Tải bản đầy đủ

tóm tắt luận án tiến sĩ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN






PHẠM THẾ ANH






ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG
DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN






Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học
Mã số: 62 46 01 06






(Dự thảo)
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC











Hà Nội- 2014
Công trình được hoàn thành tại:
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN-ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng



Phản biện :

Phản biện :

Phản biện :


Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng cấp ĐHQG chấm luận án tiến sĩ họp
tại trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội
vào hồi …… giờ……….ngày…….tháng…… năm ……….








Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

MỞ ĐẦU
Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên được
nghiên cứu từ những năm 1950 ở trường Prague bởi O. Hans, A. Spacek
và trong các công trình của A. T. Bharucha-Reid năm 1972, 1976. Mở rộng
của bài toán điểm bất động ngẫu nhiên là bài toán điểm trùng nhau ngẫu
nhiên, được nghiên cứu đối với các toán tử đa trị, giữa cặp toán tử đơn trị
và đa trị.
Mở rộng các kết quả trên, ta xây dựng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên
Φ từ L
X
0
(Ω) vào L
X
0
(Ω) mà hạn chế của Φ trên X trùng với toán tử ngẫu
nhiên f.
Nội dung của luận án bao gồm định lý về sự thác triển toán tử ngẫu
nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, các kết quả nghiên cứu về điểm
bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Từ đó
áp dụng để giải nghiệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Luận
án gồm 3 chương.
Chương 1 trình bày một cách tổng quan về các khái niệm và kết quả liên
quan đến định lý điểm bất động và điểm trùng nhau ngẫu nhiên của các
toán tử ngẫu nhiên. Các kết của chương này được trích dẫn và không có
chứng minh chi tiết.
Chương 2 trình bày khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, định lý thác
triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, tính liên tục
theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Tiếp theo, chương này
trình bày các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của một số dạng toán
tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Cuối cùng, một số kết quả về điểm trùng nhau
của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được đề cập đến. Nội dung chính của
chương này các định lý về sự tồn tại điểm bất động và điểm trùng nhau của
toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu về ứng dụng các định lý điểm
bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Các ứng
dụng đó là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử hoàn
toàn ngẫu nhiên và sử dụng định lý điểm trùng nhau ngẫu nhiên để chứng
minh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên. Nội dung chính của chương này
là các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên.
1
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ TỔNG QUAN
1.1 Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Định nghĩa. Ánh xạ f : Ω × X → Y được gọi là toán tử ngẫu
nhiên từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ ω → f(ω, x) là một
biến ngẫu nhiên Y -giá trị xác định trên X. Toán tử ngẫu nhiên từ X vào
X được gọi là toán tử ngẫu nhiên trên X. Toán tử ngẫu nhiên từ X vào
R được gọi là phiếm hàm ngẫu nhiên.
1.1.2 Định nghĩa. Cho f, g : Ω × X → Y là hai toán tử ngẫu nhiên. Toán
tử ngẫu nhiên f được gọi là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên g nếu với
mọi x ∈ X
f(ω, x) = g(ω, x) h.c.c., (1.1)
trong đó tập các ω mà f(ω, x) = g(ω, x) nói chung phụ thuộc vào x.
1.1.3 Định nghĩa. 1) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là
đo được nếu ánh xạ f : Ω × X → Y là F × B(X)-đo được.
2) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là liên tục nếu với mỗi ω
quỹ đạo f(ω, .) của f là toán tử liên tục từ X vào Y .
3) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là Lipschitz nếu với mỗi
ω quỹ đạo f(ω, .) là toán tử Lipschitz, nghĩa là tồn tại số thực k(ω) sao
cho với mọi x, y ∈ X
d(f(ω, x), f(ω, y)) ≤ k(ω)d(x, y). (1.2)
4) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là co nếu f là toán tử
Lipschitz với k(ω) ∈ [0; 1), ∀ω ∈ Ω.
1.1.4 Định lý. ([29]) Cho X, Y là các không gian Polish và f : Ω×X →
Y là toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó f là toán tử ngẫu nhiên đo được.
Hơn nữa nếu ξ : Ω → X là biến ngẫu nhiên thì ánh xạ ω → f(ω, ξ(ω)) là
một biến ngẫu nhiên Y -giá trị.
2
1.1.5 Định nghĩa (Điểm bất động ngẫu nhiên). Biến ngẫu nhiên ξ : Ω →
X gọi là điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên f : Ω×X → X
nếu
f(ω, ξ(ω)) = ξ(ω) h.c.c. (1.3)
Ta nhận thấy nếu f : Ω × X → X có điểm bất động ngẫu nhiên thì với
mỗi ω ∈ Ω, f(ω, .) có điểm bất động trong X. Ngược lại không đúng.
1.1.6 Định nghĩa. Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là phương
trình có dạng
f(ω, x) = g(ω, x) (1.4)
với f, g : Ω × X → Y là các toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y .
1.1.7 Định nghĩa. 1) Phương trình (1.4) được gọi là có nghiệm tất
định với hầu hết Ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi
