Tải bản đầy đủ

PHẠM HỒNG PHƯƠNG TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
- Trong dạy học giải bài tập toán học, việc phát hiện, trang bị những tri thức
phương pháp giải toán, qua đó rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh có tầm
quan trọng đặc biệt. Những tri thức phương pháp giải toán không phải lúc nào
cũng có sẵn, nhiều khi phải thông qua quá trình giải các bài toán mới có thể
phát hiện ra được và phải thông qua nhiều bài toán mới có thể đúc kết được.
- Theo yêu cầu đổi mới PPDH, phương pháp giáo dục phổ thông phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp
với đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm
vui, hứng thú học tập của học sinh (Luật Giáo Dục Việt Nam năm 2005,
chương I, điều 24).
- Giải phương trình Mũ và phương trình Lôgarit là một nội dung quan trọng
trong chương trình THPT, được các em học sinh và giáo viên đặc biệt quan
tâm, vì nội dung này thường có mặt trong các kỳ thi tốt nghiệp và kỳ thi tuyển
sinh vào Cao đẳng, Đại học.
- Thực tiễn dạy học cho thấy học sinh còn tỏ ra khó khăn trong việc giải
phương trình mũ và lôgarit, do các em chưa nắm được những tri thức phương
pháp giải dạng toán này. Hơn nữa học sinh cũng thường mắc những sai lầm
đáng tiếc do nhiều nguyên nhân khác nhau.

Với những lí do trên đề tài được chọn là: “Tri thức phương pháp trong dạy
học giải phương trình Mũ và Lôgarit lớp 12 THPT”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Chúng tôi đã tham khảo một số luận văn Thạc sĩ liên quan đến dạy học
phương trình mũ và lôgarit, như là:
1
- Vận dụng PPDH hợp tác trong dạy học phương trình, bất phương trình Mũ
và lôgarit lớp 12 THPT, Luận văn thạc sĩ của Trương Ngọc Ánh, năm 2010.
- Phối hợp các PPDH nội dung phương trình, bất phương trình ở trường
THPT, Luận văn thạc sĩ của Đàm Thị Phương Hà, năm 2008.
Tuy nhiên đề tài mà chúng tôi lựa chọn không trùng lặp với các đề tài đã có.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là khai thác được các tri thức phương pháp trong dạy
học giải phương trình mũ và lôgarit lớp 12, nhằm trang bị cho học sinh, giúp
học sinh có kĩ năng hơn khi giải phương trình mũ và lôgarit, nâng cao hiệu
qủa dạy học chủ đề này ở trường THPT.
Từ mục đích đó, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài là:
- Nghiên cứu lí luận về tri thức phương pháp trong dạy học.
- Nghiên cứu các tri thức phương pháp giải phương trình mũ và lôgarit lớp 12 THPT.
- Đề xuất những biện pháp phát hiện, khai thác và rèn luyện các tri thức
phương pháp giải phương trình mũ và lôgarit cho học sinh cuối cấp THPT,
thông qua hệ thống các bài tập (như: các bài tập cùng dạng, tìm sai lầm trong
lời giải bài toán,…) .
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu qủa của đề tài.
4. Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học phương trình mũ và lôgarit ở trường
THPT.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán giải phương trình mũ và lôgarit ở trường
THPT.
Khách thể nghiên cứu: HS cuối cấp THPT.
5. Giả thuyết khoa học
2
Nếu khai thác và rèn luyện các tri thức phương pháp giải phương trình mũ và
lôgarit cho HS cuối cấp THPT thì HS sẽ có kĩ năng giải các dạng toán này tốt
hơn, nâng cao hiệu qủa dạy học chủ đề này ở trường THPT.
6. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về tri thức phương
pháp trong dạy học môn Toán, về kĩ năng giải toán, về dạy học giải bài tập
Toán học.
+ Phương pháp điều tra quan sát: Sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình
hình dạy và học giải phương trình mũ và lôgarit cho HS cuối cấp THPT.
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo
án về khai thác và rèn luyện các tri thức phương pháp giải phương trình mũ
và lôgarit ở một số lớp 12 THPT, đánh giá kết qủa thực nghiệm, đánh giá tính
khả thi và hiệu qủa của đề tài.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương:
Chương1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Khai thác và rèn luyện các tri thức phương pháp giải phương trình
Mũ và Lôgarit cho HS cuối cấp THPT
