Tải bản đầy đủ

Đề cương ôn tập toán lớp 12 ôn thi đại học

 !"
A. #$%& PH'N 1: () S&
*+,-."

 !"#$%&'%%
( !"#)*+&," -,
( !"#).,
( !"#)/%+&
( !"#)-+ 01," -,
( !"#)2.,-+ 01," -,
3+4*/%!$,,"$3$3%5
*+,-/0123
(4566,767",8 9,%
3 2 4 2
ax b
y ax bx cx d; y ax bx c; y
cx d
+
= + + + = + + =
+
:;<,=%>?

(8223,,,/%8
( 05)2,6,@A,,"%7 !$6,*B
94/:5368 s
1.Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )
+ TXC : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 3ax
2
+ 2bx + c với ∆
/
= b
2
− 3ac

/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

•KL: Hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò • Cực tri D cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn:
E F
 @%5 5 ,54B
5 


→ ∞
=
@ GB
@ GB
+ ∞ >


− ∞ <

a
a
;
E F
 @%5 5 ,54B
5 
→ ∞
=
@ GB
@ GB
− ∞ >


+ ∞ <

a
a
+ Bảng biến thiên:
Chú ý :1. Dù y
/
= 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
2. H23;<<-=>5806?@A
B
CD;E8
FGEH.IJ1G5G.,*
+ Vẽ đồ thò • Xác Cực trò ?
•C&H,.
K6 tJL
I
E
) 5 E5
= −
F
E F
) 5 E5
= −
J5 E
E
) 5
=
J
E F
) 5 E5
= − +
K
E F
) 5 E5
= − +
LJ5 M
E
) 5
= −
N
E F
) 5 E5 F
= − +
O
E F
) 5 E5 J5 F
= − + −
P
E F
) 5 E5 E5 I
= − + −
IG
E
) 5 E5 F
= − + +
II
E F
) 5 E5 J5 I
= − + − +
IF
E F
) 5 E5 E5 I
= − + − +
IE)QJ5
E
RF5
F
RE5IIJ)Q5
E
RE5
F
RJ5IFIK)Q5
E
RE5
F
M5RO
IM)Q5
E
IK5
F
MO5LPMIN)Q5
E
LJ5EIO)Q5
E
M5
F
P5LJ
IP)QL5
E
RE5
F
JFG)QLF5
E
E5
F
LJFI)Q5
E
LE5
F
K5LF
FF)QL
E
E
x
F5
F
RE5LIFE)QJ5
E
RE5FJ)Q5
E
LE5
FK)Q5
E
RE5
F
F5FM)QLF5
F
IFN)Q5
ES
I
FO)QL5
E
RF5
F
FP)QL5
E
E5
F
P5LIEG)QL5
E
RF5
F
5
T ++
I
 !"
2 Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0 )
+ TXC : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 4ax
3
+ 2b.x =2x.(2a x
2
+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0 => y(0) = c
•KL: TUng " R n%VG
Gim t" R n%WG

X.m+,,"Y@GZ,B
y
/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔
G
F J
= = > =


− ∆

= ± = > = −


x y c
b
x y
a a
•KL: TUng? Gim?
X. 3 c,"
+ Giới hạn:
J F
 @ Bax bx c
x
+ +
→ ± ∞
=
@ GB
@ GB
+ ∞ >


− ∞ <

a
a

+ Bảng biến thiên:
Chú ý : H23;<<-=5806?@A
B
CD;E8
FGEH.IJ1G5G.,
+ Vẽ đồ thò : • cực đại, cực tiểu:
• y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương (hoH,,F&[8\A7%,=%"],
5^H,$" 09)
_
QG,.E#,F",=%5A
,
2 2
b b
a a
 
− − −
 
 
 
B
K6JL
IB)Q5
J
RF5
F
IFB)QL5
J
RF5
F
EB)Q5
J
RE5
F
FJB)Q5
J
RJ5
F
E
KB)Q5
J
RK5
F
JMB)Q5
J
RJ5
F
NB)QL5
J
FOB)QL5
J
E
J F
I E
PB ) 5 5
F F
= − − +

J F
IGB) 5 F5 I
= − +
11) y = x
4
– 2x
2
+ 1 12) y = x
4

+ 2x
2
-3
13) y = - x
4

+ 2x
2
+3 14) y = x
4

- 2x
2
-3 15) y = x
4

- 7x
2
+6 16)
J F
I E
) 5 5
F F
= − − +

3.Hàm phân thức: y =
ax b
cx d
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ: D = R\
d
c
 

 
 
+ Đạo hàm:
_
F
@ B

=
+
ad bc
y
cx d
ad−bc < 0 ad−bc > 0
y
/
< 0 ∀ x ∈D y
/
> 0 ∀ x ∈D
Hàm số không có cực trò
Hàm số nghòch biến trên D Hàm số đồng biến trên D
+ Tiệm cận:.

@ B
+
+
= + ∞
+
→ −
ax b
cx d
d
x
c

@ B

+
= − ∞
+
→ −
ax b
cx d
d
x
c

@ B
+
+
= − ∞
+
→ −
ax b
cx d
d
x
c

@ B

+
= + ∞
+
→ −
ax b
cx d
d
x
c
Ti,^x =
d
c


ax b
x
cx d
+
→ ± ∞
+
=
a
c
=> Ti,%y =
a
c
+B
T ++
F
 !"
+ Vẽ đồ thò: − Vẽ tiệm cận, điểm đặc biệt.
− Cho 2 điểm về 1 phía của ticận đứng vẽ một nhánh, lấy đối xứng nhánh đó qua giao
điểm hai ticận ta  9, ,`*.
K6 tJL

F5 I 5 E
IB) FB)
5 I 5
− − −
= =


5 I E 5
EB) JB)
5 I 5 F
− −
= =
+ +
 5B)Q
I
I
x
x
+


MB)Q
E
E
x
x
+

NB)Q
K M
M
x
x
+
+
OB)Q
F E
E
x
x
+
+
PB)Q
J F
F
x
x

+
IGB)Q
M I
E I
x
x

+

IIB)Q
K F
F E
x
x

+
IFB)Q
E
E
x
x
+

IFB)Q
F
F
x
x

+
IEB)Q
K
E
x
x

+
IJB)Q
F M
E
x
x
+


V4/:Vi.hương trình tiếp tuyến
1. Tiếp tuyến tại M(x
0
; f(x
0
)) có phương trình là :
+ Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/
(x
0
) = ?
+ P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f
/
(x
0
)(x− x
0
) + f(x
0
)M"NO20.PO/Q@R
!STIa5
G
#%)5
G
)Qb@5B 9,b@5
G
B
Fa)
G
#b@5
G
BQ)
G
# 9,5
G

2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x
1
; y
1
) của đồ thò h/s y =f(x)
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A , Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x
1
) + y
1
(*)
+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với ồ thò (C) là:
@IB
f(x) k(x x ) y
1 1
/
f (x) k (2)
= − +



=


có nghiệm
Thay (2) vào (1) giải tìm x=? => thay x @IB 9,k = ? thay 8 (*) 9,(ccc
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = f
/
(x
0
) = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = f
/
(x
0
) = −
I
a
(a dGB
+ Giả sử M(x
0
; f(x
0
)) là ti điểm => hệ số góc f
/
(x
0
) = k.
+ Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? => f(x
0
) = ? => y = k (x − x
0
) + f(x
0
)
K6 tJL
K6X
E
E F @ By x x C
= − −
%Be !"#)-@XB*
( )
3 LFZLJ

Be"#)-@XB)- 01
)QFJ5FGGO @4B
,Be !"#-@XB)2.,- 01f
I
)Q 5LFGGO @4gB
E
4Be !"#-@XB*%&,=%-"],
K6 2: Cho (C) : y = f(x) = x
4
- 2x
2
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) bi :
a) Tại điểm có hoành độ bằng
F
. b) Tại điểm có tung độ bằng 3.
c) Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007 d) Biết tiếp tuyến ⊥ với d
2
: y =
I
IG
FJ
x

