Tải bản đầy đủ

dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm gl (2,r)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THU HOÀI
DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU VÀ BIỂU DIỄN NHÓM GL(2,R)
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp
Thái Nguyên - 2011
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. LÝ THUYẾT DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU TRÊN GL(2,R) . . . . . . 4
1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Toán tử trong không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Đại số Lie và đại số phổ dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Bài toán phổ cho thương compact của nửa mặt phẳng trên 9
1.4.1. Lý thuyết phổ của các dạng tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2. Xác định phổ của toán tử đối xứng không bị chặn trên L
2

(Γ\H, χ,k). . . . . . . 11
1.4.3. Khai triển không gian Hilbert L
2
(Γ\G, χ) thành các không gian con bất khả qui .
12
Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM GL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Dạng tự đẳng cấu trên GL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2. Các dạng tự đẳng cấu trên Γ\H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Biểu diễn của các nhóm compact địa phương 17
2.3. Biểu diễn của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4. Phân loại các (g,K)-module bất khả quy của G = GL(2,R)
+
. . 25
Chương 3. MỘT SỐ TÍNH TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU
Dạng tự đẳng cấu là khái niệm lần đầu được đưa vào bởi Poincaré: hàm
số trên không gian đối xứng G/K, G là nhóm Lie, K là nhóm con compact
cực đại, biến đổi theo một công thức đơn giản với tác động của một nhóm
con số học. G. Gelfand nhìn dạng tự đẳng cấu theo góc độ của các biểu
diễn tự đẳng cấu, một bộ phận của lý thuyết biểu diễn vô hạn chiều và
nghiên cứu phổ, giá trị riêng của toán tử Hecke
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu lý thuyết dạng tự đẳng cấu và
biểu diễn trong trường hợp nhóm GL(2,R). Ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ
giữa lý thuyết biểu diễn nhóm GL(2,R) và các dạng tự đẳng cấu trên nửa
mặt phẳng trên Poincaré. Ta sẽ tập trung vào lý thuyết phổ trong trường
hợp thương compact.
Luận văn với đề tài “Dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm GL(2,R)”
gồm 3 chương:
• Chương 1: Lý thuyết dạng tự đẳng cấu trên GL(2,R).
• Chương 2: Biểu diễn nhóm GL(2,R).
• Chương 3: Một số tính toán.
Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số khái niệm liên quan đến lý
thuyết dạng tự đẳng cấu trên nhóm GL(2,R), nhắc lại một số khái niệm về
toán tử trong không gian Hilbert, sơ lược về nhóm Lie, đại số Lie và xây
dựng đại số phổ dụng của nó. Đặc biệt, trọng tâm của chương này chính


mối liên hệ giữa bài toán phổ với thương compact của nửa mặt phẳng
Poincaré.
Trong chương 2, từ lý thuyết của các dạng tự đẳng cấu, chúng tôi trình
bày một số biểu diễn, chẳng hạn biểu diễn của nhóm compact địa phương,
2
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
biểu diễn của đại số Lie và một kết quả quan trọng là sự phân loại các
(g,K)-module bất khả quy của nhóm G = GL(2,R)
+
.
Trong chương 3 chúng tôi trình bày một số kết quả liên quan đến biểu
diễn của nhóm GL(2,R).
Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết
ơn GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm
thuộc Đại học Thái Nguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học Việt Nam
đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học.
Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng Công
nghiệp Nam Định, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều
kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011
3
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chương 1
LÝ THUYẾT DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU
TRÊN GL(2,R)
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lý thuyết phổ của các dạng tự
đẳng cấu. Trong trường hợp Γ\H, phổ của toán tử Laplace-Beltrami là rời
rạc. Ngoài ra không gian Hilbert L
2
(Γ\G, χ) khai triển thành các không
gian bất khả qui.
1.1. Một số khái niệm cơ bản
Cho H là nửa mặt phẳng Poincaré: H =
{
x + iy ∈ C|y > 0
}
. Đặt G =
GL(2,R)
+
là nhóm các ma trận thực cấp 2 với định thức dương. Khi đó
G tác động trên H bởi phép biến đổi phân thức tuyến tính. Nghĩa là nếu
g ∈ GL(2,R)
+
và z = x + iy ∈ H, y > 0 thì tác động của g tại z cho bởi:
g(z) =
az+b
cz+d
.
Cho Γ là nhóm con rời rạc của G, sao cho Γ\H là compact, hoặc ít nhất
có diện tích hữu hạn. Giả thiết rằng −I ∈ Γ, bởi vì nếu −I /∈ Γ, thay Γ bởi
nhóm sinh bởi Γ và –I. (I là ma trận đơn vị cấp 2). Mặt khác, không mất
tính tổng quát, giả thiết rằng Γ ⊂ SL(2,R) (nhóm các ma trận cấp 2 với hệ
số thực và định thức bằng 1).
Định nghĩa 1.1.1. Cho H là một nhóm, đặc trưng của H là một đồng cấu
χ : H → C
×
. Đặc trưng unitary là một đặc trưng thoả mãn
|
χ(γ)
|
= 1 với
4
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
mọi γ.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Γ là nhóm con đồng dư, P
1
(Q) = Q ∪
{

}

đường xạ ảnh trên Q Do SL(2,Z) tác động bắc cầu trên P
1
(Q), nên nhóm
con chỉ số hữu hạn chỉ có thể có quỹ đạo hữu hạn trên tập này. Một quỹ
đạo của Γ trong P
1
(Q) được gọi là điểm nhọn của Γ. Tổng quát hơn, nếu Γ
không giả thiết là nhóm con đồng dư, mà chỉ là một nhóm rời rạc tác động
trên H với Γ\H có diện tích hữu hạn, thuật ngữ điểm nhọn được dùng để
chỉ là một trong hai trường hợp:
- Điểm a ∈ P
1
(R) = R ∪
{

