Tải bản đầy đủ

tiểu luận tích tenxơ

GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Phần A. Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài.
Tích tenxơ là phép toán quan trọng của toán học. Các kết quả của phép tính
tenxơ có ứng dụng sâu sắc trong nhiều nghành toán học khác như giải tích, đại số và
hình học. Đặc biệt phép tính tenxơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong một số ngành
khoa học tự nhiên khác như: vật lý lý thuyết, hóa học, sinh học,….Phép tính tenxơ vừa
là công cụ, vừa là đối tượng nghiên cứu của một số chuyên ngành toán học
Thấy được tầm quan trọng và ứng dụng thực tiễn của tích tenxơ, mong muốn
được mở rộng kiến thức và học hỏi, bản thân trong việc tìm hiểu, nghiên cứu về tích
tenxơ. Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên bộ môn ‘Đại số đại cương- nâng cao’ tôi
xin chon đề tài “Tích tenxơ ” làm đề bài tiểu luận cho mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích tìm hiểu sâu
hơn về tích tenxơ và từ đó giải một số bài tập vận dụng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống lí thuyết, các định nghĩa, Định lí, mệnh đề về
tích tenxơ.

4. Đối tượng nghiên cứu
- Tích tenxơ của hai môđun
- Tích tenxơ của hai đồng cấu
- Tích tenxơ và dãy khớp
- Tích tenxơ của các tích trực tiếp và các tổng trực tiếp
- Quan hệ giữa Hom và tích tenxơ

5. Phạm vi nghiên cứu
- Hệ thống lí thuyết về tích tenxơ
- Các kiến thức liên quan.

6. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng hợp lại các kiến thức đã học.
- Phân tích các nội dung kiến thức cần nghiên cứu.
- Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet
- Hỏi ý kiến chuyên gia.

7. Đóng góp của đề tài

Phần B. Nội dung
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 1


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Chương I. Kiến thức chuẩn bị

1. Định nghĩa môđun
1.1. Định nghĩa
Cho A là một vành có đơn vị 1≠ 0 và M là một nhóm cộng aben, cùng với một
ánh xạ µ từ A × M vào M, tạo nên một phép toán nhân ngoài được xác định bởi:
ax   =  µ ( a.x ) với mọi a ∈ A và mọi x ∈ M . Với phép cộng vốn có trong M và phép nhân
ngoài đã được xá định, thì M được gọi là một A-môđun trái nếu các tiên đề sau được

thỏa mãn:
( M 1 ) : a ( x + y ) = ax + ay ,

( M 2 ) : ( a + b ) x = ax + bx,

( M 3 ) : ( ab ) x = a ( bx ) ,

( M 4 ) : 1x = x
với mọi a, b ∈ A và mọi x, y ∈ M .

1.2. Chú ý
Nếu Tiên đề ( M 3 ) được thay bởi , ( ab ) x  = b ( ax ) thì M được gọi là một A-môđun
phải. Và ta thấy ngay, nếu vành A giao hoán, thì hai khái niệm môđun trái và môđun
phải là như nhau. Cũng cần lưu ý rằng, nếu trình bày môđun phairtheo kiểu phần tử vô
hướng đặt ở bên phải thì khi đó Tiên đề ( M 3 ) sẽ được viết là x ( ab )  =  ( xa ) b bởi ta có
x ( ab )  =  ( ab ) x  =  b ( ax )  =  ( ax ) b  =  ( xa ) b

Trong toàn bộ giáo trình này, ta chỉ xét các lớp môđun trái, và để thuận tiện, ta
sẽ dùng từ ‘môđun’ thay cho ‘môđun trái’
1.3. Ví dụ
(i) Mỗi ideal trái của vành A là một A-môđun. Đặc biệt, mỗi ideal của A là một
A-môđun và bản thân A cũng là một A-môđun
(ii) K là một trường, thì các k-môđun chính là các không gianvectơ trên K
(iii) Mỗi nhóm Abel cộng M đều được coi là Z-môđun với phép toán nhân ngoài
được xác định như sau: Với mỗi x ∈ M và n ∈ Z , thì nx  =  x  + x  + x..... + x (tổng gồm n
phần tử x) với n nguyên dương
nếu n nguyên âm.
1.4. Nhận xét
Các ví dụ vừa nêu chứng tỏ khái niệm môđun là một khái niệm tổng quát của
các khái niệm:vành,ideal, không gian vectơ, và nhóm abel. Ngoài ra, mỗi môđun tự nó
luôn là một Z-môđun.
f

:

M


M
'

f
(
N
)
K
e
rf
=
0
f
(
0
)

=
0
N
M
M
'

f
(
0
)

=
0
f
(
N )
M
M
'
a,
b∈
A
x

a

' ,

x

y

'


N
f
(
x
)
,
f
(
y

)
N
'

1


+
b
y
)
f
(
N
=
' )
a
f
(
x
)

+
b
f
(
y
)
N
'

K
e
rf


1

=
f
(
0
)
x
=
y
f
( y
)
'
=
M

1.5. Định lí
Với mỗi Amôđun M, ta luôn có:
(i) 0 A x  =  0 M  =  a0 M với mọi x ∈ M và mọi a ∈ A .
(ii) ( −a ) x  =  − ax  =  a  ( − x ) với mọi x ∈ M và mọi a ∈ Ax.v .
Chứng minh.
Bởi 0 A x  =  (0 A  +  0 A ) x  =  0 A x  +  0 A x
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 2


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

nên 0 A x  =  0 M .Tương tự ta cũng có
a 0 M =  a (0 M  +  0 M ) =  a0 M  +  a0 M .

nên a 0M  =  0M . Vậy ta có (i).
Do 0 M  =  0 A x  =  (a + ( −a ) x  =  ax  + ( −a ) x ,
nên ( −a ) x  =  −ax . Để ý rằng

0 M = a0 M  = a ( x + ( − x ) )  = ax  +  a  ( − x ) ,

nên – ax  =  a ( − x ) . Ta nhận được (ii).

2. Đồng cấu các môđun
2.1. Định nghĩa
Một ánh sạ f từ A- môđun M vào A-môđun M’ được gọi là một đồng cấu Amôđun hay ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn hai tính chất sau:
(i) f ( x + y ) = f ( x) + f ( y) với mọi x, y ∈ M .
(ii) f (ax) = fa ( x) với mọi a ∈ A và mọi x ∈ M
Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh, thì nó tương ứng được
gọi là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Nếu f ( M ) = { 0 M ' } thì f được gọi là đồng cấu

−1
không và thường được viết là 0. Ta kí hiệu Kerf = f ( 0 ) và gọi nó là hạt nhân hay

hạch của f, còn Im f = f ( M ) được gọi là ảnh của f. Cokerf = M ' Im f được gọi là đối
hạch của f, còn Coim f = M Kerf được gọi là đối ảnh của f. Một đồng cấu từ M vào M
được gọi là một tự đồng cấu của M. Hai A-môđun M và M’ được gọi là đẳng cấu, và
viết là M ≅ M ' , nếu tồn tại một đẳng cấu A-môđun từ M đến M’
2.2. Nhận xét
Cho một A-đồng cấu môđun f : M → M' . Khi đó f là đồng cấu không khi và
chỉ khi Kerf = M và f là một toàn cấu khi và chỉ khi Im f = M , nên f ( − x ) = − f ( x ) với
x∈M

2.3. Ví dụ
(i) Cho N là một môđun con của A-môđun M, thì ta có môđun thương M N .
M
cho bởi p ( x ) = x là một đồng cấu A-môđun. Hơn thế nữa, p
N
còn là một toàn cấu, được gọi là toàn cấu chiếu chính tắc. Toàn cấu này có  Kerp  =  N ,

Khi đó quy tắc p : M →

(ii) Với mỗi môđun con N của một A-môđun M, ánh xạ nhúng
i:N →M

biến đổi phần tử của N thành chính nó là một đơn cấu, gọi là đơn cấu chính tắc
hay phép nhúng chính tắc từ N vào M.
Mệnh đề đơn giản dưới đây sẽ giúp cho việc kiểm tra đồng cấu có phần nhanh
chóng hơn kiểm tra qua định nghĩa.
2.4.Mệnh đề
Xét ánh xạ f : M → M ' là một đồng cấu các A-môđun khi và chỉ khi
f (ax + by ) = af ( x) + bf ( y )
với mọi a, b ∈ A và mọi x, y ∈ M