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. TRI THỨC, TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP
1.1.1. Khái niệm
Có bốn dạng khác nhau của tri thức: tri thức sự vật, tri thức phương pháp, tri
thức chuẩn và tri thức giá trị [17].
- Những khái niệm, định lí, tính chất, phản ánh những hiểu biết của con người
về các vật, sự vật, hiện tượng, các tính chất và các mối liên hệ của chúng, là
những tri thức sự vật.
- Tri thức chuẩn thường liên quan với những chuẩn mực nhất định, chẳng hạn quy
định về những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn những giá trị gần đúng
- Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn: “Toán
học có vai trò quan trọng trong khoa học và công nghệ cũng như trong đời
sống”, “Khái quát hoá là một hoạt động trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học”
- Những quy tắc có tính chất thuật giải hay suy đoán, phương pháp luận của
khoa học Toán học, những kĩ thuật hoạt động trí tuệ và hoạt động thực tiễn, là
những tri thức phương pháp [17] .
Những tri thức phương pháp phản ánh những hiểu biết của con người về cách
thức giải quyết những công việc nào đó. Những tri thức phương pháp mang
lại nhiều lợi ích định hướng trực tiếp cho hoạt động và ảnh hưởng quan trọng
tới việc rèn luyện kĩ năng.
Nội dung môn Toán không phải chỉ bao gồm những yếu tố của những lí
thuyết Toán học, mà còn cả những phương pháp làm việc, những ý tưởng thế
giới quan , làm cơ sở cho việc giáo dục toàn diện. Những quy tắc giải một số
dạng phương trình Mũ và Lôgarit; Những quy tắc tính véctơ, tính tích phân;
Những quy tắc suy luận và chứng minh, suy đoán , là những tri thức phương
pháp.
4
1.1.2. Tri thức là đối tượng, là mục tiêu của hoạt động học tập
Trong dạy học, tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư
phạm. Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo thường không thể trao ngay cho
học sinh điều thầy muốn dạy; cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó
vào những tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt
động tự giác, tích cực và sáng tạo của bản thân.
Theo chủ nghĩa kiến tạo trong tâm lí học, học tập là một quá trình trong đó
người học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách thích nghi với môi trường
sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và những sự mất cân bằng. Tuy
nhiên, như nhiều nhà lí luận dạy học của Pháp đã khẳng định, một môi trường
không có dụng ý sư phạm là không đủ để chủ thể (học sinh) kiến tạo được tri
thức theo đúng yêu cầu mà xã hội mong muốn. Vì vậy, điều quan trọng là
thiết lập những tình huống có dụng ý sư phạm để người học học tập trong
hoạt động, học tập bằng thích nghi.
Việc thực hiện hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt
là tri thức phương pháp. Những tri thức như thế có khi lại là kết quả của một
quá trình hoạt động.
Trường hợp tri thức hoặc quan niệm cũ không còn đáp ứng được yêu cầu
trước một tình huống, ta nói là có một sự mất cân bằng. Khi chủ thể đã điều
chỉnh một tri thức hay quan niệm cũ, hình thành một kiến thức hay quan niệm
mới và giải quyết được vấn đề, ta nói là chủ thể đó đã thiết lập lại sự cân
bằng. Như vậy, thầy giáo phải gợi ra ở học trò những sự thích nghi mong
muốn bằng cách lựa chọn đúng những vấn đề đặt ra cho người học trò.
Thầy giáo nói chung không dạy nguyên dạng tri thức khoa học hay tri thức
chương trình, mà phải chuyển hóa tri thức chương trình thành tri thức dạy
học. Nắm vững tri thức khoa học là một điều kiện cần nhưng chưa đủ để đảm
bảo kết qủa dạy học.
5
Tri thức vừa là điều kiện vừa là kết qủa của hoạt động, nên trong việc dạy học
chúng ta cần quan tâm cả những tri thức cần thiết lẫn những tri thức đạt được
trong quá trình hoạt động; cần dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri
thức phương pháp, như phương tiện và kết qủa của hoạt động.
Ví dụ 1: Việc giải phương trình lôgarit đòi hỏi học sinh phải có tri thức về
hàm số lôgarit và các phương pháp giải phương trình lôgarit. Chẳng hạn, khi
hướng dẫn học sinh giải phương trình lôgarit:
2
1
log ( 3 2) 2 (*)
x
x x