}
sao cho Γ chứa một phần tử parabolic
γ = I với γ(a) = a.
- Quỹ đạo của các điểm nói trên dưới tác động của Γ.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử k là "trọng", nó có thể là số nguyên dương hoặc
nguyên âm. Xem z = x + iy và ¯z = x −iy là các biến phức độc lập, ta có
các đạo hàm riêng tương ứng

∂ z
=
1
2


∂ x
−i

∂ y

,

∂ ¯z
=
1
2


∂ x
+ i

∂ y

.
Ta định nghĩa các toán tử vi phân Maass trên C

(H), không gian các
hàm trơn của H
R
k
= iy

∂ x
+ y

∂ y
+
k
2
= (z −¯z)

∂ z
+
k
2
,
L
k
= −iy

∂ x
+ y

∂ y

k
2
= −(z −¯z)

∂ z

k
2
và toán tử Laplace suy rộng

k
= −y
2


2
∂ x
2
+

2
∂ y
2

+ iky

∂ x
.
Dễ dàng chứng minh được

k
= −L
k+2
R
k

k
2

1 +
k
2

= −R
k−2
L
k
+
k
2

1 −
k
2

.
5
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Với mỗi k, định nghĩa tác động của G = GL(2,R)
+
trên C

(H) bởi
công thức:
f
|
k
g =

c¯z +d
|
cz + d
|

k
f

az + b
cz + d

, g =

a b
c d

.
Bổ đề 1.1.4. Nếu f ∈C

(H), g ∈G, thì
(R
k
f )
|
k+2
g = R
k
( f
|
k
g),
(L
k
f )
|
k−2
g = L
k
( f
|
k
g),

(∆
k
f )
|
k
g = ∆
k
( f
|
k
g).
1.2. Toán tử trong không gian Hilbert
Nhắc lại một số khái niệm cơ bản sau:
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử H là không gian Hilbert. Toán tử trên H được
định nghĩa là biến đổi tuyến tính trên tập con trù mật, tức là một cặp có thứ
tự (T,D
T
), trong đó D
T
là không gian con tuyến tính trù mật của H, được
gọi là miền xác định của T, và T : D
T
→ H là phép biến đổi tuyến tính.
+ Toán tử T được gọi là đóng nếu đồ thị của nó
{
( f ,T f )
|
f ∈ D
T
}

không gian con đóng của H ×H.
+ Toán tử T được gọi là không bị chặn nếu nó không liên tục khi D
T
được xem như một không gian con topo của H.
+ Toán tử T được gọi là đối xứng nếu

T f ,g

=

f ,T g

với f ,g ∈ D
T
,
trong đó

,

là tích vô hướng trong không gian Hilbert H.
+ Toán tử T được gọi là tự liên hợp nếu D
T
= D
T ∗
và T = T

, trong đó
T

là liên hợp của T, D
T ∗
là không gian của ∀g ∈ H sao cho f →

T f ,g

là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên D
T
. Toán tử (T

,D
T ∗
) được gọi
là liên hợp của T.
6
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Nếu H là không gian Hilbert tách được thì:
+ Toán tử tuyến tính T : H → H được gọi là bị chặn nếu miền xác định
của nó là toàn bộ H, và nếu tồn tại hằng số C sao cho
|
T x
|
≤ C
|
x
|
với
∀x ∈ H. Hằng số C nhỏ nhất như vậy được gọi là chuẩn toán tử của T, và
kí hiệu là
|
T
|
.
+ Toán tử T : H →H được gọi là compact, hoặc hoàn toàn liên tục, nếu
T chuyển các tập bị chặn thành các tập compact. Do H là tách, tập con của
H là compact nếu và chỉ nếu nó là compact dãy. Vì vậy T là compact nếu
và chỉ nếu với mỗi dãy x
n
⊂ H của các vectơ đơn vị, tồn tại dãy con y
n
sao
cho T (y
n
) là hội tụ.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử L
2
(H) là không gian Hilbert các hàm đo được
trên H có bình phương khả tích tương ứng với độ đo G-bất biến y
−2
dx∧dy.
Khi đó ∆
k
được xác định trên không gian con trù mật C

c
(H) của
L
2
(H). (Nếu M là một đa tạp khả vi, thì C

(M) là không gian các hàm
trơn trên M và C

c
(M) là không gian con các hàm giá compact. Nếu X là
không gian tôpô, C
c
(X) là không gian các hàm liên tục giá compact trên
X).
Cho ∆
e
=

