Tải bản đầy đủ

Về cấu trúc của một số lớp môđun artin trên vành giao hoán

Bộ giáo dục và đào tạo Viện kHoa học&công nghệ Việt nam
Viện toán học
Nguyễn Thị Dung
Về cấu trúc của một số lớp
môđun Artin
trên vành giao hoán
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62.46.05.01
Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học
Hà Nội 2006
Công trình đ-ợc hoàn thành tại Viện Toán học thuộc Viện Khoa học và Công
nghệ Việt Nam.
Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Tự C-ờng
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án sẽ đ-ợc bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Nhà n-ớc họp tại Viện
Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Vào hồi giờ ngày tháng năm 2006
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Th- viện Quốc gia.

- Th- viện Viên Toán học.
Các công trình liên quan đến luận án
1. N. T. Dung and L. T. Nhan (2004), "On generalized co-Cohen-Macaulay and co-
Buchsbaum modules over Commutative rings", Vietnam J. Math., 32(1), pp. 113-
118.
2. N. T. Cuong, N. T. Dung and L. T. Nhan (2005), "On generalized co-Cohen-
Macaulay and co-Buchsbaum modules", accepted for publication in Algebra
Colloquium.
3. N. T. Dung (2005), "On sequentially co-Cohen-Macaulay modules", accepted for
publication in Algebra Colloquium.
4. N. T. Cuong, N. T. Dung and L. T. Nhan (2005), "Top local cohomology and the
catenary of the unmixed support of a finitely generated module", accepted for
publication in Communication in Algebra.
Các kết quả trong luận án
đã đ-ợc báo cáo và thảo luận tại:
- Xemina Đại số và Lý thuyết số - Viện Toán học.
- Viện Toán Fourier - Cộng hòa Pháp.
- Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 6, Huế 9/2002.
- Hội nghị Đại số - Hình học - Tô pô, Đà Lạt, 11/2003.
- Hội nghị Đại số - Hình học - Tô pô, TP. Hồ Chí Minh, 11/2005.
- Hội nghị nghiên cứu sinh của Viện Toán học, 10/2003.
- Hội nghị nghiên cứu sinh của Viện Toán học, 10/2005.
- CIMPA School and International Conference on Commutative Algebra, 26/12-
6/1/2005, Hanoi, Vietnam.
1
Mở đầu
Cho (R; m) là vành giao hoán, địa ph-ơng, Noether với iđêan cực đại duy
nhất m; M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d: Trong
phạm trù các môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung
tâm và cấu trúc của chúng đã đ-ợc biết đến một cách khá trọn vẹn thông
qua nhiều lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán: Phân tích nguyên sơ,
đối đồng điều địa ph-ơng, . Đặc biệt, chúng đ-ợc đặc tr-ng qua số bội
nh- sau: M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu tồn tại một hệ tham
số x = (x
1
; : : : ; x
d
) của M sao cho I(x; M) = `(M=xM) Ă e(x; M) = 0,
trong đó e(x; M) là số bội của M ứng với hệ tham số x: Chú ý rằng
I(x; M) luôn là số không âm. Đã có nhiều h-ớng mở rộng lớp môđun
Cohen-Macaulay để cho ta những lớp môđun mới, chứa thực sự và vẫn còn
có nhiều tính chất t-ơng tự lớp môđun Cohen-Macaulay. Tr-ớc tiên phải
kể đến lớp môđun Buchsbaum và lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng do
các nhà toán học W. Vogel và J. Str
ă
uckrad, Nguyễn Tự C-ờng, P. Schenzel
và Ngô Việt Trung phát hiện vào những năm 1970, liên quan tới giả thuyết
của D. A. Buchsbaum đ-ợc phát biểu lại nh- sau: I(x; M) là hằng số với
mọi hệ tham số x của M.
Lý thuyết môđun Buchsbaum ra đời từ câu trả lời phủ định cho giả thuyết
trên và lý thuyết môđun Cohen-Macaulay suy rộng xuất hiện từ việc nghiên
cứu lớp môđun thoả mãn tính chất sup
x
I(x; M) < 1; trong đó cận trên
lấy trên tập tất cả các hệ tham số x của M. Ngày nay, cấu trúc của ba
lớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng đã trở
thành quen biết nhờ hàng loạt các công trình nghiên cứu của các nhà toán
học trên thế giới và Việt Nam.
Một trong những h-ớng mở rộng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay
là lớp môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu tiên đ-ợc đ-a ra bởi R. P. Stanley
2
cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau đó đ-ợc P. Schenzel, Nguyễn
Tự C-ờng và Lê Thanh Nhàn định nghĩa cho tr-ờng hợp vành địa ph-ơng.
Lớp các môđun Cohen-Macaulay dãy cũng chứa thực sự lớp các môđun
Cohen-Macaulay và cấu trúc của chúng đã đ-ợc nhiều nhà toán học nghiên
cứu thông qua dãy, đầy đủ theo tô pô m-adic, địa ph-ơng hóa, đối đồng điều
địa ph-ơng, bội, và hiện nay, lớp môđun này vẫn đang đ-ợc quan tâm
nghiên cứu.
Tóm lại, trong phạm trù các môđun Noether, cùng với lớp môđun
Cohen-Macaulay, các lớp môđun Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng,
Cohen-Macaulay dãy đã trở thành những lớp môđun quen biết, có nhiều ứng
dụng trong Đại số giao hoán và Hình học Đại số.
Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọng
t-ơng tự nh- lớp môđun Cohen-Macaulay đã đ-ợc nhiều nhà toán học nghiên
cứu và gọi là môđun đối Cohen-Macaulay. Cấu trúc của lớp môđun này đã
đ-ợc biết đến thông qua dãy đối chính quy, bội, đồng điều địa ph-ơng. Vì
vậy luận án có hai mục đích: Tr-ớc hết là nghiên cứu một số lớp môđun
Artin mở rộng của lớp môđun đối Cohen-Macaulay (Ch-ơng 2, Ch-ơng 3).
Tiếp theo, ứng dụng những kết quả tr-ớc đó về môđun Artin vào việc nghiên
cứu một lớp môđun Artin đặc biệt quan trọng là môđun đối đồng điều địa
ph-ơng cấp cao nhất H
d
m
(M) của R-môđun hữu hạn sinh M (Ch-ơng 4).
Cần chú ý ở đây rằng các tính chất của H
d
m
(M) là những thông tin rất hữu
ích cho phép ta biết đ-ợc rõ hơn cấu trúc của R-môđun M.