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 3


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Chứng minh.
Giả sử f là một đồng cấu. Khi đó với mọi a, b ∈ A và mọi x, y ∈ M ta có:
f ( ax + by ) = f (ax ) + f (by ) = af ( x) + bf ( y )

Ngược lại nếu:

f (ax + by ) = af ( x) + bf ( y )
a
,
b

A và mọi x, y ∈ M thì:
với mọi
f ( x + y ) = f (1x + 1 y ) = 1 f ( x) + 1 f ( y ) = f ( x ) + f ( y )
và f (ax) = f ( ax + 0 y ) = af ( x) + 0 f ( y ) = af ( x)

Do đó f là một đồng cấu
2.5. Mệnh đề
Nếu các ánh xạ f : M → M ' và g : M ' → M '' là hai đồng cấu các A-môđun, thì
ánh xạ tích gf cũng là một đồng cấu A-môđun từ M vào M ''
Chứng minh.
Đó là vì gf (ax + by ) = g [ f (ax + by ) ] = g [ af ( x) + bf ( y ) ]
với mọi a, b ∈ A và mọi x, y ∈ M
Cho A và N là các A-môđun, kí hiệu HomA ( M , N ) là tập tất cả các A-đồng cấu
từ M vào N .
Trong trường hợp A là một vành giao hoán thì với mọi f , g ∈ HomA ( M , N ) và
mọi a, b ∈ A ta xác định đối tượng af + bg như sau: (af + bg )( x) = af ( x) + bg ( x) với mọi
x ∈ M . Khi đó,bởi A là một vành giao hoán, nên
(af + bg ) ( cx + dy ) = c [ af + bg ] ( x ) + d [ af + bg ] ( y )
với mọi c, d ∈ A và mọi x, y ∈ M
Do đó af + bg ∈ Hom A ( M , N )

Tập HomA ( M , N ) với các phép toán xác định như vậy, trở thành một Amôđun,
được gọi là môđun các đồng cấu từ M đến N . Chú ý rằng khi vành A không giao hoán,
HomA ( M , N ) chỉ là một nhóm Aben với phép cộng đồng cấu

3. Tích và tổng trực tiếp các môđun

  I  là một họ các A-môđun chỉ số
Cho I là một tập khác rỗng . Giả sử ( M α )α ∈
hóa bởi I. Kí hiệu M = ∏α∈I M α là tích Descartes của họ ( M α )α ∈I . Khi đó có thể xây
dựng phép cộng trong M và phép nhân ngoài các phần tử của A với các phần tử của M
( xα ) α∈I + ( yα ) α ∈I = ( xα + yα ) α ∈I
như sau:
a ( xα ) α ∈I = (axα ) α∈I

với mọi a ∈ A và mọi ( xα ) α ∈I . Chúng ta thấy ngay rằng hai phép toán vừa xác định làm
cho M trở thành một A-môđun.
3.1. Định nghĩa 3.1.
A-môđun M xây dựng như trên được gọi là tích trực tiếp của các họ các Amôđun ( M α ) α∈I . Nếu M α = N với mọi α ∈ I thì ta kí hiệu Пα ∈I  M α  bởi N I
Bây giờ trong M = ∏α ∈I M α ta lấy ra tập con +α∈I bao gồm tất cả các phần tử
của M với các thành phần bằng 0 hầu hết, chỉ trừ một số hữu hạn thành phần có thể
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 4


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

khác 0. Khi đó với mọi x = ( xα ) α∈I . y = ( yα ) α ∈I ∈ ⊕ M α và với mọi a, b ∈ A bởi các thành
α∈I

phần của x = ( xα ) α ∈I và y = ( yα ) α∈I bằng 0 hầu hết, trừ một số hữu hạn thành phần có
thể khác 0, nên ax + by = (axα + byα )α ∈I cũng như vậy. Do đó ax + by ∈ α⊕∈I M α
Vậy α⊕∈I M α là một A-môđun con của M.
3.2. Định nghĩa 3.2.
A-môđun α⊕∈I M α được gọi là tổng trực tiếp của họ các A-môđun α⊕∈I M α
Nếu M α = N với mọi α ∈ I thì ta kí hiệu α⊕∈I M α bởi N
3.3. Nhận xét
Nếu họ các A-môđun ( M α ) α∈I chỉ gồm một số hữu hạn các môđun thì tích trực
tiếp và tổng trực tiếp của nó là như nhau. Nếu coi vành A là A-môđun, thì tích trực tiếp
của n A-môđun A kí hiệu là A '' . Đặc biệt Z-môđun Z n được gọi là lưới nguyên trong
không gian n-chiều thực

4.Dãy khớp môđun
4.1 Định nghĩa
Cho dãy các môđun và đồng cấu R- môđun:
ϕ
ϕ

n − 1→ M 
n→M

→ ...
n
n +1
Dãy (1) được gọi là khớp tại M n nếu Im ϕn −1 = Kerϕn ;
f
g
Dãy khớp với 5 môđun: 0 → M 
→ M ' → M '' → 0 (*)
được gọi là dãy khớp ngắn. ( Imf  =  Kerg ) .
... → M

n −1

(1)

(*) là dãy khớp ngắn khi và chỉ khi f là đơn cấu, g là toàn cầu và Imf  =  Kerg .
Khi đó, do f là đơn cấu nên ta đồng nhất M ' ≡ Im f ( = Kerg ) và do g là toàn cấu
nên Im g = M '' . Do vậy theo định lý đồng cấu môđun, ta có
M

Kerg

≅ Im g hay M
≅ M ''
M'

4.2 Mệnh đề:( Tiêu chuẩn chẻ ra của dãy khớp ngắn)
f
g
Giả sử: 0 → M 
→ M ' → M '' → 0 là dãy khớp ngắn các môđun. Khi đó
các điều kiện sau là tương đương:
(i) f có nghịch đảo trái, tức ∃ψ : M → M ' là đồng cấu, sao cho ψ f = id M .
(ii) g có nghịch đảo phải, tức ∃ϕ : M '' → M là đồng cấu, sao cho gϕ = id M '' .
Khi những điều kiện đó được thỏa mãn thì:
M  =  Imf ⊕ Kerψ  =  Kerg ⊕ Imϕ   ≅ M ’ ⊕ M ''

Chương II. Tích tenxơ

1. Tích tenxơ của hai môđun.
1.1. Ánh xạ song tuyển tính.
Giả sử V là một vành, E là một V-môđun phải, F là một V-môđun trái, G là một
Z-môđun .
Một ánh xạ f từ tích Descartes E × F của hai tập hợp E và F tới G được gọi là
song tuyến tính, nếu và chỉ nếu, ∀ x1 , x2 ∈ E, ∀ y1 , y2 ∈ F, ∀ α ∈ V, ta có:
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 5


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

f ( x1 + x 2 , y ) = f ( x1 , y ) + f ( x2 , y )
f ( x, y1  + y2 ) = f ( x, y1 ) + f ( x, y2 )
f ( xα , y ) = f ( x, α y )

1.2. Định nghĩa tích tenxơ của môđun.
Giả sử E là một V-môđun phải và F là một V-môđun trái. Ta gọi là tích tenxơ
của E và F, một cặp (T, f) gồm một Z-môđun T, và một ánh xạ song tuyến tính f :
E × F → T , thỏa mãn tính chất độc xạ sau: đối với mọi Z-môđun G và mọi ánh xạ song
tuyến tính g : E × F → G , tồn tại duy nhất một Z-đồng cấu h : T → G để cho g = hf ,
tức là biểu đồ sau giao hoán:

1.3. Các hệ quả của định nghĩa.
Từ định nhĩa trên, hoàn toàn như trong trường hợp V-môđun tự do, ta suy ra
được các hệ quả sau:
(i) Nếu (T, f ) là một tích tenxơ của E và F thì f ( E × F ) sinh ra T. Tuy nhiên,
f ở đây là một ánh xạ song tuyến tính. Vì vậy nói chung nó không thể là đơn ánh
được, trừ khi E và F đều bằng 0. Thật vậy vì
       f ( x, 0 ) = f ( x, 0 + 0 ) = f ( x, 0 ) + f ( x, 0 )
       f ( 0, y ) = f ( 0 + 0, y ) = f ( 0, y ) + f ( 0, y )

nên f ( x, 0 ) = 0 = f ( 0, y ) . Nhưng ( x, 0 ) ≠ ( 0, y ) , trừ khi x = 0 , y = 0 .
(ii) Nếu (T, f ) và (T’, f ' ) là những tích tenxơ của E và F thì tồn tại một đẳng
của duy nhất ϕ : T ≅ T ' sao cho f ’ = ϕ f .
1.4. Sự tồn tại của tích tenxơ.
Cho V-môđun phải E và V-môđun trái F. Ta sẽ chứng minh rằng tích tenxơ của
chúng bao giờ cũng tồn tại.
Ta xét tích Descartes E × F của các tập hợp E và F, và dựng Z-môđun tự do
sinh ra bởi E × F . Đó là một cặp gồm một Z-môđun, mà ta kí hiệu là C = Z ( E × F ) ,
và một đơn ánh j : E × F → C , thỏa mãn tính chất độc xạ sau: đối với mọi Z-môđun G
và mọi ánh xạ g : E × F → G tồn tại duy nhát một Z -đồng cấu k : C → G để cho g = kj ,
tức là biểu đồ sau giao hoán:

Gọi D là Z -môđun con của C sinh ra bởi các phần tử có dạng:
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 6


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

( x  1 + x2 , y ) − ( x1 , y ) − ( x2 , y )
( x, y1 + y2 ) − ( x, y1 ) − ( x, y2 )

( xα , y ) − ( x, α y )

Xét Z -môđun thương C/D và đồng cấu tự nhiên p : C → C / D
Đặt T = C / D và f = pj , ta sẽ chứng minh rằng cặp (T, f ) là một tích tenxơ
của các môđun E và F

Trước hết ánh xạ f là song tuyến tính. Thật vậy ta có
f ( x1  + x2 , y ) − f ( x1 , y ) − f ( x2 , y )
= pj ( x1 + x2 , y ) − pj ( x1 , y ) − pj ( x2 , y )
= p ( x1 + x2 , y ) − p( x1 , y ) − p ( x2 , y )
= p[( x1 + x2 , y ) − ( x1 , y ) − ( x2 , y )] = 0

và tương tự

f ( x, y1 + y2 ) − f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) = 0
f ( xα , y ) − f ( x, α y ) = 0

Giả sử bây giờ G là một Z-môđun tùy ý và g : E × F → G là một ánh xạ song
tuyến tính bất kì. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một Z -đồng cấu b : T → G sao cho ta
có g = hf .

Muốn vậy ta lấy ảnh bởi k của các phần tử sinh của D. Nếu tất cả các ảnh này
đều bằng 0 thì ta sẽ có D ⊆ Kerk . Khi đó, theo tính chất độc xạ của môđun thương, sẽ
tồn tại một Z -đồng cấu duy nhất h : C / D → G sao cho ta có k = hp .
Vì ta có:
k[( x1 + x2 , y ) – ( x1 , y ) − ( x2 , y )]
= k[ j ( x1 + x2 , y ) – j ( x1 , y ) – j ( x2 , y )]
= kj ( x1 + x2 , y ) – kj ( x1 , y ) – kj ( x2 , y )
= g ( x1 + x2 , y ) – g ( x1 , y ) – g ( x2 , y ) = 0

và tương tự:
k[( x, y1 + y2 ) – ( x, y1 ) – ( x, y2 )] = 0
k[( xα , y ) – ( x, α y )] = 0

nên tồn tại một Z -đồng cấu duy nhất h sao cho ta có: k = hp .
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 7


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Ta sẽ chứng minh rằng h cũng thỏa mãn: g = hf
Thật vậy, ta có hf = hpj = kj = g .
Cuối cùng h’ là duy nhất với tính chất ấy, nghĩa là nếu h : T → G cũng thỏa
mãn h’ f thì h’ = h .
Thật vậy, mọi phần tử t ∈ T đều viết được dưới dạng:
ni ( xi , yi ) + D = ∑ ni (( xi , yi ) + D ) = ∑ ni p ( xi , yi ) = ∑ ni pj ( xi , yi ) = ∑ ni f ( xi , yi )
t= ∑
i
i
i
i
i

trong đó (ni )i là một họ số nguyên với giá hữu hạn.
Khi đó, ta có, ∀ t ∈ T :

h’ ( t ) = h '(∑ ni f ( xi , yi )) = ∑ ni h’ f ( xi , yi ) = ∑ ni hf ( xi , yi ) = h (∑ ni f( xi , yi )) = h ( t ) .
i

i

i

i

Do đó h’ = h .

2. Tính tenxơ của hai đồng cấu
2.1. Định nghĩa
Giả sử f : EV → EV ’ là một đồng cấu của V -môđum phải, g :
đồng cấu của V -môđum trái.

V

F → V F ' là một

Ta xét các tích tenxơ E ⊗ V F và E '⊗ V F ' cùng với các ánh xạ tenxơ
E × F → E ⊗ V F và τ ' : E '× F ' → E '⊗ V F ' .

τ:

f ×g
τ'
Hợp thành: τ '( f × g ) : E × F 

→ E '× F ' → E '⊗ V F '

( x, y ) a ( f ( x ) , f ( y ) ) a

f ( x) ⊗ f ( y)

rõ ràng là song tuyến tính. Vậy theo tính chất độc xạ của tích tenxơ, tồn tại duy nhất
một Z -đồng cấu h : E ⊗ V F → E '⊗ V F ' sao cho biểu đồ giao hoán:

Z-đồng cấu h gọi là tích tenxơ của các V-đồng cấu f và g và được kí hiệu là
f ⊗ g . Theo định nghĩa ta có:
( f ⊗ g )( x ⊗ y ) = f ( x ) ⊗ g ( y ) .
Nếu V là giao hoán thì f ⊗ g không những là Z-đồng cấu mà còn là V-đồng
cấu, vì ta có: ( f ⊗ g )(α ( x  ⊗ y )) = ( f ⊗ g )(α x ⊗ y ) = f ( α x ) ⊗ g ( y ) = ( α f ( x) ) ⊗ g ( y )
= α ( f ( x) ⊗ g ( y )) = α ( f ⊗ g )( x  ⊗ y )
2.2. Các tính chất
(i) 1E ⊗ 1F = 1E ⊗F
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 8


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Thật vậy ta có ∀x ∈ E , ∀y ∈ F : (1E ⊗ 1F )(x ⊗ y) = (x ⊗ y) .
(ii) Nếu f : EV → E 'V , f ' : E 'V → E ''V là những đồng cấu V-môđun phải và
g : V F → V F ' , g ' : V F ' → V F '' là những đồng cấu V-môđun trái thì:
f ’ f ⊗ g’g = ( f ’ ⊗ g’)( f ⊗ g )
Thật vậy, ta có ∀x ∈ E , ∀y ∈ F :
( f ’ f ⊗ g’g )( x ⊗ y ) = f ’ f ( x ) ⊗ g’g ( y ) = ( f ’ ⊗ g’)( f ( x ) ⊗ g ( y ) ) = ( f ’ ⊗ g ’)( f ⊗ g )( x ⊗ y ) .

Vậy ta có: f ’ f ⊗ g’g = ( f ’ ⊗ g’)( f ⊗ g ) .
Ta có thể minh họa tính chất này bởi biểu đồ giao hoán sau:

Nói riêng, ta có:
f ’ f ⊗ 1F = ( f ’ ⊗ 1F )( f ⊗ 1F )
1E ⊗ g’g = (1E ⊗ g’)(1E ⊗ g ) .

Để diễn tả các tính chất (i) và (ii) ta nói rằng tích tenxơ là một song hàm tử hiệp
biến đối với cả hai biến.
(iii) Nếu f1 , f 2 là những đồng cấu V-môđum phải EV → E 'V và g là một đồng
cấu V-môđum trái : V F → V F ' , thì ta có : ( f1 + f 2 ) ⊗ g = f1 ⊗ g + f 2 ⊗ g .
Tương tự nếu g1 và g 2 : V F → V F ' và f : E ' → E 'V thì ta có
f ⊗ ( g1 + g 2 ) = f ⊗ g1 + f ⊗ g 2

Ta chứng minh đẳng thức thứ nhất chẳng hạn. Ta có ∀x ∈ E , ∀y ∈ F
(( f1 + f 2 ) ⊗ g )( x ⊗ y ) = ( f1 + f 2 ) ( x ) ⊗ g ( y )

= ( f1 ( x ) + f 2 ( x ) ) ⊗ g ( y ) = f1 ( x ) ⊗ g ( y ) + f 2 ( x ) ⊗ g ( y )
= ( f1 ⊗ g )( x ⊗ y ) + ( f 2 ⊗ g )( x ⊗ y )
= ( f1 ⊗ g + f 2 ⊗ g )( x ⊗ y ) .

