Tải bản đầy đủ

Sự hội tụ theo dung lượng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

DƢƠNG HUYỀN NHUNG

SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

DƢƠNG HUYỀN NHUNG

SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN – 2016


i
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả

Dương Huyền Nhung


ii
LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Chuyên Tỉnh Cao Bằng cùng các
đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và
hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2016
Tác giả



iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................ iii
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1
3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 2
4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2
Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 3

1.1. Hàm đa điều hoà dưới................................................................................... 3
1.2. Toán tử Monge-Ampère phức ...................................................................... 5
1.3. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới ................................................. 8
1.4. Nguyên lý so sánh....................................................................................... 12
1.5. Các lớp năng lượng Cegrell ........................................................................ 15
Chƣơng 2: SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG ............................................... 16

2.1. Sự hội tụ đối với các hàm đa điều hoà dưới bị chặn .................................. 16
2.2. Sự hội tụ trong lớp

a

............................................................................... 31

KẾT LUẬN ........................................................................................................ 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 45


1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Khái niệm dung lượng đã được Bedford và Taylor giới thiệu năm 1982
trong [3]. Nó đóng vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết đa thế vị, là công
cụ rất hiệu quả trong việc nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới và toán tử
Monge-Ampère phức. Một trong những hướng nghiên cứu của lý thuyết đa thế
vị được nhiều người quan tâm hiện nay là tìm mối quan hệ giữa sự hội tụ theo
dung lượng của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo MongeAmpère phức tương ứng. Nghiên cứu kiểu hội tụ của độ đo Monge-Ampère
phức và sự hội tụ theo dung lượng Cn của các hàm. Mối quan hệ giữa sự hội tụ
yếu của các độ đo Monge-Ampère phức với sự hội tụ theo C n 1  dung lượng
của các hàm. Vì thế theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “Sự hội
tụ theo dung lượng”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu về sự hội tụ theo dung lượng
của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức
tương ứng; mối quan hệ giữa sự hội tụ của độ đo Monge-Ampère phức và sự
hội tụ theo Cn  dung lượng cũng như C n 1  dung lượng của các hàm. Nghiên
cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình Monge-Ampère.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Nghiên cứu mối quan hệ giữa sự hội tụ theo dung lượng của hàm đa
điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức tương ứng.


2
+ Nghiên cứu mối quan hệ giữa sự hội tụ của độ đo Monge-Ampère phức
và sự hội tụ theo Cn  dung lượng cũng như C n 1  dung lượng của các hàm.
+ Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với phương pháp
của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 45 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kiến thức cơ sở của lý
thuyết đa thế vị cần thiết được sử dụng trong chương 2.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả
nghiên cứu gần đây của Y. Xing về mối quan hệ giữa sự hội tụ theo dung lượng
của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức
tương ứng, một số dạng khác nhau của định lý về tính ổn định đối với nghiệm
của phương trình Monge-Ampère phức. Phần cuối của chương này chúng tôi
trình bày lại các kết quả của Xing đối với các lớp kiểu Cegrell

( ) các hàm

đa điều hòa dưới không bị chặn.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.


3
Chƣơng 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Hàm đa điều hoà dƣới
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X
được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi
x

X : u(x )

là một tập con mở của

một hàm nửa liên tục trên và không trùng với
n

b

n

và u :

,



trên bất kỳ thành phần liên

. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a
u(a

, hàm

phần của tập hợp
u

tập hợp

là mở trong X.

Định nghĩa 1.1.2. Cho

thông nào của

,

b) là điều hoà dưới hoặc trùng

:a

b



trên mỗi thành

. Trong trường hợp này, ta viết

PSH ( ) . (ở đây kí hiệu PSH ( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong

).

Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền
bị chặn, tức là nếu
u

là một tập con mở liên thông bị chặn của

PSH ( ) , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z
u(z )

,

y
y

n

được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm

E đều có một lân cận V của a và một hàm u

E V

z

V : u(z )



sup lim sup u(y ) .

Định nghĩa 1.1.4. Tập hợp E

a

n

.

PSH (V ) sao cho


4
Định lý 1.1.5. Cho

(i ) Họ PSH ( ) là nón lồi, tức là nếu
u, v

PSH ( ) , thì

(ii ) Nếu
u

lim u j
j

u

v

uj

PSH ( ) hoặc u

,

là các số không âm và

PSH ( ) là dãy giảm, thì

j

.

