Tải bản đầy đủ

BẤT ĐẲNG THỨC MIN MAX THẦY TÙNG TOÁN

GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

TÀI LI U BÀI GI NG KHÓA PEN – M – 2016
GV: Nguy n Thanh Tùng

D NG CHU I B T
CHU I B T



( a  b) 2

I.1) a 2  b2 
2

NG TH C I


ng ta có:

a b



4

8

 2ab

I.2)

1 1
2
 

a b
ab





4
2 2

a b
a 2  b2

nT

hi
D

a b

2

ie

CHÚ Ý:

uO

Ch ng minh
(Các b n xem cu i tài li u)

( a  b) 2
 2ab đúng a , b   .
2
ây đ u là các b t đ ng th c c b n và quen thu c v i t n xu t có m t trong đ thi i H c –
THPTQG là khá cao. Khi s d ng trong bài thi các b n ph i ch ng minh (“nhúng” nh ng đo n
ch ng minh trong bài gi ng c a th y vào bài). Trong tài li u đ không ph i ghi l i nhi u l n
cách ch ng minh th y đ u b qua (ngh a là trong bài b n ph i thêm đo n này vào ).
v n d ng m t cách “linh ho t” các b t đ ng th c trên. Các b n c n hi u rõ cách s d ng,
c ng nh “ý ngh a” và cái hay c a t ng b t đ ng th c . Khi làm đ c đi u này vi c làm ch
chu i b t đ ng th c trên s không có gì khó kh n (th y s phân tích k trong bài gi ng).
Các chu i b t đ ng th c trên có th đ c s d ng d i nhi u hình th c khác nhau khi ta gán hai
bi n a, b b i các đ i l ng khác nhau, ví nh I.1) và I.2) có th vi t d i d ng:

s/

Ta

iL

B t đ ng th c a 2  b2 

/g

om

.c

a b
2

 
2

w

w

w

.fa


a b 

bo
ok



ce



ro

up



8



D u “=” x y ra khi a  b .



01

Cho a , b, c là các s th c d

NG TH C I

ai
H
oc

BÀI 3. S

4

a4a
8



4

 2 ab ;

1
1
2

4

a
b
ab



8
4

a4b



2



4
2 2

a b
a b

1 1
2
8
4
2 2

 2

 2

2
2
2
a
b
ab  a  b 
a b
a 4  b4

Các ví d minh h a
Ví d 1. Cho x, y, z là các s th c d

ng . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :
8
3
1
P


2
2
2
2( x  y  z  2 xz)  3 2 x  y  8 yz x  y  z
Phân tích h

ng gi i (Bài gi ng)

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Gi i

Áp d ng b t đ ng a 2  b2 

( a  b) 2
hay
2

2(a 2  b2 )  a  b trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ

2( x2  y2  z2  2 xz)  2 ( x  z)2  y2   x  z  y 

8
2( x  y  z  2 xz)  3
2

2

2



c:

8
x y z3

Áp d ng b t đ ng th c a  b  2 ab hay 2 ab  a  b trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:
3
3
3
3
hay 
8 yz  2 y.2 z  y  2 z 


2( x  y  z)
2 x  y  8 yz
2 x  y  8 yz 2 x  y  y  2 z

8
3
1
8
1
8
1






v i t  x y z  0
x  y  z  3 2( x  y  z) x  y  z x  y  z  3 2( x  y  z) t  3 2t
8
1
v i t 0
Xét hàm s f (t ) 

t  3 2t
3(t  1)(5t  3)
8
1
 2
Ta có f '(t )  
; f '(t )  0  t  1 (do t  0 )
2
(t  3) 2t
2t 2 (t  3)2
B ng bi n thiên:

ro

3
v i t  0
2

/g

T b ng bi n thiên suy ra P  f (t )  f (1) 

up

s/

Ta

iL

ie

uO

nT

hi
D

ai
H
oc

01

Khi đó P 

bo
ok

.c

om

x  z  y  2z
1
1
D u “=” x y ra khi 
 x z ;y
4
2
x  y  z  t  1
3
1
1
V y P đ t giá tr l n nh t b ng , khi x  z  ; y  .
4
2
2

.fa

ce

Ví d 2 (A,A1 – 2014). Cho x, y, z là các s th c không âm và th a mãn đi u ki n x2  y2  z2  2 .

w

w

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P 

x2
y z
1  yz


2
x  yz  x  1 x  y  z  1
9

w

Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:

Áp d ng b t đ ng a 2  b2  2ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ

c:

2(1  yz)  x  y  z  2 yz  x  ( y  z)  2 x( y  z)  1  yz  x( y  z)
2

2

2

2

2

x2
x2
x


Suy ra x  yz  x  1  x  x  x( y  z)  x( x  y  z  1)  2
x  yz  x  1 x( x  y  z  1) x  y  z  1
2

Khi đó P 

2

x y z
1  yz
1
1  yz

 1

x  y  z 1
x  y  z 1
9
9

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2

( a  b)
trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:
2
( x  y  z)2
( x  y  z)2
2(1  yz)  x2  y2  z2  2 yz  x2  ( y  z)2 
 1  yz 
2
4

Cách 1: Áp d ng b t đ ng th c a 2  b2 

Suy ra P 

1
( x  y  z) 2
x  y  z 1  yz

 1

.
9
36
x  y  z 1
x  y  z 1

t t  x y z 0 .

