Tải bản đầy đủ

Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi đại học xây dựng

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Chương 1

Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng


1

Mở ñầu - C¸c kh¸i niÖm chung






1.1. Mở ñầu
Trong chương trình ñào tạo các ngành có liên quan ñến cơ học ở các trường ñại học và các
viện nghiên cứu chúng ta ñã làm quen với những môn học cụ thể: sức bền vật liệu, cơ học kết cấu,
cơ học chất lỏng, chất khí, thuỷ lực, … Các môn học này ñược trình bày một cách ñộc lập, ñôi
phần trùng lặp về khái niệm và kiến thức, lại không nêu ñược những quan ñiểm chung về mặt cơ
học và vật lý ñố với các ñối tượng nghiên cứu.
Môn cơ học môi trường liên tục ñược ñưa vào giảng dạy nhằm trang bị cho người học những

nguyên lý và qui luật cơ học chung, những phương pháp chung nhất ñể giải quyết các bài toán cơ
học một cách tổng quát.
Lý thuyết ñàn hồi là một ngành cơ học nghiên cứu về chuyển dịch, biến dạng và ứng suất xuất
hiện trong các vật rắn biến dạng ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển ñộng do tác dụng của các
nguyên nhân ngoài.
1.1.1 Cơ học - Cơ học vật rắn tuyệt ñối - Cơ học vật rắn biến dạng
1. Cơ học: Khoa học nghiên cứu về lực, chuyển ñộng và quan hệ giữa chúng.
• Chuyển ñộng: tĩnh học
• Tác ñộng của lực lên hệ nghiên cứu: ñộng học
• Quan hệ lực – chuyển ñộng: ñộng lực học
Cơ học: - Cơ học vật rắn tuyệt ñối.
- Cơ học vật rắn biến dạng
2. Cơ học vật rắn tuyệt ñối (Cơ lý thuyết): chuyển ñộng của chất ñiểm, các hệ chất ñiểm rời
rạc và vật rắn tuyệt ñối
• Lực: ngoại lực.
• Chuyển ñộng: của vật thể so với hệ qui chiếu xác ñịnh – chuyển ñộng thẳng của khối tâm
và chuyển ñộng quay quanh khối tâm.
3. Cơ học vật rắn biến dạng
• Lực: Nội lực
• Chuyển ñộng: chuyển vị tương ñối của các ñiểm trong vật thể, sự thay ñổi hình dạng và
kích thước hình học của vật thể.
PhongThang Download: http://congtrinhngam.tk
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Chương 1

Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

Cơ học vật rắn biến dạng Lý thuyết ñàn hồi, SBVL, CHKC, CH chất lỏng
Lý thuyết dẻo
Lý thuyết từ biến
Cơ học phá huỷ
Cơ học vật liệu Composite,
1.1.2 Cơ học môi trường liên tục
Thừa hưởng những công cụ của cơ học lý thuyết nhưng không phải tất cả. Cơ học môi trường
liên tục có hệ tiên ñề hoá riêng của nó, có những phương pháp ñặc thù ñể nghiên cứu tính chất
của môi trường và phát triển các phương pháp toán học phục vụ cho nó.
CHMTLT nghiên cứu các chuyển ñộng vĩ mô của môi trường ở thể rắn, lỏng, khí (còn xét các
môi trường ñặc biệt khác như trường ñiện từ, bức xạ, trọng trường, …)
- Lực: lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể
- Chuyển ñộng: chuyển vị của các phần tử vật chất, biến dạng.
CHMTLT trang bị những nguyên lý, qui luật cơ học chung, những phương pháp tổng quát


nhất ñể giải quyết các bài toán cơ học. Trong cơ học môi trường liên tục, vật thể ñược xem như
môi trường vật chất lấp ñầy liên tục một miền nào ñấy, hoặc cả không gian.
CHMTLT là môn khoa học khá rộng và phân nhánh gồm: lý thuyết ñàn hồi, ñàn nhớt, nhiệt
ñàn hồi, dẻo và từ biến, thủy ñộng lực học, khí ñộng lực, lý thuyết plasma, …
Chúng ta chỉ nghiên cứu những khái niệm cơ bản nhất của Cơ học môi trường liên tục.
1.1.3 Lý thuyết ñàn hồi
Nghiên cứu trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất xuất hiện trong VRBD ở trạng thái cân
bằng hoặc chuyển ñộng do tác dụng của lực ngoài hoặc các nguyên nhân khác.
Đối tượng nghiên cứu: vật rắn biến dạng và ñàn hồi tuyệt ñối (tuân theo ñịnh luật thứ nhất của
nhiệt ñộng học về sự bảo toàn năng lượng của hệ cô lập).
SBVL: xét ứng suất, biến dạng, chuyển vị của thanh bằng cách ñưa vào các giả thiết có tính
chất kinh nghiệm nhằm ñơn giản hoá cách ñặt các bài toán, các kết quả nhận ñược dễ ứng dụng
trong thực tế ( bài toán một chiều).
LTĐH: Nghiên cứu thanh, tấm, vỏ, các vật thể có kích thước hai, ba chiều. Cách ñặt vấn ñề
chặt chẽ và chính xác hơn về mặt toán học. Xây dựng các phương pháp tổng quát hơn ñể giải
quyết các bài toán do lý thuyết ñặt ra.
Ứng dụng: cơ sở cho tính toán về ñộ bền, dao ñộng và ổn ñịnh trong chế tạo máy, trong xây
dựng, và các ngành khoa học khác.
Lý thuyết đàn hồi tuyến tính: xây dựng trên quan hệ tuyến tính ứng suất - biến dạng.
Lý thuyết đàn hồi phi tuyến: xây dựng trên quan hệ phi tuyến tính ứng suất - biến dạng (phi
tuyến vật lý).