Ta đã biết rằng, trên vành địa ph-ơng, đầy đủ, ph-ơng pháp đối ngẫu
của E. Matlis cho ta một t-ơng đ-ơng phạm trù giữa các môđun Noether và
các môđun Artin. Do đó, R. Y. Sharp đã đ-a ra ph-ơng pháp để nghiên cứu
môđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ bằng việc quy về tr-ờng hợp vành
là địa ph-ơng đầy đủ để có thể dùng đối ngẫu Matlis. Đây là ph-ơng pháp
đã đ-ợc nhiều tác giả sử dụng để nghiên cứu môđun Artin và ngay trong
3
luận án, chúng tôi cũng thu đ-ợc một số kết quả nhờ dùng ph-ơng pháp này
(Định lý 3.4.3, Hệ quả 3.4.7). Tuy nhiên, không phải tất cả những tính chất
của môđun Noether đều đ-ợc bảo toàn qua đối ngẫu Matlis. Vì vậy, một
số kết quả đạt đ-ợc trong luận án theo một nghĩa nào đó đ-ợc xem là đối
ngẫu với một số kết quả đã biết trong phạm trù các môđun Noether, nh-ng
việc chứng minh chúng đòi hỏi phải có sự thận trọng nhất định và mang
tính đặc thù của môđun Artin.
Các công cụ chính đ-ợc sử dụng để nghiên cứu trong luận án, ngoài
ph-ơng pháp nghiên cứu môđun Artin của R. Y. Sharp, còn có lý thuyết
biểu diễn thứ cấp giới thiệu bởi I. G. Macdonald, chiều Noether nghiên cứu
bởi R. N. Roberts, D. Kirby. Đặc biệt, các kết quả gần đây của Nguyễn
Tự C-ờng, Lê Thanh Nhàn về hệ tham số, số bội cho môđun Artin, chiều
Noether của môđun đối đồng điều địa ph-ơng và lý thuyết đồng điều địa
ph-ơng của Nguyễn Tự C-ờng, Trần Tuấn Nam là những công cụ đ-ợc dùng
nhiều trong luận án.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án đ-ợc chia làm 4 ch-ơng.
Để tiện theo dõi, chúng tôi dành Ch-ơng 1 để tóm tắt lại những kết quả
chung nhất về môđun Artin đ-ợc sử dụng trong các ch-ơng tiếp theo.
Ch-ơng 2, đ-ợc viết dựa theo các công trình [1] và [2], dành để nghiên
cứu hai lớp môđun Artin trên vành giao hoán, địa ph-ơng, Noether đ-ợc gọi
là môđun đối Buchsbaum và môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng. Hai lớp
môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng có nhiều
tính chất t-ơng tự nh- những tính chất của môđun Buchsbaum và môđun
Cohen-Macaulay suy rộng. Cụ thể, chúng tôi đ-a ra một số đặc tr-ng và
tính chất của hai lớp môđun này qua đối dãy yếu, hệ tham số đối chuẩn tắc
và đồng điều địa ph-ơng (Định lý 2.2.5 và Định lý 2.3.5). Ngoài ra, việc
nghiên cứu hai lớp môđun đối Buchsbaum và đối Cohen-Macaulay suy rộng
trong tr-ờng hợp vành không nhất thiết địa ph-ơng cũng đ-ợc xét đến trong
4
ch-ơng này.
Ch-ơng 3 nghiên cứu một mở rộng khác của lớp môđun đối Cohen-
Macaulay đ-ợc gọi là môđun đối Cohen-Macaulay dãy. Lớp môđun này
chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng có nhiều tính chất
đẹp đẽ. Nội dung ch-ơng này đ-ợc viết dựa theo [3], trong đó đ-a ra các
khái niệm lọc chiều cho môđun Artin, môđun đối Cohen-Macaulay dãy và
một số đặc tr-ng, tính chất của chúng. Hơn nữa, với cấu trúc đặc biệt của
môđun Artin, ta có thể thấy rằng A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy
khi và chỉ khi A là
b
R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy, trong khi đó lại
không có tính chất t-ơng tự nh- vậy đối với môđun Cohen-Macaulay dãy
(xem P. Schenzel). Một trong những kết quả chính của Ch-ơng 3 là đặc
tr-ng đồng điều của môđun đối Cohen-Macaulay dãy (Định lý 3.4.3).
Ta đã biết rằng nếu x là một phần tử chính quy của M thì M là môđun
Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M=xM cũng là môđun Cohen-Macaulay.
Việc nghiên cứu một kết quả t-ơng tự nh- trên cho môđun đối Cohen-
Macaulay dãy là cần thiết cho chứng minh nhiều tính chất của lớp môđun
này bằng quy nạp. Kết quả chính tiếp theo của ch-ơng này là đ-a ra điều
kiện cho một phần tử tham số x 2 m để đặc tr-ng đ-ợc tính đối Cohen-
Macaulay dãy khi chia cho phần tử tham số (Định lý 3.4.5), qua đó chúng
tôi thu lại đ-ợc một kết quả cho môđun Cohen-Macaulay dãy (Hệ quả 3.4.7).
Hệ quả này là một sự sửa sai cho một định lý đ-ợc chứng minh tr-ớc đây
bởi P. Schenzel.
Ch-ơng 4-ch-ơng cuối cùng của luận án, đ-ợc viết từ [4], dành để nghiên
cứu một lớp môđun Artin đặc biệt: môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao
nhất H
d
m
(M) của R-môđun hữu hạn sinh M. Ta đã biết rằng H
d
m
(M) luôn
khác không, luôn là R-môđun Artin và cho ta nhiều thông tin về cấu trúc
của môđun M. Mặt khác, đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, ta luôn
có tính chất Ann
R
M=pM = p; với mọi iđêan nguyên tố p chứa Ann
R
M.
5
Rõ ràng rằng, khi vành R là đầy đủ thì với mỗi R-môđun Artin A, theo đối
ngẫu Matlis, ta có
Ann(0 :
A
p) = p; 8p 2 V (Ann A): (Ô)
Tuy nhiên tính chất trên nhìn chung lại không đúng cho mọi môđun Artin A
trên vành giao hoán bất kỳ, và lớp môđun Artin thỏa mãn tính chất (*) lại liên
quan tới một số câu hỏi về chiều Noether và đối địa ph-ơng hóa, chứng tỏ
tính chất này là quan trọng đối với việc nghiên cứu môđun Artin. Mục đích
của ch-ơng này là nghiên cứu điều kiện để môđun đối đồng điều địa ph-ơng
cấp cao nhất H
d
m
(M) thỏa mãn tính chất (*) và một số ứng dụng của nó.
Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng mặc dù N-dim H
d
m
(M) = dim R= Ann
R
H
d
m
(M)
nh-ng nhìn chung H
d
m
(M) không thoả mãn tính chất (*). Gọi giá không
trộn lẫn Usupp
R
M của M là tập tất cả các iđêan nguyên tố trong Supp M
chứa các iđêan nguyên tố liên kết có chiều cao nhất của M. Nội dung chính
của ch-ơng này là các Định lý 4.2.4 và Định lý 4.3.3, cho ta kết quả về
sự t-ơng đ-ơng giữa tính chất (*) cho môđun H
d
m
(M) với một số tính chất
quan trọng của M, mà một trong những tính chất đó là tính catenary của
giá không trộn lẫn Usupp
R
M.
6
Ch-ơng 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong toàn bộ ch-ơng này, luôn ký hiệu R là vành giao hoán, Noether
không nhất thiết địa ph-ơng (giả thiết địa ph-ơng khi cần sẽ đ-ợc nêu trong
từng tr-ờng hợp cụ thể), A là R-môđun Artin.
Ch-ơng này dành để nhắc lại các kết quả về môđun Artin dùng trong các
ch-ơng tiếp theo, cụ thể là:
Tiết đầu của ch-ơng trình bày ph-ơng pháp chuyển việc nghiên cứu
môđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ về việc nghiên cứu chúng trên vành
địa ph-ơng đầy đủ thông qua đối ngẫu Matlis của R. Y. Sharp.
Tiết tiếp theo nhắc lại lý thuyết biểu diễn thứ cấp theo thuật ngữ của I.
G. Macdonald.
Trong tiết 3, chúng tôi hệ thống lại các kết quả về chiều Noether, hệ tham
số và số bội cho môđun Artin đ-ợc nghiên cứu bởi R. N. Roberts, D. Kirby,
Nguyễn Tự C-ờng và Lê Thanh Nhàn.
Tiết 4 dành để trình bày lại các kết quả về mô đun đồng điều địa ph-ơng
đ-ợc nghiên cứu bởi Nguyễn Tự C-ờng, Trần Tuấn Nam.
Cuối cùng, dãy đối chính quy, độ rộng và mô đun đối Cohen-Macaulay
đ-ợc giới thiệu ở tiết 5, theo A. Ooshi, Z. Tang, H. Zakeri, Nguyễn Tự
C-ờng, Lê Thanh Nhàn, Trần Tuấn Nam, I. H. Denizler, R. Y. Sharp.
7
Ch-ơng 2. Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng và đối
Buchsbaum
Cho (R; m) là vành địa ph-ơng, Noether với iđêan cực đại duy nhất
m và A là R-môđun Artin với chiều Noether N-dim A = d: Mục đích của
ch-ơng này là nghiên cứu hai lớp môđun chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-
Macaulay đ-ợc gọi là môđun đối Buchsbaum và môđun đối Cohen-Macaulay
suy rộng và mở rộng nghiên cứu chúng trên vành giao hoán không nhất thiết
địa ph-ơng.
2.1 Đồng điều địa ph-ơng và đối dãy yếu
Tiết này dành để nghiên cứu một số tính chất của môđun Artin mà các
môđun đồng điều địa ph-ơng của chúng có độ dài hữu hạn, sau đó đ-a ra
khái niệm đối dãy yếu và nghiên cứu mối liên hệ của chúng với các môđun
đồng điều địa ph-ơng.
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử `
R
(H
m
i
(A)) < 1 với mọi i < d. Cho (x
1
; : : : ; x
r
)
là một phần hệ tham số của A và 0 :
A
(x
1
; : : : ; x
r
)R = B
1
+ : : : + B
n

biểu diễn thứ cấp tối thiểu của 0 :
A
(x
1
; : : : ; x
r
)R, trong đó B
k
là p
k
-thứ
cấp. Khi đó N-dim B
k
= d Ă r, với mọi số nguyên k thoả mãn p
k
6= m:
Từ mệnh đề trên, ta thấy nếu các môđun đồng điều địa ph-ơng H
m
i
(A)
của một R-môđun Artin A có độ dài hữu hạn, với mọi i < d, thì A là không
trộn lẫn tới thành phần m-thứ cấp, tức là tập Att
R
A chỉ bao gồm các iđêan
nguyên tố gắn kết mà thành phần thứ cấp t-ơng ứng có chiều 0 hoặc chiều
bằng d.
Chúng tôi cũng chặn trên đ-ợc hiệu số giữa độ dài và số bội của A thông
qua độ dài của các môđun đồng điều địa ph-ơng nh- sau.
Bổ đề 2.1.5. Giả sử A là R-môđun Artin sao cho `
R
(H
m
i
(A)) < 1; với
8
mọi i < d. Với mọi hệ tham số x = (x
1
; : : : ; x
d
) của A ta có
`
R
(0 :
A
xR) Ă e(x; A) 6
dĂ1
X
i=0
à
d Ă 1
i

`
R
(H
m
i
(A))
và tồn tại iđêan m-nguyên sơ q sao cho đẳng thức xảy ra với mọi hệ tham
số x chứa trong q:
Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu khái niệm q-đối dãy yếu.
Định nghĩa 2.1.6. Cho q là một iđêan m-nguyên sơ của R: Một dãy các
phần tử (x
1
; : : : ; x
r
) trong m đ-ợc gọi là q-đối dãy yếu của A nếu
x
i
(0 :
A
(x
1
; : : : ; x
iĂ1
)R) ả q(0 :
A
(x
1
; : : : ; x
iĂ1
)R)
với mọi i = 1; : : : ; r: ở đây ta hiểu x
1
A ả qA khi i = 1: Một dãy các
phần tử (x
1
; : : : ; x
r
) đ-ợc gọi là đối dãy yếu nếu nó là m-đối dãy yếu.
Nh- chúng ta đã biết, lớp môđun có đối đồng điều địa ph-ơng độ dài
hữu hạn có thể đ-ợc đặc tr-ng bằng dãy yếu (xem J. Str
ă
uckrad, W. Vogel).
