Tải bản đầy đủ

Rèn kĩ năng tính nhanh, tính nhẩm các phép tính về phân số cho học sinh tham gia câu lạc bộ em yêu toán ở trường tiểu học hà ngọc

MỤC LỤC
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

NỘI DUNG

TRANG
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1
1. Lí do chọn đề tài
1
2. Mục đích nghiên cứu
1
3. Đối tượng nghiên cứu
1
4. Phương pháp nghiên cứu
2
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2
1. Cơ sở lí luận
2
2. Thực trạng việc dạy tính nhanh, tính nhẩm cho học
sinh tham gia câu lạc bộ em yêu toán ở trường tiểu học
3
Hà Ngọc
2.1. Thực trạng
3
2.2. Kết quả của thực trạng trên
3
3. Các giải pháp rèn kĩ năng tính nhanh, tính nhẩm các
phép tính về phân số cho học sinh tham gia câu lạc bộ
4
em yêu toán ở trường tiểu học Hà Ngọc.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
17
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
17
1. Kết luận
17
2. Kiến nghị
18
Tài liệu tham khảo
19
Danh mục các đề tài SKKN đã được hội đồng đánh giá
xếp loại cấp phòng GD&ĐT, cấp sở GD&ĐT và các
20

cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên.

I. PHẦN MỞ ĐẦU.
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Môn Toán có một vị trí rất quan trọng trong hệ thống các môn học ở
trường tiểu học. Kiến thức kỹ năng của môn Toán được ứng dụng nhiều vào đời
sống hằng ngày của con người. Mặt khác nó còn rất cần thiết đối với các môn
khác và còn là cơ sở để các em học tiếp môn Toán ở lớp trên.
Môn Toán ở tiểu học còn bồi dưỡng, phát triển trí tuệ, trí thông minh suy
nghĩ độc lập, linh hoạt và sáng tạo. Hình thành cho các em cách nhìn sự vật,


hiện tượng trong thực tiễn theo quan điểm duy vật biện chứng. Từ đó giúp các
em phát triển toàn diện. Môn Toán ở bậc tiểu học có rất nhiều nội dung, trong đó
có nội dung tính nhanh và tính nhẩm. Việc học cách tính nhanh và tính nhẩm
được đưa vào chương trình Toán ngay từ lớp 1 nhằm giúp các em có cách tính
toán tìm ra kết quả ngắn gọn nhất và nhanh nhất. Các em biết so sánh, đối chiếu
phân tích tổng hợp từ đó hình thành trí thông minh và năng lực sáng tạo. Việc
tính nhanh tính nhẩm có thể coi là con đường thuận lợi và nhanh nhất trong
trường hợp có thể và cho phép.
Tác dụng của việc tính nhanh tính nhẩm không những chỉ giải quyết các
vấn đề ngay trong môn Toán mà còn góp phần giúp học sinh học tốt các môn
học khác. Mặt khác từ việc trả lời ngắn gọn chính xác, rõ ràng các câu hỏi, cách
giải quyết các bài toán có lời văn....góp phần làm cho vốn từ ngữ của các em
thêm sinh động và trong sáng hơn.
Trong thực tế cuộc sống, việc vận dụng cách tính nhanh, tính nhẩm là rất
cần thiết và phù hợp vì không thể lúc nào ta cũng có thể đặt bút để tính toán
từng bước được. Chính vì vậy trong các đề thi học sinh giỏi ở tiểu học thường có
1, 2 câu tính nhanh. Các kiểu bài tính nhanh yêu cầu sử dụng kiến thức cơ bản
một cách hợp lý.
Trong các dạng bài tính nhanh thì dạng tính nhanh về phân số là khó nhất
vì nó không chỉ vừa vận dụng tính nhanh đối với số tự nhiên mà còn phải phân
tích rút gọn phân số nữa.
Với những lý do đã nêu ở trên, tôi quyết định chọn đề tài: Rèn kỹ năng
tính nhanh, tính nhẩm các phép tính về phân số cho học sinh tham gia câu
lạc bộ "Em yêu toán’’ ở trường tiểu học Hà Ngọc làm nội dung nghiên cứu.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích nêu ra những biện pháp
đã làm để đúc rút kinh nghiệm cho bản thân mình trong quá trình giảng dạy
những học sinh tham gia câu lạc bộ "Em yêu toán” phần tính nhanh, tính nhẩm
phân số đồng thời chia sẻ với đồng nghiệp những việc mình đã làm nhằm nâng
cao hiệu quả dạy học môn toán phần tính nhanh, tính nhẩm phân số cho học sinh
tham gia câu lạc bộ “Em yêu toán” của trường tiểu học Hà Ngọc. Đồng thời
nhận được những lời góp ý từ cán bộ quản lí nhà trường, hội đồng khoa học để
tôi phát huy những mặt tích cực, điều chỉnh những thiếu sót trong quá trình
giảng dạy.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Đề tài này nghiên cứu về vấn đề: Rèn các kỹ năng tính nhanh, tính nhẩm phân
số cho học sinh.
- 10 Học sinh có tố chất về môn toán tham gia câu lạc bộ “Em yêu toán” của
trường tiểu học Hà Ngọc.
4. PHƯƠNG PHÁP GHIÊN CỨU.
Để đạt hiệu quả trong quá trình nghiên cứu, tôi đã sử dụng những phương
pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.