.
K6 3:X@XB
F
I
x
y
x
+
=
+
a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thò hàm số với trục tung.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thò hàm số với trục hoành.
c) Viết p.trình tiếp tuyến với (C) tại biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
I
FGGN
J
y x
= − +
.
T ++
E
 !"
V4/U: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thò hàm số y = f(x) .
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)
+ y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thò (CB@h vij8B
+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thò (C) với đồ thò y = M (l k3-,,",,"B
K6*X
E F
F Oy x x x
= − − +
,.@XB
I@XB,=%
Fl%@XB:,,=% !"#f
E F
F O Gx x x m
− − + − =
K6*X
J F
F Ey x x
= − + +
@XB
I@XB,=%
F:,,=% !"#
J F
F I Gx x m
− + + =

VT-668G4BG4;,-J76*
V4/ 4: Xét tính đơn điệu
Phương pháp xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXC D= ?
+ Đạo hàm : y
/
= ? cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BXD (smp ,, nghim c=a PT y
/
= 0 "825,,=%n" sang phi tUng djn)
* y
/
> 0 thì hàm số tăng ; y
/
< 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng
Đònh lý 2 (dùng để tìm  tr m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
L kf(j),=)#"%&2U@B"+5,$,,+
48,"[*,Z,=)"*,[_,[,%
K6*X
E F F
)Q5 F5  

I @XB,=%8
Fm
= −

F c#&"5,
K6*X
5J
)Q
5
@XB
I @XB,=%
F c#&U@B"n85,,=%
94/W!?@683
• Dấu hiệu I :
+ MXC D=?
+ Đạo hàm : y
/
= ? cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/

+ BBT : (m,,,=%(c)
_
QG"825,,=%n"sang phi tUng djn)
+Tính y

; y
CT
; kt lun cc tr ?
!ST
IB Nu 2U@B"@%ZB#82,.,,""@%ZB
FB >,,",=%A!,=% !"#)
_
QG.
EB a,., %%#
5
G
,,",=%QV)
_
@5
G
BQGQVQo
5
G
XC,=%QV
_
@ B G
G
__
@ B G
=
<





 H
 H
QVQo5
G
Xc,=%QV
_
@ B G
G
__
@ B G
=
<





 H
 H
QVQo
T ++
J
 !"
• Dấu hiệu II:
+ MXC
+ Đạo hàm : y
/
= ? y
//
= ? cho y
/
= 0 ( nếu có ) => x
1
, x
2
… .
+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y
//
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
0
, y
CT
= ? Nếu y
//
(x
0
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
0
, y

= ?
Chú ý  fdấu hiệu II dùng cho những h/s mà y
/
khó xét dấu.
 +,-/0123 f
 9,,",=%p4* 9,6,", !"#f
q,Ef)Q%5
E
5
F
,54@%≠GB→82,.,,"H,,.F,,"
q,J4*f)Q%5
J
5
F
,@%≠GB→,.I,,"H,E, ,"
q[4*f
%5
,54
=
y
→,rUH,,r82,.,,"
K6*X
J F F
Fy x mx m m
= + + +

IB@XB,=%8
Fm
= −

FBc#&*,,&*
Ix
=

E c#&,.I,,"@E,,"B
K6*X
( )
E
J E I Iy x m x
= − + +

( )
m
C
I @X
G
B,=%8
Gm
=

F c#&*,,**5QLE
E c#&6@X

B,.%,,"@82,.,,"B
94/XY@I14>@Z4
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Miền đang xét [a;b]
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) _ x
1
, x
2
… . chr ch6n ,, nghim thu+c [a;b]
+ Tính y(x
1
) ; y(x
2
) ………. So sánh → KL
y(a) ; y(b)
+
%5 ) o
s%Zt
=

 ) o
s%Zt
=
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX  :
+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXC
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) ch6"@%ZB lo*'82+,@%ZB
+ BBT:
?tr-["@%ZB,.
Xu
%5 ) )
@%ZB
=
;
 trv["@%ZB,.
Xc
 ) )
@%ZB
=

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT
Xc
 ) )
@%ZB
=

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ
Xu
%5 ) )
@%ZB
=


* a2U@B"@%ZB#82,.,,""8@%ZB
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXC của h/s đó :
+ nếu TXC là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
+ nếu TXC là một khoảng thì dùng cách 2
T ++
K
 !"
K6 tJL
c#?cTaR?caa,=%%f
IB
[ ]
E F
) F5 E5 EM5 IG " LKZJ
= − − +
FB
J F
) 5 F5 K " Z
F F
π π
 
= − + −
 
 
EB)Q@I5B,5"*
[ ]
GZF
π
JB)QF5@5,5B"s
2
;0
π
t
KB
( )
F
F Jy x x
= + −
MB
F
E IGy x x
= + −

NB
( )
Jy x x
= −
OB
( )
J F
F If x x x
= − +
"*
[ ]
GZ F

PB
( )
F 5f x x c
= +
"*
GZ
F
π
 
 
 
IGB
( )
P
f x x
x
= +
"*
[ ]
FZJ
IIB
( )
J
I
F
f x x
x
= − + −
+
"*
[ ]
IZF

IFB
( )
E F
F M If x x x
= − +
"*
[ ]
IZI


IEB
E F
F E Iy x x
= + −
"sLFZLI_FtZsI$EB IJB
F
Jy x x
= + −
.
IKB
E
J
F5L 
E
y x
=
"*sG$wt IMB
F F5J5y c
=
 5∈sG$w_Ft
94/[YO/<8O/M/*\068]/R*
1. Cho hai đồ thò (C
1
) : y = f(x)  (C
2
) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) (nếu có )là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
x>,=%@IB%&,=%% 0,
2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thò (C
1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt
b @5B @5B
b @5B  @5B
=


′ ′
=

có nghiệm
K($^_Y`
K6*X)Q5
E
RE5F @XB
I @XB,=%
F l%@XB$:,,=% !5
E
RE5FRQG
E e !"#),=%@XB*&3@FZJB
J e !"#),=%@XB*&,.+
I
F
x
=

K e !"#,=%@XB*,,&,.+)QG
K6*X)QL5
E
E5LJ@XB
I @XB,=%
F l%@XB$:,,=% !5
E
RE5QG
E e !"#),=%@XB*&,.+
I
F
x
=

J e !"#),=%@XB$.,,=%)
P
J
k
=

K e-@XB$)- 01@4Bf)QE5FGIG
K6U*X
3
4 3 1
y x x
= − −
@XB
I @XB,=%
F l%@XB:, !"#f
− + =
3
3
0
4
x x m
T ++
M
 !"
E e,=%@XB$)- 01
( )
IK
f FGIG
I
P
d y x
= − +
J e,=%@XB$)2.,- 01
( )
f FGIG
F
NF
x
d y
= − +
K e !"#),=%@XB$)/%&3@IZLJB
K6a*X
3 2
y = 2x - 3x - 1
@XB
I @XB,=%
F e,=%@XB$)2.,- 01
( )
I
F
4 f)Q 5FGIG
E
E e !"# 01/%3@FZEB5;,-@XB
J c#& 01
( )
4 f)Q5LI
F
,m@XB*E&y
K e !"# 01/%%&,,*,,&,=%@XB
K6W*X
3 2
y = -2x + 3x - 1
@XB
I @XB,=%
F e,=%@XB$)2.,- 01
( )
I
F
f FGIG
E
d y x
= − +
E e !"# 01/%
I
3 IZ
J
 
 
 
5;,-@XB
J c#&
3 2
2 3 4
x x m
- + -
QG,.E,
K6X*X
( )( )
2
y = 2 - x x+ 1
 @XB
I @XB,=%
F c#&@XzB
( ) ( )
F Fy x m
= − −
,m@XB*E&y
E e,=%@XB$)2.,- 01
( )
I
E
f FGIG
O
d y x
= − +
K6[*X
E
F
F E I
E
x
y x x
= − + +
@XB
I @XB,=%
F :,,=% !"#f
E F
M P E Gx x x m
− + + − =
E c#[,,,y5^,=%@XB
J e !"#),=%@XB*&,..,)v[
K e !"# 01/%&
N
3 JZ
E
 
