Tải bản đầy đủ

Hệ phương trình vi phân cấp 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1


ĐỊNH NGHĨA
F1(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = 0
Hệ tổng quát

….
Fn(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = 0
x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn)

Hệ chính tắc

….
xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn)

t : biến
x1, x2 , …, xn : ẩn hàm


BÀI TOÁN CAUCHY

Tìm nghiệm hệ
x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn)
………………………
xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn)
x1(t0) = α1
Thỏa điều kiện

…………..

xn(t0) = αn
Hệ n ptvp cấp 1 tương đương 1 ptvp cấp n nên
hệ nghiệm có n hằng số tự do.


PHƯƠNG PHÁP KHỬ
B1: xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước.
B2: giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1)
hàm
Vd:

 x ' = x '(t ) = 2 y + e t

t
 y ' = y '(t ) = − x + 3y − e

(1)
(2)

 y′′ = − x '+ 3y '− e t
 y′′ = −2 y − e t + 3y '− e t (3)
⇒
⇒
t
t
 x ' = 2 y + e
 x ' = 2y + e


(3) ⇔ y "− 3y '+ 2 y = −2e
t


t

Tt cấp 2 hệ số hằng

2t

⇔ y = C1e + C2e + 2te

t

(2) ⇒ x = − y '+ 3y − e t
t

= − C1e − 2C2e

2t

t

t

2t

t

−2(t + 1)e + 3(C1e + C2e + 2te ) − e
t

2t

= 2C1e + C2e + (4t − 3)e
 x = 2C1et + C2e 2 t + (4t − 3)e t

t
2t
t
 y = C1e + C2e + 2te

t

t


Cách khử cho hệ 2 pt (tuyến tính)

 x ′ = a1x + b1y + f1 (t )

 y ′ = a2 x + b2 y + f2 (t )

(1)
(2)

1. Lấy đạo hàm pt (1) theo t được (3)
2. Thay y’ từ pt (2) vào (3) được (4)
3. Rút y từ (1) thay vào (4)
4. Pt kết quả là pt cấp 2 theo ẩn hàm x và biến t
Nếu xuất phát từ pt (2), ta có pt cấp 2 theo y


HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG
X’(t) = AX(t) + F(t)

 x1′ (t ) 
 M ÷

÷
 x′ ( t ) ÷
 n 

 x1 (t ) 
 M ÷

÷
 x (t) ÷
 n 

 f1 (t ) 
 M÷

÷
 f (t) ÷
n 

(Hệ ẩn hàm )

 a11 L
A =L L

a
 n1 L

a1n 
L ÷: ma traä
n vuoâ
ng caá
pn
÷
ann ÷



Ví dụ

 x ' = x '(t ) = 2 y + e t
1/ 
t
y
'
=
y
'(
t
)
=

x
+
3
y

e

 x(t ) 
X( t ) = 
÷
y
(
t
)


 et 
F( t ) = 
 −e t ÷
÷



 0 2
A =
÷

1
3




 x ' = x + y + 2z + t + sin t

2
2 / y ' = 2x + 4y + z + t

t
z
'
=
3
y

2
z
+
e
− ln t

 t + sin t 
1 1 2 

÷
2

÷
⇔ X ( t ) = 2 4 1 X( t ) +  t
,
÷

÷
 0 3 −2 ÷
 et − ln t ÷




 x(t ) 

÷
X( t ) = y ( t )

÷
 z( t ) ÷




PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT
A chéo hóa được
X’ = AX + F(t)
⇔ X’ = PDP-1X + F(t)

( ⇔ ∃ P: P-1AP = D (chéo) )

Đặt Y = P-1X:
⇔ P-1X’ = DP-1X + P-1F(t)

⇔ Y’ = DY + G(t)

 y1′  λ1 0 K 0   y1   g1 (t ) 
 y′   0 λ K 0   y   g ( t ) 
2
 2=
 2 +  2 
..... .....................  ....  ... 
 ′ 
  

 yn   0 0 K λn   yn   gn (t ) 


 y1′  λ1 0 K 0   y1   g1 (t ) 
 y′   0 λ K 0   y   g ( t ) 
2
 2=
 2 +  2 
..... .....................  ....  ... 
 ′  
  

 yn   0 0 K λn   yn   gn (t ) 
 y1′ (t ) = λ1y1 (t ) + g1 (t )
 y′ (t ) = λ y (t ) + g (t )
 2
2 2
2
⇔
..................................
 y′n (t ) = λn yn (t ) + gn (t )
X = PY

Hệ n ptvp tuyến tính
cấp 1
giải
Y


 x1′ = 2 x 2 + et
(1) 
t
 x′2 = − x1 + 3x 2 − e
 0 2
A =
,
÷
 −1 3 
Chéo hóa A

 et 
F( t ) = 
÷
 −e t ÷



−1
1 0
 2 1
−1  1
, P =
P=
, D=
,
÷
÷
÷
0 2
 1 1
 −1 2 
 y1 
−1  x1 
Y = P X ⇔  ÷= P  ÷
 y2 
 x2 
−1


t  
t 

2e
 1 −1 e
−1
P F( t ) = 
=
 t ÷
÷
÷
 −3et ÷
 −1 2   −e ÷
 

−1

(1) ⇔ Y′ = DY + P F(t )
t 


y
y
1
0
2
e
 1 
 1 
⇔  ÷= 
+
÷
÷

÷
t

÷

y
y
0
2
  2   −3e 
 2 

 y1′ = y1 + 2et
⇔
t

 y 2 = 2 y 2 − 3e

 y1 = 2tet + C1e t
⇔
t
2t
y
=
3
e
+
C
e
 2
2


 y1 = 2tet + C1e t
⇔
t
2t
 y 2 = 3e + C2e
t
t 

 2 1 2te + C1e
X = PY = 
 t
÷
÷
 1 1  3e + C2e2 t ÷


 2C1et + C2e 2 t + 4te t + 3e t 
=
÷
t
2
t
t
t
 C e + C e + 2te + 3e ÷
 1

2

Vậy nghiệm hệ đã cho là:

 x1 (t ) = 2C1e t + C2e 2 t + 4te t + 3e t

t
2t
t
t
 x 2 (t ) = C1e + C2e + 2te + 3e


PPTRỊ RIÊNG TÌM NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT
X’(t) = AX(t)