− + =

Học sinh cần nắm được các tri thức sau:
+)
log ( )
a
f x
xác định khi nào? (khi
( ) 0f x >

0 1a< ≠
)
+)
log
a
a
α
α
=
(với
0 1,a
α
< ≠ ∀ ∈¡
)
+)
log ( ) log ( )
a a
f x g x=
khi nào? ( khi
( ) ( )f x g x=
0>
,
0 1a< ≠
)
Đó là các tri thức cần thiết để học sinh tiến hành hoạt động giải phương trình
(*). Song qua đó học sinh kiến tạo được tri thức phương pháp giải phương
trình dạng:
+)
0 1
log ( )
( )
a
b
a
f x b
f x a
< ≠

= ⇔

=

+)
( )
( )
( )
( ) 0 hoac g 0
log ( ) log 0 1
( )
a a
f x x
f x g x a
f x g x
> >


= ⇔ < ≠


=

1.1.3. Những dạng tri thức phương pháp thường gặp
- Tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động tương ứng với những
nội dung toán học cụ thể như giải phương trình, biện luận về số nghiệm của
phương trình
- Tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động toán học phức hợp như
định nghĩa, chứng minh
6
- Tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ phổ biến trong
môn Toán như hoạt động tư duy hàm, phân chia trường hợp
- Tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ chung như so
sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá.…
- Tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động ngôn ngữ lôgic
Những tri thức phương pháp thể hiện hai loại phương pháp khác nhau về bản
chất và đều có ý nghĩa to lớn trong giáo dục Toán học, đó là những phương
pháp có tính chất thuật giải (chẳng hạn như: phương pháp giải phương trình
bậc hai) và những phương pháp có tính chất tìm đoán (chẳng hạn phương
pháp nhẩm nghiệm của phương trình và chứng minh nghiệm đó là duy nhất).
Cũng không thể dạy một cách tường minh tất cả những tri thức phương pháp,
mà chỉ nên dạy cho học sinh những tri thức phương pháp thực sự cần thiết. Có
những tri thức phương pháp cần dạy một cách tường minh, có tri thức phương
pháp chỉ thông báo trong quá trình tiến hành hoạt động, hoặc chỉ thực hành ăn
khớp với một tri thức nào đó.Vì vậy người giáo viên cần xác định tập hợp tối
thiểu những tri thức phương pháp cần dạy; xác định yêu cầu về mức độ hoàn
chỉnh của những tri thức phương pháp cần dạy, đặc biệt là đối với những
phương pháp có tính chất tìm đoán. Những tri thức phương pháp quá chung
chung sẽ ít tác dụng chỉ dẫn, điều khiển hoạt động.
Đứng trước một nội dung dạy học, người thầy giáo cần nắm được tất cả các
tri thức phương pháp có thể có trong nội dung đó. Nắm được như vậy không
phải là để dạy tất cả cho học sinh một cách tường minh mà còn phải căn cứ
vào mục tiêu và tình hình cụ thể để lựa chọn cách thức, cấp độ làm việc
thích hợp, từ cấp độ dạy học tường minh tri thức phương pháp được phát
biểu tổng quát, tới cấp độ thực hành ăn khớp với tri thức phương pháp.
Ví dụ 2: Khi dạy học về phương trình mũ, người thầy giáo cần nắm được tất
cả các tri thức phương pháp có thể có trong nội dung đó: phương pháp đưa
7
về cùng cơ số, phương pháp lôgarit hoá, phương pháp đặt ẩn phụ, phương
pháp hàm số, phương pháp đánh giá, phương pháp dựa vào đồ thị hàm số,
Song không phải phương pháp nào cũng dạy cho học sinh một cách tường
minh mà phải căn cứ vào mục tiêu, trình độ học sinh, , để lựa chọn phương
pháp cần dạy và cách thức dạy thích hợp.
Chẳng hạn: đối với học sinh khá, giáo viên có thể tổ chức cho học sinh thực
hiện các hoạt động ăn khớp với từng tri thức phương pháp: phương pháp đưa
về cùng cơ số, phương pháp đặt ẩn số phụ, Từ đó yêu cầu học sinh khái
quát hoá, rút ra tri thức phương pháp tương ứng cần nắm.
Đối với học sinh trung bình: giáo viên có thể thông báo tri thức phương pháp
trong quá trình hoạt động, như: hãy đưa các hàm số mũ trong phương trình
về cùng cơ số, hoặc hãy lấy lôgarit cả hai vế của phương trình theo cùng một
cơ số, hoặc hãy đặt ẩn số phụ
1.2. DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC
(Mục này viết dựa theo tài liệu [17] của GS. Nguyễn Bá Kim)
1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều căn bản là bài
tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học
sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể
hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học
phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động
trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.
Những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực
hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:
- Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của
quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;
8
- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ;
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
đạo đức của người lao động mới.
Bài tập Toán học giúp hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã
được trình bày trong phần lý thuyết. Khai thác tốt những bài tập sẽ góp phần
tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu. Bài tập
được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: đảm bảo
trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc
kiểm tra,… Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá
mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển
của học sinh.…
1.2.2. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầu
của lời giải. Các yêu cầu cơ bản là:
- Kết qủa đúng, kể cả ở các bước trung gian. Kết qủa cuối cùng phải là một
đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,…, thoả mãn các yêu
cầu đề ra. Kết qủa các bước trung gian cũng phải đúng. Như vậy, lời giải
không thể chứa những sai lầm về tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức….
- Lập luận chặt chẽ: luận đề phải nhất quán; luận cứ phải đúng; luận chứng
phải hợp lôgic.
- Lời giải đầy đủ. Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một
trường hợp, một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phương trình không được
thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào,…
- Ngôn ngữ chính xác. Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho
tất cả các bộ môn. Việc dạy học môn Toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
9
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật. Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ
viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu…) trong lời giải.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
Ngoài ra cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bài
toán, phân tích so sánh những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn,
hợp lí nhất trong số các lời giải đã tìm được; Nghiên cứu giải những bài toán
tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Ví dụ 3: Hãy giải phương trình sau bằng những cách khác nhau; trong các
cách giải đó hãy chỉ ra cách giải tối ưu:
( )
3 2
log 4 5 1x x− + + =
(*)
Hướng dẫn: Điều kiện:
4 0
5 4
5 0
x
x
x
− ≥

⇔ − ≤ ≤

+ ≥

Cách 1: Áp dụng:
( )
( )
0 1
log
a
b
a
f x b
f x a
< ≠

= ⇔

=

Ta có: (*)
4 5 3 2x x⇔ − + + =
( ) ( )
9 2 4 . 5 18x x
⇔ + − + =
( ) ( )
( )
2
2 4 . 5 9 4 20 81x x x x
⇔ − + = ⇔ − − + =
2
1
4 4 1 0
2
x x x⇔ + + = ⇔ = −
(thỏa mãn điều kiện đã đặt ra).
Vậy phương trình có nghiệm là:
1
2
x = −

