Tải bản đầy đủ

CÁC mô HÌNH CHUỖI THỜI GIAN tài CHÍNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Duy Thắng

CÁC MÔ HÌNH
CHUỖI THỜI GIAN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Duy Thắng

CÁC MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Trần Hùng Thao

Hà Nội - 2011


Lời mở đầu
Phân tích dự báo giá tài sản tài chính như cổ phiếu, trái phiếu, tỷ giá. . . là một chủ
đề thu hút rất nhiều sự quan tâm của các chuyên gia, nhà đầu tư, nhà khoa học.
Chính vì tầm quan trọng của nó mà đã có rất nhiều nhà nghiên cứu dành công sức
cho lĩnh vực này với nhiều phương pháp phân tích khác nhau. Cho đến nay có thể
kể đến hai phương pháp phân tích đã quen thuộc với hầu hết các nhà đầu tư là phân
tích kĩ thuật (Technical analysic) và phân tích cơ bản (Fundamental analysic). Bên
cạnh hai phương pháp này còn có phương pháp phân tích định lượng thông qua các
mô hình toán học. Dự báo thị trường bằng phương pháp phân tích định lượng hiện
nay được sử dụng rất phổ biến trên thế giới. Hầu hết các quỹ đầu tư,quỹ phòng hộ
(Hedge fund) và các phòng giao dịch (Trading desk) của các ngân hàng đầu tư đều
có hệ thống giao dịch tự động bằng phương pháp định lượng (Quantitative trading). Hiệu quả của phương pháp này đã được chứng minh tại rất nhiều thị trường.
Lí do hiệu quả của phương pháp này là tín hiệu đưa ra khách quan dựa trên những
tiêu chí thống kê từ mô hình. Do đó sẽ giảm thiểu được sự sai sót do cảm xúc
của con người. Phương pháp phân tích định lượng giả định rằng mối liên hệ giữa
các yếu tố được thiết lập trong quá khứ sẽ có ảnh hưởng, lặp lại trong tương lai.
Hay nói cách khác, phương pháp này dựa trên các dữ liệu từ quá khứ để phát hiện
chiều hướng vận động của chúng trong tương lai theo một quy luật nào đó. Phổ
biến nhất là sử dụng chuỗi thời gian (Time series analysis) hoặc sử dụng phân tích
nhân quả. Ngoài ra, người ta còn sử dụng phương pháp khá phức tạp là Mạng thần
kinh(Neural network). Trong phạm vi đề tài này chúng tôi để cập đến các mô hình
chuỗi thời gian trong thị trường tài chính. Các mô hình chuỗi thời gian nhằm để
dự báo giá trị tương lai của một tài sản tài chính chỉ dựa trên phân tích số liệu quá
khứ và hiện tại của nó. Do đó với phương pháp này điều kiện quan trọng là chuỗi
thời gian cần có tính ổn định thể hiện ở tính dừng của nó.
Luận văn chia làm ba chương:
Chương I: Trình bày những khái niệm cơ bản như phương trình sai phân, toán
tử trễ, chuỗi thời gian dừng, kỳ vọng điều kiện và martingale. . . làm cơ sở cho các
i



chương sau
Chương II: Trình bày một số mô hình chuỗi thời gian dừng và không dừng
như MA, AR, ARMA, ARIMA.
Chương III: Trình bày các mô hình dự báo rủi ro như ARCH, GARCH cùng
các mô hình cải tiến của nó như IGARCH, TGARCH, EGARCH. . . cùng các ứng
dụng trong thực tế phân tích tỷ giá. Đây cũng là phần chính của luận văn.
Qua đây tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.Trần Hùng Thao người
đã tận tình giảng giải và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin
cảm ơn các thày cô trong tổ bộ môn khoa Toán –Cơ-Tin trường Đại Học Khoa Học
Tự Nhiên-Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã giúp tôi trong suốt quá trình học tập cao
học, cảm ơn công ty tư vấn đầu tư MHT http://www.mhtgold.com mà tôi đã từng
hợp tác trong 3 năm qua đã giúp tôi trong phần cung cấp số liệu, xin cảm ơn gia
đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học và làm
luận văn này.
Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Vũ Duy Thắng

