đề sau
đây luôn đúng.
a. Nếu các số mũ Lyapunov χ[x] < 0 thì nghiệm tầm thường của hệ (1.8) là
ổn định tiệm cận.
b. Nếu A(t) = (aij )n×n và phương trình đặc trưng |A − λI| = 0 có phần thực
của các giá trị riêng là âm, tức là Reλj (A) < 0 thì hệ đã cho là ổn định tiệm cận
theo số mũ đăc trưng Lyapunov.
1.4.2

Phép biến đổi Lyapunov

Xét hệ
x˙ = A (t) x,

(1.10)

ở đây x ∈ Rn , A ∈ C [t0 , ∞) , sup A (t) ≤ M,
t≥t0

và phép biến đổi
x = L(t)y,

(1.11)

Trong đó L(t) là ma trận không suy biến và khả vi liên tục với t ≤ t0 . Thay
(1.11) vào hệ (1.10) ta thu được hệ tuyến tính
y˙ = B(t)y.

(1.12)

B (t) = L−1 (t) A (t) L (t) − L−1 (t) L˙ (t) .

(1.13)

10


Định nghĩa 1.11. Phép biến đổi (1.11) được gọi là phép biến đổi Lyapunov
nếu:
1. L ∈ C 1 [t0 , ∞).
˙
2. L(t), L− 1(t), L(t)
bị chặn với mọi t ≤ t0 . Ma trận L(t) có các tính chất này
được gọi là ma trận Lyapunov.
Chú ý một số tính chất của phép biến đổi Lyapunov.
1. Các phép biến đổi Lyapunov tạo thành một nhóm.
2. Các phép biến đổi Lyapunov không làm thay đổi số mũ đặc trưng.
3.
t

lim 1
t→∞ t
lim
t→∞

1
t

t

ReSpA (τ ) dτ =
t0
t

lim 1
t→∞ t

ReSpB (τ ) dτ ,
t0
t

ReSpA (τ ) dτ = lim
t→∞

t0

1
t

ReSpB (τ ) dτ .
t0

Nhận xét 1.1. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng
x˙ = A(t)x, t ≥ 0, x ∈ Rn .

(1.14)

Do phép biến đổi Lyapunov L(t) không làm thay đổi số mũ đặc trưng nên
chúng ta có thể ứng dụng tính chất này để nghiên cứu tính ổn định của nghiệm
tầm thường của hệ (1.14) trong trường hợp sau đây. Giả sử nhờ phép biến đổi
Lyapunov hệ (1.14) có thể đưa được về hệ
y˙ = By, trong đó B = (bij )m×n là ma trận hằng .

(1.15)

Như chúng ta đã biết nếu tất cả các nghiệm đặc trưng λj (B) của hệ (1.15)
đều có phần thực âm, tức là
Reλj (B) < 0, j = 1, 2, ..., n,

khi đó nghiệm tầm thường của (1.15) là ổn định tiệm cận thì từ tính giới nội của
L(t) và L−1 (t) ta có thể suy ra tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường
của hệ (1.14).
1.4.3

Một số ví dụ về phương pháp số mũ

Ví dụ 1.1. Xét phương trình tiến hóa (xem [3], [5] ).
t

u(t) = T (t − s)x +

T (t − τ )F (τ, u(τ ))dτ.
s

Ta lấy
f (t, x) = F (t)x,

11

(1.16)


trong đó F : R+ → B là ánh xạ tuyến tính bị chặn thỏa mãn điều kiện
+∞

F (t) dt < ∞,

(1.17)

0

thì ta có thể nhận được một hệ động lực tuyến tính
u : ∆T × B → B,

trong đó ∆T = {(t, s) : T ≥ t ≥ s ≥ 0}.
Hệ động lực này được xác định bởi
U (t, s) : x → u(t).

