Tải bản đầy đủ

Luận văn: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN docx

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
*****************


MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT
BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05


Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THẾ KHÔI
Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN





Thái Nguyên - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
M
m,n
(C)
m × n M
m,n
(C) m × n
m = n M
n
(C) M
n,n
(C)
GL(n, C) := {A ∈ M
n
(C), detA = 0}.
SL(n, C) := {A ∈ M
n
(C); detA = 1}.
O(n) := {A ∈ M
n
(R);
t
AA = E
n
},
n = p + q
O(p, q) := {A ∈ M
n
(R);
t
AD
p,q
A = D
p,q
},
D
p,q
a


ii
= 1, ∀i = 1, p
a
ii
= −1, ∀i = p + 1, n
U(n) := {A ∈ M
n
(C);
t
AA = E
n
}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
n = p + q
U(p, q) := {A ∈ M
n
(R);
t
AD
p,q
A = D
p,q
}.
O(n) SO(n) O(n)
SO(n) := {A ∈ O(n); detA = 1}.
A(n) := {D(a
1
, , a
n
); a
1
, , a
n
∈ C

}
a
1
, , a
n
G e χ
G χ
G × χ → χ
(g, x) → g · x
g · (g

· x) = (gg

) · x
e · x = x
g, g

∈ G, x ∈ χ
Autχ χ χ
ϕ :G → Autχ
g → g · x
• G χ χ G−
• x, x

∈ χ g ∈ G
x

= g · x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
• x
0
∈ χ G · x
0
χ
G · x
0
:= {g · x
0
; g ∈ G},
G · x
0
G x
0
• x
0
∈ χ χ
G
x
0
:= {g ∈ G, g · x
0
= x
0
}
x
0
G = GL(n, C) χ ⊆ C
n
χ
G × χ → χ
(A, x) → A · x
x ∈ C
n
χ
G χ
G− χ/G χ
G
G−
χ χ
G
G
x ∈ χ g · x = x g ∈ G
χ χ
λ :G → χ
x → g · x
g ∈ G
χ χ

G− f : χ → χ

f G− g ∈ G
x ∈ χ
g · f(x) = f(g · x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
H G G H
N
G
(H) := {g ∈ G; gHg
−1
= H}.
N
G
(H) G H
Aut(G/H) N
G
(H)/H
C
G
(H) := {g ∈ G; ghg
−1
= h, ∀h ∈ H}
H G
H = G
C
G
(G) = {g ∈ G; gh = hg, ∀h ∈ H} =: C(G).
G χ
G χ
G × χ → χ
(g, x) → x · g
(x · g) · g

= x · (gg

)
x · e = x ∀x ∈ χ, g, g

∈ G
G → G
g → g
−1
χ G−
g · x := x · g
−1
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
S
n
n
Autχ χ χ χ
n
:=
{1, 2, , n} S
n
= Autχ
n
• S
n
#S
n
= n!
• σ ∈ S
n
• σ ∈ S
n
σ
Sign(σ) := ε(σ) :=

1≤i<j≤n
σ(i) − σ(j)
i − j
.

ε :S
n
→ {−1, 1}
σ → ε(σ)
{−1, 1} R

=
R \ {0} Kerε

(i
1
, , i
r
) i
j
→ i
j+1
j < r i
r
→ i
1
r > 1
r = 1.

n (n
1
, , n
r
)
n
i
∈ N n
i
≥ n
j
i < j

n
i
= n
S
n
p(n)
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
n = 3
3 = 1 + 1 + 1
3 = 2 + 1
3 = 3
n = 3 (1, 1, 1) (2, 1) (3) S
3
C
1
= {id}
C
2
= {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}
C
3
= {(1, 2, 3), (1, 3, 2)}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
G V
π G V
π G AutV
π :G → AutV
g → π(g),
π(gg

) = π(g)π(g

), ∀g, g

∈ G.
AutV GL(V ) V
V
dim V = n π n π n
B = (v
1
, , v
n
) V F ∈ AutV
B A n × n A := M
B
(F )
V  C
n
AutV  GL(n, C)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
n G
g ∈ G π(g) = A(g) ∈ GL(n, C)
A(gg