ii


Bảng ký hiệu
ACF:Hàm tự tương quan
ADF:Thống kê kiểm định Dickey-Fuller
AIC:Tiêu chuẩn thông tin Akaike
AR:Quá trình tự hồi quy
ARMA:Quá trình trung bình trượt tự hồi quy
ARIMA:Quá trình ARMA tích hợp
ARCH:Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy
BIC:Tiêu chuẩn thông tin Bayes hoặc tiêu chuẩn Schwartz
GDP:Tổng sản phẩm quốc nội
IID:Độc lập cùng phân bố
MA:Quá trình trung bình trượt
MSE:Sai số dự báo bình phương trung bình
MLE:Ước lượng hợp lí cực đại
PACF:Hàm tự tương quan riêng
RMSE:Căn bậc hai của MSE
GARCH:Mô hình ARCH tổng quát
EGARCH:Mô hình GARCH dạng mũ
TGARCH:Mô hình GARCH đồng tích hợp

iii


Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị
1
1.1 Chuỗi thời gian và toán tử trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Chuỗi thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Chuỗi dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Toán tử trễ(Lag operator) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Phương trình sai phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Phương trình sai phân cấp p . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Kỳ vọng điều kiện và martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Không gian xác suất được lọc . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Kỳ vọng điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính
14
2.1 Quá trình trung bình trượt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Quá trình trung bình trượt MA(1) . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Quá trình trung bình trượt bậc q- MA(q) . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn MA (∞) . . . . . . . . . 16
2.2 Quá trình tự hồi quy AR(Autoregressive) . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Quá trình tự hồi quy cấp một AR(1) . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Quá trình tự hồi quy cấp p AR(p) . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Xác định bậc của AR(p) bằng PACF . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Ước lượng tham số của quá trình AR(p) . . . . . . . . . . 22
2.2.5 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA(p,q) . . . . . 25
2.2.6 Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.7 Kiểm định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iv


3 Các mô hình phi tuyến Gauss có điều kiện và ứng dụng
37
3.1 Rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Mô hình ARCH(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Mô hình ARCH(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Mối liên hệ giữa ARCH(p) và AR(p) . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3 Ước lượng mô hình ARCH(p) . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.4 Kiểm định hiệu ứng của ARCH . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.5 Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.6 Mô hình AR(1)/ARCH(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.7 Đánh giá về mô hình ARCH(p) . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Mô hình GARCH(p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.1 Dạng mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.2 Mối liên hệ GARCH và ARMA . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.3 Mô hình GARCH(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.4 Dự báo phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Các mô hình GARCH khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.1 Mô hình TGARCH(Threshold) . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.2 Mô hình EGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Tài liệu tham khảo

66

v


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Mục đích của chương này là trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình sai
phân, toán tử trễ, chuỗi dừng, toán tử kì vọng điều kiện và Martingale sẽ được sử
dụng ở chương sau khi nghiên cứu về các mô hình chuỗi thời gian MA, ARMA,
ARIMA. . .

1.1 Chuỗi thời gian và toán tử trễ
1.1.1 Chuỗi thời gian
Chuỗi thời gian là dãy các quan sát về một biến số nào đó theo thời gian. Mẫu
quan sát có thể xem như một đoạn hữu hạn của một chuỗi vô hạn quan sát
(yt )+−∞∞ = (...y−1, y0, y1, y2...yn, ...)
Ví dụ: Chuỗi nhiễu trắng Gauss(white noise) ∑t ∼ N 0; ⌠ 2 với các ∑t độc lập cùng
phân phối.

1.1.2 Chuỗi dừng
Chuỗi dừng là một khái niệm rất quan trọng trong phân tích chuỗi thời gian. Nó
được chia làm hai loại là dừng yếu (weakly stationarity) và dừng chặt (strict stationarity)
1


1.1.2.1 Chuỗi dừng chặt
Chuỗi yt được gọi là dừng chặt nếu với các giá trị tùy ý j1, j2... jn thì phân bố đồng
thời của yt , yt+ j1, ..., yt+ jn chỉ phụ thuộc vào khoảng j1, j2... jn mà không phụ
thuộc vào thời gian t.
1.1.2.2 Chuỗi dừng yếu
Chuỗi thời gian yt được gọi là dừng yếu nếu
Eyt = ∝ ∀t
V aryt = ⌠ 2∀t

(1.1)

