Tải bản đầy đủ

tieuluandaisodaicuong Dãy khớp các môđun Dãy khớp các nhóm aben

GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

MỤC LỤC

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Toán học luôn có một vai trò hết sức to lớn và đặc biệt quan trọng trong sự
phát triển của khoa học- kỹ thuật nói riêng và của nhân loại nói chung. Toán học
mang lại cho chúng ta nhiều ứng dụng thiết thực trong cuộc sống. Trong thời kỳ

hiện đại, toán học không ngừng phát triển và ngày càng trừu tượng hơn. Trong đó
đại số chiếm một vị trí quan trọng, để nghiên cứu được lĩnh vực này cần có sự
hiểu biết một cách sâu sắc về cấu trúc đại số, bao gồm: nhóm, vành, trường,
môđun,...Trong lý thuyết môđun, dãy khớp là một nội dung rất quan trọng và hay,
dãy khớp được ứng dụng khá rộng rãi và có mối liên hệ mắc xích với các cấu trúc
đại số khác. Với mục đích đi sâu nghiên cứu hơn về dãy khớp để phục vụ cho việc
học tập nên em chọn đề tài “ Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm Aben”.
2. Mục đích nghiên cứu

-

Thông qua việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích nghiên
cứu sâu hơn về dãy khớp các môđun- dãy khớp các nhóm aben và từ đó đi giải
quyết một số bài tập vận dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu về hệ thống lý thuyết, các định nghĩa, định lý, tính chất,
mệnh đề về dãy khớp các môđun- dãy khớp các nhóm aben.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Dãy khớp môđun.
- Dãy khớp các nhóm aben.
5. Phạm vi nghiên cứu
- Hệ thống lý thuyết về dãy khớp các môđun- dãy khớp các nhóm aben.
- Các kiến thức liên quan.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng hợp kiến thức đã học.
- Phân tích nội dung kiến thức cần nghiên cứu.
- Hỏi ý kiến chuyên gia.

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

B. NỘI DUNG

Chương 1. Dãy khớp các môđun

Môđun
1.1.1. Định nghĩa
1.1.

Cho R là vành có đơn vị 1. Một môđun trái trên R (hay một R-môđun trái) là
một nhóm cộng aben M cùng với ánh xạ

ϕ : R× M → M
(r , m) a ϕ (r , m) = r.m
thường được gọi là phép nhân với vô hướng trong R, thỏa mãn các điều kiện sau
đây:

∀r , s ∈ R, ∀m, n ∈ M
( M 1 ) r (m + n) = rm + rn
:

( M 2 ) (r + s)m = rm + sm
:

( M 3 ) (rs )m = r (sm)
:

( M 4 ) 1.m = m
:

Tương tự, ta cũng có khái niệm R- môđun phải (hay môđun phải trên R) xác
định

ϕ :M ×R → M
(m, r ) a ϕ (m, r ) = m.r

thỏa mãn các điều kiện:

(M 1 ) (M 2 ) (M 4 )
,

viết sang bên phải và điều kiện
SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

,

(M 3 )

như trên, trong đó các vô hướng được

được viết lại:
Trang


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

m(rs) = (mr )s, ∀m ∈ M , ∀r , s ∈ R

Các môđun trái và môđun phải trên R chỉ khác nhau khi tích
lên các môđun này r tác động trước hay s tác động trước.

rs ∈ R

tác động

Trường hợp R là vành giao hoán thì khái niệm môđun trái và môđun phải
trên R là trùng nhau, ta gọi là R-môđun. Ta chỉ xét các R-môđun trái và gọi là R môđun.

1.1.2. Ví dụ
(M , +)
R=¢
(1) Cho
là vành các số nguyên,
là nhóm aben. Khi đó

ϕ :¢ × M → M
( r , m) a ϕ ( r , m) = r.m

Ta kiểm tra M là

¢

-môđun.

(2) Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị 1. Khi đó ánh xạ

ϕ :R× R → R
(r , s ) a ϕ (r , s ) = r.s
trong đó rs là phép nhân trong R thỏa mãn điều kiện của phép nhân với vô hướng.
Do đó R là môđun trên chính nó.

(3) Cho R là vành có đơn vị, I là iđêan trái của R thì I (được xem như nhóm con của
nhóm cộng R) là một R- môđun trái với phép nhân với vô hướng xác định

ϕ :R× I → I

( r , a ) a ϕ (r , a ) = r.a

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

{

}

R n = ( a1 , a2 ,..., an ) | ai ∈ R, i = 1, n
(4) Đặt

trang bị trên

Rn

. Trong đó R là một vành có đơn vị. Ta

hai phép toán cộng và nhân với vô hướng như sau:

( a1 , a2 ,..., an ) + (b1, b2 ,..., bn ) = ( a1 + b1, a2 + b2 ,..., an + bn )

(i)

a( a1 , a2 ,..., an ) = ( aa1 , aa2 ,..., aan )