2
∂ x
2
+

2
∂ y
2
là toán tử Laplace. Kí hiệu d là đạo hàm ngoài, đưa
1-dạng vi phân thành 2-dạng vi phân. Giả sử f và g là các hàm trơn xác
định trong lân cận của một miền bị chặn Ω ⊂ C, mà biên là đường cong
trơn (hoặc hợp của các đường cong trơn) ∂ Ω. Ta có đồng nhất thức
d

g

∂ f
∂ x
dy −
∂ f
∂ y
dx

− f

∂ g
∂ x
dy −
∂ g
∂ y
dx

= (g∆
e
f − f ∆
e
g)dx ∧dy.
Theo định lý Stokes, ta có


(g∆
e
f − f ∆
e
g)dx ∧dy
=

∂ Ω

g

∂ f
∂ x
dy −
∂ f
∂ y
dx

− f

∂ g
∂ x
dy −
∂ g
∂ y
dx

.
7
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Hướng của đường lấy tích phân là (biên ∂Ω) lấy theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ. Đồng nhất thức này được biết đến như công thức Green.
Mệnh đề 1.2.3. Laplace ∆
k
là toán tử đối xứng trên L
2
(H) với miền xác
định C

c
(H).
1.3. Đại số Lie và đại số phổ dụng
Định nghĩa 1.3.1. Nhóm Lie là một nhóm, đồng thời là một đa tạp khả vi
hữu hạn chiều, trong đó các phép toán nhân và phép nghịch đảo là các ánh
xạ trơn.
Định nghĩa 1.3.2. Đại số Lie là không gian vec tơ (thực hoặc phức) g được
trang bị phép toán song tuyến tính, được gọi là móc Lie, thỏa mãn một số
tiên đề sau: Phép toán móc, biểu diễn bởi X,Y →[X,Y ] với X,Y ∈g, được
giả thiết thỏa mãn
[X,Y ] = −[Y,X], [X,X] = 0,
và “đồng nhất Jacobi”
[[X,Y ],Z] + [[Y,Z], X] + [Z,[X,Y]] = 0.
Trong trường hợp đại số Lie liên kết với đại số kết hợp A, phép toán
móc Lie được định nghĩa bởi [X,Y ] = XY −YX, trong đó phép nhân ở vế
phải là phép nhân trong đại số A.
Định nghĩa 1.3.3. Hàm tử [X,Y] = XY −YX, ứng một đại số kết hợp A
với đại số Lie Lie(A). Ta cũng tương ứng một đại số Lie g với một đại số
kết hợp U(g), được gọi là đại số bao phổ dụng của g. Nói chung, dù g là
hữu hạn chiều, U(g) sẽ là vô hạn chiều.
Để xây dựng U(g), ta bắt đầu với đại số tenxơ ⊗g,


k=0

k
g, ⊗
k
g = g ⊗ ⊗g
  
k
,
8
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
trong đó phép nhân ⊗
k
g ×⊗
l
g = ⊗
k+l
g là tích tenxơ (⊗ = ⊗
R
hoặc ⊗
C
tùy thuộc g là đại số Lie thực hoặc phức).
Định nghĩa 1.3.4. Giả sử V là không gian vectơ thực, U(g) là đại số bao
phổ dụng của g. Phức hóa của U(g) là V
C
= C⊗
R
V , tức là không gian
vectơ phức, với luật nhân C ×V
C
→V
C
, thỏa mãn
a(b ⊗v) = (ab) ⊗v, a,b ∈C, v ∈V.
Số chiều phức của V
C
bằng số chiều thực của V.
Cho g là đại số Lie thực, phức hóa g
C
của g là đại số Lie phức.
Cho ρ : g → End(V ) là biểu diễn của đại số Lie thực, trong đó V là
không gian vectơ phức. Khi đó ta có thể mở rộng ρ thành biểu diễn g
C

End(V ) như sau: Nếu X ∈g
C
, viết X = X
1
+ iX
2
. Khi đó, đặt
ρ(X) = ρ(X
1
) + iρ(X
2
).
1.4. Bài toán phổ cho thương compact của nửa mặt phẳng
trên
1.4.1. Lý thuyết phổ của các dạng tự đẳng cấu
Cho χ là đặc trưng của Γ, C

(Γ\H, χ,k) là không gian của các hàm
trơn trên H sao cho
χ(γ) f (z) =

c¯z +d
|
cz + d
|

k
f

az + b
cz + d

, γ =

a b
c d

∈ Γ.
Nếu f ,g ∈ C

(Γ\H, χ,k), thì f ¯g là bất biến theo Γ, vì vậy ta có thể
định nghĩa

f ,g

=

Γ\H
f (z)g(z)
dxdy
y
2
.
L
2
(Γ\H,χ,k) là không gian Hilbert đầy đủ, f ,g ∈C

(Γ\H, χ,k) tương
ứng với tích trong trên.
9
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Bổ đề 1.4.1. Giả sử ω là 1-dạng vi phân trơn sao cho γ(ω) = ω với mọi
γ ∈Γ. Khi đó

Γ\H
dω = 0.
Chứng minh. Nếu M là một đa tạp đóng định hướng n chiều, thì theo định
lý Stokes, khi ω là (n -1)-dạng, ta có

M
dω =

∂ M
ω = 0,
vì ∂ M là tập rỗng. Đặc biệt, giả sử M = Γ\H. Tính chất tuần hoàn của ω
có nghĩa là có thể coi ω như là một dạng vi phân trên M, vậy ta có điều
phải chứng minh.
Mệnh đề 1.4.2. Các toán tử R
k
và L
k
là ánh xạ từ C

(Γ\H, χ,k) vào các
không gian C

(Γ\H, χ,k + 2) và C

(Γ\H, χ,k −2) tương ứng. Không
gian C

(Γ\H, χ,k) là bất biến theo ∆
k
.
Mệnh đề 1.4.3. Nếu f ∈C

(Γ\H, χ,k) và g ∈C

(Γ\H, χ,k + 2), thì

R
k
f ,g

=

f ,−L
k+2
g

.
Chứng minh. Đặt ω = y
−1
f (z)g(z)d ¯z, trong đó d¯z = dx −idy. Ta sẽ thấy
rằng γ(ω) = ω với mọi γ ∈ Γ.
Thật vậy, đặt ω = u + iv = γ(z). Cho γ =

a b
c d

, mà ad - bc = 1 do
Γ ⊂ SL(2,R). Ta có
f (z)g(z) =

cz + d
c¯z +d

f (ω)g(ω),
v =
|
cz + d
|
−2
y, dω = (cz +d)
−2
dz, dω = (c¯z +d)
−2
d ¯z.
Do đó
v
−1
f (ω)g(ω)d
¯
ω = y
−1
f (z)g(z)d ¯z.
10
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Từ Bổ đề 1.4.1 ta có
0 =

