Tải bản đầy đủ

Ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và sáng tạo ra các bài toán sơ cấp

O
A
B
D
C
M
I
J
N
J
I
M
C
D
B
A
O
(b)
(a)
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO GIẢI VÀ SÁNG
TẠO CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP


Tóm tắt: Bài viết trình bày một số ví dụ về việc ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và
sáng tạo ra các bài toán sơ cấp trong hình học phẳng. Nội dung tập trung chủ yếu vào
việc thể hiện, khai thác các kết quả cơ bản của hình học xạ ảnh trong mặt phẳng xạ
ảnh P
2
như: Định lí Desagues, hình bốn đỉnh, hình bốn cạnh toàn phần , tỉ số kép,
phép phối cảnh, phép đối hợp,… vào việc giải và sáng tạo các bài toán hình học sơ
cấp.
1. Mở đầu:
2. Một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh trong mặt phẳng.
* Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afine(ơclit).
* Hình ba đỉnh và định lí Desagues.
* Hình bốn đỉnh và tính chất của hình bốn đỉnh.
* Tỉ số kép
.* Liên hệ xạ ảnh, liên hệ phối cảnh, phép đối hợp
3. Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo các bài toán sơ cấp.
a) Tứ giác toàn phần và các bài toán sơ cấp:
Rất nhiều bài toán trong hình học phẳng khi chuyển qua bài toán xạ ảnh tương ứng ta
thì bài toán đó chính là nội dung định lí Desagues hoặc áp dụng tính chất của hình bốn
cạnh toàn phần..
*) Các bài toán chứng minh:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. CMR đường
thẳng đi qua giao điểm của hai cạnh
bên và giao điểm của hai đường chéo
sẽ đi qua trung điểm của hai cạnh
đáy.
Giải: Đây chính là bài toán Afine
trong A
2
. Gọi O = AD ∩ BC, M =
AC ∩ BD. Ta cần chứng minh OM đi
qua trung điểm của AB và CD.
Ta bổ sung vào mặt phẳng A
2
đường
thẳng vô tận ∆ ta thu được mặt phẳng
xạ ảnh P
2
. Trong mặt phẳng này hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại một điểm nằm


trên đường thẳng vô tận. Ta thu được bài toán xạ ảnh sau: Trong mặt phẳng xạ ảnh cho
đường thẳng ∆ và hình bốn cạnh toàn phần ABCD sao cho giao điểm N = AB ∩ CD ∈
∆ .Gọi O = AD ∩ BC, M = AC ∩ BD. Đường thẳng OM cắt cạnh AB và CD tại I và J.
Chứng minh rằng (A, B, I, N) = -1 và (D, C, J, N) = -1.
Để giải bài toán này ta chỉ cần áp dụng tính chất của hình bốn cạnh toàn phần.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng afine cho tam giác ABC và các hình bình hành sao cho mỗi
một hình trong chúng có một đường chéo là là một cạnh của tam giác, còn hai cạnh kề
nhau là hai cạnh còn lại của tam giác. Chứng minh rằng các đường chéo thứ hai của các
hình bình hành đồng quy tại một điểm.
Giải: Bài toán đã cho
tương ứng với bài
toán xạ ảnh sau:
Trong P
2
cho tam giác
ABC và đường thẳng
∆ không đi qua đỉnh
của tam giác. Các
cạnh của tam giác cắt
đường thẳng ∆ tại bai
điểm I, J, K Dựng các
đường thẳng IC, JA,
KB. Gọi P = JA ∩
KB, Q = JA ∩ IC, R =
KB ∩ IC. Chứng
minh rằng ba đường thẳng Ả, BQ, CR đồng quy tại một điểm O.
Áp dụng định lí Desagues cho hai tam giác ABC và RQP ta có giao điểm của các cặp
cạnh tương ứng thẳng hàng suy ra đường thẳng đi qua các cặp đỉnh tương ứng đồng
quy tại một điểm O.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng afine cho tam giác A
1
A
2
A
3
và một đường thẳng d không đi
qua các đỉnh của tam giác. Gọi P
1
= d ∩ A
2
A
3
, P
2
= d ∩ A
1
A
3
, P
3
= d ∩ A
1
A
2
. Với mỗi
cặp đỉnh (P
i
,P
j
), dựng đường thẳng qua P
j
và song song với cạnh của hình tam giác
chúa P
i
. Gọi M
ij
là giao điểm của các đường thẳng đó. Chứng minh rằng ba điểm
M
12
,
M
13
, M
23
thẳng
hàng.
Bài toán
xạ ảnh
tương
ứng:
Cho
hình ba
đỉnh
(tam
giác)
A
1
A
2
A
3
A
C
B
P
Q
R
O
A
B
R
C
Q
I
J
K
P
O
A
1
A
2
A
3
P
3
P
1
P
2
M
13
M
12
M
23
A
2
A
3
P
3
P
1
P
2