- Phương pháp điều tra, quan sát.
- Phương pháp thử nghiệm.
- Phương pháp kiểm tra, thống kê kết quả.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN.
* Cơ sở lí luận về tâm sinh lí:
Môn Toán ở tiểu học có nhiệm vụ giúp học sinh thông qua các hoạt động
học tập toán để phát triển đúng mức một số khả năng trí tuệ và thao tác tư duy
quan trọng nhất như: so sánh, phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá,
cụ thể hoá, lập luận có căn cứ. Bước đầu làm quen với các chứng minh đơn
giản.... Nó còn giúp học sinh hình thành tác phong học tập và làm việc có suy
nghĩ, có kế hoạch, có kiểm tra, có tinh thần hợp tác, độc lập và sáng tạo, có ý chí
vượt khó khăn, cẩn thận kiên trì.
* Cơ sở lí luận về nội dung chương trình môn toán ở tiểu học:
Do đặc điểm của học sinh tiểu học, nội dung chương trình toán được cấu
trúc sắp xếp theo 5 mạch kiến thức cơ bản đồng tâm, càng lên cao kiến thức đó
càng đi sâu và củng cố mở rộng hơn. Do vậy vấn đề dạy tính nhanh, tính nhẩm ở
từng lớp cũng được nâng cao lên dần. Nội dung, chương trình SGK Toán 4 nói
chung học sinh đã được học đầy đủ các yêu cầu kiến thức của cấp học. Các em
được học và thực hiện thành thạo các phép tính về phân số... có khả năng vận
dụng tính nhanh, tính nhẩm vào tính giá trị biểu thức một cách nhanh gọn.
Tính nhanh, tính nhẩm ở tiểu học là vấn đề phức tạp đối với học sinh nó
đòi hỏi sự thông minh, sáng tạo và linh hoạt. Do đó không phải học sinh nào
cũng có thể thao tác nhanh được, nhất là đối với học sinh trung bình và học sinh
yếu.
Trong tính nhanh, tính nhẩm không phải các dạng ra đều khó đối với trình
độ của học sinh, nếu giáo viên hướng dẫn cách làm tốt hoặc học sinh thuộc qui
tắc, nắm được cách làm là từ đó có thể giải quyết được dễ dàng. Đối với các
dạng bài tính nhanh đòi hỏi mỗi học sinh phải nắm được, hiểu được bản chất và
giá trị riêng của mỗi bài toán. Tuy nhiên việc tính nhanh, tính nhẩm không phải
bài nào cũng có thể áp dụng các công thức đã học mà có những dạng là một dãy
abab abcabc
số có quy luật hay là số đặc biệt như
,
... Vì vậy giáo viên thường
cdcd mnpmnp
xuyên cho học sinh luyện tập thì khi nhìn qua là các em có thể đọc ngay được
kết quả hay hình dung được cách làm.
Việc dạy tính nhanh, tính nhẩm phân số cho học sinh là rất cần thiết và
quan trọng nhằm phục vụ tốt cho dạy môn Toán của giáo viên và việc nắm bắt
kiến thức một cách nhanh gọn, khoa học của học sinh tiểu học.
2. THỰC TRẠNG VIỆC DẠY TÍNH NHANH, TÍNH NHẨM CHO HỌC
SINH THAM GIA CÂU LẠC BỘ EM YÊU TOÁN Ở TRƯỜNG TIỂU
HỌC HÀ NGOC.