(ii)

∀a, ai , bi ∈ R, i = 1, n

Rn

. Khi đó
là một R-môđun.
(5) Nhóm cộng gồm chỉ một phần tử 0 là môđun trên một vành bất kỳ, được gọi là
môđun 0.
(6) Mỗi không gian vectơ trên trường K là một môđun trên K và ngược lại.
1.1.3.
Tính chất
Giả sử M là một R-môđun. Khi đó

0 x = 0, ∀x ∈ M
i)

r.0 = 0, ∀r ∈ R
0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x ⇒ 0 x = 0
Thật vậy: Ta có

r 0 = r (0 + 0) = r 0 + r 0 ⇒ r 0 = 0
r (− x) = − rx = (− r ) x
ii)

r (− x ) = r (0 − x) = r 0 − rx = 0 − rx = −rx
Thật vậy:

( − r ) x = (0 − r ) x = 0 x − rx = 0 − rx = −rx
Tương tự:

r (− x) = − rx = (−r ) x
Suy ra

1.1.4.

Hệ quả

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

(r − s ) x = rx − sx, ∀r , s ∈ R
r ( x − y ) = rx − ry , ∀x, y ∈ M
Đồng cấu môđun
1.2.1. Định nghĩa
Cho hai R- môđun M và N. Một đồng cấu R-môđun (còn gọi là ánh xạ
1.2.

R-tuyến tính)

ϕ:M → N

thỏa mãn:

ϕ ( x + y ) = ϕ ( x) + ϕ ( y )

(1)

ϕ (rx) = rϕ ( x )

(2)
Từ định nghĩa trên, điều kiện (1) chính là đồng cấu nhóm cộng nên ta có

ϕ (0 )=0N
{ M
ϕ ( − x)=−ϕ ( x)

, với

0M 0 N
,

Nếu M=N thì đồng cấu
Đồng cấu

ϕ

ϕ

lần lượt là phần tử không của M, N.

được gọi là tự đồng cấu.

được gọi là đơn (toàn, đẳng) cấu nếu

ϕ

là đơn (toàn, song)

ánh.
Ta có định nghĩa đồng cấu R- môđun tương đương:
Ánh xạ

ϕ:M → N

là đồng cấu R- môđun

⇔ ϕ (rx + sy ) = rϕ ( x ) + sϕ ( y ), ∀r , s ∈ R, ∀x, y ∈ M
(3)

Chứng minh

(⇒)

Nếu

ϕ :M → N

là đồng cấu R- môđun thì từ điều kiện (1) và (2)

∀r , s ∈ R, ∀x, y ∈ M

ta có:
(1)

(2)

ϕ ( rx + sy ) = ϕ ( rx) + ϕ ( sy ) = rϕ ( x) + sϕ ( y )
( ⇐)
Giả sử

ϕ:M → N

(suy ra được từ (3))

ϕ (rx + sy ) = rϕ ( x) + sϕ ( y )
thỏa (3) tức là

∀x, y ∈ M : ϕ ( x + y ) = ϕ (1R x + 1R y ) = 1R ϕ ( x) + 1R ϕ ( y) = ϕ ( x) + ϕ ( y)
∀r ∈ R : ϕ ( rx ) = ϕ (rx + 0 R y ) = rϕ ( x) + 0 R ϕ ( y ) = rϕ ( x)
SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

(có (1))

(có (2))
Trang


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Vậy

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

ϕ

là R-môđun.
1.2.2. Ví dụ
(1) Cho R-môđun M, M’ là môđun con của M. Ánh xạ bao hàm

j:M '→ M

j ( x) = x, ∀x ∈ M '

định bởi
được gọi là đơn cấu chính tắc).

là một đơn cấu R-môđun (còn

∀x, y ∈ M ', ∀r , s ∈ R j (rx + sy ) = rx + sy = rj ( x) + sj ( y )


:
Là đồng cấu

(i)

∀x ∈ Kerj ⇒ j ( x) = 0

j là đơn ánh,

j ( x) = x ⇒ x = 0 ⇒ Kerj = 0

Lại có
Vậy j là đơn ánh
Từ (i) và (ii) suy ra j là một đơn cấu R-môđun.
Đặc biệt: Ánh xạ đồng nhất
(2) Ánh xạ không

id M : M → N

θ :M → M '

(ii)

là đẳng cấu R-môđun.

x a θ ( x) = 0, ∀x ∈ M

là một đồng cấu R-môđun (còn gọi là đồng cấu không).
(3) Cho hai R-môđun M và N.

p:M → M
Ánh xạ

N

x a p ( x ) = x + N , ∀x ∈ N

là một toàn cấu R-môđun (còn gọi là toàn cấu chính tắc).

∀x, y ∈ M , ∀r ∈ R

p( x + y ) = x + y + N = ( x + N ) + ( y + N ) = p ( x) + p ( y )
-

p( rx) = rx + N = r ( x + N ) = rp ( x)


p là đồng cấu R-môđun.