(iii ) Nếu u :

, và nếu u j

tập con compact của

, thì u

A

. Khi đó

PSH ( ) .

là liên thông và

(iv ) Giả sử u

n

là một tập con mở trong

j

PSH ( ) hội tụ đều tới u trên các

PSH ( ) .

PSH ( ) sao cho bao trên của nó u

sup u là bị
A

chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều
hoà dưới trong

.

Định lý 1.1.6. Cho

n

là một tập con mở của

.

(i ) Cho u, v là các hàm đa điều hoà dưới trong
là lồi, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong

(ii ) Cho u

PSH ( ) , và v

PSH ( ) , v

và v

: 0,

0,

0 trong

. Nếu

0 trong

là lồi và (0)

0 , thì v (u / v)
n

tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục

:

c

z

: (z ) c

:



.

, và v

PSH ( ) , u

Định nghĩa 1.1.7. Một miền bị chặn

:

.

lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong

(iii ) Cho u, v

0 . Nếu

0 trong

. Nếu

PSH ( ) .

được gọi là miền siêu lồi nếu tồn
(

.

, 0) sao cho với c

0


5
1.2. Toán tử Monge-Ampère phức
n

Cho u là đa điều hoà dưới trên miền
dc

i(

dd u

n



C 2( ) thì toán tử:

) . Nếu u
c

. Ký hiệu d

c

dd u

...

c

2

u
z j zk

n

dd u

4 n ! det

n

n

với dV là yếu tố thể tích trong
có thể xem như độ đo Radon trên

dV ,
1 j ,k n

gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này

, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên
dd cu

C0

n

.

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn
địa phương trên
um

u và

thì tồn tại dãy

dd cum

n

dd cum

m

(dd cu)n

m 1

PSH ( ) C ( ) sao cho

hội tụ yếu tới độ đo Radon

lim

Hơn nữa

um

n

tức là:

trên

d ,

C0

không phụ thuộc vào việc chọn dãy um

.

như trên, ta ký hiệu:

và gọi là toán tử Monge-Ampe của u .

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe.
Mệnh đề 1.2.1. Giả sử
tụ yếu tới độ đo Radon

i ) Nếu G
ii ) Nếu K

j

n

là dãy các độ đo Radon trên tập mở

hội

. Khi đó

là tập mở thì (G )

lim inf

là tập compact thì (K )

iii ) Nếu E compact tương đối trong

j

j

(G ) .

lim sup
j

: ( E)

j

(K ) .

0 thì (E )

lim
j

j

(E ) .


6
Chứng minh. i ) Ta có
compact. Lấy

(G )

C 0(G ) , 0

(K )

( )
(G )

Từ đó

ii ) Ta có (K )

inf

cận mở của K và

lim inf
(V ) : V

lim inf

IntE

,V

lim

j

j

j

j

( )

(int E )

lim inf

j

lim sup

j

j

(E )

Từ đó

(E )

lim sup

j

(E ) .

Vậy

(E )

lim

j

n

Mệnh đề 1.2.2. Giả sử

0 trên

j

j

(int E )

j

lim sup

j

(K ) .

j

j

lim inf
j

j

(E ) .

(E ) .

(E ) .

là miền bị chặn và u, v

và lim u(z )
z

PSH ( ) Lloc ( )

0 . Giả sử T là (n

1, n

1) dòng

. Khi đó
vdd cu T

Đặc biệt, nếu lim v(z )
z

0 thì

Chứng minh. Chú ý rằng dd cu
. Với

j

E . Khi đó

(E )

trên

lim sup

(K ) .

Mặt khác

dương, đóng trên

V 0 . Giả sử V là một lân

1 trên K . Khi đó

1 và

lim sup

(G ) .

(G ) .

K ,V

( )

(E )

sao cho u, v

j

j

C 0(V ) , 0

(K )

iii ) Viết E

j

j

(V )

Từ đó

( )

j

j

G là tập

1 trên K . Khi đó

1 và
lim

G . Giả sử K

(K ) : K

sup

0 , đặt u

udd cv T .
vdd cu T

udd cv T .

