Tải bản đầy đủ

chuyên đề các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số luyện thi đại học – trần sĩ tùng


TR N
  

















TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
























Năm 2012


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 1

T NH ĐƠN ĐIỆU CỦA H M Ố

A
ế ứ ơ ả
Giả ử hàm số
yfx
()
=
có tập xác ñịnh D.


• ố f ñồ ế ⇔
yxD
0,

≥∀∈

y
0

=
ỉ ả ạ ộ ố ữ ạ ñ ể

• ố f ị ế ⇔
yxD
0,

≤∀∈

y
0

=
ỉ ả ạ ộ ố ữ ạ ñ ể

• ế yaxbxca
2
'(0)
=++≠
ì:

a
yxR
0
'0,
0

>
≥∀∈⇔



+
a
yxR
0
'0,
0

<
≤∀∈⇔




• Định lí về dấu của tam thức bậc hai gxaxbxca
2
()(0)
=++≠
:
+ Nếu ∆ < 0 thì
gx
()
luôn cùng dấu với a.
+ Nếu ∆ = 0 thì
gx
()
luôn cùng dấu với a (trừ
b
x
a
2
=− )
+ Nếu ∆ > 0 thì
gx
()
có hai nghiệm
x x
12
,
và trong khoảng hai nghiệm thì
gx
()
khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì
gx
()
cùng dấu với a.
• So sánh các nghiệm
x x
12
,
của tam thức bậc hai
gxaxbxc
2
()
=++
với số 0:
+ xxP
S
12
0
00
0




≤<⇔>


<

+ xxP
S
12
0
00
0




<≤⇔>


>

+ xxP
12
00
<<⇔<


ab
gxmxabgxm
(;)
(),(;)max()
≤∀∈⇔≤
;
ab
gxmxabgxm
(;)
(),(;)min()
≥∀∈⇔≥

ộ ố ạ ỏ ườ ặ
ñ ề ệ ố
yfx
()
=
ñơ ñ ệ ậ ñị ( ặ ừ ả
ñị
• Hàm số f ñồng biến trên D ⇔
yxD
0,

≥∀∈

y
0

=
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn ñiểm
thuộc D.
• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔
yxD
0,

≤∀∈

y
0

=
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn ñiểm
thuộc D.
• Nếu yaxbxca
2
'(0)
=++≠
thì:

a
yxR
0
'0,
0


>
≥∀∈⇔



+
a
yxR
0
'0,
0


<
≤∀∈⇔




ñ ề ệ ố
yfxaxbxcxd
32
()
==+++
ñơ ñ ệ ả
(;)
.
Ta có:
yfxaxbxc
2
()32
′′
==++
.
a) Hàm số f ñồng biến trên
(;)

yx
0,(;)

≥∀∈ và
y
0

=
chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn ñiểm thuộc
(;)
.
Trường hợp 1:
• Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()

≥⇔≥ (*)
thì f ñồng biến trên
(;)

hmgx
(;)
()max()

VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 2

• N u b t phương trình
fxhmgx
()0()()

≥⇔≤ (**)
thì f ñồng biến trên
(;)
αβ

hmgx
(;)
()min()

αβ

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
fx
()0


không ñưa ñược về dạng (*) thì ñặt
tx
=−
α
.
Khi ñó ta có:
ygtatabtabc
22
()32(3)32
ααα

==+++++
.
– Hàm số f ñồng biến trên khoảng
a
(;)
−∞

gtt
()0,0
≥∀<

a
a
S
P
0
00
00
0



>



>>


≤>






– Hàm số f ñồng biến trên khoảng
a
(;)
+∞

gtt
()0,0
≥∀>

a
a
S
P
0
00
00
0



>



>>


≤<






b) Hàm số f nghịch biến trên
(;)
αβ

yx
0,(;)

≥∀∈
αβ

y
0

=
chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn ñiểm thuộc
(;)
αβ
.
Trường hợp 1:
• Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()

≤⇔≥ (*)
thì f nghịch biến trên
(;)
αβ

hmgx
(;)
()max()

αβ

• Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()

≥⇔≤ (**)
thì f nghịch biến trên
(;)
αβ

hmgx
(;)
()min()

αβ

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
fx
()0


không ñưa ñược về dạng (*) thì ñặt
tx
=−
α
.
Khi ñó ta có:
ygtatabtabc
22
()32(3)32
ααα

==+++++
.
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
a
(;)
−∞

gtt
()0,0
≤∀<

a
a
S
P
0
00
00
0



<



<>


≤>






– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
a
(;)
+∞

gtt
()0,0
≤∀>

a
a
S
P
0
00
00
0



<



<>


≤<






ñ ề ệ ố
yfxaxbxcxd
32
()
==+++
ñơ ñ ệ ả ñộ
ằ k ướ .
• f ñơn ñiệu trên khoảng
xx
12
(;)

y
0

=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,

a
0
0




>

(1)
• Biến ñổi
xxd
12
−=
thành
xxxxd
22
1212
()4
+−=
(2)
• Sử dụng ñịnh lí Viet ñưa (2) thành phương trình theo m.
• Giải phương trình, so với ñiều kiện (1) ñể chọn nghiệm.
ñ ề ệ ố
axbxc
yad
dxe
2
(2),(,0)
++
=≠
+

a) Đồng biến trên
(;)
α
−∞
.
b) Đồng biến trên
(;)
α
+∞
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 3

c) ng bi n trên
(;)
αβ
.
Tập xác ñịnh:
e
DR
d
\


=


,
adxaexbedcfx
y
dxedxe
2
22
2()
'
++−
==
++


ñ ề ệ ố
axbxc
yad
dxe
2
(2),(,0)
++
=≠
+

a) Nghịch biến trên
(;)
α
−∞
.
b) Nghịch biến trên
(;)
α
+∞
.
c) Nghịch biến trên
(;)
αβ
.
Tập xác ñịnh:
e
DR
d
\


=


,
adxaexbedcfx
y
dxedxe
2
22
2()
'
++−
==
++

ườ ợ ườ ợ
Nếu:
fxgxhmi
()0()()()
≥⇔≥
Nếu bpt:
fx
()0

không ñưa ñược về dạng (i)
thì ta ñặt:
tx
α
=−
.
Khi ñó bpt:
fx
()0

trở thành:
gt
()0

, với:
gtadtadetadaebedc
22
()2()2
ααα
=+++++−
a) (2) ñồng biến trên khoảng
(;)
α
−∞


e
d
gxhmx()(),
α
α







≥∀<



e
d
hmgx
(;]
()min()
α
α
−∞










a) (2) ñồng biến trên khoảng
(;)
α
−∞


e
d
gttii
()0,0()
α







≥∀<



a
a
ii
S
P
0
00
()
00
0

>



>∆>
⇔∨

∆≤>






b) (2) ñồng biến trên khoảng
(;)
α
+∞


e
d
gxhmx()(),
α
α







≥∀>



e
d
hmgx
[;)
()min()
α
α
+∞










b) (2) ñồng biến trên khoảng
(;)
α
+∞


e
d
gttiii
()0,0()
α







≥∀>



a
a
iii
S
P
0
00
()
00
0

>



>∆>
⇔∨

∆≤<






c) (2) ñồng biến trên khoảng
(;)
αβ


e
d
gxhmx
;
()(),(;)
αβ
αβ







≥∀∈



e
d
hmgx
[;]
;
()min()
αβ
αβ












VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 4

















ườ ợ ườ ợ
N u
fxgxhmi
()0()()()
≤⇔≥
N u bpt:
fx
()0

không ñưa ñược về dạng (i)
thì ta ñặt:
tx
α
=−
.
Khi ñó bpt:
fx
()0

trở thành:
gt
()0

, với:
gtadtadetadaebedc
22
()2()2
ααα
=+++++−
a) (2) nghịch biến trên khoảng
(;)
α
−∞


e
d
gxhmx()(),
α
α







≥∀<



e
d
hmgx
(;]
()min()
α
α
−∞










a) (2) ñồng biến trên khoảng
(;)
α
−∞


e
d
gttii
()0,0()
α







≤∀<



a
a
ii
S
P
0
00
()
00
0

<



<∆>
⇔∨

∆≤>






b) (2) nghịch biến trên khoảng
(;)
α
+∞


e
d
gxhmx()(),
α
α







≥∀>



e
d
hmgx
[;)
()min()
α
α
+∞










b) (2) ñồng biến trên khoảng
(;)
α
+∞


e
d
gttiii
()0,0()
α







≤∀>



a
a
iii
S
P
0
00
()
00
0

<



<∆>
⇔∨

∆≤<






c) (2) ñồng biến trong khoảng
(;)
αβ


e
d
gxhmx
;
()(),(;)
αβ
αβ







≥∀∈



e
d
hmgx
[;]
;
()min()
αβ
αβ












VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 5

Cho hàm số
ymxmxmx
32
1
(1)(32)
3
=−++− (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị (C) của hàm số (1) khi
m
2
=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số (1) ñồng biến trên tập xác ñịnh của nó.