Ω ∈ D tồn tại phần tử u(ω) ∈ X sao cho
f(ω, u(ω)) = g(ω, u(ω)). (1.5)
Khi đó u(ω) gọi là nghiệm tất định của phương trình (1.4).
2) Phương trình (1.4) được gọi là có nghiệm ngẫu nhiên nếu tồn tại biến
ngẫu nhiên ξ : Ω → X sao cho
f(ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω)) h.c.c. (1.6)
Khi đó ξ gọi là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (1.4).
Một trong các công cụ quan trọng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của
phương trình toán tử ngẫu nhiên hay sự tồn tại điểm bất động của toán tử
ngẫu nhiên đó là các định lý về sự tồn tại hàm chọn đo được của một ánh
xạ đa trị.
Cho (Ω, F) là không gian đo được và X là không gian metric. Ánh xạ đa
trị F : Ω → 2
X
gọi là F-đo được nếu
F
−1
(B) = {ω ∈ Ω|F (ω) ∩ B = ∅} ∈ F (1.7)
với mọi B là tập con đóng của X. Trong một số tài liệu, tính đo được của
F còn được gọi là đo được yếu . Đồ thị của ánh xạ F là một tập con của
Ω × X xác định bởi
Gr(F ) = {(ω, x)|ω ∈ Ω, x ∈ F (ω)}. (1.8)
Ánh xạ u : Ω → X gọi là hàm chọn của ánh xạ đa trị F : Ω → 2
X
nếu
u(ω) ∈ F(ω) với mọi ω ∈ Ω.
Khi đó định lý sau đây được sử dụng như là công cụ để chứng minh sự
tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên.
3
1.1.8 Định lý. ([29]) Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất, X là không
gian Polish và F : Ω → 2
X
là ánh xạ đa trị. Nếu Gr(F ) là tập F×B(X)-đo
được thì tồn tại biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ : Ω → X sao cho ξ(ω) ∈ F(ω)
h.c.c.
Định lý 1.1.8 còn được gọi là định lý hàm chọn. Sự tồn tại của hàm chọn
chỉ ra sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên.
1.1.9 Định nghĩa. Ánh xạ F : Ω×X → 2
Y
được gọi là toán tử ngẫu nhiên
đa trị từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ đa trị ω → F (ω, x)
là F-đo được.
1.1.10 Định nghĩa (Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đa trị). Cho
X là không gian Banach và toán tử ngẫu nhiên đa trị F : Ω× X → 2
X
. Biến
ngẫu nhiên ξ(ω) ∈ L
X
0
gọi là điểm bất động của F nếu ξ(ω) ∈ F (ω, ξ(ω))
với mọi ω ∈ Ω.
1.2 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên
Đối với điểm bất động ngẫu nhiên, năm 1957 trong bài báo của mình Hans
bước đầu đã đưa ra các điều kiện đảm bảo một ánh xạ ngẫu nhiên có điểm
bất động ngẫu nhiên dưới dạng xấp xỉ đến nghiệm của phương trình ngẫu
nhiên.
Cùng với sự phát triển của các định lý điểm bất động trong trường hợp
tất định, các định lý điểm bất động ngẫu nhiên cũng đã bắt đầu được nghiên
cứu nhiều sau bài báo của Hans. Năm 1976 trong bài báo tổng quan của
mình, tác giả Bharucha Reid đã chứng minh định lý điểm bất động cho toán
tử co ngẫu nhiên.
1.2.1 Định lý. ([16]) Cho T(ω) là toán tử ngẫu nhiên liên tục từ không
gian Banach khả ly X vào X, k(ω) là biến ngẫu nhiên không âm nhận
giá trị thực sao cho k(ω) < 1 h.c.c. và
T (ω, x) − T (ω, y) ≤ k (ω) x − y
với mọi x, y ∈ X. Khi đó tồn tại biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ(ω) sao cho
ξ(ω) là điểm bất động ngẫu nhiên duy nhất của T .
Cũng trong bài báo ([16]), tác giả Bharucha Reid đã xét đến phương
trình giá trị riêng ngẫu nhiên dạng (T (ω) − λ)x = y(ω) và đưa ra điều kiện
để phương trình có nghiệm.
1.2.2 Định lý. ([16]) Cho T (ω) là toán tử co ngẫu nhiên từ không gian
Banach khả ly X vào chính nó, k(ω) là biến ngẫu nhiên không âm nhận
4
giá trị thực bị chặn h.c.c. Khi đó với mỗi số thực λ = 0 sao cho k(ω) < |λ|
h.c.c đều tồn tại toán tử ngẫu nhiên S(ω) là nghịch đảo của T(ω) − λI,
với I là toán tử đồng nhất trên X.
Ngoài ra, trong bài báo ([16]) tác giả Bharucha Reid chứng minh dạng
ngẫu nhiên của định lý điểm bất động Schauder, tức là đưa ra điều kiện để
một toán tử ngẫu nhiên liên tục có điểm bất động ngẫu nhiên.
1.2.3 Định lý. ([16]) Cho E là tập con compact, lồi của không gian
Banach khả ly X và T(ω) là toán tử ngẫu nhiên liên tục trên E. Khi đó
tồn tại biến ngẫu nhiên E-giá trị ξ(ω) là điểm bất động ngẫu nhiên của
T .
Năm 1977 trong bài báo ([30]), bằng phương pháp hàm chọn tác giả Itoh
đã chứng minh định lý điểm bất động ngẫu nhiên cho toán tử co ngẫu nhiên
đa trị.
1.2.4 Định lý. ([30]) Cho (Ω, F) là không gian đo, X là không gian
Banach khả ly. Gọi T : Ω × X → CB(X) là ánh xạ thỏa mãn với mỗi
ω ∈ Ω, T (ω, .) là k(t)-co với k : Ω → [0; 1) là hàm đo được. Khi đó tồn
tại ánh xạ đo được ξ : Ω → X sao cho với mỗi ω ∈ Ω, ξ(ω) ∈ T (ω, ξ(ω)).
Năm 1979 trong bài báo ([31]), tác giả Itoh đã chứng minh hệ quả về
điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên compact.
1.2.5 Hệ quả. ([31]) Cho X là tập con compact (hoặc khả ly và đóng)
của không gian Banach, T : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên compact.
Khi đó T có điểm bất động ngẫu nhiên.
Đến năm 1993 trong bài báo ([54]), các tác giả Tan và Yuan đã có những
chứng minh đầu tiên về mối liên hệ giữa điểm bất động tất định và điểm
bất động ngẫu nhiên. Không gian Suslin là không gian tôpô Hausdorff và
là ảnh liên tục của không gian Polish. Tập con Suslin của không gian tôpô
là không gian con của không gian tôpô và cũng là không gian Suslin. Ký
hiệu I và J là tập các dãy con vô hạn và hữu hạn của tập số nguyên dương.
Gọi G là họ các tập hợp nào đó và F : J → G là một ánh xạ. Với mỗi
σ = (σ
i
)