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

∀y = x + N ∈ M

N

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

, ∃x ∈ M : p( x) = x + N = y

Suy ra p là toàn cấu.

¢

(4) Đồng cấu
-môđun chính là đồng cấu nhóm aben.
(5) Nếu R là một trường thì đồng cấu R-môđun vectơ.
(6) Hợp thành của hai đồng cấu R-môđun là một đồng cấu R-môđun

Chứng minh

ϕ:M → N

Giả sử
thành



ψ .ϕ : M → P

ψ :N →P

.

là hai đồng cấu R-môđun. Xét hợp

∀r , s ∈ R, ∀x, y ∈ M
, ta có:

ψ .ϕ (rx + sy ) = ψ (ϕ (rx + sy )) = ψ (rϕ ( x) + sϕ ( y )) = rψ (ϕ ( x)) + sψ (ϕ ( y ))
= r ((ψ .ϕ )( x )) + s((ψ .ϕ )( y )) = r (ψ .ϕ )( x) + s(ψ .ϕ )( y )
Vậy

ψ .ϕ

là đồng cấu R-môđun.
1.3.
Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của các môđun
1.3.1. Định nghĩa

Cho một họ các R-môđun

∏M ={ ( M )
i∈I

i

i i∈I

| xi ∈ M i

(M i | i ∈ I )

}

. Khi đó tích Descartes:

cùng với phép toán cộng và phép nhân với vô

( xi ) i∈I + ( yi ) i∈I = ( xi + yi ) i∈I
r ( xi )

hướng

=( rxi )

i∈I

i∈I

của một họ các môđun

(M i | i ∈ I )

⊕ Mi

Ta gọi

i∈I

SuppM i < +∞

là tập các dãy

), tức là hầu hết

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

là một R-môđun được gọi là tích trực tiếp
.

( xi ) i∈I

xi = 0

với (

xi ∈ M i

) có giá hữu hạn (kí hiệu

chỉ trừ một số hữu hạn chỉ số i.

Trang


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

⊕ Mi

Với phép cộng và nhân với vô hướng như trên,
còn gọi là tổng trực tiếp của một họ các môđun
Nhận xét:

(M i | i ∈ I )

∏M

( I = 1,2,..., n)
-

Trường hợp 1: I hữu hạn

i∈I

i∈I

ta có

i

là một R-môđun,
.

= ⊕ Mi
i∈I

∏M

⊕ Mi
-

Trường hợp2: I vô hạn:
1.3.2. Mệnh đề
Giả

sử

M 1 , M 2 ,..., M n

M = M 1 + M 2 + ... + M n



các

môđun



. Khi đó

của

i

I

M

sao

cho

M ≅ M 1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n

M = M 1 + M 2 + ... + M n

nên với mỗi phần tử

.

xi ∈ M i , i = 1, 2,..., n

. Cách viết này là duy nhất vì:

x = x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn

Khi đó, với mỗi

con

i≠ j

x ∈ M : x = x1 + x2 + ... + xn

Giả sử

là môđun con thực sự của

Mi ∩ ∑ M j = 0

Chứng minh: Từ giả thiết

Với

I

i = 1,2,..., n

(với

xi , yi ∈ M i , i = 1, 2,..., n

).

ta có

xi − yi = −∑ ( xi − yi ) ∈ ∑ M j
i≠ j

i≠ j

gt

xi − yi ∈ M i ∩ ∑ M j = 0 ⇒ xi = yi
i≠ j

Suy ra:
Xét ánh xạ

ϕ : M → M 1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n

x = x1 + x2 + ... + xn a ϕ ( x) = ( x1, x2 ,..., xn )



Ánh xạ φ là đẳng cấu.

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

Dãy khớp các môđun
1.4.1. Định nghĩa
Dãy các môđun và các đồng cấu môđun
1.4.

... → M

ϕ n−1
ϕn

→ M →
M
→ ...
n −1
n
n +1
Im ϕn−1 = Kerϕ n , ∀n

được gọi là dãy khớp nếu

f
g
0 → M ' → M → M " → 0

Dãy khớp với R-môđun
(*) trong đó
môđun đầu và môđun cuối là các môđun 0 được gọi là dãy khớp ngắn nếu
thỏa các điều kiện sau:
- f là đơn cấu
- g là toàn cấu

Im f = Kerg

-

Im f (= Kerg)
Do f là đơn cấu nên ta đồng nhất M’ với

Img=g(M)=M"

Do g là đồng cấu nên ta có

M

Kerg

≅ Im g

M

M'

≅M"

Theo định lý đồng cấu môđun ta có:
hay
1.4.2. Ví dụ
(i)
Với N là một R-môđun con của M, thì ta luôn có một khớp ngắn
i
p
0 → N 
→ M 
→M / N → 0

trong đó

i

p
là ánh xạ nhúng, còn

mỗi số nguyên dương

n

là phép chiếu chính tắc. Nói riêng, với

, ta có dãy khớp sau
i
p
0 → n¢ 
→ ¢ 
→¢ n → 0

(ii)

,

.