T-ơng ứng với kết quả này là định lý sau, cho ta mối liên hệ giữa q-đối dãy
yếu với môđun đồng điều địa ph-ơng.
Định lý 2.1.8. Cho q là một iđêan m-nguyên sơ của R: Khi đó các mệnh
đề sau đây là t-ơng đ-ơng:
(i) qH
m
i
(A) = 0 với mọi i 6 d Ă 1:
(ii) Tồn tại một hệ tham số x = (x
1
; : : : ; x
d
) của A chứa trong q
2
sao
cho x là q-đối dãy yếu.
(iii) Mọi hệ tham số (y
1
; : : : ; y
d
) của A; thoả mãn y
i
= x
n
i
i
; i = 1; : : : ; d;
với x
i
2 q và n
i
á 2; là q-đối dãy yếu.
9
2.2 Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng
Từ tiết này trở đi, với mỗi hệ tham số x của A trong m, ta đặt
I(x; A) = `
R
(0 :
A
xR) Ă e(x; A) và I(A) = sup
x
I(x; A);
trong đó cận trên lấy trên tất cả các hệ tham số x của A:
Định nghĩa 2.2.1. Ta nói rằng A là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng
nếu I(A) < 1:
Bổ đề sau đây cho thấy I(x; A) là hàm tăng.
Bổ đề 2.2.2. Với mỗi hệ tham số x = (x
1
; : : : ; x
d
) của A và các bộ d-số
nguyên không âm n = (n
1
; : : : ; n
d
); m = (m
1
; : : : ; m
d
) sao cho n
i
á m
i
;
với mọi i = 1; : : : ; d; ta có
I(x(n); A) á I(x(m); A):
Khái niệm hệ tham số chuẩn tắc đ-ợc đ-a ra bởi Ngô Việt Trung, là một
trong những công cụ để nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng
và môđun Buchsbaum. D-ới đây chúng tôi giới thiệu khái niệm đối ngẫu
cho môđun Artin.
Định nghĩa 2.2.3. Một hệ tham số x = (x
1
; : : : ; x
d
) của A đ-ợc gọi là đối
chuẩn tắc nếu I(x; A) = I(x
2
1
; : : : ; x
2
d
; A):
Để đặc tr-ng lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng qua hệ tham số
đối chuẩn tắc, tr-ớc hết chúng tôi chứng minh kết quả sau đây, bằng cách
áp dụng tính chất của số bội cho môđun Artin và tính chất tăng của hàm
I(x; A).
Bổ đề 2.2.4. Cho x = (x
1
; : : : ; x
d
) là một hệ tham số đối chuẩn tắc của A:
Khi đó I(x
n
1
; : : : ; x
n
d
; A) = I(x; A) với mọi n á 1:
Nh- đã biết, một mở rộng quen thuộc của lớp môđun Cohen-Macaulay là
lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Lớp môđun này có những đặc tr-ng
10
qua đối đồng điều địa ph-ơng và qua một số dãy đặc biệt (xem J. Str
ă
uckrad
và W. Vogel, Ngô Việt Trung, Nguyễn Tự C-ờng, P. Schenzel, Ngô Việt
Trung). Định lý sau đây là kết quả chính của tiết này, cũng cho ta đặc tr-ng
của môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng qua đối dãy yếu, hệ tham số đối
chuẩn tắc và đặc biệt là qua đồng điều địa ph-ơng.
Định lý 2.2.5. Các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng:
(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng.
(ii) `
R
(H
m
i
(A)) < 1 với mọi i 6 d Ă 1:
(iii) Tồn tại một hệ tham số của A là đối chuẩn tắc.
(iv) Tồn tại một hệ tham số x = (x
1
; : : : ; x
d
) của A và một iđêan
m-nguyên sơ q sao cho (x
n
1
; : : : ; x
n
d
) là q-đối dãy yếu, với mọi n > 0:
(v) Tồn tại một iđêan m-nguyên sơ q sao cho mỗi hệ tham số x của A
là q-đối dãy yếu.
(vi) Tồn tại số nguyên s và một hệ tham số x của A sao cho
I(x
n
1
; : : : ; x
n
d
; A) 6 s; với mọi n á 1:
Nếu A thoả mãn một trong các điều kiện trên thì
I(A) =
dĂ1
X
i=0
à
d Ă 1
i

`
R
(H
m
i
(A)):
Từ Định lý 2.2.5 ta có ngay hệ quả mà từ đó ta dễ dàng xây dựng đ-ợc
nhiều ví dụ về môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng.
Hệ quả 2.2.7. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, các mệnh đề sau
là đúng.
(i) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng thì đối ngẫu Matlis
D(M) = Hom(M; E) của M là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng,
trong đó E = E(R=m) là bao nội xạ của R=m:
(ii) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng với dim M = d thì
H
d
m
(M) là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng.
11
(iii) A là R-môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu A là
b
R-môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng.
2.3 Môđun đối Buchsbaum
Mục đích của tiết này là nghiên cứu lớp môđun đối Buchsbaum chứa thực
sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay, nh-ng lại nằm thực sự trong lớp môđun
đối Cohen-Macaulay suy rộng và trình bày một số tính chất cơ bản của lớp
môđun này.
Định nghĩa 2.3.1. A đ-ợc gọi là môđun đối Buchsbaum nếu I(x; A) là
hằng số (không phụ thuộc vào x), với mọi hệ tham số x của A:
Kết quả sau đây là tính chất của môđun đối Buchsbaum qua đồng điều
địa ph-ơng.
Mệnh đề 2.3.3. Nếu A là môđun đối Buchsbaum thì mH
m
i
(A) = 0, với mọi
i < d:
Rõ ràng mọi môđun đối Buchsbaum đều là môđun đối Cohen-Macaulay
suy rộng, nh-ng điều ng-ợc lại ch-a chắc đúng. Từ Mệnh đề 2.3.3, ta có
thể chỉ ra ví dụ để chứng tỏ lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng chứa
thực sự lớp môđun đối Buchsbaum.