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Chương 1

Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

1.2. Các khái niệm chung
1.2.1 Môi trường liên tục
Bản chất phân tử của cấu trúc vật chất ñã ñược biết, nhưng trong nghiên cứu về trạng thái của
vật liệu, ñiều quan trọng không phải là trạng thái của các phần tử riêng biệt mà là trạng thái ñặc
trưng chung cho vật liệu. Trong trường hợp này ta giả thiết vật chất phân bố liên tục trên thể tích
và không có lỗ hổng.
Như vậy:
 Có thể coi các môi trường vật chất thực: rắn, lỏng, khí là những môi trường liên tục
 Trường các ñại lượng: ứng suất, biến dạng, chuyển vị, có thể biểu diễn bằng các hàm
liên tục.
Cần chính xác hoá khái niệm ñiểm, vì nó có thể là ñiểm không gian, và cũng có thể là ñiểm
vật chất của môi trường liên tục. Để tránh nhầm lẫn ta dùng từ “ñiểm” ñể chỉ vị trí trong không
gian cố ñịnh, còn ‘phần tử”, “hạt” hoặc chất ñiểm ñể chỉ vật chất chứa trong phân tố thể tích vô
cùng bé của môi trường.
1.2.2 Môi trường ñồng nhất và ñẳng hướng
 Đồng nhất: có tính chất cơ học như nhau tại mọi ñiểm
 Đẳng hướng: tính chất cơ học tại một ñiểm là như nhau theo mọi phương
 Nghiên cứu một phần tử vật chất ñại diện cho môi trường. Chọn hệ trục toạ ñộ nghiên
cứu một cách tùy ý.
1.2.3 Mật ñộ khối lượng
Là ñộ ñậm ñặc của vật chất trong môi trường
Mật ñộ trung bình
tb
m
V
ρ

=

;
m

là khối lượng của phân tố có thể tích
V


Mật ñộ vật chất tại một ñiểm
lim
V
m dm
V dV
ρ
∆ →∞

= =


Khối lượng vật chất trong toàn bộ thể tích V
( )V
m dV
ρ
=

Nếu môi trường có
onst
c
ρ
=
: môi trường ñồng nhất
1.2.4 Chuyển vị, biến dạng và sự chảy:
1. Chuyển vị:
Khi chịu tác dụng của ngoại lực, môi trường thay ñổi hình dạng, kích thước, các
phần tử vật chất của môi trường chuyển dời vị trí - chuyển vị, véctơ chuyển vị
u
là vec tơ nối vị
trí của phần tử ở thời ñiểm t=0 và thời ñiểm t ñang xét. Chuyển vị u có ba hình chiếu u, v, w hoặc
u
1
, u
2
, u
3
lên 3 trục tọa ñộ.
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Chương 1

Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

2. Biến dạng:
Là sự thay ñổi hình dáng và kích thước của môi trường ở thời ñiểm t=0 và thời ñiểm t ñang xét
khi chịu tác dụng của ngoại lực.
Để xác ñịnh mức ñộ biến dạng người ta dùng biến dạng tỉ ñối (biến dạng ñơn vị).
Phân loại biến dạng : biến dạng dài (ε), biến dạng góc (γ), biến dạng thể tích (θ).
, , 1
ε γ θ
<<
: biến dạng bé → bỏ qua tích các ñạo hàm của nó (bỏ qua VCB bậc cao)
3. Sự chảy

Quá trình trung gian của môi trường tại thời ñiểm ñang xét và thời ñiểm ñầu.
1.2.5 Không gian và thời gian
Không gian metric là không gian mà trong ñó khoảng cách giữa các ñiểm là xác ñịnh.
Không gian Euclid: trong hệ trục toạ ñộ Descrates x, y, z biểu thức biểu diễn khoảng cách giữa
hai ñiểm luôn luôn ñúng

( ) ( ) ( )
2 2 2
A B A B A B
l x x y y z z
= − + − + −
Thời gian: tuyệt ñối, lý tưởng và như nhau với mọi người quan sát.

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng

2

Một số khái niệm cơ bản về ten-xơ








Trong chương này trình bày một số khái niệm cơ bản và các phép tính ñối với ten-xơ ñể làm
quen với công cụ toán học này trong khi nghiên cứu các vấn ñề về Cơ học các môi trường liên tục
và Lý thuyết ñàn hồi.
Trong cơ học, cũng như trong toán học và vật lý ta thường gặp các ñại lượng có các tính chất
khác nhau.
• Đại lượng vô hướng: là những ñại lượng mà với một ñơn vị ño ñã chọn nó ñược ñặc
trưng bằng một con số như: nhiệt ñộ, khối lượng, …
• Đại lượng vec tơ : là ñại lượng ñược ñặc trưng bởi giá trị theo ñơn vị ño, phương và
chiều trong không gian xác ñịnh, chẳng hạn: lực, vận tốc, gia tốc của chất ñiểm, …
• Đại lượng ten xơ: ñặc trưng cho một trạng thái xác ñịnh nào ñó của vật thể: trạng thái
biến dạng, trạng thái ứng suất, …
Ten xơ là một ñại lượng tổng quát, mà các ñại lượng vô hướng, ñại lượng vec tơ là trường hợp
riêng của nó. Các ñại lượng ten xơ có ñặc ñiểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục
toạ ñộ khi mô tả chúng.
2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
2.1.1. Hệ thống ký hiệu
Hệ thống ký hiệu trong phép tính ten-xơ ñóng vai trò quan trọng. Các ký hiệu ñặc trưng bởi
một hay nhiều chỉ số, chẳng hạn
, ,
i j ijk
a a a
, …Ta qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh
lấy các giá trị 1, 2, 3. Do ñó
i
a
biểu thị một trong ba phần tử
1 2 3
, ,
a a a

ij
a
biểu thị một trong chín phần tử
11 12 13 21 22 23 31 32 33
, , , , , , , ,
a a a a a a a a a

ijk
a
biểu thị một trong 27 phần tử
111 112 333
, , ,
a a a

Hệ thống các phần tử như
i
a
chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống hạng nhất, bao
gồm 3
1
phần tử;
ij
a
là hệ thống hạng hai bao gồm 3
2
phần tử. Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào
n chỉ số gồm 3
n
phần tử.
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng

2.1.2. Qui ước về chỉ số
Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số ñó từ 1 ñến 3. Chỉ số như
vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác.
Thí dụ:
1 1 2 2 3 3
i i k k
a b a b a b a b a b
= + + =
Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 ñến 3
Thí dụ,
i
a
là hệ thống gồm
1 2 3
, ,
a a a
.
2.1.3. Hệ thống đối xứng và phản đối xứng
Giả sử ta có hệ thống
ij
a
, nếu thay ñổi chỗ của hai chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ
thống không thay ñổi dấu và giá trị, tức là
ij ji
a a
=
thì hệ thống này là hệ thống ñối xứng. Mở
rộng cho các hệ thống nhiều chỉ số, chẳng hạn
ijk ikj
a a
= thì hệ thống
ijk
a
ñối xứng theo hai chỉ số
j, k. Kí hiệu Kronecker là trường hợp ñặc biệt của hệ thống ñối xứng