Vậy ta có: ( f1 + f 2 ) ⊗ g = f1 ⊗ g + f 2 ⊗ g .
Tương tự, ta chứng minh rằng:
f ⊗ ( g1 + g 2 ) = f ⊗ g1 + f ⊗ g 2 .

Để diễn tả tính chất này, ta nói rằng tích tenxơ là một song hàm tử cộng tính đối
với hai biến.

3. Tích tenxơ và dãy khớp.
3.1. Định lí 3.1
Nếu dãy đồng cấu V-môđun phải
f
g
E ' → E → E '' → 0
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 9


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

là khớp thì đối với mọi V-môđum trái F, dãy cảm sinh các đồng cấu nhóm aben
f ⊗1
g ⊗1
E '⊗ V F → E ⊗ V F → E ''⊗ V F → 0

là khớp.
Chứng minh.
Ta xét biểu đồ sau, trong đó dòng là khớp
E ⊗ v F/Imf ⊗ 1 = coker(f ⊗ 1)

Vì ( g ⊗ 1)( f ⊗ 1) = gf ⊗ 1 = 0 ⊗ 1 = 0 , nên tính chất độc xạ của Coker, tồn tại một
Z-đồng cấu h : coker ( f ⊗ 1) → E ” ⊗ V F sao cho ta có g ⊗ 1 = hp . Từ đó suy ra:
hp ( x ⊗ y ) = h( x ⊗ y + Imf ⊗ 1) = ( g ⊗ 1)( x ⊗ y ) = g ( x ) ⊗ y. .
Để chứng minh rằng h là một Z-đẳng cấu, ta sẽ xác định một Z-đồng cấu
h : E ” ⊗ V F → Coker ( f ⊗ 1) sao cho kh và hk là những ánh xạ đồng nhất.
Để xác định k, ta hãy tự cho một ánh xạ song tuyến tính từ E ''⊗ F tới
Coker ( f ⊗ 1) = E ⊗ V F / Im( f ⊗ 1) .
Giả sử x '' ∈ E '' , y ∈ F . Vì g là toàn ánh, nên tồn tại một x ∈ E sao cho
g ( x ) = x '' . Nếu g ( x1 ) = g ( x2 ) thì g ( x1 − x2 ) = 0 , do đó x1 − x2 ∈ Kerg = Imf . Vậy tồn tại
một x ' ∈ E ' sao cho f ( x ') = x1 − x2 .

Khi đó: ( x1 − x2 ) ⊗ y = f ( x ') ⊗ y = ( f ⊗ 1)( x '⊗ y ) ∈ Im( f ⊗ 1)
Vậy x1 ⊗ y − x2 ⊗ y ∈ Im( f ⊗ 1) .
do đó x1 ⊗ y + Im( f ⊗ 1) = x2 ⊗ y + Im( f ⊗ 1) .
j : E ” × F → E ⊗ V  F / Im( f ⊗ 1) .
Đặt

( x '', y ) = ( g ( x ) , y ) a

x ⊗ y + Im( f ⊗ 1) .

Theo chứng minh trên j là một ánh xạ. Nó là song tuyến tính vì ta có:
j ( x ''1 + x ''2 , y ) = j ( g ( x1 ) + g ( x2 ), y ) = j ( g ( x1 + x2 ), y ) = ( x1 + x2 ) ⊗ y + Im( f ⊗ 1)
= x1 ⊗ y + Im( f ⊗ 1) + x2 ⊗ y + Im ( f ⊗ 1) = j ( x ''1 , y ) + j ( x ''2 , y )

Tương tự ta có: j ( x '', y1 + y2 ) = j ( x '', y1 ) + j ( x '', y2 )
j ( x ''α , y ) = j ( g ( xα ), y ) = j ( g ( x ) α , y ) = ( xα ) ⊗ y + Im( f ⊗ 1)
= ( x ⊗ α y ) + Im( f ⊗ 1) = j ( x '', α y )
Vậy theo tính chất độc xạ của tích tenxơ, tồn tại duy nhất một Z-đồng cấu:
k : E ''⊗ V F  → E ⊗ F / Im( f ⊗ 1)

x ''⊗ y a x ⊗ y + Im( f ⊗ 1) (với x '' = g ( x ) )

h( x ⊗ y ) + Im( f ⊗ 1) = g ( x ) ⊗ y

k ( g ( x) ⊗ y ) = x ⊗ y + Im( f ⊗ 1)

nên hk và kh trùng với các ánh xạ đồng nhất của E ''⊗ V F
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 10


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

và E ⊗ V F / Im( f ⊗ 1) trên các phần tử sinh của chúng, do đó ta phải có:
hk = 1E "⊗

và kh = 1E ⊗ F /Im( f ⊗1)
Vậy h và k là những Z-đẳng cấu, nghịch đảo lẫn nhau. Do đó dãy
VF

V

f ⊗1
g ⊗1
E '⊗ V F → E ⊗ V F → E ''⊗ V F → 0 là khớp.

3.2. Định lí 3.2
f
g
Nếu dãy đồng cấu V-môđum trái: F 
→ F → F '' →  0
là khớp, thì đối với mọi V-môđun phải E, dãy cảm sinh các đồng cấu nhóm aben
(1 ⊗ f )
(1 ⊗ g )
E ⊗ V F ’ → E ⊗ V F → E ⊗ V F '' → 0 là khớp.

Chứng minh.
Đặt V F ' = F 'V , V F = FV , V F '' = F ''V , EV = V E , trong đó V0 là vành đối của V,
ta có dãy khớp các đồng cấu V0- môđum phải
0

0

0

0

F 'V 0 → FV 0 → F ''V 0 → 0
E , dãy đồng cấu nhóm Aben sau là khớp:
F '⊗ V 0 E → F ⊗ V 0 E → F ''⊗ V 0 E → 0

Vậy đối với V0-môđun phải

V0

Nhưng ta lại có F '⊗ V E ≅ E ⊗ V F ' , F ⊗ V E ≅ E ⊗ V F , F ''⊗ V E  ≅ E ⊗ V F . Và
rõ ràng ta có biểu đồ giao hoán
0

0

0

Vậy dãy đồng cấu nhóm Aben sau cũng khớp
E ⊗ V F ' → E ⊗ V F → E ⊗ V F '' →  0

Nói chung, nếu E’ là môđun con của một V-môđun phải E và j : E '
E là phép
j

1:
E
'

F

E

F
nhúng chính tắc thì ánh xạ cảm sinh:
không nhất thiết là đơn
V
V
ánh
Ví dụ.
Giả sử V = Z , E ' = Z / 2 Z , F = Z / 2Z . Khi đó ta có phép nhúng
j : 2Z
Z
Ánh xạ cảm sinh là:
j ⊗ 1: 2 Z ⊗ Z ( Z / 2 Z ) → Z ⊗ Z ( Z / 2 Z )

∀x = 2 x ∈ E ' = 2 Z , ∀y ∈ F = Z / 2 Z , ta có
( j ⊗ 1)( x '⊗ y ) = ( j ⊗ 1)( 2 x ⊗ y ) = j ( 2 x ) ⊗ y = 2 x ⊗ y = x ⊗ ( 2 y ) = x ⊗ 0 = 0

Vậy ( j ⊗ 1 ) là ánh xạ không. Nó không thể là đơn ánh, vì 2 Z  ⊗ Z ( Z / 2 Z ) ≠ 0 .
Thật vậy ta có: 2Z ≅ Z
Từ đó 2 Z ⊗ Z (Z/ 2 Z ) ≅ Z ⊗ Z ( Z / 2Z ) ≅ Z / 2Z
Như vậy ta cần phân biệt phần tử x ⊗ y , xem như một phần tử của

2 Z ⊗ Z ( Z / 2 Z ) , và cũng phần tử ấy tức là j ( x ') ⊗ y , xem như một phần tử của
Z ⊗ ( Z / 2Z ) .

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 11


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

f
g
Nói chung nếu: 0 → E ' 
(1)
→ E → E '' → 0
là một dãy khớp ngắn những đồng cấu V-môđun phải và nếu F là một V-môđun trái thì
không thể kết luận rằng dãy cảm sinh những đồng cấu nhóm Aben
f ⊗1
g ⊗1
0 → E '⊗ V F → E ⊗ V F → E ''⊗ V F → 0