Γ\H
d(y
−1
f (z)g(z)d ¯z) =

Γ\H



∂ y
(y
−1
f ¯g) −i

∂ x
(y
−1
f ¯g)

dx ∧dy
= −

Γ\H


iy
∂ f
∂ x
+ y
∂ f
∂ y

¯g −

iy
∂ g
∂ x
+ y
∂ g
∂ y

f − f ¯g

dx∧dy
y
2
= −

Γ\H

(R
k
f ) ¯g + f (L
k+2
g)

dx∧dy
y
2
,
từ đó ta có

R
k
f ,g

=

f ,−L
k+2
g

.
Mệnh đề 1.4.4. ∆
k
là toán tử đối xứng (không bị chặn) trên không gian
Hilbert L
2
(Γ\H, χ,k).
1.4.2. Xác định phổ của toán tử đối xứng không bị chặn trên L
2
(Γ\H, χ,k)
Nếu Γ\H là compact, thì tồn tại một dãy đếm được các giá trị riêng
0 = λ
0

1

2
, ứng với các véc tơ riêng 1 = φ
0

1

2
, tạo thành một
cơ sở trực giao của L
2
(Γ\H,χ,k). Hơn nữa, các giá trị riêng λ
i
→ ∞, và
do đó không có điểm tụ trong C. Trong trường hợp này, toán tử Laplace
có phổ rời rạc.
Định nghĩa 1.4.5. Độ đo Haar bất biến trái trên nhóm compact địa phương
G là độ đo Borel d
L
g bất biến theo tác động trái của G vào chính nó. Tức


G
f (xg)d
L
g =

G
f (g)d
L
g với mọi x ∈G và hàm khả tích f.
Tương tự tồn tại độ đo Haar bất biến phải d
R
g. Các độ đo này có thể
hoặc không trùng nhau. Nếu độ đo Haar trái và độ đo Haar phải bằng nhau
thì nhóm G được gọi là unimodular và độ đo Haar được gọi là bất biến hai
phía.
Định lý 1.4.6. (Định lý phổ của toán tử compact)
Cho T là toán tử compact tự liên hợp trên không gian Hilbert tách được
H. Khi đó H có một cơ sở trực giao φ
i
(i = 1,2,3, ) gồm các vectơ riêng
của T, để T φ
i
= λ
i
φ
i
. Các giá trị riêng λ
i
→ 0 khi i →∞.
11
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Bổ đề sau là kết quả quen biết trong Giải tích hàm.
Bổ đề 1.4.7. Cho T là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H. Giả thiết
rằng với mỗi ε > 0 tồn tại toán tử compact T
ε
sao cho
|
T −T
ε
|
< ε. Khi
đó T là compact.
1.4.3. Khai triển không gian Hilbert L
2
(Γ\G, χ) thành các không gian
con bất khả qui
Ta sẽ xét khai triển tổng trực tiếp không gian Hilbert
L
2
(Γ\G, χ) = ⊕
k∈Z
L
2
(Γ\G, χ,k),
trong đó L
2
(Γ\G, χ,k) là không gian con của L
2
(Γ\G, χ) bao gồm các
hàm sao cho với κ
θ
=

cos(θ) sin(θ)
−sin(θ) cos(θ)

, ta có
ρ(κ
θ
)F = e
ikθ
F,
đó là F(gκ
θ
) = e
ikθ
F(g).
Mệnh đề 1.4.8. Các không gian Hilbert L
2
(Γ\G, χ,k) và L
2
(Γ\H, χ,k)
là đẳng cấu. Đặc biệt, có một đẳng cấu giữa các không gian Hilbert.
σ
k
: L
2
(Γ\H, χ,k) → L
2
(Γ\G, χ,k)
cho bởi (σ
k
f )(g) = ( f
|
k
g)(i),g ∈ G, với f ∈ L
2
(Γ\H, χ,k).
Cho G = GL(2,R)
+
. Ta biết rằng mỗi phần tử của G có một biểu diễn
dạng
g =

u
u

y
1/2
xy
−1/2
y
−1/2

κ
θ

θ
=

cos(θ) sin(θ)
−sin(θ) cos(θ )

, (1.1)
với x,y,u,θ ∈ R,u,y > 0. Biểu diễn (1.1) là duy nhất, trừ θ chỉ xác định
theo modulo 2π.
12
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Sử dụng x, y, u và κ
θ
trong biểu diễn (1.1). Nếu F là một phần tử của
C

