Tải bản đầy đủ

Bài tập toán hay có lời giải chi tiết

Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Kiến thức Đại số
*Phương trình đường tròn :
( ) ( )
2
22
Rbyax =−+−
Hay :
0cby2ax2yx
22
=+−−+
Cótâm là:
( )
b;aI
và bán kính :
cbaR
22
−+=


0

*Phương trình những điểm trong đường tròn và trên đường tròn là:
( ) ( )
2
22
Rbyax ≤−+−
( là miền gạch hình 2)
*Phương trình những điểm ngoài đường tròn và trên đường tròn là:
( ) ( )
2
22
Rbyax ≥−+−
(là miền gạch hình 3)
*Đường thẳng : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng tọa độ thành 2 phần ax + by
+ c

0 và ax + by + c

0 để biết phần nào lớn hơn 0 hay nhỏ hơn 0, thông
thường ta lấy 1 điểm trên miền thế vào. Nếu không thoả ta lấy miền ngược lại .
1
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Xét đường thẳng : -x + y – 2

0 (như hình vẽ).Ta lấy điểm (0;0) thế vào (-x + y
– 2) ta được -2

0 . Nên ta lấy miền chứa (0;0) đó chính là miền gạch như trên
hình vẽ
* cho hàm số : y = f(x) có mxđ là D , gtnn = m ,gtln = M ta nói:
Hàm số y = f(x) có nghiệm khi : m

y

M trong mxđ
f(x)
α

có nghiệm khi M
α


trong mxđ
f(x)
α

đúng

x khi m
α

trong mxđ
f(x)

α
có nghiệm khi m
α

trong mxđ
f(x)

α
đúng

x khi M
α

trong mxđ
*Cho A(x
0
, y
0
) và đường thẳng (

) có phương trình : ax + by + c = 0 ,
khoảng cách từ A đến đường thẳng là :
d(A;

) =
22
00
ba
cbyax
+
++
*Công thức đổi trục : [ gs I(a;b) ]
Đổi trục oxy

IXY



+=
+=
bYy
aXx
phần1 GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm.

( )
*
my2cosx2cos
2
1
ysinxsin





=+
=+
Giải :
Đặt u = sinx , v = siny
Bài toán trơ thành tìm m để hệ sau có nghiệm :
(*)

( )
( )
( )
( )












=+
=+
41
31
2
2
2
1
2
1
22
v
u
m
vu
vu
2
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Các điểm thỏa (3)(4) là những điểm nằm trên và trong hình vuông ABCD như
hình vẽ ,(2) là phương trình đường tròn tâm I(0,0) bán kính R =
2
m2 −
, do số
giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ
phương trình có nghiệm đường tròn phải cắt đường thẳng u + v =
2
1
nằm trong
hình vuông. Dễ thấy
M(1 ; -
2
1
) và OM = ON
OM =
4
5
, OH =
2
2
1

=
8
1
, suy ra ycbt là
8
1



2
m2 −


4
5

-
2
1


m


4
7
3
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Cho hệ phương trình.




=−+
=−+
0xyx
0aayx
22
(*)
a) tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
b)gọi (x
1
; y
1
) , (x
2
; y
2
) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng .
(x
2
– x
1
)
2
+ (y
2
– y
1
)
2


1
Giải :
a) Hệ đã cho có thể viết lại :
(*)







=+−
=−+
)2(
4
1
y)
2
1
x(
)1(0)1y(ax
22
Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố định (0;1) .
(2) là phương trình đường tròn có tâm I(
2
1
;0) bán kính R =
2
1
. Do số giao điểm
của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có
2 nghiệm khi :
4
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
D(I ;d) =
2
1
0.
2
1
a
aa
+
−+
<
2
1

0 <a <
3
4
b) ta có AB =
2
12
2
12
)yy()xx( −+−


2R
(x
2
–x
1
)
2
+ (y
2
– y
1
)
2


4R
2
=1 (đpcm)
Dấu (=) xảy ra khi đường thẳng qua tâm :
Hay :
2
1
- a = 0

a =
2
1

Cho hệ phương trình.