Trong đó u(t) là nghiệm của (1.16). Hệ động lực này được gọi là họ toán tử
tiến hóa liên tục mạnh (xem [3] ) có các tính chất sau đây:
a. Với mỗi (t, s) ∈ ∆T , U (t, s) : B → B là tuyến tính và bị chặn,
b. U (t, t) = I ,
c. U (t, τ ) = U (t, s)U (s, τ ), ∀(t, s) ∈ ∆T .
Để nghiên cứu tính ổn định của họ các toán tử tiến hóa ta có thể áp dụng
phương pháp số mũ tổng quát hoặc số mũ Boole (xem [8] ). Tuy nhiên trong
trường hợp đơn giản ta có thể sử dụng trực tiếp phương pháp số mũ Lyapunov.
Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa cho điều đó.
Ví dụ 1.2. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ

 x˙ = −2x + y + 1 xy,
2
 y˙ = −x − 2y +

1+t
1
(x2 + y 2 ).
2
2+t

(1.18)

Ta thấy
+∞
0

1
dt < +∞;
1 + t2

+∞
0

1
dt < +∞, ∀t ∈ R+ .
2
2+t

(1.19)

Vì vậy, để xét tính ổn định của hệ (1.18) ta xét hệ thu gọn
x˙ = −2x + y,
y˙ = −x − 2y.

(1.20)

Ta có |A − λE| = (2 + λ)2 + 1. Khi đó ma trận A có 2 giá trị riêng là
λ1 = −2 + i; λ2 = −2 − i.
Hệ nghiệm cơ bản là
(x1 (t), y1 (t)) = (e−2t cost, −e−2t sint),
(x2 (t), y2 (t)) = (e−2t sint, e−2t cost).
12


Nghiệm tổng quát của hệ có dạng
x(t) = C1 x1 (t) + C2 x2 (t),
y(t) = C1 y1 (t) + C2 y2 (t).

Do đó
x(t) = C1 e−2t cost + C2 e−2t sint,
y(t) = −C1 e−2t sint + C2 e−2t cost.

Nên ta có
x(t) = e−2t (C1 cost + C2 sint),
y(t) = e−2t (−C1 sint + C2 cost).


χ [x(t)] = lim 1t ln e−2t (C1 cost + C2 sint) = −2,
t→∞

χ [y(t)] = lim 1t ln e−2t (−C1 sint + C2 cost) = −2,
t→∞

nên
max{ χ [x(t)] , χ [y(t)]} = −2.

Từ đó ta có thể suy ra
|x(t)| ≤ M1 e−2t , |y(t)| ≤ M2 e−2t .

Nên nghiệm tầm thường (0, 0) của hệ (1.20) ổn định tiệm cận. Do vậy (1.18)
cũng ổn định tiệm cận tại nghiệm tầm thường (0, 0).
Nhận xét 1.2. Trong trường hợp tổng quát các kỹ thuật được nêu ở trên khi
sử dụng trong một số ví dụ có thể không áp dụng được. Chẳng hạn, ta xét tính
ổn định tại nghiệm (1, 1) của hệ:
x˙ = x(1 − y),
y˙ = y(x − 1).

Việc sử dụng phương pháp số mũ Lyapunov để xét tính ổn định của hệ trên có
thể cũng thực hiện được nhưng quá trình tính toán sẽ trở nên phức tạp hơn. Để
khắc phục được điều này chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp hàm Lyapunov.
Nhận xét 1.3. Để sử dụng phương pháp số mũ đặc trưng cho các hệ phương
trình phi phân tuyến tính có nhiễu chúng ta có thể sử dụng phương pháp xấp xỉ
thứ nhất Lyapunov. Sau đây chúng tôi xin nhắc lại kết quả đó của Lyapunov.
Cùng với hệ (1.8) ta xét phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu
dx
= A(t)x + f (t, x),
dt
13


trong đó t ∈ R+ , A ∈ C(R+ , Mn (R) và f : R+ × Rn → Rn thỏa mãn điều kiện:
f (t, x) ≤ α(t) x ,