cov (yt ; yt−k) = k∀t
Như vậy với chuỗi dừng yếu thì kì vọng,phương sai và hệ số tương quan của quá
trình yt đều không phụ thuộc vào thời gian. Ngược lại chuỗi thời gian gọi là không
dừng nếu nó không thỏa mãn một trong ba điều kiện trên. Trong phạm vi đề tài
này nếu không có gì đặc biệt thì tính dừng ở đây được hiểu là dừng yếu.
1.1.2.3 Nhận xét
+ Một chuỗi dừng chặt với moment bậc 2 hữu hạn thì là dừng yếu song điều ngược
lại không đúng.
+Như vậy một chuỗi dừng yếu thì giá trị trung bình, phương sai, hiệp phương sai ở
các độ trễ khác nhau sẽ giống nhau không cần biết ta đang đo lường chúng tại thời
điểm nào. Một chuỗi dữ liệu như vậy sẽ có xu hướng trở về giá trị trung bình và
những dao động xung quanh giá trị trung bình(đo bằng phương sai) là giống nhau.
Câu hỏi là vì sao chuỗi thời gian dừng lại quan trọng như vậy? Vì cơ sở của dự báo
chuỗi thời gian chúng ta luôn giả định rằng xu hướng vận động của dữ liệu trong
quá khứ và hiện tại được duy trì cho các giai đoạn tương lai. Do đó,dữ liệu cần
có tính ổn định được thể hiện ở tính dừng của nó. Theo Gujarati(2003) cho rằng
một chuỗi thời gian không dừng thì chúng ta chỉ có thể nghiên cứu hành vi của nó
trong khoảng thời gian đang xét mà thôi. Nghĩa là chúng ta không thể khái quát
nó cho giai đoạn khác,không thể dự báo được điều gì cho tương lai nếu như bản
thân dữ liệu luôn thay đổi, tất cả chỉ là ngẫu nhiên. Một ví dụ nổi tiếng cho chuỗi
không dừng là bước ngẫu nhiên(Random walk) sẽ được đề cập ở chương sau.

2


1.1.3 Toán tử trễ(Lag operator)
Toán tử trễ là một công cụ hữu hiệu khi nghiên cứu chuỗi thời gian. Các phương
trình sai phân và mô hình chuỗi thời gian sẽ được trình bày nhất quán dưới công
cụ này.
Giả sử có chuỗi thời gian (xt )+−∞∞ ta định nghĩa toán tử trễ như sau:
Lxt = xt−1
L2xt = L (Lxt ) = xt−2
....

(1.2)

Lkxt = xt−k
Từ định nghĩa (1.2) dễ dàng nhận thấy toán tử trễ L có các tính chất sau đây:
a)Tuyến tính
L (xt + wt ) = L (xt ) + L (wt ) = xt−1 + wt−1
L ( xt ) =  L (xt ) =  xt−1
b)Nếu (xt )+−∞∞ = (c) thì:
Lxt = xt−1 = c
〈 +  L +  L2 c = (〈 +  +  ) c

1.2 Phương trình sai phân
1.2.1 Sai phân
Với quỹ đạo
y = y(t)
phụ thuộc liên tục vào t thì vi phân hàm số được xác định thông qua đạo hàm.
Tuy nhiên,khi t biến thiên rời rạc t=1,2,3. . . n. . . thì khái niệm đạo hàm và vi phân
không có ý nghĩa. Trong trường hợp này người ta dùng khái niệm sai phân.
Sai phân cấp 1
Sai phân cấp n

∆yt = yt − yt−1
∆nyt = ∆ ∆n−1yt
3

(1.3)
(1.4)


1.2.2 Phương trình sai phân
Phương trình sai phân đề cập đến việc thiết lập hoặc phân tích định tính quỹ đạo
y = y(t)
thông qua các quan hệ sai phân. Phương trình sai phân cấp n
√ (t; yt ; ∆yt ; ...; ∆nyt ) = 0

(1.5)

Vì ∆nyt biểu diễn qua yt ; yt+1; ...yt+n nên phương trình đưa về
F (t; yt ; yt+1...yt+n) = 0
Nghiệm của phương trình là hàm số đối số rời rạc
yt =  (t)
thỏa mãn phương trình
F (t; yt ; yt+1...yt+n) = 0
Nghiệm tổng quát phương trình sai phân cấp n là hàm số đối số rời rạc
yt =  (t;C1;C2...Cn)
với C1;C2...Cn là các hằng số.
Phương trình sai phân gọi là otonom nếu nó không chứa biến thời gian t dưới dạng
hiện
yt+n = f (yt ; yt+1...yt+n−1)

(1.6)

1.2.3 Phương trình sai phân cấp 1
Phương trình sai phân cấp 1 mô tả mối quan hệ tuyến tính của yt (giá trị của biến
số y nào đó thay đổi theo thời gian tại thời điểm t) theo biến trễ ở thời kì trước đó
yt−1 và biến đầu vào (input variable) wt
yt = ϕ yt−1 + wt
(1.7)
Trong đó wt có thể là hàm tất định hoặc ngẫu nhiên còn ϕ là một hàm số.
y1 = ϕ y0 + w1
y2 = ϕ y1 + w2 = ϕ 2y0 + ϕ w1 + w2
...
yt = ϕ t y0 + ϕ t−1w1 + ϕ t−2w2 + ... + wt
4