=−++++
<+−
02aax)1a2(x
04x5x
22
24
(*)
Tìm a sao cho hệ sau đây có nghiệm.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại :
( )
⇔*








−<<−
<<
=++−+
)3(1x2
)2(2x1
)1(0)2ax)(1ax(
Các điểm M(x;y) thỏa(1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ
5
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên 2 miền gạch
Ta có A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) , M(2;-
4) .
Vậy từ đồ thị hệ có nghiệm khi : -4<a<-3 , -1<a<0 , 2<a<3.
Cho hệ phưong trình.






=+
=++−+
222
2
myx
02)yx(3)yx(
(*)
Tìm m sao cho hệ sau đây có 3 nghiệm .
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại :
(*)




=+
=−+−+
)2(myx
)1(0)1yx)(2yx(
222
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên đường tròn tâm I(0;0) bán
kính R =
m
, do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số
nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 3 nghiệm thì :
R = ON , mà ON =
2
2
=
2
(áp dụng đktx) do đó :
m
=
2






−=
=
2m
2m
6
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình.




=−−
=+
0)ay)(a2x(
2y2x
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:
Đổi trục oxy

0XY





=
=
2
Y
y
Xx
Hệ đã cho có thể viết lại :
( )
( )



=−−
=+
20)a2Y)(a2X(
12YX
Ta nhận thấy các điểm M(x;y) thoả mãn (1) là hình vuông A,B,C,D trong đó A(-
2;0) , B(0;2) , C(2;0) , D(0;-2) .Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường: X =
7
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
2a ,Y= 2a , mà giao điểm I của chúng luôn luôn di động trên Y = X , dễ thấy
điểm I
/
(1;1) như hình vẽ , do số giao điểm của 2 đường thẳng và hình vuông
ABCD chính là số nghiệm .
nên ta có :
Nếu



−<
>
2a2
2a2





−<
>
1a
1a
hệ vô nghiệm.
Nếu



−=
=
2a2
2a2





−=
=
1a
1a
hệ có 2 nghiệm.
Nếu





−≠

<<−
12
12
222
a
a
a










−≠

<<−
2
1
a
2
1
a
1a1
hệ có 4 nghiệm.
Nếu



−=
=
1a2
1a2







−=
=
2
1
a
2
1
a
hệ có 3 nghiệm.
Tìm a để phương trình sau có 2 nghiệm .
xaxx
2
−=−
(*)
8
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Giải :
Với điều kiện x – x
2


0 , đặt y =
2
xx −

0
(*) trở thành
( )
( )
( )






=−+
=+
30y
20xxy
1axy
22


( )
( )
( )






=+−
=+
30y
2
4
1
y)
2
1
x(
1axy
22
(2) và (3) là phương trình nửa đường tròn lấy phần dương như hình vẽ , có tâm
I(
2
1
;0) bán kính R =
2
1
. (1) là phương trình đường thẳng x +y = a , do số giao
điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương
trình có 2 nghiệm thì đường thẳng x +y = a phải lớn hơn hoặc bằng
x + y = 1 và nhỏ hơn tiếp xúc trên , mà tiếp xúc trên bằng .







>
=

1a
2
1
2
a
2
1









=
+
=
)l(
2
21
a
)n(
2
21
a
hay 1

a <
2
21+
9
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
định a để phương trình sau có 4 nghiệm .
axxxx +−=+− 5452
22
(*)
Giải :
Đặt
4
9
4
9
2
5
x4x5xt
2
2
−≥−






−=+−=
(*)

tt24aa4tt2 −=−⇔+−=
( )
( )



≥=−
<−=−

0t,2t4a
0t,1t34a
Nhận xét

t
4
9
−>
thì ta được 2 nghiệm x , theo ycbt ta cần có 2 nghiệm t
4
9
−>
Dễ thấy A(
4
27
;
4
9

) (1) là phương trình y = -3t để thoả bài toán thì (
0t
4
9
<<−
)
(2) là phương trình đường thẳng y = t ,
t∀

0
Vậy để phương trình có 4 nghiệm x hay có 2 nghiệm t thì:

4
27
4a0 <−<



4
43
a4 <<
Cho hệ bất phưong trình.