(2)

là khớp.
Các V-môđun trái F sao cho dãy cảm sinh (2) bao giờ cũng khớp, gọi là Vmôđun trái dẹt.
Ta định nghĩa một cách tương tự các V-môđun phải dẹt.
3.3. Định lí 3.3
f
g
Nếu 0 → E ' 
→ E → E '' → 0
là một dãy khớp ngắn chẻ ra những đồng cấu của V-môđun phải, thì đối với mọi Vmôđun phải thì đối với mọi V-môđun trái F dãy cảm sinh những đồng cấu nhóm aben
f ⊗1
g ⊗1
0 → E '⊗ V F → E ⊗ V F → E ''⊗ V F → 0

cũng là khớp chẻ ra.
Chứng minh.
Thật vậy theo giả thiết tồn tại một V-đồng cấu τ : E → E ' sao cho τ f = 1E ' . Từ
đó ta suy ra:
(τ ⊗ 1F )( f ⊗ 1F ) = τ f ⊗ 1F = 1E ' ⊗ 1F = 1E '⊕ F
V
Vậy dãy cảm sinh cũng là khớp chẻ ra.
3.4. Định lí 3.4
f
g
Giả sử dãy đồng cấu V-môđun phải A 
→ B → C → 0
f'
g'
và dãy đồng cấu V-môđun trái
A ' → B ' → C ' → 0
là khớp. Khi đó trong biểu đồ chín sau đây.

các dòng và các cột là khớp và mỗi hình vuông là giao hoán. Ngoài ra dãy
( f ⊗ 1)⊕(1 ⊗ f ')
g⊗g'
( A ⊗ V B )( B ⊗ V A ') 
→ B ⊗ V B ' 
→ C ⊗ C ' → 0 (1)

trong đó ( f ⊗ 1)⊕(1 ⊗ f ') là đồng cấu cảm sinh bởi f ⊗ 1 và 1 ⊗ f ' theo tính chất độc
xạ của tổng trực tiếp là khớp.
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 12


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Chứng minh.
Thật vậy, theo Định lí 3.1 các dòng và theo Định lí 3.2 các cột của biểu đồ chín
là khớp. Các hình vuông đều giao hoán vì ta có, chẳng hạn, trong trường hợp hình
vuông ở các góc trên bên trái:
( f ⊗ 1)(1 ⊗ f ') = f ⊗ f ' = (1 ⊗ f ')( f ⊗ 1)

Ta còn phải chứng minh rằng dãy (1) là khớp. Muốn vậy,ta xét biểu đồ phụ sau:

trong đó các dòng và các cột là khớp và hai hình vuông là giao hoán. Ta sẽ chứng minh
rằng dãy
q ⊕i
ln
B1 ⊕ A2 
→ B2 → C3 → 0

(1’)

là khớp. Vì n và l là toàn ánh nên ln là toàn ánh. Ngoài ra ln(q ⊕i )(b1 , a2 ) = ln(qb1 + ia2 )
= lnqb1 + lnia2 = 0 + lnia2 = ljma2 = 0. Vậy Im(q⊕i) ⊆ Ker(ln) . Đảo lại giả sử
b2 ∈ Ker(ln) . Khi đó ta có l (n(b2 )) = 0 . Vậy n(b2 ) ∈ Kerl = Imj . Vậy tồn tại a3 ∈ A3 sao
cho j (a3 ) = n(b2 ) . Vì m là toàn ánh nên tồn tại a  2∈ A2   sao cho m(a2 ) = a3 . Do đó
n(b2 ) = jm(a2 ) = ni (a2 ) . Vậy n(b2 − i (a2 )) = 0 , tức là b2 − i (a2 )∈
  Kern = Imq . Vậy tồn tại
b1 ∈ B1 sao cho b2 − i (a2 ) = q (b1 ) , tức là b2 = i (a2 ) + q (b1 ) = (q ⊕i )(b1 , a2 ) . Do đó
b2 ∈ Im(q ⊕i ) , và ker ( ln ) ⊆ Im(q ⊕i ) . Vậy Im(q ⊕i ) = Ker ( ln ) , tức là dãy (1’) khớp tại B2 .

Áp dụng kết quả này vào biểu đồ chín ở trên, ta suy ra rằn dãy (1) là khớp.
Ta chú ý rằng, theo định nghĩa của ( f ⊗ 1) ⊕(1 ⊗ f ') ta có
Im[( f ⊗ 1)⊕(1 ⊗ f ')] = Im( f ⊗ 1) + Im(1 ⊗ f ')

Do đó, vì dãy (1) là khớp ta có:

Ker ( g ⊗ g ') = Im( f ⊗ 1) + Im(1 ⊗ f ') .

3.5. Hệ luận của định lí vừa chứng minh.
3.5.1. Hệ luận.
Giả sử A là một môđun con của V-môđum phải B, và A’ là một môđun con của
một V-môđun trái B’. i : A → B và i ' : A ' → B ' là các phép nhúng chính tắc. Khi đó ta
có: ( B / A ) ⊗ V ( B '/ A ') ≅ ( B ⊗ V B’) / ( Im(i ⊗ 1) + Im(1 ⊗ i ')) .
3.5.2. Chứng minh.
Thật vậy, ta có các dãy khớp

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 13


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Áp dụng định lý 3.4 ta được dãy khớp:
(i ⊗ 1)⊕(1 ⊗ i ')
p ⊗ p'
( A ⊗ V B ') ⊕ (B⊗ V A ') 
→ B ⊗ V B ' 
→(B/ A) ⊗ V ( B '/ A ') → 0

Vì p ⊗ p ' là toàn cấu và: Kerp ⊗ p ' = Im((i ⊗ 1)⊕(1 ⊗ i ')) = Im(i ⊗ 1) + Im(1 ⊗ i ')
nên ta có ( B / A ) ⊗ V ( B '/ A ') ≅ B ⊗ V B '/ ( Im(i ⊗ 1) + Im(1 ⊗ i ')) .

4. Tích tenxơ của các tích trực tuyến và các tổng trực tếp.
4.1. Tích trực tiếp.
Giả sử ( Ei ) I là một họ V-môđun phải, ( Fj ) J là một họ V-môđun trái. Đặt:
C = Π Ei , D = ΠJ Fj
I

( Ei ⊗ V E j )
Xét ánh xạ: ϕ : C × D → Π
i, j
(( xi ) I , ( yj ) J ) a ( xi ⊗ y j )i , j

ϕ rõ ràng là song tuyến tính. Vì vậy theo tính chất độc xạ của tích tenxơ, tồn tại
duy nhất một Z-đồng cấu:
I : C ⊗ D → Π ( Ei ⊗ F j )
i, j

sao cho biểu đồ sau giao hoán:

Ta có:  f (( xi ) I ⊗ ( y j ) J ) = ( xi ⊗ y j )ij .
Nói chung f không phải là đơn ánh, cũng không phải là toàn ánh.
4.2. Tổng trực tiếp.
Đặt E = ⊕I Ei , F = ⊕J Fj .Các phép nhúng chính tắc E → C và F → D xác định
một Z-đồng cấu chính tắc: E ⊗ V F → C ⊗ V D
Ánh xạ này, hợp thành với ánh xạ f , cho một Z-đồng cấu g:
g : E ⊗ V F → Π ( Ei ⊗ F j )
i, j

( xi ) I × ( y j ) J a ( xi ⊗ y j )ij

Vì các họ ( xi ) I và ( y j ) J đều có giá trị hữu hạn, nên họ ( xi ⊗ y j )ij cũng có giá trị
(E i ⊗ Fj )
hữu hạn, do đó g thật ra là một Z-đồng cấu từ E ⊗ V F tới ⊕
i, j
g : (⊕ Ei ) ⊗ V (⊕ F j ) → ⊕( Ei ⊗ V F j )
I

J

i, j

g (( xi ) I ⊗ ( y j ) J ) = ( xi ⊗ y j )i , j

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 14


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Ta sẽ chứng minh rằng g là một Z-đẳng cấu. Muốn vậy ta sẽ xác định một Z( Ei ⊗ V Fj ) → (⊕ Ei ) ⊗ V (⊕ F j ) sao cho hg và gh là những ánh xạ đồng
đồng cấu: h : ⊕
i, j
I
J
nhất.
Để đạt mục đích ấy, theo tính chất độc xạ của tổng trực tiếp, ta sẽ xác định một
họ Z-đồng cấu chỉ số hóa bởi I × J từ Ei ⊗ Fj  tới (⊕I Ei ) ⊗ V (⊕J Fj )
Gọi α i : Ei → ⊕ Ei và β j : Fj → ⊕ Fj là các phép nhúng vào các tổng trực tiếp, ta
I