Ta có t 2  ( x  y  z)2  3( x2  y2  z2 )  6  0  t  6
Khi đó P  1 

t2
1
  f (t ) . Xét hàm s
t  1 36

f (t )  1 

t2
1
v i 0t  6

t  1 36

1
t (t  2)(t 2  4t  9)


; f '(t )  0  t  2
(t  1)2 18
18(t  1)2
B ng bi n thiên:

Ta

5
9

s/

T b ng bi n thiên suy ra P  f (t )  f (2) 

iL

ie

uO

nT

hi
D

ai
H
oc

01

Ta có f '(t ) 

ro

up

5
5
Khi x  y  1 và z  0 thì P  . V y giá tr l n nh t c a P là .
9
9

/g

( a  b) 2
hay a  b  2(a 2  b2 ) trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
2

om

Cách 2: Áp d ng b t đ ng th c a 2  b2 

c:

bo
ok

.c

x  y  z  2  x2  ( y  z)2   2(2  2 yz)  2 1  yz
t2
1
  f (t )
t t  1  yz  1 , khi đó: P  1 
2t  1 9

ce

1
1  yz

.
Suy ra P  1 
9
2 1  yz  1

t2
1
 v i t  1.
2t  1 9
2
2t 2(t  1)(4t 2  8t  9)


 0 v i t  1, suy ra f (t ) ngh ch bi n v i t  1
Ta có f '(t ) 
(2t  1)2 9
9(2t  1) 2
5
Suy ra P  f (t )  f (1) 
9
5
5
Khi x  y  1 và z  0 thì P  . V y giá tr l n nh t c a P là
9
9

.fa

f (t )  1 

w

w

w

Xét hàm s

Ví d 3. Cho hai s th c x, y thu c kho ng (0;1) th a mãn ( x3  y3 )( x  y)  xy( x  1)( y  1)  0
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c sau P 

12
36  (1  9 x2 )(1  9 y2 )

 3xy 

x4  y4
xy

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phân tích h ng gi i (Bài gi ng)

Gi i
Ta có ( x  y )( x  y)  xy( x  1)( y  1)  0  ( x3  y3 )( x  y)  xy( x  1)( y  1) (*)
3

Áp d ng b t đ ng th c a  b  2 ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ

( x3  y3 )( x  y)  2 x3 y3 .2 xy  4 x2 y2


xy( x  1)( y  1)  xy  xy  ( x  y)  1  xy xy  2 xy  1


T (*) và (2*) , suy ra:







c:

(2*)



4 x2 y2  xy xy  2 xy  1  4 xy  xy  2 xy  1  3xy  2 xy  1  0  0  xy 

Ti p t c áp d ng b t đ ng th c a  b  2 ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ

1
1
 0  xy 
3
9

c:

ai
H
oc

2
2
2
2

12
2 x2 y2
2
(1  9 x )(1  9 y )  2 9 x .2 9 y  36 xy





 xy
3
P
xy
 4
2 2
4
4 4
xy


36
36
1
xy
xy

x  y  2 x y  2x y

01

3

hi
D

uO
ie

 10 
2
2t 3  2


 0 v i t  1;
2
t

2
2
t
t
 3 

iL

Ta có f '(t )  

 10 
2 2
 t  1 v i t  1;

t
 3 

Ta

f (t ) 

s/

Xét hàm s

 10 
1
10
2 2
hay t  1;
 1  1  xy 
 . Khi đó P   t  1

9
3
t
 3 

nT

t t  1  xy , do 0  xy 

.c

om

/g

ro

up

 10 
 10 
6
1
1
Suy ra f (t ) đ ng bi n v i t  1;
 . D u “=” x y ra khi x  y 
 
  P  f (t )  f 
3
10 9
 3 
 3 
6
1
1
 , khi x  y  .
V y P đ t giá tr l n nh t b ng
3
10 9

.fa

ce

bo
ok

Ví d 4 (B – 2013). Cho a , b, c là các s th c d ng. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :
4
9
P

a 2  b2  c 2  4 (a  b) (a  2c)(b  2c)

w

w

Phân tích h

w

Áp d ng b t đ ng th c

xy 

ng gi i (Bài gi ng)
Gi i

x y
và 2xy  x2  y2 trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
2

c:

a  b  4c a 2  b2  2ab  4bc  4ca

2
2
2
2
2
2
2
2
a  b  a  b  2(b  c )  2(c 2  a 2 )
 2(a 2  b2  c 2 )

2
4
9
4
9
Suy ra P 
. t t  a 2  b2  c 2  4  2 , khi đó: P   2

2
2
2
t 2(t  4)
a 2  b2  c 2  4 2(a  b  c )
(a  b) (a  2c)(b  2c)  (a  b).

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
4
9
Xét hàm s f (t )   2
v i t2
t 2(t  4)
Ta có f '(t )  

4
9t
(4  t )(4t 3  7t 2  4t  16)


t 2 (t 2  4)2
t 2 (t 2  4)2

nT

5
khi a  b  c  2 .
8

uO

V y P đ t giá tr nh nh t b ng

5
. D u “=” x y ra khi a  b  c  2
8

hi
D

T b ng bi n thiên suy ra P  f (t ) 

ai
H
oc

01

Mà 4t 3  7t 2  4t  16  4(t 3  4)  t (7t  4)  0 v i t  2 , suy ra f '(t )  0  t  4
B ng bi n thiên

ie

Ví d 5 (B – 2014). Cho các s th c a , b, c không âm và th a mãn đi u ki n (a  b)c  0 .