Hoặc
yt = ϕ t+1y−1 + ϕ t w0 + ϕ t−1w1 + ... + wt
với yt là một hàm tuyến tính của giá trị xuất phát y−1 và các giá trị quá khứ của w.
Ảnh hưởng của w0 đến yt là
∂ yt
∂ w0 = ϕ t
Tương tự
yt+ j = ϕ j+1yt−1 + ϕ jwt + ϕ j−1wt+1 + ... + wt+j
Ảnh hưởng của wt đến yt là
∂ yt+ j
∂ wt = ϕ j
(1.8)
Nhân tử này gọi là nhân tử động (dynamic multiplier). Nó chỉ phụ thuộc vào j là
độ dài khoảng thời gian từ t đến t+j chứ không phụ thuộc vào thời gian t là thời
điểm quan sát. Kết luận này đúng cho bất kì phương trình sai phân tuyến tính nào.
-Nếu
t+ tj = ϕ
j ∞j −−−→ 0
−1 < ϕ < 1 : ∂∂yw

-Nếu
|ϕ | > 1 : ∂ y∂ wt = ϕ j −−−→ ∞

j→
−∞

Vậy nếu |ϕ | < 1 hệ thống sẽ ổn định. Tính ổn định ở đây được hiểu là tác động của
sự thay đổi của wt sẽ bị triệt tiêu. Còn nếu |ϕ | ≥ 1 hệ thống sẽ phân kì.
Bây giờ, ta sẽ xét phương trình trên dưới cái nhìn của toán tử trễ.
Phương trình được viết dưới dạng:
(1 − ϕ L) yt = wt
⇔ 1 − ϕ t+1Lt+1 yt = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... + ϕ t Lt wt
⇔ yt − ϕ t+1y−1 = wt + ϕ wt−1 + ... + ϕ t w0
⇔ yt = ϕ t+1y−1 + wt + ϕ wt−1 + ... + ϕ t w0
Ta lại thu được kết quả giống phương pháp đệ quy ở trên.
Hơn nữa, từ
1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... + ϕ t Lt (1 − ϕ L) yt = 1 − ϕ t+1Lt+1 yt
= yt − ϕ t+1y−1
Nếu |ϕ | < 1; y−1 < ∞ thì ϕ t+1y−1 −−−−→
0 do đó
t +∞
∃ (1 − ϕ L)−1 = t Lim∞ 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... + ϕ t Lt = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ...
→+

5


Từ đó, nếu |ϕ | < 1; y−1 < ∞ ta có thể viết
yt = (1 − ϕ L)−1 wt = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... wt
= wt + ϕ wt−1 + ϕ 2wt−2 + ...
Điều kiện |ϕ | < 1 chính là đảm bảo cho chuỗi yt là dừng. Điều này sẽ được trình
bày kĩ hơn ở mô hình AR(1) chương 2.

1.2.4 Phương trình sai phân cấp p
Phương trình sai phân bậc p mô tả mối quan hệ tuyến tính của yt theo p biến trễ
của chính nó và giá trị hiện thời của biến đầu vào wt .
yt = ϕ1yt−1 + ϕ2yt−2 + ... + ϕ pyt− p + wt

(1.9)

Dạng vecto
t = F t−1 + Vt
yt

ϕ2· · · ϕ p

1 
...

 



0
 yt− p+1  0 
 ··
Hay dưới dạng toán tử trễ 




wt

(1.10)


0

··· 0

1



··· 0



·· 0







··· 0

  ϕ1 

p× p

1 − ϕ1L − ϕ2L2 − ... − ϕ pL p yt = wt


trongđót=  yt−1 F = 0





 Vt = 0 

· 


(1.11)

Phân tích toán tử ở vế trái của (1.11)
1 − ϕ1L − ϕ2L2 − ... − ϕ pL p = (1 − 1L) (1 − 2L) ... (1 −  pL)
Việc phân tích này giống như việc tìm các giá trị (1, 2... p) sao cho ta có đồng
nhất thức của đa thức ẩn z
1 − ϕ1z − ϕ2z2 − ... − ϕ pz p = (1 − 1z) (1 − 2z) ... (1 −  pz) (1.12)
Ta chuyển sang đa thức ẩn z vì thực hiện điều này với toán tử L là không có nghĩa.
Chia hai vế cho z p và đặt  = z−1 ta được
 p − ϕ1 p−1 − ϕ2 p−2 − ... − ϕ p = ( − 1) ( − 2) ... ( −  p) (1.13)
6