T và dd cv T là các độ đo Borel dương

max u,

. Khi đó u

0 và là hàm đa điều


7
và u tăng tới 0 khi

hòa dưới trên

giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn điệu

Lebesgue ta có
udd cv T

Do lim u (z )

0 nên u

z

'

miền
(u

u

1/ j

0 là tập compact tương đối trong
u

nên dd cu

đóng trên

0

dd cv T .

u)

. Lấy

. Khi đó với j đủ lớn,

0

và do giả thiết T là (n

C0

1/ j

(u

lim

u
u

sao cho

u)

0

u )dd cv T

(u

u )dd cv T và

(u

lim

1, n

1) dòng dương,

T là (n, n) dòng dương, đóng với mọi

PSH ( ) Lloc ( ) , suy ra
(u

dd cv T

u)

vdd c ((u

1/ j

vdd c ((u

u)

1/ j

\

1/ j

'

) T

u)

1/ j

) T

'

vdd c ((u )

) T

1/ j

vdd c ((u

) T

'

vdd c (u

u)

1/ j

) T

'

vdd c (u

1/ j

) T.

'

Nhưng dd c (u
vdd c (u

1/ j

1/ j

Từ đó cho

dd c (u

T ) hội tụ yếu tới dd cu

1/ j

) T hội tụ yếu tới vdd cu

vdd cu T
'

) T

vdd c (u

lim inf
j

0 suy ra

'

vdd cu T

bất đẳng thức cần chứng minh.

T . Khi đó

T . Vậy
1/ j

) T

(u

u )dd cv T .

'

vdd cu T . Cho

ta được


8
1.3. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dƣới
Phần này trình bày một kết quả quan trọng của lí thuyết đa thế vị. Đó là
chứng minh tính tựa liên tục cho lớp các hàm đa điều hòa dưới. Tính chất đó có
thể được mô tả đơn giản là, nếu một hàm u đa điều hòa dưới trên miền
n

thì sau khi bỏ đi một tập “đủ bé” theo nghĩa của lí thuyết đa thế vị hàm

u trở thành hàm liên tục trên phần còn lại. Để đi đến kết quả này, ta cần đưa ra
khái niệm dung lượng tương đối của một tập Borel theo nghĩa của BedfordTaylor.
n

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử
lượng tương đối của E đối với

là tập mở và E

là tập Borel. Dung

, kí hiệu là C n (E, ) hay có thể viết là C n (E )

nếu không gặp phải sự hiểu lầm nào khác, là đại lượng cho bởi
C n (E )

sup{ (dd cu)n : u

C n (E, )

PSH ( ).

u

1

}.

E

Theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg C n (E ) là hữu hạn nếu E

.

Mệnh đề sau cho một số tính chất của dung lượng tương đối.
Mệnh đề 1.3.2. i ) Nếu
n

n

(E ) là độ đo Lebesgue của E

ii ) Nếu E1
iii ) C n

j 1

E2

Ej,

iv ) Nếu E
đó c( ,

1

j 1

4n n ! R

(z 0, R) thì C n (E, )

2

thì C n E1,

Cn E j ,

C n E 2,

2

2

thì C n (E,

1

)

Chứng minh. i ) Lấy u(z )

E thì lim C n (E j )
j

z

1

c( ,

, ) là hằng số.

và E j

(E ) , ở đó

.

1

v ) Nếu E j

n

.

.
n

1

2n

2

z 0 / R2

C n (E ) .

1 . Khi đó

,

1

2

)C n (E ,

2

), ở


9
u

PSH ( ), 1

(dd cu )n . Nhưng

0 . Vậy C n (E, )

u

E

(dd cu )n

2n

R

dd c z

z0

2

n

2n

R

4n n !dV .

Do đó
4n n ! R

C n (E, )

2n
n

(E ) .

ii ) Suy trực tiếp từ định nghĩa.

iii ) C n (

j 1

Ej, )

(dd cu)n : 1

sup{

u

0}

Ej
j 1

(dd cu)n : 1

u

0}

sup{ (dd cu)n : 1

u

0}

sup{
j 1 E
j

j 1

iv ) Nếu ta phủ

bằng hữu hạn các hình cầu thuộc
(z 0, r ) và

đưa bài toán về trường hợp
Lấy u

PSH ( 1), 1

0 trên

thì

1

u

0 và giả sử

1 trên



Theo định lí dán, ta có u
PSH ( 2 ), 1

thì dùng ii ) và iii ) ta

1

(z 0, R1 ) .