Ta

iL

a
b
c


bc
a  c 2(a  b)

s/

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 

c:

om

/g

ro

up

Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
x y
V i a  0 , áp d ng b t đ ng th c x  y  2 xy hay xy 
trong chu i b t đ ng I.1, ta đ
2

bo
ok

.c

a
a
a
2a
(1)



bc
a (b  c) a  b  c a  b  c
2

a
2a

(2) . T (1) và (2), suy ra
bc a bc

.fa

c:

a
2a

.
bc a bc

b
2b

a c a bc

w

ng t ta đ

w

T

ce

V i a  0 ta có

w

Áp d ng b t đ ng th c x  y  2 xy trong chu i b t đ ng I.1, suy ra:
P

 2(a  b) a  b  c  1
2(a  b)
c
2(a  b) a  b  c 1 3
.


 2
 


a  b  c 2(a  b)  a  b  c 2(a  b)  2
a  b  c 2(a  b) 2 2

3
3
. V y giá tr nh nh t c a P b ng
2
2
Chú ý: bài toán này ta có th d n bi n đ dùng hàm s hàm s nh sau:
c
2(a  b)
c
2
c
2
0
P




 2t  f (t ) v i t 
a b
a  b  c 2(a  b) 1  c
2(a  b) 1  t
a b

Khi a  0, b  c  0 thì P 

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ví d 6. ( minh h a BGD – 2015). Xét s th c x . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau:
3(2 x2  2 x  1)
1
1


P
3
2 x2  (3  3) x  3
2 x2  (3  3) x  3
Phân tích h ng gi i (xem trong bài gi ng)
Gi i

1
1
2 2


trong chu i b t đ ng th c I.2). Khi đó:
a
b
a b

Áp d ng b t đ ng th c :

1
2 x  (3  3) x  3



2

1
2 x  (3  3) x  3



2

2 2
4x  6x  6
2

01

3(2 x2  2 x  1)  6 x2  6 x  3  4 x2  6 x  3

M t khác, ta có:

hi
D

ai
H
oc

4 x2  6 x  3
2 2
Suy ra P 

2
3
4x  6x  6
Cách trình bày 1:

t 3 2 2
3  15 15


 f (t )
t t  4 x  6 x  6  4 x     , khi đó: P 
3
4
4
4
t

2

t 3 2 2
15

v i t .
3
4
t

ie

f (t ) 

iL

Xét hàm s

uO

nT

2

s/

Ta

1
2 t t  6 2(t  3)
(t  6)(t 2  6t  36)



Ta có f '(t ) 
6 t 3 t t
6t t (t  3)
6t t (t  3) t t  6 2(t  3) 

.fa

ce

bo
ok

.c

om

/g

ro

up

15

f '(t )  0  t  6   ;   , t đây ta có b ng bi n thiên:
4


3.

w

w

w

T b ng bi n thiên ta có P  f (t )  f (6)  3 . D u “=” x y ra khi x  0 . V y giá tr nh nh t c a P là
Cách trình bày 2:

t2  3 2 2
3  15
15


 f (t )
t t  4 x2  6 x  6  4  x    
, khi đó: P 
t
3
4
4
2

Xét hàm s

2

t2  3 2 2
t
2 2 t 3  6 2(t 2  3)
15

f (t ) 
v i t
. Ta có f '(t ) 
;
 2 
t
3
2
t
3 t2  3
3t 2 t 2  3

 15

f '(t )  0  t 3  6 2(t 2  3)  0  t 6  72(t 2  3)  (t 2  6)(t 4  6t 2  36)  0  t  6  
;  
 2

T đây ta có b ng bi n thiên:

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

T b ng bi n thiên ta có P  f (t )  f ( 6)  3 . D u “=” x y ra khi x  0 . V y giá tr nh nh t c a P là
ng th a mãn:

1 1 2
  .
x y z

x2  y2
2z

.
2
z
x y
Phân tích h ng gi i (xem trong bài gi ng)
Gi i
1 1 2
2 xy x  y
   2 xy  ( x  y) z  2 
, khi đó:
x y z
z
z

01

Ví d 7. Cho x, y, z là ba s th c d

hi
D

nT

x2  y2
2z
( x  y)2  2 xy
2z
2z
2z
 x  y  2 xy
 x y  x y






  2 
 
2
2
z
x y
z
x y  z 
z
x y  z 
z
x y
2

ie

uO

2

P

ai
H
oc

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P 

T

3.

iL

2 1 1
4
x y
1 1
4
2

trong chu i b t đ ng th c I.2), ta có:   
 
z x y x y
z
a b a b
2
x y
, khi đó P  t 2  t   f (t ) v i t  2 .
t t
t
z

up

s/

Ta

Áp d ng b t đ ng th c

.c

om

/g

ro

2 2t 3  t 2  2 (t  2)(2t 2  3t  6)  10

 0 v i t  2 .
Ta có f '(t )  2t  1  2 
t
t2
t2
Suy ra f (t ) đ ng bi n trên  2;   , khi đó f (t )  f (2)  3 hay P  3 .

bo
ok

x  y
D u “=” x y ra khi 
 x  y  z . V y giá tr nh nh t c a P là 3.
x  y  2z

w

w

w

.fa

ce

Ví d 8. Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn a  b  c  3 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
bc
ca
ab
P


3a  bc
3b  ca
3c  ab
Phân tích h ng gi i (xem trong bài gi ng)
Gi i
T đi u ki n a  b  c  3  3a  bc  (a  b  c )a  bc  a (a  b )  c (a b )  (a b )(a c )
Áp d ng b t đ ng th c

1 1
2
 
hay
x y
xy

1
11 1
    trong chu i b t đ ng th c I.2), ta đ
xy 2  x y 

c:

bc
1
bc  1
1 

 bc.
 