M và N là các R-môđun thì dãy
i
p
0 → M 
→ M ⊕ N 
→N → 0

i ( x) = ( x,0)
với
ngắn.

p ( x, y ) = y
, còn

với mọi

x∈M

,

y∈M
,

là một dãy khớp

1.4.3. Mệnh đề
SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang 10


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

Cho một dãy khớp ngắn
f
g
0 → N 
→ M 
→P → 0

f

Im f

khi đó do
là một đơn cấu, ta có thể đồng nhất N với môđun con
M. Điều này cùng với hệ quả giúp ta thu được các quan hệ

của

N ⊂ M , M / N ≅ P.

Trong trường hợp này, môđun M được gọi là một môđun mở rộng của

( N , P)

môđun N bởi môđun P. Hiển nhiên với mỗi cặp môđun
luôn có một mở rộng bởi P là

M '= N ⊕P

cho trước, N

, và ta có một dãy khớp ngắn

g
0 → N 
→ M 
→P → 0
f

M ' = N ⊕ P = Im f ⊕ Im g
với
. Một dãy khớp ngắn như vậy được gọi là một
dãy khớp chẻ ra.
1.4.4. Định nghĩa. Dãy khớp
f
g
... → N 
→ M 
→ P → ...

Im f = Kerg
được gọi là chẻ ra tại M nếu
là một hạng tử trực tiếp của M.
Nếu một dãy khớp chẻ ra tại mọi môđun không ở hai đầu của dãy thì ta nói
rằng nó chẻ ra.
1.4.5. Nhận xét. Dãy khớp ngắn
f
g
0 → N 
→ M 
→P → 0

chẻ ra nếu và chỉ nếu nó chẻ ra tại M.
1.4.6. Định lí. Nếu dãy khớp
f
g
... → N 
→ M 
→ P → ...

M ≅ Im f ⊕ Im g
chẻ ra tại M thì
Chứng minh.
Ta có
Mặt khác ta lại có

.

M ≅ Im f ⊕ ( M / Im f )
M / Im f = M / Kerg ≅ Im g
M ≅ Im f ⊕ Im g

Như vậy
SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

.
Trang 11


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

1.4.7. Hệ quả. Nếu dãy khớp ngắn
f
g
0 → N 
→ M 
→P → 0
chẻ ra thì

M ≅ N ⊕P

1.4.8. Định lí. Dãy khớp ngắn
f
g
0 → N 
→ M 
→P → 0
chẻ ra nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

f ': M → N

(i)

Tồn tại một đồng cấu

g ': P → M

(ii) Tồn tại một đồng cấu

sao cho
sao cho

f ' f = id N

gg ' = id P

.

.

Chứng minh. Trước tiên giả sử dãy khớp đã cho là chẻ ra. Khi đó có môđun
con

M1

của M sao cho

f ' = f −1 p

M = Im f ⊕ M 1 = Kerg ⊕ M 1
.

f −1

p : M → Im f

Đặt

với

là phép chiếu chính tắc, còn

là ánh xạ

f : N → Im f
ngược của đẳng cấu
Khi đó có thể kiểm tra rằng

f ' f = id N

. Mặt khác, dễ thấy ánh xạ thu hẹp

g1 = g M1 : M 1 → P
là một đẳng cấu, và nếu đặt
nhúng chính tắc thì

gg ' = id P

g ' = ig1−1

với

i : M1 → M

là phép

.

f ': M → N
Bây giờ, giả sử có một đồng cấu

sao cho

f ' f = id N

. Ta sẽ

M = Im f ⊕ Kerf '
chứng minh rằng
Với mỗi

x∈M

.

f '( x − ff '( x)) = f '( x) − f ' ff '( x) = f '( x) − f '( x) = 0
ta có

x − ff '( x) ∈ Kerf '


, tức

x ∈ Im f ⊕ Kerf '
, suy ra

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

M = Im f + Kerf '
. Như vậy

.

Trang 12


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

x ∈ Im f ∩ Kerf '
Mặt khác, nếu

y∈N
thì tồn tại

x = f ( y)
sao cho

, và lúc

x = f ( y ) = ff ' f ( y ) = ff '( x ) = 0
đó

.
Vậy

Im f ∩ Kerf ' = { 0}

M = Im f ⊕ Kerf '
, do đó

.

g ': P → M
Cuối cùng, giả sử có một đồng cấu
là một đơn cấu và ta có dãy khớp ngắn

sao cho

gg ' = id P

g'
. Khi đó

g'
q
0 → P 
→ M 
→ M / Im g ' → 0

q
trong đó

là phép chiếu chính tắc. Vì

gg ' = id P

nên theo điều kiện vừa chứng

M = Im g '⊕ Kerg
minh ở phần trên ta nhận được:
Vậy dãy khớp đã cho là chẻ ra.
1.5.