i=1
∈ I và n ∈ N, ta ký hiệu (σ
1
, , σ
n
) bởi σ/n, thì

σ∈J


n=1
F (σ/n)
được gọi là nhận được từ G bằng toán tử Suslin. Bây giờ nếu mọi tập con
nhận được từ G theo cách như trên cũng thuộc G, thì G gọi là họ Suslin.
1.2.6 Định lý. ([54]) Cho (Ω, Σ) là không gian đo, Σ là họ Suslin, X là
không gian tôpô và X
0
là tập con Suslin của X. Giả sử T : Ω × X
0
→ 2
X
có đồ thị GraphT ∈ Σ × B(X
0
× X). Khi đó T có điểm bất động ngẫu
nhiên khi và chỉ khi T có điểm bất động tất định, tức là T (ω, .) có điểm
bất động trong X
0
với mỗi ω ∈ Ω.
5
1.2.7 Định lý. ([54]) Cho (Ω, Σ) là không gian đo, Σ là họ Suslin và X
0

tập con Suslin của không gian metric khả ly X. Giả sử T : Ω×X
0
→ C(X)
là toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó T có điểm bất động ngẫu nhiên
khi và chỉ khi T có điểm bất động tất định, tức là với mỗi ω ∈ Ω, T (ω, .)
có điểm bất động trong X
0
.
Năm 1995, tác giả Choudhury trong ([18]) đã sử dụng dãy lặp Ishikawa
để chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên nếu dãy lặp hội
tụ trong không gian Hilbert.
1.2.8 Định lý. ([18]) Cho X là không gian Hilbert khả ly, T : Ω×X → X
là toán tử ngẫu nhiên liên tục sao cho tồn tại ánh xạ u : Ω → X (không
yêu cầu đo được) thỏa mãn ||T (ω, x) − u(ω)|| ≤ ||x − u(ω)|| với mọi ω ∈ Ω
và x ∈ X. Khi đó với mọi biến ngẫu nhiên ξ
0
: Ω → X và dãy biến ngẫu
nhiên (ξ
n
(ω)) xác định bởi dãy lặp Ishikawa nếu hội tụ thì hội tụ tới tới
điểm bất động của F , trong đó
ξ
n+1
(ω) = α
n
T (ω, η
n
(ω)) + (1 − α
n
) ξ
n
(ω) ,
η
n
(ω) = β
n
T (ω, ξ
n
(ω)) + (1 − β
n
) ξ
n
(ω)
và các dãy số thực (α
n
), (β
n
) thỏa mãn
0 < α
n
, β
n
< 1, lim sup
n
β
n
= M < 1,

n
α
n
β
n
= +∞.
Năm 1998, các tác giả Xu và Beg ([63]) đã chứng minh định lý co cho
trường hợp toán tử ngẫu nhiên đa trị.
1.2.9 Định lý. ([63]) Giả sử (X, d) là không gian metric khả ly, (Ω, Σ)
là không gian đo và T : Ω × X → CB(X) là co ngẫu nhiên, tức là với
mỗi x ∈ X, T (., x) là đo được và với mỗi ω ∈ Ω, tồn tại số k(ω) ∈ [0; 1)
sao cho
H(T (ω, x), T (ω, y)) ≤ k(ω)d(x, y). (1.9)
với H(A, B) là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp đóng A, B. Khi
đó hàm T có điểm bất động ngẫu nhiên.
Trong bài báo ([12]) năm 2006, các tác giả Beg và Abbas sử dụng phương
pháp lặp để chứng minh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử
ngẫu nhiên co yếu.
1.2.10 Định lý. ([12]) Cho F là tập con lồi, đóng của không gian metric
khả ly đầy đủ X, và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên co yếu theo
nghĩa với bất kỳ x, y ∈ F
T (ω, x) − T (ω, y) ≤ x − y − f (x − y) ∀ω ∈ Ω (1.10)
6
trong đó f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, không giảm, f(t) = 0 khi
và chỉ khi t = 0, lim
t→+∞
f(t) = +∞. Khi đó T có điểm bất động ngẫu
nhiên.
Cũng trong bài báo ([12]), các tác giả Beg và Abbas còn chứng minh hai
định lý về các quá trình lặp đến điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên co
yếu.
1.2.11 Định lý. ([12]) Cho F là tập con lồi, đóng của không gian metric
khả ly đầy đủ X, và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên co yếu. Giả
sử dãy biến ngẫu nhiên (ξ
n
(ω)) từ Ω vào F , được gọi là dãy lặp Mann
(xem ([38])), xác định bởi công thức
ξ
n+1
(ω) = (1 − α
n
) ξ
n
(ω) + α
n
T (ω, ξ
n
(ω)) với mỗi ω ∈ Ω, (1.11)
n = 0, 1, 2, , trong đó 0 ≤ α
n
≤ 1,

n
α
n
= +∞, ξ
0
(ω) : Ω → F là biến
ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó dãy lặp (ξ
n
(ω)) hội tụ về điểm bất động của
T .
Năm 2010 trong bài báo ([55]), các tác giả Thắng và Ánh bằng phương
pháp hàm chọn của ánh xạ đa trị đã chứng minh kết quả sau đối với phương
trình toán tử ngẫu nhiên.
1.2.12 Định lý. ([55]) Cho X, Y là các không gian Polish và f, g : Ω ×
X → Y là các toán tử ngẫu nhiên đo được. Khi đó phương trình ngẫu
nhiên f(ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi phương trình
có nghiệm tất định với hầu hết ω ∈ Ω.
Hơn nữa nếu với hầu hết ω ∈ Ω phương trình f(ω, .) = g(ω, .) có duy
nhất nghiệm tất định, thì phương trình f(ω, x) = g(ω, x) có duy nhất
nghiệm ngẫu nhiên.
Từ định lý này, các tác giả đã thu được kết quả sau chỉ ra mối liên hệ
giữa sự tồn tại điểm bất động tất định và điểm bất động ngẫu nhiên.
1.2.13 Định lý. ([55]) Cho X là các không gian Polish, f : Ω × C → X
là toán tử ngẫu nhiên đo được. Khi đó f có điểm bất động ngẫu nhiên
khi và chỉ khi với hầu hết ω ∈ Ω, ánh xạ f(ω, .) có điểm bất động tất
định.
Định lý 1.2.13 cho thấy đối với trường hợp toán tử ngẫu nhiên đo được,
vấn đề tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên tương đương với sự tồn tại điểm
bất động tất định cho hầu hết ω. Mặt khác vấn đề điểm bất động tất định
đã được nghiên cứu gần như đầy đủ với số lượng rất lớn các công trình đã
được nghiên cứu. Như vậy trước khi có bài báo ([55]), việc chứng minh sự
tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên đo được mà sử
7
dụng kết quả trong trường hợp tất định kết hợp với định lý hàm chọn đến
đây không còn nhận được nhiều sự quan tâm nữa. Vì thế, để đưa ra các kết
quả về điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên đo được, các tác giả thường
chứng minh trực tiếp thông qua phương pháp dãy lặp mà không sử dụng
cách chứng minh dựa trên định lý hàm chọn như trước. Đến bây giờ nhiều
dạng dãy lặp đã được sử dụng, điển hình là các dãy lặp Picard, dãy lặp
Mann, dãy lặp Ishikawa, dãy lặp ba bước, dãy lặp ẩn, Sử dụng phương
pháp lặp, số các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên được chứng minh
phong phú hơn rất nhiều so với sử dụng phương pháp hàm chọn.
1.3 Điểm trùng nhau của các toán tử ngẫu nhiên
Tiếp theo sự xuất hiện bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên và
toán tử ngẫu nhiên đa trị, bài toán điểm trùng nhau của các toán tử ngẫu
nhiên cũng đã được quan tâm đến. Lần lượt nhiều công trình đã đưa ra các
kết quả quan trọng về điểm trùng nhau của các toán tử ngẫu nhiên.
1.3.1 Định nghĩa (Điểm trùng nhau ngẫu nhiên). Cho T
1
, T
2
, , T
n
:
Ω × X → X là các toán tử ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X gọi là
điểm trùng nhau ngẫu nhiên của các toán tử ngẫu nhiên T
1
, T
2
, , T
n
nếu
T
1
(ω, ξ(ω)) = T
2
(ω, ξ(ω)) = = T
n
(ω, ξ(ω)) h.c.c. (1.12)
1.3.2 Định nghĩa. Ánh xạ đo được ξ : Ω → X được gọi là điểm trùng nhau
ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → X và toán tử ngẫu nhiên
đa trị T : Ω×X → CB(X) nếu với mọi ω ∈ Ω ta có f(ω, ξ(ω)) ∈ T(ω, ξ(ω)).
Cho ánh xạ ξ
0
: Ω → X. Nếu tồn tại dãy (ξ
n
(ω)) sao cho f(ω, ξ
2n+1
(ω)) ∈
S(ω, ξ
2n
(ω)), f(ω, ξ
2n+2
(ω)) ∈ T(ω, ξ
2n+1
(ω)), n = 0, 1, 2, , thì O
f