Ví dụ 2.3.4. Cho k là một tr-ờng, S = k[x
1
; : : : ; x
d
] là vành đa thức và
R = k[[x
1
; : : : ; x
d
]] là vành các chuỗi luỹ thừa hình thức d biến trên tr-ờng
k. Đặt B = k[x
Ă1
1
; : : : ; x
Ă1
d
] là S-môđun các đa thức ng-ợc. Khi đó, theo
D. Kirby, B là S-môđun Artin, vì vậy B có cấu trúc tự nhiên là R-môđun
Artin. Cho n > 1 là số nguyên và đặt A = B â R=(x
n
1
; x
2
; : : : ; x
d
)R:
Chú ý rằng B là môđun đối Cohen-Macaulay. Vì vậy, A là môđun đối
Cohen-Macaulay suy rộng, nh-ng A không là môđun đối Buchsbaum, vì
mH
m
0
(A) 6= 0:
Kết quả chính tiếp theo của ch-ơng này là định lý sau, cho ta đặc tr-ng
12
của môđun đối Buchsbaum qua đối dãy yếu và hệ tham số đối chuẩn tắc.
Định lý 2.3.5. Các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng:
(i) A là môđun đối Buchsbaum.
(ii) Mọi hệ tham số của A là đối dãy yếu.
(iii) Mọi hệ tham số của A là đối chuẩn tắc.
T-ơng tự nh- Hệ quả 2.2.7 trong tiết 1, hệ quả sau cũng giúp cho ta có
thể xây dựng dễ dàng nhiều ví dụ về môđun đối Buchsbaum.
Hệ quả 2.3.7 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, các mệnh đề sau
là đúng.
(i) Nếu M là môđun Buchsbaum thì đối ngẫu Matlis D(M) =
Hom(M; E) của M là môđun đối Buchsbaum.
(ii) Nếu M là môđun Buchsbaum với dim M = d thì H
d
m
(M) là môđun
đối Buchsbaum.
(iii) A là R-môđun đối Buchsbaum nếu và chỉ nếu A là
b
R-môđun đối
Buchsbaum.
2.4 Tr-ờng hợp vành không địa ph-ơng
Mục đích của tiết này là quan tâm đến tính đối Cohen-Macaulay suy
rộng và đối Buchsbaum của một môđun Artin A trên vành giao hoán, Noether
(không nhất thiết địa ph-ơng).
Tr-ớc hết, chúng tôi mở rộng các khái niệm môđun đối Cohen-Macaulay
suy rộng và đối Buchsbaum lên vành giao hoán tuỳ ý nh- sau.
Định nghĩa 2.4.1. Cho A 6= 0 là R-môđun Artin trên vành giao hoán,
Noether R: Ta nói rằng A là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng (t-ơng
ứng đối Buchsbaum) nếu A
m
là R
m
-môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng
(t-ơng ứng đối Buchsbaum), với mọi iđêan cực đại m 2 Supp(A):
Rõ ràng rằng, nếu A là môđun đối Cohen-Macaulay theo nghĩa của I. H.
Denizler và R. Y. Sharp thì A là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng và
13
đối Buchsbaum.
Theo R. Y. Sharp, Supp A là tập hữu hạn chỉ bao gồm những iđêan cực đại
của R, chẳng hạn là m
1
; : : : ; m
r
: Khi đó, ta có thể viết A = A
1
â : : : â A
r
;
trong đó A
j
= [
n>0
(0 :
A
m
n
j
), với 1 6 j 6 r: Để cho thuận tiện, ta đặt
J
A
=
\
m2Supp A
m:
Chú ý rằng khi (R; m) là vành địa ph-ơng thì J
A
= m: Với mỗi hệ tham số
x 2 J
A
, đặt
I(x; A) = `
R
(0 :
A
xR) Ă e(x; A) và I(A) = sup
x
I(x; A);
trong đó cận trên lấy trên tất cả các hệ tham số x của A trong J
A
: Khi đó,
rất tự nhiên xuất hiện câu hỏi sau:
Liệu rằng tính đối Cohen-Macaulay suy rộng của A có t-ơng đ-ơng với
tính hữu hạn của I(A) và tính đối Buchsbaum của A có t-ơng đ-ơng với
tính hằng số của hàm I(x; A); với mọi hệ tham số x của A hay không?
Đáng tiếc rằng câu trả lời lại là phủ định. Mệnh đề sau cho ta những lớp
môđun Artin thỏa mãn câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên.
Mệnh đề 2.4.2. Các mệnh đề sau là đúng.
(i) I(A) < 1 nếu và chỉ nếu A là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng
và N-dim A
j
= 0 hoặc N-dim A
j
= d, với mọi j 6 r: Đặc biệt, I(A) = 0
nếu và chỉ nếu A là môđun đối Cohen-Macaulay và N-dim A
j
= d với mọi
j 6 r:
(ii) Nếu A là môđun đối Buchsbaum và N-dim A
j
= d hoặc J
A
A
j
= 0,
với mọi j 6 r thì I(x; A) là hằng số (không phụ thuộc vào x) với mọi hệ
tham số x của A.
Chú ý rằng điều ng-ợc lại của các khẳng định (i); (ii) trong mệnh đề
trên là không đúng nếu ta bỏ qua điều kiện về chiều của các môđun con A
j
:
14
Ch-ơng 3. Môđun đối Cohen-Macaulay dãy
Trong ch-ơng này, chúng tôi sẽ nghiên cứu một lớp môđun mới gọi là
môđun đối Cohen-Macaulay dãy. Lớp môđun này chứa thực sự lớp môđun
đối Cohen-Macaulay, không trùng với lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy
rộng và cũng có nhiều tính chất t-ơng tự lớp môđun Cohen-Macaulay dãy.
3.1 Môđun Cohen-Macaulay dãy
Mục đích của tiết này là nhắc lại các khái niệm lọc chiều, lọc Cohen-
Macaulay, môđun Cohen-Macaulay dãy và một số tính chất, đặc tr-ng đồng
điều của lớp môđun này đã đ-ợc nghiên cứu bởi R. P. Stanley, J. Herzog, E.
Sbarra, P. Schenzel, Nguyễn Tự C-ờng và Lê Thanh Nhàn,
3.2 Lọc chiều cho môđun Artin
ở các ch-ơng tr-ớc, chúng ta thấy rằng khái niệm chiều Noether đã đ-ợc
dùng để nghiên cứu môđun Artin thông qua hệ tham số, số bội, đồng điều
địa ph-ơng, . Trong ch-ơng này, một cách tự nhiên, chúng tôi cũng dùng
chiều Noether để xây dựng khái niệm lọc chiều cho môđun Artin nh- sau.