Vậy (1, 2... p) là nghiệm của phương trình
Việc phân tích đa thức toán tử
1 − ϕ1L − ϕ2L2 − ... − ϕ pL p = (1 − 1L) (1 − 2L) ... (1 −  pL) được thực hiện
tr
ϕ1 ϕ2
1 0
0 1
··· ··· ···
0 0
Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.4.1
Các giá trị riêng của ma trận F thỏa mãn phương trình sau(phương trình đặc
trưng)
 p − ϕ1 p−1 − ϕ2 p−2 − .... − ϕ p−1 − ϕ p = 0 (1.14)
Chứng minh Các giá trị riêng  của ma trận F là nghiệm của phương trình đặc
trưng
7
det (F −  Ip) = 0
Ta có
ϕ
1
0
1

··· ···
···

0

1

0

1
01 0
·· ·· ·····
0 0

ϕ


giốngnhư việc tìm các giá ị riêng của ma trận







· · ·ϕp 
 · 0

F = · 0

 
··· 0 

p× p





 
 ϕ1 − 
 


det(F−Ip)=det · 0

 


Nhân cột thứ p với

−

· · ·ϕp 
··· 0 


··· − 




 − · · 0


det(F−Ip)=det





·········
······ 0 − 







Sau đó nhân cột thứ p-1 với 1 rồi cộng vào cột thứ p-2. Tiếp tục quá trình này ta
nhận được ma trận tam giác trên



ϕ

+ ϕ2



0
···

det 

···
Do đó

ϕ

ϕ

0

0
0

·········

0

0


ϕ

= (−1) p  p − ϕ1 p−1 − ϕ2 p−2 − · · · − ϕ p
Vì vậy các giá trị riêng của ma trận F phải thỏa mãn phương trình (1.14) do đó ta
có điều phải chứng minh.
det (F −  Ip) =
Mệnh đề 1.2.4.2 +Giả
sử
ma
trận
p giá trị riêng phân biệt nằm trong đường
ϕ32 + · · · +  p−p 1 ϕF2 có
+ · · · +  p−p 2 · · · · · · ϕ p−1 + p
p+ ϕ3

j
p
− · · · · 0 0
k=1
 ϕ1 − 
k=1;k=i

p

·········

∑
ck = 1

k=1

Chứng
 minh

Do các giá trị riêng nằm trong đường tròn đơn vị nên tồn······
tại0các
toán tử khả nghịch




Phương trình sai phân được viết thành
det (F −  Ip) = ϕ1 −  + ϕ2 + · · · +  p−p 1 (− ) p−1
(1 − 1L) (1 − 2L) ... (1 −  pL) yt = wt
⇔ yt = (1 − 1L)−1 (1 − 2L)−1 ... (1 −  pL)−1 wt
1

với
i = vịj (i
j). Tatửphân
trònđơn
thì=nhân
động tích:
∂ yt + j
1
(1 − 1L) (1 − 2L) ... (1 −  pL)

ckk trong đó ci =

∏ (i−k)

. Hơn nữa

+ ... + c p
= c1
+ c2
1 − 1L
1 − 2L
8

(1 − 1L)−1 ; (1 − 2L)−1 ; ... (1 −  pL)−1

⇔ yt =

(1−1L)(1−2L)...(1− pL)

wt

1 −  pL (1.15)


c1, c2...c p trong (1.15) có thể tìm từ đồng nhất thức
1
(1−1z)(1−2z)...(1− pz)
p
p

⇔1=∑
k=1 ck

= 1−c1 1z + 1−c2 2z + ... + 1−p pz


j=1; j=k

1 −  jz

c

(1.16)

thỏa mãn với mọi giá trị của z.
Với z = 1−1 thì c1 =

1p−1

p

i=∏
1;i=1

Tương tự ck =

p

kp−1

i=∏
1;i=k

p

(1−i)

(k−i)

Với z = 0 thì ∑ ck = 1. Như vậy ta có
k=1

yt =

c

c1
1−1L

+ 1−c2 2L + ... + 1−p pL wt
yt = c1 1 + 1L + 12L2 + ... + ... + c p 1 +  pL +  p2L2 + ... wt
j

j

j

yt = (c1 + c2 + ... + c p) wt + ... + c11 + c22 + ... + c p p wt− j + ...
Từ đó nhân tử động
p

j

p
p

và ∑ ck = 1
Như vậy phương trình sai phân là ổn định nếu các giá trị riêng có môdun nhỏ hơn
1 hoặc chúng nằm trong đường tròn đơn vị. Điều này tương đương với các nghiệm
phương trình sau nằm ngoài đường tròn đơn vị:
k=1

k=1 ∏ (k−i)
i=1;i=k

1 − ϕ1z − ϕ2z2 − ... − ϕ pz p = 0

(1.17)

1.3 Kỳ vọng điều kiện và martingale
Kỳ vọng điều kiện và martingale là những khái niệm đặc biệt quan trọng trong lí
thuyết xác suất có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực toán tài chính. Ở đây chúng tôi
sẽ nhắc lại khái niệm và các kết quả cơ bản nhằm mục đích sử dụng ở chương 3
trong phân tích các mô hình rủi ro như ARCH, GARCH. . .