Tập xác ñịnh: D = R. ymxmxm
2
(1)232

=−++−
.
(
ng bi n trên R


yx
0,

≥∀



m
2



C Cho hàm số yxxmx
32
34
=+−−
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị của hàm số (1) khi
m
0
=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số (1) ñồng biến trên khoảng
(;0)
−∞
.


Tập xác ñịnh: D = R.
yxxm
2
36

=+−
. y


m
3(3)


=+
.

Nế
m
3
≤−

0






yx
0,

≥∀


m ñồng biến trên R


m
3
≤−
thoả YCBT.

Nế
m
3
>−

0


>



y
0

=
2 nghiệm phân biệt
xxxx
1212
,()
< . Khi ñó hàm số
ñồng biến trên các khoảng xx
12
(;),(;)
−∞+∞
.
Do ñó hàm số ñồng biến trên khoảng
(;0)
−∞



xx
12
0
≤<


P
S
0
0
0



>




>




m
m
3
0
20

>−

−≥


−>

(VN
ậy:
m
3
≤−
.

C
Cho hàm số
yxmxmmx
32
23(21)6(1)1
=−++++
có ñồ thị (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên khoảng
(2;)
+∞



Tập xác ñịnh: D = R. yxmxmm
2
'66(21)6(1)
=−+++
có mmm
22
(21)4()10

=+−+=>


xm
y
xm
'0
1

=
=⇔

=+

. Hàm số ñồng biến trên các khoảng
mm
(;),(1;)
−∞++∞

Do ñó: hàm số ñồng biến trên
(2;)
+∞

m
12
+≤

m
1



C Cho hàm số yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+−+−++
.
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m ñể hàm ñồng biến trên khoảng
K
(0;)
=+∞
.


Hàm ñồng biến trên
(0;)
+∞
yxmxm
2
3(12)(22
)0

⇔ +
=−+−≥
với
x
0)
(
;
∀∈
+∞


x
fxm
x
x
2
23
()
41
2+
⇔=≥
+
+
với
x
0)
(
;
∀∈
+∞

Ta có:
xx
xx xxfx
x
2
2
2
6(
1)1
1
2
()02
()
01;
2
41

=
+−
+−==−=⇔
=
+

Lập BBT của hàm
fx
()
trên
(0;)
+∞
ừ ñ ñ ñến kết luận:
fmm
15
24

≥⇔≥


.
Câu h i tương tự:
a
ymxmxmx
32
1
(1)(21)3(21)1
3
=+−−+−+

m
(1)
≠−
K
(;1)
=−∞−
. Đ m
4
11



ymxmxmx
32
1
(1)(21)3(21)1
3
=+−−+−+

m
(1)
≠−
K
(1;)
=+∞
. Đ
0
m



ymxmxmx
32
1
(1)(21)3(21)1
3
=+−−+−+

m
(1)
≠−
,
K
(1;1)
=−
. Đ m
1
2


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 6

Cho hàm số
ymxmxx
232
1
(1)(1)21
3
=−+−−+
(1)
m
(1)
≠±
.
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m ñể hàm nghịch biến trên khoảng
K
(;2)
=−∞
.


Tập xác ñịnh: D = R ymxmx
22
(1)2(1)2

=−+−−
.
Đặt
tx
–2
=
ta ñược: ygtmtmmtmm
2222
()(1)(426)4410

==−++−++−
Hàm số (
nghịch biến trong khoảng
(;2)
−∞
gtt
()0,0
⇔≤∀<

T
:
a
0
0

<

∆≤




m
mm
2
2
10
3210


−<

−−≤


T
a
S
P
0
0
0
0

<


∆>

>







m
mm
mm
m
m
2
2
2
10
3210
44100
23
0
1

−<

−−>



+−≤

−−

>

+


ậớ m
1
1
3

≤<
m ố 1 nghịch biến trong khoảng
(;2)
−∞
.

C
Cho hàm số
ymxmxx
232
1
(1)(1)21
3
=−+−−+
(1)
m
(1)
≠±
.
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m ñể hàm nghịch biến trên khoảng
K
(2;)
=+∞
.


Tập xác ñịnh: D = R ymxmx
22
(1)2(1)2

=−+−−
.
Đặt
tx
–2
=
ta ñược: ygtmtmmtmm
2222
()(1)(426)4410

==−++−++−
Hàm số ( nghịch biến trong khoảng
(2;)
+∞
gtt
()0,0
⇔≤∀>

T
:
a
0
0

<

∆≤




m
mm
2
2
10
3210


−<

−−≤


T
a
S
P
0
0
0
0

<


∆>

<







m
mm
mm
m
m
2
2
2
10
3210
44100
23
0
1

−<

−−>



+−≤

−−

<

+


ậớ
m
11
−<<
m ố 1 nghịch biến trong khoảng
(2;)
+∞


C Cho hàm số
yxxmxm
32
3
=+++
(1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
2) Tìm m ñể hàm số (1) nghịch biến trên ñoạn có ñộ dài b ng 1.


Ta có
yxxm
2
'36
=++

m
93


=− .

Nế m ≥
yxR
0,

≥∀∈


m ố ñồng biến trên R

m ≥ hông thoả mãn.

Nế m
y
0

=
ó 2 nghiệm phân biệt
xxxx
1212
,()
< . Hàm số nghịch biến trên ñoạn
xx
12
;


với ñộ dài
lxx
12
=−. Ta có:
m
xxxx
1212
2;
3
+=−=
.
YCBT


l
1
=


xx
12
1
−=


xxxx
2
1212
()41
+−=


m
9
4
=
.

C
Cho hàm số yxmx
32
231
=−+−
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m ñể hàm số (1) ñồng biến trong khoảng
xx
12
(;)
với xx
21
1
−=
.



yxmx
2
'66
=−+ ,
yxxm
'00
=⇔=∨=
.
+ Nếu m = 0
yx
0,

⇒≤∀∈


hàm số nghịch biến trên

m = 0 không thoả YCBT.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 7

+ N u
m
0

,
yxmkhim
0,(0;)0

≥∀∈>
ho c
yxmkhim
0,(;0)0

≥∀∈<
.
V
y hàm s ñồng biến trong khoảng
xx
12
(;)
với xx
21
1
−=




xxm
xxm
12
12
(;)(0;)
(;)(;0)

=

=

và xx
21
1
−=



m
m
m
01
1
01

−=
⇔=±

−=

.

Cho hàm số yxmxm
42
231
=−−+
(1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m ñể hàm số (1) ñồng biến trên khoảng (1; 2).


Ta có
yxmxxxm
32
'444()
=−=−

+
m
0

, yx
0,(0;)

≥∀∈+∞



m
0

thoả mãn.
+
m
0
>
, y
0

=
có 3 nghiệm phân biệt:
m m
,0,− .
Hàm số (1
ñồng biến trên (1; 2

m m
101
≤⇔<≤
. Vậy m
;1

∈−∞

.
Câu h
i tương tự:
a
Với yxmxm
42
2(1)2
=−−+−
; y ñồng biến trên khoảng
(1;3)
. ĐS:
m
2

.

C
Cho hàm số
mx
y
xm
4
+
=
+
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị của hàm số (1) khi
m
1
=−
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(;1)
−∞
.