với α ∈ C(R+ , R+ ) và 0 α(t)dt < +∞. Khi đó trong [4] đã chứng minh kết quả
sau đây:
a. Nếu tất cả các số mũ đặc trưng χ[x(t)] của hệ tuyến tính (1.8) đều âm thì
nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính bị nhiễu đang xét là ổn định tiệm cận.
b. Nếu A ∈ Mn (R), (A(t) ≡ A) và Reλj < 0 với mọi j = 1, 2, ..., n thì nghiệm
tầm thường của hệ tuyến tính bị nhiễu đang xét là ổn định tiệm cận.

14


B. Phương pháp hàm Lyapunov
1.5

Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn

Trong thực tế, việc sử dụng phương pháp số mũ Lyapunov có thể gặp nhiều
khó khăn nhất là đối với hệ phi tuyến (thực sự ). Để giải quyết khó khăn này
người ta thường dùng phương pháp hàm Lyapunov hay thường gọi là phương
pháp trực tiếp. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày lại một số định lý cơ bản
về phương pháp hàm Lyapunov thường được sử dụng trong lý thuyết ổn định.
1.5.1

Các hàm xác định dấu

Ta xét hàm số:
V = V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ),

trong đó,
Z0 = {a < t < ∞, x < h} .

Ta đưa ra một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm có dấu
xác định.
Định nghĩa 1.12. Hàm vô hướng thực hiện liên tục V (t, x) được gọi là không
đổi dấu (có dấu dương hay có dấu âm) trong Z0 nếu:
V (t, x) ≥ 0( hay V (t, x) ≤ 0), với (t, x) ∈ Z0 .

Định nghĩa 1.13. Hàm V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0 nếu tồn
tại một hàm vô hướng W (x) ∈ C( x < h) sao cho
V (t, x) ≥ W (x) > 0, với

x = 0 và V (t, 0) = W (0) = 0.

Tương tự, hàm V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z0 nếu tồn tại một hàm
vô hướng W (x) ∈ C( x < h) sao cho
V (t, x) ≤ −W (x) < 0, với

x = 0 và V (t, 0) = W (0) = 0.

Hàm xác định dương hay xác định âm gọi là có dấu xác định về phía W (x),
đôi khi có thể lấy
W (x) = inf |V (t, x)| .
t

15


Định nghĩa 1.14. Ta nói rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi
x → ∞ trong Z0 nếu với t0 > a nào đó, ta có V (t, x) hội tụ đều theo t đến 0 trên
[t0 , ∞) khi x → ∞. Tức là với bất kỳ ε > 0 tồn tại số δ = δ (ε) > 0 sao cho:
V (t, x) < ε khi

x < ε và t ∈ [t0 , ∞) .

(1.21)

Nhờ bất đẳng thức (1.21), ta kết luận hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc
cao khi x → ∞ sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó:
t0 ≤ t < ∞, x < h.

Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t và
sao cho V (0) = 0 thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → ∞.
1.5.2

Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định

(0,1)
(Z), Z = {a < t < ∞, x < H} và hệ vi phân:
Giả sử X(t, x) ∈ Ctx

dx
= G(t, x),
dt

(1.22)

là hệ rút gọn, tức là G(t, 0) ≡ 0. Rõ ràng hệ (1.22) có nghiệm tầm thường x ≡ 0.Ta
đặt:
(1,1)

V = V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ),
Z0 = {a < t < ∞, ||x| | ≤ h < H} ⊂ Z,


G (t, x) = column [G1 (t, x), ..., Gn (t, x)] .

