Tải bản đầy đủ

góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học toán

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Trước những biến đổi to lớn của thế giới trong thời đại ngày nay, đòi
hỏi nhà trường phải đào tạo ra những con người có năng lực giải quyết vấn đề
trong học tập và trong thực tiễn cuộc sống. Hình thành và bồi dưỡng năng lực giải
quyết vấn đề sẽ trở thành yêu cầu cấp bách của tất cả các quốc gia, các tổ chức
giáo dục và các doanh nghiệp.
Trong đổi mới giáo dục, ở hầu khắp các nước trên thế giới, người ta rất
quan tâm đến bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua các
môn học, thể hiện đặc biệt rõ nét ở trong quan điểm trình bày kiến thức và
phương pháp dạy học thông qua chương trình, sách giáo khoa.
Raja Roy Singh trong cuốn “Nền giáo dục cho thế kỉ XXI - Những triển
vọng của Châu Á - Thái Bình Dương” đã khẳng định: “Để đáp ứng được những
đòi hỏi mới được đặt ra do sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo ra kiến thức mới, cần
thiết phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo Các
năng lực này có thể quy gọn là “năng lực giải quyết vấn đề””.
Hội nghị giữa Hội đồng giáo dục Australia và các Bộ trưởng Bộ Giáo dục -
Đào tạo - Việc làm các bang của Australia (9/1992) đã đưa ra kiến nghị coi phát
hiện và giải quyết vấn đề là một trong bảy năng lực then chốt (Key
competencies).
Ở Việt Nam, các Nghị quyết Hội nghị lần thứ tư khoá VII (1993), lần thứ