J

xét họ (α i ⊗ β j )i , j với:  α i ⊗ β j : Ei ⊗ V Fj → (⊕I Ei ) ⊗ V (⊕J Fj ) .
Khi đó tồn tại duy nhất một Z-đồng cấu h sao cho với mọi cặp i, j, biểu đồ sau
giao hoán:

Ta có: hg (( xi ) I ⊗ ( y j ) J ) = h(( xi ⊗ y j )i , j )
= ∑ (α i ⊗ β j )( xi ⊗ y j )) = ∑ (α i xi ) ⊗ ( β j y j )
ij

ij

= (∑ α i xi ) ⊗ (∑ β j y j ) = ( xi ) I ⊗ ( y j ) J
i

i

Vậy hg trùng với ánh xạ đồng nhất trên các phần tử sinh của Z-môđun

(⊕ Ei ) ⊗ V (⊕ F j ) , do đó ta phải có: hg = 1(⊕ Ei )⊗V ( ⊕ F j ) .
I

J

I

J

Mặt khác: gh(( xi ⊗ y j )ij ) = g (( xi ) I ⊗ ( y j ) J ) = ( xi ⊗ y j )i , j
Từ đó gh = 1i⊕, j ( Ei ⊗F j ) .
4.2.1. Những hệ luận của đẳng cấu chính tắc.
g : (⊕ Ei ) ⊗ V (⊕ Fj ) ≅ ⊕( Ei ⊗ V Fj )
I

J

i, j

(i) Giả sử F là một V-môđun trái tự do với cơ sở (ci )i ∈ I và giả sử E là một Vmôđun phải tùy ý. Khi đó mỗi phần tử của E ⊗ V F có một biểu diễn duy nhất dạng:

∑ (x ⊗ c )
i

I

i

trong đó xi ∈ E , và ( xi ) I là một họ với giá hữu hạn.

α i ci , trong đó ( α ) là một họ phần tử của
Giả sử x ∈ E và y ∈ F . Ta có y = ∑
i I
I

(x ⊗ α i ci ) = ∑ (xα i ⊗ ci ) = ∑ xi ⊗ ci trong đó x ∈ E
V với giá hữu hạn. Do đó: x ⊗ y = ∑
i
I
I
I

và ( xi ) I có giá hữu hạn. Như vậy x ⊗ y có một biểu diễn dưới dạng mong muốn, và
điều này cũng đúng cho mọi phần tử của E ⊗ V F .

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 15


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Để chứng minh rằng cách biểu diễn là duy nhất, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu

∑ x ⊗ c = 0 thì x = 0 , ∀i ∈ I, vì
∑ (x − x ' ) ⊗ c = 0 , từ đó sẽ suy ra x − x '
i

i

i

nếu

i

I

i

i

i

I

Vậy giả sử

∑x ⊗c
i

I

i

i

∑ x ⊗c = ∑ x' ⊗c
i

i

I

i

= 0 ∀ i ∈ I.

= 0 . Vì (c ) là một cơ sở của F, nên ta có:
i I

F = ∑Vci ≅ ⊕ Vci .
I

I

Từ đó suy ra: E ⊗ V F ≅ E ⊗ V (⊕I Vci ) ≅ ⊕I ( E ⊗ VVci )
Trong đẳng cấu: E ⊗ V F ≅ ⊕I ( E ⊗ VVci ) các phần tử

∑x ⊗c

tương ứng. Vì

i

I

thì ta sẽ có:

i

I

i

∑x ⊗c
i

i

I

và ( xi ⊗ ci ) I là

= 0 theo giả thuyết, nếu ∀ i ∈ I, ta có x ⊗ c = 0 .
i
i

Mặt khác, có một đẳng cấu V ≅ Vc i ( α  α c i ), và do đó E ⊗ VV ≅ E ⊗ VVci .
Nhưng ta cũng có E ⊗ VV ≅ E . Vậy E ≅ E ⊗ VVci . Trong đẳng cấu này các phần tử xi và
xi ⊗ ci là tương ứng. Vì xi ⊗ ci = 0 nên xi = 0 , ∀ i ∈ I.
(ii) Nếu E và F là những môđun tự do trên một vành giao hoán A, với các cơ sở
theo thứ tự là (b j ) J và (c i ) I thì E ⊗ A F cũng là một A-môđun tự do với cơ sở
(b j ⊗ ci ) j ,i

Ta đã biết rằng mỗi phần tử của E ⊗ V F đều viết được một cách duy nhất dưới

dạng:

∑x ⊗c
i

I

i

trong đó xi ∈ E và ( xi ) I là một họ với giá hữu hạn. Vì E có cơ sở là

(b j ) J nên mỗi phần tử xi ∈ E đều viết được một cách duy nhất dưới dạng: xi = ∑ α ijb j
I

trong đó α ij ∈ A và họ (α ij ) j có giá trị hữu hạn. Khi đó mỗi phần tử của E ⊗ V F sẽ viết
được một cách duy nhất dưới dạng: ∑ (∑ α ijb j ) ⊗ ci = ∑ α ij (b j ⊗ ci )
I

J

i, j

Từ đó ta kết luận rằng E ⊗ A F là tự do trên A và (b j ⊗ ci ) J ×I là một cơ sở của nó.
(iii) Giả sử E và F là hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên cùng một trường
T. E có cơ sỏ là {e 1 …,e m } và F có cơ sở là {f 1 …,f n }. Khi đó tích tenxơ E ⊗ T F cũng
là một không gian vectơ trên T với cơ sở gồm mn vectơ ei ⊗ f j , do đó
dim( E ⊗ T F ) = mn . Nói riêng mọi vectơ u của E ⊗ T F đều viết được một cách duy nhất
x ij (ei ⊗ e j ) , m 2 thành phần x ij ∈ T gọi là các thành phần của tenxơ u
dưới dạng u = ∑
i, j

đối với cơ sở (e i ). Khi thay đổi cơ sở trong E, ta có thể tính được sự thay đổi tương
ứng của các thành phần đó. Giải tích tenxơ cổ điển mô tả các phần tử của E ⊗ T E , gọi
là các tenxơ hai lần phản biến, chỉ bằng các thành phần đó và bằng sự biến đổi của
chúng khi đổi cơ sở.
Một tenxơ với một chỉ số phản biến và một chỉ số hợp biến, theo định nghĩa, là
*
mọt phần tử của E ⊗ T E trong đó E * = Hom T (E,T) là không gian đối ngẫu của E.
trong trường hợp này cơ sở (e i ) xác định cơ sở đối ngẫu (ei) trong E * . Mọi phần tử của
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 16


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

E ⊗ T E * đều có một biểu diễn duy nhất dưới dạng

∑ x (e ⊗ e )
i
j

ij

j

i

và do đó được xác

i
định bởi các thành phần x j của nó (i,j=1,….,n)

f
g
(iv) Giả sử 0 → E ' 
→ E → E '' → 0 là một dãy khớp ngắn những đồng cấu
V-môđun phải và F là một V-môđun trái tự do. Khi đó dãy cảm sinh các đồng cấu

f ⊗1
g ⊗1
nhóm aben: 0 → E '⊗ V F →
E ⊗ V F → E ''⊗ V F → 0 là khớp.
Như vậy mọi V-môđun trái tự do đều là dẹt.
Tương tự ta cũng thấy rằng mọi V-môđun phải tự do đều dẹt.
Ta còn phải chứng minh rằng f ⊗ 1 là một Z-đơn cấu. Thật vậy, vì F là tự do,
nên có có một cơ sở (c i ) I . Khi đó, mọi phần tử của E '⊗ V f đều viết được một cách

duy nhất dưới dạng

∑ x' ⊗c
i

i

I

trong đó x 'i ∈ E ' và họ ( x 'i ) I có giá hữu hạn.