3a  bc
(a  b)(a  c) 2  a  b a  c 
Ch ng minh t

ng t

ca
ca  1
1 
 

 và
2 bc ba 
3b  ca

ab
ab  1
1 
 

.
3c  ab 2  c  a c  b 

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
bc  1
1  ca  1
1  ab  1
1 
Khi đó P  



 
 

2  a b a c  2 bc ba  2  c a c b 
1  bc  ca ab  ca ab  bc  a  b  c 3
3
 


 hay P  .

2 a b
bc
ca 
2
2
2
3
3
V i a  b  c  1 thì P  . V y giá tr l n nh t c a P là .
2
2

Ví d 9. Cho x, y, z là các s th c d

x  yz y2  zx z2  xy


y  zx z  xy x  yz

01

Phân tích h

ng gi i (xem trong bài gi ng)
Gi i

ai
H
oc

P

ng th a mãn x  y  z  3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :
2

hi
D

P
x2  yz
y2  zx
z2  xy



3 3 y  3zx 3z  3xy 3x  3 yz

Ta có

Áp d ng b t đ ng th c a 2  b2  2ab hay 2ab  a 2  b2 trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ

c:

2

2

2

ng t ta có: 3z  3xy  x2  y2  z2  xy  yz  zx và 3x  3 yz  x2  y2  z2  xy  yz  zx

uO

T

2

nT

3 y  3zx  ( x  y  z) y  zx  2 zx  ( x  y  z) y  zx  z  x  x  y  z  xy  yz  zx
2

ie

P x2  yz  y2  zx  z2  xy

 1  P  3 . D u “=” x y ra khi x  y  z  1
3 x2  y2  z2  xy  yz  zx
V y P đ t giá tr nh nh t b ng 3 , khi x  y  z  1.

up

s/

Ta

iL

Khi đó

ng th a mãn x2  y2  z2  1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
1
1
32
P 4
 4

2 2
2 2
x x y
y  x y (1  z)3

om

/g

ro

Ví d 10. Cho x, y, z là các s th c d

ce

1 1
4
 
trong chu i b t đ ng th c I.2, ta đ
x y x y

c:

.fa

Áp d ng b t đ ng th c

bo
ok

.c

Phân tích h ng gi i (Bài gi ng)
Gi i:
T đi u ki n ta có x, y, z (0;1) .

w

w

w

1
1
4
4
4
 4
 4
 2

2 2
2 2
2 2
4
2 2
2 2
x x y
y x y
x x y y x y
(x  y )
(1  z2 )2
4
32
4
32


 f ( z) . Xét f ( z) 
Suy ra P 
v i z (0;1)
2 2
3
2 2
(1  z ) (1  z)3
(1  z ) (1  z)
4

Ta có f '( z) 

16 z
96
16(6 z3  17 z2  19 z  6) 16(2 z  1)(3z2  7 z  6)



(1  z2 )3 (1  z)4
(1  z)3 (1  z) 4
(1  z)3 (1  z) 4

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
Suy ra f '( z)  0  z  do z (0;1) . B ng bi n thiên:
2

nT

6
448
1
, khi x  y 
và z  .
4
27
2

uO

V y P đ t giá tr nh nh t b ng

hi
D

ai
H
oc

01

x  y

6
x y


1
1
448


 
4
. D u “=” x y ra khi  z 
T b ng bi n thiên ta có P  f ( z)  f   

2
 2  27

z  1
 x2  y2  z2  1 
2

s/

ng gi i (Bài gi ng)
Gi i

up

Phân tích h

Ta

iL

ie

Ví d 11. Cho a , b, c là đ dài ba c nh tam giác th a mãn đi u ki n abc  b  2c .
3
4
5
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P 


b c a a c b a b c

.c

om

/g

ro

1 2
T đi u ki n ta suy ra a  
c b
1 1
4
Áp d ng b t đ ng th c  
trong chu i b t đ ng th c I.2 và x  y  2 xy trong chu i b t đ ng th c I.1,
x y x y

4
4
4
3
3
1 2 3

 2.  3.  2      2  a    2.2 a.  4 3 hay P  4 3
a
a
2c
2b
2a
c b a 


.fa



1
1
1
1
1
1

 




 2
  3

bc a a c b
 bc a a bc   a cb a bc 

bo
ok

c: P 

ce

ta đ

w

w

D u “=” x y ra khi a  b  c  3 .

w

Ví d 12. Cho a , b, c là các s th c d ng . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
3(b  c) 4a  3c 12(b  c)


P
2a
3b
2a  3c
Phân tích h ng gi i (Bài gi ng)
Gi i
3(b  c)
4a  3c
12(b  c)
4a  3b  3c 4a  3b  3c 4(4a  3b  3c)
Ta có P  11 
2
1
8 


2a
3b
2a  3c
2a
3b
2a  3c
1
4 
 1
 (4a  3b  3c)   

 2a 3b 2a  3c 
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1 1
4
Áp d ng b t đ ng th c  
trong chu i b t đ ng th c I.2, ta có:
x y x y

1
4
1
 

1
1
4
16
1
4 
 2a 3b 2a  3b
 1

 

 (4a  3b  3c)   