=1

0

jivíi
jivíi
ij
(2.1)
Hệ thống
ij
a
là phản ñối xứng khi
ij ji
a a
= −

Ký hiệu Levi-Chivita
ijk
e
là hệ thống phản ñối xứng với các thành phần như sau:
0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau

ijk
e
= 1 khi hai chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1, 2, 3 (2.2)
-1 khi hai chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1, 2, 3
2.1.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không
Trường vô hướng là một hàm vô hướng
(
)
1 2 3
, , ,
x x x t
ϕ
của toạ ñộ các ñiểm trong miền không
gian
1 2 3
, ,
x x x
xác ñịnh của hàm và t là tham số thời gian
Gradient của trường vô hướng là một vec tơ có hướng mà hàm
ϕ
tăng nhanh nhất và có ñộ
lớn bằng ñạo hàm theo hướng ñó

1 2 3
1 2 3
grad e e e
x x x
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂ ∂
= ∇ = + +
∂ ∂ ∂
  
(2.3)
với
i
e

là vec tơ ñơn vị của hệ trục toạ ñộ Ox
i
; Ký hiệu ∇ ñọc là “nabla”
Ý nghĩa hình học:
grad
ϕ
là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình
onst
c
ϕ
=
.
Vec tơ pháp tuyến ñơn vị
ν

của mặt này tại một ñiểm nào ñó trên bề mặt sẽ là

31 2
1 2 3
x
x xgrad
e e e
grad grad grad grad
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ν
ϕ ϕ ϕ ϕ

∂ ∂

∂ ∂
= = + +
   
(2.4)
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng

Trong ñó
2
2 2
1 2 3
grad
x x x
ϕ ϕ ϕ
ϕ
 
   
∂ ∂ ∂
= + +
 
   
∂ ∂ ∂
   
 

Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử Laplace” hay Laplacien với:

2 2 2
2
2 2 2
1 2 3
x x x
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂
∆ = ∇∇ = ∇ = + +
∂ ∂ ∂
(2.5)
Ví dụ 2.1: Tìm vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng ñi qua ba ñiểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c)
cho trước trong hệ toạ ñộ vuông góc như trên hình 2.1
3
x
O
1
x
x
2
b
a
c
1
e
2
e
3
e

Hình 2.1
Bài giải: Phương trình mặt phẳng ñi qua ba ñiểm A, B, C là
3
1 2
1
x
x x
a b c
+ + =
=>
3
1 2
1
x
x x
a b c
ϕ
= + + −
=>
1 2 3
1 1 1
grad e e e
a b c
ϕ
= + +
  

Do vậy:
1 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
a b c a b c a b c
grad
a b c
e e e
grad
ϕ
ν
ϕ
= = + +
                 
+ + + + + +
                 
                 
   

1 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
bc ac ab
e e e
a b b c a c a b b c a c a b b c a c
ν
= + +
+ + + + + +
   

Khi a=b=c (mặt nghiêng ñều với ba trục toạ ñộ) thì vec tơ pháp tuyến là
1 2 3
1 1 1
3 3 3
e e e
ν
± ± ±
= + +
   

2.1.5 Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất
1. Các thành phần vec tơ
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng

Các ñại lượng vật lý: lực, vận tốc, gia tốc, …ñặc trưng bởi trị số và hướng, biểu diễn trong
không gian ba chiều bằng ñoạn thẳng có hướng gọi là vec tơ. Vec tơ
a

bất kỳ trong không gian
có thể biểu diễn bằng ba thành phần
1 2 3
, ,
a a a
  
của nó trên ba trục toạ ñộ (hình 2.2):
2
x
1
x
3
x
3
a
O
a
2
a
1
a

Hình 2.2

1 2 3
a a a a
= + +
   
(2.6)
hoặc
1 1 2 2 3 3
a a e a e a e
= + +
   
(2.7)
trong ñó
i
e

là vec tơ ñơn vị.
Độ dài vec tơ
2 2 2 2
1 2 3
i
a a a a a a
= = + + =

(2.8)
Cosin chỉ phương của các vec tơ là
i
l
; i=1,2,3 với
/
i i
l a a
= và
2 2 2
1 2 3
0
l l l
+ + =

2. Các phép tính vec tơ (xem phần phụ lục hoặc giáo trình Toán)
3. Ma trận biến ñổi hệ trục toạ ñộ
Hệ trục toạ ñộ vuông góc ban ñầu x
i
có các vec tơ ñơn vị là
i
e

xoay quanh gốc toạ ñộ O trở
thành hệ trục vuông góc mới
'
i
x
với các vec tơ ñơn vị là
'
i
e

(Hình 2.3)
O
x
3
2
x
x
1
x
3
e
e
2
1
x
1
2
x
'
2
e
3
e
e
1
'
e
3
'
'
'
'
a

Hình 2.3
Các cosin chỉ phương c
ij
là góc hợp bởi trục mới
'
i
x
và trục cũ x
j
:
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng


'
cos( , ) cos( , ) .
' '
ij i j i i i i
c x x e e e e
= = =
   
(2.10)
Bảng cosin chỉ phương của hai hệ trục

1
x

2
x

3
x

'
1
x

11
c
11
c
13
c
'
2
x

21
c

22
c

23
c

'
3
x

31
c

32
c

33
c

Các vec tơ ñơn vị mới biểu diễn qua vec tơ ñơn vị cũ bởi hệ thức:

[ ]
'
1 1 1
11 12 13
'
2 21 22 23 2 2
'
31 32 33
3 3 3
e e e
c c c
e c c c e C e
c c c
e e e
     
 
     
     
 
= =
     
 
     
 
 
     
     
  
  
  
(2.11)
Các vec tơ ñơn vị cũ biểu diễn qua vec tơ ñơn vị mới bởi hệ thức:

[ ]
11 12 13
21 22 23
31 32 33
' '
' ' '
1 1 1
' ' ' ' '
2 2 2
' ' '
' '
3 3 3
'
e e e
c c c
e c c c e C e
c c c
e e e
     