9


1.3.1 Không gian xác suất được lọc
Cho (Ω, ℑ, P) là không gian xác suất. Một họ ⌠ -trường con ℑt ⊂ ℑ được gọi là bộ
lọc nếu nó thỏa mãn
i) Nó là một họ tăng tức là ℑs ⊂ ℑt (s < t )
ii) Họ đó liên tục phải tức là ℑt =
∑ >0 ℑt+∑
iii) Mọi tập P-bỏ qua được A ∈ ℑ đều được chứa trong ℑ0 .
Một không gian xác suất (Ω, ℑ, P) được gắn thêm bộ lọc ℑt ⊂ ℑ gọi là không gian
xác suất được lọc.

1.3.2 Kỳ vọng điều kiện
1.3.2.1 Khái niệm
Giả sử (Ω, ℑ, P) là không gian xác suất. G ⊂ ℑ là ⌠ -trường con và X là biến ngẫu
nhiên khả tích. Kỳ vọng điều kiện của X với ⌠ - trường G là biến ngẫu nhiên kí
hiệu là E (X |G ) thỏa mãn:
i) E (X |G ) là G ⊂ ℑ đo được
ii) A E (X |G ) dP = A XdP ∀A ∈ G
Ta định nghĩa E (X |Y ) là kỳ vọng điều kiện của X theo ⌠ -trường ⌠ (Y )
1.3.2.2 Tính chất của kỳ vọng điều kiện
Các tính chất sau đều được hiểu là hầu chắc chắn(h.c.c)
(1) Nếu c là hằng số thì E (c |G ) = c
(2) Tính tuyến tính E (aX + bY |G ) = aE (X |G ) + bE (Y |G )
(3) Nếu G là ⌠ -trường tầm thường { , Ω} thì E (X |G ) = X
(4) E (E (X |G )) = EX
(5) Nếu X độc lập với G tức là ⌠ (X ) độc lập với G thì E (X |G ) = EX
(6) Nếu Y là G -đo được,E |Y | < ∞; E |XY | < ∞ thì E (XY |G ) = Y E (X |G )
(7) Nếu G1 ⊂ G2 thì E (E (X |G2 ) |G1 ) = E (E (X |G1 ) |G2 ) = E (X |G1 )
(8) Nếu X ≤ Y (h.c.c) thì E (X |G ) ≤ E (Y |G )
(9) |E (X |G )| ≤ E (|X | |G )
(10) Bất đẳng thức Jensen
Giả sử  : R → R lồi dưới,  X khả tích. Khi đó  (E (X |G )) ≤ E ( (X ) |G )
(11) Hội tụ đơn điệu Beppo-Levy
Nếu Xn ≥ 0; Xn ↑ X và E |X | < ∞ thì E (Xn |G ) ↑ E (X |G )
10


(12) Bổ đề Fatou
Nếu 0 ≤ Xn thì E (LimXn |G ) ≤ LimE (Xn |G )
(13) Định lí hội tụ bị chặn Lebesgue
Giả sử Y là biến ngẫu nhiên khả tích và |Xn| ≤ Y (h.c.c). Nếu Xn → X (h.c.c) thì
E (LimXn |G ) = LimE (Xn |G )

1.3.3 Martingale
Các khái niệm và định lý dưới đây được hiểu là martingale với thời gian rời rạc.
1.3.3.1 Định nghĩa
Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t≥0 thích nghi với bộ lọc ℑt và khả tích
E |Xt | < ∞ với mỗi t. Với s, t là hai số không âm và s ≤ t
i)Xt là martingale trên nếu E (Xt |ℑs ) ≤ Xs
ii) Xt là martingale dưới E (Xt |ℑs ) ≥ Xs
iii) Xt là martingale nếu nó vừa là martingale trên và dưới tức là E (Xt |ℑs ) = Xs
Khi không nói rõ bộ lọc nào ta hiểu đó là bộ lọc tự nhiên sinh ra từ lịch sử của X
nghĩa là ℑt = ⌠ (Xs)s≤t .
Theo lí thuyết trò chơi nếu coi Xt là số vốn ở thời điểm t,ℑt = ⌠ (Xs)s≤t là thông
tin tích lũy đến thời điểm t thì trò chơi thiệt hại nếu nó là martingale trên, trò chơi
có lợi nếu nó là martingale dưới và công bằng nếu nó là martingale. Các kết quả
chính của martingale là các bất đẳng thức và định lý hội tụ, nhất là các định lý của
Doob.