(z )

(R12

trên
trên 2 \

r 2)

1

)

0 và (dd cv)n

sup{ (dd cu )n : u
E

z

z0

2

1

(a

a
a, a
1

. Khi đó
2

1) n (dd cu)n trên

Vậy
C n (E,

1

1

u
a

PSH ( 2 ) . Đặt v
v

1

. Đặt

max{u, }

u

v

j 1

Ej

C n (E j , ) .

PSH ( 1), 1

u

0}

.

R12


10
1)n (dd cv)n : u

sup{ (a

PSH ( 1), 1

u

0}

PSH (

v

0}

E

1)n sup{ (dd cv)n : v

(a

2

), 1

E

1)nC n (E,

(a

Do E j

E nên C n (E,

2

2

).

) . Do đó

lim C n (E j )

(dd cu)n

sup

j

j ,u

C n (E ) .

Ej

Ta cần các kết quả sau.
PSH ( ) và K

Mệnh đề 1.3.3. Nếu v

lim C n (K

{v

j

Chứng minh. Lấy tập mở
1

u

G thì
j }, )

0.

sao cho K

và giả sử u

1
j

1
C (K , ) v
j n

PSH ( ) ,

0 . Khi đó

(dd cu)n
K {v

j}

v (dd cu)n
K

L1 ( )

.

Từ đó
C n (K

{v

1
C (K , ) v
j n

j }, )

L1 ( )

và được điều cần chứng minh.
Mệnh đề 1.3.4. Giả sử {v j }
tới v

PSH ( ) Lloc ( ) là dãy giảm hội tụ điểm trên

PSH ( ) Lloc ( ) . Khi đó với mọi K
lim C n (K

{v j

j

v



}, )

0 ta có

0.

Chứng minh. Phủ K bằng hữu hạn các hinh cầu và từ tính chất ii ) và iv ) của
Mệnh đề 1.3.2 có thể coi v j
(z )

z

z0

2

v

R2 . Giả sử u

A

gần

(z 0, R)

,

PHS ( ), 1

u

,A

0 . Khi đó ta có

0,


11
1

(dd cu )n

(n

v )n 1(dd cu )n

(v j

n 1

1)!

(v j

n 1

v )(dd cv )n .

K {v j v

Số hạng cuối cùng dần tới 0 khi j

do định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue.

Bây giờ ta chứng minh tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới.
n

Định lí 1.3.5. Giả sử v là hàm đa điều hòa dưới trên tập mở
0 tồn tại tập mở G

với mọi

. Khi đó

và v liên tục trên

với C n (G, )

\G .

. Chỉ cần chứng minh có tập mở G

Chứng minh. Lấy tập mở bất kì
và v liên tục trên

với C n (G, )
{ j },

,

j

tục trên mỗi

và các tập mở G j

j

\ G j . Đặt G

j

\G . Thật vậy, khi đó ta có thể chọn dãy

j 1

C n (G, )

Và với mọi tập mở U

G j . Khi đó G

j 1

C n (G j , )

ta có U \ G

tục trên U \ G . Do đó v liên tục trên
Đặt G1

.

\ G j với j nào đó. Vậy v liên

2

(do Mệnh

max{v, j } và giả sử {vk } là dãy giảm các hàm đa điều hòa

giảm tới v . Do Mệnh đề 1.3.4 với

2, 3,... tồn tại k ( j ) sao cho với
G

0

và v liên

\G .

dưới liên tục xác định trên lân cận của

Đặt

j

2j

là tập mở và

j } , ở đây j được chọn sao cho C n (G1, )

{v

đề1.3.3). Đặt v

j

sao cho C n (G j , )

j

Gj
vk ( j )

{vk ( j )

v

Khi

đó

Gj .

j 1

v

. Vậy

vk ( j )

} , ta có C n (G j , )
C n (G, )

v đều trên



2

j

trên

.
\G

ta



\G , do đó v liên tục trên


12
\G . Nhưng trên

v . Do đó v liên tục trên

j . Vậy v

\G thì v j

\G .

Sau đây là một ứng dụng quan trọng của tính tựa liên tục của hàm đa
điều hòa dưới. Đó là nguyên lí so sánh đối với hàm đa điều hòa dưới bị chặn
địa phương.
1.4. Nguyên lý so sánh
n

Định lý 1.4.1. Giả sử
cho lim inf(u(z )

v(z ))

z

là miền bị chặn và u, v

PSH ( ) L ( ) sao

0 . Khi đó
(dd cv )n

(dd cu )n .

u v

(1.1)

u v

Chứng minh. Trước tiên, theo giả thiết có lim inf(u(z )

v(z ))

z

có nghĩa là với mọi

0 tồn tại K

u(z )

v(z )

nữa

u

v

u

.