0
(ω)) =
{f(ω, ξ
n
(ω)) : n = 1, 2, 3, với mỗi ω ∈ Ω} gọi là quỹ đạo của (S, T, f) tại
ξ
0
(ω). Nếu O
f

0
(ω)) hội tụ trong X thì X gọi là (S, T, f, ξ
0
(ω))-quỹ đạo đủ
(xem ([40])).
1.3.3 Định lý. ([40]) Cho S, T : Ω × X → CB(X) là hai toán tử ngẫu
nhiên đa trị liên tục, f : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên sao cho
S(ω, X) ∪ T (ω, X) ⊆ f(ω, X). Giả sử với mỗi ánh xạ đo được ξ
0
: Ω → X,
f(ω, X) là (S, T, f, ξ
0
(ω))-quỹ đạo đủ với mọi ω và
H (S (ω, x) , T (ω, x)) ≤ α (ω) max {d (f (ω, x) , f (ω, y)) ,
d (f (ω, x) , S (ω, x)) , d (f (ω, y) , S (ω, y)) ,
[d (f (ω, x) , T (ω, y)) + d (f (ω, y) , T (ω, x))] /2}
(1.13)
với mọi x, y ∈ X, mọi ω ∈ Ω và α : Ω → (0; 1) là ánh xạ đo được. Khi đó
tồn tại duy nhất điểm trùng nhau ngẫu nhiên của S, T và f.
8
Dựa trên phương pháp lặp, năm 1994 các tác giả Beg, Shahzad đã chứng
minh định lý về điểm trùng nhau của một toán tử ngẫu nhiên và một toán
tử ngẫu nhiên đa trị.
Cho (X, d) là không gian Polish. Ánh xạ T : X → CB(X) và f : X → X
gọi là tương thích nếu với bất kỳ dãy (x
n
) thuộc X thỏa mãn lim
n
fx
n