 
     
 
     
= =
 
     
 
     
 
     
 
     
  
  
  
(2.12)
Ma trận các cosin chỉ phương [C] và [C’] là các ma trận trực giao và

[
]
[
]
[
]
1
'
T
C C C

= = (2.13)
T – là ký hiệu vec tơ chuyển trí
e
'
x
3
3
x
e
3
'
e
1
'
2
e
3
e
1
O
x
1
x
=
x
1
'
2
'
x
'
2
e
=
θ

Hình 2.4
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng

Khi hệ trục toạ ñộ ban ñầu
1 2 3
Ox x x
quay một góc
θ
ngược chiều kim ñồng hồ quanh trục x
3
,
tạo thành hệ trục toạ ñộ mới
' ' '
1 2 3
Ox x x
như trên hình 2.4 lúc ñó
'
3 3
x x

và ma trận biến ñổi hệ trục
toạ ñộ có dạng:

[ ]
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
C
θ θ
θ θ
 
 
= −
 
 
 
(2.14)
Chú ý: Khi biến ñổi hệ trục toạ ñộ bản thân vec tơ
a

không thay ñổi nhưng các thành phần a
i

của nó biến ñổi thành
'
i
a
trong hệ trục toạ ñộ mới
2.1.6 Ten xơ hạng hai:
Là hệ thống a
ij
gồm 3
2
=9 thành phần. Ta gặp các ten xơ hạng hai khi nghiên cứu về trạng thái
ứng suất, trạng thái biến dạng của môi trường liên tục, sự phân bố của mô men quán tính ñối với
các trục ñi qua ñiểm bất kỳ thuộc vật thể rắn, …
2.1.7 Ten xơ hạng n: là hệ thống a
ijkl
… gồm 3
n
thành phần
2.1.8 Các phép tính đại số ten xơ: xem phụ lục hoặc tài liệu tham khảo


Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết đàn hồi Tóm tắt bài giảng

3

Lý thuyết về ứng suất








3.1. Định nghĩa về ứng suất
Nội lực:
Lượng thay ñổi lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có ngoạ lực tác
dụng.
Trên mặt cắt bất kỳ thuộc vật thể chịu lực, xét phân tố diện tích
A

chứa ñiểm K ñang xét.
Giả sử
ν

là pháp tuyến ngoài của mặt cắt,
P


là hợp lực của nội lực trên bề mặt
A

. Ứng suất
toàn phần
p
ν

ñược ñịnh nghĩa:
0
lim
A
P
p
A
ν
∆ →

=



(3.1)
Có thể phân tích vec tơ ứng suất toàn phần thành ba thành phần theo ba phương của hệ trụ toạ
ñộ x
i
với các vec tơ ñơn vị e
i

1 2 3
, ,
p p p
ν ν ν

1 2 3
1 2 3
p p e p e p e
ν ν νν
= + +
   
(3.2)
2 2 2
1 2 3
p p p p
ν ν ν ν
= + + (3.3)
p
p
p
ν
x
x
x
K
ν
K
σ
p
ν
p
ν
σ
νη
νν
ν2
1
ν3
2
3
ν1

Hình 3.1
Thông thường ta lấy một trục toạ ñộ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt, thì ứng suất
toàn phầnñược phân tích làm hai thành phần: ứng suất pháp
νν
σ
và ứng suất tiếp
νη
σ
:
p
νν νη
ν
σ σ
= +
  
(3.4)
2 2
p
ν νν νη
σ σ
= + (3.5)
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Ứng suất tại một ñiểm phụ thuộc: - Toạ ñộ ñiểm
- Phương pháp tuyến của mặt cắt.
Ký hiệu ứng suất: chỉ số 1 – phương pháp tuyến; chỉ số 2 – phương của ứng suất
Qui ước chiều dương của ứng suất khi:
- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất
cũng hướng theo chiều dương của các trục tương ứng
- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất
cũng hướng theo chiều âm của các trục tương ứng
x
σ
11
+
σ
11
x
σ
12
+
σ
12
x
σ
13
+
σ
13
x
d
x
d
x
d
x
σ
11
σ
12
σ
13
K
M
P
1
1
1
1
1
1
1
x
2
x
3

Hình 3.3
Ứng suất trên các mặt vuông góc hệ trục toạ ñộ phụ thuộc vào toạ ñộ của ñiểm ñang xét
(
)
1 2 3
, ,
ik ik
x x x
σ σ
= . Khi ñiểm thay ñổi, ứng suất sẽ thay ñổi. Ta xét hai ñiểm gần nhau K(x
1
,x
2
,
x
3
) và M(x
1
+dx
1
, x
2
+dx
2
, x
3
+dx
3
)
Tại K(x
1
,x
2
, x
3
) trên các mặt cắt ⊥ trục có hệ ứng suất
(
)
1 2 3
, ,
ik ik
x x x
σ σ
= .
Tại M(x
1
+dx
1
, x
2
+dx
2
, x
3
+dx
3
) có hệ ứng suất tương ứng
( )
*
1 2 3 1 2 3
1 2 3
, ,
ik ik ik
ik ik
x x x dx dx dx
x x x
σ σ σ
σ σ
∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂

3.2. Điều kiện cân bằng
3.2.1. Đặt vấn ñề: Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực
gồm:
• Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường ñộ
*
f
với hình chiếu lên 3
trục toạ ñộ
1 2 3
, ,
x x x
:
*
i
f
(
* * *
1 2 3
, ,
f f f
)
• Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường ñộ f với hình
chiếu lên 3 trục tọa ñộ
1 2 3
, ,
x x x

1 2 3
, ,
f f f
.
Khi vật thể ở trạng thái cân bằng ⇒ Các phân tố thoả mãn ñiều kiện cân bằng.
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các mặt song song mặt phẳng toạ ñộ, nhận ñược các phân
tố hình hộp chữ nhật (phân tố loại 1 - nằm bên trong S) và các phân tố hình tứ diện (phân tố loại
2 - nằm sát mặt ngoài S)

V
S

Hình 3.4
3.2.2. Phương trình vi phân cân bằng Navier-Cauchy (Điều kiện cân bằng phân tố loại 1)
Lực tác ñộng lên phân tố gồm:
- Ngoại lực: lực thể tích cường ñộ f
i