Cách 2: Phương pháp đánh giá
Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có:

( ) ( )
1. 4 1. 5 1 1 . 4 5 3 2x x x x
− + + ≤ + − + + =
( )
3 2 3 2
log 4 5 log 3 2 1x x⇒ − + + ≤ =
Do đó phương trình (*) có nghiệm khi:
10

4 5 1
4 5
1 1 2
x x
x x x
− +
= ⇔ − = + ⇔ = −
Cách 3: Áp dụng BĐT Côsi:
Ta có:
( )
( ) ( )
2
4 5 9 2 4 . 5x x x x− + + = + − +
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
4 5 2 4 5x x x x− + + ≥ − +
( ) ( )
( )
2
2 4 . 5 9 4 5 18x x x x⇒ − + ≤ ⇒ − + + ≤
( )
3 2
4 5 3 2 log 4 5 1x x x x⇔ − + + ≤ ⇔ − + + ≤
Do đó phương trình (*) có nghiệm khi:
1
4 5
2
x x x− = + ⇔ = −
- Nhận xét: trong các cách giải trên, cách 1 là cách phổ biến; cách 2, cách 3
được xem là cách giải đặc biệt.
Mở rộng bài toán:
Cho phương trình:
( )
3 2
log 4 5x x m− + + =
a) Tìm m để phương trình trên có nghiệm duy nhất?
b) Tìm m để phương trình trên vô nghiệm?
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình trên?
- Ngoài những cách giải trên hãy giải bài toán theo phương pháp đồ thị?
1.2.3. Phương pháp giải bài toán của Polya
Chúng ta biết rằng không có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán.
Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát
hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết. Trong quá trình dạy học
phương pháp chung giải toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ cho học
sinh và để học sinh tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải.
Bản gợi ý của Polya về quy trình giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
11
- Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thoả mãn các điều kiện
cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?
- Hãy vẽ hình. Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp.
- Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó
thành công thức hay không?
Bước 2: Tìm cách giải
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng
hơi khác?
- Hãy xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cái
chưa biết hay có cái chưa biết tương tự?
- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng một định
lí nào đó không?
- Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sử
dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương
pháp giải bài toán đó. Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp
dụng được bài toán đó hay không?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khác nữa?
Quay về những định nghĩa.
- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán có
liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp
riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán hay không?
Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó cái cần tìm được xác
định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ra
những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không?
Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho
cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?
12
- Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiện hay
chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
- Bạn có thể kiểm tra lại kết qủa? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi bước
đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay không?
- Có thể tìm được kết qủa một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngay
kết qủa không?
- Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra lời
giải ngắn gọn và hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
- Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở bước 2.
- Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện,
những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán tương tự,
một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác hay không?
Ví dụ 4: Cho phương trình:
( )
2 2 1 1 2
x x
m − + = −
(1)
a) Giải phương trình với:
1m =
b)Tìm m để phương trình có nghiệm ?
Hướng dẫn:
a) Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
- Với
1m =
phương trình có dạng như thế nào? ( phương trình có dạng:
2 1 1 2
x x
− = −
)
- Bài toán yêu cầu gì? (giải phương trình:
2 1 1 2
x x
− = −
(*))
Bước 2: Tìm cách giải
- Em đã gặp bài toán dạng này lần nào chưa?
- Phương trình cần giải có dạng như thế nào? (
( ) ( )
f x g x
=
)
13
- Cách giải của phương trình dạng đó là gì?
( ) ( )
f x g x
=
( )
( )
( ) ( )
2
0
0
f x
g x
f x g x



⇔ ≥


=

( )
( ) ( )
2
0g x
f x g x





=


- Từ đó hãy giải phương trình(*) ?
Bước 3: Trình bày lời giải
- Với
1m =
phương trình có dạng:
2 1 1 2
x x
− = −

( )
2
1 2 0
2 1 1 2
x
x x
− ≥




− = −


( )
1 2 0
1 2 0 2 1 0
1 2 0
x
x x
x
x
− ≥


⇒ ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

− − ≥


(thỏa mãn phương trình )
Vậy với
1m =
thì phương trình có nghiệm là:
0x =
b) Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
- Bài toán yêu cầu gì? (Tìm m để phương trình:
( )
2 2 1 1 2
x x
m − + = −

nghiệm)
Bước 2: Tìm cách giải
- Phương trình có dạng như thế nào? (
( ) ( )
f x g x=
)
- Từ đó hãy biến đổi phương trình (1)?
(1)
( ) ( )
( )
2
2
1 2 0
2 1
2 2 .2 2 0(2)
2 2 1 1 2
x
x
x x
x x
m m
m
− ≥



 
⇔ ⇔
 
− + + =
− + = −

 

- Có nhận xét gì về phương trình (2)? (là phương trình bậc hai ẩn:
2
x
)
- Từ đó, có thể phát biểu bài toán theo một cách khác hay không?
(Tìm m để phương trình (2) có nghiệm thoả mãn:
2
x
1≤
)
- Em đã gặp bài toán dạng này lần nào chưa? Cách giải nó là gì?
- Từ đó hãy tìm m ?
Bước 3: Trình bày lời giải
14
Ta có:
(1)
( ) ( )
( )
2
2
1 2 0
2 1
2 2 .2 2 0(2)
2 2 1 1 2
x
x
x x
x x
m m
m
− ≥