) = A(g)A(g

), ∀g, g

∈ G.
π E
n
e
G π(e) = id
V
G G ⊂ GL(n, C) 1.1
π
0
π
0
(A) = A
A ∈ G
π G V π
π−
V
0
V
V
0
⊂ V π−
π(g)(v
0
) ∈ V
0
, ∀g ∈ G, ∀v
0
∈ V
0
.
π
0
:= π |
V
0
G V
0
π
0
π π
• V V
< ., . >:V × V → C
(v, v

) →< v, v

>
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
v, v

∈ V
< v, v

>= < v, v

>
∀v ∈ V < v, v > ≥ 0 ” = ”
v = 0
V = C
n
< x, y >:=
n

i=1
x
i
y
i
, ∀x, y ∈ C
n
.
π G V unita
π(g) v, v

∈ V g ∈ G
< π(g)v, π(g)v

> = < v, v

> .
π π

G C− V
V

G−
F : V → V

C− F : V → V

π π

g ∈ G
F π(g) = π

(g)F,
V
F
−−→ V

π(g)






π

(g)
V
F
−−→ V

π π

F : V → V

π
π

π ∼ π

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
π π

C Hom
G
(V, V

)
C(V, V

) C(V ) := C(V, V )
c(π, π

) = c(V, V

) = dim C(V, V

)
c(π, π

) π π

mult(π, π

)
π π

c(π, π

) = c(π

, π) = 0
G
G G
π
0
G ⊂ GL(n, C)
V = C
n
A ∈ G
G = SO(n) SU(n)
G = S
3
S
3
id = (1) x := (1, 2)
y := (1, 2, 3)
x
2
=

1 2 3
2 1 3

1 2 3
2 1 3

=

1 2 3
1 2 3

= id
y
2
=

1 2 3
2 3 1

1 2 3
2 3 1

=

1 2 3
3 1 2

=

1 3 2

xy =

1 2 3
2 1 3

1 2 3
2 3 1

=

1 2 3
1 3 2

=

2 3

yx =

1 2 3
2 3 1

1 2 3
2 1 3

=

1 2 3
3 2 1

=

1 3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
xyx =

1 2 3
2 1 3

1 2 3
2 3 1

1 2 3
2 1 3

=

1 2 3
2 3 1

=

1 2 3

y
3
=

1 2 3
3 2 1

1 2 3
3 2 1

1 2 3
3 2 1

=

1 2 3
1 2 3

= id.
g ∈ S
3
x y S
3
=< x, y > x y
V = C
π
1
(g) = 1, ∀g ∈ S
3
π
2
(g) = sign g ∈ {±1}, ∀g ∈ S
3
.
π
0
V = C
3
π
0
(y) = A(y) =


0 0 1
1 0 0
0 1 0


V = C
3
=
3

i=1
e
i
C
ω = e
1
z
1
+ e
2
z
2
+ e
2
z
2
∈ V
e
1
=
t
(1, 0, 0), e
2
=
t
(0, 1, 0), e
3
=
t
(0, 0, 1) z
1
, z
2
, z
3
∈ C
π
0
π
0
(g)ω =

i
e
g(i)
z
i
=

e
i
z
g
−1
(i)
.
π
0
V
1
:= (e
1
+ e
2
+ e
3
)C V
π
0
(g)(e
1
+ e
2
+ e
3
) = e
g(1)
+ e
g(2)
+ e
g(3)
= e
1
+ e
2
+ e
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
π
0
|
V
1
= π
1
V
1
ω =

i
z
i
e
i
< e
1
+ e
2
+ e
3
, ω >=

i
z
i
V
3
= {ω,

i
z
i
= 0}
V V
1
V

i
z
i
=

i
z
g
−1
(i)
g ∈ S
3
V
3
a := e
1
ξ + e
2
+ e
3
ξ
2
b := e
1
+ e
2
ξ + e
3
ξ
2
ξ = e
2πi/3
a, b V
3
π
2
:= π
0
|
V
3
π
2
S
3
π
1
π
2
π
0
χ G− G x → g · x V = F(χ)
f : χ → C f ∈ V
f
g
∈ V f
g
f
g
(x) = f(g
−1
x).
(λ(g)f)(x) := f(g
−1
x) λ
G V
(gg