- Nội lực: các thành phần ứng suất trên 6 bề mặt phân tố
Trên các mặt ñi qua ñiểm M có toạ ñộ x
i
có các thành phần ứng suất:
- Mặt cắt ⊥ x
1
:
11 12 13
σ σ σ

- Mặt cắt ⊥ x
2
:
21 22 23
σ σ σ

- Mặt cắt ⊥ x
3
:
31 32 33
σ σ σ

Trên các mặt lân cận (xi+dxi): dùng khai triển Taylor (bỏ qua vô cùng bé bậc cao)(hình 3.3):
( ) ( )
i
ik
ik i i ik i i
i
x
x dx x dx
x
σ
σ σ

+ = +

;
( ) ( )
i
ik
ik i i ik i i
i
y
y dy y dy
y
σ
σ σ

+ = +

(3.6)
Lấy tổng hình chiếu các lực lên các phương x
1
, x
2
, x
3
ta nhận ñược hệ phương trình cân bằng:
2
11 21 31 1
1
2
1 2 3
0 0
d u
X
x x x dt
σ σ σ
ρ
 
∂ ∂ ∂
= ⇒ + + =
 
∂ ∂ ∂
 


2
12 22 32 2
2
2
1 2 3
0 0
d u
X
x x x dt
σ σ σ
ρ
 
∂ ∂ ∂
= ⇒ + + =
 
∂ ∂ ∂
 

(3.7)
2
31 32 33 3
3
2
1 2 3
0 0
d u
X
x x x dt
σ σ σ
ρ
 
∂ ∂ ∂
= ⇒ + + =
 
∂ ∂ ∂
 


Trong trường hợp cân bằng ñộng thì vế phải trong (3.7) là lực quán tính (trong ngoặc -
ρ

khối lượng riêng)
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

3.2.3.Định luật ñối ứng của ứng suất tiếp
Từ phương trình cân bằng mô men với ba trục toạ ñộ ta có ñịnh luật ñối ứng của ứng suất
tiếp:
ij ji
σ σ
=
(3.8)
3.2.4. Điều kiện biên theo ứng suất (ñiều kiện cân bằng của phân tố loại 2)
Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngoài
ν
với các cosin chỉ phương
(
)
cos ,
i i
l x
ν
=
 

σ
22
f
1
σ
11
σ
12
σ
13
B
C
σ
23
σ
21
*
f
2
*
f
3
*
ν
x
2
x
1
x
3
A

σ
22
p
σ
11
σ
12
σ
13
σ
23
σ
21
p
p
ν
x
1
x
2
x
3
ν1
ν2
ν3

Hình 3.5 Hình 3.6
Xét cân bằng phân tố tứ diện, phương trình tổng hình chiếu các lực tác dụng theo phương
trục x
i
cho ta (hình 3.5):
*
11 1 12 2 13 3 1
l l l f
σ σ σ
+ + =

*
21 1 22 2 23 3 2
l l l f
σ σ σ
+ + =
(3.9)
*
31 1 32 2 33 3 3
l l l f
σ σ σ
+ + =

Cơ học: Hệ phương trình (3.7) và (3.9) là ñiều kiện cân bằng của toàn thể môi trường
Toán học: Hệ (3.7) là hệ phương trình vi phân với các ẩn số ứng suất, (3.9) là ñiều kiện
biên ñể xác ñịnh các hằng số tích phân của phương trình vi phân.
3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
Cân bằng phân tố tứ diện như ở 3.2.4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các thành phần
ứng suất là
1 2 3
, ,
p p p
ν ν ν
. Pháp tuyến
ν
của mặt cắt nghiêng có các cosin chỉ phương là l
i
.
3.3.1.Ứng suất toàn phần
Hình chiếu của ứng suất toàn phần lên các trục x
i
:
11 1 21 2 31 3 1
l l l p
ν
σ σ σ
+ + =
12 1 22 2 32 3 2
l l l p
ν
σ σ σ
+ + = (3.10)
13 1 23 2 33 3 3
l l l p
ν
σ σ σ
+ + =
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Hay dưới dạng ma trận:
1 11 21 31 1
2 12 22 32 2
3 13 23 33 3
p l
p l
p l
ν
ν
ν
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
     
     
=
     
     
     
(3.11)
Giá trị ứng suất toàn phần:
2 2 2
1 2 3
p p p p
ν ν ν ν
= + + (3.12)
3.3.2. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp
Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần
1 2 3
, ,
p p p
ν ν ν
lên pháp tuyến
ν

1 1 2 2 3 3
p l p l p l
νν ν ν ν
σ
= + +
Để ý ñến (3.10) ta có
(
)
2 2 2
11 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3
2
l l l l l l l l l
νν
σ σ σ σ σ σ σ
= + + + + + (3.13)
Ứng suất tiếp:
2 2
p
νη ν νν
σ σ
= − (3.14)
3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất
3.4.1. Trạng thái ứng suất
Trạng thái ứng suất tại một ñiểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các
mặt cắt ñi qua ñiểm ñó.
Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí ñiểm ñang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt.
Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí ñiểm ñang xét. Như vậy trạng thái ứng suất ñặc
trưng cho tình trạng chịu lực tại các ñiểm khác nhau của môi trường.
3.4.2. Ứng suất khi biến ñổi hệ trục toạ ñộ
Hệ trục x
i
xoay quanh gốc toạ ñộ và trở thành hệ trục
'
i
x
, các cosin chỉ phương của góc
giữa trục mới
'
i
x
và trục cũ
i
x

ij
c
. ứng suất
'
ij
σ
trong hệ trục mới
'
i
x
:
'
ij ik jl kl
c c
σ σ
=
3.4.3. Tenxơ ứng suất
Trạng thái ứng suất ñặc trưng bởi 9 thành phần ứng suất
ij
σ
trên các mặt cắt vuông góc với
các trục toạ ñộ là một ten xơ hạng hai và gọi là ten xơ ứng suất
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

11 12 13
21 22 23
31 32 33
T
σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
 
 
=
 
 
 
(3.15)
3.4.4. Tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất
Tenxơ ứng suất có thể phân tích thành tenxơ lệch ứng suất
D
σ
và tenxơ cầu ứng suất
0
T
σ

0
T D T
σ σ σ
= + (3.16)
Trong ñó:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
tb
tb
tb
D
σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ

 
 
= −
 
 

 