2.1. Thực trạng :
a) Nhà trường :
Ban giám hiệu luôn quan tâm và có hướng chỉ đạo đúng đắn về công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi để tham gia giao lưu các câu lạc bộ cấp huyện, cấp tỉnh.
Tuy nhiên, trong 2 năm học gần đây do Sở GD&ĐT Thanh Hoá, PGD&ĐT Hà
Trung không tổ chức thi giao lưu cấp huyện nên nhà trường cũng có phần chưa
được quan tâm đúng mức.
Việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh có khả năng học tốt môn toán được
thực hiện ngay tại lớp, nhà trường không cử giáo viên dạy chuyên sâu. Chính vì
thế mà mỗi giáo viên đứng lớp phải dạy đủ 23 tiết theo với quy định, vừa phải lo
chất lượng đại trà vừa phải tham gia bồi dưỡng nên chất lượng mũi nhọn chưa
được đảm bảo.
Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tham gia câu lạc bộ còn số ít giáo viên
tham gia, chưa tạo thành phong trào chung cho toàn trường.
Giáo viên chưa được bồi dưỡng chuyên sâu về phương pháp bồi dưỡng
câu lạc bộ nên chưa có nhều kinh nghiệm. Việc bồi dưỡng chỉ mang tính chiến
lược.
Một số giáo viên chưa chú trọng bồi dưỡng học sinh, chưa thấy được vị trí
quan trọng của các bài toán về phân số, chính vì vậy khi dạy giáo viên không
mở rộng kiến thức cho học sinh nên học sinh không hệ thống được nội dung
kiến thức, không phân định được rõ dạng bài để khắc sâu cách giải.
b) Học sinh:
Các em chỉ có đầy đủ sách hướng dẫn học còn sách tham khảo thì rất ít
em có.
Các em nắm vững kiến thức cơ bản nhưng khi vận dụng vào giải toán
nâng cao thì còn hạn chế.
Khi học đến phần phân số các em thấy khó hơn học về số tự nhiên. Các
em dễ nhầm lẫn giữa thực hiện các phép tính như cộng các phân số với nhân các
phân số. Chính vì vậy, khi dạy các bài toán khó về phân số nhiều em thấy “sợ”
thậm chí hay bỏ cuộc.
Bên cạnh đó, trình độ dân trí chưa cao nên đa số phụ huynh không giúp
được con khi con có vướng mắc kiến thức lúc ở nhà.
2. 2. Kết quả của thực trạng:
Với 10 học sinh tham gia câu lạc bộ “Em yêu toán” của nhà trường năm
học 2016-2017 này, tôi đã cho các em khảo sát 3 bài toán dạng tính nhanh, tính
nhẩm. Kết quả khảo sát của các em như sau:
Tổng Điểm 9-10
Điểm 7-8
Điểm 5-6
Điểm < 5
Số
lượng
Tỉ
lệ
Số
lượng
Tỉ
lệ
Số
lượng
Tỉ
lệ
Số
lượng
Tỉ lệ
10 em
1 em
10%
2 em
20%
3 em
30%
4 em
40%
Từ những thực trạng nêu trên, là người trực tiếp tham gia phụ trách câu
lạc bộ “Em yêu toán” của nhà trường, tôi nhận thấy cần phải giúp học sinh học