Tập xác ñịnh: D = R \ {–m}.
m
y
xm
2
2
4
()


=
+
.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác ñịnh

ym
022

<⇔−<<
(1
Để hàm số (1 nghịch biến trên khoảng
(;1)
−∞
thì ta phải có
mm
11
−≥⇔≤−
(2
Kết hợp (1 và (2 ta ñược:
m
21
−<≤−
.

C Cho hàm số
xxm
y
x
2
23
(2).
1
−+
=


Tìm m ñể hàm số (2) ñồng biến trên khoảng
(;1)
−∞−
.


Tập xác ñịnh:
DR{
\1}
=
.
xxmfx
y
xx
2
22
243()
'.
(1)(1)
−+−
==
−−

Ta có: fxmxx
2
()0243
≥⇔≤−+
. Đặt gxxx
2
()243
=−+

gxx
'()44
⇒=−

Hàm số (2
ñồng biến trên
(;1)
−∞−
yxmgx
(;1]
'0,(;1)min()
−∞−
⇔≥∀∈−∞−⇔≤
Dựa vào BBT của hàm số
gxx
(),(;1]
∀∈−∞−
ta suy ra
m
9

.
Vậy
m
9

thì hàm số (2 ñồng biến trên
(;1)
−∞−


C
Cho hàm số
xxm
y
x
2
23
(2).
1
−+
=


Tìm m ñể hàm số (2) ñồng biến trên khoảng
(2;)
+∞
.


Tập xác ñịnh:
DR{
\1}
=
.
xxmfx
y
xx
2
22
243()
'.
(1)(1)
−+−
==
−−

Ta có: fxmxx
2
()0243
≥⇔≤−+
. Đặt gxxx
2
()243
=−+

gxx
'()44
⇒=−

Hàm số (2 ñồng biến trên
(2;)
+∞

yxmgx
[2;)
'0,(2;)min()
+∞
⇔≥∀∈+∞⇔≤
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 8

Da vào BBT c a hàm số
gxx
(),(;1]
∀∈−∞−
ta suy ra
m
3

.
Vậy
m
3

thì hàm số (2 ñồng biến trên
(2;)
+∞
.

âu 13. Cho hàm số
xxm
y
x
2
23
(2).
1
−+
=


Tìm m ñể hàm số (2) ñồng biến trên khoảng
(1;2)
.


Tập xác ñịnh:
DR{
\1}
=
.
xxmfx
y
xx
2
22
243()
'.
(1)(1)
−+−
==
−−

Ta có: fxmxx
2
()0243
≥⇔≤−+
. Đặt gxxx
2
()243
=−+

gxx
'()44
⇒=−

Hàm số (2
ñồng biến trên
(1;2)

yxmgx
[1;2]
'0,(1;2)min()
⇔≥∀∈⇔≤
Dựa vào BBT của hàm số
gxx
(),(;1]
∀∈−∞−
ta suy ra
m
1

.
Vậy
m
1

thì hàm số (2 ñồng biến trên
(1;2)
.

Câu 14. Cho hàm số
xmxm
y
mx
22
23
(2).
2
−+
=


Tìm m ñể hàm số (2) nghịch biến trên khoảng
(;1)
−∞
.


Tập xác ñịnh:
DR{m}
\2
=
.
xmxmfx
y
xmxm
22
22
4()
'.
(2)(2)
−+−
==
−−
Đặt
tx
1
=−
.
Khi ñó bpt:
fx
()0

trở thành: gttmtmm
22
()2(12)410
=−−−−+−≤
Hàm số (2 nghịch biến trên
(;1)
−∞
m
yx
gtti
21
'0,(;1)
()0,0()

>
⇔≤∀∈−∞⇔

≤∀<


i
S
P
'0
'0
()
0
0

∆=


∆>



>








m
m
m
mm
2
0
0
420
410

=






−>




−+≥


m
m
0
23

=


≥+


Vậy: Với
m
23
≥+ thì hàm số (2 nghịch biến trên
(;1)
−∞
.

Câu 15. Cho hàm số
xmxm
y
mx
22
23
(2).
2
−+
=


Tìm m ñể hàm số (2) nghịch biến trên khoảng
(1;)
+∞
.


Tập xác ñịnh:
DR{m}
\2
=
.
xmxmfx
y
xmxm
22
22
4()
'.
(2)(2)
−+−
==
−−
Đặt
tx
1
=−
.
Khi ñó bpt:
fx
()0

trở thành: gttmtmm
22
()2(12)410
=−−−−+−≤
Hàm số (2 nghịch biến trên
(1;)
+∞

m
yx
gttii
21
'0,(1;)
()0,0()

<
⇔≤∀∈+∞⇔

≤∀>


ii
S
P
'0
'0
()
0
0

∆=


∆>



<








m
m
m
mm
2
0
0
420
410

=






−<




−+≥


m
23
⇔≤−
Vậy: Với
m
23
≤− thì hàm số (2 nghịch biến trên
(1;)
+∞


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang

HS : CỰC TRỊ CỦ H M SỐ

Dạng 1: Cực trị của h số bậc 3:
yfxaxbxcxd
32
()
==+++

. Kiến thức cơ bản
H số c ñạ ự ể ⇔ phương tr nh
y
0

=
c 2 nghiệm ph n biệt.
Ho nh ñộ
xx
12
,
của c c ñiểm cực trị l c nghiệm của phương tr nh
y
0

=
.
Để viết phương tr nh ñường thẳng ñi a c ñiểm cực ñại, cực tiểu, ta c thể sử dụng
phương ph p t h ñạo h .
– h n c
yfx xhx
().()()

=+.
– Suy ra
yhxyhx
1122
(),()
==.
Do ñ ươ g ñườ g ẳ g ñ a c c ñ ể cực ñạ cực ể
yhx
()
=
.
Gọi α l g c giữa hai ñường thẳng
dykxbdykxb
111222
=+=+
th
kk
kk
12
12
an
1

=
+
α

B. Một số dạng c hỏi thường gặp
ọi k à hệ số góc của ñường thẳng ñi qua các ñiểm cực ñại, cực tiểu.
1. ñiều kiện ñể ñường thẳng ñi qua c c ñiể cực ñại, cực tiểu ng ng (vu ng
c) với ñường thẳng
dy
=+
.
ñ ệ ñể ố c c ñạ ực ểu.
– Viết phương tr nh ñường thẳng ñi a c c ñiểm cực ñại, cực tiểu.
– Giải ñi u kiện:
=
(hoặc k
1
=−
).
ñiều kiện ñể ñường thẳng ñi qua c c ñiể cực ñại, cực tiểu tạ với ñường thẳng

dy
=+
ột c
α
.
– T ñ ệ ñể ố c c ñạ ực ểu.
– Viết phương tr nh ñường thẳng ñi a c c ñiểm cực ñại, cực tiểu.
– Giải ñi u kiện:
an
1

=
+
α
. (Đặc biệt nếu d x, th giải ñi u kiện: k
an
=
α
)
3. ñiều kiện ñể ñường thẳng ñi qua c c ñiể cực ñại, cực tiểu cắt hai trục x, y
tại hai ñiể , B ch I B c diện t ch S ch trước (với I l ñiể ch trước).
– T ñ ệ ñể ố c c ñạ ực ểu.
– Viết phương tr nh ñường thẳng ñi ua c c ñiểm cực ñại, cực tiểu.
– T giao ñiểm A, B của với trục x y.
– Giải ñi u kiện
AB
SS

=
.
4. ñiều kiện ñể ñồ thị h số c hai ñiể cực trị , B ch I B c diện t ch S
ch trước (với I l ñiể ch trước).
– T ñ ệ ñể ố c c ñạ ực ểu.
– Viết phương tr nh ñường thẳng ñi ua c c ñiểm cực ñại, cực tiểu.
– Giải ñi u kiện
IAB
SS

=
.
5. ñiều kiện ñể ñồ thị h số c hai ñiể cực trị , B ñối xứng qua ñường thẳng d
ch trước.
– T ñ ệ ñể ố c c ñạ ực ểu.
– Viết phương tr nh ñường thẳng ñi ua c c ñiểm cực ñại, cực tiểu.
– Gọi I l trung ñiểm của AB.
– Giải ñi u kiện:
d
Id