(Γ, χ,k), từ phương trình F(gκ
θ
) = e
ikθ
F(g) ta có
∂ F
∂ θ
= ikF.
Định nghĩa 1.4.9. Các toán tử vi phân trên G
R = e
2iθ

iy

∂ x
+ y

∂ y
+
1
2i

∂ θ

,
L = e
−2iθ

−iy

∂ x
+ y

∂ y

1
2i

∂ θ

,
và toán tử Laplace - Beltrami
∆ = −y
2


2
∂ x
2
+

2
∂ y
2

+ y

2
∂ x∂ θ
.
Định lý 1.4.10. Không gian L
2
(Γ\G, χ) phân tích được thành tổng trực
tiếp Hilbert của các không gian con bất biến và bất khả qui theo biểu diễn
chính qui phải ρ.
Chứng minh. Cho Σ là tập tất cả các tập S của các không gian con bất
biến bất khả qui của L
2
(Γ\G, χ) sao cho các phần tử của S là trực giao với
nhau. Sử dụng bổ đề Zorn, Σ có phần tử cực đại S. Cho H là phần bù trực
giao của bao đóng của tổng trực tiếp các phần tử của S.
Ta có H = 0. Nếu H = 0, ta có thể chọn 0 = f ∈ H. Tồn tại một không
gian con bất biến của H, điều này mâu thuẫn với tính cực đại của Σ. Chọn
φ để ρ(φ ) là tự liên hợp, và ρ(φ ) = 0. ρ(φ ) là toán tử tự liên hợp khác
không trên H, và do đó có giá tr ị riêng khác không λ. Cho L ⊂H là không
gian riêng của ρ(φ). L là không gian vectơ hữu hạn chiều. Cho L
0
là không
gian con khác không nhỏ nhất của L. Sự tồn tại của L
0
do L là hữu hạn
chiều.
Cho V là giao của tất cả các không gian con bất biến đóng của W của
13
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
H sao cho L
0
= L ∩W. Ta có V là bất khả quy. Nếu V không bất khả quy
thì V = V
1
⊕V
2
, trong đó V
1
,V
2
là các không gian con bất biến nhỏ hơn.
Cho 0 = f
0
∈ L
0
. Đặt f
0
= f
1
+ f
2
, trong đó f
i
∈V
i
(i = 1,2).
Từ định nghĩa của của ρ(φ), bất kỳ không gian con đóng nào của V là
bất biến theo tác động của G là bất biến theo ρ(φ). Đặc biệt, V
1
,V
2
là bất
biến theo ρ(φ). Do đó ρ(φ)f
i
−λ f
i
∈V (i = 1,2). Vì
f
i
∈V
i
(ρ(φ) f
1
−λ f
1
) + (ρ(φ)f
2
−λ f
2
) = (ρ(φ) f
0
−λ f
0
) = 0.
Nên f
i
là các hàm riêng của ρ(φ) với giá trị riêng λ. Không mất tính
tổng quát, giả thiết rằng f
1
= 0. Khi đó f
1
∈ L ∩V
1
⊆ L
0
, vì L
0
là không
gian con nhỏ nhất của L do đó L ∩V
1
= L
0
. Mà V là giao của tất cả các
không gian con bất biến W của H sao cho L
0
= L ∩W, nhưng V
1
là không
gian con thật sự của V. Điều này là mâu thuẫn.
Hệ quả 1.4.11. L
2
(Γ\G, χ) = ⊕
k∈Z
L
2
(Γ\G, χ,k), trong đó L
2
(Γ\G, χ,k) là
không gian con của L
2
(Γ\G, χ) bất biến dưới tác động của biểu diễn ρ.
Chứng minh. Thật vậy, L
2
(Γ\G, χ) = ⊕
λ∈I
V
λ
(theo Định lý 1.4.10, với V
λ
bao gồm các f sao cho ρ(φ) f = λ f . Vì biểu diễn ρ là unitary và nhóm
K = SO(2) là compact nên ta có λ = k.
14
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chương 2
BIỂU DIỄN NHÓM GL(2,R)
Trong chương này, chúng tôi xét một số biểu diễn, biểu diễn của các
nhóm compact địa phương, biểu diễn của đại số Lie. Từ đó cho một số
kết quả từ lý thuyết biểu diễn và giới thiệu (g,K)-module, trong đó có
sự phân loại các (g,K)-module bất khả quy chấp nhận được của nhóm
G = GL(2,R).
2.1. Dạng tự đẳng cấu trên GL(2,R)
2.1.1. Định nghĩa
Giả sử G là nhóm reductive, A
×
là xuyến xòe của G, ω là một đặc trưng
của xuyến xòe.
Cho A(Γ\G, χ,ω) là không gian của các hàm trơn φ : G → C sao cho
1.
φ








z
1
.
.
.
z
n




g




= ω(z)φ (g), z = (z
1
, ,z
n
) ∈ A
×
,
2. φ(γg) = φ(g), γ ∈ GL(n,A),
3. φ là K hữu hạn, φ là Z hữu hạn,
trong đó K là nhóm con compact cực đại, Z là tâm của đại số bao phổ
dụng.
15
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
+ K-hữu hạn có nghĩa là các tịnh tiến bởi k ∈ K sinh ra không gian con
hữu hạn chiều.
+ Z- hữu hạn có nghĩa là các tác động của Z là φ sinh ra không gian
con hữu hạn chiều.
4. φ có tăng vừa phải tức là
|
φ(g)
|
≤C

g

N
, g ∈ G,C ∈R
+
,N ∈N.
Hàm φ như vậy được gọi là dạng tự đẳng cấu.
2.1.2. Các dạng tự đẳng cấu trên Γ\H
Trong trường hợp nhóm GL(2,R), các dạng tự đẳng cấu gồm:
a) Các dạng modula chỉnh hình
Cho χ : Γ → C
×
là một đặc trưng, và cho k là một số nguyên dương sao
cho χ(−I) = (−1)
k
, giả sử −I ∈Γ. Cho M
k
(Γ, χ) là không gian của tất cả
các hàm chỉnh hình f : H →C mà thoả mãn các điều kiện:
i) f (γz) = χ(γ)(cz + d)
k
f (z) với γ =

a b
c d

∈ Γ.
ii) f chỉnh hình tại các điểm nhọn của Γ.
Phần tử của M
k
(Γ, χ) được gọi là các dạng modula chỉnh hình. Hơn
nữa nếu f triệt tiêu tại các điểm nhọn, thì f được gọi là dạng nhọn chỉnh
hình. Không gian các dạng nhọn ký hiệu là S
k
(Γ, χ).
b) Các dạng Maass
Cho Γ(1) = SL(2,Z) là hàm trơn trên H sao cho:
i) f (γ(z)) = f (z), γ ∈ Γ(1).
ii) f là hàm riêng của ∆, ∆ = −y
2