Hơn

u

v

u

thay

0 . Vậy u

v(z ))

và u

v trên

Từ giả thiết lim inf(u(z )
z

u(z )

Vậy u

u(z )

ta có

(dd cu )n

, >0 ,

thì

.

u

0 , đặt u

. Với

v là tập mở, u, v liên
max u

v(z ))

suy ra u(z )

v(z )

v(z ) với z gần biên

gần biên

u

\ K thì

v . Vì vậy có thể giả

v

a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó
tục trên

bởi

0 suy ra (1.1) đúng trên u

(u(z )

sử lim infz

z

sao cho

0 . Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên

khi

v thì cho

khi

0 . Điều này

và u

v trên

v(z )

u v

hay
.

. Theo công thức Stokes

(dd cu )n

(dd cu)n hay

,v .

(dd cu )n .
u v


13

v nên (dd cu )n

Vì u

(dd cv)n . Vậy

(dd cv )n

0

u v

b ) Giả sử u, v tùy ý và

(dd cu )n

lim inf

(dd cu)n .

u v

u v

là miền sao cho u

v

/2

. Tồn tại

hai dãy u j và vk các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của
và v sao cho u j

vk trên

trên F

0 . Lấy

liên tục trên

sao cho

\ G . Ta có
(dd cv)n

Nhưng u j

v

j

uj v

uj v

uj

(dd cv )n

(dd cv)n .

lim

u v

G và vì u j

(dd cv )n

(dd cv )n
G

uj

là tập mở nên
(dd cvk )n

lim

k

,

uj v

và (dd cvk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n .

vì C n G,
Từ

u j , vk

, u, v là các hàm

\G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm

liên tục trên

1

là tập mở sao cho C n G,

0 và giả sử G

v

với mọi i, k . Có thể coi

giảm tới u

uj

uj

v

(dd cvk )n
uj

G và u j

(dd cvk )n

v

uj

vk suy ra

(dd cvk )n

(dd cvk )n

G

uj v

u j vk

Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và vk ta thu được
(dd cvk )n
u j vk

(dd cu j )n .
u j vk

Do đó
(dd cv)n
u v

(dd cu j )n

lim inf lim inf
j

k

uj vj

2

.


14
(dd cu j )n

lim sup
j

2 .

uj v

Hơn nữa
(dd cu j )n

(dd cu j )n

uj v

và do u

v

uj v

F

F là tập compact và u j

v

(dd cu j )n

lim sup
j

uj v

v nên ta có

(dd cu )n
u v

F

u

(dd cu )n .

F

u v

0 tùy ý nên ta được

Do

(dd cv )n

(dd cu )n .

u v

u v

0 ta có

Từ đó với mọi

(dd cv )n
u

(dd c (u

v

u

))n

(dd cu)n .

v

u

v

Nhưng
u

v

u

v



u

u

v

0 . Do đó

khi

(dd cv )n
u v

cho u

n

v và lim u(z )

là miền bị chặn và u, v

lim v(z )

z

(dd cu )n .
u v

Hệ quả 1.4.2. Giả sử
z

( )

Hệ quả 1.4.3. Giả sử
cho lim inf(u(z )
z

.

v(z ))

PSH ( ) L ( ) sao

0 . Khi đó

(dd cv )n

trên

v

(dd cu )n .
( )

n

là miền bị chặn và u, v

0 . Giả sử (dd cu)n

PSH ( ) L ( ) sao

(dd cv)n trên

. Khi đó u

v


15
1.5. Các lớp năng lƣợng Cegrell
Định nghĩa 1.5.1
0

PSH ( ) L ( ) : lim

( )

(z )

z

0,

(dd c )n

.

Định nghĩa 1.5.2
PSH ( ) : { j }

( )
a

( )

u

0

( ),

j

, sup
j

(dd c j )n

( ) : (dd cu)n triệt tiêu trên các tập đa cực của

.
.


