Tải bản đầy đủ

ĐỀ THI KSCL ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011 MÔN: TOÁN, KHỐI D pps

KỲ THI KSCL THI ðẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1
ðỀ THI MÔN TOÁN 12. KHỐI D.
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao ñề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu I (2,0 ñiểm)
Cho hàm số y= x
3
- 3(m + 1)x
2
+ 3m(m + 2)x + 1 (1) (m là tham số thực)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m= 1
2. CMR: Hàm số (1) luôn có cực ñại và cực tiểu. Xác ñịnh các giá trị của m ñể hàm số (1) ñạt cực
ñại và cực tiểu tại các ñiểm có hoành ñộ dương.
Câu II (2,0 ñiểm)
1. Giải bất phương trình: x
2
+
xxx 26342
2
−≥++


2. Giải phương trình: sin2x -
22
(sinx + cosx) -5=0
Câu III (1,0 ñiểm)
Tính tổng: S=
!1!2010
1
!3!2008
1

!2005!6
1
!2007!4
1
!2009!2
1
+++++

Câu IV (1,0 ñiểm)
Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB =a, AC =a
3
, DA =DB =DC. Biết
rằng DBC là tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện ABCD
Câu V (1,0 ñiểm)
CMR: Với mọi x
,
y, z dương thoả mãn xy + yz + zx = 3 ta có:
1
))()((
4
2
1

+++
+
xzzyyxxyz

II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm)
Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 ñiểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho 2 ñiểm A(5;-2), B(-3;4) và ñường thẳng d có phương
trình: x - 2y + 1 = 0. Tìm toạ ñộ ñiểm C trên ñường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Viết phương trình ñường tròn ngoại tếp tam giác ABC.
2. Trong mặt phẳng (P), cho hình chữ nhật ABCD có AB=a, AD=b. S là một ñiểm bất kỳ nằm
trên ñường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Xác ñịnh tâm, bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD và tính thể tích khối cầu ñó khi SA=2a.
Câu VII.a (1,0 ñiểm) Giải hệ phương trình:
2
3
12
1 =








+
− x
xy


6
3
12
1 =








+
+ y
xy

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 ñiểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A(-2;3), ñường cao CH nằm
trên ñường thẳng: 2x + y -7= 0 và ñường trung tuyến BM nằm trên ñường thẳng 2x – y +1=0.
Viết phương trình các ñường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC.
2. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, SAB là tam giác ñều và mp(SAB)
vuông góc với mp(ABC). Xác ñịnh tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và tính
thể tích khối cầu ñó.
Câu VII.b (1,0 ñiểm)
Giải phương trình e
x
= 1+ ln(1+x).
Hết
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……………………… …… ; Số báo danh:………………
www.laisac.page.tl

ðÁP ÁN - THANG ðIỂM
ðỀ THI KSCL THI ðẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1
MÔN: TOÁN 12; KHỐI D.
(ðáp án - Thang ñiểm gồm 05 trang)
Câu Ý Nội dung ñáp án ðiểm

2,0
Khi m=1, ta có hàm số y = x
3
-6x
2
+9x+1
* TXð: R
* Sự biến thiên
- Chiều biến thiên: y' = 3x
2
-12x + 9
y' = 0 <=> x =1 hoặc x =3
0,25
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-
)1;∞
và (
);3 +∞
;
Nghịch biến trên khoảng (1; 3)
- Cực trị: Hàm số ñạt cực ñại tại x =1; y

=5
Hàm số ñạt cực tiểu tại x =3; y
CT
=1
- Giới hạn:
±∞=
±∞→
y
x
lim



0,25



- Bảng biến thiên:
x -

1 3 +



y' + 0 - 0 +


+


5
y
-


1





0,25

















1
(1,0 ñiểm)

* ðồ thị:
y
5






1


0 1 3 4 x




0,25










* Ta có: y' = 3x
2
- 6 (m+1)x + 3m(m+2)
y' = 0 <=> x
2
- 2(m+1)x + m(m+2) = 0(2)
=>
'∆
=(m+1)
2
- m(m+2)=1 > 0,
m∀

0,25
Vậy phương trình y'=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Do ñó
hàm số (1) luôn có cực ñại và cực tiểu.
0,25
* Hàm số (1) ñạt cực ñại và cực tiểu tại các ñiểm có hoành ñộ dươ
ng
<=> (2) có 2 nghiệm dương phân biệt <=> P > 0
S > 0
0,25
I