lim
n
T x
n
(nếu các giới hạn tồn tại) thì lim
n
H(fT x
n
, Tfx
n
) = 0. Toán tử
ngẫu nhiên f : Ω × X → X và T : Ω × X → CB(X) gọi là tương thích nếu
f(ω, .) và T (ω, .) là tương thích với mọi ω ∈ Ω (xem ([8]), ([9])).
1.3.4 Định lý. ([11]) Cho T : Ω × X → CB(X) là toán tử ngẫu nhiên đa
trị và f : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên liên tục sao cho T (Ω, X) ⊆
f(ω, X) với mọi ω ∈ Ω. Nếu f, T là tương thích và với mọi x, y ∈ X,
ω ∈ Ω,
H (T (ω, x) , T (ω, y)) ≤ λ (ω) d (f (ω, x) , f (ω, y)) (1.14)
với λ : Ω → (0; 1) là ánh xạ đo được thì tồn tại duy nhất điểm trùng
nhau ngẫu nhiên của f và T .
Kết luận: Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách tóm lược
các khái niệm cơ bản và các phương pháp đã được sử dụng để chứng minh
sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên và điểm trùng nhau ngẫu nhiên. Ngoài
ra, chúng tôi cũng đã trình bày một cách tổng quan các kết quả đã nhận
được trong quá trình hình thành và phát triển của bài toán điểm bất động
ngẫu nhiên và điểm trùng nhau ngẫu nhiên.
9
CHƯƠNG 2
ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA CÁC
TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN
Chương này trình bày kết quả về sự thác triển toán tử ngẫu nhiên thành
toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Tiếp theo các kết quả về điểm bất động và
điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được xét đến. Chú ý
rằng định lý điểm bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn
ngẫu nhiên không được suy ra một cách trực tiếp từ các định lý tương ứng
trong trường hợp tất định, hay trong trường hợp ngẫu nhiên.
2.1 Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên
Cho f : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên liên tục với X là không gian
Banach khả ly và (Ω, F, P) là không gian xác suất đầy đủ. Theo Định lý
1.1.4, nếu f là toán tử ngẫu nhiên liên tục thì với mọi biến ngẫu nhiên
u : Ω → X thì ánh xạ ω → f(ω, u(ω)) đo được và cũng là biến ngẫu nhiên.
Do đó ta có thể xét
Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) (2.1)
xác định bởi Φu(ω) = f(ω, u(ω)) với mọi u ∈ L
X
0
(ω). Khi đó có thể coi X
là tập con các biến ngẫu nhiên suy biến (biến ngẫu nhiên nhận giá trị cụ
thể với xác suất 1) của tập các biến ngẫu nhiên L
X
0
(Ω). Hơn nữa, hạn chế
của Φ trên X trùng với toán tử ngẫu nhiên f. Từ đó, ta nhận được Φ là sự
mở rộng của f lên toàn bộ L
X
0
(Ω) và ta gọi Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(ω) là toán tử
hoàn toàn ngẫu nhiên. Không gian L
X
0
(ω) các biến ngẫu nhiên nhận giá trị
trong X với tô pô hội tụ theo xác suất là không gian đầy đủ theo nghĩa mỗi
dãy (u
n
) trong L
X
0
(ω) hội tụ đến phần tử u ∈ L
X
0
(ω) khi và chỉ khi dãy đó
là cơ bản theo xác suất. Không gian L
X
0
(Ω) cũng là không gian metric hóa
được với nhiều metric khác nhau (sự hội tụ theo các metric đó tương đương
với sự hội tụ theo xác suất). Khi đó ta có thể coi Φ như là một ánh xạ giữa
hai không gian metric. Tuy nhiên ở đây chúng ta xét đến góc độ xác suất
của toán tử Φ, với các giả thiết dựa trên các biểu thức xác suất chứ không
dựa trên các metric của L
X
0
(Ω).
10
Sau đây ta xét đến định nghĩa toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
2.1.1 Định nghĩa. ([1]) Cho X, Y là các không gian Banach khả ly.
1) Ánh xạ Φ : L
X
0
(Ω) → L
Y
0
(Ω) được gọi là toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên.
2) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ được gọi là liên tục nếu với mỗi dãy
(u
n
) thuộc L
X
0
(Ω) thỏa mãn lim
n
u
n
= u h.c.c., ta có lim
n
Φu
n
= Φu
h.c.c.
3) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ được gọi là liên tục theo xác suất
nếu với mỗi dãy (u
n
) trong L
X
0
(Ω) thỏa mãn lim
n
u
n
= u theo xác suất,
ta có lim
n
Φu
n
= Φu theo xác suất.
2.1.2 Định nghĩa. Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : L
X
0
(Ω) → L
Y
0
(Ω)
được gọi là mở rộng của toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y nếu với mỗi
x ∈ X
Φx(ω) = f(ω, x) h.c.c. (2.2)
trong đó với mỗi x ∈ X, x ký hiệu biến ngẫu nhiên u ∈ L
X
0
(Ω) cho bởi
u(ω) = x h.c.c.
2.1.3 Định lý. Cho f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên có bản
sao liên tục. Khi đó tồn tại toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên liên tục
Φ : L
X
0
(Ω) → L
Y
0
(Ω) sao cho Φ là mở rộng của f.
2.1.4 Định nghĩa. ([1]) Cho Φ : L
X
0
(Ω) → L
Y
0
(Ω) là toán tử hoàn toàn
ngẫu nhiên.
1) Φ được gọi là k(ω)-Lipschitz nếu tồn tại biến ngẫu nhiên nhận giá trị
dương k(ω) sao cho với mỗi cặp u, v ∈ L
X
0
(Ω)
Φu(ω) − Φv(ω) ≤ k(ω)u(ω) − v(ω) h.c.c. (2.3)
Chú ý rằng tập bỏ được phụ thuộc vào u, v.
2) Φ được gọi là k(ω)-Lipschitz xác suất nếu tồn tại biến ngẫu nhiên
nhận giá trị thực k(ω) sao cho với mỗi cặp u, v ∈ L
X
0
(Ω) và t > 0
P (Φu(ω) − Φv(ω) > t) ≤ P (k(ω)u(ω) − v(ω) > t). (2.4)
3) Φ được gọi là k(ω)-co (k(ω)-co xác suất) nếu Φ là k(ω)-Lipschitz (k(ω)-
Lipschitz xác suất) với k(ω) < 1, ∀ω ∈ Ω.
4) Φ được gọi là không giãn (không giãn xác suất) nếu Φ là 1-Lipschitz
(1-Lipschitz xác suất).
11
2.1.5 Mệnh đề. Cho Φ : L
X
0
(Ω) → L
Y
0
(Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên. Khi đó tính liên tục của Φ suy ra tính liên tục theo xác suất Φ.
2.1.6 Mệnh đề. 1) Nếu Φ : L
X
0
(Ω) → L
Y
0
(Ω) là toán tử hoàn toàn
ngẫu nhiên k(ω)-Lipschitz thì Φ liên tục.
2) Nếu Φ : L
X
0
(Ω) → L
Y
0
(Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên k(ω)-
Lipschitz xác suất thì Φ liên tục theo xác suất.
2.2 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên
2.2.1 Định nghĩa (Điểm bất động). ([1]) Cho Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là
toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ ∈ L
X
0
(Ω) được
gọi là điểm bất động của Φ nếu
Φξ = ξ h.c.c. (2.5)
Định lý sau trình bày về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên co yếu. Định lý điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co
yếu là mở rộng của định lý về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên co.
2.2.2 Định nghĩa. Cho f : Ω × [0; +∞) → [0; +∞) là ánh xạ sao cho với
mỗi ω ∈ Ω, f(ω, t) = 0 khi và chỉ khi t = 0.
1) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) được gọi là f(ω, t)-
co yếu nếu với mỗi cặp u, v ∈ L
X
0
(Ω)
Φu(ω) − Φv(ω)  u(ω) − v(ω) − f (ω, u(ω) − v(ω)) h.c.c. (2.6)
2) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) được gọi là f(ω, t)-
co yếu xác suất nếu với mỗi cặp u, v ∈ L
X
0
(Ω) và t > 0
P (Φu(ω) − Φv(ω) > t)
 P (u(ω) − v(ω) − f (ω, u(ω) − v(ω)) > t) .
(2.7)
2.2.3 Định lý. Cho Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên f(ω, t)-co yếu với mỗi ω ∈ Ω, hàm t → f(ω, t) là không giảm. Khi
đó Φ có duy nhất điểm bất động.
Đối với toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, các điều kiện co yếu và điều kiện
co yếu xác suất không phải là mở rộng hiển nhiên của nhau. Sau đây định
lý về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếu xác suất được
xét đến.
12
2.2.4 Định lý. Cho Φ là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên f(t)-co yếu xác
suất với hàm f(ω, t) = f(t) < t, ∀t > 0. Với mỗi t > 0, xét hàm f(t) xác
định bởi công thức
h(t) = inf
s≥t
f(s)
s
. (2.8)
Giả sử rằng h(t) > 0, ∀t > 0. Khi đó
1) Φ có điểm bất động khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω)
và p > 0 sao cho
EΦu
0
− u
0

p
< +∞. (2.9)
Trong trường hợp này, Φ có duy nhất điểm bất động.
2) Gọi (u
n
) là dãy biến ngẫu nhiên thuộc L
X
0
(Ω) xác định bởi
u
n+1
= Φu
n
, n = 0, 1, (2.10)
và ξ là điểm bất động của Φ. Khi đó ta có ước lượng sau
P (u
n
− ξ > t) ≤
M
(1 − q
p
1+p
)
1+p
(q
p
)
n
t
p
(2.11)
với M = EΦu
0
− u
0

p
, q = 1 − h(t).
Trong phần này, một dạng mở rộng khác của định lý điểm bất động của
toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co xác suất được xét đến, đó là định lý điểm
bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên (f, q)-co xác suất.
2.2.5 Định nghĩa. Cho f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, tăng thỏa
mãn f(0) = 0, lim
t→+∞
f(t) = +∞ và q là số thực dương.
1) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) được gọi là (f, q)-
Lipschitz xác suất nếu với mỗi cặp u, v ∈ L
X
0
(Ω)
P (Φu(ω) − Φv(ω) > f(t))  P (u(ω) − v(ω) > f(t/q)) . (2.12)
2) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) được gọi là (f, q)-co
xác suất nếu Φ là (f, q)-Lipschitz xác suất với q < 1.
2.2.6 Mệnh đề. Nếu Φ : L
X
0
(Ω) → L
Y
0
(Ω) là (f, q)-Lipschitz xác suất
thì Φ liên tục theo xác suất.
2.2.7 Định lý. Cho Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên (f, q)-co xác suất.
13
1) Nếu Φ có điểm bất động thì nó có duy nhất điểm bất động. Hơn
nữa, tồn tại biến ngẫu nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω) và p > 0 sao cho
M = sup
t>0
t
p
P (Φu
0
− u
0
 > f(t)) < +∞. (2.13)
2) Giả sử tồn tại c ∈ (q; 1) sao cho