1.3.3.2 Hiệu martingale(Martingale difference)
Dãy tương thích (t ; ℑt ) là hiệu martingale nếu E |t | < ∞ và E (t+1 |ℑt ) = 0
Nhận xét
+Nếu (Xt ; ℑt ) là martingale thì (t ; ℑt ) là hiệu martingale trong đó 0 = X0; t =
∆Xt = Xt − Xt−1
Thật vậy
E (t+1 |ℑt ) = E (Xt+1 − Xt |ℑt ) = E (Xt+1 |ℑt ) − Xt = 0
+Ngược lại, nếu (t ; ℑt ) là hiệu martingale thì ta có thể tạo ra martingale (Xt ; ℑt )
t

ở đó 0 = X0; Xt = ∑  k
k=1

11


Thật vậy, dễ thấy Xt là ℑt -đo được và E |Xt | < ∞. Hơn nữa
E (Xt+1 |ℑt ) = E (t+1 + Xt |ℑt ) = E (t+1 |ℑt ) + Xt = Xt
1.3.3.3 Khai triển Doob
Kết quả chính là một martingale dưới được phân tích duy nhất qua một martingale
và một dãy tăng dự báo được. Kết quả này được chứng minh không quá khó khăn
chúng tôi không trình bày ở đây.
Định lý 1.3.3.3(Xem [6], Chương 9, Định lý 9.3.7)
Giả sử X = (Xt ; ℑt ) là martingale dưới khi đó tồn tại martingale M = (Mt ; ℑt ) và
dãy tăng dự báo được A = (At ; ℑt−1) : 0 = A0 ≤ A1 ≤ .... ≤ At ≤ ... sao cho
Xt = Mt + At

(1.18)

Khai triển Doob là duy nhất.
Trong định lí này dãy (At ),(Mt ) được xác định bởi
A0 = 0
t−1

At = ∑ E j=0
X j+1 ℑ j − X j

(1.19)


M 0 = X0
t−1

Mt = X0 + ∑ X j+1
− E X j+1 ℑ j
j=0

(1.20)

Bây giờ ta sẽ đề cập đến martingale bình phương khả tích. Giả sử M = (Mt ; ℑt ) là
martingale bình phương khả tích tức là M = (Mt ; ℑt ) là martingale và E |Mt |2 < ∞.
Do M = (Mt ; ℑt ) là martingale và áp dụng bất đẳng thức Jensen kì vọng điều kiện
với hàm lồi g (x) = x2 suy ra quá trình M2 = Mt2; ℑt là martingale dưới. Theo
khai triển Doob ta có
Mt2 = mt + M

(1.21)

t

trong đó m = (mt , ℑt ) là martingale và M = ( M t , ℑt−1) là dãy tăng dự báo
được. Ta gọi M = ( M t , ℑt−1) trong (1.21) là đặc trưng bình phương của martingale M(quadratic characteristic)
t−1

t−1

M t = ∑j=0E M2j+1 ℑ j − j=1
M2j = ∑ E ∆M j
12

2

ℑ j−1 ∆M j = M j − M j−1


Đặc biệt nếu M0 = 0 thì EMk2 = E M k
Nhận xét
Giả sử (t ) là các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho E t = 0; E t2 < ∞. Đặt M0 =
t

t

0; Mt = ∑  k khi đó M t = EM2t = ∑
k=1

E k

k=1

2

1.3.3.4 Luật mạnh số lớn martingale bình phương khả tích
Định lý 1.3.3.4(Xem [6], Chương 9, Định lý 9.8.2)
(i)Giả sử M = (Mt ; ℑt ) là martingale bình phương khả tích và giả sử A = (At ; ℑt−1)

∞ E[(∆Mi)2|ℑi−1 ]
là dãy tăng dự báo được sao cho A1 ≥ 1, A∞ = ∞. Nếu với xác suất 1: ∑ i=1 A2 ∞ thì với xác suất 1 ta có
Mt
(1.22)
Lim
t→∞ At = ∞
(ii)Giả sử M = (Mt ; ℑt ) là martingale bình phương khả tích và M ∞ = ∞ (h.c.c)
thì với xác suất 1
Mt
(1.23)
Lim
t→∞ M t = 0

13


Chương 2

Các mô hình chuỗi thời gian
tuyến tính
Mục đích chương này nhằm giới thiệu các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính tiêu
biểu như quá trình trung bình trượt MA, các quá trình tự hồi quy AR, hồi quy tích
hợp ARMA và mô hình ARIMA cùng ứng dụng của nó vào phân tích và dự báo
biến số kinh tế vĩ mô.