2
(1,0 ñiểm)


m(m+2) > 0
<=> <=> m > 0
2(m+1) > 0

0,25


2,0
BPT ñã cho <=> x
2
+ 2x - 6 +
342
2
++ xx
> 0
ðặt t =
1)1(2342
22
++=++ xxx
=> ñiều kiện t >1

0,25
BPT trở thành:

06
2
3
2
≥+−

t
t
<=> t
2
+ 2t - 15 >0
0,25
<=> t >3
t <
-5 (loại vì trái ñiều kiện)

0,25









1
(1,0 ñiểm)

Vậy: 2x
2
+ 4x + 3 > 9
<=> x
2
+ 2x - 3 > 0
<=> x > 1
x < -3
0,25
PT ñã cho <=> (sinx + cosx)
2
- 2
2
(sinx + cosx) - 6 = 0

0,25
<=> sinx + cosx = -
2

sinx + cosx = 3
2


0,25
<=>
2
sin
2
4
−=






+
π
x


2
sin
23
4
=






+
π
x
=> vô nghiệm
0,25
II
2
(1,0 ñiểm)

<=>
π
π
π
2
24
kx
+−=+
<=>
)(2
4
3
Zkkx
∈+−=
π
π

0,25
1,0
Ta có
2011!S=
!1!2010
!2011
!3!2008
!2011

!2005!6
!2011
!2007!4
!2011
!2009!2
!2011
+++++

=
2010
2011
2008
2011
6
2011
4
2011
2
2011
CCCCC +++++


0,25
Khai triển
(1+x)
2011
=
20112011
2011
20102010
2011
22
2011
1
2011
0
2011
xCxCxCxCC +++++


0,25
Chọn x = -1 ta có:

2011
2011
3
2011
1
2011
2010
2011
2
2011
0
2011
CCCCCC +++=+++

Chọn x = 1 ta có:
20112011
2011
2
2011
1
2011
0
2011
2 =++++ CCCC


0,25
III

Do ñó:
20102010
2011
4
2011
2
2011
0
2011
2 =++++ CCCC

Vậy S =
!2011
12
2010


0,25


1,0
D
Gọi M là trung ñiểm của BC
Ta có: MA=MB=MC
Mà: DA=DB=DC (gt) B
Suy ra: DM

(ABC) C M

a

A

Hình
vẽ
0.25




0,25




DBC vuông cân tại D nên
DM =
aaaaBC ==+= 2.
2
1
3
2
1
2
1
22

0,25
IV

Vậy V
ABCD
=
3
.
6
3
2
3
.
3
1
.
3
1
a
aa
aSDM
ABC
==

(ñvtt)
0,25
1,0
Áp dụng BðT Côsi ta có:
=
+++

+++
+
))()((2
4
.2
))()((
4
2
1
xzzyyxxyzxzzyyxxyz

=
))()((
22
xyyzxzxyyzxz +++

0,25

2
3
)(2
))()((
3
=
++
≤+++
zxyzxy
xyyzxzxyyzxz

=> (xz+yz)(xy+xz)(yz+xy) <
8
0,25
Do ñó:
1
8
22
))()((
4
2
1
=≤
+++
+
xzzyyxxyz

0,25
V

Dấu "=" xẩy ra <=>
))()((
4
2
1
xzzyyxxyz +++
=

xz + yz = xy + xz = yz +xy <=> x = y = z = 1
xy+ yz + zx = 3
0,25
2,0
Giả sử C=(x
o
;y
o
)
Vì C

d nên x
o
- 2y
o
+ 1 = 0 (1)
0,25
Vì CA

CB nên
0.
=
CBCA

<=> (5 - x
o
)(-3 - x
o
) + (-2 - y
o
)(4 - y
o
) = 0
<=>
02322
0
2
00
2
0
=−−+−
yyxx
(2)

0,25
VI.a
1
(1,0 ñiểm)

Thế (1) vào (2) ta có:
042
0
2
0
=−− yy

<=>
52151
00
−==>−= xy


52151
00
+==>+= xy

Vậy có 2 ñiểm thoả mãn ñề bài là: C
1
=
521(
+
;
51
+
)
C
2
=
521(

;
)51


0,25
a
3

ðường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(1;1) là trung ñiểm AB và bán
kính R=
5
2
10
2
==
AB
. Vậy phương trình ñường tròn ñó là:
25)1()1(
22
=−+−
yx

0,25
Gọi O là giao ñiểm hai ñường
chéo AC và BD của hình chữ nhật S
ABCD. Qua O kẻ ñường thẳng
song song với SA cắt SC tại ñiểm I
Ta có:
OI