.
5. ñiều kiện ñể ñồ thị h số c hai ñiể cực trị , B c ch ñều ñường thẳng d ch
trước.
– T ñ ệ ñể ố c c ñạ ực ểu.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 10

– Giải ñi u kiện:
dAddBd
(,)(,)
=
.
6. ñiều kiện ñể ñồ thị h số c hai ñiể cực trị , B k ảng c ch giữa hai
ñiể , B l ớn nhất (nhỏ nhất).
– T ñ ệ ñể ố c c ñạ ực ểu.
– T ạ ñộ c ñ ể cực ị A, B (c ể g ươ ñườ g ẳ a a ñ ể
cực ị .
– T nh AB. D phương ph p h số ñể TLN (GTNN) của AB.
7. ñiều kiện ñể h số c cực ñại, cực tiểu h nh ñộ c c ñiể cực trị t ả hệ
thức ch trước.
– T ñ ệ ñể ố c c ñạ ực ểu.
– h n c ệ c ñể dụ g ñị V t.
8. ñiều kiện ñể h số c ực trị t n ảng K
1
(;)
α
=−∞ hoặc K
2
(;)
α
=+∞
.

yfxaxbxc
2
'()32
==++
.
Đặt
tx
=−
α
. Khi ñ :
ygtatabtabc
22
'()32(3)32
ααα
==+++++


9. ñiều kiện ñể h số c hai cực trị
xx
12
,
t ả:
a)
xx
12
α
<<
b) xx
12
α
<<
c)
xx
12
α
<<


yfxaxbxc
2
'()32
==++
.
Đặt
tx
=−
α
. Khi ñ :
ygtatabtabc
22
'()32(3)32
ααα
==+++++







H
số c c ị ộc K
1
(;)
α
=−∞ ố c c ị ộc K
2
(;)
α
=+∞

ố c c ị ả g
(;)
α
−∞

fx
()0
⇔=
c g ệ
(;)
α
−∞
.
gt
()0
⇔=
c g ệ t < 0
P
S
P
0
'0
0
0

<


∆≥



<








H
số c c ị ả g
(;)
α
+∞

fx
()0
⇔=
c g ệ
(;)
α
+∞
.
gt
()0
⇔=
c g ệ t > 0
P
S
P
0
'0
0
0

<


∆≥



>









a) H số c a c c ị
xx
12
,

xx
12
α
<<

gt
()0
⇔=
c a g ệ
tt
12
,

tt
12
0
<<

P
0
⇔<

b) ố c a c c ị
xx
12
,
ả xx
12
α
<<

gt
()0
⇔=
c a g ệ
tt
12
,
ả tt
12
0
<<
S
P
'0
0
0

∆>

⇔<


>


c) ố c a c c ị x
1
, x
2

xx
12
α
<<


gt
()0
⇔=
c a g ệ
tt
12
,

tt
12
0
<<
S
P
'0
0
0

∆>

⇔>


>



VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 11

Cho h số
yxmxmxmm
32232
33(1)=−++−+− (1)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi
m
1
=
.
2) Vi t ph ng tr nh ng thẳng ua hai ñiểm cực trị của thị h số (1).

yxmxm
22
363(1)

=−++− .
PT y
0

=

m
10,

=>∀


thị hàm số (1 luôn có 2 ñi m cực trị
xyxy
1122
(;),(;)
.
Chia y cho y

ta ñược:
m
yxyxmm
2
1
2
33


=−+−+



Khi ñó:
yxmm
2
11
2
=−+
;
yxmm
2
22
2
=−+

T ñường thẳ i ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1 là
yxmm
2
2
=−+
.

C Cho h số yxxmxm
32
32
=+++−
(m l tham số) c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị h số khi m = 3.
2) ñị m ñể (C
m
) c ñ ể cực ñạ cực ể a a ớ ục nh.


PT hoành ñộ giao ñiểm của (C và trục hoành:
xxmxm
32
320(1)
+++−=


x
gxxxm
2
1
()220(2)

=−

=++−=


(C
m
có 2 ñiểm cực trị nằm về 2 phía ñối với trục Ox

PT (1 có 3 nghiệm phân biệt


(2 có 2 nghiệm phân biệt khác –1


m
gm
30
(1)30



=−>

−=−≠




m
3
<


C
Cho h số yxmxmmx
322
(21)(32)4
=−++−−+−
(m l tham số) c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị h số khi m = 1.
2) ñị m ñể (C
m
) c ñ ể cực ñạ cực ể a a c a c g.


yxmxmm
22
32(21)(32)

=−++−−+
.
(C
m
có các ñiểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung

PT y
0

=
có 2 nghiệm trái
dấu

mm
2
3(32)0
−+<



m
12
<<
.

C
Cho h số yxmxmx
32
1
(21)3
3
=−+−−
(m l tham số) c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị h số khi m = 2.
2) ñị m ñể (C
m
) c ñ ể cực ñạ ực ể c g a ớ ục g.


TXĐ: D = R ; yxmxm
2
221

=−+−
.
Đồ thị (C
m
có 2 ñiểm CĐ, CT nằm cùng phía ñối với trục tung

y
0

=
có 2 nghiệm phân
biệt cùng dấu


mm
m
2
210
210



=−+>

−>


m
m
1
1
2





>


.

C
Cho h số yxxmx
32
32
=−−+
(m l tham số) c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị h số khi m = 1.
2) ñị m ñể (C
m
) c ñ ể cực ñạ cực ể g ẳ g
yx
1
=−
.


Ta có:
yxxm
2
'36
=−−
.
Hàm số có CĐ, CT yxxm
2
'360
⇔=−−=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
;


mm
'9303

⇔=+>⇔>−
(
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 12

Gọi hai ñiểm cực trị là AxBx
yy
12
12
;;;

Thực hiện phép chia y cho y

ta ñược:
mm
yxyx
112
'22
3333

=−+−++






mmmm
xxyyxyyx
121122
22
22;22
333
))
3
((

−++−++


=

=

==



ương trình ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị là

:
mm
yx
2
22
33

=−++



Các ñiểm cực trị cách ñều ñường thẳng
yx
1
=−

xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Đường thẳng ñi ua 2 ñiểm cực trị song song hoặc t với ñường thẳng
yx
1
=−


m
m
29
21
32
−=⇔=
⇔ (không thỏa (
TH2: Trung ñiểm của B nằm trên ñường thẳng
yx
1
=−


II
x
mm
xxxx
m
y
m
y
y
m
x
x
2
1212
121
2
2222
33
2
1
2.22
1
2
2
00
33
2

−+++=+−



+

⇔−++=⇔=


+
⇔=−⇔=−⇔


Vậy các giá trị cần tìm của m là:
m
0
=
.

Cho h số
yxmxm
323
34
=−+ (m l tham số) c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị h số khi m = 1.
2) ñị m ñể (C
m
) c ñ ể cực ñạ cực ể g a a g ẳ g y = x.


Ta có:
yxmx
2
36

=− ;
x
y
xm
0
0
2

=

=⇔

=

. Để hàm số có cực ñại và cực tiểu thì m

Đồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị là: (0; 4m
3
, B(2m; 0


ABmm
3
(2;4)
=−
Trung ñiểm của ñoạ
B à I(m; 2m
3
A, B ñối xứng nhau qua ñường thẳng d: y = x


ABd
Id







mm
mm
3
3
240
2


−=

=




m
2
2



C
Cho h số yxmxm
32
331
=−+−−
.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) Với gi trị n của m th ị ố c ể cực ñạ ñ ể cực ể ớ
a a ñườ g ẳ g d
xy
40
+−=
.



yxmx
2
36

=−+ ;
yxxm
002

=⇔=∨= .
Hàm số có CĐ, CT

PT y
0

=
có 2 nghiệm phân biệt


m
0

.
Khi ñó 2 ñiểm cực trị là: AmBmmm
3
(0;31),(2;431)
−−−−



ABmm
3
(2;4)

Trung ñiểm
củ có toạ ñộ: Immm
3
(;231)
−−

Đường thẳng d:
xy
40
+−=
có một VTCP u
( ;1)
=−
.
A và B ñối xứng với nhau qua d


Id
ABd







mmm
ABu
3
(231) 40
.0


+−−−=

=





m
2
=

Câu hỏi tương tự
:
a
yxxmxmdyx
322
15
3
22
=−++=−
. ĐS:
m
0
=
.