x 'i ⊗ ci ) = ∑ f ( x 'i ) ⊗ ci = 0 . Khi đó ta có f ( x ' ) = 0 , ∀ i ∈ I, vì
Giả sử ( f ⊗ 1)(∑
i
I
I

mọi phần tử của E ⊗ V F đều có một biểu diễn duy nhất dưới dạng

∑ x ⊗ c . Vì
i

I

i

f là

đơn ánh nên x 'i = 0 , ∀ i ∈ I. Vậy Ker ( f ⊗ 1) = 0 .
(v) Giả sử P là một V-môđun trái xạ ảnh và E, F là hai V-môđun phải. Nếu
f : E → F là một đơn cấu thì f ⊗ 1p : E ⊗ V P → F ⊗ V P cũng là một đơn cấu.
Như vậy, đối với mọi dãy khớp ngắn những đồng cấu V-môđun phải:
f
g
0 → E → F → G → 0

và mọi V-môđun trái xạ ảnh P, dãy cảm sinh những đồng cấu nhóm Aben:
0→E⊗ V P→F⊗ V P→G⊗ V P→0
là khớp.
Do đó mọi V-môđun trái xạ ảnh đều là dẹt
Tương tự ta cũng thấy rằng mọi V-môđun phải xạ ảnh đều là dẹt
Thật vậy, vì là xạ ảnh nên tồn tại một V-môđun trái Q và một V-môđun trái tự
do T sao cho: T ≅ P ⊕ Q
Vì T là tự do nên nếu f : E → F là một V-đơn cấu thì: f ⊗ 1T : E ⊗ VT → F ⊗ VT
cũng là đơn cấu (iv).
Nhưng E ⊗ V T ≅ E ⊗ V (P ⊕ Q) ≅ E ⊗ V P ⊕ E ⊗ V Q và
F ⊗ V T ≅ F ⊗ V (P
⊕ Q) ≅ F ⊗ V P ⊕ F ⊗ V Q
Do các đẳng cấu này ta có thể đồng nhất hóa f ⊗ 1T với:
( f ⊗ 1P )( f ⊗ 1Q ) : ( E ⊗ V P) ⊕ ( E ⊗ V Q ) → ( F ⊗ V P) ⊕ ( F ⊗ V Q)

Vì f ⊗ 1T là đơn cấu nên ( f ⊗ 1P )( f ⊗ 1Q ) cũng là đơn cấu.
Song nếu ϕ : A → B và ψ : C → D là những V-đồng cấu sao cho
ϕ ⊕ψ : A ⊕ C → B ⊕ D là đơn cấu thì φ và ψ cũng là đơn cấu vì
(ϕ ⊕ψ ) ( a, c ) = 0 ⇔ ( ϕ ( a ) , ψ ( c ) ) = 0 ⇔ ϕ ( a ) = 0 và ψ ( c ) = 0 ⇒ a = 0 và c = 0 .
(vi) Nếu A là một vành giao hoán và E và F là những A-môđun xạ ảnh thì
E ⊗ A F cũng là một A -môđun xạ ảnh.
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 17


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Thật vậy, vì E là xạ ảnh nên nó đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp P 1 của một
A-môđun tự do T 1 . Tương tự F đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp P 2 của một Amôđun tự do T 2 . Theo 4h P1 ⊗ A P2 đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của T1 ⊗ AT2 .
Nhưng vì A là giao hoán nên tích tenxơ của hai A-môđun tự do lại là tự do (ii). Do đó
E ⊗ A F là một A-môđun xạ ảnh.

5. Quan hệ giữa Hom và Tích tenxơ.
Giả sử V và S là hai vành, A V là một V-môđun phải V B S là một V-S song
môđun và C S là một S-môđun phải. Khi đó tồn tại một đẳng cấu nhóm aben:
η : Hom S (A ⊗ V B, C) → Hom V (A, Hom S (B, C)) xác định bởi công thức:
((η f)(a))(b) = f(a ⊗ b), ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B, ∀ f ∈ Hom S (A ⊗ V B, C).
Đẳng cấu nghịch đảo φ được xác định bởi công thức φ(g)(a ⊗ b) = (g(a))(b),
trong đó g ∈ Hom V (A, Hom S (B, C)).
- Trước hết ta chú ý rằng A ⊗ V B có cấu trúc S-môđun phải, vì vậy ta có thể xác
định nhóm Aben Hom S (A ⊗ V B, C). Mặt khác Hom S (B, C) có cấu trúc V-môđun phải,
vì vậy ta có thể xác định nhóm Aben Hom V (A, Hom S (B, C)).
- Với mỗi a ∈ A và mỗi f ∈ Hom S (A ⊗ V B, C), ánh xạ
(η f)(a) : B → C
b a f(a ⊗ b)
là một S-đồng cấu, vì nếu s 1 ,s 2 ∈ S và b 1 , b 2 ∈ B thì
(η f(a))(b 1 s 1 + b 2 s 2 ) = f(a ⊗ ( b 1 s 1 + b 2 s 2 ))
= f(a ⊗ ( b 1 s 1 ) + a ⊗ (b 2 s 2 )) = f((a ⊗ b 1 )s 1 + (a ⊗ b 2 )s 2 )
= (f(a ⊗ b 1 ))s 1 + (f(a ⊗ b 2 ))s 2 = ((η f(a))( b 1 )) s 1 + ((η f(a))( b 2 )) s 2 .
η f : A → Hom S (B, C)
- Ánh xạ
a a η f(a) sao cho (η f(a))(b) = f(a ⊗ b)
là một V-đồng cấu, vì nếu a 1 , a 2 ∈ A, v 1 , v 2 ∈ V và b ∈ B thì ta có :
(η f( a1v1 + a2v2 ))(b) = f(( a1v1 + a2v2 ) ⊗ b)
= f( a1v1 ⊗ b + a2v2 ⊗ b) = f( a1 ⊗ v1b + a2 ⊗ v2b )
= f( a1 ⊗ v1b ) + f( a2 ⊗ v2b ) = (η f (a1 ))(v1b) + (η f (a2 ))(v2b)
= (η f (a1 )v1 )(b) + (η f (a2 )v2 )(b) = (η f (a1 )v1 + η f (a2 )v2 )(b).
Từ đó suy ra η f( a1v1 + a2v2 ) = ( η f (a1 ))v1 + ( η f (a2 ))v2 .
- η là một Z-đồng cấu, tức là ∀ f 1 , f 2 ∈ Hom S (A ⊗ V B, C) ta có
η (f 1 + f 2 ) = η f 1 + η f 2 .
Thật vậy, ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, ta có
(η (f 1 + f 2 )(a))(b) = (f 1 + f 2 )(a ⊗ b) = f 1 (a ⊗ b) + f 2 (a ⊗ b)
= (η f 1 (a))(b) + (η f 2 (a))(b) = (η f 1 (a) + η f 2 (a))(b).
Từ đó η (f 1 +f 2 )(a) = η f 1 (a)+η f 2 (a) = (η f 1 +η f 2 )(a) và η (f 1 + f 2 ) = η f 1 +η f 2 .
- Để chứng minh η là một đẳng cấu, ta dựng ánh xạ nghịch đảo φ.
Nếu g : A → Hom S (B, C) là một V -đồng cấu và ∀a ∈ A, ∀b ∈ B thì
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 18


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

g(a) ∈ Hom S (B, C), (g(a))(b) ∈ C, và ∀v ∈ V, (g(av))(b) = (g(a)v)(b) = g(a)(vb).
Xét ánh xạ
A× B → C
(a, b) a (g(a))(b)
Ta dễ thấy nó là song tuyến tính trên V. Vì vậy theo tính chất độc xạ của tích
tenxơ, tồn tại một Z-đồng cấu duy nhất
φ(g) : A ⊗ V B → C
sao cho
φ(g)(a ⊗ b) = (g(a))(b)

Nếu s S thì φ(g)((a ⊗ b)s) = φ(g)(a ⊗ bs) = (g(a))(ba) = ((g(a))(b))s
= (φg(a ⊗ b))s.
Vậy φ(g) ∈ Hom S (A ⊗ V B, C), ∀g ∈ Hom V (A, Hom S (B, C)).
Do đó φ : Hom V (A, Hom S (B, C)) → Hom S (A ⊗ V B, C)
g a φ(g)
là một ánh xạ.
- Nếu h ∈ Hom V (A, Hom S (B, C)) thì
φ(g + h)(a ⊗ b) = ((g + h)(a))(b) = (g(a))(b) + (h(a))(b)
= φ(g) )(a ⊗ b) + φ(h)(a ⊗ b)
từ đó φ(g + h) = φ(g) + φ(h)
Vì vậy φ là một Z-đồng cấu.
- Ta hãy kiểm tra rằng ηϕ và ϕη là những ánh xạ đồng nhất.
Nếu g ∈ Hom V (A, Hom S (B, C)) thì φ(g) : A ⊗ V B → C và
(η φ(g))(a)(b) = φ(g)(a ⊗ b) = (g(a))(b)
Như vậy ta có η φ(g) = g, ∀ g, tức là η φ = 1Hom ( A, Hom ( B,C ))
V