hai khoá VIII (1997) của Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam và
Luật Giáo dục (1998) đã chỉ rõ: “Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục
hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải
quyết vấn đề một cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập
ở nhà trường phổ thông. Áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi
dưỡng năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”. Năng lực đầu tiên
trong bốn năng lực cơ bản mà “mẫu người” tương lai cần có chính là “năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề nảy sinh trong cuộc sống, khoa học công nghệ, ”.
1
Thái Duy Tuyên khi bàn về mục tiêu và phương pháp bồi dưỡng con người Việt
Nam trong điều kiện mới đã chỉ ra: “Giáo dục không chỉ đào tạo con người có
năng lực tuân thủ, mà chủ yếu là những con người có năng lực sáng tạo, , biết
cách đặt vấn đề, nghiên cứu và giải quyết vấn đề ”. Các dự án phát triển Giáo
dục tiểu học, Trung học cơ sở và Trung học phổ thông ở nước ta hiện nay đang
thực hiện đổi mới Giáo dục theo định hướng trên.
1.2. Ở trường phổ thông, có thể xem học Toán là học phát hiện và giải
quyết các vấn đề Toán học (tìm tòi ở mức độ học tập các tri thức Toán học theo
con đường tìm tòi suy lí và khái quát hóa) và dạy Toán là dạy hoạt động Toán
học. Hơn nữa, môn Toán là môn học có tính khái quát cao, mang đặc thù riêng
của khoa học Toán học nên chứa đựng nhiều tiềm năng để bồi dưỡng năng lực
giải quyết vấn đề.
Mặt khác trong dạy học Toán, mà cụ thể là: dạy học khái niệm, dạy học
định lí, và dạy học giải bài tập Toán, mỗi cái có một vai trò quan trọng riêng, một
ý nghĩa nhất định trong việc góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề, phát
triển trí tuệ cho học sinh.
1.3. Đã có một số tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển một số loại năng
lực cụ thể trong dạy học môn Toán. Về năng lực học Toán học nói chung có A.N.
Kôlmôgôrôv, V.A. Cruchetxki; ở trung học cơ sở về năng lực tư duy sáng tạo có
Tôn Thân; về năng lực Toán học trong lĩnh vực số học có Trần Đình Châu; về
năng lực sáng tạo trong lĩnh vực hình học có Trần Luận; ở trung học phổ thông về
năng lực giải Toán có Lê Thống Nhất; Nguyễn Thị Hương Trang; Các nghiên
cứu này đã tạo nên bức tranh nhiều màu sắc về năng lực nói chung và năng lực
Toán học nói riêng. Tuy nhiên căn cứ vào thực trạng dạy học Toán ở trung học
phổ thông hiện nay, có thể nói vấn đề bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề chưa
được quan tâm và phát triển một cách đầy đủ. Cụ thể chưa có công trình nào
nghiên cứu về vấn đề bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong
dạy học Toán.
2
1.4. Chủ đề “dạy học Toán ở trường trung học phổ thông” được chúng tôi
chọn làm minh họa cho đề tài vì lí do sau đây:
Trong đổi mới nội dung, đổi mới chương trình đang thực hiện ở nhà trường
phổ thông, có rất nhiều vấn đề phát sinh, những đòi hỏi mới trong những hoàn
cảnh mới. Những nội dung kiến thức, bài tập của hôm nay, ngày mai sẽ có thể
không phù hợp nữa. Hơn nữa, xét thực trạng dạy học ở trường trung học phổ
thông hiện nay, các nhà Toán học Hoàng Tụy và Nguyễn Cảnh Toàn viết: “
Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêu của giáo dục. Thế
nhưng, hiện nay trong nhà trường, tư duy, tính cách bị chìm đi trong kiến thức ”,
“ Ta còn chuộng cách nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài
toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy cho việc phát triển trí tuệ mà còn
làm cho học sinh xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản ”. Khối lượng kiến thức thì
phong phú, nội dung, chương trình liên tục thay đổi, làm sao có thể nhồi nhét hết
vào trong đầu học sinh đang ở tuổi có nhiều mối quan tâm khác! Do đó, thay vì
việc dạy nhồi nhét, luyện nhớ, chúng ta hãy góp phần phát triển cho học sinh cách
phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy cho họ cách học. Mà dạy học Toán vừa tạo ra
cơ hội thuận lợi, vừa đòi hỏi phát triển những biện pháp sư phạm thích hợp để
hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
Những cơ sở lý luận và thực tiễn nói trên đã đặt ra yêu cầu và tạo điều kiện
cho việc nghiên cứu năng lực giải quyết vấn đề trên bình diện đề xuất các biện
pháp sư phạm để bồi dưỡng các năng lực này trong dạy học Toán ở trung học phổ
thông, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung học phổ
thông nói riêng, qua đó phát triển khả năng giải quyết vấn đề nói chung. Vì tất cả
các lí do trên chúng tôi đã chọn vấn đề “Góp phần phát triển năng lực giải quyết
vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Toán" làm đề tài
nghiên cứu.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Hệ thống hoá và thống nhất một số vấn đề lí luận và thực tiễn về năng lực
giải quyết vấn đề trong dạy học Toán ở THPT; từ đó xây dựng các BPSP nhằm
3
bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Toán ở trung
học phổ thông.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu xác định được một số thành tố của NLGQVĐ và xây dựng được các
BPSP phù hợp thì có thể góp phần phát triển năng lực này cho HS trong dạy học
Toán ở trường THPT.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
4.1. Nghiên cứu lí luận:
- Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà nước, các chủ trương và chính
sách của Bộ Giáo dục và Đào tạo có liên quan đến nhiệm vụ dạy học Toán ở
trường THPT.
- Nghiên cứu các tài liệu triết học, tâm lí học, giáo dục học và lí luận DH
bộ môn Toán có liên quan đến đề tài.
- Phân tích chương trình, SGK, sách bài tập, sách giáo viên, sách tham
khảo hiện hành ở trường THPT, và các sách trong chương trình trước hiện hành ở
nước ta.
4.2. Quan sát
Dự giờ quan sát biểu hiện GV và HS (về nhận thức, thái độ, hành vi) trong
hoạt động dạy và học Toán (trước và trong khi thực nghiệm).
4.3. Điều tra thực tiễn và xin ý kiến chuyên gia:
- Phỏng vấn, sử dụng phiếu điều tra GV và HS về:
+ Thực trạng tình hình DHT ở trường THPT;
+ Thực trạng vấn đề bồi dưỡng NLGQVĐ cho học sinh thông qua DH
Toán ở trường PTTH (nhận thức của GV, kết quả).
- Tổ chức xin ý kiến chuyên gia giáo dục về vấn đề nghiên cứu.
4.4. Thực nghiệm sư phạm:
Tổ chức nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề
tài.
4
5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài:
Hệ thống hoá, làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn, phương
pháp luận có liên quan đến NLGQVĐ trong dạy học Toán.
5.2. Đề xuất các BPSP bồi dưỡng NLGQVĐ cho HS trong DH Toán ở
THPT. Trên cơ sở đó, xác định một số qui tắc tựa thuật giải thích hợp, hướng dẫn
vận dụng các BPSP trong quá trình dạy học Toán.
5.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm xem xét tính khả thi của phương án đề
xuất; tìm hiểu khả năng triển khai trong thực tiễn.
6. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI
6.1. Về mặt lí luận: Góp phần làm rõ các thành tố của NLGQVĐ của HS
trong dạy học Toán.
6.2. Về mặt thực tiễn: Xây dựng hệ thống các BPSP bồi dưỡng cho HS
NLGQVĐ trong dạy học Toán.
7. NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯA RA BẢO VỆ
7.1. Một số thành tố của NLGQVĐ (đây là các thành tố thực sự cần thiết và
có thể bồi dưỡng cho HS trong dạy học Toán ở trường THPT).
7.2. Hệ thống các BPSP đã đề xuất là thiết thực và có tính khả thi để bồi
dưỡng NLGQVĐ cho học sinh THPT trong DH Toán.
7.3. Một số qui tắc tựa thuật giải cùng với việc sử dụng các BPSP mà luận
văn đã đề xuất là cách thức cụ thể để góp phần phát triển NLGQVĐ cho HS.
8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung chính
của luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Quá trình nhận thức.
1.2. Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học.
1.3. Vấn đề phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy
học Toán.
5
1.4. Các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề của học sinh
trong dạy học Toán ở THPT.
1.5. Các biểu hiện và cấp độ của năng lực giải quyết vấn đề.
Chương 2: Các biện pháp sư phạm góp phần phát triển năng giải
quyết vấn đề cho học sinh THPT trong dạy học Toán
2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp.
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực giải
quyết vấn đề cho học sinh trong học Toán.
2.3. Kết luận.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận.
6
Chương I
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quá trình nhận thức
Trong dạy học nói chung, dạy học Toán nói riêng cần chú ý đến cơ chế
cũng như những điều kiện ảnh hưởng đến sự phát triển của nhận thức của người
học, bởi điều đó có vai trò quyết định đến khả năng lĩnh hội tri thức- tạo tiền đề
cho việc phát triển trí tuệ, phát triển NLGQVĐ của họ.
Người ta có thể xem xét khoa học các đối tượng nghiên cứu tâm lí học theo
nhiều góc độ khác nhau. Và đối với sự phát triển của nhận thức cũng không nằm
ngoài qui luật đó.
Các nghiên cứu cho thấy có thể chia quá trình nhận thức thành hai cấp độ:
nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính.
Nhận thức cảm tính (cảm giác, tri giác, …) có vai trò quan trọng trong đời
sống tâm lí của con người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn.
Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra VĐ mà bằng nhận thức cảm tính, con
người không thể nhận thức và giải quyết được. Muốn nhận thức và giải quyết
được những vấn đề như vậy, con người phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó
là nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy).
Trong tâm lí học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đã
được trình bày trong các công trình của X. L. Rubinstein. Những công trình này
đã thúc đẩy mạnh mẽ việc giải quyết hàng loạt các vấn đề cơ bản liên quan đến
nghiên cứu hình thức hoạt động tâm lí phức tạp. Theo cách hiểu của X. L.
Rubinstein: “Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể
với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác
động của khách thể” [21, tr. 264].
7
Có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy là quá
trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính
qui luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan” [24, tr. 117], hoặc:
“Tư duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi
và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách hay từng phần hay khái
quát thực thế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt
động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” [80].
Tư duy con người mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ.
Trong quá trình phát triển, tư duy con người không dừng lại ở trình độ thao tác
bằng chân tay, bằng hình tượng mà con người còn đạt tới trình độ tư duy bằng
ngôn ngữ, tư duy trừu tượng, tư duy khái quát - hình thức tư duy đặc biệt của con
người [24, tr. 119]. Trong quá trình tư duy, con người sử dụng phương tiện ngôn
ngữ - sản phẩm có tính xã hội cao, để nhận thức tình huống có vấn đề, để từ đó
tiến hành các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái
quát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy lí, những qui luật - những
sản phẩm khái quát của tư duy.
Tư duy có đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy có
những đặc điểm cơ bản sau [24, tr. 119-125]:
*) Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề;
*) Tư duy có tính khái quát;
*) Tư duy có tính gián tiếp;
*) Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy và
ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhưng cũng không
đồng nhất với nhau. Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện ở khâu biểu
đạt kết quả của quá trình tư duy.
*) Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt
đầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có tính khái quát và tính trừu tượng đến đâu
thì nội dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri
giác, hình tượng trực quan, ). X. L. Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm
8
tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho
tư duy” [24, tr. 122].
*) Tư duy là một quá trình: tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tư
duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn
kế tiếp nhau đươc minh hoạ bởi sơ đồ Hình 1.1 (do K. K. Plantônôv đưa ra):
Hình 1.1 (Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận
[80])
*) Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: quá trình tư duy được diễn ra
bằng cách hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham
gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích,
tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,
Có thể tìm thấy sự đầy đủ, sâu sắc hơn ở nghiên cứu về tư duy trong luận
án tiến sĩ của Nguyễn Văn Thuận [80] và các tài liệu chuyên khảo khác. Cái cốt
lõi là chúng ta phải thấy được tác dụng của tư duy trong đời sống xã hội, bởi con
Xuất hiện các liên tưởng
Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết
Chính xác hoá Phủ địnhKhẳng định
Kiểm tra giả thuyết
Nhận thức vấn đề
Giải quyết vấn đề
Hoạt động tư duy mới
9
người dựa vào tư duy để “nhận thức những qui luật khách quan của tự nhiên, xã
hội và lợi dụng những qui luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình” [80].
1.2. Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học
Theo phân tích trên thì chúng ta cần có những quan tâm đúng mực đến sự
phát sinh và cơ chế của quá trình nhận thức để áp dụng vào dạy học có hiểu quả.
Bởi đó là điều kiện tiên quyết để GQVĐ được tốt hơn, góp phần phát triển năng
lực GQVĐ của người học nói chung, và trong dạy học Toán nói riêng.
1.2.1. Năng lực và năng lực toán học
1.2.1.1. Năng lực, kĩ năng, kĩ xảo và mối liên hệ
a) Năng lực
Ở phương Tây có nhiều quan điểm về NL: Theo quan điểm di truyền học,
trường phái A. Binet (1875-1911) và T. Simon cho rằng: NL phụ thuộc tuyệt đối
và tính chất bẩm sinh của di truyền gen. Theo quan điểm xã hội học, E.
Durkhiem (1858-1917) cho rằng: NL, nhân cách con người được quyết định bởi
xã hội (như một môi trường bất biến, tách rời khỏi điều kiện chính trị). Theo phái
tâm lí học hành vi, J. B. Watson (1870-1958) coi NL của con người là sự thích
nghi “sinh vật” với điều kiện sống [25]. Nhìn chung, các quan điểm này chủ yếu
xem xét NL từ khía cạnh bản năng, từ yếu tố bẩm sinh, di truyền của con người
mà coi nhẹ yếu tố giáo dục.
Các nhà tâm lí học Mác xit nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề NL theo cách
khác. Họ không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với NL mà
nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và HT trong việc hình thành NL
C. Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân không
phải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” [48, tr. 167]. Ph.
Ăng ghen thì cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con người” [2, tr. 641].
Trường phái tâm lí học Xôviết với A. G. Côvaliov [13, tr. 84-127], N. X.
Lâytex, …và tiêu biểu là B. M. Chieplôv đã có nhiều công trình nghiên cứu về
NL trí tuệ. B.M. Chieplôv coi NL là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan
10
với kết quả tốt đẹp với việc hoàn thành một hoạt động nào đó. Theo ông có hai
yếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm NL:
Thứ nhất, NL là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân. Mỗi cá thể khác
nhau có NL khác nhau về cùng một lĩnh vực. Không thể nói rằng: Mọi người đều
có năng lực như nhau!
Thứ hai, khi nói đến NL, không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung mà
NL còn phải gắn với một hoạt động nào đó và được hoàn thành có kết quả tốt
(tính hướng đích).
Cũng theo quan điểm trên, X. L. Rubinstein chú trọng đến tính có ích của
hoạt động, ông coi NL là điều kiện cho hoạt động có ích của con người: “Năng
lực là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với một hoạt
động có ích lợi cho xã hội nhất định” [87, tr.250].
Ở Việt Nam, nhấn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của NL, Phạm Tất
Dong và Phạm Minh Hạc đưa ra nhận định nghĩa: “Năng lực chính là một tổ hợp
các đặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của
một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra
kết quả của một hoạt động nào đấy” [24, tr.45].
b) Kĩ năng, kĩ xảo và mối quan hệ với năng lực
M. A. Đanilôp và M.N. Xcatkin [20, tr. 26]: "Kĩ năng bao giờ cũng xuất phát
từ kiến thức, kĩ năng chính là kiến thức trong hành động. Kĩ năng là khả năng của
con người biết sử dụng một cách có mục đích và sáng tạo những kiến thức".
Theo X.Roegiers [74, tr. 79] thì cho rằng: "Kĩ năng là khả năng thực hiện
một cái gì đó. Đó là một hoạt động được thực hiện".
Meirieu cho rằng: "Kỹ năng là một hoạt động trí tuệ ổn định và có thể tái
hiện trong những trường kiến thức khác nhau. Không một kĩ năng nào tồn tại ở
dạng thuần khiết và mọi khả năng đều biểu hiện qua những nội dung".
Như vậy, qua tổng hợp các nghiên cứu chúng tôi cho rằng: Kĩ năng là ở
phương thức hành động dựa trên cơ sở của tri thức, luôn được biểu hiện qua các
11
nội dung cụ thể. Kĩ năng có thể được hình thành theo con đường luyện tập. Kĩ
năng là một bộ phận cấu thành năng lực.
Những nghiên cứu về hoạt động cho thấy: Kết quả của việc hoàn thành một
hoạt động nào đó phụ thuộc vào kĩ năng thực hiện những hành động thành phần
của nó. Đồng thời, thể hiện mức độ tinh vi, thành thục khi thực hiện các kĩ năng
đó chính là kĩ xảo. Như vậy, NL và kĩ năng, kĩ xảo có mối liên hệ khăng khít, gắn
bó, NL thường bao gồm một tổ hợp các kĩ năng thành phần có quan hệ chặt chẽ
với nhau, giúp con người hoạt động có kết quả.
Nhìn nhận vấn đề NL dưới góc độ gắn với các kĩ năng, xét từ phương diện
tìm cách phát triển những NL cho HS trong HT, X. Rogiers đã mô hình hoá khái
niệm NL thành các kĩ năng hành động trên những nội dung cụ thể trong một loại
tình huống hoạt động: “Năng lực chính là sự tích hợp các kĩ năng tác động một
cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt các tình huống cho trước để giải
quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra” [74, tr.90].
Tóm lại, NL và kĩ năng là những vấn đề (VĐ) khá trừu tượng trong tâm lí
học. Tuy còn có những cách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhà
tâm lí học đều thống nhất rằng:
*) NL tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có NL cần phải có
những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định,
đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao.
*) Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải:
+ Có tri thức về hoạt động đó;
+ Tiến hành thạo động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả;
+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra;
+ Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau.
c) Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về NL, xét từ phương diện giáo
dục, chúng tôi tổng hợp lại như sau:
12
*) NL thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnh hưởng
của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạn chế còn
do những điều kiện khác của môi trường sống.
*) Những yếu tố bẩm sinh của NL cần có môi trường điều kiện xã hội (ở
đây ta sẽ giới hạn trong môi trường giáo dục) thuận lợi mới phát triển được, nếu
không sẽ bị thui chột. Do vậy NL không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà còn phát triển
trong hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể.
*) Nói đến NL là nói đến NL trong một loại hoạt động cụ thể của con
người.
*) Cấu trúc của NL bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những
hành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau. Đồng thời NL còn liên
quan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm.
*) Hình thành và phát triển những NL cơ bản của HS trong HT và đời sống
là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường sư phạm.
1.2.1.2. Năng lực toán học và một số thành phần đặc trưng của tư duy
toán học ảnh hưởng đến năng lực toán học
a) Năng lực toán học
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL toán học từ những phương diện
khác nhau. Trong các bài viết của Viện sĩ B. V. Gơnhedencô viết về giáo dục học
ở trường phổ thông, ông đưa ra các yêu cầu đối với tư duy toán học của học sinh
là:
1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được
sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh;
2) Sự cô đọng;
3) Sự chính xác của các kí hiệu;
4) Phân chia rõ tiến trình suy luận;
5) Thói quen lí lẽ đầy đủ về logic [80].
Theo A. Ia. Khinsin, những nét độc đáo của tư duy toán học là:
1) Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;
13
2) Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đi đến mục đích;
3) Phân chia rành mạch các bước suy luận;
4) Sử dụng chính xác các kí hiệu (mỗi kí hiệu toán học có một ý nghĩa xác
định chặt chẽ);
5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận [80].
*) A. N. Kôlmôgôrôv xem xét NL toán học trên cơ sở 3 thành tố liên có
liên quan đến khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận lôgic:
1) NL biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, NL tìm kiếm các
phương pháp xa lạ với các qui tắc thông thường để giải phương trình;
2) Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”;
3) Nghệ thuật suy luận lôgíc được phân nhỏ hợp lí, tuần tự.
*) V. A. Cruchetxki [28, tr. 168] nhìn nhận dưới góc độ thu nhận và xử lí
thông tin đã phân chia NL toán học bao gồm 4 thành tố cơ bản là:
1) Thu nhận thông tin toán học;
2) Chế biến thông tin toán học;
3) Lưu trữ thông tin toán học;
4) Thành phần tổng hợp chung là khuynh hướng toán học của trí tuệ.
*) Trong [91], UNESCO đã công bố 10 tiêu chí NL toán học cơ bản như
sau:
1) NL phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán, các
KN;
2) NL tính nhanh và tính cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu;
3) NL dịch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu;
4) NL biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúng
thành kí hiệu;
5) NL theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;
6) NL xây dựng một chứng minh;
7) NL giải một bài toán đã toán học hoá;
8) NL giải một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa);
14
9) NL phân tích bài toán và xác định phép toán có thể áp dụng;
10) NL khái quát hoá.
Theo A. A. Stoliar, dạy Toán có thể xem như dạy cho học sinh hoạt động
toán học, mà đi liền với mỗi hoạt động sẽ có những NL tương ứng. Học toán bao
gồm các hoạt động liên quan đến Số học, Đại số, Giải tích, Hình học, … nên ta có
thể phân chia NL thành thành các NL học Số học, NL học Đại số, NL học Giải
tích, NL học Hình học… Mặt khác, toán học có tính trừu tượng cao và tính lôgic
chặt chẽ nên hoạt động học toán liên quan chặt chẽ với tư duy toán học. Do đó,
NL toán học có thể được nghiên cứu từ những góc độ riêng. Có những tác giả đã
cụ thể hoá và vận dụng NL này vào DH Toán theo các khía cạnh, phạm vi và chủ
đề khác nhau.
E. L. Thorndike trong cuốn các vấn đề giảng dạy Đại số, 1920 [88, tr. 27]
đã xác định bảy thành tố của NL Đại số gồm:
1) Hiểu và thiết lập các công thức;
2) Biểu diễn các tương quan số lượng thành hình dạng công thức;
3) Biến đổi các công thức;
4) Thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho;
5) Giải các phương trình;
6) Thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;
7) Biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại lượng.
Tiếp cận từ góc độ bồi dưỡng tư duy sáng tạo, Tôn Thân đã tập trung
nghiên cứu ba trong năm thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo là “tính mền dẻo,
tính nhuần nhuyễn, và tính độc đáo” [79, tr. 12-13].
Theo hướng bồi dưỡng NL toán học cho HS THCS, Trần Đình Châu tập
trung vào bốn yếu tố của nó trong DH Số học [8, tr. 38-39].
Từ khía cạnh rèn luyện NL tư duy trong NL toán học, Nguyễn Thái Hoè
đưa ra các yêu cầu rèn luyện tư duy qua giải bài tập toán [29, tr. 4]; Nguyễn Văn
Thuận tìm hiểu các đặc trưng của tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ
toán học cho HS ở đầu cấp THPT [80].
15
Nghiên cứu rèn luyện NL giải toán, Lê Thống Nhất đã đi theo hướng tìm
hiểu, phân loại các sai lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT [52]. Còn
Nguyễn Thị Hương Trang thì tiếp cận NL này từ quan điểm “phát hiện và GQVĐ
một cách sáng tạo” [82], …
Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, có thể thấy:
*) NL toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của học sinh,
giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến
thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán.
*) NL toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liền
với) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ HT trong môn Toán:
xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán,