C
Cho h số
yxxmx
32
3=−+ (1).
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 13

1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 0.
2) Với gi trị n của m th ị ố (1) c ể cực ñạ ñ ể cực ể g
ớ a a ñườ g ẳ g d
xy
250
−−=
.


Ta có
yxxmxyxxm
322
3'36
=−+⇒=−+

Hàm số có cực
i, cực ti u

y
0

=
có hai nghi m phân biệt mm
9303


⇔=−>⇔<

Ta có:
yxymxm
1121
2
3333


=−+−+





ñường thẳng

ñi a các ñiểm cực trị có phương trình
ymxm
21
2
33

=−+



nên

có hệ số góc km
1
2
2
3
=−
.
d:
xy
250
−−=
yx
15
22
⇔=−


d có hệ số góc k
2
1
2
=

Để hai ñiểm cực trị ñối xứng qua d thì ta phải có d





kkmm
12
12
1210
23

=−⇔−=−⇔=



Với m
thì ñồ thị có hai ñiểm cực trị là ( ; và (2; –4 , nên trung ñiểm của chúng là
I(1; –2
. Ta thấy I

d, do ñó hai ñiểm cực trị ñối xứng với nhau qua d.
Vậy: m = 0

Cho h số yxmxxm
32
3(1)92
=−+++−
(1) c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) Với gi trị n của m th ị ố c ể cực ñạ ñ ể cực ể ớ
a a ñườ g ẳ g d
yx
1
2
= .


yxmx
2
'36(1)9
=−++

Hàm số có CĐ, CT

m
2
'9(1)3.90

=+−>
m
(;13)(13;)
⇔∈−∞−− −++∞

Ta có
m
yxymmxm
2
11
2(22)41
33

+

=−−+−++



Giả sử các ñiểm cực ñại và cực tiểu là
AxyBxy
1122
(;),(;)
, I là trung ñiểm của AB.
ymmxm
2
11
2(22)41
⇒=−+−++
; ymmxm
2
22
2(22)41
=−+−++

và:
xxm
xx
12
12
2(1)
.3

+=+

=


Vậy ñường thẳng ñi
i ñiểm cực ñại và cực tiểu là ymmxm
2
2(22)41
=−+−++

A, B ñối xứng qua (d
yx
1
2
=


ABd
Id







m
1
=
.

C
Cho h số
yxmxxm
32
3(1)9
=−++−
, với
m
l tham số th c.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số cho ng với
m
1
=
.
2) ñị
m
ñể ố c ñạ cực ị ạ
xx
12
,
a c xx
12
2
−≤
.


Ta có yxmx
2
'36(1)9.
=−++

+ Hàm số ñạt cực ñại, cực tiểu tại
xx
12
,


PT
y
'0
=
có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,



PT xmx
2
2(1)30
−++=
có hai nghiệm phân biệt là
xx
12
,
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 14


m
m
m
2
13
'(1)30
13


>−+
⇔=+−>⇔

<−−


(1)

+ Th
o ñịnh Vi t ta có xxmxx
1212
2(1);3.
+=+=
Khi ñó:

xxxxxxm
22
121212
24441124
−≤⇔+−≤⇔+−≤
mm
2
(1)431
⇔+≤⇔−≤≤
(2
+ Từ (1 và (2 suy ra giá trị của m cần tìm là m
313
−≤<−− và m
131.
−+<≤


Cho h số yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+−+−++
, với
m
l tham số th c.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số cho ng với
m
1
=
.
2) ñị
m
ñể ố c ñạ cực ị ạ
xx
12
,
a c xx
12
1
3
−>
.


Ta có:
yxmxm
2
'3(1222
)()
=−+−
+
Hàm số có CĐ, CT
y
'0
⇔=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
(giả sử
xx
12
<

m
mmmm
m
22
5
'(12)3(2)450
4
1


>

⇔=−−−=−−>⇔

<−

(
Hàm số ñạt cực trị tại các ñiểm
xx
12
,
. Khi ñó ta có:
mm
xxxx
1212
(12)2
;
3
2
3
−−
+=−=
xxxx xxxx
2
12 122 21
2
1
1
3
1
4
9
⇔=+−−
>
−>

mmmmmm
22
329329
4(12)4(2)1161250
+−
⇔−−−>⇔−−>⇔>∨<

Kết hợp (
, ta suy ra
mm
329
1
+
>∨<−


C
Cho h số
yxmxmx
32
1
1
3
=−+−
, với
m
l tham số th c.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số cho ng với
m
1
=
.
2) ñị
m
ñể ố c ñạ cực ị ạ
xx
12
,
a c xx
12
−≥
.


Ta có:
yxmxm
2
'2
=−+
.
Hàm số có CĐ, CT
y
'0
⇔=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
(giả sử
xx
12
<


mm
2
0


=−>



m
m
0
1

<

>

(
. Khi ñó:
xxmxxm
1212
2,
+==
.

xx
12
−≥


xx
2
12
()64
−≥

mm
2
160
−−≥



m
m
165
2
165
2





+




(thoả (

C
Cho h số yxmxmx
32
11
(1)3(2)
33
=−−+−+
, với
m
l tham số th c.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số cho ng với
m
2
=
.
2) ñị
m
ñể ố c ñạ cực ị ạ
xx
12
,
a c xx
12
21
+=
.


Ta có: yxmxm
2
2(1)3(2)

=−−+−

Hàm số có cực ñại và cực tiểu

y
0

=
có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,




2
m5m 7
00


>⇔−+>
(luôn ñúng với

m
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 15

Khi ñó ta có:
xxm
xxm
12
12
2(1)
3(2)

+=−

=−




xm
xxm
2
22
32
123(2)

=−


−=−




mmm
2
434
1690
4
−±
⇔+−=⇔=
.

âu 14. Cho h số
yxmxx
32
43
=+−
.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 0.
2) T m ñể ố c a ể cực ị
xx
12
,
ỏa
xx
12
4
=− .


yxmx
2
1223

=+−
. Ta có:
mm
2
360,


=+>∀


hàm số luôn có 2 cực trị
xx
12
,
.
Khi ñó:
m
xxxxxx
121212
1
4;;
64

=−+=−=−



m
9
2
⇒=±

Câu h
i tương tự:
a
yxxmx
32
31
=+++
;
12
x 2x3
+=
ĐS:
m15
0
=−
.

Câu 15. Cho h số yxaxax
32
1
34
3
=−−+
(1) (a l tham số).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi a = 1.
2) T a ñể ố (1) ñạt cực trị tại
x
1
,
x
2
ph n biệt v thoả m n ñi u kiện:

xaxa
a
axaxa
2
2
12
22
21
29
2
29
++
+=
++
(2)



yxaxa
2
23

=−−
. Hàm số có CĐ, CT


y
0

=
có 2 nghiệm phân biệt
x x
12
,

aa
2
4120

⇔=+>



a
a
3
0

<−

>

(
. Khi ñó
xxa
12
2
+=,
xxa
12
3
=−
.
Ta có:
xaxaaxxaaa
22
1212
292124120
++=++=+>

Tương tự: xaxaaa
22
21
294120
++=+>

Do ñó: (2


aaa
aaa
22
22
412
2
412
+
+=
+

aa
a
2
2
412
1
+
⇔=
aa
340
⇔+=

a
4
⇔=−


Câu 16. Cho h số
yxmxmx
322
29121
=+++
(m l tham số).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị (C) của h số khi m = –1.
2) T g ị của m ñể ố c c ñạ ạ x

, cực tiểu tại x
CT
thỏa m n:
CÑCT
xx
2
= .


Ta có:
yxmxmxmxm
2222
61 126(32)

=++=++
Hàm số có CĐ và CT

y
0

=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,




m
2



m
0


Khi ñó:
xmmxmm
12
11
3,3
22
=−−=−+ .
Dựa vào bảng xét dấu y

, suy ra
CÑCT
xxxx
12
,
==

Do ñó:
CÑCT
xx
2
=


mmmm
2
33
22

−−−+
=





m
2
=−
.