16
Chƣơng 2

SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG

2.1. Sự hội tụ đối với các hàm đa điều hoà dƣới bị chặn
Trong phần này chúng tôi trình bày việc nghiên cứu dãy các hàm đa điều
hòa dưới bị chặn đều địa phương trong

. Trước tiên là định lý hội tụ. Tiếp

theo là mối quan hệ giữa sự hội tụ yếu của các độ đo Monge-Ampère và sự hội
tụ theo dung lượng. Cuối cùng là một số dạng khác nhau của định lý về tính ổn
định đối với nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức. Các kết quả trong
chương này được viết dựa theo bài báo [12].
Định nghĩa 2.1.1. Cho E
của E đối với
C n (E )

n

là tập Borel,

là một miền. Dung lượng

được xác định bởi
C n (E, )

sup

E

(dd cu)n : u

PSH ( ), 0

dung lượng của tập Borel E

Xing đưa ra khái niệm C n

1

Định nghĩa 2.1.2. C n

dung lượng của tập con E

Cn 1(E )

1

Cn 1(E, )

u

1 .

như sau:
được xác định bởi

sup C n 1(K ), K

E ,

trong đó
C n 1(F )

sup

F

(dd cu)n

1

2

(dd c z )n s ; u

PSH ( ), 0

u

1 .

Định lý hội tụ sau đây thuộc về Xing (xem[10]).
Định lý 2.1.3. [10] Cho u
bị chặn đều trong

. Nếu u j
(dd cu j )n

PSH ( )

Lloc ( ) và u j là các hàm đa điều hòa

u theo Cn1  dung lượng trên mỗi E
(dd cu )n yếu trong

.

thì


17
Định lý 2.1.3 sẽ được sử dụng trong một số chứng minh của chương này.
Chúng ta sẽ chứng minh một phiên bản mạnh hơn của Định lý 2.1.3 theo nghĩa
Cn

dung lượng. Sử dụng C n

Định lý 2.1.4. Cho

1

dung lượng ta có định lý sau đây.

là một miền giả lồi bị chặn và u

PSH ( ) . Giả sử

{u j } là một dãy các hàm bị chặn đều địa phương trong PSH ( )

L ( )

sao cho
i) u j

u yếu trong

;

ii ) lim inf(u j

u)

iii ) (dd cu j )n

(dd cu )n yếu trong

z

Khi đó u j

0 đều với mọi j ;

.

u theo Cn1  dung lượng trên mỗi E

.

Ta đã có một ví dụ chỉ ra rằng với giả thiết của Định lý 2.1.4, không thể
đòi hỏi có được sự hội tụ theo C n

dung lượng của u j đến u . Ta cần có thêm

một số điều kiện mạnh hơn so với sự hội tụ yếu của độ đo Monge-Ampère để
đảm bảo sự hội tụ theo C n

dung lượng của các hàm. Ta có một vài kết quả

theo hướng này. Các kết quả đó giúp ta tìm nghiệm của các phương trình
Monge-Ampère và hơn nữa là xử lý tính ổn định của nghiệm. Gần đây, Cegrell
và Kolodziej đã chứng minh định lý ổn định sau.
Định lý 2.1.5 ([9]) Cho
v

với

PSH

(dd cv )n

đo fjd

là một miền giả lồi chặt. Giả sử d

L ( ) nào đó với lim v( )
z

, và giả sử f j là hàm

nghiệm duy nhất của bài toán Dirichlet

0 đối với z

đo được với 0

hội tụ yếu tới fd . Với một hàm số liên tục

(dd cv)n đối

trong

fj



1 sao cho độ

, ký hiệu u j là


18
u

PSH
c

L ( )

n

(dd u )
lim u( )

f jd
(z ), z

z

Khi đó u

L ( ) : (dd cu)n

PSH

fd

.

u trong C n trên

và u j

.

Định lý ổn định đã được chứng minh lần đầu tiên trong một trường hợp
đặc biệt khi

trơn, f j liên tục và

có giá compact. Sau đây là kết quả tổng

quát hơn về tính ổn định.
là một miền bị chặn. Giả sử {u j } là một dãy các hàm bị

Hệ quả 2.1.6. Cho

chặn đều địa phương trong PSH
i ) lim sup | u j
z

L ( ) sao cho

ui | 0 đều với mọi j và i ;

ii ) (dd cu j )n hội tụ yếu tới độ đo dương d
iii ) tồn tại một độ đo dương d

sao cho (dd cu j )n
Khi đó
trên

u

d

trong

PSH

trong

;

triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực trong

với mọi j .