2

2
x
+

2

2
y

.
iii) f (x +iy) = O(y
N
) khi y → ∞ với một số N.
16
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Hơn nữa, nếu
1

0
f (z + x)dx = 0 ta gọi f là dạng nhọn Maass. Các dạng
Maass cũng như các dạng modula chỉnh hình, chúng đều là các hàm trên
nửa mặt phẳng trên, tuy nhiên nó không chỉnh hình.
c) Hàm hằng
Hàm hằng f (z) = 1 với ∀z ∈ H, được xem là một dạng tự đẳng cấu. Nó
là bất biến theo nhóm rời rạc Γ. Tổng quát hơn, cho s ∈C bất kỳ, xét hàm
f (g) = det(g)
s
trên G; nó là bất biến phải bởi
K = SO(2) =

a b
−b a






a
2
+ b
2
= 1

,
và do đó có thể coi như một hàm trên H. Hơn nữa, hàm này có thể coi như
là một dạng tự đẳng cấu.
2.2. Biểu diễn của các nhóm compact địa phương
Định nghĩa 2.2.1. Cho G là một nhóm compact địa phương. Biểu diễn
(π,H) của G là một cặp thứ tự trong đó H là không gian vectơ tôpô và
π : G → End(H) là một đồng cấu sao cho ánh xạ G ×H → H cho bởi
(g, f ) →π(g) f là liên tục theo hai biến g và f .
Nếu H là không gian Hilbert, và nếu π(g) : H → H là toán tử unitary
với mọi g ∈ G thì phép biểu diễn đó được gọi là unitary.
Cho Z là tâm của G = GL(2,R)
+
bao gồm nhóm các ma trận vô hướng,
Z
+
là nhóm các ma trận có dạng

z
z

với z > 0. Cho C

(Γ\G, χ) là
không gian của các hàm giá trị phức trơn F trên G thỏa mãn
F(γgu) = χ(γ)F(g), γ ∈ Γ, u ∈ Z
+
, g ∈G,
17
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
và C(Γ\G,χ) là không gian của các hàm liên tục cũng có tính chất này.
Cho H = L
2
(Γ\G, χ) là không gian Hilbert của các hàm đo được thỏa
mãn điều kiện trên, có bình phương khả tích tương ứng với độ đo Haar
trên G/Z
+

=
G
1
với G
1
= SL(2,R).
Định nghĩa 2.2.2. Cho φ
1
và φ
2
là các hàm liên tục trên G và một trong
các hàm đó là giá compact. Khi đó tích chập của hai hàm φ
1
và φ
2


1
∗φ
2
)(g) =

G
φ
1
(gh)φ
2
(h
−1
)dh =

G
φ
1
(h)φ
2
(h
−1
g)dh.
Mệnh đề 2.2.3. Không gian C

(Γ\G, χ) là trù mật trong L
2
(Γ\G, χ).
Định nghĩa 2.2.4. Định nghĩa biểu diễn chính qui phải và trái
1. Biểu diễn ρ : G → End(h) cho bởi
(ρ(g) f )(x) = f (xg), g,x ∈ G, (2.1)
được gọi là biểu diễn chính quy phải.
2. Biểu diễn λ : G →C

(G) cho bởi
(λ(g) f )(x) = f (g
−1
x), g,x ∈G,
được gọi là biểu diễn chính quy trái.
Phép biểu diễn chính quy trái và phải giao hoán với nhau,
λ(g
1
) ◦ρ(g
2
) = ρ(g
2
) ◦λ(g
1
).
Mệnh đề 2.2.5. Tác động (ρ(g) f )(x) = f (xg), g,x ∈ G là biểu diễn của
G.
2.3. Biểu diễn của đại số Lie
Định nghĩa 2.3.1. Phép biểu diễn của đại số Lie g là một đồng cấu đại số
Lie, tức là ánh xạ tuyến tính π : g → End(V ) từ g tới không gian các tự
18
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
đồng cấu của không gian vectơ V sao cho với ∀X,Y ∈g ta có
π ([X,Y ]) = π(X)◦π(Y ) −π(Y ) ◦π(X).
Định nghĩa 2.3.2. Cho A là đại số kết hợp, biểu diễn của A là một phép
đồng cấu đại số từ A vào End(V), trong đó V là một số không gian vectơ.
Định nghĩa 2.3.3. Cho X ∈g, tự đồng cấu dπ(X) của V được xác định bởi
công thức
(dπ(X))(v) =
d
dt
π (exp(tX)) v
|
t=0
, (2.2)
trong đó "ánh xạ hàm số mũ" g → G được xác định bởi
e
X
= exp(X) = I + X +
1
2!
X
2
+
1
3!
X
3
+ +
1
n!
X
n
+
Để dπ : g → End(V ) là một biểu diễn thì nó phải thỏa mãn phương
trình
π ([X,Y ]) = π(X)◦π(Y ) −π(Y ) ◦π(X).
Biểu diễn dπ đại số Lie xác định bởi (2.2) được gọi là vi phân của biểu
diễn π nhóm Lie G.
Định nghĩa 2.3.4. Cho W và U là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên
trường F, ánh xạ toàn phương W → U là một hàm đa thức có các thành
phần là các đa thức thuần nhất bậc 2 với hệ số trong F.
Bổ đề 2.3.5. Cho W và U là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên
trường F đặc số khác 2, và cho q là ánh xạ toàn phương W →U. Khi đó
tồn tại duy nhất ánh xạ song tuyến tính đối xứng B : W ×W →U sao cho
q(ω) = B(ω,ω).
Ánh xạ song tuyến tính B được gọi là sự phân cực của q.
19
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả thiết W = F
n
và U = F
m
, vì
vậy các phần tử của W là n-bộ ω = (ω
1