( ) ( )
( ) ( )





≤++
≤++
2ay1x
1a1yx
2
2
2
2
(*)
10
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất .
Giải :
Bất phương trình (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O
2
(0;-1)
bán kính R
2
=
a
. (như hình vẽ)
Bất phương trình (2) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O
1
(-1;0)
bán kính R
1
=
a
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi : R
1
+ R
2
= O
1
O
2

Hay : 2
a
=
( ) ( )
22
0110 +−++

2
1
=⇔ a

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
( )



≥−+−
≤+−
*
0)6(6
023
2
2
aaxx
xx
Giải :
Hệ (*) cho có thể viết lại .

( )
( )( ) ( )
( )



≥−+−
≤≤
*
206
121
axax
x
11
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa.
Từ hình vẽ có thể thấy các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là miền gạch chéo
nằm trên và trong hình thang ABCD .Vậy hệ bất phương trình có nghiệm duy
nhất khi :
a = 1 hoặc a = 5
Tìm m để hệ phương trình có 8 nghiệm.




=−+−
=−+−
222
m)1y()1x(
11y1x
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận.
Đổi trục oxy

0XY
Hệ đã cho có thể viết lại .
12



+=
+=
1Yy
1Xx
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
( )
( )



=+
=+
2mYX
11YX
222
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình
vẽ .Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(0;0) bán kímh
R =
m
. Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm .
Vậy để hệ phương trình có 8 nghiệm khi : OH < R < OB .
Mà : OH =
2
1
( áp dụng đktx) , OB = 1 .
Vậy
2
1
<
m
< 1






−<<−
<<

2
2
m1
1m
2
2
đó là ycbt
Biện luận số nghiệm của phương trình .
( )
*xm2x312
2
−=−
Giải :
Với điều kiện 12 – 3x
2


0 đặt y =
2
x312 −
. Phương trình có thể viết lại
13
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế

⇔(*)
( )
( )
( )







=+
=+

3m2yx
21
12
y
4
x
10y
22
Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (1) và (2) là phương trình của nửa ellip lấy
phần dương , như trên hình vẽ . Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (3) là phương
trình đường thẳng luôn di động và có hệ số góc là -1 .
Xét các vị trí tới hạn của nó : qua A ứng với m = -1
Vị trí tiếp xúc trên
2
0
4124
2
=⇔



>
=+
m
m
m
Tại B ứng với m = 1
Vậy ta có : Nếu 1

m <2 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m = 2 hoặc -1

m <1 phương trình có 1 ngiệm.
Nếu m > 2 hoặc m<-1 phương trình vô nghiệm.
14
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Cho hệ :
( )
*
0a6x4x
0ax2x
2
2



≤−−
≤++
a) tìm a để hệ có nghiệm.
b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lai .
( )
( )
( )
*
2
6
x4x
a
1x2xa
2
2







−−≤
Các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) nằm trong miền gạch chéo ta có, S
1
(2;
2
3

) , S
2
(-1;1) và
x
A
= -
7
8
< -1
a) từ hình vẽ, hệ đã cho có nghiệm khi . 0
1
≤≤
a
b) hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi .



=
=
0
1
a
a
tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất .
15
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
( )
*
1yx
1mxy2yx





≤+
≥+++
Giải :
Hệ đã cho có thể viết thành .

( )





≤+
−−≥+






≤+
−−≥+
1yx
yx1mxy2
1yx
yx1mxy2
2
( )
( )



≤+
+≤−+−




≤+
−+−++≥+

21yx
11m)1y()1x(
1yx
y2xy2x2yx1mxy2
22
22
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxy
Nhận xét : những điểm M(x;y) thỏa mãn (1) là những điểm nằm trên và trong
đường tròn tâm I(1;1) bán kính R =
1+m
(như hình vẽ) , những điểm M(x;y)
thỏa mãn (2) là miền gạch chéo và đường thẳng x +y =1 .Vậy hệ có nghiệm duy
nhất khi và chỉ khi R = OH ,
Mà OH =
2
2
( áp dụng đktx) vậy :
2
2
1m =+