 
 
5;,@XB
K6b*X
( )
E F
E I Fy x m x
= − + + −
I @XB,=%8QG
F :8,,=% !"#f
E F
E F Gx x k
− − =

E c#&,.,,*,,&
J c#&*,,**5QF
K c#[,'&
( )
3 X

%,%8{ 9,;+)@XB
K6c*X
E F
O J IM
FN P P
y x x x
= − − +
@XB
I @XB,=%
F :,,=% !"#f
E F
O IF JO Gx x x m
+ − − =
E e !"#),=%@XB*&,..,)-[
T ++
N
 !"
K6D*X
( )
E
J E I Iy x m x
= − + +

( )
m
C
I @X
G
B,=%8QG
F l%@X
G
B:8,,=% !"#f
E
J E Gx x k
− + =
E c#&6@X

B,.%,,"
J e !"# 01/%%&,,",=%6@X

B
K c#/|},,,",=%6@X

B
K6*X
J F
Fy x x
= −
@XB
I @XB,=%
F :,,=% !"#
J F
Fx x m
− =
E e !"#),=%@XB*&,.+5QG
J e !"#),=%@XB*&,.+)QO
K e !"#),=%@XB$.,,=%)AFJ
K6*X
J F
F Iy x x
= − + −
@XB
I @XB,=%
F :,,=% !"#
J F
Fx x m
− =

E e !"#),=%@XB*&,.+5QF
J e !"#),=%@XB*&,.+)QLP
K e !"#),=%@XB$.,,=%)AFJ
K6U*X
J F
Iy x x
= + +
@XB
I @XB,=%
F :,,=% !"#
J F
Fx x m
− =

E e !"#),=%@XB*&,.+
FI
IM
y
=

J e,=%@XB$)- 01
( )
I
f M FGIGd y x
= +

K e,=%@XB$)2.,- 01
( )
F
I
f FGIG
M
d y x
= +

K6a*X
J F
Iy x x
= − +
@XB
I @XB,=%
F :,,=% !"#
J F
Gx x m
− + + =
E e !"#),=%@XB*&,.+
E
IM
y
=

J e !"#),=%@XB$.,,=%)AF
K6W*X
I
J F
F
J
y x x
= −
@XB
I @XB,=%
F c#& !"#
J F
Ox x m
− + =
,.J,y
E e,=%@XB$)- 01
( )
I
f IK FGIGd y x
= +

J e@XB$)2.,- 01
( )
F
O
f FGIG
JK
d y x
= − +

K6X*X
I
J F
F I
J
y x x
= − + −
@XB
I @XB,=%
F c#& !"#
J F
O Jx x m
− + =
,.F,y
E e !"#),=%@XB*&,.+5QI
T ++
O
 !"
J e,=%@XB$)2.,- 01
( )
f O FEI I Gd x y
− + =

K e !"# 01/%&3@GZLIB5;,-@XB
K6[*X
J F
F Ey x x
= − +
@XB
I @XB,=%
F l%@XB$: !"#
J F
F Gx x m
− + + =

E e !"#),=%@XB*%&,=%@XB-"],
J e !"#),=%@XB*&,.+AE
K6b*X
J
5 K
F
)Q LE5  
F F
I @XB,=%8QI
F :8,,=% !"#
J F
M Gx x k
− + =

E c#&@IB*,,&*
Ex
=
c#&@IB,.E,,"
K6c*X
J F F
)Q5 F5  

I @XB,=%8QLF
F :8,,=% !"#
J F
J Gx x k
− + =

E c#&*,,&*5QLI
J c#&,.I,,"
K6D*X
(
)
J F F
)Q5   LP 5 IG
@IB
I @XB,=%8
Im
=

F c#8& !"#
J F
O IG Gx x k
− + =
,.%,y
E e,=%@XB$)2.,- 01@4BF5JK)RIQG
J c#&,.+&,,"#&,.%&,,"
K6 * X
F5I
)Q
5I
@XB
I @XB,=%
F e !"#),=%@XB*&,.+
I
F
x
=

E e !"#),=%@XB*&,.+
I
F
y
= −

J e !"#),=%@XB$.,,=%)8QLE
K c#& 01
( )
K
4 f)Q5 LF
E
,m@XB*F&y
K6 * X
5I
)Q
5LI
@XB
I @XB,=%
F e !"#),=%@XB*&,.+
I
F
y
=

E e,=%@XB$)- 01
( )
I
P
f FGIG
F
d y x
= − +

J e,=%@XB$)2.,- 01
( )
F
I
f I
O
d y x
= −

K6 U* X
I
I
x
y
x

=
+
@XB
T ++
P
 !"
I @XB,=%
F e !"#),=%@XB*%&,=%@XB"],
E e !"#),=%@XB*%&,=%@XB"],
J e,=%@XB$)2.,- 01
( )
I
O I
f
P E
d y x
= − +

K6 a* X
E I
I
x
y
x
+
=

@XB
I @XB,=%
F e,=%@XB$)- 0y,,=%.,j ^[
E c#& 01@4
I
B)Q5LFLN,m@XB*%&Y$y
J e,=%@XB$)2.,- 01@4
F
Bf5)RFQG
K c#'&"@XB,.*+-++7)
K6 W* X
F
F
x
y
x
+
=

@XB
I @XB,=%
F e,=%@XB$)2.,- 0y,,=%.,j ^%
E e !"# 01/%&3@EZJB5;,-@XB
J c#& 01
( )
4 f)Q5EL
I
@XB*%&Y$y
K c#'&"@XB,.*+-++7)
K6 X* X
E
F I
x
y
x

=

@XB
I @XB,=%
F e !"# 01/%&
M
3 LEZ
K
 
 
 
5;,-@XB
E c#'&"@XB,.*+-++7)
K6 [* X
J
I
x
y
x
+
=
+
@XB
E @XB,=%
J c#& 01@4Bf5R)QG,m@XB*%&yY$
K e !"# 01/%&
IG
3 LFZ
E
 
 
 
5;,-@XB
K6 b* X
F J
I
x
y
x

=
+
@XB
I @XB,=%
F e !"#),=%@XB*,,%&,=%@XB 01
( )
f
I
d y x
= −

K6 c* X
F
I
x
y
x
+
=

@XB
I @XB,=%
F c#'&"@XB%,8n&."],[28,,n
."],
E e !"#),=%@XB*'&# 9,i,yF
+,-/01236G]683235/7,-<3O
* :533?G.,060d/Q@PO683*
* 9./Ae..78]/<8>;E3;1*
U* e8/A@Z4>@I14PO8]683*
a* fg/Q@M!R/h0d/<GEI3E8ei;3E81*
W* e8@O83/<683;?@>;?@i;?@1*
T ++
IG
 !"
PH'$$: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Y,-/0123
I am'5,&4]#5,],]",HC&$
F am',2^,}*&],]"j#)}},y
Vấn đề 1: Tìm tập xác đònh của hàm số
* q s)Q
%
b@5B5,
@ B G
G I
f x
a
>


< ≠

Bài 1: Tìm tập xác đònh của các hàm số sau
a) y =
F
E

IG x

b) y = log
3
(2 – x)
2
c) y =
F
I

I
x
x

+
d) y = log
3
|x – 2| e)y =
F E
 @ FB
K
x
x


f) y =
I
F
F

I
x
x

g) y =
F
 J K
I
F
x x
− + −
h) y =
F
I
 Ix

i) y= lg( x
2
+3x +2)
Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số mũ
a) y = x.e
x
b) y = x
7
.e
x
c) y = (x – 3)e
x
d) y = e
x
.sin3x
e) y = (2x
2
-3x – 4)e
x
f) y = sin(e
x
) g) y = cos(
F
F Ix x
e
+
) h) y = 4
4x – 1
i) y = 3
2x + 5
. e
-x
+
I
E
x
j) y= 2
x
e
x -1
+ 5
x
.sin2x k) y =
F
I
J
x
x