2
, ,ω
n
). Theo định nghĩa, q là
đa thức thuần nhất bậc hai, do đó, tồn tại các hệ số a
ijk
∈ F (1 ≤ i ≤ j ≤
n,1 ≤ k ≤ m) sao cho
q(ω) =


1≤i≤j≤n
a
i j1
ω
i
ω
j
, ,

1≤i≤j≤n
a
i jm
ω
i
ω
j

.
Định nghĩa
B
1
(ω,ω

) =


1≤i≤j≤n
a
i j1
ω
i
ω

j
, ,

1≤i≤j≤n
a
i jm
ω
i
ω

j

với ω = (ω
1

2
, ,ω
n
) và ω

= (ω

1


2
, ,ω

n
) ∈F
n
. Khi đó B
1
là ánh
xạ song tuyến tính sao cho q(ω) = B
1
(ω,ω). Hơn nữa B
1
không đối xứng,
vì vậy chúng ta định nghĩa.
B(ω,ω

) =
1
2

B
1
(ω,ω

) + B
1


,ω)

.
Điều này là có thể vì đặc số của F là khác 2.
Mệnh đề 2.3.6. Cho G = GL(2,R)
+
, and cho g = gl(2,R) là đại số Lie
của nó. Cho (π,V ) là phép biểu diễn hữu hạn chiều của G sao cho g →
π (g) là hàm trơn với mọi v ∈V . Khi đó dπ : g →End(V ) là biểu diễn đại
số Lie của g.
Chứng minh. Trong trường hợp tổng quát, mệnh đề là hệ quả rút ra từ
công thức Van Campbell - Hausdorff - Dynkin. Tuy nhiên, với nhóm ma
trận GL(2,R) có thể đơn giản hóa như sau: để chứng minh dπ là phép biểu
diễn của g ta phải chứng minh
dπ(X)◦dπ(Y ) −dπ(Y ) ◦dπ(X) = dπ([X,Y ]).
Ta biết rằng có hai đường t →exp(tX) và t →I +tX là tiếp tuyến trong
G. (Với X ∈ g và t ∈ R đủ nhỏ, I + tX nằm trong G = GL(2,R)
+
). Do đó,
20
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ta có thể đơn giản hoá phương trình (2.2) để được
(dπ(X))(v) =
d
dt
π (I + tX) v
|
t=0
.
Cho v ∈V , vì π(g)v là hàm trơn, ánh xạ X → π (I + X)v có khai triển
Taylor tại X = 0 trong g. Do đó tồn tại các ánh xạ đa thức thuần nhất
c
i
: g →V (cùng bậc i) và phần dư r : g →V sao cho
π (I + X)v = c
0
(X) +c
1
(X) +c
2
(X) +r(X),
trong đó r(X) triệt tiêu cấp 3 tại X = 0, c
0
(X) = c
0
là hằng số, và cho
B : g ×g →V là sự phân cực của c
2
như trong Bổ đề 2.3.5, do đó
π(I + X)v = c
0
+ c
1
(X) +B(X,X) +r(X).
Ta có
(dπ(X))(v) =
d
dt
π(I +tX)v
|
t=0
=
d
dt

c
0
+tc
1
(X) +t
2
B(X,X) +r(tX)



t=0
= c
1
(X).

(dπ(X)◦dπ(Y ))(v) = (dπ(X))

d
du
π (I + uY ) v
|
u=0

=

∂t

∂ u
π ((1 +tX)(1 + uY ))v
|
t=u=0
=

∂t

∂ u
(c
0
+ c
1
(tX + uY +tuXY ) +)+)
|
t=u=0
+B(tX + uY +tuXY,tX +uY +tuXY )
+r(tX + uY +tu XY ))
|
t=u=0
.
Bỏ qua r từ phép toán này, vì nó triệt tiêu tới cấp 3. Mở rộng các ánh
xạ tuyến tính và song tuyến tính c
1
và c
2
, ta có
(dπ(X)◦dπ(Y ))(v) =

∂t

∂ u
(c
0
+tc
1
(X) +uc
1
(Y ) + tuc
1
(XY )
+t
2
B(X,X) +u
2
B(Y,Y ) +t
2
u
2
B(XY,XY)
+2tuB(X,Y ) + 2t
2
uB(X, XY ) + 2tu
2
B(Y,XY)


t=u=0
= c
1
(XY ) + 2B(X,Y).
21
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Tương tự ta có
(dπ(Y ) ◦dπ(X))(v) = c
1
(Y X)+2B(X,Y ).
Trừ vế theo vế ta được
(dπ(X)◦dπ(Y ) −dπ(Y ) ◦dπ(X))(v) = c
1
(XY −YX) = dπ ([X,Y ])(v).
Ta có dπ(X) ◦dπ(Y ) −dπ(Y ) ◦dπ(X) = dπ([X,Y ]).
Xét biểu diễn chính quy phải ρ : G → End(H) của G = GL(2,R)
+
trên
C