Định nghĩa 3.2.1. Lọc chiều của R-môđun Artin A là lọc
0 = A
0
ẵ A
1
ẵ : : : ẵ A
tĂ1
ẵ A
t
= A
các môđun con của A, trong đó A
i+1
là môđun con nhỏ nhất của A thoả
mãn N-dim A=A
i+1
< N-dim A=A
i
với mọi i = 0; : : : ; t Ă 1.
Bổ đề 3.2.2. Lọc chiều của A luôn tồn tại và duy nhất.
Trong ch-ơng này, để thuận tiện và ngắn gọn, chúng tôi sử dụng các ký
hiệu sau.
Ký hiệu 3.2.3. A : 0 = A
0
ẵ A
1
ẵ : : : ẵ A
tĂ1
ẵ A
t
= A là lọc chiều
15
của A và
A =
h
X
k=1
(A
d
k
;1
+ : : : + A
d
k
;n
k
)
là biểu diễn thứ cấp của
b
R-môđun A, trong đó A
d
k
;j

b
p
d
k
;j
-thứ cấp,
N-dim A
d
k
;j
= d
k
, với k = 1; : : : ; h, j = 1; : : : ; n
k
và 0 6 d
1
< : : : <
d
h
= d:
Tiếp theo, chúng tôi sẽ tính cụ thể các môđun con A
i
trong lọc chiều A
theo biểu diễn thứ cấp của A xem nh-
b
R-môđun.
Định lý 3.2.4. Với các ký hiệu nh- trong 3.2.3, ta có h = t và
A
i
=
h
X
k=hĂi+1
Ă
A
d
k
;1
+ : : : + A
d
k
;n
k
Â
là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của
b
R-môđun A
i
, với mọi i = 1; : : : ; t.
Từ định lý trên, ta thấy rằng nhìn chung các môđun A
i
không thể tính
toán đ-ợc thông qua biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A nh- R-môđun. Ví
dụ sau đây minh hoạ cho nhận xét này.
Ví dụ 3.2.6. Cho (R; m) là miền nguyên Noether, địa ph-ơng chiều 2 đ-ợc
xây dựng bởi D. Ferrand và M. Raynaud, sao cho đầy đủ theo tô pô m-adic
b
R của R có iđêan nguyên tố liên kết nhúng q chiều 1. Đặt A
1
= H
2
m
(R),
A
2
= H
1
m
(R) â H
2
m
(R) và A = R=m â H
1
m
(R) â H
2
m
(R): Khi đó ta có
(i) A = (R=m) + A
2
là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của R-môđun A;
trong đó R=m là m-thứ cấp, A
2
là 0-thứ cấp. Do đó, Att
R
A = fm; 0g:
(ii) 0 = A
0
ẵ A
1
ẵ A
2
ẵ A
3
= A là lọc chiều của A, trong đó
N-dim A = 2; N-dim A=A
1
= 1 và N-dim A=A
2
= 0:
Ngoài ra, chúng tôi cũng sử dụng khái niệm môđun đồng điều địa ph-ơng
đ-ợc nghiên cứu bởi Nguyễn Tự C-ờng và Trần Tuấn Nam để tính các môđun
th-ơng A=A
i
qua các môđun đồng điều địa ph-ơng H
m
i
(A) của A.
16
3.3 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy
Mục đích của tiết này là giới thiệu khái niệm môđun đối Cohen-Macaulay
dãy và một số ví dụ, tính chất cơ bản của lớp môđun này.
Định nghĩa 3.3.1. (i) Một lọc B : 0 = B
0
ẵ B
1
ẵ : : : ẵ B
tĂ1
ẵ B
t
= A
các môđun con của A đ-ợc gọi là lọc đối Cohen-Macaulay nếu B
i
=B
iĂ1

môđun đối Cohen-Macaulay, với mọi i = 1; : : : ; t và
N-dim A=B
tĂ1
< N-dim A=B
tĂ2
< : : : < N-dim A=B
0
= d:
(ii) A đ-ợc gọi là môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu A có lọc đối
Cohen-Macaulay.
Chúng ta có một số ví dụ về lọc đối Cohen-Macaulay và môđun đối
Cohen-Macaulay dãy nh- sau.
Ví dụ 3.3.2. (i) Mọi môđun đối Cohen-Macaulay đều là môđun đối Cohen-
Macaulay dãy với lọc đối Cohen-Macaulay là 0 = A
0
ẵ A
1
= A:
(ii) Cho A = R=m â H
1
m
(R) â H
2
m
(R) là môđun Artin đ-ợc xây dựng
nh- trong Ví dụ 3.2.6. Khi đó A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy với lọc
đối Cohen-Macaulay là
0 = A
0
ẵ H
2
m
(R) ẵ H
1
m
(R) â H
2
m
(R) ẵ A
3
= A:
Từ định nghĩa trên, ta có một tính chất của môđun đối Cohen-Macaulay
dãy khi chuyển qua đầy đủ m-adic, mà tính chất t-ơng tự nh- vậy lại không
đúng cho môđun Cohen-Macaulay dãy.
Hệ quả 3.3.3. A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu A

b
R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng nếu lọc đối Cohen-Macaulay tồn tại
thì đó là duy nhất, và trùng với lọc chiều của A.
Mệnh đề 3.3.6. Giả sử rằng A có lọc đối Cohen-Macaulay B. Khi đó B là
duy nhất và chính là lọc chiều của A:
17
3.4 Đặc tr-ng của môđun đối Cohen-Macaulay dãy
Với mỗi R-môđun Artin A, ký hiệu D(A) = Hom
R
(A; E) là đối ngẫu
Matlis của A xem nh- là
b
R-môđun hữu hạn sinh, trong đó E = E(R=m)
là bao nội xạ của R=m: Bổ đề sau đây đ-ợc xem nh- là kết quả mấu chốt
để thu đ-ợc đặc tr-ng của môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
Bổ đề 3.4.1. A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu đối
ngẫu Matlis D(A) của A là
b
R-môđun Cohen-Macaulay dãy.
Định lý sau là đặc tr-ng đồng điều địa ph-ơng của môđun đối Cohen-
Macaulay dãy. Chú ý rằng giả thiết của định lý không yêu cầu vành có phức
đối ngẫu nh- trong định lý đặc tr-ng đối đồng điều địa ph-ơng của môđun
Cohen-Macaulay dãy.
