Tải bản đầy đủ

Chương I. §3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Chuyên đề: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ
MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Nêu bảy hằng đẳng thức đáng nhớ?

( A + B) = A + 2AB + B
2

( A - B)

2

2

2

= A - 2AB + B

A - B = ( A + B) ( A - B)
2

2


2

2

3
2
2
3
A
+B
=
A
+3A
B
+3AB
+B
(
)
3

3
2
2
3
A
-B
=
A
-3A
B
+3AB
-B
( )
3

(

3


A + B = ( A + B ) A - AB + B
3

3

(

A - B = ( A - B ) A + AB + B
3

2

2

)

2

2

)


Dạng 1. Áp dụng các hằng đẳng thức đáng
nhớ để tính
Phương pháp giải: Đưa về một trong bảy hằng
đẳng thức đáng nhớ để tính.
Bài 1: Tính
a) ( x + 2y)2
b) ( 3x - 2y)2

1 2
c) ( 2x - )
2

x
x
d) ( - y)( + y)
2
2
1 3
e) ( x - )
3
f) (x - 2)(x2 + 2x + 4)


Dạng1. Áp dụng các hằng đẳng thức đáng
nhớ để tính
Phương pháp giải: Đưa về một trong bảy hằng
đẳng thức đáng nhớ để tính.
Bài 2: Viết các đa thức sau thành tích
a) x3 + 8y3

c) 8y3 - 125

b) a6 - b3

d) 8z3 - 27


Dạng2. Chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng
thức đáng nhớ để đưa vế phải bằng vế trái
hoặc vế trái bằng vế phải.
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức:
a) ( x + y)2 - y2 = x ( x + 2y )
b) ( x2 + y2)2 - (2xy)2 = (x + y )2 ( x –y )2
c) ( x + y)3 = x(x - 3y )2 +y( y –3x )2


Dạng2. Chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức
đáng nhớ để đưa vế phải bằng vế trái hoặc vế trái
bằng vế phải.
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức:
a) ( a + b)3 + (a – b)3 = 2a ( a2 + 3b2 )
b) ( a + b)3 - (a – b)3 = 2b ( b2 + 3a2 )


Dạng 3. Tính nhanh
Phương pháp giải: Đưa số cần tính về dạng
(a+b)2 hoặc (a –b)2 , trong đó a là số nguyên
chia hết cho 10 hoặc 100.
Bài 1: Tính nhanh
a) 10012
b) 29,9. 30,1
c) (31,8)2 – 2.31,8.21,8 + (21,8)2


Dạng 4. Rút gọn biểu thức và
tính giá trị biểu thức
Phương pháp giải: * Áp dụng các hằng đẳng
thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn
*Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn
Bài 1: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức
a) ( x - 10)2 - x(x+ 80) với x= 0,98
b) ( 2x + 9)2 - x(4x+ 31) với x = -16,2
c) 4x2 - 28x + 49 với x = 4
d) x3 - 9x2 + 27x -27 với x =5


Dạng4. Rút gọn biểu thức và
tính giá trị biểu thức
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
a) ( x2 – 2x +2)(x2 – 2) (x2 + 2x+2)(x2 +2)
b) ( x + 1)3 + (x -1)3 + x3 – 3x( x+1 )(x-1)
c) ( a + b +c)2 + (a + b -c)2 + ( 2a -b)2
d) 1002 - 992 + 982 -972 + … + 22 -12
e) 3(22 + 1)(24 +1)…( 264 +1) +1
f) ( a + b +c)2 + (a + b -c)2 + 2( a +b)2


Dạng 5. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp

Phương pháp giải: * Dựa vào một số hạng
tử của đẳng thức có trong ô trống ta nhận
dạng một trong bảy hằng đẳng thức đáng
nhớ.
* Thay vào ô trống hạng tử thích hợp.


Dạng 5. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp

Bài 1: Điền vào ô trống để biểu thức sau trở thành
bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) x2 + 20x +

b) 16x2 + 24x +

c) y2 -

d)

+ 49

- 42xy + 49y2


Dạng 5. Điền vào ô trống các hạng tử
thích hợp
Bài 2: Điền vào ô trống để được đẳng thức đúng:

a) x2 + 6xy +
b) ( ? +
c) ( ? +

? = (

?

? ) 2 = x2 +
? )2 =

+ 3y) 2
?