Câu 17. Cho h
số ymxxmx
32
(2)35
=+++−
, m l tham số.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị (C) của h số khi m = 0.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 16

2) T g ị của m ñể c c ñ ể cực ñạ cực ể của ị ố c c
ố d g.


Các ñi m c c i, cự c ti u của ñồ thị hàm số ñã cho có hoành ñộ là các số dương


PT
ymxxm =
2
'3(2)60
=+++ có 2 nghiệm dương phân biệt

am
mm
mmm
m
mmm
P
m
mm
S
m
2
(2)0
'93(2)0
'23031
0032
0
3(2)
202
3
0
2



=+≠

=−+>


=−−+>−<<


⇔⇔<⇔<⇔−<<−
=>

+

+<<−




=>

+



âu 18. Cho h số
yxmxmx
322
11
(3)
32
=−+− (1), m l tham số.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị (C) của h số khi m = 0.
2) T c c g ị của m ñể ố (1) c c c iểm cực trị
xx
12
,
với xx
12
0,0
>>
v
xx
22
12
5
2
+=
.


yxmxm
22
3

=−+−
; yxmxm
22
030

=⇔−+−=
(2
YCBT


P
S
xx
22
12
0
0
0
5
2


>

>

>


+=





m
m
m
32
14
14
2
2

<<

⇔=




.

Câu 19. Cho h
số yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+−+−++
(m l tham số) (1).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị h số (1) khi m = 2.
2) T g ị của m ñể ị ố (1) c ể cực ñạ ñ ể cực ể g ờ
ñộ của ñ ể cực ể ỏ ơn 1.



yxmxmgx
2
32(12)2()

=+−+−=
YCBT

phương trình y
0

=
có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,
thỏa mãn: xx
12
1
<<
.



mm
gm
Sm
2
450
(1)5
21
1
23



=−−>


=−+>



=<




m
45
<<
.

Câu 20. Cho h
số
m
yxmxmx
32
(2)(1)2
3
=+−+−+
(Cm).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) T m ñể ố c c ñạ ạ x ực ể ạ x ỏa xx
12
1
<<
.
• Ta có: ymxmxm
2
2(2)1

=+−+−
;
y
0

=⇔
mxmxm
2
2(2)10
+−+−=
(1)
Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn xx
12
1
<<
khi m và (1 có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1
Đặt
tx
1
=−



xt
1
=+
, thay vào (1 ta ñược:
mtmtm
2
(1)2(2)(1)10
++−++−=
mtmtm
2
4(1)450
⇔+−+−=

(1
có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1

(2 có 2 nghiệm âm phân biệt
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 17


m
P
S
0
0
0
0


>



>


>

<


m
54
43
⇔<<
.
âu 21. Cho h số
32
(12)(2)2
yxmxmxm
=+−+−++
(Cm).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) T m ñể ố c ấ ñ ể cực ị c ñộ ộc ả g
(2;0)

.


Ta có:
yxmxm
2
32(12)2

=+−+−
;
y
0

=⇔
xmxm
2
32(12)20
+−+−=
(
Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc
(2;0)



( có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
và có ít nhất 1
nghiệm thuộc
(2;0)

xx
xx
xx
12
12
12
20(1)
20(2)
20(3)

−<<<

⇔−<<≤

≤−<<



Ta có:

mm
mm
m
xx
m
mm
xx
m
xx
2
2
12
12
12
450
'450
21
20
3
10
20
(1)1
(21)2
2
40
220
33
0
0
3
4
2


−−>
 
=−−>



−<<
+
 

−<<
⇔⇔⇔−<<−

−−
++>

++>


>



>




mm
mm
m
fm
m
m
xx
m
m
xx
2
2
12
12
450
'450
2
020
21
(2)2
2
220
3
421
2
220
40
33


−−>


=−−>



=−≤


⇔⇔⇔≥
>−

+++>




++>

++>




mm
mm
m
fm
m
m
xx
m
xx
2
2
12
12
450
'450
350
5
21060
21
(3)1
0
3
0
3
2
0
0
3


−−>


=−−>
+≥


−=+≤


⇔⇔⇔−≤<−

<
+<



>

>



Tóm lại các giá trị m cần tìm là:
m
5
;12;
3


∈−− +∞






Câu 22. Cho h
số yxx
32
32
=−+
(1)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1).
2) T ể ộc ñườ g ẳ g d
yx
32
=−
a ổ g ả c c ớ a ñ ể cực
ị ỏ ấ .


Các ñiểm cực trị là: (0; 2 , B(2; –2 .

t biểu thức
gxyxy
(,)32
=−−
ta có:

AAAABBBB
gxyxygxyxy
(,)3240;(,)3260
=−−=−<=−−=>



2 ñiểm cực ñại và cực tiểu nằm về hai phía của ñường thẳng d:
yx
32
=−
.
Do ñó MA + B nhỏ nhất

3 ñiểm , B thẳng hàng

M là giao ñiểm của d và AB.
Phương trình ñường thẳng AB:
yx
22
=−+

Tọa ñộ ñiểm
à nghiệm của hệ:
yx
xy
yx
42
32
;
22
55


=−
⇔==

=−+




M
42
;
55




VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 18

âu 23. Cho h số
yxmxmxmm
3223
33(1)
=−+−−+
(1)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi m = 1.
2) T m ñể ố (1) c c c trị ng thời khoảng c t iểm cực ñại của thị h số
n gốc tọa ñộ b ng
2
l n kho ng t i m c c ti u c a th h số n gốc tọa
ñộ .


Ta có yxmxm
22
363(1)

=−+−
. Hàm số (1 có cực trị

PT y
0

=
có 2 nghi m phân biệt
xmxm
22
210
⇔−+−=
có 2 nhiệm phân biệt
m
10,

⇔=>∀

Khi ñó: ñi
m cực i
Amm
(1;22)
−−
và ñi m cực ti u
Bmm
(1;22)
+−−

Ta có
m
OAOBmm
m
2
322
2610
322

=−+
=⇔++=⇔

=−−

.

Câu 24. Cho h
số yxxmx
32
32
=−−+
c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) T m ñể (C
m
) c ñ ể cực ñạ cực ể ñườ g ẳ g ñ a c c ñ ể cực ị
g ớ ñườ g ẳ g d
yx
43
=−+
.
• Ta có:
yxxm
2
'36
=−−
. Hàm số có CĐ, CT
y
'0
⇔=
có 2 nghi m phân biệ t
xx
12
,


mm
'9303

⇔=+>⇔>−
(
Gọi hai ñiểm cực trị là AxBx
yy
12
12
;;;

Thực hiện phép chia y cho y

ta ñược:
mm
yxyx
112
'22
3333

=−−++−






mmmm
yyxxyxxy
122112
22
22;22
3333

−++−−++==== −





ương trình ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị là :
mm
yx
2
22
33

=−++−




d:
yx
43
=−+

m
m
m
2
24
3
3
23
3


−+=−




⇔⇔=



−≠




(thỏa mãn (
Câu hỏi tương tự:
a
yxmxmx
32
1
(54)2
3
=−+−+
,
dxy
390
++=
ĐS:
mm
0;5
==
.

Câu 25. Cho h số yxmxx
32
=+++
c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 5.
2) T m ñể (C
m
) c ñ ể cực ñạ cực ể ñườ g ẳ g ñ a ñ ể cực ị
g g c ớ ñườ g ẳ g d
yx
=−
.
• Ta có: yxmx
2
'
2+
=+
. Hàm số có CĐ, CT


y
0

=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
.
mm
2
'21021

⇔=−>⇔> (
Gọi hai ñiểm cực trị là AxBx
yy
12
12
;;;

Thực hiện phép chia y cho y

ta ñược:
m
yxymx
2
11
'(21)3
3999

=++−+−






m
yyxmx
2
111
()(21)3
99

==−+−


;
m
yyxmx
2
222
()(21)3
99

==−+−



VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 19



Phương trình ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị là :
m
ymx
2
(21)3
99
=−+−

d:
yx
43
=−+


m
m
2
21
2
(21).31
9

>


−=−





m
310
2

.