n=1
f(c
n
) < +∞. (2.14)
Khi đó (2.13) là điều kiện đủ để Φ có duy nhất điểm bất động.
3) Giả sử với mỗi t, s > 0
f(t + s) ≥ f(t) + f(s). (2.15)
Khi đó (2.13) là điều kiện đủ để Φ có duy nhất điểm bất động.
Ngoài việc xét đến các điều kiện phía bên trong biểu thức xác suất, trong
phần này các điều kiện về hàm được xét đến. Khi đó ta nhận được các định
lý điểm bất động cho toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên f-tựa co, f-tiệm cận co
xác suất.
2.2.8 Định nghĩa. ([39])Hàm không giảm f : [0; +∞) → [0; +∞) được
gọi là hàm so sánh nếu
• f(t) = 0 khi và chỉ khi t = 0;
• lim
n
f
n
(t) = 0 với mọi t > 0 với f
n
(t) = f (f ( f (t) ))
  
n lần
.
2.2.9 Bổ đề. ([39]) Nếu f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm so sánh thì
f (t) < t với mọi t > 0.
2.2.10 Định lý. Cho X là không gian Banach khả ly và Φ : L
X
0
(Ω) →
L
X
0
(Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên liên tục theo xác suất và f :
[0; +∞) → [0; +∞) là hàm so sánh. Giả sử toán tử Φ là (f, k)-tựa co theo
nghĩa
P



Φ
k
u − Φ
k
v


> t

≤ f (C (Φ, u, v, t)) (2.16)
với mọi u, v ∈ L
X
0
(Ω), t > 0 với
C (Φ, u, v, t) = max
0≤p,q≤k,(p,q)=(k,k)
{P (Φ
p
u − Φ
q
v > t)} , (2.17)
14
và hàm so sánh f thỏa mãn


i=1
f
i
(1) < +∞. (2.18)
Khi đó Φ có điểm bất động duy nhất thuộc L
X
0
(Ω) và dãy lặp (Φ
n
u
0
) hội
tụ theo xác suất đến điểm bất động của Φ với bất kỳ biến ngẫu nhiên
u
0
∈ L
X
0
(Ω).
2.2.11 Ví dụ. Giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất với Ω = [0; 1], F là
σ-đại số Lebesgue các tập con của [0; 1] và P là độ đo Lebesgue trên [0; 1].
Với X = R xét toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) xác định
bởi
Φu (ω) =

qu (2ω) nếu 0 ≤ ω ≤ 1/2
0 nếu 1/2 < ω ≤ 1
trong đó q ∈ (0; 1) là hằng số thực. Đặt
A = {ω : Φu (ω) − Φv (ω) > t}
= {ω : u (2ω) − v (2ω) > t/q, ω ∈ [0; 1/2]}

B = {ω : u (ω) − v (ω) > t/q} .
Khi đó B là sự giãn của A, B = 2A. Do đó P (B) = 2P (A) và
P (Φu (ω) − Φv (ω) > t) =
1
2
P (u (ω) − v (ω) > t/q)

1
2
P (u (ω) − v (ω) > t)
với mọi u, v ∈ L
X
0
(Ω), t > 0.
Vì vậy
P (


Φu (ω) −Φv (ω)


> t)

1
2
max

P (u (ω) − v (ω) > t) , P (u (ω) − Φv (ω) > t) ,
P (Φu (ω) − v (ω) > t)

và ta nhận được Φ là (f, k)-tựa co với f(t) = t/2, k = 1. Dễ dàng nhận thấy
biến ngẫu nhiên u(ω) = 0 là điểm bất động của Φ.
Trong ví dụ trên, nếu A là tập con của R đo được Lebesgue với độ
đo Lebesgue λ và số δ > 0, khi đó sự giãn của tập A bởi δ kí hiệu bởi
δA = {δx : x ∈ A} cũng đo được Lebesgue với độ đo δλ(A).
15
2.2.12 Định lý. Cho X là không gian Banach khả ly và Φ : L
X
0
(Ω) →
L
X
0
(Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên liên tục theo xác suất và f :
[0; +∞) → [0; +∞) là hàm so sánh. Giả sử Φ thỏa mãn điều kiện f-tiệm
cận co theo nghĩa tồn tại dãy hàm liên tục f
n
: [0; +∞) → [0; +∞) sao
cho f
n
hội tụ đều tới f và với mọi u, v ∈ L
X
0
(Ω) , t > 0
P (Φ
n
u − Φ
n
v > t) ≤ f
n
(P (u − v > t)) . (2.19)
Khi đó Φ có duy nhất điểm bất động và dãy lặp (Φ
n
u
0
) hội tụ theo xác
suất tới điểm bất động của Φ với bất kỳ u
0
∈ L
X
0
(Ω).
2.3 Điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên
Bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên đã được nhiều tác giả xem xét trong
các công trình của mình, và đặc biệt bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên
là bài toán quan trọng trong trường hợp toán tử ngẫu nhiên đa trị. Trong
phần này, ta xét đến bài toán điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn
ngẫu nhiên.
2.3.1 Định nghĩa (Điểm trùng nhau). Cho Φ
1
, Φ
2
, , Φ
n
: L
X
0
(Ω) →
L
X
0
(Ω) là các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên X-giá trị
ξ ∈ L
X
0
(Ω) được gọi là điểm trùng nhau của Φ
1
, Φ
2
, , Φ
n
nếu
Φ
1
ξ = Φ
2
ξ = = Φ
n
ξ h.c.c. (2.20)
2.3.2 Mệnh đề. Cho Φ, Ψ : L
X
0
(Ω) → L
Y
0
(Ω) là các toàn tử hoàn toàn
ngẫu nhiên và Ψ là liên tục theo xác suất. Giả sử rằng tồn tại biến ngẫu
nhiên nhận giá trị dương k(ω) sao cho với mỗi cặp u, v ∈ L
X
0
(Ω) và t > 0
P (Φu − Φv > t) ≤ P (k (ω) Ψu − Ψv > t) . (2.21)
Khi đó Φ là liên tục theo xác suất.
2.3.3 Định lý. Cho Φ, Ψ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là các toán tử hoàn toàn
ngẫu nhiên và f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm số thỏa mãn f(t) = 0 khi
và chỉ khi t = 0 và f(t) < t, ∀t > 0. Với mỗi t > 0, xét hàm số h(t) xác
định bởi
h(t) = inf
s≥t
f(s)
s
. (2.22)
Giả sử rằng h(t) > 0, ∀t > 0 và
(a) Ψ(L
X
0
(Ω)) đóng trong L
X
0
(Ω);
16
(b) Φ(L
X
0
(Ω)) ⊂ Ψ(L
X
0
(Ω));
(c) với mỗi cặp u, v ∈ L
X
0
(Ω) và t > 0
P (Φu − Φv > t) ≤ P (Ψu − Ψv − f (Ψu − Ψv) > t) . (2.23)
Khi đó Φ và Ψ có điểm trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu
nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω) và p > 0 sao cho
M = EΦu
0
− Ψu
0