Hàm
∂V
V˙ (t, x) =
+
∂t

n

j=1

∂V
Xj (t, x),
∂xj

được gọi là đạo hàm ( toàn phần) theo t của hàm V (t, x) theo hệ (1.22).
Nếu x = x(t) là nghiện của hệ (1.22) thì V˙ (t, x) là đạo hàm toàn phần theo
thời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là:
d
V˙ (t, x) = V (t, x(t)).
dt

Định lý 1.10. (Định lý thứ nhất của Lyapunov).
Nếu đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại hàm Lyapunov
(1,1)

V (t, x) ∈ C(t,x) (Z0 ), Z0 ⊂ Z,

là hàm xác định dương và có đạo hàm theo thời gian V˙ (t, x) theo hệ đó có dấu
không đổi âm thì nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0,(a < t < ∞) của hệ đã cho ổn
định theo Lyapunov khi t → +∞.
16


Hệ quả 1.3. Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
dx
= A(t)x, (A(t) ∈ C [t0 , ∞)),
dt

tồn tại hàm xác định dương V (t, x) có đạo hàm dọc theo nghiệm của hệ V˙ (t, x) ≤ 0
thì tất cả các nghiệm x(t) của hệ đó xác định và bị chặn trên nửa trục t ∈ [t0 , ∞).
1.5.3

Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận

Định lý 1.11. Nếu đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại hàm Lyapunov
(1,1)

V (t, x) ∈ C(t,x) (Z0 ), Z0 ⊂ Z,

là hàm xác định dương và có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo
hàm theo thời gian V˙ (t, x) theo hệ là xác định âm. Khi đó, nghiệm tầm thường
x ≡ 0 của hệ là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞.
Chú ý 1.4. Định lý thứ nhất và thứ hai của Lyapunov có thể thay thế điều
kiện xác định dương của hàm V (t, x) bằng điều kiện xác định âm nhưng khi đó
hàm V˙ (t, x) phải là hàm xác định dấu dương.
1.5.4

Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định

Định lý 1.12. Nếu đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại hàm Lyapunov
(1,1)

V (t, x) ∈ C(t,x) (Z0 ), Z0 ⊂ Z,

là hàm có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm theo thời gian
V˙ (t, x) theo hệ là xác định dấu. Nếu với t0 > a nào đó trong lân cận bất kỳ
x < ∆ ≤ h < H tìm được điểm (t0 , x0 ) mà tại đó dấu của hàm V˙ (t, x) cùng dấu
với đạo hàm V (t, x), tức là:
V (t0 , x0 )V˙ (t0 , x0 ) > 0,

thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ (1.22) là không ổn định theo nghĩa Lyapunov
khi t → ∞.

1.6

Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov

Ví dụ 1.3. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ
x˙ = −x + y − y 3 ,
y˙ = x − 2y + xy 2 .
17


Hệ này có nghiệm tầm thường là (0, 0), nên (0, 0) là điểm cân bằng của hệ.
Ta chọn hàm Lyapunov V (x, y) = x2 + y 2 , khi đó V (x, y) là hàm xác định
dương.
Ta có
V˙ (x, y) = 2xx˙ + 2y y˙
= 2x(−x + y − y 3 ) + 2y(x − 2y + xy 2 )
= −2x2 + 2xy − 2yx3 + 2xy − 4y 2 + 2xy 3
= −2x2 + 4xy − 4y 2
= −2(x − y)2 − 2y 2 .

Khi đó
V˙ (x, y) < 0, với mọi (x, y) ∈ R2 \(0, 0).

Nên hệ đã cho ổn định tiệm cận theo Lyapunov (theo định lý thứ hai của
Lyapunov về sự ổn định tiệm cận ).
Ví dụ 1.4. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường đối với hệ:
x˙ = y + x3 ,
y˙ = −x + y 3 .

(1.23)

Hệ này có nghiệm tầm thường là (0, 0), nên (0, 0) là điểm cân bằng của hệ.
Ta chọn hàm Lyapunov V (x, y) = x2 + y 2 , khi đó V (x, y) là hàm xác định
dương.
Ta có
V˙ (x, y) = 2xx˙ + 2y y˙
= 2x(y + x3 ) + 2y(−x + y 3 )
= 2x4 + 2y 4 .