Bài tập vận dụng

Bài tập 1. Giả sử

0→

M1, M 2

M2

dãy sau là khớp

là các môđun con của môđun M. Chứng minh rằng

M1 ∩ M 2

ϕ

→M

M1

ψ

→M

M1 + M 2

→0
.

Giải:
Cần chứng minh

Ta có

Im ϕ = Kerψ

; φ là đơn cấu và

ψ

là toàn cấu

ϕ : M2 M ∩ M → M M
1
2
1
x2 + M 1 ∩ M 2 a x2 + M 1

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang 13


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

ψ : M M → M (M + M )
1
1
2



x + M1 a x + (M1 + M 2 )

-

Chứng minh

ϕ

là đơn cấu :

∀( x2 + M 1 ∩ M 2 ) ∈ Kerϕ

⇒ ϕ ( x2 + M 1 ∩ M 2 ) = 0( M

M1

)

= M1

⇒ x2 + M 1 = M 1 ⇒ x2 ∈ M 1
Lại vì

x2 ∈ M 2

nên

x2 ∈ M 1 ∩ M 2

⇒ x2 + M 1 ∩ M 2 = M 1 ∩ M 2 = 0 M 2
(

⇒ϕ

-

là đơn cấu.

Chứng minh

ψ

là toàn cấu:

Chứng minh

)

ψ (M M ) = {ψ ( x + M1 ) : x ∈ M }
1

= {x + M 1 + M 2 : x ∈ M } = M
-

M1 ∩ M 2

(M1 + M 2 )

Im ϕ = Kerψ

∀( x + M 1 ) ∈ Im ϕ ⇒ ∃( x2 + M 1 ∩ M 2 ) : ϕ ( x2 + M 1 ∩ M 2 ) = x + M 1

Hay

x2 + M 1 = x + M 1 ⇒ ψ ( x + M 1 ) = ψ ( x2 + M 1 )

⇒ Im ϕ ⊂ Kerψ

Ngược lại,

∀( x + M 1 ) ∈ Kerψ

⇒ ψ ( x + M 1 ) = 0( M

Hay

M1 + M 2

)

= M1 + M 2

x2 + M 1 + M 2 = M 1 + M 2 ⇒ x ∈ M 1 + M 2

⇒ ∃x1 ∈ M 1 , x2 ∈ M 2 : x = x1 + x2 ⇒ x2 = x − x1

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang 14


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Xét

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

ϕ ( x2 + M 1 ∩ M 2 ) = x2 + M 1 = x − x1 + M 1 = x + M 1

⇒ x + M ∈ Im ϕ ⇒ Kerψ ⊂ Imϕ
1

⇒ Kerψ = Im ϕ

. Vậy dãy trên là khớp.

Bài tập 2. Giả sử có các họ các R-môđun
Nếu với mỗi

i∈I

{ Ai / i ∈ I } ,{ Bi / i ∈ I } ,{ Ci / i ∈ I }

.

0 → Ai → Bi → Ci → 0

ta có dãy khớp:

0 → ⊕Ai → ⊕Bi → ⊕Ci → 0
i∈I

Chứng minh rằng:
Giải:

i∈I

i∈I

Giả sử ta có dãy khớp các R-môđun:

cũng là dãy khớp.

fi
gi
0 → Ai 
→ Bi 
→ Ci → 0

⊕ fi : ⊕ Ai → ⊕ Bi
i

Đặt:

I

I

∑a

i

a

I

∑ f (a );
i

i

I

⊕ gi : ⊕ Bi → ⊕ Ci


i

I

I

∑ b a ∑ g (b )
i

i

I

i

I

⊕ fi , ⊕ gi
i

(1) Ta sẽ chứng minh


lần lượt là đơn cấu, toàn cấu:

∑ a = ∑ a ' ∈⊕ A ⇒ ∑ (a − a ') = 0

⊕ fi
i

i

i

là ánh xạ: giả sử

I

i

I

I

i

i

i

I

⇒ Aj ∋ a j − a j ' = −∑ (ai − ai ') ∈ ∑ Ai ; ∀j = 1, n
i∈I
i≠ j

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

i∈I
i≠ j

Trang 15


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

⇒ a j − a j ' ∈ Aj ∩ ∑ Ai = 0; ∀j = 1, n
i∈I
i≠ j

⇒ a j = a j '; ∀j = 1, n ⇒ ∑ f i (ai ) = ∑ f i (ai ')
I

∑ a , ∑ a ' ∈⊕ A ;

⊕ fi


I

I

i

là đồng cấu: Với mọi

∀r , r ' ∈ R;

i

I

i

I

I

ta có:

⊕ fi (r ∑ ai + r ' ∑ ai ') = ⊕ fi (∑ ( rai + r ' ai ')) = ∑ fi ( rai + r ' ai ')
I