S

Mặt khác nếu f ∈ Hom S (A ⊗ V B, C) thì η f ∈ Hom V (A, Hom S (B, C)) và
(φη f)(a ⊗ b) = (η f(a))(b) = f(a ⊗ b)
Vì vậy φη = 1 Hom ( A ⊗ B, C ) .
S

V

Chú ý.
Giả sử V B’ S và V B S là hai V-S song môđun. Một đồng cấu song môđun
β : B’ → B là một đồng cấu nhóm cộng sao cho ∀ v ∈ V, ∀ s∈ S : β (vb’s) = v( β b’)s
Giả sử đã cho các đồng cấu
α : A’ → A
V-môđun phải
β : B’ → B
V-S song môđun
γ : C → C’
S-môđun phải
Khi đó ta có biểu đồ giao hoán :

Ta nói rằng đẳng cấu η là tự nhiên đối với các biến A, B và C.
Thật vậy, ta có

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 19


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Ta cần chứng minh Hom( β , γ )(η f) α = η ( γ f( α ⊗ β )).
∀ a’ ∈ A’, ∀ b’ ∈ B’, ta có
((Hom( β , γ )(η f) α )(a’))(b’) = (Hom( β , γ )(η f)( α a’))(b’)
= ( γ (η f)( α a’) β )(b’) = ( γ (η f)( α a’))( β b’) = γ f( α a’ ⊗ β b’).
Mặt khác: (η ( γ f( α ⊗ β ))(a’))(b’) = γ f( α ⊗ β )(a’ ⊗ b’) = γ f( α a’ ⊗ β b’).
Vậy Hom( β , γ )(η f) α = η ( γ f( α ⊗ β ))
tức là biểu đồ trên giao hoán.
Nếu A là một R-V song môđun, B là một V-môđun trái và C là một R-môđun
trái thì tương tự như trên, ta chứng minh được rằng tồn tại một đẳng cấu nhóm aben
η : Hom R (A ⊗ V B, C) → Hom V (B, Hom R (A, C))
xác định bởi công thức : ( η f)(b)(a) = f(a ⊗ b), ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B, ∀ f ∈ Hom R (A ⊗ V B,
C) và đẳng cấu η là tự nhiên đối với các biến A, B và C.

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 20


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Chương III: Bài Tập Vận Dụng
Bài tập 1.
Cho R là vành giao hoán. Cho F và G là các R-môđun tự do với cơ sở lần lượt
là ( xα )α ∈ A và ( yβ ) β ∈ B .
Chứng minh rằng F ⊗ R G là R-môđun tự do với cơ sở ( xα ⊗ yβ )(α , β ) ∈ A × B .
Giải.
Ta biết rằng mỗi phần tử của F ⊗ R G đều viết được một cách duy nhất dưới
∑ α ⊗y
β trong đó α β ∈ F và (α β ) B là một họ với giá hữu hạn.
dạng: β ∈ B β
Vì F có cơ sở ( xα )α ∈ A nên mỗi phần tử α β ∈ F đều viết được một cách duy
x )⊗ y

∑ ∑
nhất dưới dạng: B A βα α
( n

β

= ∑ n (x ⊗ y )
βα α
β .
B, A

Từ đó ta kết luận rằng: F ⊗ R G là R-môđun với cơ sở ( xα ⊗ yβ )(α , β ) ∈ A × B .
6.2. Bài tập 2.
Chứng minh rằng nếu cho M R và dãy khớp R-môđun trái
A→ B →C →0

thì dãy các nhóm aben sau cũng khớp
M ⊗ R A → M ⊗ R B → M ⊗ RC → 0 .

Giải.
Xét nhóm aben Co ker(1 ⊗ ϕ ) = M ⊗ R B / Im(1 ⊗ ϕ ) , nhận thấy rằng:
(1 ⊗ψ )(1 ⊗ ϕ ) = 1 ⊗ψϕ = 0 nên ∃ đồng cấu nhóm h : Coker(1 ⊗ ϕ ) → M ⊗ R C sao cho sơ
đồ sau giao hoán, với dòng là khớp:

với mỗi c ∈ C , do ψ toàn cấu, ∃b ∈ B : ψ (b) = c
Vì Im ϕ = Kerψ nên mỗi phần tử p ( x ⊗ b) chỉ phụ thuộc vào x ∈ M và c ∈ C
mà không phụ thuộc vào việc chọn b.
Do đó, tồn tại đồng cấu nhóm:
k : M ⊗ R C → Co ker(1 ⊗ ϕ )
x ⊗ c a p ( x ⊗ b)

sao cho kh = 1, hk = 1
Vậy M ⊗ R C ≅ Co ker(1 ⊗ ϕ )
SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 21


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Suy ra dãy trên trong sơ đồ (1) cũng khớp (đpcm)
.
6.3. Bài tập 3.
Chứng minh rằng nếu cho FR là R-môđun phải tự do và dãy khớp các R-môđun
trái:
A→ B →C →0

thì dãy các nhóm aben sau cũng khớp
0 → F ⊗ R A → F ⊗ R B → F ⊗ RC → 0 .

Giải.
Từ giả thuyết FR là R-môđun phải tự do nên F có một cơ sở ( si )i ∈ I

t = ∑ s ⊗a
i
i
Trước hết ta thấy mỗi t ∈ F ⊗ R A có thể viết duy nhất dưới dạng:
i∈I

với ai ∈ A và (ai )i ∈ I có giá hữu hạn.
Thật vậy, vì với
với a ∈ A , ta có:

x= ∑ sr
i i , trong đó ri ∈ R , (ri )i ∈ I có giá hữu hạn
i∈I

x ⊗ a = ∑ (s r ⊗ a) = ∑ (s ⊗ r a) = ∑ (s ⊗ a )
ii
i i
i
i ,
i∈I
i∈I
i∈I
trong đó ai = ri a ∈ A và (ai )i ∈ I có giá hữu hạn.
s ⊗a = ∑ s ⊗a'
i
i
i
Hơn nữa, nếu ∑ i
i∈I
i∈I
s ⊗ (a − a ' ) = 0 ⇒ a = a '
i
i
i
i ∀i ∈ I .
thì ta có ∑ i
i∈I
Lấy t = ∑ si ⊗ a 'i ∈ Ker(1 ⊗ ϕ ) ta có (1 ⊗ ϕ )(t ) = ∑ si ⊗ ϕ (a 'i ) = 0
i∈I

i∈I

t = ∑ s ⊗a
i
i
Với mỗi phần tử của F ⊗ R A được biểu diễn duy nhất dưới dạng

nên ϕ (a 'i ) = 0 , ∀i ∈ I .
Khi đó a 'i = 0 , ∀i ∈ I (do ϕ đơn cấu).
Vậy Ker(1 ⊗ ϕ ) = {0}
Áp dụng định lí đã biết (Bài tập 2), ta có dãy

i∈I

0 → F ⊗ R A → F ⊗ R B → F ⊗ RC → 0 .

khớp.

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 22


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Phần C. Kết luận
Qua nghiên cứu, bài tiểu luận này đã đạt được một số kết quả sau:
1. Hệ thống lại các khái niệm, định nghĩa về những kiến thức liên quan đến môđun như
đồng cấu các môđun, tích và tổng trực tiếp các môđun, dãy khớp các môđun
2. Tìm hiểu sâu hơn về tích tenxơ của hai môđun, tích tenxơ của hai đồng cấu, mối liên
hệ giữa tích tenxơ và dãy khớp, tích tenxơ của các tích trực tiếp và các tổng trực tiếp, quan
hệ giữa Hom và tích tenxơ.
3. Vận dụng các định lí về tích tenxơ để giải quyết một số bài tập và các kiến
thức liên quan

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 23


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

Tích Tenxơ

Phần D. Tài liệu tham khảo
[1]. Ngô Thúc Lanh: Đại số (giáo trình sau đại học).
[2]. Lê Văn Thuyết: Các cấu trúc đại số cơ bản, NXB Giáo Dục năm 1999.
[3]. Nguyễn Tiến Quang: Giáo trình Môđun và nhóm Aben, NXB ĐHSP 2008.
[4]. Dương Quốc Việt: Cơ sở lý thuyết môđun, NXB ĐHSP 2008.

SVTH: Nguyễn Đức Minh Hoàng

Trang 24



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×