Tải bản đầy đủ

Phương trình vi phân cấp 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CẤP 1


BÀI TỐN DẪN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Vận tốc nguội lạnh của một vật trong khơng khí tỷ lệ
với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ khơng khí.
Tìm quy luật giảm nhiệt của vật nếu nhiệt độ của
khơng khí là 200C và nhiệt độ ban đầu của vật là
1000C.
Quy luật giảm nhiệt ⇔ sự thay đổi
nhiệt độ theo thời gian
Gọi nhiệt độ của vật là hàm số T theo biến thời gian t

dT
0
= k [ T (t ) − 20] ,T (0) = 100 C ⇒ PTVP
dt


BÀI TOÁN DẪN VỀ PTVP

Tìm pt đường cong đi qua điểm (1, 1) nếu với đoạn
[1, x] bất kỳ, diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đường cong này bằng tích 2 lần tọa độ điểm M(x,y)
thuộc đường cong (x>0, y>0)
x

M(x,y
)

1



y(t)dt = 2 xy( x)

1

Đạo hàm 2 vế
1
Lưu ý:

x

y(1) = 1

y( x) = 2 y( x) + 2 xy'( x)
⇔ 2 xy'( x) + y( x) = 0


MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
1. PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới
dấu đạo hàm hoặc vi phân..
2. Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn
hàm.
3. Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến ⇒ PTVP thường.
Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến ⇒ PTVP đạo hàm
riêng.
4. Hệ PTVP là hệ gồm nhiều PTVP và nhiều ẩn hàm.



NGHIỆM CỦA PTVP
Xét ptvp thường cấp n: F(x,y,y’,…,y(n)) = 0

(1)

1. Hàm số y = ϕ(x,c1,…,cn) thỏa mãn (1) với ci là các
hằng số gọi là nghiệm tổng quát của (1).
Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta được nghiệm riêng
của (1).
2. Hàm φ(x,c1,…,cn, y) = 0 thỏa mãn (1) gọi là tích
phân tổng quát của (1) (y được tìm ở dạng ẩn)
Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta đươc tích phân
riêng của (1).


NGHIỆM CỦA PTVP

3. Đồ thị của hàm nghiệm gọi là đường cong tích
phân.
4. Hàm y = y(x) thỏa (1) nhưng không phải là
nghiệm riêng được gọi là nghiệm kỳ dị của (1).


Bài toán Cauchy cho ptvp cấp 1
Xét ptvp cấp 1:
Hoặc

F(x, y, y’) = 0

(1)

y’ = f(x, y)

(2)

(2) Gọi là pt đã giải ra được đối với đạo hàm.
Bài toán tìm hàm y thỏa (1) hoặc (2) với điều kiện
ban đầu
y(x0) = y0
Gọi là bài toán Cauchy.


MỘT SỐ DẠNG PTVP CẤP 1
• Phương trình tách biến
• Phương trình đẳng cấp
• Phương trình tuyến tính cấp 1
• Phương trình vi phân toàn phần
• Phương trình Bernoulli.


PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BiẾN
Phương trình có thể tách y và x về 2 vế khác
nhau gọi là phương trình tách biến.
f(y) dy = g(x) dx
Phương pháp giải: tích phân 2 vế
Các dạng có thể gặp:
1. f(y) y’ = g(x)
2. y’ = f(y)g(x)
3. f1(y)g1(x) y’ = f2(y)g2(x)


Ví dụ

3y2y’ = 2x

(1)

y(0) = 1

(2)

2

(1) ⇔ 3y dy = 2 xdx
⇔ ∫ 3y dy = ∫ 2 xdx
2

3

2

⇔ y = x + C (3)

( tích phân tổng quát )

Thay x = 0, y = 1 vào TPTQ ⇒ C = 1
Vậy nghiệm của (1) và (2) là:

3

2

y= x +1

Hoặc tích phân riêng là: y3 = x2 + 1


xy’ = y (1)
1. y = 0 là 1 nghiệm của pt
2. y ≠ 0: chia 2 vế cho xy (không xét TH x = 0)

dy dx
(1) ⇔
=
⇔ ln y = ln x + c
y x
⇔ ln y = ln x + ln c1 ,

c1 ≠ 0

⇔ y = c1x

⇔ y = Cx,

C≠0

y = 0 là trường hợp C = 0 trong nghiệm tổng quát


y’ = 3x2y, y(0) = 2
Hàm y = 0 không thỏa đk ban đầu nên không xét

dy
dy
2
y' = 3 x y ⇔
= 3 x dx ⇔ ∫ = ∫ 3 x2 dx
y
y
2

3

⇔ ln y = x + c
x3 + c

⇔ y=e

c x3

=ee

x3

⇔ y = Ce ,
x = 0, y = 2 ⇒ C = 2 ⇒

C≠0
x3

y = 2e


Ví dụ
y’ – xy2 = 2xy

⇔ y’ = xy2 + 2xy = xy(y + 2) (1)

dy
1 1
1 
(1) ⇒
= xdx ⇒ ∫  −
dy = ∫ xdx
÷
y( y + 2)
2  y y+ 2 
y
2
⇒ ln
= x +c
y+ 2
y
x2