 
⇔ ⇔
 
− + + =
− + = −

 

Do đó phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm:
0 <
2 1
x

Mà phương trình (2) có nghiệm là:
2
2 2
x
x
m=


=

. Suy ra phương trình (2) có
nghiệm:
0 <
2 1
x

khi:
0 1m< ≤
Vậy
0 1m< ≤
là những giá trị cần tìm.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Nhận xét: Nếu không chú ý đến điều kiện của phép biến đổi tương đương và
tập giá trị của hàm số mũ, học sinh dễ có những sai lầm sau:
(1)
( ) ( )
( )
2
2
2 2 1 1 2 2 2 .2 2 0
x x x x
m m m⇔ − + = − ⇔ − + + =
(3)
Do đó phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (3) có nghiệm
( ) ( )
2 2
0 2 8 0 2 0m m m⇔ ∆ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥
, luôn đúng với
m∀ ∈¡
(kết
qủa này không đúng).
- Mở rộng bài toán: Hãy phát biểu những bài toán tương tự?
Cho phương trình:
( )
2 2 1 1 2
x x
m − + = −

+ Giải phương trình với
4m =
?
+ Giải phương trình với
2
x
m =
?
+ Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất?
+ Tìm m để phương trình vô nghiệm?
+ Giải và biện luận phương trình trên theo m?
Phương pháp chung để giải toán không phải là một thuật giải mà là những
kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện. Cần đặt cho học sinh
những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng những
câu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát
15
hiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán. Những câu hỏi
này lúc đầu là do giáo viên nêu ra để hỗ trợ cho học sinh nhưng dần dần biến
thành vũ khí của bản thân học sinh, được học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúng
chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán. Quá trình
trang bị cho học sinh phương pháp chung giải toán là một quá trình biến
những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản
thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể. Từ phương pháp
chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường
đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng
tạo. “Tìm được cách giải một bài toán là một phát minh” (Pôlya 1975).
1.3. THỰC TIỄN DẠY VÀ HỌC PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT LỚP 12
THPT
1.3.1. Nội dung, mục tiêu, yêu cầu dạy học giải phương trình Mũ và
Lôgarít lớp 12 THPT
Từ năm 2000 - 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo tiến hành chỉnh lí và hợp nhất
sách giáo khoa. Sách giáo khoa lớp 12 chương trình nâng cao mới được đưa
vào từ năm 2008, với cách viết nhẹ nhàng, đổi mới, nội dung đơn giản hơn và
có khá nhiều vấn đề có tính thực tiễn.
Trong chương trình Đại số và Giải tích THPT hiện hành, nội dung “Hàm số
lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit” nằm ở chương II – SGK Giải tích lớp
12 với thời lượng 20 tiết (theo tài liệu hướng dẫn thực hiện chương trình sách
giáo khoa Giải tích 12 – Nâng cao). Trong đó bài: “Phương trình Mũ và
phương trình Lôgarit” được giảng dạy gói gọn trong ba tiết, với mục đích, yêu
cầu là:
* Kiến thức
Giúp học sinh:
- Nắm vững cách giải các phương trình Mũ và phương trình Lôgarit cơ bản.
16
- Hiểu rõ được các phương pháp thường dùng để giải phương trình Mũ và
phương trình Lôgarit.
* Kỹ năng
Giúp học sinh:
- Biết sử dụng các phép biến đổi đơn giản về luỹ thừa và lôgarit vào việc giải
phương trình.
- Vận dụng thành thạo các phương pháp giải phương trình Mũ và phương
trình Lôgarit vào bài tập.
1.3.2. Khảo sát thực trạng dạy và học giải phương trình Mũ và Lôgarit
của HS cuối cấp THPT ở một số trường thuộc tỉnh Hải Dương
a) Khảo sát qua bài kiểm tra
Để khảo sát kĩ năng giải phương trình Mũ và Lôgarit của học sinh cuối cấp
THPT, chúng tôi đã tiến hành cho các lớp 12A2, 12A8 thuộc trường THPT
Kinh Môn, các lớp 12A3, 12A6 thuộc trường THPT Nhị Chiểu - huyện Kinh
Môn - tỉnh Hải Dương và các lớp 12D, 12H thuộc trường THPT Tứ Kỳ
-huyện Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dương làm hai bài kiểm tra vào thời gian từ 11 tháng
01 đến 15 tháng 01 năm 2011.
* Mục đích: Đánh giá những kĩ năng (giải phương trình Mũ và Lôgarit) sau:
-Sử dụng các phép biến đổi đơn giản về lũy thừa và lôgarit vào việc giải
phương trình.
-Vận dụng các phương pháp giải phương trình mũ và phương trình lôgarit vào
bài tập.
* Đề bài (thời gian: 60’):
Đề 1
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
2
2 1
1 1
2 2
x x x− −
   
=
 ÷  ÷
   
3)
2 2
os sin
5 2.5 3
c x x
− = −
17
2)
( ) ( )
3
1
3 2 3 2
x
x
x−
+ = −
4)
( )
4 12 .2 11 0
x x
x x+ − + − =