2.1 Quá trình trung bình trượt
2.1.1 Quá trình trung bình trượt MA(1)
Quá trình MA(1) mô tả quá trình yt (giá tài sản tài chính,trái phiếu,cổ phiếu,tỷ
giá...) theo thời gian phụ thuộc vào ut (nhiễu trắng) nhưng không phụ thuộc vào
biến trễ của nó.
yt = ∝ + ut +  ut−1
(2.1)
trong phương trình (2.1), ∝ là hằng số còn ut là nhiễu trắng (white noise),
Eut = 0; varut = ⌠ 2 và us(t = s) là độc lập.
Ta có
Eyt = ∝
V aryt =  2 + 1 ⌠ 2
14

(2.2)


Mặt khác
1 = cov (yt ; yt−1) = E (yt − ∝ ) (yt−1 − ∝ )

(2.3)

= E (ut +  ut−1) (ut−1 +  ut−2) =  Eut2−1 =  ⌠ 2



k = cov (yt ; yt−k) = E (yt − ∝ ) (yt−k − ∝ )
= E (ut +  ut−1) (ut−k +  ut−k−1) = 0 (k > 1) (2.4)
Như vậy với quá trình MA(1) thì từ (2.2), (2.3), (2.4) ta có
Eyt ;V aryt; cov (yt ; yt−k) ∈/ t
Do đó quá trình MA(1) là chuỗi dừng.
Ta có
k

ACF (k) = 〉k = 0 = 0 (k > 1)
⌠ 2

(2.5)
 2+1

2.1.2 Quá trình trung bình trượt bậc q- MA(q)
Quá trình MA(q) có dạng:
yt = ∝ + ut + 1ut−1 + 2ut−2 + ... + qut−q

(2.6)

với ∝ là hằng số còn ut là nhiễu trắng (white noise), Eut = 0; varut = ⌠ 2 và
us(t = s) là độc lập.
Dễ thấy
Eyt = ∝
V aryt = 12 + 22 + ... + q2 ⌠ 2
k = cov (yt ; yt−k) = E (yt − ∝ ) (yt−k − ∝ )
= E ut + 1ut−1 + ... + qut−q ut−k + 1ut−k−1 + ... + qut−k−q
q−k

=  i=0

 ⌠ 2 ∑  ii+k (k ≤ q)
kì0 các>giá
(k q)
Vậy với bất
trị của 1; 2...q thì giá trị trung bình, phương sai và hệ số
tương quan của yt đều không phụ thuộc vào thời gian. Do đó MA(q) cũng là quá
trình dừng.
15


2.1.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn MA (∞)
Quá trình trung bình trượt vô hạn có dạng:
+∞

yt = ∝ +

(2.7)

∑ kut−k
k=0

+∞

Điều kiện để chuỗi dừng là chuỗi ∑  k2 < +∞.
k=0

Khi chuỗi dừng ta có
Eyt = ∝

(2.8)

V aryt = Lim V ar (∝ + 0ut + 1ut−1 + ... + kut−k)
k→∞

= Lim 02 + 12 + ... + k2 ⌠ 2 = +∞∑  k2 ⌠ 2
k=0

k→∞

2.2 Quá trình tự hồi quy AR(Autoregressive)
2.2.1 Quá trình tự hồi quy cấp một AR(1)
2.2.1.1 Quá trìnhAR(1) không có hệ số chặn
Quá trình AR(1) không có hệ số chặn có dạng như sau
yt = ϕ yt−1 + ut
(2.9)
trong phương trình(2.9) ϕ là hàm số và ut là nhiễu trắng (white noise). Như vậy yt
không những phụ thuộc vào ut mà còn phụ thuộc vào biến trễ của chính nó yt−1
Tính toán đệ quy ta được
yt = ϕ t y0 + ut + ϕ t−1ut−1 + ... + ϕ u1
Do đó
Eyt = ϕ t y0
2t

Varyt = ⌠ 2 1 + ϕ 2 + ϕ 4 + ... + ϕ 2(t−1) = ⌠ 2 11−−ϕϕ 2
Ta thấy khi −1 < ϕ < 1 và với t đủ lớn thì
Lim Eyt = Lim ϕ t y0 = 0
t−
→∞
Lim Varyt = Lim ⌠ 2 1 − ϕ 2t
t→∞
t→∞ 1−− ϕ 2
16

t→∞

= ⌠2
1 − ϕ2

(2.10)


x

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×