tốt những kiến thức về phân số. Tôi đã nghiên cứu tài liệu để tìm ra cho mình
một số giải pháp để dạy cho học sinh làm tốt dạng toán về phân số.
Kiến thức về phân số rất nhiều nhưng tôi chỉ xin nêu một số kinh nghiệm
về "Tính nhanh, tính nhẩm các phép tính về phân số" cho học sinh.
3. CÁC GIẢI PHÁP RÈN KỸ NĂNG TÍNH NHANH, TÍNH NHẨM CÁC
PHÉP TÍNH VỀ PHÂN SỐ CHO HỌC SINH THAM GIA CÂU LẠC BỘ
EM YÊU TOÁN Ở TRƯỜNG TIỂU HỌC HÀ NGỌC.
Giải pháp 1: Giúp học sinh củng cố, khắc sâu, hệ thống hoá kiến thức đã
học về phân số.
Để học sinh nắm được kiến thức nâng cao, trước tiên các em phải nắm
được kiến thức cơ bản, sau đó nâng cao dần từ mức độ đơn giản, từng bước cho
các em làm quen với kiến thức nâng cao rồi tiến hành luyện tập, ôn tập thì giải
các bài toán nâng cao mới trở thành kỹ năng của các em được.
Với giải pháp này, từ 1 bài toán cụ thể, tôi dạy cho các em nắm được công
thức tổng quát để vận dụng vào giải các bài toán khác nhau.
Ví dụ một số tính chất cụ thể như sau:
- Phân số bằng nhau.

a c c a a c c a
+ = + ;
× = × (với b, d > 0) ( ¹ )
b d d b b d d b

- Tính chất giao hoán trong phép cộng (hoặc phép nhân) phân số:
a c e a e c
+ + = + +
(với b, g, d > 0) ( ¹ )
b d g b g d

a c e m a c e m a e c m a m c e
+ + + = + + +  = + + +  = + + + 
b d g n  b d   g n   b g   d n   b n   d g 
- Tính chất kết hợp trong phép cộng (hoặc phép nhân) phân số:

a c e a c e a c e
+ + =  +  + = +  +  ( ¹ )
b d g b d g b d g
Sách giáo khoa toán 4 ( ¹ )
Tính chất một số nhân với một tổng :

a  c e a c a e
× +  = × + ×
(¹)
b  d g  b d b g

v.v.v..
Còn rất nhiều kiến thức khác nữa nhưng trên đây tôi chỉ nêu một vài ví dụ để
minh chứng cho cách làm của mình.
Sau khi giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản rồi, tôi cho các em vận
dụng vào những bài tập từ dễ đến khó.
Ví dụ 1 : Tính nhanh :


3
4
5
1 3
5 4 1 8
5 1 1 5 (²)
+ + +
=  + + +  =
+
= + =
16 15 16 15  16 16   15 15  16 15 2 3 6
Ở ví dụ này nếu học sinh không nắm vững tính chất giao hoán của phép
cộng phân số thì học sinh sẽ làm theo cách qui đồng mẫu số các phân số thì bài
làm sẽ lâu, các số lớn dễ dẫn đến nhầm lẫn.
Ví dụ 2 : Tính :

75 18 19 1 13 3
(²)
+ +
+ +
+
100 21 32 4 32 21
Ta có :
Nên :

1
25
75 3
=
= )
(hoặc
100 4
4 100

75 18 19 25 13 3  75
25   18 3   19 13 
+
+
+
+
+
=
+
+ + + + 
100 21 32 100 32 21  100 100   21 21   32 32 

=
=

1

+

1

+

1

3

75 3
=
100 4
Ví dụ 2 có phần khó hơn ví dụ 1, các em phải nhận biết được cách đổi chỗ các