Lloc ( ) sao cho (dd cu)n

d

và u j

u theo C n

.
Hơn nữa, nếu bỏ qua giả thiết rằng tất cả độ đo Monge-Ampère bị trội bởi

một độ đo cố định nào đó triệt tiêu trên tất cả các tập con đa cực, ta có
Hệ quả 2.1.7. Cho

là miền bị chặn. Giả sử {u j } là một dãy hàm bị chặn đều

địa phương trong PSH
i ) lim sup | u j
z

L ( ) sao cho

ui | 0 đều với mọi j và i ;

ii ) Tồn tại một độ đo dương d

gd

trong
Khi đó

trên

.

, đều đối với mọi g
u

PSH

trong

sao cho g(dd cu j )n hội tụ yếu tới

PSH ( ) với 0

Lloc ( ) sao cho (dd cu)n

g

1.

d

và u j

u theo C n


19
Định nghĩa 2.1.8. Dãy các hàm u j được gọi là hội tụ tới hàm u theo
Cs

dung lượng trên tập E nếu với mỗi hằng số
lim Cs {z

E;| u j (z )

j

u(z ) |

0 ta có

}

0.

Chúng ta bắt đầu với định lý về sự hội tụ
Định lý 2.1.9. Giả sử u

PSH

chặn đều địa phương trong

. Khi đó với mỗi tập B các hàm đa điều hòa bị

chặn đều địa phương trong
a ) Nếu u j

u theo C n

Lloc ( ) và u j là các hàm đa điều hòa dưới bị

, các khẳng định sau đây xảy ra:
thì g(dd cu j )n hội tụ

dung lượng trên mỗi E

1

yếu tới g(dd cu)n với mỗi g trong B .
b ) Nếu u j

trong

đều với mọi g

C 0 ( ) ta có
c ) Nếu u j

thì g(dd cu j )n hội tụ yếu tới g(dd cu)n

u theo C n trên mỗi E

B , có nghĩa là với mỗi giá trị cho trước của

g(dd cu j )n

g(dd cu)n đều với mọi g

u trong C n trên mỗi E

thì g j (dd cu j )n hội tụ yếu tới g(dd cu)n trong

B.

B hội tụ yếu tới g

và g j

B,

.

Chứng minh. Khẳng định a ) là hệ quả trực tiếp từ Định lý 2.1.3 và tính tựa liên
tục của hàm đa điều hòa dưới g , xem [3].
Để chứng minh b ) , theo Định lý 2.1.3 ta có (dd cu j )n
, do đó ta có thể giả sử B
giá trị cho trước

{g

PSH ( );0

g

(dd cu)n yếu trong

1} . Mặt khác, với mỗi

C 0 ( ) , bằng cách thay đổi giá trị của các hàm gần biên

, ta cũng giả sử rằng tất cả u j trùng với u trong
E nào đó mà supp

phân từng phần ta được

E . Từ đó với mỗi

\ E đối với một tập con

0 tùy ý và mọi g

B , tích


20
g((dd cu j )n

(dd cu )n

(u j
E {|u j u |

u)dd ( g ) (
k 0

}

(u j
E {|u j u |

n 1

c

n 1

c

u )dd ( g ) (
k 0

}

A ,j ( )

(dd cu j )k (dd cu )n

(dd cu j )k (dd cu )n

1 k

1 k

B ,j ( ) .

C 0 ( ) , lấy một hằng số M đủ lớn sao cho

Cho

(

ở đó 0

,

1

2

PSH

2dd c ( k g )

M | z |2 )

M | z |2

1

L ( ) . Với cả hai k
dd c ((g

k

2

,

1 và k

)2 ) dd c (g)2

2 ta có

dd c ( k2) ,

ở đó tất cả dd c ở phía bên phải đều tác động lên các hàm đa đa điều hòa dưới bị
chặn trong

| A , j ( ) | | A , j ( 1) |
| B , j ( ) | | B , j ( 1) |

khi j

và j sao cho

. Vì vậy tồn tại một hằng số D phụ thuộc vào
| A , j ( 2 ) | DC n (E )

| B , j ( 2 ) | DC n (E

{| u j



u|

})

0

. Điều này kéo theo
g(dd cu j )n

g(dd cu )n khi j

đều trong B .

Cuối cùng, để chứng minh c ) ta viết
g j (dd cu j )n

g(dd cu)n
(g j

g j ((dd cu j )n
g )((dd cu)n

(dd cu)n )

(dd cvs )n )

(g j

g )(dd cvs )n ,


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×