I

I

I

I

I

= r.∑ fi (ai ) + r '.∑ f i (ai ') = r. ⊕ f i (∑ ai ) + r '. ⊕ f i (∑ ai ')
I

I

I



I

∑ a ∈ Ker(⊕ f ) ⇒ ∑ f (a ) = 0

⊕ fi
I

I

I

i

I

I

là đơn cấu: Với mọi

i

i

i

I

⇒ B j ⊃ Im( f j ) ∋ f j (a j ) = − ∑ f i (ai ) ∈∑ Im( f j ) ⊂∑ Bi ; ∀j ∈ I
i∈I
i≠ j

i∈I
i≠ j

i∈I
i≠ j

⇒ f j (a j ) ∈ B j ∩ ∑ Bi = 0; ∀j ∈ I
i∈I
i≠ j

⇒ a j ∈ Ker( f j ) = 0; ∀j ∈ I

fj
(do

⇒ ∑ ai = 0 ⇒ Ker (⊕ f i ) = 0

∀j ∈ I
là đơn cấu,

I

I

⊕ gi


I

⊕ fi
là đồng cấu: Tương tự như chứng minh

∀c ∈⊕ Ci ⇒ c = ∑ ci

⊕ gi


I

)

I

I

là toàn cấu:
Từ

ci ∈ Ci (∀i ∈ I )

thì do

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

gi

với

I

là đồng cấu.

ci ∈ Ci , ∀i ∈ I

là toàn cấu nên

∃bi ∈ Bi : ci = gi (bi )
Trang 16


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

⇒ c = ∑ ci = ∑ gi (bi ) =⊕ g i (∑ bi )
I

I

I

I

.

Im(⊕ f i ) = Ker(⊕ gi )
I

(2) Chứng minh:

I

∑ f (a ) ∈ Im(⊕ f ),
i

-

i

I

I

Với mọi

i

⊕ g i (∑ f i (ai )) = ∑ ( gi fi )(ai ) = 0
I

I

Ta có

I

(vì

( g i f i )(ai ) = 0

⇒ Im(⊕ fi ) ⊂ Ker(⊕ gi );
I

(do dãy đã cho là khớp)

)

I

(∑ bi ) ∈ Ker(⊕ gi ) ⇒ 0 = ⊕ gi (∑ bi ) = ∑ gi (bi )

-

I

I

Ngược lại, với

I

I

I

⇒ ∀j ∈ I , C j ∋ g j (b j ) = −∑ gi (bi ) ∈∑ Ci = 0
i∈I
i≠ j

i∈I
i≠ j

⇒ ∀j ∈ I , g j (b j ) ∈ C j ∩ ∑ Ci = 0
i∈I
i≠ j

⇒ b j ∈ Ker( g j ) = Im( fi ), ∀j ∈ I
⇒ ∑ bi = ∑ Im( f i ) = Im(⊕ f i )
I

Im(⊕ fi ) = Ker(⊕ gi )

I

I

I

. Vậy
Từ kết quả (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 3: Cho R là vành có đơn vị. Dãy

I

f
g
0 → M ' 
→ M 
→M "→ 0

f
là dãy khớp các đồng cấu R-môđun và

ψ :M → M '
a)
b)

sao cho

ψ f = id M '

M = Im f ⊕ Kerψ

). Chứng minh rằng:

g
khả nghịch phải (tức tồn tại đồng cấu
SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

khả nghịch trái (tức tồn tại đồng cấu

ϕ :M "→ M

sao cho

gϕ = id M "
Trang 17


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

Giải:
Giả sử R là vành có đơn vị, dãy:
f
g
0 → M ' 
→ M 
→M "→ 0

f
là dãy khớp các đồng cấu R-môđun và

ψ :M → M '

sao cho

ψ f = id M '

khả nghịch trái (tức tồn tại đồng cấu

).

M = Im f ⊕ Kerψ

a) Chứng minh

:

∀x ∈ M ⇒ ψ ( x) ∈ M ' ⇒ ( f ψ )( x) ∈ M
.

ψ [ x − ( f ψ )( x) ] = ψ ( x) − (ψ f ) [ψ ( x) ] = ψ ( x) − (id .ψ )( x) = ψ ( x) − ψ ( x) = 0

Xét

⇒ x − ( f ψ )( x) ∈ Kerψ ⇒ ∃a ∈ Kerψ : x − ( f ψ )( x) = a
⇒ x = ( f ψ )( x) + a ∈ Im f + Kerψ ⇒ M = Im f + Kerψ .

Lại có

Im f ∩ Kerψ = 0M

⇒ ∃x ' ∈ M ': α = f ( x ')


∀α ∈ Im f ∩ Kerψ ⇒ α ∈ Im f
, vì



α ∈ Kerψ

ψ (α ) = 0 M '

⇒ 0M ' = ψ (α ) = ψ [ f ( x ') ] = (ψ f )( x ') = id ( x ') = x '
⇒ α = f ( x ') = f (0M ' ) = 0 M .