Định lý 3.4.3. Các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng:
(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
(ii) Với mọi j = 0; 1; : : : ; d; môđun H
m
j
(A) hoặc bằng 0 hoặc là
b
R-
môđun Cohen-Macaulay chiều j:
(iii) Với mọi j = 0; 1; : : : ; d Ă 1; môđun H
m
j
(A) hoặc bằng 0 hoặc là
b
R-môđun Cohen-Macaulay chiều j :
Kết quả tiếp theo là đ-a ra điều kiện cho phần tử tham số x để đặc tr-ng
đ-ợc tính đối Cohen-Macaulay dãy khi chia cho phần tử tham số.
Định lý 3.4.5. Cho x 2 m. Giả sử rằng x =2 p với mọi p 2 Att A n fmg:
Khi đó A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu hai điều kiện
sau thoả mãn
(a) x =2
b
p với mọi
b
p 2
S
i=1;::: ;d
Ass
b
R
H
m
i
(A):
(b) 0 :
A
x là môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
Ký hiệu S = R[[X
1
; : : : ; X
n
]] là vành chuỗi luỹ thừa hình thức n biến
trên R. Cho A là R-môđun Artin và K = A[X
Ă1
1
; : : : ; X
Ă1
n
] là môđun các
đa thức ng-ợc lấy hệ số trên A. Kết quả sau cho ta mối liên hệ về tính đối
18
Cohen-Macaulay dãy giữa K và A.
Định lý 3.4.6. A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi K là
S-môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
Hệ quả trực tiếp của các Định lý 3.4.3 và Định lý 3.4.5 là kết quả sau
đây cho môđun Cohen-Macaulay dãy.
Hệ quả 3.4.7. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d: Giả sử
rằng vành R có phức đối ngẫu. Cho x 2 m là một phần tử sao cho x =2 p,
với mọi p 2 Ass M n fmg: Khi đó M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu
và chỉ nếu hai điều kiện sau đ-ợc thoả mãn.
(a) x =2 p với mọi p 2
S
i=1;::: ;d
Att
R
H
i
m
(M):
(b) M=xM là môđun Cohen-Macaulay dãy.
Chú ý 3.4.8. (i) Ta đã biết rằng nếu x là một phần tử chính quy của M
thì M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M=xM cũng là môđun
Cohen-Macaulay. P. Schenzel đã chứng minh một kết quả t-ơng tự cho
môđun Cohen-Macaulay dãy trong Định lý 4.7 nh- sau.
Cho x là phần tử M-chính quy. M là môđun Cohen-Macaulay dãy khi
và chỉ khi M=xM cũng là môđun Cohen-Macaulay dãy.
Tuy nhiên, điều kiện đủ trong định lý trên là không đúng. Ví dụ, cho
R = k[[x; y]] là vành các chuỗi luỹ thừa hình thức hai biến trên tr-ờng k:
Cho M = (x; y)R: Khi đó x là một phần tử chính quy của M và M=xM là
Cohen-Macaulay dãy, nh-ng M lại không là Cohen-Macaulay dãy. Vì vậy,
Hệ quả 3.4.7 chính là một sự sửa lại đúng cho mệnh đề trên của P. Schenzel.
(ii) Hệ quả 3.4.7 không còn đúng nữa nếu nh- vành R không có phức đối
ngẫu. Thật vậy, cho (R; m) là miền nguyên địa ph-ơng chiều 2 nh- trong
Ví dụ 3.2.6. Cho 0 6= x 2 m. Khi đó R=xR là Cohen-Macaulay dãy. Theo
Ví dụ 3.2.6, Att
R
H
1
m
(R) = f0g = Att
R
H
2
m
(R): Do đó, R thoả mãn điều
kiện (a), (b) của Hệ quả 3.4.7. Tuy nhiên, R không là Cohen-Macaulay dãy.
19
Ch-ơng 4. Môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao nhất
Vẫn nh- các ch-ơng tr-ớc, cho (R; m) là vành giao hoán, địa ph-ơng,
Noether với iđêan cực đại m, A là R-môđun Artin và giả thiết thêm rằng
0 6= M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Nh- đã biết,
môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao nhất H
d
m
(M) của M luôn khác 0,
luôn là R-môđun Artin và các tính chất của H
d
m
(M) là những thông tin rất
quan trọng cho phép ta biết đ-ợc rõ hơn cấu trúc của môđun M. Chẳng hạn,
Att
R
H
d
m
(M) = fp 2 Ass
R
(M) : dim R=p = dg; N-dim H
d
m
(M) = d;
nếu M là môđun Cohen-Macaulay (t-ơng ứng Cohen-Macaulay suy rộng,
Buchsbaum) thì H
d
m
(M) là môđun đối Cohen-Macaulay (t-ơng ứng đối
Cohen-Macaulay suy rộng, đối Buchsbaum),
Nhắc lại rằng đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, theo Bổ đề
Nakayama, ta luôn có tính chất Ann
R
M=pM = p; với mọi iđêan nguyên tố
p chứa Ann
R
M. Rõ ràng rằng, khi vành R là đầy đủ thì với mỗi R-môđun
Artin A, theo đối ngẫu Matlis, ta có
Ann
R
(0 :
A
p) = p; 8p 2 V (Ann
R
A): (Ô)
Tuy nhiên trên vành giao hoán bất kỳ, mọi môđun Artin A không phải luôn
thỏa mãn tính chất (*). Mục đích của ch-ơng này là nghiên cứu tính chất
(*) cho một lớp môđun Artin đặc biệt: môđun đối đồng điều địa ph-ơng
cấp cao nhất H
d
m
(M) và một số ứng dụng của nó.
4.1 Tính chất Ann
R
(0 :
A
p) = p
Tiết đầu tiên của ch-ơng đ-a ra một số điều kiện để tính chất (*) đ-ợc
thoả mãn, qua đó cho thấy tính chất này là quan trọng đối với việc nghiên
cứu môđun Artin và liên quan chặt chẽ đến các câu hỏi về chiều Noether.
20
4.2 Tính chất (*) cho môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao nhất
Từ bây giờ, ta luôn ký hiệu U
M
(0) là môđun con lớn nhất của M có
chiều thực sự nhỏ hơn d: Tr-ớc hết, chúng tôi đ-a ra khái niệm giá không
trộn lẫn của một môđun hữu hạn sinh nh- sau.
Định nghĩa 4.2.1. Tập Supp M=U
M
(0) = [
p2Ass M; dim R=p=d
V (p) đ-ợc gọi
là giá không trộn lẫn của M và đ-ợc ký hiệu bởi Usupp M:
Kết quả đầu tiên về giá không trộn lẫn là bổ đề sau.