âu 26. Cho h số yxxmx
32
32
=−−+
c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) T m ñể (C
m
) c c ñiểm cực ñại, cực tiểu v ñườ g ẳ g ñ a c c ñ ể cực ị ạ
ớ ñườ g ẳ g d
xy
450
+−=
ộ g c
0
45
=
α
.
• Ta có:
yxxm
2
'36
=−−
. Hàm số có CĐ, CT
y
'0
⇔=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
;


mm
'9303

⇔=+>⇔>−
(
Gọi hai ñiểm cực trị là AxBx
yy
12
12
;;;

Thực hiện phép chia y cho y

ta ñược:
mm
yxyx
112
'22
3333

=−−++−






mmmm
yyxxyxxy
122112
22
22;22
3333

−++−−++==== −





ương trình ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị là

:
mm
yx
2
22
33

=−++−



Đặt
m
k
2
2
3

=−+


. Đường thẳng d:
xy
450
+−=
có hệ số góc bằng
1
4

.
Ta có:
k
k
mkk
kkk
m
k
1
3
39
11
1
4
5
10
44
an45
115
1
1
1
1
443
2
4



+
=
=−
+=−
 

=⇔⇔⇔
 




+=−+=−
=−




 


Kết hợp ñiều kiện (
, suy ra giá trị m cần tìm là: m
1
2
=−
.
Câu hỏi tương tự
:
a
yxmxmmxmm
322
3(1)(232)(1)
=−−+−+−−
, dyx
1
4

=+
,
0
45
=
α
. ĐS:
m
315
2
±
=


Câu 27. Cho h
số yxx
32
32
=−+
(C).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị (C) của h số .
2) T m ñể ñườ g ẳ g ñ a a ñ ể cực ị của (C) tiếp x c với ñường tr (S) c
ươ g xmym
22
()(1)5
−+−−=
.


ương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị
xy
220
+−=
.
(S
có tâm
Imm
(,1)
+
và bán kính
5
.
tiếp xúc với (S


mm212
5
5
++−
=
m
315
⇔−=
mm
4
2;
3

⇔==.

Câu 28. Cho h
số
m
yxmxC
3
32()
=−+ .
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi
m
1
=
.
2) T m ñể ñườ g ẳ g ñ a ñ ể cực ñạ cực ể của
m
C
c g
I
(1;1)
b g a A, B a c c IAB g .
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 20



Ta có
yxm
2
'33
=−. Hàm số có CĐ, CT

PT
y
'0
=
có hai nghiệm phân biệt
m
0
⇔>

Vì yxymx
1
.22
3

=−+
nên ñường thẳng

ñi qua các ñiểm CĐ, CT của ñồ thị hàm số có
phương trình là:
ymx
22
=−+

Ta có
m
dIR
m
2
21
,1
41


=<=
+
(vì m




luôn cắt ñường tròn tâm I(1; 1 , bán kính R
1 tại 2 ñiểm A, B phân biệt.
Với
m
1
2

:

không ñi qua I, ta có:
ABI
SIAIBAIBR
2
111
in
222

=≤=

Nên
IAB
S

ñạt GTLN bằng
1
2
khi AIB
in1
=
hay AIB vuông cân tại I
R
IH
1
22
⇔==
m
m
m
2
21
123
2
2
41

±
⇔=⇔=
+
(H là trung ñiểm của AB)

âu 29. Cho h số
yxmxxm
32
692
=+++ (1), với m l tham số th c.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) T m ñể ị ố (1) c hai iểm cực trị sao cho khoảng t gốc toạ ñộ ñến
ñường thẳng ñi a hai ñiểm cực trị b ng
4
5
.


Ta có:
y

=
9123
2
++ mxx . Hàm số có 2 ñiểm cực trị

PT
y
0

=
có 2 nghiệm phân biệt

mm
2
3
'430
2

⇔=−>⇔>
hoặc
m
3
2

<
(*)
Khi ñó ta có:
xm
yymxm
2
2
.(6 )4
33


=++−−





ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) có PT là:
ymxm
2
(6 )4

=−−

m
dOmm
m
42
22
44
(,)641013
5
(6
)1


==⇔−+=
−+
m
mloaïi
1
()











m
1

.

Câu 30. Cho h
số yxxmxm
32
3(6)2
=−+−+−
(1), với m l tham số th c.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 2.
2) T m ñể ị ố (1) c hai iểm cực trị sao cho khoảng c c t iểm
A
(1;4)

ñến
ñường thẳng ñi a hai ñiểm cực trị b ng
12
265
.


Ta có: yxxm
2
366

=−+−
. Hàm số có 2 ñiểm cực trị

PT
y
0

=
có 2 nghiệm phân biệt


mm
2
33(6)09


=−−>⇔<
(*)
Ta có:
yxymxm
124
(1).64
333


=−+−+−





PT ñường thẳng qua 2 ñiểm cực trị : ymxm
24
64
33

=−+−






m
dA
mm
2
61 12
(,)
265
4 2333


==
−+



m
m
1
1053
249

=

=


(thoả (*))

VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 21

âu 31. Cho h số
yxxmx
32
31
=−++
(1), với m l tham số th c.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 0.
2) T m ñể ị ố (1) c hai iểm cực trị sao cho khoảng c c t iểm I
111
;
24




ñến ñường thẳng ñi a hai ñiểm cực trị l lớn nhất.


Ta có:
yxxm
2
36

=−+
. Hàm số có 2 ñi m cực trị

PT
y
0

=
có 2 nghiệm phân biệt



m
03


>⇔<
.
Ta có:
xmm
yyx
12
21
3333


=−+−++





T ñường thẳ hai ñiểm cực trị à:
mm
yx
2
21
33


=−++


.
Dễ dàng tìm ñược ñiểm cố ñịnh của
là A
1
;2
2




. AI
3
1;
4

=


.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên
.
Ta có
dIIHIA
(,)

=≤
. Dấu xảy ra


IA




m
m
23
12.01
34

+−=⇔=


.
Vậy
dI
5
max((,))
4

=
khi
m
1
=
.

Câu 32. Cho h
số
m
yxmxmmxmmC
3232
3(1)3(2)3()
=++++++ .
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 0.
2) Ch ng minh r ng v i m i m, thị (Cm) l c ñ ể cực ị ả g ữa
ñ ể cực ị g ñổ .


Ta có: yxmxmm
2
36(1)6(2)

=++++
;
xm
y
xm
2
0

=−−

=⇔

=−

.
Đồ thị (Cm
có ñiểm cực ñại
Am
(2;4)
−−
và ñiểm cực tiểu
Bm
(;0)



AB
25
= .

Câu 33. Cho h số
yxmxmxm
223
23(1)6=−+++.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) T m ñể ị ố c a ể cực ị A, B sao cho AB
2
= .


Ta có:
yxxm
6(1)()

=−−
. Hàm số có CĐ, CT


y
0

=
có 2 nghiệm phân biệt


m
1

.
Khi ñó các ñiểm cực trị là
AmmBmm
32
(1;31),(;3)
+− .

AB
2
=

mmmm
223
(1)(331)2
−+−−+=


mm
0;2
==
(thoả ñiều kiện .

Câu 34. Cho h số yxmxmxmm
3223
33(1)41
=−+−−+−
(1)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi
m
1
=−
.
2) T m ñể ị của ố (1) c a ể cực ị A B a c AB g ạ .


Ta có: yxmxm
22
363(1)

=−+−
;
xmym
y
xmym
13
0
11

=+⇒=−

=⇔

=−⇒=+





Amm
(1;3)
+−
,
Bmm
(1;1)
−+


OAmm
(1;3)
=+−
, OBmm
(1;1)
=−+
.

vuông tại O

OAOB
.0
=



m
mm
m
2
1
2240
2

=−
−−=⇔

=

.


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 22

âu 35. Cho h số
yxmxmxm
223
23(1)6=−+++ (1)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi
m
1
=
.
2) T m ñể ị của ố (1) c hai iểm cực trị A, B sao cho tam gi ABC g ạ
C, với
C
(4;0)
.


