# KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2015 - MÔN VẬT TOÁN

B<) GIAO Dl)C

vA DAo T~O

KY

THI CHON
. HOC
. SINH GI(n ouoc
NAM 2015

GIA THPT

DE THI CHINH THUC

,

Mon : ToAN
Thai gian : 180 phut tkhong kd thai gian giao a~)
Ngay thi thir nh~t : 08/0112015

?

/BANCHiNH

Bai 1 (5,0 adm). Cho a la mot s6 thirc kh6ng am va
1

n2

~

u[=3, un+[=2"un+ 4n2+a'\jun+3

(Un)

la day s6 xac dinh boi:

, ••

voi moi n~l.

a) Voi a = 0, chirng minh rang day s6 co gioi han hiru han va tim gioi han do.
b) Voi moi a E [0;1], chtrng minh rang day s6 co gioi han htru han,
Bai 2 (5,0 adm). Cho a,b,c la cac s6 thuc kh6ng am. Chung minh r~ng

3( a2 +b2 +c2)

~

(a +b +c)(.j;;b + Jj;; +.,r;;;) +( a _b)2 + (b - C)2+( C_a)2 ~ (a +b +C)2.

Bai 3 (5,0 didm). Cho s6 nguyen dirong K. Tim s6 cac s6 W nhien n khong vuot qua
10K thoa man d6ng thai cac dieu kien sau:

i) n chia hSt cho 3;
ii) cac chtr s6 trong bieu di~n thdp phan cua n thuoc t~p hgp {2,0, 1,5}.

Bai 4 (5,0 adm). Cho duang trcm (0) va hai di~m B,C c6 dinh tren (0), BC kh6ng
Ia duang kinh. M<)tdi~m A thay d6i tren (0) sao cho tarn giac ABC nhQn. GQi E, F
Ifin luqt la chan duang cao ke tU B, C cua tarn giac ABC. Cho (I) Ia duang trim thay

d6i di qua E, F va co tarn Ia I.
·, su, ( J ).;.tlep xuc
,
a) Gla

" B'd';'
. h rang
~ -DB
C t~l lem D. Ch'ung mm
DC

VO'!

= JcotB
--.

cotC

b) Gii su (I) c~t c~nh BC t~i hai di~m M, N. GQi H la tf\l'c tarn tarn giac ABC va
P,Q la cac giao di~m cua (I)v6i duang trcm ngo~i tiSp tam giac HBC. Duang trim

(K) di qua P, Q va tiSp xuc v6i (0) t~i di~m T (T cling phia A d6i v6i PQ). ChUng
minh r~ng duang phan giac trong cua goc

iiiN

di qua m<)tdi~m c6 dinh.

-----------------------------------------------II~T-------------------------------------------• Thi sinh khong aU'9'csi't d1;lngted li¢u va may tinh cdm tay.
• Giam thi khong giai thich gi them.

BO GIAO Dl)C vA DAo T~o

KY THI

CHQN HQC SINH GH-:noooc
NAM 2015

GIA THPT

HE THI CHINH THUC
MOD: ToAN

?

J

BANCHINH

Thai gian : 180 phut (kh6ng kd thai gian giao eM)
Ngay thi thir hai : 09/0112015

Bai 5 (7,0 aiim). Cho (J,,(x)) la day da thirc xac dinh bo i:
fo(x) = 2,J; (x) = 3x, !,,(x) = 3X!',_1 (x) + (1- x - 2X2)in-2(x) voi moi n ~ 2.

Tim t~t ca cac s6 nguyen dirong n d~ in (x) chia h~t cho da thirc x3

-

x2 + x.

Bai 6 (7,0 az'im). V6i a, n nguyen dirong, xet phirong trinh a2x+6ay+36z=n,
trong do
x,y,z la cac s6 tv nhien.
a) Tim t~t ca cac gia tri cua a d~ voi moi n ~ 250, phirong trinh da cho Iu6n co nghiem
(x,y,z).

b) Bi~t rang a> 1 va nguyen t6 cling nhau voi 6. Tim gia tri Ian nh~t cua n thea a d~
phuong trinh da cho kh6ng co nghiem (x,y,z).
Bai 7 (6,0 adm). Co m hoc sinh nll' va n hQCsinh nam (m,n ~ 2) tham gia mot Lien hoan
Song ca. Tai Lien hoan Song ca, m6i buoi bieu diSn mot chuang trinh van nghe. M6i
chuang trinh van nghe bao g6m mot s6 bai song ca nam-nir rna trong do m6i d6i nam-nll'
chi hat v6i nhau kh6ng qua mQt bai va m6i hQc sinh d~u duQ'c hat it nh~t mQt bai. Hai
chuang trinh duQ'Ccoi la khac nhau n~u co mQt c~p nam-nll' hat v6i nhau 0 chuang trinh
nay nhung khong hat v6i nhau 0 chuang trinh kia. Lien hoan Song ca chi k~t thuc khi t~t
ca cac chuang trinh khac nhau co th~ co d~u duQ'cbi~u diSn, m6i chuang trinh duQ'cbi~u
diSn dung mQt I~n.
a) MQt chuang trinh dUQ'cgQi la I~ thuQc vao hQc sinh X n~u nhu huy t~t ca cac bai
song ca rna X tham gia thi co it nh~t mQt hQc sinh khac kh6ng duQ'c hat bai nao trong
chuang trinh do. Chung minh r~ng trong t~t cit cac chuang trinh l~ thuQc vao X thi s6
chuang trinh co s6 Ie bai hat b~ng s6 chuang trinh co s6 ch~n bai hat.
b) Chung minh r~ng Ban t6 chuc Lien hoan co th~ s~p x~p cac bu6i bi~u diSn sao cho
s6 cac bai hat t:;tihai bu6i bi~u diSn lien ti~p b~t ky kh6ng cling tinh ch~n Ie.

-----------------------------------------------t1~1r-------------------------------------------Thi sinh kh6ng dU(lc sir dl:lngtid li¢u va may tinh cdm tay.
Giam thi kh6ng giai thich gi them.

x

### Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×