) · x = g · g

· x
λ(gg

)f(x) = f((gg

)
−1
· x) = f(g

−1
g
−1
· x) = f(g

−1
· g
−1
· x)
λ(g)λ(g

)f(x) = λ(g)f
g

(x) = f
g

(g
−1
· x) = f(g

−1
· g
−1
· x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
λ(g.g

)f(x) = λ(g)λ(g

)f(x).
G
V G− V = F(χ)−
f
g
= f(x · g) (ρ(g)f)(x) := f(g · x)
ρ G V
x · (gg

) = x · g · g

ρ(gg

)f(x) = f(x · (gg

)) = f(x · g · g

)
ρ(g)ρ(g

)f(x) = ρ(g)f
g

(x) = f(x · g · g

).
ρ(gg

)f(x) = ρ(g)ρ(g

)f(x).
(π, V ) (π

, V

) G
π ⊕ π

π π

(π ⊕ π

)(g)(v ⊕ v

) := π(g)v ⊕ π

(g)v

, ∀v ⊕ v

∈ V ⊕ V

.
V = C
n
V

= C
m
π(g) = A(g) ∈ GL(n, C) π

(g) = A

(g) ∈
GL(m, C)
(π ⊕ π

)(g) =

A(g) 0
0 A

(g)

∈ GL(n + m, C).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(π, V ) (π

, V

) G V ⊗ V

V V

π ⊗ π

π π

(π ⊗ π

)(g)(v ⊗ v

) := π(g)v ⊗ π

(g)v

, ∀v ⊗ v

∈ V ⊗ V

.
V = C
n
V

= C
m
π(g) = A(g) ∈ GL(n, C) π

(g) = A

(g) ∈
GL(m, C) A(g) A

(g)
(π ⊗ π

)(g) =

a
1,1
A

(g) · · · a
1,n
A

(g)
a
n,1
A

(g) · · · a
n,n
A

(g)

∈ GL(nm, C).
V (e
i
)
i∈I
V

(f
j
)
j∈J
V ⊗ V

(e
i
⊗ f
j
)
(i,j)∈I×J
V (e
1
, e
2
, e
3
)
• ⊗
2
V
(e
1
⊗ e
1
, e
1
⊗ e
2
, e
1
⊗ e
3
, e
2
⊗ e
1
, , e
3
⊗ e
3
)
• S
2
V
(e
1
⊗ e
1
, e
1
⊗ e
2
+ e
2
⊗ e
1
, e
1
⊗ e
3
, e
2
⊗ e
2
, e
2
⊗ e
3
+ e
3
⊗ e
2
, e
3
⊗ e
3
)
• ∧
2
V
e
1
∧ e
2
:= e
1
⊗ e
2
− e
2
⊗ e
1
e
1
∧ e
3
:= e
1
⊗ e
3
− e
3
⊗ e
1
e
2
∧ e
3
:= e
2
⊗ e
3
− e
3
⊗ e
2
S
p
V ∧
p
V ⊗
2
V
e
i
1
e
i
p
:=

g∈S
p
e
i
g (1)
⊗ ⊗ e
i
g (p)
, i
1
≤ · · · ≤ i
p
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
e
i
1
∧ ∧ e
i
p
:=

g∈S
p
sign g e
i
g (1)
⊗ ⊗ e
i
g (p)
, i
1
< < i
p
.
• V S
p
V
C[u, v, w]
p
p π
G V e
i
→ π(g)e
i
S
p
π ∧
p
π S
p
V ∧
p
V

π
0
V

V
V

= Hom(V, C) = {ϕ : V → C, ϕ }.
dim V

< ∞ dim V

= V ϕ(v) =:< ϕ, v >
ϕ ∈ V

v ∈ V. dim V = n (e
1
, , e
n
)
dim V

= n (e

1
, , e

n
) V

< e

i
, e
j
>= δ
ij
(= 1 , i = j = 0 , i = j)
(e

1
, , e

n
) V

π G V
π

V



(g)ϕ)(v) := ϕ(π(g
−1
)v), ∀ϕ ∈ V

, v ∈ V.