Bài 2 . Tìm đạo hàm của các hàm số logarit
a) y = x.lnx b) y = x
2
lnx -
F
F
x
c) ln(
F
Ix x
+ +
) d) y = log
3
(x
2
- 1)
e) y = ln
2
(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.log
a
(x
2
+ 2x + 3)
Ef
a) cho
I
g
 f I
I
 
= + =
 
+
 
y
y cmr xy e
x
b) cho
(
)
F
g F
F
 f I

= = −
x
y x e cmr xy x y
'$$$jkYlm)n9(VoYl$*
+,-/0123*
I am'},[,=%~%"
F am'+,,,,2^,7~%"
E am'C&%"5,
J am'+,,,,2^,nIBJB,,,2^,,`*m&
• Dạng cơ bản:
IB
b @5B
%
Q
@5B
%
⇔b@5BQ@5BFB
b @5B
%
Q@vớiVGB⇔b@5BQ
a

EB
a
b@5BQ
a
@5B⇔
b @5B GU, @5B G
b @5B @5B
> >


=

JB
 b @5B 
%
G % I
=


< ≠

⇔b@5BQ

%
KB
@5B

QI⇔@−IB@5BQGMB
 @5B
@5B
Q⇔
[ ]
@5B G Z @5B GZ @5B I

@5B @5B
> > ≠



=


@"đó u có chứa biếnB
T ++
II
 !"
• Đặt ẩn phụ :
1) α.
Fb @5B
%
+β.
b @5B
%
+ γ = 0 (α ≠ 0) ; Đặt : t =
b @5B
%
, Đk t > 0
2)
 b @5B
@% B
+
α
 b@5B
@% B G

+ β + γ =
(α ≠ 0) : Đặt : t =
b @5B
%
Đk t > 0
3) α.
b @5B
%
+β.
b @5B

+ γ = 0 và a.b = 1 (α ≠ 0); Đặt: t =
b @5B
%
;
I

=
b @5B

, Đk t > 0
4) α.
Fb @5B
%
+β.
( )
b @5B
%
+ γ.
Fb @5B

= 0 ; Đặt t =
b @5B
%

 
 
 
,
C- !"#%"\:n• %7 !^  !"#~$)
,;k,2^,•,!
xCHC&%",j•5,
xaHQ
 b@5B
%
#
I
 % Q 
b@5B

@GW%≠IBZC≠G
Vấn đề 1: Phương trình mũ
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các phương trình sau
a)
J
E
F J
x

=
b)
K
F
M
F
F IM F
x x
− −
=
c)
F E E K
E P
x x
− −
=

d)
J O I E
F J
x x
+ −
=
e) 5
2x + 1
– 3. 5
2x -1
= 110 f)
IN
K
I
N E
EF IFO
J
x
x
x x
+
+
− −
=
f) 2
x

+ 2
x -1
+ 2
x – 2
= 3
x
– 3
x – 1
+ 3
x - 2
g) (1,25)
1 – x
=
F@I B
@G$MJB
x
+

8B
I F
F E K IF
x x x
− −
=
e)
F I
K O KGG
x x

=
f) 5
2x + 1
- 7
x + 1
= 5
2x
+ 7
x
Bài 2 : Giải các phương trình sau
I
EF
=
x
F
xx
EF
I
=
+
E
xxxx
EEFF
IFI
+=+
+++
J
JF
FE
=

x
K
JF
F
F
=
+
xx
M
P
I
E
N
F
=

x
N
IFK
I
K
J
F
=

xx
O
FF
F
I
FE
=









x
9) 2
x - 2
= 3 10) 3
x + 1
= 5
x – 2
11) 3
x – 3
=
F
N IF
K
x x
− +
12)
F
F K M
F K
x x x
− − +
=
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các phương trình
a) 2
2x + 5
+ 2
4x + 3
= 12 b) 9
2x +4
- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0 c) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1
– 75 = 0
c)
(
)
(
)
K F M K F M IG
x x
+ + − =

F I
4BE PE M G
x x
+
− + =
e)
I
N FN P G
x x

+ − =

g)
F F
F PF F G
x x
+
− + =
h)
I
K F O
F G
F K K
x x
+
   
− + =
   
   
i)
E
K K FG
x x

− =

K($*?,, !"#%
%
J KF M G
x x
− − =

F
J F E G
x x
+
− + =
,
I
F
F
P E M G
x
x
+
+
− + =

4
 
J EF F G
x x
− + =
:
I
E E F G
x x
− +
− + =
b
F
K K G
x x
− +
− =
K($U*?,, !"#%
%
GJMMKP
=+−
xxx

F
F @F E B MP G
x x x x
+
+ − =
,
@E F B@E EF B OM G
x x x x x
+ + = =

4
P NIK MFK G
x x x
+ − =
:
I I I
J M P
x x x
− − −
+ =
B
I_ I_ I_
J M P
x x x
+ =

P IEM MJ IG
x x x
h
− + =

J FFK NIG G
x x x
i
+ − =
T ++
IF
 !"
Vấn đề 2: Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 1: giải các phương trình
a) log
4
(x + 2) – log
4
(x -2) = 2 log
4
6 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5 d) log
4
(x +3) – log
4
(x
2
– 1) = 0
e) log
3
x = log
9
(4x + 5) + ½ f) log
4
x.log
3
x = log
2
x + log
3
x – 2
g) log
2
(9
x – 2
+7) – 2 = log
2
( 3
x – 2
+ 1) h)
( ) ( )
E E E
 F  F  Kx x
+ + − =
K($*?,, !"#%
%
GBK@
F
=−
x

IBIM@
N
=+
x
,
EBKE@
E
I
=+
x
4
FPF
E
−=+
x

:
F
I
FE
J
I
−=−
x
b
FBIG@
=−
x

FBF@
=−
ex

IBB@E@
NE
=
x
K($U*?,, !"#%
%
G
J
J
FF
=++
xxx

I
IGG
IGG
I
=++
xxx
,
exxx
e
e
e
=++

FI

K($a*?,, !"#%
%
GBE@
FF
=++
xx

IBI@BI@
E
I
F
E
=−+−
xx

,
FBJF@BO@
F
K
I
E
K
=+++−
xxx
4
FBF@BO@
K
I
E
K
=−+−
xx

:
GBF@BE@
F
E
O
=+++
xx

FBI@BPP@
E
I
F
E
=−+−
xx

Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 1: giải phương trình
a)
I F
I
J  F x x
+ =
− +
b) log
x
2 + log
2
x = 5/2 c) log
x + 1
7 + log
9x
7 = 0
d) log
2
x +
F
IG M Px
+ =
e) log
1/3
x + 5/2 = log
x
3 f) 3log
x
16 – 4 log
16
x = 2log
2
x
g)
F
F I
F
F
 E  Fx x x
+ + =
h)
F
F
 IM   MJ E
x
x
o
+ =
K 6* ?,, !"#%
%
GF
F
F
F
=−+
xx

GP
E
E
F
F
F
=+−
xx
,
F
F
J

F
F
=
x
x
x
F


4
BJ@BJ@
FEF
xxx
−=−
:
GBIE@BIE@
E
E
E
=−−−
xx
b
G
IG

IG
K
=+

xx

FBFE@
=−
x
x

GBIE@BEE@
E
I
E
=++
+
xx

x
x
FBEEJ@
E
=−

'$9KpjkYlm)n9(VoYql$
• Dạng cơ bản :
I
G

b @5B
%
V
@5B
%
⇔
b @5B @5B 8 % I
b @5B @5B 8 G % I
> >


< < <

E
G

b @5B
%
W
xNếu b ≤ 0 thì bpt vô nghiệm
* Nếu b > 0 ; f(x) < log
a
b nếu a > 1
f(x) > log
a
b nếu 0 < a < 1
F
G

b @5B
%
V
* Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x
* Nếu b > 0 f(x) > log
a
b nếu a > 1
b@5BW
a
nếu 0 < a < 1
•log
a
f(x) > log
a
g(x) (1)
+ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1
+ (1)  (a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0
T ++
IE
 !"
•log
a
f(x) > b
* Neáu a > 1 : bpt laø f(x) >
b
a
* Neáu 0 < a < 1 bpt laø 0 < f(x) <
b
a