= Ce
y+ 2


DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN
y’ = f(ax + by + c)
Vd: y’ = (4x + y – 1)2
Pt trở thành

Đặt u = ax + by +c

u = 4 x + y − 1 ⇒ u' = 4 + y'

du
u'− 4 = u ⇒ 2
= dx
u +4
1
u
⇒ arctan = x + c
2
2
4x + y− 1
⇔ arctan
= 2x + C
2
2


DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN
Vd:

3y − 3x − 1
y′ =
2y − 2 x

Đổi biến:

u = y− x

Pt trở thành:

3u − 1
u− 1
u'+ 1 =
⇒ u' =
2u
2u
udu dx

=
u− 1 2

x
⇒ u + ln u − 1 = + C
2


PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

y
y

y ′ = f  ÷ Đổi biến: u =
x
x
Vd:

2

xyy ' = x − xy + y

y
u = ⇒ y = ux
x

2

x
y
⇒ y ' = −1+
y
x

⇒ y ' = u 'x + u

1
Pt trở thành: u ' x + u = − 1 + u
u
1− u
⇒ u'x =
u
⇒ u + ln|u-1| = −ln|x| + C

Hay: y = ux


PT ĐƯA VỀ ĐẲNG CẤP

 ax + by + c  a b
y′ = f 
≠0
÷
 a1x + b1y + c1  a1 b1

đưa về tách
biến

Bước 1: giải hệ pt

 ax

a1x

+ by
+ b1y

+ c = 0
+ c1 = 0

Với cặp nghiệm (x0, y0), đặt :

a b
=0
a1 b1

x = X + x0
y = Y + y0

X

Pt trở thành: Y ′ = g  ÷
Y 
Bước 2: giải pt đẳng cấp và trả về x, y


Ví dụ
Giải pt:

(2 x − 4 y + 6) + y'( x + y − 3) = 0

−2 x + 4 y − 6
⇒ y' =
x+ y− 3
−2 x + 4 y − 6 = 0
x = 1
⇔

x+ y− 3 = 0
y = 2
Đổi biến: x = X + 1, y = Y + 2, pt trở thành

−2( X + 1) + 4(Y + 2) − 6
−2 X + 4Y
Y'=
⇔Y'=
X +1+ Y + 2 − 3
X+Y


−2 X + 4Y
Y'=
X+Y

Y
−2 + 4
X
⇒Y'=
Y
1+
X

Đổi biến: Y = UX ⇒ Y’ = U’X + U
2

−2 + 4U
−U + 3U − 2
U 'X +U =
⇒U 'X =
1+ U
1+U
(U + 1)dU
−dX
⇒ 2
=
X
U − 3U + 2


(U + 1)dU
− dX
=
X
U 2 − 3U + 2
2

3

⇒ − ln(U − 1) + ln U − 2 = − ln | X | + c
3

(U − 2) C

=
2
X
(U − 1)
3

⇒ (Y − 2 X) = C (Y − X)
(trả về x, y)

2


PT VI PHÂN TOÀN PHẦN

P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0

Dạng:
P′ = Q′
x
 y
U( x, y ) = C

Tích phân tổng quát:

Với U(x,y) cho bởi: (x0, y0) là điểm mà P, Q xác định
x

y

x0

y0

U( x, y ) = ∫ P(t, y 0 )dt + ∫ Q( x, t )dt
hay

x

y

x0

y0

U( x, y ) = ∫ P(t, y )dt + ∫ Q( x 0 , t )dt


Ví dụ
Giải pt:

(3x + 2 y )dx + (2 x − 9 y)dy = 0
P(x,y)

Q(x,y)

Py′ = 2 = Q′x
Chọn : ( x 0 , y 0 ) = (0,0)
x

y

x0

y0

x

y

0

0

U( x, y ) = ∫ P(t, y 0 )dt + ∫ Q( x, t )dt
= ∫ (3t + 0)dt + ∫ (2 x − 9t )dt


x

y

0

0

U( x, y ) = ∫ (3t + 0)dt + ∫ (2x − 9t )dt
3 2
9 2
= x + 2 xy − y
2
2
Vậy tích phân tổng quát là

3 2
9 2
U( x, y ) = x + 2 xy − y = C
2
2


Ví dụ

x
x

x


y
y
Giải pt:  x + e ÷dx + e  1 − ÷dy = 0
y

÷




P(x,y)

Q(x,y)

x
y

x
Py′ = − 2 e = Q′x
y
Chọn :

( x 0 , y 0 ) = (0,1)
x

y

x0

y0

U( x, y ) = ∫ P(t, y)dt + ∫ Q( x 0 , t )dt


x
x

x


y
y
 x + e ÷dx + e 1 − ÷dy = 0
y

÷




Tích phân tổng quát:
x

y

U( x, y ) = ∫ P(t, y)dt + ∫ Q(0, t )dt = C
0

(
0
x

⇔ ∫ t+e

1

t/y

) dt + ∫1 1.dt = C
y

x2
x/y

+ y e −1 + y −1 = C
2

(

)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×