p
< +∞. (2.24)
Cùng với định lý về điểm bất động cho toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên
(f, q)-co xác suất, các định lý về điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn
ngẫu nhiên dạng (f, q) co xác suất tổng quát cũng được xét đến.
2.3.4 Định lý. Cho Φ, Ψ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là các toán tử hoàn toàn
ngẫu nhiên, f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, tăng sao cho f(0) =
0, lim
t→+∞
f(t) = +∞ và q là số dương thuộc (0; 1). Giả sử rằng
(a) Ψ(L
X
0
(Ω)) đóng trong L
X
0
(Ω);
(b) Φ(L
X
0
(Ω)) ⊂ Ψ(L
X
0
(Ω));
(c) với bất kỳ u, v ∈ L
X
0
(Ω) và t > 0
P (Φu − Φv > f(t)) ≤ P (Ψu − Ψv > f(t/q)) . (2.25)
Khi đó
1) Nếu Φ, Ψ có điểm trùng nhau thì tồn tại biến ngẫu nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω)
và p > 0 sao cho
M = sup
t>0
t
p
P (Φu
0
− Ψu
0
 > f(t)) < +∞. (2.26)
2) Giả sử tồn tại số c ∈ (q; 1) sao cho


n=1
f(c
n
) < +∞. (2.27)
Khi đó điều kiện (2.26) là điều kiện đủ để Φ, Ψ có điểm trùng nhau.
3) Giả sử với mỗi t, s > 0
f(t + s) ≥ f(t) + f(s). (2.28)
Khi đó điều kiện (2.26) là điều kiện đủ để Φ, Ψ có điểm trùng nhau.
17
Kết luận: Trong chương này, chúng tôi xét đến vấn đề mở rộng toán
tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Chúng tôi chứng minh
định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
Chúng tôi xét đến tính liên tục theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên. Bằng phương pháp dãy lặp chúng tôi đã chỉ được các điều kiện đủ,
điều kiện cần và đủ để khẳng định sự tồn tại điểm bất động của các dạng
toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếu, toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếu
xác xuất, toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên (f, q)-co xác suất, toàn tử hoàn
toàn ngẫu nhiên (f, k)-tựa co, toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên f-tiệm cận co.
Tiếp theo chúng tôi xét đến vấn đề điểm trùng nhau của các toán tử hoàn
toàn ngẫu nhiên. Chúng tôi đã đưa ra các điều kiện đảm bảo cho để các
toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên có điểm trùng nhau, đó là các điều kiện dạng
co yếu xác suất tổng quát, dạng (f, q)-co xác suất tổng quát.
18
CHƯƠNG 3
ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ HOÀN TOÀN
NGẪU NHIÊN
Với mục đích mở rộng các vấn đề về phương trình toán tử trong trường hợp
tất định, có nhiều công trình đã xét đến các bài toán đối với phương trình
toán tử ngẫu nhiên. Trong chương này, ta quan tâm đến các dạng phương
trình toán tử được xây dựng đối với các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
3.1 Ứng dụng của các định lý điểm bất động
Đầu tiên, ta xét đến khái niệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
3.1.1 Định nghĩa (Phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên). Cho
Φ, Ψ : L
X
0
(Ω) → L
Y
0
(Ω) là các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Phương trình
toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên là phương trình có dạng
Φu = Ψu (3.1)
Một số dạng đặc biệt của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên có
thể thấy được đó là Φu = u hay (Φ − λI)u = v (với Φ, I : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω),
I là toán tử đồng nhất). Ngoài ra, phương trình toán tử giá trị riêng hoàn
toàn ngẫu nhiên (Φ − λI)u = 0 luôn nhận được sự quan tâm một cách đặc
biệt.
3.1.2 Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω) gọi là nghiệm của
phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên (3.1) nếu
Φu
0
= Ψu
0
h.c.c (3.2)
3.1.3 Định lý. Cho Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên (f, q)-Lipschitz xác suất với f là hàm thỏa mãn điều kiện (2.14)
hoặc (2.15). Xét phương trình ngẫu nhiên
Φu − λu = η (3.3)
với λ là số thực và η là biến ngẫu nhiên thuộc L
X
0
(Ω).
19
Giả sử rằng
|λ| > sup
t>0
f (qt)
f (t)
. (3.4)
Khi đó phương trình (3.3) có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi tồn tại biến
ngẫu nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω) và số thực p > 0 sao cho
M = sup
t>0
t
p
P (Φu
0
− λu
0
− η > |λ|f (t)) < +∞. (3.5)
3.1.4 Định lý. Giả sử rằng f : [0, +∞) → [0, +∞) là hàm số thỏa mãn
f(0) = 0, f(t) < t và
h(t) = inf
s≥t
f(s)
s
> 0, ∀t > 0. (3.6)
Gọi Φ, Ψ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên thỏa
mãn các điều kiện sau
(a) Ψ(L
X
0
(Ω)) là tập con đóng trong L
X
0
(Ω);
(b) Φ(L
X
0
(Ω)) ⊂ Ψ(L
X
0
(Ω));
(c) Ψ liên tục theo xác suất;
(d) với mỗi u, v ∈ L
X
0
(Ω) và t > 0
P (Φu − Φv > t) ≤ P (Ψu − Ψv − f (Ψu − Ψv) > t) . (3.7)
Khi đó phương trình
Φu = Ψu (3.8)
có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω) và p > 0
sao cho
EΦu
0
− Ψu
0