Khi đó
V˙ (x, y) > 0, với mọi (x, y) ∈ R2 \(0, 0).

Vậy hệ đã cho không ổn định theo Lyapunov (theo định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định ).
Ví dụ 1.5. Xét tính ổn định hệ:
x˙ = x(1 − y),
y˙ = y(x − 1).

18

(1.24)


Đây là hệ phương trình thú mồi dạng Lotka- Voltrera đơn giản nhất. Hệ này
có các điểm cân bằng là (0, 0) và (1, 1). Sau đây ta sẽ nghiên cứu tính ổn định
của hệ tại điểm cân bằng (1, 1).
Đặt
u = x − 1,
v = y − 1.

Khi đó hệ có dạng
u˙ = −uv − v,
v˙ = uv + v.

Ta xét tính ổn định tại điểm cân bằng (0, 0) của hệ trên.
Chọn hàm
V (u, v) = u + v − ln(1 + u) − ln(1 + v) + α.

Chứng minh V (u, v) là hàm xác định dương.
M0 (0, 0) là điểm cực tiểu.
V (M0 ) = α > 0, ∀α ∈ R+ .

Ta có
u ∂V
v
∂V
=
;
=
;
∂u
u + 1 ∂v
v+1
∂V
−1
∂V
∂V
−1
∂V
=
;
= 0; 2 =
;
= 0;
2
2
2
∂u
(u + 1) ∂u∂v
∂v
(v + 1) ∂v∂u

Xét

 ∂V = 0,
∂u

 ∂V = 0.
∂v

Khi đó ta có (0, 0) là nghiệm.
Chứng minh V˙ (u, v) ≤ 0.
1
1
u˙ −

1+u
1+v
u
v
=
u˙ +

u+1
v+1
u
v
=
(−uv − v) +
(uv + u)
u+1
v+1

V˙ = u˙ + v˙ −

= −uv + vu = 0.

Vậy hệ ổn định tại (1, 1) (theo định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định
).
19


Chương 2

Sử dụng phương pháp số đặc trưng
Lyapunov- Badanov để nghiên cứu
tính ổn định của các hệ động lực
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất của
hệ động lực tổng quát trong không gian mêtric. Để thuận tiện cho việc trình
bày chúng tôi sẽ sử dụng các ký hiệu sau đây:
- Không gian mêtric M là một tập tùy ý M = ∅ trên đó đựợc trang bị mêtric
ρ ( mêtric ρ là mêtric thỏa mãn 3 tính chất (xem [6], [7] ) ).
- Thang thời gian đều G được xác định bởi một nhóm con của R hoặc
G = {g|g = nτ, τ > 0, n ∈ Z} .

- Nửa nhóm G+ là nửa nhóm được xác định bởi
G+ = {g|g = nτ, τ > 0, n ∈ N} .

- Hình cầu mở S(q, δ) được xác định bởi
S(q, δ) = {p|p ∈ M, q − p < δ} .

Nội dung của chương này gồm hai phần:
* Phần đầu tiên trình bày các định nghĩa về hệ động lực trên thang thời gian
đều, tập bất biến, tập ω− giới hạn của hệ động lực, chuyển động ổn định theo
Lagrange, điểm đứng yên và một số tính chất liên quan.
* Phần thứ hai trình bày khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov Badanov, tính ổn định của tập V của hệ động lực f (p, t) và một số ví dụ để làm
sáng tỏ hơn ứng dụng của số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov dùng để
nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu.
Để thuận tiện cho việc trình bày trong phần thứ hai này chúng tôi chỉ xét hệ
động lực trên thang thời gian R ( t ∈ R ).
20