(G) được xác định bởi (2.1).
Nếu X ∈ g = gl(2,R), ký hiệu dρ(X) là dX. Với g ∈ G, f ∈C

(G) ta

(dX f )(g) =
d
dt
(ρ(exp(tX)) f )(g)
|
t=0
=
d
dt
f (g exp(tX))
|
t=0
. (2.3)
Như trên ta có thể viết lại phương trình trên như sau:
(dX f )(g) =
d
dt
f (g(I +tX))
|
t=0
.
Mệnh đề 2.3.7. Ta có
dX ◦dY −dY ◦dX = d ([X,Y ]). (2.4)
Do đó X → dX là phép biểu diễn đại số Lie của g trên C

(G).
Chứng minh. Ta cố định hàm f ∈C

(G) và phần tử g ∈ G. Cho X gần 0
f (g(I + X)) = c
0
+ c
1
(X) +B(X,X) +r(X),
trong đó c
1
là tuyến tính, B là đối xứng và song tuyến tính, và r triệt tiêu
tới cấp 3 tại X = 0. Như trong trong chứng minh của Mệnh đề 2.3.6, ta có
(dX f )(g) = c
1
(X),
22
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
(dX ◦dY f )(g) = c
1
(XY ) + 2B(X,Y).
Từ đó ta có
(dX ◦dY −dY ◦dX f )(g) = c
1
(XY −YX) = (d [X,Y ] f )(g).
Tính chất phổ dụng của đại số tenxơ
Cho V là một không gian vectơ, A là đại số kết hợp, và l : V →A là ánh
xạ tuyến tính. Khi đó tồn tại duy nhất một phép đồng cấu đại số L : ⊗V →A
mở rộng l.
Mệnh đề 2.3.8. Cho g là đại số Lie, và cho U(g) là bao đại số của nó.
Cho π : g → End(V ) là phép biểu diễn. Khi đó π được mở rộng duy nhất
thành một phép biểu diễn của đại số kết hợp U(g).
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra trên các phần tử thuần nhất bậc k có
L(v
1
⊗v
k
) = l(v
1
) l(v
k
).
Sử dụng tính chất phổ dụng của đại số tenxơ để mở rộng π tới một đồng
cấu ⊗g → End(V ). Mà U(g) được định nghĩa là thương ⊗g/I, trong đó
I là iđean sinh bởi các phần tử có dạng X ⊗Y −Y ⊗X = [X,Y ], X,Y ∈ g.
Iđean I này được chứa trong hạch của đồng cấu tới End(V). Thật vậy, đây
là hệ quả của giả thiết rằng π là biểu diễn số Lie. Do đó đồng cấu đại số
U(g) →End(V ) là cảm sinh.
Bổ đề 2.3.9. Cho G = GL(2,R)
+
, và cho X là phần tử của đại số Lie
g = gl(2,R) của G. Giả sử rằng φ ∈C

(G ×R) thỏa mãn

∂t
φ(g,t) = dXφ(g,t)
và điều kiện biên φ(g,0) = 0. Khi đó φ (g,t) = 0 với mọi t ∈ R.
23
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mệnh đề 2.3.10. Cho G = GL(2,R)
+
, và g = gl(2,R) là đại số Lie của
G. Cho D là phần tử của tâm của U(g). Khi đó toán tử vi phân D bất biến
theo cả hai phép biểu diễn chính quy trái và phải của G.
Chứng minh. Toán tử vi phân D là bất biến trái theo biểu diễn chính qui
của G đã được chứng minh.
Chứng minh toán tử vi phân D bất biến phải theo biểu diễn chính qui
của G.
Theo giả thiết thì D nằm trong tâm của U(g). Nó là đủ để chứng minh
rằng ρ(h)◦D = D ◦ρ(h) cho h trong tập các hàm sinh của G. Lân cận bất
kì của đơn vị sinh ra nhóm con mở của G, vì G là liên thông, do đó nó
được sinh ra bởi lân cận bất kì của đơn vị. Vì ảnh của exp : g → G chứa
lân cận của đơn vị, nó là đủ để thấy rằng
ρ(g
t
) ◦D = D ◦ρ(g
t
), g
t
∈ exp(tX),
với X ∈ g, t ∈ R. Cho
φ(g,t) = (Dρ (exp(tX)) f −ρ (exp(tX))D f )(g).
Chứng minh φ(g,t) thoả mãn
+ φ (g,0) = 0
+

∂t
φ (g,t) = dXφ (g,t)
Điều kiện biên thứ nhất là hiển nhiên. Kiểm tra điều kiện thứ hai ta có

∂t
φ (g,t) =

∂ u
φ (g,t + u)
|
u=0
=

∂ u
((Dρ (exp(t + u)X)) f )(g)
|
u=0


∂ u
(ρ (exp((t + u)X)D f ))(g)
|
u=0
=

∂ u
(Dρ (exp(uX))ρ (exp(tX)) f )(g)


∂ u
(ρ (exp(uX))ρ (exp(tX))D f ) (g)
|
u=0
=(DdXρ (exp(tX)) f −dXρ (exp(tX))D f )(g).
Vì D nằm trong tâm của U(g), nó giao hoán với dX, ta có
(dX Dρ (exp(tX)) f −dXρ (exp(tX))D f )(g) = dXφ(g,t).
24
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×