p
< +∞. (3.9)
3.1.5 Hệ quả. Cho Φ và Ψ là hai toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên giao
hoán, tức là ΦΨu = ΨΦu với mỗi u ∈ L
X
0
(Ω). Giả sử Φ và Ψ thỏa mãn
các điều kiện đã được phát biểu trong Định lý 3.1.4. Khi đó Φ và Ψ có
duy nhất điểm bất động chung khi và chỉ khi tồn tại u
0
∈ L
X
0
(Ω) và p > 0
sao cho (3.9) đúng.
3.2 Ứng dụng của các định lý điểm trùng nhau
Trong phần này, ta xét đến một số định lý điểm bất động của toán tử hoàn
toàn ngẫu nhiên. Các định lý này là hệ quả của các định lý về điểm trùng
nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
20
3.2.1 Định lý. Cho Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên, f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, tăng sao cho f(0) =
0, lim
t→+∞
f(t) = +∞ và q là số thực dương. Giả sử rằng với mỗi cặp
u, v ∈ L
X
0
(Ω)
P (Φu − Φv > f(t)) ≤ P (u − v > f(t/q)) . (3.10)
Khi đó
1) Nếu Φ có điểm bất động thì điểm bất động là duy nhất. Hơn nữa,
tồn tại biến ngẫu nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω) và p > 0 sao cho
M = sup
t>0
t
p
P (Φu
0
− u
0
 > f(t)) < +∞. (3.11)
2) Giả sử tồn tại số c ∈ (q; 1) sao cho


n=1
f(c
n
) < +∞. (3.12)
Khi đó (3.11) là điều kiện đủ để Φ có duy nhất điểm bất động.
3) Giả sử với mỗi t, s > 0
f(t + s) ≥ f(t) + f(s). (3.13)
Khi đó (3.11) là điều kiện đủ để Φ có duy nhất điểm bất động.
3.2.2 Định lý. Cho Φ, Ψ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là các toán tử hoàn toàn
ngẫu nhiên, f : [0; +∞) → [0; +∞) là ánh xạ sao cho f(t) = 0 khi và chỉ
khi t = 0 và f(t) < t, ∀t > 0. Với mỗi t > 0, xét hàm số h(t) xác định bởi
công thức
h(t) = inf
s≥t
f(s)
s
. (3.14)
Giả sử rằng h(t) > 0, ∀t > 0 và
(a) Ψ(L
X
0
(Ω)) là tập con đóng trong L
X
0
(Ω);
(b) Φ(L
X
0
(Ω)) ⊂ Ψ(L
X
0
(Ω));
(c) với mỗi cặp u, v ∈ L
X
0
(Ω) và t > 0
P (Φu − Φv > t) ≤ P (Ψu − Ψv − f (Ψu − Ψv) > t) ; (3.15)
(d) Φ và Ψ giao hoán, tức là ΦΨu = ΨΦu với biến ngẫu nhiên u bất kỳ
thuộc L
X
0
(Ω).
21
Khi đó Φ và Ψ có duy nhất điểm bất động chung khi và chỉ khi tồn tại
biến ngẫu nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω) và p > 0 sao cho
M = EΦu
0
− Ψu
0

p
< +∞. (3.16)
3.2.3 Hệ quả. Cho Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên q-co xác suất theo nghĩa tồn tại số q ∈ (0; 1) sao cho
P (Φu − Φv > t) ≤ P (u − v > t/q) (3.17)
với mọi biến ngẫu nhiên u, v ∈ L
X
0
(Ω) và t > 0. Khi đó Φ có duy nhất
điểm bất động khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω) và
p > 0 sao cho
E Φu
0
− u
0

p
< +∞. (3.18)
3.2.4 Định lý. Cho Φ, Ψ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là các toàn tử hoàn toàn
ngẫu nhiên thỏa mãn
P (Φu − Φv > f(t)) ≤ P (Ψu − Ψv > f(t/q)) . (3.19)
với mọi u, v ∈ L
X
0
(Ω), t > 0 và f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục,
tăng sao cho f(0) = 0, lim
t→+∞
f(t) = +∞ thỏa mãn (3.12) hoặc (3.13)
và q là số dương. Xét phương trình ngẫu nhiên dạng
Φu − λΨu = η (3.20)
với λ là số thực và η là biến ngẫu nhiên trong L
X
0
(Ω).
Giả sử rằng
Ψ(L
X
0
(Ω)) đóng trong L
X
0
(Ω); (3.21)
Φ(L
X
0
(Ω)) ⊂ λΨ(L
X
0
(Ω)) + η; (3.22)
|λ| > sup
t>0
f (qt)
f (t)
. (3.23)
Khi đó phương trình (3.20) có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi tồn tại
biến ngẫu nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω) và số p > 0 sao cho
M = sup
t>0
t
p
P (Φu
0
− λΨu
0
− η > |λ|f (t)) < +∞. (3.24)
3.2.5 Hệ quả. Cho Φ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên thỏa mãn
P (Φu − Φv > f(t)) ≤ P (u − v > f(t/q)) (3.25)
với mọi u, v ∈ L
X
0
(Ω), t > 0, trong đó f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên
tục, tăng sao cho f(0) = 0, lim
t→+∞
f(t) = +∞ và thỏa mãn điều kiện
22
(3.12) hoặc (3.13) và q là số dương. Xét phương trình ngẫu nhiên có
dạng
Φu − λu = η (3.26)
với λ là số thực và η là biến ngẫu nhiên thuộc L
X
0
(Ω).
Giả sử rằng
|λ| > sup
t>0
f (qt)
f (t)
. (3.27)
Khi đó phương trình (3.26) có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi tồn tại
biến ngẫu nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω) và số p > 0 sao cho
M = sup
t>0
t
p
P (Φu
0
− λu
0
− η > |λ|f (t)) < +∞. (3.28)
3.2.6 Hệ quả. Cho Φ, Ψ : L
X
0
(Ω) → L
X
0
(Ω) là hai toàn tử hoàn toàn
ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện sau
P (Φu − Φv > t) ≤ P (Ψu − Ψv > t/q) . (3.29)
Xét phương trình ngẫu nhiên
Φu − λΨu = η (3.30)
với λ là số thực và η là biến ngẫu nhiên trong L
X
p
(Ω), p > 0.
Giả sử rằng
Ψ(L
X
0
(Ω)) đóng trong L
X
0
(Ω);
Φ(L
X
0
(Ω)) ⊂ λΨ(L
X
0
(Ω)) + η;
|λ| > q.
Khi đó phương trình ngẫu nhiên (3.30) có duy nhất nghiệm khi và chỉ
khi tồn tại biến ngẫu nhiên u
0
∈ L
X
0
(Ω) sao cho
EΦu
0
− λΨu
0

p
< +∞. (3.31)
Kết luận: Trong chương này, chúng tôi xét đến ứng dụng của các định
lý điểm bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
Chúng tôi chỉ ra từ các định lý về điểm bất động và điểm trùng nhau, có
thể chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình toán tử hoàn
toàn ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, dựa trên các kết quả về điểm trùng nhau
của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, ta có thể nhận lại được các kết quả
về điểm bất động.
23

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×