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
log 7
5 6
7 7 .
x
x


=
3)
25 15 2.9
x x x
+ =
2)
5 9
4 4
x
x
 
= −
 ÷
 
4)
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
+ + − − =

Đề 2
Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
( )
( )
2
lg 6 7 lg 3x x x− + = −
3)
( )
7
log 6 7 1
x
x

+ = +
2)
2 3
3 3
log 20log 1 0x x− + =
4)
( )
4 2
2 1
1 1
log 1 log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
( )
2
2 2
log 1 log 6 2x x x x+ − = −
3)
( )
2
9 3 3
2log log .log 1x x x= +
2)
2
2
log 5x x= − +
4)
( )
3
2 7
log 1 logx x+ =
* Kết quả
Tổng số học sinh được kiểm tra: 250 học sinh.
- Bảng kết quả kiểm tra:
Điểm đạt
được
Dưới 2 Từ 2 đến 4 Từ 5 đến 6 Từ 7 đến 8 Từ 9 đến 10
Số học
sinh (%)
8
(3,2%)
52
(20,8%)
127
(50,8%)
58
(23,2%)
5
(2%)
- Những nhận xét, đánh giá:
Qua bảng kết qủa trên ta thấy: số học sinh đạt điểm khá, giỏi còn thấp; còn
nhiều học sinh đạt điểm dưới trung bình.
Học sinh thường mắc những sai lầm sau:
+ Quên không đặt điều kiện xác định của phương trình, điều kiện cho ẩn phụ
(nếu có). Từ đó dẫn đến lời giải sai, kết luận nghiệm sai.
18
+ Một số học sinh quen với tập giá trị của hàm số mũ:
y =
0,
x
a x> ∀ ∈¡
, khi
giải phương trình lôgarit nhận được:
log ,
a
x b=
với
0b <
, học sinh loại
nghiệm (sai lầm).
+ Học sinh mắc sai lầm khi biến đổi lôgarit:
( ) ( )
2
*
log 2 log ,
n
a a
f x n f x n= ∈¥
là sai, thực ra phải có:
( ) ( )
2
*
log 2 log ,
n
a a
f x n f x n= ∈¥
( )
( )
( )
2 2 *
log log ,
n
a a
f x n f x n= ∈¥
là sai, thực ra phải có:
( )
( )
( )
( )
2
2 *
log log ,
n
a a
f x n f x n= ∈¥
+ Một số học sinh chưa nắm vững các phương pháp giải phương trình Mũ và
phương trình Lôgarit, do đó còn nhiều lúng túng, khó khăn trong việc xác
định cách giải phương trình….
b) Khảo sát qua phiếu điều tra
* Phiếu điều tra từ giáo viên
Chúng tôi đã xây dựng mẫu phiếu điều tra để nắm bắt những ý kiến, đánh giá
của giáo viên Toán THPT về mức độ khó của các bài toán giải phương trình
Mũ và Lôgarit trong chương trình, mức độ kĩ năng đạt được của học sinh, thời
lượng dành cho việc rèn luyện kĩ năng giải phương trình Mũ và Lôgarit cho
học sinh có phù hợp không, những ý kiến đề xuất, trao đổi của giáo viên (mẫu
phiếu điều tra xin xem phần Phụ lục cuối luận văn).
Có 35 giáo viên tổ Toán thuộc các trường THPT Kinh Môn, THPT Nhị Chiểu
- huyện Kinh Môn, THPT Tứ Kỳ - huyện Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dương tham gia
điều tra.
Những ý kiến của giáo viên được tổng hợp lại như sau:
- Có 100% GV được điều tra cho rằng việc khai thác các tri thức phương pháp
để trang bị cho học sinh trong quá trình dạy học là quan trọng.
19
- Có 71,4% GV thường xuyên chú ý khai thác và trang bị các tri thức phương
pháp cho học sinh. Tuy nhiên, có 28,6% GV thực hiện không thường xuyên.
- Về việc rèn luyện các tri thức phương pháp cho học sinh khi dạy học về
phương trình mũ và phương trình lôgarit:
+ Có 85,7% GV thường xuyên chú ý rèn luyện cho học sinh tri thức phương
pháp về nhận dạng phương trình và phương pháp giải từng dạng phương
trình.
+ Có 20% GV thường xuyên chú ý rèn luyện cho học sinh phương pháp biện
luận số nghiệm của phương trình.
+ Có 34,3% GV thường xuyên chú ý rèn luyện cho học sinh phương pháp
chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất.
+ Có 14,2% GV thường xuyên chú ý rèn luyện cho học sinh tập dượt khái
quát hoá, đặc biệt hóa.
+ Có 57,1% GV thường xuyên chú ý rèn luyện ngôn ngữ lôgíc cho học sinh.
- Có 100% GV cho rằng học sinh tỏ ra yếu nhất về tri thức phương pháp tập
dượt khái quát hoá, đặc biệt hóa.
- Có 85,7% GV đánh giá mức độ khó của các bài toán giải phương trình Mũ
và Lôgarit trong chương trình là ở mức độ trung bình, còn 14,3% GV đánh
giá ở mức độ dễ.
- Có 28,6% GV cho rằng lượng thời gian dành cho việc rèn luyện kĩ năng giải
phương trình Mũ và Lôgarit cho học sinh là vừa đủ, còn 71,4% GV cho rằng
lượng thời gian là hơi ít.
- Có 34,3% GV cho rằng sau qúa trình học trên lớp, kĩ năng giải phương trình
Mũ – phương trình Lôgarit của học sinh đạt được ở mức độ khá, còn 65,7%
GV cho rằng học sinh đạt được ở mức độ trung bình.
- Theo các thầy (cô), những lỗi mà học sinh của thầy (cô) thường mắc phải
trong quá trình giải phương trình mũ – phương trình lôgarit là:
20
+ Học sinh hay sai hoặc quên điều kiện xác định của phương trình.
+ Sử dụng công thức sai như:
( )
.
. , ,
n
n
m n m n m m m n m n
a a a a a a a a
+
= = + =