( )
@5B
@5B
> 1 ⇔
@ B G
@ @ B IB @ B G
u x
u x v x
>


− >


•log
a
f(x) < b
* Neáu a > 1 : bpt laø 0 < f(x) <
b
a
* Neáu 0 < a < 1 bpt laø f(x) >
b
a

( )
@5B
@5B
< 1 ⇔
@ B G
@ @ B IB @ B G
u x
u x v x
>


− <


T kf
xBc"" 09,.€4 -,!@%,^%€B#,;%•4],2^,%&
"i4‚4%!-,2^,%f
I
G

b @5B
%

@5B
%
>
@%−IB@b@5B−@5BBVGF
G

a
b@5BV
a
@5B@%−IB@b@5B−@5BBVG
xB[ !"#~H,%"#m'},[!,=%%
"am'ƒ[)9$[)%,=%%%)79
K60JL
K($*?,,[ !"#%
%
EF
>
x

xx
EF
I

+
,
xxxx
EEFF
IFI
+>+
+++
4
JF
FE


x
K($*?,,[ !"#%
%
GMFKJ
<−−
xx

GEFJ
F
≥+−
+
xx
,
GMEP
F
F
I
>+−
+
+
x
x
4
GFEE
I
<+−
+−
xx

:
GKK
F
≤−
+−
xx

GJMMKP
>+−
xxx

GPMBEF@F
F
<−+
+
xxxx

K($U*?,,[ !"#%
%
F
F
F J
x x
+
<

GFKMIKNP
≤−+
xxx
,
I I I
J M P
x x x
− − −
+ ≥

4
F
I
J
K
IFK
x x


:
F
I
N
E
P
x

>

@E F B@E EF B OM G
x x x x x
+ + − ≥

( )
E F
F F F
x


„…Jf?,,[ !"#%f
%
E PE IG G
x x

+ − <

I
I I
F O
J
J IM
x x

   
− >
   
   
,
F_ F I_
I I
P IF
E E
x x
+
   
+ >
   
   
4
6
x
x 2
9 3
+
<
:
1
1
2x 1
3x 1
2 2

+


x x
3 9.3 10 0

+ − <

+ − ≤
x x x
5.4 2.25 7.10 0


+


1 1
x
x 1
1 3
3 1
8
2 x x 1 x
5 5 5 5
+
+ < +
K($W*?,,[ !"#%
%
G
E
<
x

I
E
I
>
x
,
F
K
I

x
4
F
E
−>
x
:
K
I

E
−≥
x
K($X*?,,[ !"#%
%
GBK@
F
<−
x

IBIM@
F
I
≥+
x
,
EBKE@
E
I
>+
x
4
FPF
E
−<+
x

:
F
I
FE
J
I
−>−
x
b
FBIG@
≤−
x

FBF@
≥−
ex

GBB@E@
NE
<
x
K($[*?,,[ !"#%
%
G
J
J
FF
<++
xxx

I
IGG
IGG
I
>++
xxx
,
F
FI
−≤++
xxx
e
e
e

K($b*?,,[ !"#%
%
GBE@
FF
>++
xx

IBI@BI@
E
I
F
E
<−+−
xx

,
GBJF@BO@
F
K
I
E
K
≤+++−
xxx
4
FBF@BO@
K
I
E
K
≥−+−
xx

K($c*?,,[ !"#%
T ++
IJ
 !"
%
GF
F
F
F
<−+
xx

JP
FE
E
F
F
F
>+−
xx
,
F
F
J

F
F

x
x
x
F


4
BJ@BJ@
FEF
xxx
−=−
:
FNBIE@BIE@
EE
F
E
≥−−−
xx
b
G
IG

IG
K
<+

xx
K($D*?,,[ !"#%
%
FBFE@
>−
x
x

x
x
FBEEJ@
E
<−
,
GBIE@BEE@
E
I
E
≥++
+
xx

„…II?,,[ !"#%f
%
( )
2
8
log x 4x 3 1
− + ≤

− − <
log x log x 3 0
3 3
,
( )
− >
 
 
2
log log x 5 0
1 4
3
4
( ) ( )
+ ≥ + −
log x 3 1 log x 1
2 2
:
+ ≥
5
log x log 3
x
1
2
3
b
( )
− <
 
 
x
log log 3 9 1
x
9

>
log 2.log 2.log 4x 1
x
2x 2

+

4x 6
log 0
1
x
3

( )
( )
− + + − <
2
log x 6x 8 2log x 4 0
5
1
5
'9Yr+s()tu!v
*@wO


b
(

5
)
4
5

=
†
(

5

)

+

X

c".†z@5BQb@5B$X A‡)k
*!x4/54*


JH=H+!y*


z
(

H
)
JH
=



z
(

H
)
JH>I6{3
y
3. ∫

(

+
0
+
|**
)
JH
=



JH
+



0JH
+



|JH
+
***a*


0}JH=0−


0}JHyW*


J0
=
0




0J*
K5",68,-23-1
adx ax C
= +


F
a a
dx C
x
x
= − +


I
I
I
−≠+
+
=

+
nC
n
x
dxx
n
n

Cxdx
x
+=


I


@%5B

@ 5B 45Q @ LIB
%@IB
a C
+ ≠


I
 5
5
dx
a C
a a
= +


x x
e dx e C
= +


I
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +



x
a
x
a dx C
a
= +


+−=
Cxxdx ,

I
@ B ,@ Bax b dx ax b C
a
+ = − + +



+=
Cxxdx ,


+=
Cxdx
x
%
,
I
F

I
,@ B @ Bax b dx ax b C
a
+ = + +



+−=
Cxdx
x
,

I
F


+=

Cxudx
xu
xu
B@
B@
B@

I I
%@ B
F
, @ B
dx ax b C
a
ax b
= + +

+


+
+

=

C
ax
ax
a
dx
ax

F
II
FF


+++++=+
Caxx
a
ax
x
dxax
FFF

FF
Z
I I
,@ B
F
 @ B
dx ax b C
a
ax b
= − + +

+

K6 q6,,jY1
La),=%+•@B,=%7,}•@B,=%,,),=%
'j
La),=%+},@ !Bcủa nhiều hàm số không bao giờ bằng tích@ !B,=%,,
),=%'j
L3#),=%+%•)+tổng hoặc hiệu,=%
'# 9,)
T ++
IK
 !"
94/e8,68G{ 3~JLG5,68G5
I
J
x dx

F
@E IBx dx


E
F
@E M IBx x dx
+ −

J
J F
@ KBx x dx
− −


K
F
E
F
@E IBx dx
x
+ −

M
F
E
@ E IBx x x dx
+ − −

N
F
@E M B
x
x x e dx
+ −

O
@ KE B
x x
e dx




P
@E5LK, IBx dx


IG
F
N
@E5F, B

x dx
c x


II
F
@F B

x
x
e
e dx
c x

+

IF
F Kx dx
+

 IE
E Ox
e dx


IJ
I
I K
dx
x


IK
F
N
x
x
dx

IM
I
N K
dx
x


IN
 Kxdx

IO
,@J F Bx dx


IP
F
 Exdx

FG
F
, @I N Bx dx


FI
5 Kxdx

 FF
5,Exdx

FE
,F5,Exdx

FJ
N
 ,x xdx

FK
%Kxdx

FM
F
% xdx

FN
I
@ IB
dx
x x
+

94/e8,68G{/G.3*
f7c}…Q
bs@5Bt g@5B45

A,,HQ@5B
ˆ CHQ@5B
4 g@5B45
⇒ =
ˆ …Q
bs@5Btg@5B45 b @B4
=
∫ ∫
f7c}…Q
b @5B45

a82} 9,:4*I "},y,.,^%+"
,,&^,%#,.&• %f
I
F F
% 5 Z
F F
% 5


#H5Q%
I
F F
% 5 Z
F F
% 5
+
+
#H5Q%%
VTIq6,"4*I•4]*),!
Fa4* 9,A•
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
I
N
@F Bx x dx