1
, V
1
) (π, V ) G
V/V
1
π π
π(g) = π(g) + V
1
, ∀g ∈ G.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
π(g) = 0 + V
1
⇔ π(g) = π
1
(g)
π(g) = 0 + V
1
⇔ π(g) = π
1
(g)
(π, V )
(π, V ) (π, V )
V
1
⊂ V
V
2
V = V
1
⊕ V
2
π = π
1
+ π
2
π
1
G V
1
π
2
G V
2
(π, V ) (π, V )
(π, V )
(π, V )
G (π
1
, V
1
)
V
2
<, >

V
V  C
n
G−
< v, v

>:=

g∈G
< π(g)v, π(g)v

> ∀v, v

∈ G.
V
2
:= {v ∈ V, < v, v
1
>= 0, ∀v
1
∈ V
1
} V
2
V
1
V
2
π
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
v ∈ V
2
, g ∈ G
< π(g)v, v
1
>=< π(g
−1
)π(g)v, π(g
−1
)v
1
>=< v, π(g
−1
)v
1
>= 0
v
1
∈ V
1
π(g
−1
)v ∈ V
2
V
2
π(g
−1
)−
G (π, V ) G

1
, V
1
) (π
2
, V
2
)
V
2
:= V

1
= {v ∈ V, < v, v
1
>= 0 ∀v
1
∈ V
1
}.
G = R π
V = C
2
R  b →

1 b
0 1

=: A(b).
V
1
:= e
1
C
A(b)e
1
= e
1
, ∀b ∈ R.
V
2
:= vC =

x
y

C
V
1
A(b)v =

x + by
y

= λ

x
y

.
λ λ ∈ C x + by = λx y = λy y = 0 λ = 1
by = 0 b
(π, V )
π = π
1
+ π
2
π
1
π
2
(π, V ) π
π− V
i
V
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
V = V
0
⊃ V
1
⊃ ⊃ V
n
= {0}
π
i
V
i
/V
i+1
π
(π, V ) (π

, V

)
F ∈ C(π, π

) V = V

, π = π

dim V = n F F = λid λ ∈ C
i) F : V → V

π

(g)F (v) = F(π(g)v), ∀g ∈ G, v ∈ V (∗)
KerF = {v ∈ V, F (v) = 0}
π

V v ∈ KerF ⇒ F(v) = 0
(∗)
F (π(g)v) = π

(g)F (v) = 0
π(g)v ∈ KerF
ImF = {F (v), v ∈ V
V

π KerF = {0} KerF = V
π

ImF = {0} ImF = V

F
ii) V = V

F : V → V λ ∈ C
F

:= F − λE kerF

= {0} i)
F

= 0 F = λE
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(π, C
n
)
G π(g) = A(g) ∈ U(n) M ∈ GL(n, C
n
)
A(g)
MA(g) = A(g)M, ∀g ∈ G.
M M = λE
n
, λ ∈ C.
π
1−
(π, V ) G
F : V → V, v → π(g
0
)v
g
0
∈ G
π(g)F (v) = π(g)π(g
0
)v
= π(gg
0
)v π
= π(g
0
g)v
= π(g
0
)π(g)v
= F (π(g)v).
F λ ∈ C
F (v) = π(g
0
)v = λv, ∀v ∈ V.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
g
0
∈ G V
0
= vC V
π V = V
0
V
(π, V )
G dim V = n
π
χ
π
(g) := T rπ(g), ∀g ∈ G
T r π A(g) = (a
ij
(g)) ∈ GL(n, C)
χ
π
(g) =
n

i=1
a
ii
.
A

A A

= T AT
−1
, T ∈
GL(n, C) A A

χ
π
(e) = n = dim V.
π π(g) A(g)
D = D(λ
1
, , λ
n
) λ
1
, , λ
n
A(g)
χ
π
(g) =
n

i=1
λ
i
G G
π(g)
(π, V ) (π

, V

)
G
χ
π⊕π

= χ
π
+ χ
π

χ
π⊗π

= χ
π
× χ
π

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
G #G = m < ∞.
G #G = m
G
CG := {u : G −→ C}
CG u + u

(u + u

)(g) := u(g) + u

(g), ∀g ∈ G
λu
(λu) := λu(g), u ∈ CG , λ ∈ C,
uu

(uu

)(g) :=

a,b∈G;ab=g
u(a)u

(b), ∀ a, b ∈ G,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×