(ABCD) vì SA

(ABCD) A I
=> OI là trục của ñường tròn ngoại tiếp D
hình vuông ABCD. O
=> IA = IB = IC = ID (1) B C
Mà OI là ñường trung bình của
SAC∆
=> IS = IC (2)
Từ (1) và (2) => I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Hình
vẽ
0,25







0,25
Do ñó bán kính mặt cầu ñó là:
R=
2
5
2
4
22
¸SC
2222222
babaaACSA +
=
++
=
+
=

0,25
2
(1,0 ñiểm)
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
V=
6
5)5(
8
)5(
.
3
4
3
4
2222
322
3
baba
ba
R
++
=
+
=
π
π
π
(ñvtt)
0,25
1,0
ðiều kiện x>0, y>0, x+3y

0
Hệ ñã cho tương ñương với
x
xy
2
3
12
1 =
+


1
31
=+
yx


y
xy
6
3
12
1 =
+
+

xy
yx
3
1231
+

=−

0,25
Suy ra
xyyx 3
1291
+

=−
=> y
2
+ 6xy - 27x
2
= 0
0,25
=>
0276
2
=−






+






x
y
x
y
<=>
3=
x
y
hoặc
9−=
x
y
(loại)
0,25
VII.a

Với y = 3x thế vào PT ñầu của hệ ñã cho ta có: x – 2
x
- 2 = 0
<=> x = (1+
2
)3
=> y = 3 (1+
2
)3

0,25
2,0
ðường thẳng chứa cạnh AB ñi qua A (-2;3) và nhận véctơ chỉ phương
CH
u
= (-1;2) của ñường CH làm véctơ pháp tuyến nên có phương
trình là:
- 1(x+2) + 2(y-3) = 0
<=> - x + 2y - 8 = 0
0,25
VI.b







1
(1,0 ñiểm)
Toạ ñộ ñiểm B là nghiệm hệ:



=+−
=−+−
012
082
yx
yx
=> B = (2; 5)


0,25
Giả sử ñỉnh C = (x
o
; y
o
) => M =
;
2
2
0




x



+
2
3
0
y

Vì C

CH nên 2x
o
+ y
o
- 7 = 0 (1)
Vì M

BM nên:
01
2
3
2
2
.2
00
=+
+

− yx
<=> 2x
o
- y
o
- 5 = 0 (2)
0,25
Giải hệ (1), (2) ta có:



=
=
1
3
0
0
y
x
Vậy C= (3; 1)
Phương trình ñường thẳng AC là: 2x + 5y -11 =0
Phương trình ñường thẳng BC là: 4x + 5y -13 =0
0,25

Gọi H là trung ñiểm AB => SH

(ABC) S
Gọi I là trọng tâm

ABC, J là trọng tâm

SAB
và O là ñiểm sao cho OIHJ là hình vuông
Ta có:
OA=OB=OC (Vì OI là trục của ñường tròn B
ngoại tiếp

ABC) J O
OS=OA=OB (vì OJ là trục
của ñường tròn ngoại tiếp

SAB ) H I
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC C
A



Hình
vẽ
0,25






0,25
Bán kính mặt cầu là:
R=OA=
6
15
2
3
9
5
3
2
3
1
2
22
22
aa
CHSHIAOI
=








=






+






=+


0,25
2
(1,0 ñiểm)
Thể tích khối cầu là: V =
3
3
3
54
155
6
15
.
3
4
3
4
a
a
R
π
π
π
=








=
(ñvtt)
0,25
1,0
ðiều kiện: x > -1
0,25
Xét hàm số: f(x) = e
x
- ln(1+x) - 1 trên khoảng (-1; +

)
Ta có: f'(x)= e
x
-
x
+1
1
; f''(x) = e
x
+
0
)1(
1
2
>
+ x
,
x∀ ∈
(-1; +

)
Suy ra f'(x) ñồng biến /(-1; +

)
0,25
Vì f'(0) = 0 nên f'(x) > 0 ,
x∀
>0
f'(x)<0,
x∀
<0
Ta có bảng biến thiên: x -1 0
∞+



)(
'
xf
- 0 +

f(x)
0





0,25



VII.b

Dựa vào bảng biến thiên ta có: f

(x) =0 <=> x = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 0
0,25
Hết
Thí sinh làm theo cách khác ñúng vẫn ñược cho ñiểm tối ña theo thang ñiểm của phần ñó
.

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×