  16
16
2a 3b 2a  3c 4a  3b  3c
 2a 3b 2a  3c 
 4  4 

 2a  3b 2a  3c 4a  3b  3c

c:

nT

1 1
4
 
trong chu i b t đ ng th c I.2, ta đ
x y x y
1
1
4
4



x y y  z x y  y  z x 2y  z

ie

uO

Áp d ng b t đ ng th c

ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:

hi
D

Phân tích h

ai
H
oc

Ví d 13. Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn x2  y2  z2  3 . Ch ng minh r ng:
1
1
1
4
4
4


 2
 2
 2
x y y z z x x  7 y  7 z  7

01

Hay P  11  16  P  5 . D u “=” x y ra khi 2a  3b  3c  0
V y P đ t giá tr nh nh t b ng 5 khi 2a  3b  3c  0 .

c:

Ta

iL

Áp d ng b t đ ng th c a 2  b2  2ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ

x 1  2x
 2
4
8
2
2
2
2
 2
2( y  1)  2.2 y  4 y  2( x  2 y  z)  x  2 y  z  4  y  7 
x 2y  z y  7
 z2  1  2 z

1
1
8
1
1
8

 2

 2

z x x y
x 7
y z z x
z 7
1
1
1
4
4
4


 2
 2
 2
c:
x y y z z x x  7 y  7 z  7

ng t ta có

om

1
1
8

 2
.T
x y y z y  7

.c

Suy ra

/g

ro

up

s/

2

bo
ok

C ng theo v ba b t đ ng th c trên ta đ

.fa

ce

D u “=” x y ra khi x  y  z  1

w

w

w

Ví d 14 (A – 2005). Cho x, y, z là các s th c d

ng th a mãn

1 1 1
   4 . Ch ng minh r ng :
x y z

1
1
1


1
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
Phân tích h

ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
1
11 1
1 1
4
    trong chu i b t đ ng th c I.2, ta đ
Áp d ng b t đ ng th c  
hay
a b 4 a b 
a a a b

c:

1
1
1 1
1  1  1  1 1  1  1 1  1  2 1 1 

 

  .             
2 x  y  z ( x  y)  ( x  z) 4  x  y x  z  4  4  x y  4  x z   16  x y z 
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
1 1 2 1
1
1 1 1 2
T ng t ta có:
     và
    
x  2 y  z 16  x y z 
x  y  2 z 16  x y z 

1
1
1
1 1 1 1


 .4.      1
2 x  y  z x  2 y  z x  y  2 z 16  x y z 

D u “=” x y ra khi x  y  z 

3
.
4

Ví d 15 Cho x, y, z là các s th c d

ng th a mãn x  y  1  z .

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P 

x
y
z2  2


x  yz y  zx z  xy

01

Suy ra

Phân tích h

hi
D

ng t ta có: y  zx  ( x  y)( x  1)

nT

T

ai
H
oc

ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
Ta có: z  xy  x  y  1  xy  ( x  1)( y  1)
x  yz  x  y( x  y  1)  x  y  y( x  y)  ( x  y)( y  1)

uO

x
y
z2  2
x2  y2  x  y
z2  2




Khi đó P 
( x  y)( y  1) ( x  y)( x  1) ( x  1)( y  1) ( x  y)( x  1)( y  1) ( x  1)( y  1)

ie

iL

s/

( x  y)2
( x  1  y  1)2 ( x  y  2)2

và ( x  1)( y  1) 
4
4
2

up

x2  y2 

( a  b) 2
( a  b) 2
và ab 
trong chu i b t đ ng th c I.1, ta có:
4
2

Ta

Áp d ng b t đ ng th c a 2  b2 

w

w

w

.fa

ce

bo
ok

.c

om

/g

ro

( x  y)2
 x y
2
4( z2  2)
2
4( z2  2)
z2  2
2
Suy ra P 





 f ( z) v i z  1
( x  y  2) 2 ( x  y  2) 2 x  y  2 ( x  y  2) 2 z  1 ( z  1) 2
( x  y).
4
4
2
2
4( z  2)
2
8( z  2) 6( z  3)



Xét hàm s f ( z) 
v i z  1 . Ta có f '( z)  
; f '( z)  0  z  3
2
2
z  1 ( z  1)
( z  1)
( z  1)3 ( z  1)3
B ng bi n thiên

T b ng bi n thiên, suy ra P  f ( z) 
V y P đ t giá tr nh nh t b ng

 x  y; z  3  x  y  1
13
. D u “=” x y ra khi 

4
x  y 1  z
z  3

13
, khi x  y  1 và z  3 .
4

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
2
2
Ví d 16. Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn đi u ki n x  y  z  1 .
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  2( y  z  x)  9 xyz
Phân tích h
Áp d ng b t đ ng th c a 2  b2 
b t đ ng th c I.1, ta đ

ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:

a 2  b2
( a  b) 2
hay a  b  2(a 2  b2 ) và a 2  b2  2ab hay ab 
trong chu i
2
2

c:



2







9
2(1  x2 )  x  x.(1  x2 )
2
9
5
 2 2(1  x2 )  x3  x  f ( x)
2
2

Xét hàm s

ai
H
oc

01

P  2( y  z  x)  9 xyz  2

y2  z2
2( y  z )  x  9 x.
2
2
2

9
5
f ( x)  2 2(1  x2 )  x3  x v i 0  x  1
2
2

2 2 x

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO

nT

hi
D

27 2 5
4 2 x  (27 x2  5) 1  x2
 x  
2
1  x2 2
2 1  x2
0  x  1
1

2
2
Khi đó f '( x)  0  4 2 x  (27 x  5) 1  x  27 x2  5  0
 x
3
(3x2  1)(9 x2  1)(27 x2  25)  0