Ví dụ này còn có một cách khác như thay

số hạng và biết thay

1
25
75
3
=
=
hoặc
100 4
4 100

Giải pháp 2: Giúp học sinh phân thành các dạng toán điển hình. ( ³)
Khi phân thành các dạng toán điển hình để dạy, tôi cũng tiến hành từ dạng
dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Căn cứ vào mức độ tiếp thu của đối tượng
học sinh trường tiểu học Hà Ngọc, tôi thường phân thành các dạng như sau:
Tuyển chọn 400 bài toán lớp 5 ( ² )
Rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải toán cho học sinh tiểu học
( Quyển 2) ( ³)
- Tính tổng các phân số có tử số bằng nhau và có:
+ Mẫu số này gấp 2,3,4… lần mẫu số kia.
+ Mẫu số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
+ Mẫu số là tích của 2 số chẵn liên tiếp.
+ Mẫu số là tích của 2 số lẻ liên tiếp.
- Tử số bằng hiệu của 2 số tự nhiên của mẫu số đó (hoặc có thể phân tích phân
số thành hiệu 2 phân số)
- Các chữ số ở tử số và mẫu số được viết lặp lại theo một thứ tự nhất định.
- Phân số mà tử số và mẫu số đều là 1 biểu thức có nhiều phép tính.


- Chứng minh một dãy số bao gồm các phép tính về phân số không phải là số tự
nhiên.
- Phân tích số của tử số và mẫu số để tạo thành phân số có số của tử số giống số
của mẫu số.
- So sánh một dãy số bao gồm các phép tính về phân số với một số tự nhiên.
Giải pháp 3: Rèn kĩ năng tính nhanh, tính nhẩm một số dạng toán điển
hình cho học sinh tham gia câu lạc bộ “Em yêu toán”.
Với từng dạng bài cụ thể, tôi thường tiến hành như sau:
Dạng 1: Tính tổng các phân số có tử số bằng nhau và có mẫu số đứng trước
gấp 2,3 hoặc 4 lần mẫu số đứng sau.
1 1 1 1 1
+
Ví dụ 1: Tính nhanh : + + +
( ³)
2 4 8 16 32
Với ví dụ đơn giản này, tôi cho học sinh nhận xét để nêu được quy luật
của dãy số là: Các phân số đều có tử số bằng 1 và mẫu số của phân số sau gấp
đôi mẫu số của phân số liền trước.
Vậy: Các em có thể áp dụng kiến thức cơ bản để làm bài toán này được
không? Tôi thấy nhiều học sinh giơ tay xung phong, tôi cho một học sinh lên
trình bày. Các em có thể có cách làm như sau:
1 1 1 1 1 16 8 4 2 1 16+ 8 + 4 + 2 + 1 31
+ + + +
=
+
+
+
+
=
=
2 4 8 16 32 32 32 32 32 32
32
32
Như vậy là học sinh đã biết cách quy đồng mẫu số các phân số đã cho để
có cùng mẫu số là 32, rồi cộng các phân số đã quy đồng. Đối với học sinh tiểu
học thì đây cũng có thể gọi là cách tính nhanh. Tuy nhên, để phát triển trí thông
minh cho các em, tôi hướng dẫn học sinh trình bày theo các cách khác như sau:
1 1 1 1 1 1
1
31
+
= × (16+ 8 + 4 + 2 + 1) = × 31=
Cách 1: + + +
2 4 8 16 32 32
32
32
Sau khi học sinh đã tự làm được cách 1, tôi hướng dẫn học sinh nhận xét để làm
cách khác nhanh hơn.
Rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải toán cho học sinh tiểu học
( Quyển 2) ( ³)
Cách 2: Ta thấy:
1
1
= 1−
2
2
1 1 1
= −
4 2 4
1 1 1
= −
8 4 8


1 1 1
= −
16 8 16
1 1 1
= −
32 16 32
Nên:
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1 31
+ + + +
= 1− + − + − + − + −
= 1−
=
2 4 8 16 32
2 2 4 4 8 8 16 16 32
32 32

Cách 3: Ta thấy
1
1
= 1−
2
2
1 1
1
+ = 1−
2 4
4
1 1 1
1
+ + = 1−
2 4 8
8
1 1 1 1
1
+ + +
= 1−
2 4 8 16
16
1 1 1 1
1
1
31
+ + + +
= 1−
=
2 4 8 16 32
32
32