1 2 1 2
log ( ) log log
a a a
x x x x+ = +

1 2 1 2
log ( ) log log
a a a
x x x x− = −

1 2 1 2
log ( . ) log .log
a a a
x x x x=

1 1
2 2
log
log
log
a
a
a
x x
x x
=
+ Học sinh biến đổi phương trình chưa chú ý đến sự tương đương.
+ Thiếu trường hợp khi giải phương trình có ẩn ở cơ số (dạng đơn giản).
Ví dụ:
( ) ( )
( ) ( )
0 1
f x g x
f x g x
a a
a
=

= ⇔

< ≠

.Thiếu trường hợp a=1.
+ Khi đưa số mũ chẵn ra ngoài biểu thức lôgarit hay quên không lấy trị tuyệt
đối.
+ Biến đổi sai công thức, ví dụ:
( ) ( )
log .log
m
n n
a a
f x m f x=
 
 
với
*
,n m∈¥
; là
sai, thực ra:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
log log .log .log
n
n
m m
n n n
a a a a
f x f x m f x m f x= = =
   
   
- Về những ý kiến đề xuất, trao đổi của giáo viên:
+ Bài phương trình Mũ và phương trình Lôgarit cần được tăng thêm bài tập
và số tiết luyện tập .
+ Đưa ra nhiều bài tập, chia nhỏ theo từng dạng, đưa ra các cách giải khác
nhau của từng dạng.
+ Luôn khuyến khích học sinh mở rộng bài toán, giải bài toán theo nhiều cách
khác nhau.
+ Chú ý sửa chữa những sai lầm hay gặp của học sinh.
* Phiếu điều tra từ học sinh
21
Chúng tôi đã xây dựng mẫu phiếu điều tra từ học sinh để nắm bắt những ý
kiến, phản hồi của các em về mức độ khó của các bài toán giải phương trình
Mũ và Lôgarit trong chương trình, mức độ kĩ năng đạt được của các em, thời
lượng dành cho việc rèn luyện kĩ năng giải phương trình Mũ và Lôgarit ở trên
lớp có phù hợp không, về phương pháp dạy học của giáo viên, những ý kiến
đề xuất, trao đổi khác (mẫu phiếu điều tra xin xem phần Phụ lục cuối luận
văn).
Có 250 học sinh lớp 12 thuộc các trường THPT Kinh Môn, THPT Nhị Chiểu
- huyện Kinh Môn, THPT Tứ Kỳ - huyện Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dương tham gia
điều tra.
Những ý kiến của học sinh được tổng hợp lại như sau:
- Có 44% học sinh thích học nội dung: “Phương trình mũ - phương trình
Logarit”. Song có 20% học sinh không thích học nội dung này.
- Khi học về phương trình Mũ - phương trình Logarit, học sinh thường gặp
những khó khăn sau:
+ Có 33,6% học sinh cho rằng các công thức khó nhớ và các em hay nhầm
lẫn giữa các công thức.
+ Có 40% học sinh thấy khó tìm ra cách giải khi đứng trước mỗi phương
trình.
+ Có 12% học sinh thấy khó trình bày lời giải.
+ Có 60% học sinh hay thiếu hoặc sai về điều kiện xác định của phương trình.
- Có 12% học sinh cho rằng mức độ của các bài toán giải phương trình mũ và
phương trình lôgarit trong chương trình là rất khó, 28% học sinh cho rằng
mức độ là hơi khó, 40% học sinh cho rằng mức độ là trung bình và 20% học
sinh cho rằng mức độ của các bài toán là dễ.
- Theo các em: sau quá trình học, kỹ năng giải phương trình mũ và phương
trình logarit của các em đạt được: ở mức độ tốt là 10%, ở mức độ khá là 26%,
22
ở mức độ trung bình là 48%, ở mức độ yếu là 16% .
- Theo các em: lượng thời gian dành cho việc rèn luyện kỹ năng giải phương
trình mũ và phương trình logarit ở trên lớp của các em là: có 26% học sinh
cho rằng lượng thời gian là vừa đủ, 56% học sinh cho rằng lượng thời gian là
hơi ít, 18% học sinh cho rằng lượng thời gian là quá ít.
- Nhận xét về mức độ mà các thầy cô hướng dẫn và khuyến khích các em tìm
tòi, khai thác các cách giải và mở rộng bài toán :
+ Có 20% học sinh nhận xét là: các thầy cô thường xuyên hướng dẫn và
khuyến khích các em tìm tòi, khai thác các cách giải và mở rộng bài toán.
+ Có 60% học sinh nhận xét là: các thầy cô thỉnh thoảng hướng dẫn và
khuyến khích các em tìm tòi, khai thác các cách giải và mở rộng bài toán.
+ Có 20% học sinh nhận xét là: các thầy cô không bao giờ hướng dẫn và
khuyến khích các em tìm tòi, khai thác các cách giải và mở rộng bài toán.
- Những mong muốn của học sinh đối với các thầy cô giáo khi dạy học về
phương trình mũ và phương trình logarit là :
+ Giảng kĩ hơn, đi sâu hơn.
+ Dạy kĩ các công thức và cách tìm điều kiện xác định của phương trình.
+ Đưa ra nhiều bài tập để rèn luyện kĩ năng, phân thành từng dạng cụ thể, và
đưa ra các cách giải của từng dạng. Phân dạng bài tập từ dễ đến khó và hướng
dẫn nhiều cách giải khác nhau. Dạy kĩ từng phần sau đó tổng hợp lại.
+ Tìm thêm nhiều dạng toán mới, nhiều cách giải ngắn gọn, cách giải nhanh,
sáng tạo.
+ Khắc phục sai lầm cho học sinh trong khi giải bài tập.
+ Rèn luyện cho học sinh kĩ năng làm bài và kĩ năng trình bày lời giải.
c) Những ý kiến trao đổi khác
Giải phương trình mũ và phương trình lôgarit là một nội dung quan trọng
23
trong chương trình THPT, được các em học sinh và giáo viên đặc biệt quan
tâm, vì nội dung này thường có mặt trong các kỳ thi tốt nghiệp và kỳ thi tuyển
sinh vào Cao đẳng, Đại học. Trong các đợt tập huấn giáo viên và tham khảo
tài liệu [8], nhiều ý kiến cho rằng:
- Cách trình bày, diễn đạt và sự sắp xếp kiến thức của SGK mới phù hợp với
trình độ nhận thức của học sinh. SGK đã đưa vào khá nhiều vấn đề có tính
thực tiễn. Đó là điểm khác biệt khá lớn so với SGK trước đây. Chẳng hạn,
công thức lãi kép, vấn đề tăng dân số và nhiều vấn đề khác như: trong Hoá
học có độ pH=log[H
+
], trong Vật lý có mức cường độ âm
0
log ,
I
I