B ng bi n thiên
Ta có f '( x) 

.fa

ce

bo
ok

 1  10
T b ng bi n thiên suy ra P  f ( x)  f    .
3 3
1
2
10
10
Khi x  ; y  z  thì P  . V y giá tr l n nh t c a P là
.
3
3
3
3

ng th a mãn x  y  z  1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :

w

w

w

Ví d 17. Cho x, y, z là các s th c d

P

2

3
x
y2

 ( x  y)2
2
2
( y  z)  5 yz ( z  x)  5 zx 4

Phân tích h

ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
( a  b) 2
trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:
Áp d ng b t đ ng th c (a  b)2  4ab hay ab 
4
y2
4 y2
x2
x2
4 x2

(1)
.
T
ng
t
ta
có:
(2)


( z  x)2  5 zx 9( z  x) 2
( y  z) 2 9( y  z) 2
( y  z)2  5 yz
2
( y  z)  5.
4
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
2

C ng (1) và (2), k t h p b t đ ng th c a 2  b2 

( a  b)
( a  b)
và ab 
trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ
4
2

c:

2
2
2
x2
y2
4  x   y   4 1  x
y 


 
 

  . 
( y  z) 2  5 yz ( z  x) 2  5 zx 9  y  z   z  x   9 2  y  z z  x 
2

2

 ( x  y) 2

 (1  z) 2

2
2
z
x
y
z
z




(
)
(1
)
2
2




2  x  y  z( x  y) 
2
2
8  z 1 
2
2
 
 
  
  

9  xy  z( x  y)  z2 
9  ( x  y)2
9  (1  z) 2
9  z 1 
2
2
 z( x  y)  z
 z(1  z)  z
 4
 4


8  z 1  3
2
Khi đó P  
  (1  z)  f ( z) (*) .
9  z 1  4

01

2

8  z 1  3
2
Xét f ( z)  
  (1  z) v i c  (0;1)
9  z 1  4

ai
H
oc

2

up

s/

Ta

iL

ie

uO

nT

hi
D

( z  1)  43  (3z  31)3 
16 z  1
2
3
1
.
 ( z  1) 
Ta có f '( z)  .
; f '( z)  0  z  (vì z (0;1) )
2
3
9 z  1 ( z  1) 2
18( z  1)
3

ro

1
v i z  (0;1) (2*)
9

/g

D a vào b ng bi n thiên : f ( z)  

om

1
1
. D u “=” x y ra khi x  y  z 
9
3
1
V y giá tr nh nh t c a P là  .
9

bo
ok

.c

T (*) và (2*) suy ra P  

ng th a mãn x2  y2  z2  26 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
z
z(9 x  y)

P
32 xy
xy  13

w

w

w

.fa

ce

Ví d 18. Cho x, y, z là ba s th c d

Phân tích h

ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
2
2
Áp d ng b t đ ng th c a  b  2ab trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c:
2( xy  13)  2 xy  x2  y2  z2  ( x  y)2  z2  2( x  y) z hay xy  13  ( x  y) z
Suy ra

z

xy  13

Ta s ch ng minh

z2
z2


xy  13
( x  y) z

z
.
x y

9x  y
1

(xem cách phân tích trong bài gi ng đ bi t đ
32 xy 2( x  y)

c vì sao ta có đánh giá này)

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Th t v y, b t đ ng th c t ng đ ng:
(9 x  y)( x  y)  16 xy  9 x2  6 xy  y2  0  (3x  y)2  0 (luôn đúng).
Khi đó P 
Xét hàm s

z
z
.

x  y 2( x  y)

f (t )  t 

t t

t2
z
,
suy
ra
P

t

 f (t )
0
2
x y

t2
v i t  0 . Ta có f '(t )  1  t ; f '(t )  0  t  1
2

nT

1
1
. V y P có giá tr l n nh t b ng .
2
2

uO

Khi x  1; y  3; z  4 thì P 

1
.
2

hi
D

T đây suy ra P  f (t )  f (1) 

ai
H
oc

01

B ng bi n thiên:

t2
1
1 1
  (t  1)2   .
2
2
2 2

Ta

iL

ie

Chú ý: Có th tìm giá tr l n nh t c a f (t ) b ng cách bi n đ i: f (t )  t 
ng x, y, z th a mãn x4   y2  1  z4  3.
2

s/

Ví d 19. Cho các s th c d

1
.
x  y  z2  1
2

2

ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:

.c

Phân tích h

om

/g

ro

up

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  2 y  x  z  

a 2  b2
( a  b) 2
 a 2  b2 trong chu i b t đ ng th c I.1, ta đ

2
2

bo
ok

Áp d ng b t đ ng th c ab 

c:

ce

2 y   x  z
1
1
a  b) 2
.
 2
 y2  x2  z2  2
 2ab ) : P 
(suy ra t a  b 
2
2
2
2
x  y  z 1
x  y  z2  1
2
2
2
1
T gi i thi t ta có 3  x4   y2  1  z4   x2  y2  z2  1 , suy ra 0  x2  y2  z2  4.
3
2
2
2
t t  x  y  z 1 1  t  5.
2