M = Im f ⊕ Kerψ
Vậy

.

b) Chứng minh g khả nghịch phải, tức

gϕ = id M "

∃ϕ : M " → M

là đồng cấu thỏa mãn

.

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang 18


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Ta có

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

g : M = Im f ⊕ Kerψ → M "

Ta sẽ chứng minh

là đồng cấu

g ' = g |Kerψ : Kerψ → M "

là đẳng cấu. Thật vậy,

Kerg ' = { x ∈ Kerψ / g '( x) = 0M "} = { x ∈ Kerψ / g ( x) = 0M "}
= { x ∈ Kerψ / x ∈ Kerg = Im f } = Kerψ ∩ Im f =0 M
⇒ g'
là đơn cấu.
Ngoài ra,
Từ

∀x " ∈ M "

∃x ∈ M : g ( x) = x "
thì do g là toàn cấu nên

,

x ∈ M = Im f ⊕ Kerψ ⇒ ∃x1 ∈ Im f , x2 ∈ Kerψ : x = x1 + x2

⇒ x " = g ( x) = g ( x1 + x2 ) = g ( x1 ) + g ( x2 ) = g[f ( x1 ')] + g '( x2 )

[ do
Hay

x1 ∈ Im f

nên

x1 ' ∈ M ': x1 = f ( x1 ')

]

x " = ( gf )( x1 ') + g '( x2 ) = θ ( x1 ') + g '( x2 ) = 0 M " + g '( x2 ) = g '( x2 )

Im f = Kerψ

θ = gf
( với

là đồng cấu không vì

)

g ': Kerψ ≅ M "

⇒ g'
là toàn cấu. Vậy

là đẳng cấu.

⇒ ϕ = g '−1 : M " → M = Im f ⊕ Kerψ
là đơn cấu.
Chứng minh

ϕ

g : ∀x " ∈ M "
là nghịch phải của

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

, ta có:

Trang 19


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

( gϕ )( x ") = g [ ϕ ( x ") ] = g  g '−1 ( x ")  = g |Kerψ  g '−1 ( x ")  = g '  g '−1 ( x ") 

= ( g ' g '−1 )( x ") = id M " ( x ") = x " ⇒ gϕ = id M "

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang 20


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

Chương 2. Dãy khớp các nhóm aben
2.1. Nhóm các đồng cấu
Giả sử R là một vành có đơn vị và M, N là các R-môđun. Xét tập hợp

Hom( M , N ) = HomR ( M , N )

các đồng cấu môđun từ M vào N. Tập hợp này là một
nhóm aben với phép cộng được định nghĩa theo giá trị sau:

( f + g ) x = f ( x ) + g ( x)

trong đó

f , g ∈ HomR ( M , N ), x ∈ M

.

Hom( M , N )
Nếu R là một vành giao hoán thì

có cấu trúc một R-môđun với

(af ) x = af ( x)
phép cộng như trên và phép nhân với vô hướng định nghĩa như sau:
với

a ∈ R,f ∈ Hom R ( M , N ), x ∈ M

Giả sử

HomR ( M , N )

Khi đó với

.

là một R-môđun.

a, b ∈ R,f ∈ Hom R ( M , N ), x ∈ M

, ta có

( abf )( x) = ( ab) f ( x ) = f ( abx)
.

abf = a(bf )
Mặt khác, theo định nghĩa môđun

(abf )( x) = a(bf )( x) = (bf )(ax) = f (bax)
Vì thế

.

f (abx) = f (bax)
Vậy

với mọi

a, b ∈ R

và mọi

x∈M

Điều này không đúng nếu R không giao hoán.

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang 21


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

f :M '→M
Giả sử

là một đồng cấu R-môđun. Ta định nghĩa ánh xạ cảm

sinh

f * = HomR ( f , N ) : Hom R ( M , N ) → Hom R ( M ', N )
f * (g) = g o f

ga

Đó là một đồng cấu nhóm, bởi vì

( g1 + g 2 ) o f = g1 o f + g 2 o f

2.2. Dãy khớp các nhóm aben
2.2.1. Mệnh đề 1
Đối với mỗi dãy khớp các R-môđun
h
k
M ' 
→ M 
→M " → 0

(1)

và mỗi R-môđun N, dãy các đồng cấu cảm sinh
k*
h*
0 → HomR ( M ", N ) 
→ HomR ( M , N ) 
→ HomR ( M ', N )

là một dãy khớp các nhóm aben.
Chứng minh.
-

Khớp tại

HomR ( M ", N )

g :M "→ N
: giả sử

là một đồng cấu môđun với

k * ( g ) = g ok = 0

g ok = 0
. Vì k là một toàn cấu nên

Vậy
-

g =0
kéo theo

.