b) Một số thành phần đặc trưng của tư duy toán học ảnh hưởng đến
năng lực toán học
Để thuận lợi cho việc nghiên cứu những vấn đề liên quan đến NLGQVĐ
như đề xuất các NL thành tố và các BPSP ở các phần sau của luận văn, chúng tôi
thấy cần thiết phải phân tích, làm rõ một số loại tư duy dưới đây.
a) Tư duy trực giác
Khái niệm trực giác được đề cập từ lâu và có những cách hiểu khác nhau,
điều đó chứng tỏ vai trò quan trọng trong quá trình nhận thức và sáng tạo khoa
học. Theo đại bách khoa toàn thư Xôviết thì trực giác là năng lực nhận thức chân
lí bằng cách xét đoán trực tiếp mà không có sự biện giải bằng chứng minh. Theo
Cruchetxki thì nhiều trường hợp, sự bừng sáng đột ngột của học sinh có năng lực
có thể giải thích bởi ảnh hưởng vô thức bởi kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở của
chúng là năng lực khái quát hóa các đối tượng, các quan hệ, các phép toán toán
học và năng lực tư duy bằng cấu trúc rút gọn.
Các tài liệu khác nhau, hiểu trực giác toán học theo nhiều nghĩa khác nhau
và trong thực tế cũng tồn tại nhiều dạng khác nhau; nó có thể coi là sự bừng sáng
đột ngột, chưa nhận thức được, có thể là trực quan cảm tính và cũng có thể là kết
16
quả của sự vận động không có ý thức các cách thức hoạt động khái quát và các
cấu trúc rút gọn.
J. Bruner đã viết: “Thông thường tư duy trực giác dựa trên cơ sở quen biết
với những kiến thức cơ bản trong lĩnh vực đang xét với cơ cấu của lĩnh vực này.
Điều đó cho phép thực hiện tư duy trực giác dưới những dạng biến đổi đột ngột,
việc chuyển nhanh từ chỗ này sang chỗ kia, bỏ qua những khâu của vấn đề, …”
Và cũng cần chú ý rằng không phải tất cả các phát minh (phát minh vĩ đại)
đều là trực giác, nhưng có rất nhiều phát minh bắt đầu từ trực giác. Newton chỉ
với quả táo rơi trên cây xuống mà đã đi tới định lí vạn vật hấp dẫn. Có thể hệ
thống các tiên đề của hình học Ơclit khi Ông nêu ra có lẽ phần lớn cũng xuất phát
từ trực giác chăng?
Ví dụ 1.1. Vào năm Gauss 7 tuổi, thầy giáo đã ra cho cả lớp bài tập: “Hãy
tính tổng của một 100 số tự nhiên từ 1 đến 100” và Gauss đã đưa ra cách trả lời
chính xác chỉ sau một lát suy nghĩ. Làm thế nào ở độ tuổi đó, ông đã có thể tính
được phép tính phức tạp này?
Phải chăng xuất phát từ trực giác, Ông đã nghĩ: “Dù thay đổi trật tự của con
số trong phép tính thì kết quả vẫn không thay đổi, vì thế mình có thể nhóm 1 với
100, 2 với 99, 3 với 98, … để tạo thành các cặp có tổng bằng nhau, và mình có 50
cặp số như vậy (?)”, suy luận đưa ra đáp án là 101.50 = 5050.
Suy nghĩ này được thể hiện qua sơ đồ sau:

Không rõ thời điểm đó Ông thực sự đã suy nghĩ như thế nào, nhưng có lẽ
bằng trực giác toán học khi ghép đôi các cặp với nhau như trên? (Dẫn theo [87, tr.
5]).
Qua những ví dụ trên, cho thấy cần phải có những quan tâm hợp lí đối với
tư duy trực giác bởi nó cũng những ý nghĩa rất lớn trong học tập cũng như trong
cuộc sống.
1 +2 +3 + ………… + 98 + 99 +100
101 101
101
17
b) Tư duy lôgíc
Tư duy lôgic được hiểu là: “Tư duy thay thế các hành động với các sự vật
có thực bằng sự vận dụng các khái niệm theo qui tắc của Lôgíc học” [68]. Tư duy
lôgíc là thứ tư duy chặt chẽ, không mâu thuẫn, nó không chỉ là thực hiện giải
quyết vấn đề, mà còn là phương hướng GQ. Ta sẽ thấy rằng, nếu hiểu một cách
đầy đủ thì tư duy lôgíc đóng vai trò quan trọng trong việc PH và GQVĐ, nó
chứng đựng cả những thao tác tiền lôgíc, như mò mẫn, dự đoán, bác bỏ, khẳng
định, đặt giả thuyết. Theo các tác giả Koliagin, Oganhexian, Lukankin, Xanhixki
là: “Tư duy lôgíc được đặc trưng bởi kĩ năng đưa hệ quả từ những tiền đề, kĩ năng
phân chia ra trường hợp riêng và phối hợp chúng lại để khảo sát một cách toàn
diện vấn đề đang xét, kĩ năng dự đoán về mặt lí thuyết một kết quả cụ thể nào đó”
[80].
Theo quan điểm trên, tư duy lôgíc chứa đựng ba thành phần cơ bản đó là:
suy diễn, dự đoán, chia trường hợp riêng. Tuy nhiên, mức độ của từng thành phần
ấy thì không được định chuẩn một cách rõ ràng, bởi như đối với dự đoán chẳng
hạn, cũng có nhiều mức độ, đối với suy diễn thì cũng có những cái trực tiếp và
gián tiếp.
Vấn đề dự đoán trong tư duy lôgíc thường gặp nhiều trong DH toán ở
trường PT, như các bài toán quĩ tích hình học phẳng, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất
của các hàm số khi chưa có công cụ đạo hàm, đặc biệt là những dự đoán về
phương hướng GQ bài toán. Chẳng hạn đối với rất nhiều phương trình, hệ
phương trình, nếu đi theo con đường truyền thống như: đặt ẩn phụ, biến đổi tương
đương, phương pháp thế, … thì không thể giải được, nhưng nếu đoán ra yếu tố
then chốt là bài toán sẽ được giải theo phương pháp không mẫu mực (đánh giá hai
vế chẳng hạn); thì sẽ thành công.
Xét ví dụ dưới đây, mô tả lại quá trình mày mò, suy luận để tìm lời giải của
một HS có NL toán học.
Ví dụ 1.2: Giải phương trình:
x
x
x
1
2
2cos
+=
π
.
18
ĐKXĐ:
0≠x
.
HS đó nhận thấy phương trình đã cho có chứa những yếu tố siêu việt (mũ,
lượng giác), hơn nữa có vẻ như, các biểu thức ở hai vế đã cho dưới dạng mà khó
có thể làm “gọn hơn” được nữa, lại dễ thấy x = 1 là một nghiệm của phương
trình. Nghĩ tới bài toán có thể được giải theo một cách khác, khi mà các phép biển
đổi thông thường không khả thi, đó là đánh giá hai vế.
Nhận thấy được:
∈∀x
ĐKXĐ thì luôn có:
220
2cos
≤=<
x
VT
π
;
Tiếp tục đi đánh giá VP với hi vọng tìm thấy có sự có sự trái chiều.
Các biểu thức:
x
x
1
,
là các biểu thức cùng dấu với tích không đổi, có xuất
hiện dáng dấp của BĐT Cauchy, Nhưng BĐT này lại chỉ áp dụng cho các số
không âm; nên dẫn tới đánh giá như sau:
Khi
0
<
x
thì
VT
x
xVP <<+= 0
1
nên phương trình vô nghiệm.
Khi
0>x
thì theo BĐT Cauchy
VT
x
xVP ≥≥+= 2
1
, nên phương trình tương
đương với hệ điều kiện:
1
2
1
22
2cos
=⇔