Ta có:
yxxm
6(1)()

=−−
. Hàm số có CĐ, CT


y
0

=
có 2 nghiệm phân biệt


m
1

.
Khi ñó các ñiểm cực trị là
AmmBmm
32
(1;31),(;3)
+− .
ABC vuông tại C

ACBC
.0
=


mmmmmm
222
(1)(1)3540

+−++−+=





m
1
=−


Câu 36. Cho h
số
yxxm
32
3
=++
(1)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi
m
4
=−
.
2) ñị m ñể ị của ố (1) c a ể cực ị A B a c AOB
0
120
= .


Ta có:
yxx
2
36

=+;
xym
y
x ym
24
0
0

=−⇒=+

=⇔

=⇒=


Vậy hàm số có hai ñiểm cực trị A(
; m và B(

2 ; m + 4
OAm OBm
(0;),(2;4)
==−+
. Để AOB
0
120
= thì AOB
1
os
2
=−


m
mm
mmmm
mm
mm
22
2
22
40
(4)1
4(4)2(4)
2
324440
4(4)

−<<
+
⇔=−⇔++=−+⇔

++=

++


m
m
m
40
1223
1223
3
3

−<<
−+

⇔⇔=

−±
=




Câu 37. Cho h
số yxxmm
322
31
=−+−+
(1)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi m = 1.
2) T m ñể ị ố (1) c hai iểm cực ñại, cực tiểu l A v B sao cho diện c a
g c ABC b ng 7, v i i m C(–2; ).


Ta có
yxx
2
'36
=−
; yxxxx
2
'03600;2
=⇔−=⇔==


Hàm số luôn có CĐ, CT.
Các ñiểm CĐ, CT của ñồ thị là: Amm
2
(0;1)
−+
, Bmm
2
(2;3)
−−
, AB
22
2(4)25
=+−=
ương trình ñường thẳng AB:
xymm
2
01
24
−−+−
=



xymm
2
210
+−+−=


ABC
mm
SdCABABmm
2
2
111
(,) 2517
22
5

−+
===−+=

m
m
3
2

=


=−

.
Câu hỏi tương tự
:
a yxmxCS
3
32,(1;1),18
=−+=. ĐS:
m
2
=
.

Câu 38. Cho h số yxmxmxm
32
3(1)1234
=−++−+
(C)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số m = 0.
2) T m ñể ố c a c c ị B a c a ñ ể c g ớ ñ ể
C
9
1;
2

−−


ậ a g ậ gốc ọa ñộ ọ g .
• Ta có
yxmxm
2
'33(1)12
=−++ . Hàm số có hai cực trị


y
0

=
có hai nghiệm phân biệt

mm
2
(1)01
∆=−>⇔≠
( . Khi ñó hai cực trị là AmBmmmm
32
(2;9),(2;41234)
−+−+
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 23

ABC nhận O làm trọng tâm


m
m
mmm
32
2210
1
9
412640
2
2

+−=

⇔=−

−+++−=


(thoả (
.
âu 39. Cho h số
yfxxmxm
32
()23(3)113
==+−+− (
m
C
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 2.
2) m ñể
m
C
()
c a ñ ể cực ị
MM
12
,
a c ñ ể
MM
12
,
B(0; –1) thẳng
h .
• yxm
2
66(3)

=+−
.
y
0

=



x
xm
0
3

=

=−

. Hàm số có 2 cực trị


m
3

( .
Chia
fx
()
cho
fx
()

ta ñược:
m
fxfxxmxm
13
2
()()(3)113
36



=+−−+−





phương trình ñường thẳng M
1
M
2
là:
ymxm
2
(3)113
=−−+−

MMB
12
,,
thẳng hàng


BMM
12



m
4
=
(thoả ( .

Câu 40. Cho h số
m
yxmxmxC
322
1
(1)1()
3
=−+−+ .
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi
m
2
=
.
2) T m ñể ố c c ñạ ực ể
CÑCT
yy
2
+>
.


Ta có: yxmxm
22
21

=−+−
.
xm
y
xm
1
0
1

=+

=⇔

=−

.

CÑCT
yy
2
+>



m
mm
m
3
10
2222
1

−<<
−+>⇔

>

.

Câu 41. Cho h
số yxmxm
323
14
(1)(1)
33
=−+++
(1) (m l tham số th c).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) T m ñể c ñ ể cực ñạ cực ể của ị (1) n m v 2 ph (ph trong v ph a
ngo c a ường tr c phương tr nh (C): xyx
22
430
+−+=
.



yxmx
2
2(1)

=−+.
x
y
xm
0
0
2(1)

=

=⇔

=+

. Hàm số có cực trị


m
1
≠−
(1
Gọi hai ñiểm cực trị của ñồ thị là:
Am
3
4
0;(1)
3

+


,
Bm
(2(1);0)
+
.
(C có tâm I(2; , bán kính R 1. IAm
6
16
4(1)
9
=++,
IBm
2
4= .
A, B nằm về hai phía của (C


IARIBR
2222
()()0
−−<


mm
2
11
410
22
−<⇔−<<
(2
Kết hợp (1 , (2 , ta suy ra: m
11
22
−<<
.

Câu 42. Cho h
số
yxmxmxm
3223
33(1)
=−+−−
(C
m
)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi
m
2
=−
.
2) Ch ng minh r ng (C
m
) l c c c c c ạ
ñườ g ẳ g cố ñịnh.


yxmxm
22
363(1)

=−+−
;
xm
y
xm
1
0
1

=+

=⇔

=−


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 24

Đi m cực i
Mmm
(1;23)
−−
ch y trên ñường thẳng cố ñịnh:
xt
yt
1
23

=−+

=−


Điểm cực tiểu
Nmm
(1;2)
+−−
chạy trên ñường thẳng cố ñịnh:
xt
yt
1
23

=+

=−−



âu 43. Cho h số
m
yxmxxmC
32
1
1()
3
=−−++ .
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) T m ñể ị (Cm) c ñ ể cực ị ả g c ữa ñ ể cực ị ỏ ấ .


Ta có:
yxmx
2
21

=−−
;
y
0

=

mm
2
10,


=+>∀


hàm số luôn có hai ñiểm cực trị
xx
12
,
. Giả sử các ñiểm cực trị của (Cm là
AxyBxy
1122
(;),(;)
.
Ta có:
yxmymxm
2
122
().(1)1
333

=−−+++



ymxm
2
11
22
(1)1
33
=−+++
; ymxm
2
22
22
(1)1
33
=−+++

Do ñó:
ABxxyymm
222222
2121
44
()()(44)1(1)41
99

=−+−=+++≥+






AB
213
3

. Dấu
= xảy ra


m
0
=
. Vậy
AB
213
min
3
=
khi
m
0
=
.

Câu 44. Cho h số yxxmx
32
32(1)
=−−+ .
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi m = 0.
2) T m ñể ố (1) c 2 c c trị v ñườ g ẳ g ñ a ñ ể cực ị của ị ố
ạ ớ a ục ạ ñộ ộ a g n.



yxxm
2
36

=−−
. Hàm số có 2 cực trị


y
0

=
có 2 nghiệm phân biệt


m
3
>−
.
Ta có:
mm
yxyx
12
(1).22
333


=−+−−+−




Đường thẳng ñi 2 ñiểm cực trị của ñồ
thị có phương trình:
mm
yx
2
22
33

=−−+−


.

cắt x, y tại
m
A
m
6
;0
2(3)



+

,
m
B
6
0;
3




(m 0 .
Tam giác OAB cân

OA OB


mm
m
66
2(3)3
−−
=
+


mmm
93
6;;
22
==−=−
.
Đối chiếu ñiều kiện ta có
m
3
2
=−
.

Câu 45. Cho h
số : y =
xmxmmx
322
1
(1)1
3
−+−++
(1).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi m = 1.
2) T m ñể ố c c ị g ả g
(;1)
−∞
.


Tập xác ñịnh D R. yxmxmm
22
21

=−+−+
.
Đặt
txxt
11
=−⇒=+
ta ñược : ygttmtmm
22
'()2132
==+−+−+

Hàm số(1
có cực trị trong khoảng
(;1)
−∞
fx
()0
⇔=
có nghiệm trong khoảng
(;1)
−∞
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×