Cách 4:
Đặt

S =

1 1 1 1
1
+ + + +
2 4 8 16 32
1
2

1
4

1 1
1
+
)
8 16 32

S×2 = 2×( + + +
= 1+
1
2

1 1 1 1
+ + +
2 4 8 16

1
2

1
4

1
4

1
8

1 1
1
1
1 31
+ −
= 1−
=
8 16 16 32
32 32

S × 2 - S = 1− + − + − + −
S =

31
32

Với mỗi bài toán như vậy, tôi đưa ra nhiều cách giải khác nhau để hướng
dẫn các em, sau đó cho các em luyện tập với những ví dụ tương tự. Khi đã thuần
thục rồi, các em có thể chọn 1 trong các cách để giải bài toán.
* Biến đổi nâng cao hơn so với bài đã học.
Sau khi các em nắm chắc cách giải ở dạng toán này, tôi đưa ra cho các em
làm những bài ở dạng tổng quát hơn.
Ví dụ: Tính nhanh ( ³)
1 1 1 1
1
+ + + + ..... +
512
2 4 8 16

Ta thấy:


1
1
= 1−
2
2
1 1
1
+ = 1−
2 4
4
1 1 1
1
+ + = 1−
2 4 8
8
1 1 1 1
1
+ + +
= 1−
2 4 8 16
16

..............
Vậy:

1 1 1 1
1
1
511
+ + + + ..... +
=
= 1−
512
512 512
2 4 8 16

Trường hợp mẫu số đứng sau gấp 3 hoặc 4 lần mẫu số đứng trước. Tôi hướng
dẫn cho học sinh làm theo cách 4: (đặt S là dãy phân số đó, sau đó tìm S × 3, S ×
4, lấy S × 3 - S, hoặc S × 4 - S) là sẽ ra kết quả nhanh hơn.
Ví dụ: Tính nhanh
1 1 1
1
1
+ + +
+
( ³)
2 6 18 54 162

- Nhận thấy mẫu số của phân số đứng sau gấp 3 lần mẫu số của phân số đứng
trước. Ta đặt:
1 1 1
1
1
+ + +
+
2 6 18 54 162

S

=

S×3

= 3x( + +

S×3

=

1
2

1 1
1
1
+
+
)
6 18 54 162

3 1 1 1
1
+ + + +
2 2 6 18 54

S×3–S =

3 1 1 1 1 1 1
1
1
1
− + − + − + −
+

2 2 2 6 6 18 18 54 54 162

S×2

=

3
1
121

=
2 162
81

S

=

121
121
:2=
81
162

- Các ví dụ khác tôi hướng dẫn học sinh tiến hành tương tự, tôi thấy các em nắm
bài rất chắc.
Dạng 2: Tính tổng các phân số có tử số bằng nhau và có mẫu số là tích của
2 số tự nhiên liên tiếp.
1 1 1
1
Ví dụ 2: Tính nhanh : + + +
( ³)
2 6 12 20
Tôi cho học sinh nhận xét để nêu được quy luật của dãy số trên là: Các phân số
đều có tử số bằng 1 và mẫu số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.


Ta nhận thấy:

1
1
1 1
1
=
= − = 1−
2 1× 2 1 2
2
1
1
1 1
=
= −
6 2×3 2 3
1
1
1 1
=
= −
12 3 × 4 3 4

1
1
1 1
=
= −
20 4 × 5 4 5
1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
= 1− + − + − + −
Nên: + + +
2 6 12 20
2 2 3 3 4 4 5
1
4
= 1− =
5 5
Như vậy, đối với dạng toán có quy luật như trên ta có thể phân tích mỗi
phân số thành một phép trừ hai phân số. Sau đó viết lại biểu thức rồi tính kết quả
bằng cách trừ đi số đó rồi cộng với số đó. Kết quả còn lại số đầu tiên trừ đi số
cuối cùng.
Đối với dạng toán này, tôi nhấn mạnh cho học sinh: Khi các mẫu số được
phân tích thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì tử số bao giờ cũng bằng 1.
Nếu tử số là số khác thì phải biến đổi về dạng các tử số là 1.
Ví dụ: Tính nhanh:
5 5 5
5
5
5
+ + +
+
+
( ³)
2 6 12 20 30 42
1 1 1
1
1
1
= 5× ( + + + + + )
2 6 12 20 30 42