@HQFL5BF
E Jx xdx


@H
J Et x
= −
BE
F
I I
 dx
x x

@H
I
t
x
=
B
J
F
 x
dx
x

@H
t x
=
B K
F E E
Ex x dx
+

@HQE5
E
B M
I
x x
dx
e e



@H
x
t e
=
B
N
F F
@I B
x
dx
x
+

@HQI5
F
BO
E F
Fx x dx
+

@HQI5
F
B P
@ Bx
dx
x

@HQ5B
IG
X5
45
F  5

+
II
E

F
I ,
x
dx
x

+
IF
E
tg xdx

IE
E
J
I ,
x
dx
x

+
94/Ue8,68G{•-
a@5B$@5B%,.*],"…

q%) @-4Qz@5B45$4Qz@5B45B
‰Š‹Œ•Ž‹•Œ•‘’“•Œ”•–—Œ˜—™•Œ˜—š–Œ›œ•—Œ—•žŒ”ŸŒ ¡¢•Œ £‹Œ›œ•—Œ˜—š–Œ›—•–—Œ•¤•Œ—•žŒ”ŸŒ ¥Œ˜—¤›Œ—•¦–Œ‹Œ§•Œ §
Fq6,m'+4*y},,!%f
T ++
IM
 !"
€•‚ƒ„…

@ B
ax
f x cosax dx
ax
e
 
 

 
 
 
-b@5B%^,fCH
@ B g@ B
 
,
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
= =
 
 
   
 

 
   
= =

 
   
 
   
   
 
>%.%),2^,
4  4
= −
∫ ∫
&}
€•‚ƒ„†
@ B@ Bf x ax b dx
+

-b@5B%^,f ¨©›Œ

@ B
@ B
@ B
a dx
u ax b
du
ax b
dv f x dx
v f x dx

= +
=



+
 
=


=


>%.%),2^,
4  4
= −
∫ ∫
&}
€•‚ƒ„‡


ax
ax
e dx
cosax
 

 
 
c%,nj%j-Q:
%5
T kfq6,82,j/,;"64*E,r"4*IF
K6U*e8,683OG{,68•-
IB
@E IBx xdx
+

 FB
@F EB,x xdx
+

 EB
@E K B,
F
x
x dx


JB
F
@I Bx xdx



KB
@F EB
x
x e dx


MB
F
@ J IB
x
x x e dx
− +

NB
@F IB
x
x e dx

+

OB

x
e xdx


PB
F
@ J IB
x
x x e dx
− +

IGB
@F IB
x
x e dx

+

IIB

x
e xdx

IFB
E
  x
dx
x

IEB
@I Bx x dx


IJB
F
x xdx

IKB
F
I

x
dx
x
+

IMB
@F EB
x
x e dx



94/ae8,68PO683IAM8]3J7G5R*
ª,j-6,
I am',,,2^, 9,,2^,•
F am'*,, 9,
l*If
@%5B@,54B45

Z
@%5B,@,54B45


,@%5B,@,54B45


xc,,2^,•},•"}},y
l*Ff
 
 %5, %545

@$,,)4 !B
xBa{$,«#HQ,%5
xB{$,«#HQ%5
xBa$7,«#fl‡,2^,y2%.4,2^,*,&}@
+"FQGH,QG,`*,«#%,r4,2^,*,B
xB$∈¬),«#,.&HQ%%5H,Q,%5
I
F J
 ,x xdx

F
F E
 ,x xdx

E
J K
 ,x xdx

J
E E
@ , Bx dx
+

K
F F
,F @ , Bx x x dx
+

M
F F
@F  , , Bx x x x dx
− −

N
,K ,Ex xdx

 O
 N  Fx xdx

P
F
 xdx

IG
 ,
F
x
xdx

94/W,68;/E
K6e8683zMHRG.{
Ibz@5BQF5Ib@IBQKFbz@5BQFR5
F
b@FBQN_E
Ebz@5BQJ
xx

b@JBQGJbz@5BQ5L
F
I
F
+
x
b@IBQF
T ++
IN
 !"
Kbz@5BQJ5
E
RE5
F
Fb@LIBQEXbz@5BQ%5
FBI@$JBI@$GBI@g$
F
=−==
fff
x
b

K6X%
( )
I I
F
F J
sin
F x x x
= +
Z
( )
F
=
cos
f x x

%X^"A†@5B),=%b@5Bc#)†@5B"A
G
J
F
π
 
=
 
 

K6UfX
( )
O F J
=
sin cos cos cos
f x x x x x

%? !"#
( ) ( )
G
′′
+ =
f x f x

c#)†@5B,=%b@5B"A,=%†@5B/%&
G
O
π

 
 
 
;
M

K6aX
x
y xe
=

%c}
y


( )
F

y
c#),=%
( ) ( )
FGGN
= +
x
f x x e

K6Wc#)
( )
F x
,=%
( )
E F
F
E E I
F I
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
$"A
( )
I
I
E
F
=

'9$u!v
*@wOf
( ) ( ) ( ) ( )

b
b
f x dx=F x =F b -F a
a
a
*K6f23-1
L3}},yAđịnh nghĩa%•4 -4[},ytổng hoặc
hiệu,=%'h)
La4 -4[},y'-,.,,=%•lớn hơn hoặc bằng,,=%<%
,ƒchia •,<
La4 -4[},y,.,^%4[")@?ccCB$%5ƒ4[&^,A
"4[?ccCc:y*,j}},y'*,%,"p*
,&^,A"4[?ccC82•4[®4]|%?ccC&8•4[?ccC
94/fc}},yA,,•4]},[),!
94/c}},yA !•
f7c}…Q

_
bs@5Bt 45
%

A,,HQ@5B
ˆ CHQ@5B
4 g@5B45
⇒ =
ˆ C•,5Q%QVQ@%BZ5QQVQ@B
ˆ …Q

_
bs@5Bt 45
%

Q
@B
b@B4
@%B

f7c}…Q
b @5B45
β

α
a82} 9,:4*I "},y,.,^%+"
,,&^,%#,.&• %f

I
F F
% 5 Z
F F
% 5


#H5Q%
%
I
F F
5 Z
F F
% 5
+
+
#H5Q%%
94/Uc#)A !njf
T ++
IO
!"
aQ@5B$Q@5B%,.*],"s%Zt#Q


4 4
%
% %
=

ĂÂ ÊÔ ƠÔƯĐ Đ
Fq6,m'+4*y},,!%f


@ B
ax
f x cosax dx
ax
e








-b@5B%^,fCH
@ B g@ B

,
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
= =







= =







>%.%),2^,
4 4


=



&}

@ B@ Bf x ax b dx


+

ăâ

@ B
@ B
@ B
a dx
u ax b
du
ax b
dv f x dx
v f x dx

= +
=



+

=


=


>%.%),2^,
4 4


=



&}



ax
ax
e dx
cosax






c%,nj%j-Q:
%5
94/axxFPO683IAM8]3J7G5R*
l*If
@%5B@,54B45



Z
@%5B,@,54B45



Z
,@%5B,@,54B45




xc,,2^,},"}},y
l*Ff

%5, %545



@$,,)4 !B
xBa{$,ô#HQ,%5xB{$,ô#HQ%5
xBa$7,ô#fl,2^,y2%.4,2^,*,&}@
+"FQGH,QG,`*,ô#%,r4,2^,*,B
xB$ơ),ô#,.&HQ%%5H,Q,%5
94/WxxFPO683
ê,j}
b@5B
45
@5B



".b@5B$@5B,,%^,:5
Af,,=%b@5B,,=%@5B#,,%%^,b@5B,@5B%4<f
b@5B "@5B
@5B
@5B @5B
= +
c".@5B@ !,=%,%B+%^,,`"@5B@j4 ,=%
,%B+%^,,.,v!,,=%@5Ba
b@5B "@5B
45 @5B45 45
@5B @5B