0
0 0
0 0
0 0
tb
tb
tb
T
σ
σ
σ
σ
 
 
=
 
 
 
(3.17)
Tenxơ cầu ứng suất chỉ gây nên biến dạng thể tích, trong khi ten xơ lệch ứng suất chỉ gây
nên biến ñổi hình dáng.
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0.
Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính
Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính
Giả sử phương chính
ν
có các cosin chỉ phương trong hệ toạ ñộ xi là li, ứng suất chính là
σ
. Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần
p
ν
có phương trùng với pháp
tuyến
ν
và có giá trị bằng
σ
, do ñó hình chiếu
i
p
ν
trên các trục của ứng suất toàn phần sẽ là:
i i
p l
ν
σ
= (3.18)
Thay (3.18) vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng
(
)
11 1 21 2 31 3
0
l l l
σ σ σ σ
− + + =

(
)
12 1 22 2 32 3
0
l l l
σ σ σ σ
+ − + =
(3.19)
(
)
13 1 23 2 33 3
0
l l l
σ σ σ σ
+ + − =

Điều kiện ñể (3.19) không có nghiệm tầm thường thoả mãn ñiều kiện

2 2 2
1 2 3
1
l l l
+ + =
(3.20)
là:
11 21 31
12 22 32
13 23 33
0
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ

− =

(3.21)
hoặc:

3 2
1 2 3
0
I I I
σ σ σ
− + − =
(3.22)
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

trong ñó
1 11 22 33
I
σ σ σ
= + +
11 21 22 32 11 31
2
12 22 23 33 13 33
I
σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
= + + (3.24)
11 21 31
3 12 22 32
13 23 33
I
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
=
Phương trình (3.22) luôn có ba nghiệm là 3 ứng suất chính, theo qui ước
1 2 3
σ σ σ
> >
. Lần
lượt thay các ứng suất chính này vào hai trong ba phương trình (3.19), kết hợp với phương trình
(3.20) ta nhận ñược các cosin chỉ phương của các ứng suất chính tương ứng. Chẳng hạn ñể tìm
phương chính tương ứng với ứng suất chính
1
σ
ta phải giải hệ 3 trong 4 phương trình sau:
(
)
11 1 1 21 2 31 3
0
l l l
σ σ σ σ
− + + =

(
)
12 1 22 1 2 32 3
0
l l l
σ σ σ σ
+ − + =

(
)
13 1 23 2 33 1 3
0
l l l
σ σ σ σ
+ + − =


2 2 2
1 2 3
1
l l l
+ + =

3.6. Ứng suất tiếp cực trị
Vị trí mặt có ứng suất tiếp cực trị là những mặt có pháp tuyến nghiêng góc 45
0
so với các
trục ứng suất chính.
1
1 2
max
2
σ σ
τ

= ;
2
2 3
max
2
σ σ
τ

= ;
3
1 3
max
2
σ σ
τ

= (3.25)
3.7. Cường ñộ ứng suất
Cường ñộ ứng suất là một trị số tỉ lệ với căn bậc hai của bất biến thứ hai của tenxơ lệch ứng suất
+ Cường ñộ ứng suất tiếp
(
)
2i
I D
σ
τ
= (3.26a)
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 3 3 1
1
6
i
τ σ σ σ σ σ σ
= − + − + − (3.26b)
+ Cường ñộ ứng suất pháp
(
)
2
3
i
I D
σ
σ
= (3.27a)
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 3 3 1
2
2
i
σ σ σ σ σ σ σ
= − + − + − (3.27b)

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng



Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
4

Trạng thái biến dạng








4.1. Hệ toạ ñộ và các cách mô tả chuyển ñộng
4.1.1 Ký hiệu hệ trục toạ ñộ - Hệ toạ ñộ ñồng hành và hệ toạ ñộ qui chiếu
Hệ trục toạ ñộ vuông góc Descrates x, y, z có thể biểu diễn dạng x
1
, x
2
, x
3
hoặc x
i
với i=1, 2,
3. Ở thời ñiểm ban ñầu (t=0) chọn hệ toạ ñộ Descrates X
1
X
2
X
3

gắn với môi trường vật chất liên
tục gọi là hệ trục toạ ñộ ñồng hành. Điểm vật chất M có tọa ñộ X
i
ñược xác ñịnh bởi vectơ bán
kính
R
, X
i
là tọa ñộ ñiểm vật chất ban ñầu, không phụ thuộc thời gian t.
Khi chịu tác ñộng bên ngoài, môi trường bị biến
dạng , tại thời ñiểm t, ñiểm vật chất M có vị trí mới
M
1
trong hệ tọa ñộ tuỳ chọn tương ứng nào ñó x
i

(gọi là hệ toạ ñộ qui chiếu, thường gắn với trái ñất,
toa tàu, ). Tại thời ñiểm này ñiểm không gian
M
1
(x
i
) ñược xác ñịnh bởi vec tơ bán kính
r
, x
i
gọi
là tọa ñộ không gian, x
i
phụ thuộc thời gian t.

X
1
X
2
X
3
,x
1
,x
2
x
3
M
M
1
t=0
t
R
u
r

Hình 4.1
Khi nghiên cứu chuyển ñộng của môi trường liên tục, ta hiểu rằng tồn tại hệ qui chiếu của
người quan sát và hệ toạ ñộ ñồng hành gắn với môi trường liên tục.
4.1.2 Chuyển vị
Sự thay ñổi vị trí của các phần tử vật chất trong môi trường khi môi trường chuyển từ trạng
thái này sang trạng thái khác gọi là chuyển vị. Có hai loại chuyển vị:
o Chuyển vị cứng: môi trường chuyển ñộng như vật thể cứng sang trạng thái mới,
khoảng cách giữa các phần tử vật chất không thay ñổi
o Chuyển vị gây biến dạng: khoảng cách giữa các phần tử vật chất thay ñổi
=> chỉ nghiên cứu chuyển vị gây biến dạng
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
Vec tơ chuyển vị của ñiểm M:

1
u MM r b R
= = + −
    
(hình 4.1)
Để ñơn giản ta chọn các hệ trục x
i
và X
i
cùng
gốc, cùng phương và cùng chiều
(
)

i i
x X
thì vec tơ
chuyển vị (hình 4.2):

u r R
= −
  

Trên ba trục tọa ñộ các thành phần chuyển vị
i i i
u = x - X


X
1
X
2
X
3
,x
1
,x
2
x
3
M
M
1
t=0
t
R
u
r

Hình 4.2
Có hai cách mô tả chuyển ñộng trong môi trường liên tục: mô tả Lagrange và mô tả Euler
4.1.3 Mô tả Lagrange:
Mô tả các phần tử vật chất tại các thời ñiểm khác nhau. Khi một thể tích nào ñó của vật thể bị
biến dạng, các hạt vật chất chuyển ñộng theo những quĩ ñạo khác nhau. Các chuyển ñộng này
ñược mô tả bởi phương trình:

1 1 1 2 3
2 2 1 2 3
3 3 1 2 3
( , , , )
( , , , )
( , , , )
x x X X X t
x x X X X t
x x X X X t
=
=
=





(4.1)
hay
1 2 3
( , , , ) ( , )
i i i i
x x X X X t x X t
= = ; i=1,2,3
trong ñó
i
x
- vị trí ñiểm vật chất tại thời ñiểm t ñang xét

i
X
- vị trí ñiểm vật chất tại thời ñiểm t=0 - toạ ñộ (biến số) Lagrange - toạ ñộ vật chất
Vec tơ chuyển vị
(
)
,
i
u u X t
=
 

Nếu cố ñịnh X
i
thì phương trình (4.1) mô tả vị trí liên tiếp của ñiểm vật chất M (quĩ ñạo
chuyển ñộng). Nếu cố ñịnh thời gian t thì (4.1) cho hình ảnh phân bố vật chất trong môi trường
tại thời ñiểm t. Nếu cả X
i
và t cùng thay ñổi thì (4.1) xác ñịnh qui luật chuyển ñộng của môi
trường .
4.1.4 Mô tả Euler
Mô tả hiện tượng xảy ra tại ñiểm không gian M
1
ở thời ñiểm t - Xác ñịnh phần tử vật chất nào
ở thời ñiểm ban ñầu t=0 có tọa ñộ M(X
i
) sau thời gian t sẽ chuyển tới ñiểm không gian M
1
(x
i
),
nghĩa là cần tìm X
i

:

1 1 1 2 3
2 2 1 2 3
3 3 1 2 3
( , , , )
( , , , )
( , , , )
X X x x x t
X X x x x t
X X x x x t
=
=
=





(4.2)
hay
1 2 3
( , , , ) ( , )
i i i i
X X x x x t X x t
= = với i=1,2,3
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
x
i
- ñược gọi là toạ ñộ (biến số) Euler - toạ ñộ không gian ; Chú ý : x
i
=x
i
(t)
Nếu cố ñịnh M
1
, thì phương trình (4.2) xác ñịnh dòng phần tử vật chất lần lượt chuyển tới M
1

theo thời gian t.
 mô tả Euler phù hợp với việc nghiên cứu dòng chảy của chất lỏng, chất khí (áp lực, vật
tốc dòng chảy, tại các ñiểm khác nhau của thành ống)
 mô tả Lagrange phù hợp với việc nghiên cứu quĩ ñạo chuyển ñộng
4.1.5 Quan hệ giữa hai biến số Euler và Lagrange
Mô tả Euler và Lagrange là hai cách mô tả khác nhau về chuyển ñộng của môi trường, các
biến số là tương ñương nhau và có thể qui ñổi lẫn nhau. Điều kiện cần và ñủ ñể tồn tại hàm
ngược của chúng là Jacobien khác 0.
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
0
i
j
x x x
X X X
dx
x x x
J
dX X X X
x x x
X X X
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= = ≠
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
(4.3)
Chuyển vị u
i
có thể biểu diễn theo hai cách:
Theo Lagrange:


1 2 3
( , , , )
i i i i i
u x X x X X X t X
= − = −
(4.4)
),,,(
321
tXXXuu
ii
=
(biến X
i
) - u
i
là hàm phụ thuộc X
i

Theo Euler:
),,,(
321
txxxXxXxu
iiiii

=

=
(4.5)
),,,(
321
*
txxxuu
ii
= (biến x
i
) - u
i
là hàm phụ thuộc x
i

Tổng quát, ñại lượng nghiên cứu A có thể ñược biểu diễn:

1 2 3
( , , , )
i i
A A X X X t
= (biến X
i
)

1 2 3
( , , , )
i i
A A x x x t
= (biến x
i
)
4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển ñộng
4.2.1. Đạo hàm vật chất:
Định nghĩa: Vận tốc thay ñổi theo thời gian t của một ñại lượng của phần tử vật chất gọi là ñạo
hàm vật chất của ñại lượng ñó.
Đại lượng nghiên cứu A → ñạo hàm vật chất
dt
dA

1. Theo mô tả Lagrange: ñại lượng A phụ thuộc X
i
và t:
(
)
tXAA
i
,
=

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
X
i
không phụ thuộc vào t
t
A
dt
dA


=→
2. Theo mô tả Euler:
(
)
txAA
i
,
=

do quá trình chuyển ñộng, x
i
là toạ ñộ không gian →
i
x t



3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
x
A
v
x
A
v
x
A
v
t
A
dt
dA
dt
dx
x
A
dt
dx
x
A
dt
dx
x
A
t
A
dt
dA


+


+


+


=


+


+


+


=
(4.6a)


=


+


=
3
1i
i
i
x
A
v
t
A
dt
dA
(4.6b)
4.2.2 Vận tốc
Vận tốc chuyển ñộng tức thời của các phần tử vật chất là ñạo hàm của các chuyển vị theo thời
gian.

i i
du
v u v e
dt
= = =
i


 
(4.7)
1. Theo Lagrange:
(
)
,
i i i
u u X t
= mà
i
X t

nên
(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 1 3
1
1
, , ,
u X t u X t u X t
du
v
dt t t t
∂ ∂ ∂
= = + +
∂ ∂ ∂
(4.8)
(
)
j
,
i
i
i i
u X t
du
v u
dt t

= = =

i
(4.9)
Cố ñịnh thời gian t: sự phân bố vận tốc của các phần tử trong môi trường.
Cố ñịnh X
i
: sự thay ñổi vận tốc của phần tử xác ñịnh theo thời gian.
2. Theo Euler:
(
)
( ),
i i i
u u x t t
=
1 1 1 1 1
1 1 2 3
1 2 3
du u u u u
v v v v
dt t x x x
∂ ∂ ∂ ∂
= = + + +
∂ ∂ ∂ ∂
(4.10)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , ,
i j i j i j i j
i k
i i k
k k
u x t u x t u x t u x t
du x
v u v
dt t x t t x
∂ ∂ ∂ ∂

= = = + = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
i
(3.11)
Cố ñịnh thời gian t: Sự phân bố vận tốc trong không gian - trường vận tốc
Cố ñịnh x
i
: Cho biết vận tốc của những phần tử khác nhau qua một ñiểm xác ñịnh.
4.2.3. Gia tốc
Là ñạo hàm theo thời gian của vec tơ vận tốc
v


Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
i i
dv
a v a e
dt
= = =
i


 
(4.12)
1. Theo Lagrange:
(
)
(
)
, ,
i j i j
i
dv X t v X t
a
dt t

= =

(4.13)
2. Theo Euler:
(
)
(
)
(
)
, , ,
i j i j i j
i k
k
dv x t v x t v x t
a v
dt t x
∂ ∂
= = +
∂ ∂
(4.14)
Ví dụ 3.1: Cho phương trình chuyển ñộng của môi trường liên tục
(
)
1 1 3
1
t t
x X e X e
= + −
;
(
)
2 2 3
t t
x X X e e

= + − ;
3 3
x X
=
Tìm các chuyển vị, vận tốc, gia tốc theo biến Lagrange và theo biến Euler
Bài giải:
+ Theo biến Lagrange
Theo (3.4), các thành phần chuyển vị:
(
)
(
)
1 1 1 1 3
1 1
t t
u x X X e X e
= − = − + −

(
)
2 2 2 3
t t
u x X X e e

= − = −
3 3 3
0
u x X
= − =

Các thành phần vận tốc xác ñịnh theo (3.9):
( )
1
1 1 3
t
u
v X X e
t

= = +


( )
2
2 3
t t
u
v X e e
t


= = +


3
3
0
u
v
t

= =


Các thành phần gia tốc xác ñịnh theo (3.13):
( )
2
1
1 1 3
2
t
u
a X X e
t

= = +


( )
2
2
2 3
2
t t
u
a X e e
t


= = −


2
3
3
2
0
u
a
t

= =


+ Theo biến Euler
Định thức của Jacobiên:
Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
0 1
det 0 1 0
0 0 1
t t
t t t
e e
J e e e

 

 
= − = ≠
 
 
 

Nên các hàm ngược là:
(
)
1 1 3
1
t t
X x e x e
− −
= + −

(
)
2 2 3
t t
X x x e e

= − −
3 3
X x
=

Từ ñó các thành phần chuyển vị tính theo (3.5)
(
)
(
)
1 1 1 1 3
1 1
t t
u x X x e x e
− −
= − = − + −
(
)
2 2 2 3
t t
u x X x e e

= − = −
2 3 3
0
u x X
= − =

Các thành phần vận tốc xác ñịnh theo (3.11)
(
)
(
)
1 1 3 1 2 3
1 0. 1
t t t t
v x e x e e v v e v
− − − −
= + + − + + −
(
)
(
)
2 3 1 2 3
0. 0.
t t t t
v x e e v v e e v
− −
= + + + + −
3
0
v
=

Giải hệ ba phương trình này ta ñược:
1 1 2
v x x
= +

(
)
2 3
t t
v x e e

= +
3
0
v
=

Các thành phần gia tốc chuyển ñộng xác ñịnh theo (3.13)
1 1 2 3 1 3
1. 0. 1.
a v v v x x
= + + = +

(
)
(
)
(
)
2 3 1 2 3 3
0. 0.
t t t t t t
a x e e v v e e v x e e
− − −
= − + + + − = −
3
0
a
=

Ví dụ 3.2:
Cho phương trình chuyển ñộng trong hệ tọa ñộ Lagrange

1 1
2 2 3
3 3 2
x X
x X aX
x X aX
=
= +
= +
a là hằng số khác ±1
Xác ñịnh các thành phần chuyển vị trong hệ tọa ñộ Lagrrange và Euler
+Tính Jacobien:
1 1 1
1 2 3
2
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
1 0 0
0 1 1 0
0 1
x x x
X X X
x x x
J a a
X X X
a
x x x
X X X
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= = = − ≠
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂

Cơ sở Cơ học Môi trường liên tục & Lý thuyết ñàn hồi Tóm tắt bài giảng

Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
=> Tồn tại hàm ngược => phương trình chuyển ñộng trong hệ toạ ñộ Euler

1 1
2 3
2
2
3 2
3
2
1
1
X x
x ax
X
a
x ax
X
a
=

=


=


+Tính các thành phần chuyển vị
iii
Xxu

=

Trong hệ tọa ñộ Lagrange

1 1 1 1 1
2 2 2 3
3 3 3 2
0
u x X X X
u x X aX
u x X aX
= − = − =
= − =
= − =

Trong hệ tọa ñộ Euler

1 1 1 1 1
2
2 3 3 2
2 2 2 2
2 2
2
3 23 2 3
3 3 3 3
2 2
0
1 1
1 1
u x X X X
x ax ax a x
u x X x
a a
x ax ax a x
u x X x
a a
= − = − =
− −
= − = − =
− −
− −
= − = − =
− −

Chú ý:
o Dạng chuyển vị trong hai hệ tọa ñộ là khác nhau.
o Có thể tìm chuyển vị trong hệ toạ ñộ Euler bằng phương pháp thay biến

2
3 2 3 2
2 3
2 2
.
1 1
x ax ax a x
u aX a
a a
− −
= = =
− −

Ví dụ 3.3:
Cho các thành phần chuyển vị

2
313
2
322
2
11
4
XXu
XXu
Xu
=
=
=

Xác ñịnh ví trí mới của ñiểm vật chất biết vị trí ban ñầu là (1,0,2)
Bài giải:
Tại vị trí ban ñầu 2,0,1
321
=
=
=
XXX
Chuyển vị
iiiiii
XuxXxu
+
=


=


622.1
002.0
511.4
2
333
2
222
2
111
=+=+=
=+=+=
=+=+=
Xux
Xux
Xux

Nhận xét: Xem X
i
là toạ ñộ ban ñầu ; x
i
là tọa ñộ mới ở thời ñiểm t

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×