2

2

w

w

w

.fa

2

1
1
Xét hàm s f  t   t  1  ; t  5. Ta có f '  t   1  2  0 v i t  1;5  .
t
t
1 21
Suy ra f (t ) đ ng bi n trên 1;5 , khi đó P  f (t )  f  5  4   .
5 5

21
x  z  1
ng th c x y ra khi 
. V y max P  .
5

y  2

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
2
2
Ví d 20. Cho x, y, z là các s th c th a mãn x  y  z  9 và xyz  0 .
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  2( x  y  z)  xyz
Phân tích h

ng gi i: (Bài gi ng)
Gi i:
Không m t tính t ng quát, gi s x  min  x; y; z , do xyz  0  x  0
M t khác x2  y2  z2  9  x2  9  x   3;0

y2  z 2
( x  z)2
hay y  z  2( y2  z2 ) và yz 
trong chu i b t đ ng I.1, ta
2
2
y2  z2
9  x2 x3 5 x
đ c: P  2( x  y  z)  xyz  2 x  2( y2  z2 )  x.
 2 x  2(9  x2 )  x.
   2 2(9  x2 )
2
2
2 2
3
x 5x
Xét hàm s f ( x)    2 2(9  x2 ) v i x  3;0 
2 2
Áp d ng b t đ ng th c y2  z2 

ai
H
oc

hi
D

3x2 5 2 2 x (3x2  5) 9  x2  2 2 x
 

2 2
9  x2
2 9  x2

nT

Ta có f '( x) 





01





3x2  5  0

Khi đó f '( x)  0  (3x  5) 9  x  2 2 x   2
2
2
2

(3x  5) (9  x )  8 x
5
1

Ta

3x2
 2
2
 x
3x  5  0

 6
  2
4
2

9 x  111x  327 x  225  0
 x
 2
  x

ie

uO

2

iL

2

/g

ro

up

s/

2
25  x  1  x  1  3;0

3
3

om

Ta có f (3)  6 ; f (1)  10 và f (0)  6 2  f ( x)  f (1)  10

ce

bo
ok

.c

 x  1; y  z  0
 x  1
D u “=” x y ra khi  2


2
2
y  z  2
x  y  z  9
V y P đ t giá tr nh nh t b ng 10 , khi x  1 ; y  z  2

w

w

.fa

Chú ý:
bài toán này có th không c n đi u ki n xyz  0 . Khi đó các b n tham kh o nh ng b c gi i chính sau:
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz (s đ c tìm hi u k các bài h c sau), ta có:

w

2( x  y  z)  xyz  x(2  yz)  ( y  z).2  ( x2  ( y  z) 2  (2  yz) 2  4  (2 yz  9)( y2 z2  4 yz  8)
t t  yz , suy ra: P  2( x  y  z)  xyz  (2t  9)(t 2  4t  8)  f (t )
Gi s

x  max  x , y , z   3x2  x2  y2  z2  9  x2  3  y2  z2  6  yz 

Ta d dàng ch ng minh đ

c

y2  z2
 3 hay t  3
2

(2t  9)(t 2  4t  8)  10 v i t  3 . Khi đó ta suy ra đ

c đáp s bài toán.

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng



HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

BÀI LUY N THÊM

Bài 1. Cho các s th c x, y th a mãn 2 x  y  2 . Ch ng minh r ng xy(4 x2  y2 )  1 .
Bài 2. Cho các s th c x, y  1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M 

ng a , b, c, d . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

(a  b)(a  b  c)(a  b  c  d ) 2
abcd

Bài 4. Cho a , b  c  0 . Ch ng minh r ng:

01

M

c(a  c)  c(b  c)  ab

uO

nT

hi
D

Bài 5. Cho hai s th c x, y th a mãn đi u ki n x4  16 y4  2(2 xy  5)2  41 .
3
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c P  xy  2
x  4 y2  3

ai
H
oc

Bài 3. Cho các s th c d

x3  y3  ( x2  y2 )
( x  1)( y  1)

s/

Ta

iL

ie

Bài 6. Cho x, y, z là các s th c d ng. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :
4
4
5
P


x2  y2  z2  4 ( x  y) ( x  2 z)( y  2 z) ( y  z) ( y  2 x)( z  2 x)
1
1
1
1
th a mãn:


2
4
a 1 b 1 c 1
1
1
1
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P 


4a  1 4b  1 4c  1

om

/g

ro

up

Bài 7. Cho a , b, c là các s th c l n h n 

bo
ok

.c

Bài 8. Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn x  y  z  3 . Ch ng minh r ng:
1
1
1
1
1
1





x  3 y y  3z z  3x x  3 y  3 z  3

w

w

.fa

ce

Bài 9. Cho a , b, c là các s th c không âm đôi m t phân bi t và th a mãn ab  bc  ca  4 .
1
1
1


Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 
2
2
(a  b) (b  c) (c  a ) 2

w

Bài 10. Cho x, y, z là các s th c không âm th a mãn x2  y2  z2  2 xyz  1 .
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  xy  yz  zx  2 xyz
Bài 11. Cho các s th c d

ng a , b, c . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
1
2
P

.
a 2  b2  c 2  1  a  1 b  1 c  1

ng th a mãn a  2b  c  0 và a 2  b2  c2  ab  bc  ca  2 .
a c2
a  b 1

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P 
a (b  c)  a  b  1 (a  c)(a  2b  c)

Bài 12. Cho a , b, c là các s th c d

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

CHU I B T
Cho a , b, c là các s th c d
I.1) a 2  b2 

( a  b)
2

2




NG TH C I

ng ta có:

a b



4

 2ab

8

I.2)

1 1
2
 

a b
ab

8



a b



2



4
2 2

a b
a 2  b2

D u “=” x y ra khi a  b .