= +


a )
@5B45



%}, 9,A)#)%,r,`}
"@5B
45
@5B



:" 09%
c" 09Ff}
"@5B
45
@5B



-,"@5Bv!,@5B
xB(y},<@5B},,=%,,^,Me/]SOiJ76R
xBl,,[^, %f,m*f
"@5B "@5B
Y X
F F
@5B @5 5 B @5 5 B
%@5 B@5 5 B @5 5 B
I F
I F F
= = + +


@xB@5
I
Z5
F
,=%@5B
T ++
IP
 !"
xBc%/)v<% 9,&^,@xxB"%.,,,",=%5&^,@xxB&#
,,Y$$X@2 0,5A,,,=%@5B&#,, 9,4‚4B
xB%.%)&^,4 -4[},y&}
94/XxxF"OJ4@,/*
c}

b @5B 45
%


Bc#,=%b@5BQG
ab@5BQG2"@%ZBH,,.,. 82,.+,s%ZtH,,.
+5Q%H,5Q,,,`*82+,s%Zt#


b @5B 45
%

Q

b @5B45
%

ab@5BQG,.5Q,∈@%ZB#

b @5B 45
%

Q
, 
b @5B45 b@5B45
% ,
+
∫ ∫
‹!ST
IBa,.7!I"@%ZB#<4,2^,"‡):" 09 
@,,),.9#%82,j5ƒ4[b@5BB
FB¯^,+cacq(c82,jm[1^,},y
EBam'4*},y, %4[")&4]}4},#1
Ifc},,},y%f
I
I
E
G
@ IBx x dx
+ +

2.
F
F
I
I I
@ B
e
x x dx
x x
+ + +

3.
F
E
@F E Bx cosx x dx
π
π
+ +


4.
I
G
@ B
x
e x dx
+

6.
I
E
G
@ Bx x x dx
+

7.
F
I
@ IB@ IBx x x dx
+ − +


b*
F
E
I
@E F Bx cosx dx
x
π
π
+ +

9.
I
F
G
@ IB
x
e x dx
+ +

10.
F
F
E
I
@ Bx x x x dx
+ +


11.
F
I
@ IB@ IBx x x dx
− + +

12.
E
E
I
5 I 45
( ).

+

IE
F
:
N5 F 5 K
45
5
I
− −


IJ


++
I
I
F
BIF@ dxxx
IK

−−
F
G
E
B
E
F
F@ dxxx
IM



F
F
BE@ dxxx

IN



J
E
F
BJ@ dxx
IO
dx
xx







+
F
I
EF
II
IP


F
I
E
F
F
dx
x
xx
Ffc},,},y%f
I
F
E F
E
 xcos xdx
π
π

F
F
F E
E
 xcos xdx
π
π

 E
F
G

I E
x
dx
cosx
π
+

J
J
G
tgxdx
π


K
J
M
, gxdx
π
π

M
M
G
I J xcosxdx
π
+

 N
I
F
G
Ix x dx
+

O
I
F
G
Ix x dx



P
I
E F
G
Ix x dx
+

IG
I
F
E
G
I
x
dx
x
+

 II
I
E F
G
Ix x dx


IF
I
F
F
G
x
e xdx
+

T ++
FG
 !"

IE
I
I 
e
x
dx
x
+

IJ
I
@ B
e
x
dx
x

IK
I
I E 
e
x x
dx
x
+

IM
F I
I
e
x
e
dx
x
+

IN
F
F
I 

e
e
x
dx
x x
+

 IO
I
F E
K
G
+

x x dx
IP
J
F
J
G
x dx


FG
I
F
G
I

+
dx
x
FI
1
3
0
x
dx
(2x 1)
+

FF
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +

FJ
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4

− +


FK
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+

FM
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+

FN
1
x
0
1
dx
e 1
+

FO
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx



Efc}},y
I

I
e
x xdx

F
I
@ IB
G
+

x x dx
E
:
F
5  545
I

J
F
,
G
x xdx
π


K
F
@ 5B5
G
+

x c dx
π
M
I
@ B
I
e
x xdx
x
+

N
I
G
x
xe dx

O
F
,
G
x
e xdx
π

Jfc},,},y%
IB

I
G
E
 dxex
x
FB


F
G
,BI@
π
xdxx
EB


M
G
EBF@
π
xdxx
JB

F
G
F
π
xdxx

KB

e
xdxx
I

MB


e
dxxx
I
F
BI@
NB

E
I
J dxxx
OB

+
F
I
F
BI@ dxex
x

PB

π
G
, dxxx
IGB

F
G
F
,
π
dxxx
IF

++
F
G
BI@BNF@ dxxx

Kfc},,},y%f
I



E
E
F
Idxx
F

+−
F
G
F
EJ dxxx
E


I
G
dxmxx
J


F
F

π
π
dxx
K


−−+
K
F
BFF@ dxxx
M


E
G
JF dx
x
N
4
2
1
x 3x 2dx

− +

O
0
1 cos2xdx
π
+


'9$$*f$Œu!!•qmŽYf
*fExPOe\17GŠf
( )
( )
( )
( )
C :y=f x ; C :y=g x ; x=a; x=b
1 2

M/;O/\
;
x a x b
= =
;<thiếu8]i5OR*
OR!"
( ) ( )
b
S = f x - g x dx
a


@FB
VTIa@5BQG@,}"],°5B#@FB"i
( )

b
S = f x dx
a

Fa,# !"#b@5BR@5BQGQV,
T ++
FI
 !"
GR!G1?E
•  -,Ifa% 0
,
x a x b
= =
7,thiếu+H,,%# !
"#b@5BQ@5B@(cqC?C,=%
( )
I
C

( )
F
C
&#
•  -,Ff®4],2^,@FB
•  -,Ef±;6&^,b@5BR@5B$%.5ƒ4[,=%)
•  -,Jfl‡ƒy*},y4]|%?ccC&8•4[?ccC
!STa) 9,,chung"8#%4‡#&8•4[
?ccC4‚4!X.|%$"+*},y."#$
( )
I
C
A"
( )
F
C
#b@5BR@5B²G
( )
I
C
A4 -
( )
F
C
#b@5BR@5B≤G
fExe\17GŠ/06A 
•  -,Ife#@82,j8B
•  -,FfX%#,j},,#v%,p#v} 9,4},A
,2^,@FB
•  -,Efl‡,2^,@FB}4},,,#v%.}•4},[,,,#v
T kfc" 09)})"%", !"#,€6,"" 09I
R* <xPOe•HONOe\17GŠ/3O 
/FNOLoH

( ) ( )
C :y=f x ; Ox; x=a; x=b
@".% 01
x=a; x=b
,.&thiếu+H,,%B
!"
( )
π
b
2
a
V= f x dx
 
 

@EB
!G1?E
•  -,Ifa% 0
,
x a x b
= =
7,thiếu+H,,%# !
"#
( )
G
f x
=
@(cqC?C,=%
( )
C
"],°5B&#
•  -,Ff®4],2^,@EB
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
I
I$ G$ G$ E
= − = = =
y x y x x
F
F
E J$ G$ I$ E
= + − = = − =
y x x y x x

E
E F
K J $ G$ I$ E
= − + = = − =
y x x x y x x
J
E
 $ G$ G$
F
π
= = = =
y x y x x
K
5
 $ G$ $
F F
π
π
= = = − =
y c y x x
M
F I
$ G$ G$ I
+
= = = =
x
y e y x x
N
F
F
$ G$ G$ F
+
= = = =
x
y xe y x x
O
I
 $ G$ $
F
= = = =
y x y x x e
e
P
F E
 , $ G$ G$
F
π
= = = =
y x x y x x
IG
F
 $ G$ I$
= = = =
y x x y x x e
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
I
F
$ J J $ G$ E
= − = − = =
y x x y x x x
 F
F
$ F G
= − + + =
y x x y
E
F F
K$ E N
= + − = − + +
y x x y x x
J
@ IB@ FB@ EB$ G
= − + − =
y x x x y
K
$ I$ F
= = =
x
y e y x
M@XBf
F
F F
= − +
y x x
,,),=%@XB/%
E
@ $ IB
F
A