2.1

Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một
vài khái niệm mở đầu

2.1.1

Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều

Ta gọi [M, G, f ] là hệ động lực trên thang thời gian đều trong đó:
M là không gian mêtric.
G là thang thời gian đều.
f là một hàm ánh xạ từ không gian tích M × G vào M , có các tính chất.
(I) f (p, e) = p, với e là phần tử đơn vị của G, p là phần tử bất kỳ của M .
(II) f (f (p, g1 ), g2 ) = f (p, g1 .g2 ), với mọi g1 , g2 ∈ G và p ∈ M .
(III) Với mọi ε > 0 bất kỳ , cho p ∈ M , g ∈ G tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi
q ∈ S(p, δ) thực hiện bất đẳng thức ρ(f (p, g), f (q, g)) < ε .
Giả sử A ⊆ M, K ⊆ G. Ta ký hiệu
f (A, K) = {f (p, g) : p ∈ A, g ∈ K} ,
+
A

= f (A, G),

A

= f (A, G+ ).

Hàm f (p, g) với điểm p cố định gọi là một chuyển động. Tập f (p, G) gọi là quỹ
đạo chuyển động của điểm p.
2.1.2

Định nghĩa tập bất biến

Tập A ⊆ M gọi là tập bất biến nếu f (A, g) = A, với mọi phần tử g ∈ G.
Định lý 2.1. Tập bất biến là một tập tạo nên gồm từ hợp của một số các quỹ
đạo hoàn toàn và ngược lại, tập hợp các quỹ đạo hoàn toàn lập nên một tập bất
biến.
Định lý 2.2. Hợp bất kỳ của các tập bất biến là một tập bất biến. Giao bất
kỳ của các tập bất biến là một tập bất biến. Phần bù của tập bất biến cũng là
tập bất biến.
Định lý 2.3. Bao đóng của tập bất biến cũng là tập bất biến.
2.1.3

Tập ω− giới hạn của hệ động lực

Định nghĩa 2.1. Điểm q ∈ M gọi là ω− giới hạn của chuyển động f (p, g) nếu
với mọi lân cận Uq , với mọi p ∈ G , tồn tại phần tử g ∗ ∈ G sao cho g ∗ > g và
f (p, g ∗ ) ∈ Uq . Tập hợp tất cả các điểm ω− giới hạn của chuyển động f (p, g), ta
ký hiệu Ωp .
Tương tự ta có định nghĩa điểm α− giới hạn của chuyển động, f (p, g), q ∈ M
gọi là α− giới hạn của chuyển động f (p, g), nếu với mọi lân cận Uq , với mọi g ∈ G,
tồn tại phần tử g ∗ ∈ G sao cho g ∗ < g và f (p, g ∗ ) ∈ Uq . Tập hợp tất cả các điểm
α− giới hạn của chuyển động f (p, g), ta ký hiệu là Ap .
21


Định lý 2.4. Tập Ωp là những tập đóng và bất biến.
Định lý 2.5. Nếu q ∈ f (p, G) thì Ωp = Ωq .
+
p

Định lý 2.6. Nếu q ∈
2.1.4

thì Ωq ⊆ Ωp .

Chuyển động ổn định theo Lagrange

Ta đã biết ký hiệu

p

= f (p, G),

+
p

= f (p, G+ ) .

Định nghĩa 2.2. Chuyển động f (p, g) là ổn định dương ( ổn định ) theo nghĩa
Lagrange nếu +
p(
p ) là tập compact.
Định lý 2.7. Nếu G là một nhóm có hướng và chuyển động f (p, g) là ổn định
theo Lagrange theo hướng dương thì Ω = ∅.
Định lý 2.8. Nếu G là một nhóm có hướng và chuyển động f (p, g) là ổn định
theo Lagrange theo hướng dương thì với mọi ε > 0 và với mọi g ∈ G luôn luôn
tồn tại g ∗ > g sao cho ρ(f (p, g ∗ ), Ωp ) < ε.
2.1.5