=+=
==
x
x
xVP
VT
x
π
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là
1=x
.
Nhiều HS khi giải không tránh khỏi sai lầm khi áp dụng BĐT Cauchy ngay
cho vế phải và cũng dẫn tới đáp số đúng, sai lầm này thuộc kiểu sai lầm không
nắm rõ nội dung định lí với các điều kiện của nó.
Cũng cần nói thêm rằng nhiều bài toán thuộc kiểu không mẫu mực trên, mà
yếu tố mấu chốt lại nằm ở chỗ hạn chế được miền chứa nghiệm của bài toán, rồi
giải bài toán trên miền chứa nghiệm của nó thì dường như đơn giản hơn. Như ví
dụ trên khi
0
<
x
thì phương trình vô nghiệm, nên nếu phương trình có nghiệm thì
nghiệm phải thuộc khoảng
( )
∞+;0
, do đó dẫn tới cách giải trên.
19
Bài toán vừa xét chỉ có thể dạy cho HS ở lớp 12 trong chương trình phân
ban mới, khi mà họ đã học xong khái niệm lũy thừa của một số thực, phương
trình mũ. Nhưng không có nghĩa là đến bây giờ mới có những bài toán mà HS
giải theo cách này, mà ngay từ các lớp THCS các em cũng đã làm quen với kiểu
bài như trên, chẳng hạn: giải hệ phương trình:







+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
x
y
y
y
x
x
;
Không chỉ THCS, bài toán trên thực sự là một thách thức lớn đối với nhiều
HS THPT nếu như ngay từ đầu không hạn chế được miền chứa nghiệm của bài
toán là cả x và y đều thuộc
( )
∞+;0
và giải hệ trên miền chứa nghiệm đó.
Các tác giả Koliagin, Oganhexian, cho rằng: phát triển tư duy lôgíc của HS
là một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của GV dạy Toán, của những
người biên soạn chương trình SGK và cả những người nghiên cứu về giáo dục
toán học. Theo các tác giả, đối với mọi cấp học, cần phải thường xuyên quan tâm
tới việc phát triển tư duy lôgíc của HS, và cần chú ý ngay từ lớp nhỏ (dẫn theo
[80]).
c) Tư duy sáng tạo
Theo Từ điển tiếng Việt, “sáng tạo” là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn
đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm hai
ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ).
Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kì hoạt động nào của xã hội loài người.
Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình
phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực
của con người.
Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo.
Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những
điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác
20
nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo
ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn
mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" [37].
Theo Tôn Thân: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý
tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Và theo tác giả "Tư
duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính
độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp.
Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã
tạo ra nó” [79].
Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G. Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là có
hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là
sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này.
Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có
dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: lúc
những cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho
những bài toán khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián
tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi
ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả".
Chẳng hạn “con gà đẻ trứng vàng” của Fermat: “Phương trình x
n
+ y
n
= z
n
không có nghiệm nguyên dương với số tự nhiên n >2”. Ở lề của cuốn sách
“Arithmetica” của Diophantus, Pierre de Fermat viết: “Khi n = 4 biểu thức trên
có nghĩa, và với số n đồng dạng cũng vậy. Tôi có một phương pháp rất hay để
chứng minh cho định lí này nhưng không thể viết ra đây vì lề cuốn sách quá
hẹp”” [87, tr. 35]. Tuy không đưa ra được lời giải cho bài toán nhưng các kết quả
toán học có được khi đi tìm lời giải bài toán của các nhà toán học nhiều thế hệ, đã
cho những lí thuyết toán học mới với những ý nghĩa to lớn, (cũng nói thêm rằng,
việc chứng minh định lí đó cũng chỉ mới được Andrew Wiles công bố vào 1994
với độ dày 200 trang, và lí thuyết chứng minh hết sức phức tạp vượt qua kiến
21
thức mà nhân loại có được thời Fermat sống, có dựa vào một phần của “Giả
thuyết Taniyama - Shimura” (dẫn theo [87, tr. 36]).
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán: "Đối
với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với
những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết. Như vậy,
một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó
không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu
người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi
chưa biết trước. Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt
động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó
là tư duy để tạo ra cái mới. Lene trong [44], đã chỉ ra các thuộc tính của tư duy
sáng tạo là:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống sáng tạo;
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng qui cách";
- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết;
- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu;
- Kĩ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời
giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một phương
thức mới);
- Kĩ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng
phương thức khác.
Tư duy sáng tạo là tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng không phải
trong tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải trong tư duy độc lập
đều là tư duy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm dưới
dạng vòng trong đồng tâm.
Tư duy tích cực
Tư duy độc lập
22
Tư duy sáng tạo
Hình 1.2
Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng
minh mà học sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo
giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp
lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.
Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới
độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
Ví dụ 1.3: Xét ví dụ mà qua đó thể hiện những cách nhìn khác nhau trong
việc chứng minh một định lí toán học của những HS có NL toán học nhất định, và
ở góc độ nào đó cũng có thể coi là sáng tạo trong giải.
“Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
2
3
coscoscos
≤++
CBA
”.
Cách 1: HS vận dụng tính chất quen biết trong hoàn cảnh mới khi có
những phần tương tự:
HS đã biết tính chất:






−∈∀
+
≤+
2
;
2
,,
2
cos2coscos
ππ
yx
yx
yx
; (1)
dấu “=” xảy ra khi x = y.
Họ dễ suy ra kết quả tương tự:
3
cos3coscoscos
zyx
zyx
++
≤++
,






−∈∀
2
;
2
,,
ππ
zyx
; (2)
dấu bằng xảy ra khi x = y = z.
Sự di chuyển nhanh của tư duy khi áp dụng vào tam giác ABC, ta được:
2
3
3
cos3coscoscos =
++
≤++
CBA
CBA
; dấu bằng xảy ra khi:
CBA ==
. (ở
đây các góc A, B, C tuy không thỏa mãn điều kiện (2.1) nhưng do bị hạn chế bởi
góc trong tam giác giác nên vẫn có kết quả tương tự).
Cách 2: Hướng suy nghĩ xuất trong đầu những HS có kiến thức khá phong
phú, khi thấy được sự xuất hiện các giá trị cosin của góc trong tam giác, gợi ý đến
dùng tích vô hướng của các vectơ được xây dựng trên cơ sở các cạnh của tam
23
giác có giá là các đường chứa cạnh (theo chúng tôi cách giải này có những nét
độc đáo nhất định khi nghĩ được như vậy). Dẫn tới cách giải sau:
Chọn ba vectơ
kji ==
sao cho:
1=== kji
(đvđd) như Hình 1.3.
Khi đó ta có:

( )
0
2
≥++ kji


0)(2
222
≥+++++⇔ ikkjjikji

0)coscoscos(2111
≥++−++⇔
AikCkjBji
(4)

2
3
coscoscos ≤++⇔ CBA
;
((4) dễ có, chẳng hạn:
BBjijiji cos)cos(),cos(
−=−==
π
).
Dấu “=” xảy ra khi:

0=++ kji

tam giác ABC đều. (xem Hình 1.4).
Cách 3: HS vận dụng linh hoạt bất đẳng thức quen thuộc (bất đẳng thức
Cauchy) khi đoán được dấu “=”, theo chúng tôi cách giải này có nhiều nét độc
đáo.
Ta có:

BABABACBA sinsincoscoscoscoscoscoscos
+−+=++

2
3
2
sincos
2
sincos
2
1
cos
2
sinsin
2
)cos1(cos
cossinsin)cos1(cos
2222
2222
=
+
+
+
+≤
+
+
+
−+

++−=
BBAA
B
BABA
BBABA
Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều.
A
C
i
j
k
B
Hình 1.3
24
Cách giải trên, mấu chốt là dự đoán được dấu “=” và trên cơ sở đó mà nhóm thích
hợp, và vận dụng linh hoạt bất đẳng thức đã học.
Ngoài ra đối với những HS ở mức độ vừa phải hơn, việc giải được như
cách 4, cách 5 cũng có thể coi là mới mẻ trong giải bài toán.
Cách 4: Với lối suy nghĩ mộc mạc, khi biến đổi để đưa về tổng của những
biểu thức không âm (khi muốn đánh giá biểu thức không âm) hay đưa về tổng của
những biểu thức không dương (khi muốn đánh giá không dương).
Ta có:
2
3
coscoscos
≤++
CBA


2
3
2
sin21
2
cos
2
cos2
2
≤−+
−+

CBABA

0
2
1
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
≥+

−⇔
CBAC


0
2
cos
4
1
4
1
2
cos
4
1
)
2
cos
2
1
(
2
sin2
2
sin
222


−+

+

−⇔
BABABACC

0
2
sin
4
1
2
cos
2
1
2
sin
2
2


+









BABAC
, luôn đúng.
(I) được chứng minh; dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều.
Cách 5: HS biết huy động kết quả của định lí về dấu của tam thức bậc hai,
vận dụng vào giải bài toán, thực hiện biến đổi để xem là biểu thức đưa ra được
như là tam thức bậc hai của một biến nào đó mà việc xét dấu có thể thực hiện
được thông qua biệt số đenta.
Sử dụng biến đổi tương đương kết hợp với kết quả của định lí về dấu của
tam thức bậc hai. Ta có:
( )
( )
3
2
1
2
1
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
3
2
sin21
2
cos
2
cos2
2
3
coscoscos
2
2
≥+

−⇔
≤−+
−+

≤++
CBAC
CBABA
ICBA
Để (I) đúng thì điều kiện cần và đủ là (3) đúng.
25

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×