2
1
−=⇔ m
là ycbt
tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.
16
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
( )
*
0m18x8x6x
0m4x2x
24
2





≤−+−−
≤+−−
Giải :
Hệ đã cho có thể viết thành .
( )
( )
( )
*
21886
142
24
2





≤+−−
++−≤
mxxx
xxm
phương trình m = -x
2
+ 2x +4 là parabol có đỉnh S(1;5) như hình vẽ do đó các
điểm M(x;y)thoả (1 ) là những điểm nằm trong parabol chứa miền thỏa (0;0) .
Xét hàm số:
m = x
4
-6x
2
-8x+18
mxđ: D = R
Đạo hàm :
m
/
= 4x
3
-12x-8 = 4(x+1)
2
(x-2)
m
/
= 0



=
−=

2
1
x
x
bảng biến thiên .
Hàm số đạt cực tiểu tại .



−=
=
6
2
ct
ct
y
x
17
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Điểm đặc biệt (1;5) ; (3;5)
các điểm M(x;y) thoả mãn (*) là miền gạch chéo như hình vẽ . từ đồ thị ta thấy
hệ có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt miền gạch chéo, hay -
6
5
≤≤
m

Cho hệ :
( )
*
4ax
0a2a4x)2a5(x
22
22



≤+
≤+++
a) tìm a để hệ có nghiệm.
b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại .
( )
⇔*

( )
( )
( )
*
24ax
10)2a4x)(ax(
22



≤+
≤+++
18
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa .
Dễ nhận thấy A(-2;0) , B(-
2
;
2
) O
1
(
3
2
;
3
2

) , F(-
2
-
2
)
M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là những điểm nằm trong miền gạch sọc như hình
vẽ, như vậy để hệ phương trình có nghiệm đường thẳng y =a phải cắt miền
gạch sọc .
Vậy theo ycbt thì
a) hệ có nghiệm khi -
2
2≤≤ a
b) hệ có nghiệm duy nhất khi a = -
2
hoặc a = -
3
2
hoăc
a =
2
Cho hệ :
( )
*
0mx)1m(mx
02x3x2
32
2



≤++−
≤−+
a) tìm m để hệ có nghiệm.
b) tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại như sau .
19
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
( )
⇔*
( )
( )





≤−−
≤≤−
20)mx)(mx(
1
2
1
x2
2
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxm .
Các điểm M(x;m) thỏa mãn (1) nằm trong giới hạn của 2 đường thẳng x =-2
và.x =
2
1
, các điểm M(x;m) thỏa mãn (2) nằm trong miền gạch sọc như hình
vẽ .Dễ thấy A(
2
2
;
2
1
) , vậy để phương trình có nghiệm thì đường thẳng m =
α

phải cắt miền gạch sọc trong giới hạn cho phép cũa (1) hay.
a) hệ có nghiệm khi m
2
2

b) hệ có nghiệm duy nhất khi .





=
=
0m
2
2
m
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.

( )
*
myx
11y1x
222



=+
=−+−
Giải :
20
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:
Đổi trục oxy

0XY




+=
+=
1Yy
1Xx
Hệ đã cho có thể viết lại .
( )
( )
( )



=+++
=+
*
2m)1Y()1X(
11YX
222
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình
vẽ .Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(-1;-1) bán
kímh R =
m
. Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số
nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi : ON

R

OM .
Mà : ON =
2
1
( áp dụng đktx) , OB =
5
.
Vậy
2
1


m



5






−≤≤−
≤≤

2
2
m5
5m
2
2
đó là ycbt
MỘT SỐ BÀI TẬP
21
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Tìm m để phương trình có nghiệm
mxcos1xsin1 =+++

Cho phương trình .
mx)x9(xx9 =−−+−
a) tìm gtln và gtnn
)xx9( +−
b) tìm m để phương trình có nghiệm .