Bổ đề 4.2.2. Cho p 2 Supp M: Khi đó p 2 Usupp M nếu và chỉ nếu
p ả Ann
R
H
d
m
(M): Nói cách khác, Usupp M = V (Ann
R
H
d
m
(M)):
Đối với mỗi môđun hữu hạn sinh M, có những mối liên hệ mật thiết giữa
tập iđêan nguyên tố liên kết của M và của đầy đủ m-adic
c
M; giữa tập giá
của M và giá của
c
M. Chẳng hạn,
Ass
R
M = f
b
p \ R :
b
p 2 Ass
b
R
c
Mg;
Supp
R
M = f
b
p \ R :
b
p 2 Supp
b
R
c
Mg:
Hơn nữa,
fp 2 Ass
R
M : dim R=p = dg = f
b
p \ R :
b
p 2 Ass
b
R
M; dim
b
R=
b
p = dg:
Tuy nhiên, đối với giá không trộn lẫn của một môđun, nhìn chung ta chỉ có
bao hàm thức
Usupp
R
M ả f
b
p \ R :
b
p 2 Usupp
b
R
c
Mg:
Mặt khác, vì Att
R
H
d
m
(M) = Ass
R
M=U
M
(0) và rad(Ann
R
H
d
m
(M)) =
rad(Ann
R
M=U
M
(0)); nên một cách tự nhiên khi nghĩ rằng tập C tất cả các
hệ tham số của H
d
m
(M) và tập D tất cả các hệ tham số của M=U
M
(0) là
trùng nhau. Tuy nhiên, ta cũng chỉ có C ả D: Kết quả chính của tiết này là
đ-a ra điều kiện cần và đủ để xảy ra dấu đẳng thức giữa các tập trên.
21
Định lý 4.2.4. Các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng:
(i) Ann
R
(0 :
H
d
m
(M)
p) = p, với mọi p 2 V (Ann
R
H
d
m
(M)):
(ii) Usupp
R
M = f
b
p \ R :
b
p 2 Usupp
b
R
c
Mg:
(iii) Với mọi dãy các phần tử x = (x
1
; : : : ; x
d
) trong m, x là hệ tham
số của H
d
m
(M) nếu và chỉ nếu x là hệ tham số của M=U
M
(0):
4.3 Tính chất (*) của H
d
m
(M) và tính catenary của giá không trộn lẫn
của M
Ta nói rằng Supp M là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố
p; q 2 Supp M sao cho p ẵ q; thì mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên
tố bắt đầu từ p và kết thúc tại q đều có cùng độ dài. Rõ ràng rằng Supp M
là catenary nếu và chỉ nếu R= Ann
R
M là catenary. Do đó, trong tr-ờng hợp
M là đẳng chiều, nghĩa là dim R=p = d, với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu
p 2 Ass M, Supp M là catenary nếu và chỉ nếu dim R=p+dim M
p
= d, với
mọi p 2 Supp M: Đặc biệt, vì dim R=p = d với mọi p 2 Ass M=U
M
(0);
nên giá không trộn lẫn Usupp M = Supp M=U
M
(0) của M là catenary
nếu và chỉ nếu dim R=p + dim M
p
= d, với mọi p 2 Usupp M:
Định lý sau đây là nội dung chính của tiết này và đồng thời cũng là kết
quả chính của Ch-ơng 4, cho ta một kết quả đáng ngạc nhiên về sự t-ơng
đ-ơng giữa tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao nhất
và tính catenary của giá không trộn lẫn Usupp M.
Định lý 4.3.3. Các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng:
(i) Usupp M là catenary.
(ii) Ann
R
(0 :
H
d
m
(M)
p) = p, với mọi p 2 V (Ann
R
H
d
m
(M)):
Hệ quả sau đây, đ-ợc suy ra ngay từ Định lý 4.3.3, cho ta đặc tr-ng về
tính catenary của các miền địa ph-ơng Noether qua tính chất (*).
22
Hệ quả 4.3.4. Giả sử (R; m) là miền địa ph-ơng Noether chiều d: Khi đó
R là catenary nếu và chỉ nếu H
d
m
(R) thoả mãn tính chất (*).
Để chứng minh Định lý 4.3.3, chúng ta cần các bổ đề sau đây.
Bổ đề 4.3.1. Giả sử rằng R là vành địa ph-ơng đầy đủ với tô pô m-adic và
M là R-môđun hữu hạn sinh sao cho dim R=p = d, với mọi p 2 Ass M:
Khi đó, với mỗi phần hệ tham số (x
1
; : : : ; x
r
) của M và mỗi iđêan nguyên
tố liên kết tối thiểu p của M=(x
1
; : : : ; x
r
)M; ta có dim R=p = d Ă r:
Bổ đề 4.3.2. Cho p 2 V (Ann
R
H
d
m
(M)) sao cho dim M
p
+ dim R=p = d:
Khi đó Ann
R
(0 :
H
d
m
(M)
p) = p:
Chú ý 4.3.6. Tính catenary của Usupp M chỉ t-ơng đ-ơng với tính chất (*)
cho môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao nhất H
d
m
(M) (Định lý 4.3.3),
nh-ng nhìn chung tính catenary của Usupp M không quan hệ với tính chất
(*) của các môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp thấp hơn của M: Thật
vậy, cho R là miền địa ph-ơng, Noether chiều 2 nh- trong Ví dụ 3.2.6. Rõ
ràng rằng Supp R = Usupp R là catenary, nh-ng Nguyễn Tự C-ờng và Lê
Thanh Nhàn đã chứng minh H
1
m
(R) không thoả mãn tính chất (*).
Để minh hoạ cho các kết quả trong ch-ơng, phần còn lại của tiết này,
chúng tôi nghiên cứu một số miền địa ph-ơng Noether, chiều 3 và không
catenary đ-ợc xây dựng dựa trên một kết quả của M. Brodmann.
Mệnh đề 4.3.7. Cho R là miền địa ph-ơng, Noether chiều 3 và không
catenary. Đặt
U = fp 2 Spec R : dim R=p + ht p = 2g;
V = fp 2 Spec R : dim R=p + ht p = 3g:
Khi đó các mệnh đề sau là đúng.
(i) Spec R = U [ V và U; V 6= ;:

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×