⇔ Y’ = DY

 y1 '   λ1 0 K 0   y1 
y '  0 λ K 0  y 
2
 2 =
 2
.....  .....................  .... 
  
 
 y n '  0 0 K λn   y n 

 y1 '(t ) = λ1y1 (t )
 y '(t ) = λ y (t )
 2
2 2
⇔
........................
 yn '(t ) = λn yn (t )


y1 '(t ) = 1y1 (t )
y '(t ) = y (t )
2
2 2

........................
yn '(t ) = n yn (t )
n

y1 ( t ) = c1e1t

2 t
y 2 ( t ) = c 2e

....................

n t
y n ( t ) = c ne

X = PY = c k e Pk

{ Xk = e

k =1

k t

k t

(Pk l ct th k ca P)

}

Pk , k = 1,.., n :

heọnghieọ
mủltt cuỷ
a heọthua
n nhaỏ
t


Định lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A có n giá trị riêng
thực λ1, λ2 … λn (kể cả trị riêng bội), và n vector
riêng P1, P2 , … , Pn độc lập tuyến tính
⇒ Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất:
n

X ( t ) = [ x1 ( t ) , x 2 ( t ) , K , xn ( t ) ] = ∑ c k e Pk
T

k =1

λk t


Vd:

 x1′ = x1 + x 2 + 2x 3
1 1 2

 x′2 = x1 + x 2 + 2x 3 ⇔ X′ =  1 1 2 ÷X

÷
 x′ = 2 x + 2 x + 4 x
 2 2 4÷
 3
1
2
3



1− λ
1
A − λI = 1
1− λ
2
λ1 = 0
⇔
λ2 = 6

2

2
2
4−λ

A
2

= λ (6 − λ ) = 0


 1 1 2   p1 

÷

÷

1
1
2
p
=0
( A − λ1I)P = 0
2

÷ ÷
 2 2 4 ÷ p ÷

 3 
 1
 2
Chọn vector riêng: P1 =  −1÷, P2 =  0 ÷
 ÷
 ÷
 0÷
 −1÷
 
 
1 2   p1 
 −5

÷

÷
( A − λ2I)P = 0 ⇔ 1 −5 2 p2 = 0

÷ ÷
 2 2 −2 ÷ p ÷
1


 3 
Chọn VTR:
P3 =  1 ÷
 ÷
 2÷
 


λ1t

λ1t

λ2 t

X1 = e P1, X2 = e P2 , X3 = e P3 = e6 tP2
3

⇒ X = ∑ Ck Xk
k =1

 1
 2
1
0t 
0t 
6t  ÷
÷
÷
= C1e −1 + C2e
0 + C3e 1
 ÷
 ÷
 ÷
 0÷
 −1÷
 2÷
 
 
 

6t 

 x1  C1 + 2C2 + C3e

÷
6t

÷
⇔ x 2 =  −C1 + C3e
÷
 ÷
 x ÷ 
6t ÷
÷
 3   −C2 + 2C3e



Cấu trúc nghiệm hệ tt không thuần nhất

X = X0 + Xr

X0 : nghiệm tổng quát hệ pt thuần
nhất
X’(t) = AX(t) (1)
Xr : nghiệm riêng hệ pt không thuần
nhất

Cấu trúc nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất
X0 = C1X1 + C2X2 + …+ CnXn
{ Xk , k = 1, ..,n }: hệ nghiệm độc lập tuyến tính của (1)


PP biến thiên hằng số tìm Xr
Xr = C1(t)X1 + …+ Cn(t)Xn
Ci tìm từ hệ pt:

C’1(t)X1 + …+ C’n(t)Xn = F(t)


Ví dụ

 x1′ = 2 x 2 + et
(1) 
t
 x′2 = − x1 + 3x 2 − e
Hệ thuần nhất:

 x1′ = 2 x 2
(2) 
 x′2 = − x1 + 3x 2

 0 2
A =
,
÷
 −1 3 
 et 
F( t ) = 
 −e t ÷
÷



Trị riêng và VTR của A:

 2
 1
λ1 = 1, P1 =  ÷, λ1 = 2, P2 =  ÷,
 1
1


Các nghiệm đltt của hệ thuần nhất
t  2

2 t  1

X1 = e  ÷, X 2 = e  ÷
1
 1
Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất
t  2

2 t  1

X0 = C1X1 + C2 X2 = C1e  ÷+ C2e  ÷
1
 1
Tìm Xr bằng pp biến thiên hằng số:

Trong X0 xem C1 và C2 là các hàm cố theo t


Tìm C1 và C2 từ hệ:
C’1(t)X1 + …+ C’n(t)Xn = F(t)
t 

e
t  2
2 t 1
⇔ C1′ e  ÷+ C′2e  ÷ = 
÷
1
1  −et ÷


C1′ 2et + C′2e 2 t = e t
⇔
t
2t
t


C1e + C2e = −e
C1 (t ) = 2t
Chọn: 
−t
C2 (t ) = 3e

C1′ = 2
⇔
−t
C′2 = −3e


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×