Kerk * = 0

Khớp tại

HomR ( M , N )

: với bất kì

g ∈ HomR ( M ", N )

, ta có

h * ok * ( g ) = h * ( g ok ) = g ok oh = 0
,

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang 22


GVHD: Th.S Võ Văn Minh



k oh = 0

. Nói cách khác

trên

Im k * ⊂ Kerh *

f ∈ HomR ( M , N )

Mặt khác, giả sử

Im h

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

.

h * ( f ) = f oh = 0
với

, tức là f bằng 0

. Khi đó có thể phân tích f qua thương

Do tính khớp của dãy

M " ≡ Im h

thì

π ≡k

M '→ M → M "→0

. Nếu ta đồng nhất

k * ( f ) = f ok = f oπ = f

f :M "→ N


nên

M " ≅ Im h

. Ta có

.

g:N'→ N
Bây giờ giả sử
cảm sinh

là một đồng cấu R-môđun. Ta cũng có một ánh xạ

g* = HomR ( M , g ) : HomR ( M , N ') → HomR ( M , N )
f a g of

đó là một đồng cấu nhóm, bởi vì

g ( f1 + f 2 ) = gf1 + gf 2

.

2.2.2. Mệnh đề 2
Đối với mỗi dãy khớp các R-môđun
h
k
0 → N ' 
→ N 
→N"

(2)

và mỗi R-môđun M, dãy các đồng cấu cảm sinh
h*
k*
0 → HomR ( M , N ') 
→ HomR ( M , N ) 
→ HomR ( M , N ")

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang 23


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

là một dãy khớp các nhóm aben.
2.2.3. Nhận xét

End R ( M ) := HomR ( M , M )

Nhóm aben
được trang bị cấu trúc vành với phép
nhân là hợp thành của các đồng cấu. Nó được gọi là vành các tự đồng cấu của
môđun M.
Chú ý
a) Một dãy khớp dạng
2.2.4.

M '→ M → M "→ 0
HomR ( −, N )

gọi là dãy khớp ngắn phải. Mệnh đề (1) khẳng định rằng hàm tử
với
N cố định chuyển một dãy ngắn khớp phải thành một dãy ngắn khớp trái. Còn

HomR ( M , −)

mệnh đề (2) thì khẳng định rằng hàm tử
dãy ngắn khớp trái thành một dãy ngắn khớp trái.
Nếu

0→ E → F →G →0

với M cố định, chuyển một

là một dãy khớp ngắn thì liệu các dãy sau

0 → HomR ( M , E ) → HomR ( M , F ) → HomR (M , G ) → 0
0 → HomR (G , N ) → HomR ( F , N ) → HomR ( E , N ) → 0

(i)
(ii)

có khớp hay không?
Theo các mệnh đề (1), (2), ta biết rằng các dãy đó là khớp tại hai hạng tử
đầu. Còn ở hạng tử thứ ba thì ví dụ sau chứng tỏ là không khớp.
¢

Ta lấy R= , vậy xét dãy khớp ngắn

¢

-môđun

f
g
0 → ¢ 
→ ¢ 
→¢ m → 0

trong đó f là phép nhân với m, g là đồng cấu tự nhiên:
SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

¢ → ¢ / m¢ = ¢ m

Trang 24


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

M = ¢m
Đặt

Dãy khớp các môđun- Dãy khớp các nhóm aben

trong (i) ta được

0 → Hom¢ (¢ m , ¢ ) → Hom¢ (¢ m , ¢ ) → Hom¢ (¢ m , ¢ m ) → 0

Nếu

ϕ ∈ Hom¢ (¢ m , ¢ )

∀k ∈ ¢ m , ϕ ( k ) = 0

Vậy

tức là

thì ta có

. Vậy

, do đó

ϕ =0

Hom¢ (¢ m , ¢ ) = 0

Và dãy trên trở thành

.

0 → 0 → 0 → Hom¢ (¢ m , ¢ m ) → 0

Nếu dãy này là khớp thì
b)

ϕ (1) = 0

mϕ (1) = ϕ (m) = 0

Hom¢ (¢ m , ¢ m ) = 0

, điều này rõ ràng là không đúng.

Nếu dãy các đồng cấu R-môđun
f
g
0 → E 
→ F 
→G → 0

là khớp, và nế
aben

u M là một R-môđun tự do thì dãy cảm sinh các đồng cấu nhóm

Hom (1, f )
Hom (1, g )
0 → HomR ( M , E ) 
→ HomR ( M , F ) 
→ HomR (M , G ) → 0

là khớp
Như vậy: Mọi R-môđun tự do đều là xạ ảnh.
Thật vậy dãy này là khớp tại hai hạng tử đầu. Vậy chỉ cần chứng minh nó
cũng khớp tại hạng tử thứ ba, tức là

Hom(1M , g )

là toàn ánh:

∀ϕ ∈ HomR ( M , G )

,

∃ψ ∈ HomR ( M , F ) | Hom(1M , g )(ψ ) = ϕ

SVTH: Nguyễn Thị My Phụng

Trang 25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×