Q
3
Q
1
Q
2
M
13
M
12
M
23
A
1
và hai đường thẳng phân biệt d, ∆ không đi qua đỉnh nào của tam giác. Gọi P
1
= d ∩
A
2
A
3
, P
2
= d ∩ A
1
A
3
, P
3
= d ∩ A
1
A
2
. Gọi Q
1
= ∆ ∩ A
2
A
3
, Q
2
= ∆ ∩ A
1
A
3
, Q
3
= ∆ ∩
A
1
A
2
.
*) Các bài toán dựng hình:
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng song song a, b của mặt phẳng afine A
2
, A, B là hai điểm
nằm trên a. Hãy dựng trung điểm của đoạn AB bằng cách chỉ dùng thức kẻ.
Bổ sung vào mặt phẳng afine đường thẳng vô tân ∆ và gọi O = a ∩ b. Bài toán tương
ứng trong mặt phẳng xạ ảnh: Trong mặt phẳng xạ ảnh, cho trước một đường thẳng ∆ và
hai đường thẳng a, b cắt nhau tại một điểm O nằm trên ∆. Trên a lấy hai điểm A,B tuỳ
ý. Hãy dựng điểm I thuộc a sao cho (A, B, I, O)=-1. Từ đó, ta suy ra chỉ cần dựng tứ
giác toàn phần sao cho A,B là hai đỉnh và I, O là hai điểm chéo. Từ đó ta suy ra cách
dựng như sau:
Giải: Lấy một điểm S không nằm trên
hai đường thẳng a, b. Đường thẳng SA,
SB cắt đường thẳng b tại P, Q. Gọi M
=PB ∩ QA. Dựng đường thẳng SM cắt
AB tại I. I chính là trung điểm của AB.
(Hình 1)
Ví dụ 3: Trong A
2
cho đoạn AB và trung
điểm I của đoạn đó. Chỉ dùng thước kẻ,
qua một điểm M cho trước hãy dựng một
đường thẳng song song với đường thẳng AB.
Giải: Lấy một điểm S không nằm trên đường thẳng a và khác M. Dựng đường thẳng
SI cắt đường thẳng BM tại P. Dựng đường thẳng AP cắt đường thẳng SB tại Q. Đường
thẳng đi qua hai điểm MQ chính là đường thẳng b cần dựng. (Hình 2)
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng afine cho một tam giác ABC, một đường trung bình IJ của
nó và một đường thẳng d. Chỉ dùng các đường thẳng hãy dựng qua một điểm P đã cho ,
một đường thẳng song song với đường thẳng d.
A
H 2
H 1
S
M Q
A
B
I
P
b
a
a
b
M
I
B
QP
S
Giải:
A
B
C
I
J
P
d
Vì từ một bài toán xạ ảnh ta có thể có nhiều bài toán afine khác nhau do việc lựa chọn
các đường thẳng vô tận khác nhau. Dựa vào nhận xét này ta có thể sáng tạo ra nhiều bài
toán afine khác nhau từ một bài toán ( kết quả) của hình học xạ ảnh. Để làm ví dụ, ta
xét định lí Desagues:
Định lí: Cho hai hình ba đỉnh giác ABC và A’B’C’. Nếu các đường thẳng nối các cặp
đỉnh tương ứng của hai tam giác đi qua một điểm thì giao điểm của các cặp cạnh
tương ứng nằm trên một đường thẳng và ngược lại.
Nếu ta chọn đường thẳng
vô tận ∆ không chứa bất
kì đỉnh nào nói trên thì ta
thu được bài toán afine
tương ứng như trên:
Trong mặt phẳng, Cho
hai tam giác ABC và
A’B’C’. Nếu các đường
thẳng nối các cặp đỉnh
tương ứng của hai tam
giác đi qua một điểm thì
giao điểm của các cặp cạnh tương ứng nằm trên một đường thẳng và ngược lại.
Bây giờ, Nếu ta chọn đường thẳng
MN làm đường thẳng vô tận thì ta
thu được bài toán: Cho hai tam giác
ABC và A’B’C’ có các đường thẳng
đi qua các cặp đỉnh tương ứng đồng
P
N
M
O
C'
B'
A'
C
A
B
A
B
A'
C'
B'
C
O
quy và có hai cặp cạnh tương ứng song song. Chứng minh rằng cặp cạnh tương ứng
còn lại cũng song song với nhau.
4. Kết luận.
5.Hướng phát triển của đề tài:

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×