Điểm đứng yên

Định nghĩa 2.3. Điểm p hay quỹ đạo f (p, g) gọi là điểm đứng yên nếu với mọi
g ∈ G ta có f (p, g) = p.
Định lý 2.9. Tập hợp tất cả các điểm đứng yên là tập đóng.
Định lý 2.10. Không một quỹ đạo nào khác điểm đứng yên lại có thể rơi vào
điểm đứng yên tại một phần tử g ∈ G.
Định lý 2.11. Nếu đối với bất kỳ số δ > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại q ∈ S(p, δ) sao cho
f (q, g) ⊆ S(p, δ) thì p là điểm đứng yên.
Trên đây là một vài khái niệm mở đầu cần dùng cho sau này và một số kết
quả ban đầu.

2.2

Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov.

Trong các công trình nghiên cứu (xem [11] ) của nhà toán học Nga IU.C.Badanov,
phương pháp số đặc trưng tổng quát đã được nghiên cứu một cách có hệ thống
và các kết quả nhận được đã áp dụng cho việc nghiên cứu tính ổn định của điểm
cân bằng của các phương trình vi phân.
Trong phần tiếp theo của luận văn chúng tôi sẽ trình bày lại một số kết quả
đã biết và tiếp tục phát triển phương pháp số đăc trưng Lyapunov- Badanov để
nghiên cứu tính ổn định của các tập bất biến của một hệ động lực tổng quát
trong không gian mêtric.
22


2.2.1

Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 2.4. Hệ động lực là một ánh xạ thuộc lớp C 1 .
Φ : R × V → V,

trong đó V là tập mở trong M .
Ta thường ký hiệu Φ (t, x) = Φt x, thì Φt là nhóm biến đổi một tham số, tức là:
a.Φ|t=0 : V → V là ánh xạ đồng nhất.
b. Φt Φs = Φt+s , ∀t, s ∈ R.
Ví dụ 2.1. Giả sử B là không gian Banach, R+ là tập số thực dương và ánh xạ
φ : R+ × B → B được xác định bởi φt x = φ(t, x) = T (t)x, ∀x ∈ B, t ∈ R+ trong đó
(T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.
Khi đó (B, R+ , φ) là một hệ động lực. Thật vậy, ta có
φ0 x = φ(0, x) = T (0)x = x, ∀x ∈ B, t ∈ R+ .
=⇒ φ0 x là ánh xạ đồng nhất.
∀t, s ∈ R+ , x ∈ B ta có
φt φs x = φt (φs x) = φ(T (s)x) = T (t)T (s)x = T (t + s)x = φt+s x.

Định nghĩa 2.5. Giả sử x0 ∈ V là một điểm cố định cho trước.Ta xét ánh xạ
φ : M → V xác định bởi biểu thức
φ (t) = φt x0 , t ∈ M.

Khi đó ánh xạ φ được gọi là chuyển động (của x0 ).
Định nghĩa 2.6. Ảnh của ánh xạ φ : M → V trên V được gọi là đường cong
pha.
Bản thân V được gọi là không gian pha mở rộng.
Giả sử M là một không gian mêtric với khoảng cách ρ, còn f (p, t) là một hệ
động lực xác định trên M . Giả sử V ⊂ M là một tập bất kỳ. Ta ký hiệu:
S (V, ε) = {p ∈ M : ρ (p, V ) < ε} .
S [V, ε] = {p ∈ M : ρ (p, V ) ≤ ε} .
S0 [V, ε] = {p ∈ M : ρ (p, V ) = ε} .

Định nghĩa 2.7. Giả sử V ⊂ M , hàm số v xác định, liên tục trong lân cận của
S(V, ε) được gọi là v -hàm Lyapunov của tập V , nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau:
a.v (p) = 0 ⇔ p ∈ V.
b.v (p) → +∞ khi ρ (V, p) → ε.
c.v (p) > 0 với p ∈ S (V, ε) \V.
23


x

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×