1
? + m+
4

+ 4y4


Dạng 5. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp

Bài 3: Điền vào ô trống để được đẳng thức đúng:
a) (2a +3b)(
b) (5x -

)(

+
+20xy+

) = 8a3 + 27b3
)= 125x3 – 64y3


Dạng 6. Biểu diễn đa thức dưới dạng bình
phương, lập phương của một tổng (một hiệu)
Phương pháp giải: Dùng các hằng đẳng thức
đáng nhớ

(A

(A

+ B)

- B)

2

2

2

= A + 2AB + B

2

= A 2 - 2AB + B2

(A
(A

+B )

-B )

3

3

= A 3 +3A 2 B +3AB2 +B3
= A 3 -3A 2 B +3AB2 -B3


Dạng 6. Biểu diễn đa thức dưới dạng bình
phương, lập phương của một tổng (một hiệu)

Bài 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tổng của
hai bình phương:
a) x2 + 10x + 26 + y2 +2y
b) x2 - 2xy + 2y2 +2y +1
c) z2 - 6z + 13 + t2 +4t
d) 4x2 -4xz + 1 + 2z2 -2z


Dạng 7. Chứng minh giá trị của biểu thức
không phụ thuộc vào giá trị của biến
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức
đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho không
còn chứa biến.
Bài 1: Chứng minh giá trị biểu thức sau không
phụ thuộc vào x:
a) (2x +3)(4x2 - 6x +9) - 2(4x3 -1)
b) ( x +3)3 -(x + 9) (x2 +27)


Dạng 7. Chứng minh giá trị của biểu thức
không phụ thuộc vào giá trị của biến
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức
đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho không
còn chứa biến.
Bài 2: Chứng minh giá trị biểu thức sau không
phụ thuộc vào x,y:
a) (x +y)(x2 - xy +y2) + (x -y)(x2 + xy + y2) – 2x3
12
b) ( xy -5)(xy+2) +3(xy-2)(xy +2) -(3xy - ) + 5x2y2
2


Dạng 8. Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng
thức đáng nhớ rút gọn vế trái (hoặc vế phải)
về dạng aX = b, từ đó tìm X.
Bài 1: Tìm x, biết:
a) ( x + 2 )2 - 9 = 0

b) ( x + 2 )2 - x2 + 4 = 0

c) ( x - 3 )

d) x2 - 2x = 24

2

-4 =0

e) ( 2x - 1)2 + (x +3)2 – 5( x+7 )(x-7) = 0


Dạng 9. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một
biểu thức
Phương pháp giải: Dựa các hằng đẳng thức
2
2
2
2
2
A
+
B
=
A
+
2AB
+
B
;
(
)
A
B
=
A
2AB
+
B
(
)
2

Để đưa về dạng T = a ± [ F(x)]2 với a là hằng số.
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) A = 4x2 +4x +11
b) B = ( x -1 )( x +2 )( x +3 )( x +6 )
c) C = x2 - 2x + y2 – 4y + 7


Dạng 9. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một
biểu thức
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) A = x2 - 20x +101
b) B = 4a2 +4a +2
c) C = x2 - 4xy + 5y2 – 22y +10x +28
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) A = 4x - x2 +3
b) B = x - x2


Dạng 10. Phương pháp tổng bình phương
Phương pháp giải: Biến đổi đẳng thức về dạng
A2 + B2 = 0, từ đó suy ra A = 0, B = 0.
Bài 1:
a) Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca,
chứng minh a=b =c
b) Tìm a, b, c thỏa mãn đẳng thức:
a2 - 2a + b2 + 4b + 4c2 - 4c + 6 = 0


Dạng 10. Phương pháp tổng bình phương

Bài 2: Chứng minh rằng nếu:
( x - y) 2 + ( y - z )2 + ( z – x )2
= (y+z -2x )2 + (z +x -2y)2 + (x +y -2z)2
thì: x = y = z


Dạng 11. Chứng minh bất đẳng thức thỏa
mãn với mọi biến số
Phương pháp giải: Dựa các hằng đẳng thức
2
2
2
2
2
A
+
B
=
A
+
2AB
+
B
;
(
)
A
B
=
A
2AB
+
B
(
)
2

Để đưa về dạng [ F(x)]2 + k với k >0
hoặc - [ F(x)]2 + n với n<0
Bài 1: Chứng minh rằng:
a) A = x2 +x +1 >0 với mọi x
b) B = -4x2 -4x -2 <0 với mọi x
c) C = x2 - 6z+ 4y2 +8y + z2 - 2x + 15 >0
với mọi x,y,z


Dạng 11. Chứng minh bất đẳng thức thỏa
mãn với mọi biến số

Bài 2: Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau
thỏa mãn với mọi x,y:
a) A = x2 +xy + y2 +1 > 0
b) B = x2 -4xy + 5y2 + +2x -10y +14 >0
c) C = 5x2 + 10y2 -6xy - 4x – 2y +3 >0


Dạng 12. Áp dụng vào số học
Phương pháp giải:
• Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có
số nguyên k sao cho a =b.k
• Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số
chia
Bài 1: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự
nhiên b chia cho 5 dư 2. Chứng minh rằng tổng
các bình phương của hai số a và b chia hết cho 5


Dạng 12. Áp dụng vào số học
Bài 2: Chứng minh rằng tổng các lập phương của
ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9
Giải:
Gọi ba số nguyên liên tiếp là n-1, n, n+1. tổng lập
phương của chúng là:
A = (n-1)3 + n3 + (n+1)3
= n3 -3n2 +3n -1 + n3 + n3 +3n2 +3n +1

= 3n3 + 6n = 3n( n2 -1) + 9n = 3 (n-1)n(n+1) + 9n M
9
Vì: trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho
3 nên 3n(n2-1) chia hết cho 9, lại có 9n chia hết cho 9.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×