01

Ch ng minh

ai
H
oc

( a  b) 2
ch ng minh chu i b t đ ng th c I.1) ta ch c n ch ng minh 3 b t đ ng th c a  b 
;
2
2







4



4

2



4

 2ab

ie

a b
8

s/

Ta

( a  b) 2
2

1) Ch ng minh: a 2  b2 



iL

Chu i b t đ ng th c I.1)

( a  b) 2
a 2  b2 

2

uO

nT

hi
D

a b
a b
( a  b) 2

 2ab . Song đ ti n cho vi c làm trong các ví d và bài t p, ta s ch ng

8
2
8
minh “đ y đ ” 6 b t đ ng th c đ c t o ra t chu i b t đ ng th c I.1) và t ng t ta c ng s đi ch ng minh 10
b t đ ng th c t chu i b t đ ng th c I.2) .

up

( a  b) 2
 2(a 2  b2 )  (a  b)2  (a  b) 2  0 luôn đúng a , b   (đpcm).
Ta có a  b 
2



a b



4

/g

( a  b) 2

2) Ch ng minh:
2

ro

2

om

2

8

8



4

w

w

w

Áp d ng AM – GM ta có:
4) Ch ng minh: a 2  b 2



2

2

 ( a  b) 2




a b



4

4

( a  b) 2


2



a b
8



4

(đpcm)

ce

a b

a b

 2ab

.fa

3) Ch


ng minh:

bo
ok

.c


V i a , b  0 áp d ng 1) ta có a  b 




a  b  2 4 ab 

a b
8





a b



4


 16ab 

a b






4

. T 1) và 2) suy ra a 2  b 2

a b
8

8



4

 2ab (đpcm).

4

.

( a  b) 2
 2ab
5) Ch ng minh:
2
( a  b) 2
 2ab  (a  b)2  4ab  0  (a  b)2  0 (đpcm).
Ta có:
2
6) Ch ng minh: a 2  b2  2ab
Ta có: a 2  b2  2 a 2b2  2 ab  2ab (ho c ch ng minh a 2  b2  2ab  a 2  b2  2ab  0  (a  b)2  0 ).
Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Chu i b t đ ng th c I.2)

a b



2



4
2 2

a b
a 2  b2

1 1
2
 
.
a b
ab

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có :

Áp d ng bđt AM – GM ta có:



8
a b





2



.

a  b  2 4 ab 



a b



2

 4 ab 

2

ab

8





(đpcm).

01

a b

2

a b

2

ai
H
oc



8

1 1
2
 
(đpcm).
a b
ab

4
.
a b



a b



2



8



a b



2



4
(đpcm).
a b

uO

Áp d ng bđt AM – GM ta có: a  b  2 ab  2(a  b) 

hi
D

2

ab

2) Ch ng minh:

3) Ch ng minh:



8

nT

1) Ch ng minh:

1 1
2
 

a b
ab

4
2 2
.

a b
a 2  b2
4
2 2
16
8
Ta có


 2
 2(a 2  b2 )  (a  b)2  (a  b) 2  0 luôn đúng (đpcm)
2
2
2
2
a b
(
a

b
)
a

b
a b
1 1
8
5) Ch ng minh:  
.
2
a b
a b

ro



/g



up

s/

Ta

iL

ie

4) Ch ng minh:

1 1
2
 
a b
ab



a b



2

.c

a  b  2 4 ab 

bo
ok

M t khác:

om

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có :

2

ab

 4 ab 

a b



2

, suy ra

1 1
 
a b



8
a b



2

(đpcm).

2
4

.
ab a  b

.fa

ce

6) Ch ng minh:

2
4

(đpcm).
ab a  b

w

w

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có : a  b  2 ab 

w

7) Ch ng minh:



8



8

a b



2

2 2



a 2  b2

.

Ta có a 2  b2  2ab  2(a 2  b2 )  (a  b) 2  a 2  b 2 


Áp d ng (*) ta có: a  b 
T (*) và (2*), suy ra a 2  b2

a b



2

2




( a  b) 2


2

a b
8





( a  b) 2
(*)
2

a b
8



4

(2*)

4



1
a b
2

2





2 2
a b



2





8
a b



2



2 2
a 2  b2

(đpcm).

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


GV: Nguy n Thanh Tùng

HOCMAI.VN
facebook.com/ThayTungToan
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1 1
4
.
 
a b a b
1 1
4
Ta có:  
 (a  b)2  4ab  (a  b)2  0 luôn đúng (đpcm).
a b a b
2
2 2
9) Ch ng minh:
.

ab
a 2  b2

8) Ch ng minh:

2
2 2
4
8


 2
 a 2  b2  2ab  (a  b)2  0 luôn đúng (đpcm).
2
2
2
ab a  b
ab
a b
1 1
2 2
10) Ch ng minh:  
.
a b
a 2  b2

nT
uO

N CÁC B N Ã

C TÀI LI U

w

w

w

.fa

ce

bo
ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

C M

hi
D

1 1
2 2
(đpcm).
 
a b
a 2  b2

ie

Suy ra

1 1
2
4
8
2
2 2
 
và a 2  b2  2ab 
 2


2
a b
ab a  b
ab
ab
a 2  b2

ai
H
oc

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có:

01

Ta có

GV: Nguy n Thanh Tùng

Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i !

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×