Cho hệ
( )
*
0
024)25(
22
22



=+
<++++
ax
aaxax
tìm a để hệ có nghiệm.
Tìm m để bất phương trình sau đúng
6x4:x ≤≤−∀
mx2x)x6)(x4(
2
+−≤−+
Cho hệ
( )
*
1x
0)2xm)(xm(
2
2




<−+−
tìm m để hệ vô nghiệm.
Cho hệ
( )
*
my2x
1)yx(log
22
yx



=+
≥+
+
tìm m để hệ có nghiệm.
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm.
log
a+x
(x(a-x)) < log
a+x
x
22
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Cho hệ phưong trình.




=−+
=−−+
0yyx
02a5yax
22
(*)
a) tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
b) gọi A(x
1
; y
1
) , B(x
2
; y
2
) là 2 nghiệm của hệ .Tìm a để độ dài dây cung AB
đạt giá trị lớn nhất .
phần2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Xét đa thức với biến là x,y gọi F(x;y) .Nếu ta có F(x;y) = F(y;x) với moi x ,y

R thì F(x;y) là đa thức đối xứng:
Đối xứng loại 1 .(nếu thay x bởi y và thay y bởi x phương trình (1) vẩn là
phương trình (1) và phương trình (2) vẩn là phương trình (2) )
Đối xứng loại 2 .(nếu thay x bởi y và thay y bởi x phương trình (1 ) trở thành
(2)và phương trình (2) trở thành (1))
Bài tập đối xứng loai
Giải hệ phương trình .
( )
*
6xyyx
5xyyx
22



=+
=++
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại như sau .
( )



=+
=++

6)yx(xy
5xyyx
*
đặt



=
+=
xyP
yxS
điều kiện S
2


4P
Hệ phương trình tương đương với .
23
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
( )
( )
( )










=
=



=
=




=
=+

l
3P
2S
n
2P
3S
6SP
5PS
*










=
=



=
=




=
=+

2
1
1
2
2
3
y
x
y
x
xy
yx
Giải hệ phương trình .
( )
*
1zxy2y2x2
1zyx
2



=+−+
=++
Giải :
(Ta cứ coi z như là tham số , ta được hệ đối xứng loại 1 )
Hệ đã cho có thể viết lại như sau .
( )





+−
=
−=+




−=−+
−=+

2
zz21
xy
z1yx
z1xy2y2x2
z1yx
*
2
2
Để phương trình có nghiệm x,y khi
( )
( )
2
zz214
z1
2
2
+−
≥−

( )
1z0z1
2
=⇔≥−−⇔
Nếu z
1≠
hệ vô nghiệm
Nếu z =1 thì



=
=




=
=+
0y
0x
0xy
0yx
Vậy hệ có nghiệm x = 0 ,y = 0 , z = 1 .
Cho hệ phương trình .
( )
*
myx
mxyyx
22



=+
=++
a) giải hệ với m = 5
b) với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm .
Giải :
24
Bài t p toán hay có l i gi i chi ti tậ ờ ả ế
Hệ đã cho có thể viết lại như sau .
( )



=−+
=++

mxy2)yx(
mxyyx
*
2
đặt



=
+=
xyP
yxS
điều kiện S
2


4P
( )
( )
( )













+++=
+−−=





+−+=
++−=




=−+
=+




=−
=+

2
m311mP
m311S
1
m311mP
m311S
0m3S2S
mPS
mP2)S(
mPS
*
2
2
1
1
22
a) với m = 5
( )
( )
( )










=
=



=
=




=
=+











=
−=



=
=

2y
1x
1y
2x
2xy
3yx
l
10P
5S
n
2P
3S
*
2
2
1
1
b) để hệ phương trình có nghiệm.
th
1
:
1
2
1
P4S ≥
.
hay
)m311m(4)m311(
2
+−+≥++−

2
2mm31 +≥+


( )










+≥+
≥+



≥+
≤+
2
)2m()m31(4
02m
vn
0m31
02m


8m0 ≤≤
th
2
:
2
2
2
P4S ≥
.
hay
)m311m(4)m311(
2
+++≥+−−

3
2mm31 −−≤+
dễ thấy bất phương trình vô nghiệm vì
02m
<−−
25

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×