T ++
FF
 !"
N@XBf
E F
E M Fy x x x
= + − +
),=%@XB*&,.+AIZ
f
K6c}4},,=%#1-*i
%B 0,
( )
F
M K
F I
:
x x
C y
x
− +
=

"],°5B 0,
( ) ( )
F
E
:
C y x x
= −
"],°5
R 0,
( )
J F
:
C y x x
= −
"],°5,B
( )
E
E I
:
C y x x
= − +

E
:
d y
=

K6c}4},,=%#1-*i,, 0f
( )
F
F F
I
:
x x
C y
x
+ +
=
+
Z 0,
5,=%
( )
C
Z°5Z
I
x e
= −

K6UX 0,
( )
E F
E J
:
C y x x x
= − +
e !"#)
d
,=%
( )
C
*,6%+
°cn.}4},,=%#1-*i
( )
C

d

K6aX%"%
( )
F
M K
:
P y x x
= − +

%e !"#,,),=%
( )
P
*,,%&,=%
( )
P
-"],°5
c}4},,=%#1-*i
( )
P
,,).i,y%
K6Wc}4},,=%#1-*i%"%
( )
F
J
:
P y x
=
 01
F J
:
d y x
= −

K6XX%"%
( )
F
J
:
P y x
=

%e !"#),=%
( )
P
*&+AJ
c}4},,=%#1-*i,, 0f
( )
P
$"],°5).i,y%
K6[X 0,
( )
F I
I
:
x
C y
x
+
=
+
?6@qB#1-*i,, 0f
( )
; ;
C Ox Oy
c}
&},,=%#"`5%) 9,"%8/%)@qB5/%"],°5
K6bX 0,
( )
J F
:
C y x x
= −
?6@qB#1-*i
( )
C
"],°5c}&
},,=%#"`5%) 9,"%8/%)@qB5/%"],°5
Bài 9. Tính thể tich của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D được tạo bởi các đường sau khi quay xung quanh
trục Ox.
I
F
E $ G
= − =
y x x y
F
F
$ E
= =
y x y x
E
E
I$ G$ G$ I
= + = = =
y x y x x
J
J
K $
= − =
y x y
x
K
 $ G$ G$
F
π
= = = =
y x y x x
M
$ G$ G$ I
= = = =
x
y xe y x x
'$•%&‘!
+,-/0123
Iam',,}2,=%+^,X2"ny,%$y³n%,=%+^,
Fam',,•^,74*%&5,j,j
Eam,, !"#,%"" 09,.^,,U,%,=%,y
Jam,,5,^,,$^,9
Ki."-1
1/ Tập hợp số phức: C
2/ Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i
Bg$g$$@
g
g
Rbaba
bb
aa




=
=

3/ Cộng và trừ số phức : a, b, a’, b’
R

thì
*) (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i *) (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i
T ++
FE
 !"
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b
BR

• z biểu diễn

u
, z’ biểu diễn

gu
thì z + z’ biểu diễn bởi
→→
+
guu
và z – z’ biểu diễn bởi
→→

guu
4/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’
BR

.
5/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
biaz
−=

a)
ggZggZ zzzzzzzzzz
=+=+=
b) z là số thực
zz
=⇔
; z là số ảo
zz
−=⇔
6/ Môđun của số phức : z = a + bi
a)
OMzzbaz
==+=
FF
b)
GG$G
=⇔=∈∀≥
zzCzz
c)
Czzzzzzzzzz
∈∀+≤+=
g$gg$gg
7/ Chia hai số phức :
a) Số phức nghòch đảo của z (z
BG

:
z
z
z
F
I
I
=

b) Thương của z’ chia cho z (z
BG

:
zz
zz
z
zz
zz
z
z gg
g
g
F
I
===

c) Với z
g
g
$G wzzw
z
z
=⇔=≠
,
z
z
z
z
z
z
z
z
g
g
$
gg
==






8/ Căn bậc hai của số phức : z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi







=
++
=




=
=−

x
b
y
baa
x
bxy
ayx
F
F
F
FF
F
FF
(a, b, x, y
BR

( phj),r,."y,%B
9/ Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số th, cho trước, A
G

).
a)
G
∆ >
: Phương trình có hai nghiệm ph^,phân biệt
F
B
A
− ± ∆

b)
G
∆ <
: Phương trình có hai nghiệm ph^,phân biệt
F
B i
A
− ± ∆
c)
G
=∆
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
A
B
F

V4/?E’]•FtO
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b) (1 + i)
2
– (1 – i)
2
c) (2 + i)
3
– (3 – i)
3
d)
E F
I
i i
i i
− −

+
e)
iFI
E
+
g)
i
i

+
I
I

Fc},,^,%
I
aia
aia

+
2.
E
@I F B@I B
i
i i
+
− +
3.
F F
@I F B @I B
F F
@E F B @F B
i i
i i
+ − −
+ − +
4.
ai
bia
+
5. (2 – i)
6
6.
F E FGGP
I i i i i
+ + + + +
7.
IGG
@I Bi

8.
FGGO FGGO
@I B @I B
+ + −
i i
9.
mi
m
10. (
EI i

)(1 + i ) 11.
BIB@EI@ ii
+−
12 .
i
i
+

I
EI

13.
F @ E Bi i

14.
I
F Fi
+
- (2+4i) 15. (2-4i)(4-5i) – (7+8i)
T ++
FJ
!"
Efc#,,^,%f

+
2
a) i + (2 4i) (3 5i) b) ( 2 5i) c) (2 + 3i)(2 3i) d) i(2 i)(3+i)


+
+
+ +
3
1 5 6i 7 2i
e. (1+ i) 13i; g. ; h. ; i.
(1 i)(4 3i) 4 3i 8 6i
Jfc,,,%f
a. (2 - i) +
I
F
E




b.
( )
F K
F E
E J




c.
I E I
E F
E F F
+ +



d.
E I K E J
E
J K J K K
+ + +



e. (2 - 3i)(3 + i) g. (3 + 4i)
2
h.
E
I
E
F




94/e8A/<8
I>^,Q5)&4,=%&3@5Z)B"H1*+5)
FX;km,, !"# 0"`$:}$ i1
à,9,,&"H1&4,=%^,hn78%f
I_
ả Iả Iz
=
F_
ả ả I
z i
z i

=
+
E_IW
ả Iả I

z
J_
ả ả I
+
z i
K_(j,A"@LIZIBM_(j+,@GZIt
N_(j,,=%
2
1
z
z


AGO_
1
z
z
+

94/UY5e,3"
Baứi 1: Giaỷi caực phửụng trỡnh sau (aồn z):
1.
i
i
z
i
i
+
+
=

+
F
EI
I
F
2.
GB
F
I
t@EBFs@
=+++
i
izizi
3.
izz JFF
=+
4.
G
F
=
zz
5.
G
F
=+
zz
6.
G
F
F
=+
zz

7. x
3
1 = 0 8.
J F
M FK Gz z
+ =
Ff?,, !"#%"^,f

= + + + = + = + = + =
2 2 2 2 2
a) z z 1 b) z 2z 5 0 c) z z 1 0 d) z z 6 0 e) x 2x 4 0
K6 3: Giải phơng trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức
a.
( )
J K F
= +
b.
( ) ( )
F
E F E
+ =
c.
I I
E E
F F
= +



d.
E K
F J

+
=
K 6 4: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a.
( )
( )
F
E F K G
+ + =
b.
( ) ( )
F F
P I G
+ + =
c.
E F
F E K G
+ =
Kfc# !"#,%-,
%QEJQFLK,@FEB@FLB4QL
K6XTìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lợt là:
a. 2 + 3i và -1 + 3i b. 2i và -4 + 4i c . 2 + 3i và -1 + 3i d. 2i và -4 + 4i
K6[ Tìm phơng trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm: a. = 3 + 4i b. =
N E


I? !"#"^,
%
F
J N Gx x
+ =

E
O Gx
+ =
,
F
F IN Gz z
+ + =
4
F I E
I F
i i
z
i i
+ +
=
+
:
F
I Gx x
+ =

F
F F Gx x
+ =

F
E E Gx x
+ + =
Fc}",=%&^,f
T ++
FK

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×