- Sau khi đã được chỉnh lí, hợp nhất SGK, một số bài tập phức tạp đã được
lược bỏ do yêu cầu giảm tải, ví dụ như : không giải và biện luận các phương
trình và bất phương trình chứa tham số. Điều này sẽ làm cho yêu cầu về kỹ
năng giải bài tập của học sinh được giảm nhẹ rất nhiều. (Bởi vì khi giải và
biện luận các phương trình mũ và lôgarit chứa tham số, học sinh thường phải
xét các điều kiện cho cơ số dẫn đến sự biện luận khá phức tạp).
Không xét các phương trình mà ẩn số có mặt đồng thời ở cả cơ số lẫn số mũ.
Điều này nhằm tránh các trường hợp còn có các ý kiến chưa thống nhất về
nghiệm của phương trình ….
Số lượng bài tập vừa phải nên không gây tình trạng quá tải đối với học sinh
mà vẫn đảm bảo việc rèn luyện kỹ năng tính toán, khả năng áp dụng giải bài
tập.
- Chương trình SGK hiện nay được chia thành hai hệ cơ bản và nâng cao, điều
này giúp cho GV thuận lợi trong việc thiết kế liều lượng và mức độ kiến thức
khác nhau phù hợp với từng đối tượng HS.
24
- Tuy nhiên số tiết học và luyện tập nội dung này chỉ trong 3 tiết, nên chưa
tương ứng với lượng kiến thức mới mà học sinh phải lĩnh hội, khiến phần lớn
học sinh không tránh khỏi những bỡ ngỡ và lúng túng khi học vấn đề này.
- Khi giải các phương trình Mũ và phương trình Lôgarit, học sinh hay gặp
phải những sai lầm về điều kiện xác định của phương trình, các công thức
biến đổi, các phép biến đổi…
TÓM TẮT CHƯƠNG 1
Chương này trình bày: khái niệm tri thức, tri thức phương pháp, những dạng
tri thức phương pháp thường gặp trong môn Toán; vai trò của bài tập Toán
học; phương pháp giải Toán theo bản gợi ý của Polya. Những vấn đề này sẽ là
cơ sở lí luận cho đề tài. Chúng tôi cũng tiến hành khảo sát kĩ năng giải
phương trình Mũ và Lôgarit của học sinh cuối cấp THPT tại một số trường
THPT thuộc tỉnh Hải Dương. Kết quả khảo sát là cơ sở thực tiễn để chúng tôi
đề xuất những biện pháp khai thác và rèn luyện các tri thức PP giải phương
trình Mũ và Lôgarit cho học sinh cuối cấp THPT.
25

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×

×