= 5× (

1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
)
1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6 × 7
1
2

1
2

1
3

1
3

= 5× ( 1 − + − + −

1 1 1 1 1 1 1
+ − + − + − )
4 4 5 5 6 6 7

1
7

= 5× ( 1 − )
= 5×

6
30
=
7
7

Sau khi học sinh hiểu và nắm được cách giải toán giáo viên có thể tăng
thêm các phân số theo qui luật trên.
* Biến đổi nâng cao hơn so với bài đã học:
Sau khi học sinh nắm được dạng toán 2, tôi ra các bài khác để học sinh
nhận ra bài đã học.
Ví dụ : Tính nhanh:


1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
a) 1 × + × + × + × + × + .... +
( ³)
2 2 3 3 4 4 5 5 6
9 × 10
1
1
1
1
b)
( ³)
+
+
+ ...... +
1× 2 2 × 3 3 × 4
99 × 100
Nếu như học sinh hiểu bài ở dạng 2 thì học sinh sẽ nhận ra ngay dạng toán
vừa học xong. Các em dễ dàng nhẩm được:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
a) 1 × + × + × + × + × + .... +
2 2 3 3 4 4 5 5 6
9 × 10
1
2

1
2

1
3

1
3

= 1− + − + −
=1−

b)

1 1 1 1 1
1 1
+ − + − + .... + −
4 4 5 5 6
9 10

1
9
=
10 10

1
1
1
1
+
+
+ ...... +
1× 2 2 × 3 3 × 4
99 × 100
1
2

1
2

1
3

1
3

= 1− + − + −
= 1−

1
1
1
+ .... +

4
99 100

1
99
=
100 100

* Phát huy trí thông minh của học sinh qua hệ thống bài tập nhẩm (nhẩm
nhanh)
Ví dụ:
1 1 1
a) 1 + + +
2 6 12
1 1 1
1
+
b) 2 + + +
2 6 12 20
1
2

1
6

c) 3 + + +

1
1
1
+
+ .... +
12 20
132

Muốn nhẩm nhanh được kết quả thì các em phải phải nắm vững các bài
toán quy luật ở dạng 2, đồng thời nhận ra được chỗ khác ở bài toán này là các số
đứng đầu dãy số không thuộc quy luật dãy số. Do đó các em sẽ nhẩm kết quả
của các số thuộc quy luật dãy số rồi cộng với số không thuộc quy luật. Học sinh
nhẩm ngay ra kết quả thì các em đã nắm bài tốt.
1 1 1
1 7
a) 1 + + +
= 1+ 1 − =
2 6 12
4 4
1 1 1
1 1 1 1 1
1 7
(Vì 1 + + + = 1 + 1 − + − + − = 1 + 1 − = )
2 2 3 3 4
4 4
2 6 12


1 14
=
5 5
1 47
c) 3 + 1− =
12 12
b) 2 + 1−

Dạng 3: Tính tổng các phân số có tử số bằng nhau và có mẫu số là tích của
2 số chẵn hoặc lẻ liên tiếp.
2 2
2
2
Ví dụ 1: Tính nhanh : + + +
(²)
3 15 35 63
Ta nhận thấy :
2
2
1
=
= 1−
3 1× 3
3
2
2
1 1
=
= −
15 3 × 5 3 5

2
2
1 1
=
= −
35 5 × 7 5 7

2
2
1 1
=
= −
63 7 × 9 7 9
2 2
2
2
1 1 1 1 1 1 1
+ +
+
= 1− + − + − + −
Nên :
3 15 35 63
3 3 5 5 7 7 9
1 8
= 1− =
9 9
Qua thực tế khi dạy dạng này, khi phân tích thành hiệu hai phân số, rất
nhiều em nhầm lẫn như sau:
Ví dụ :

2
2
2 2
=
= − . Chính vì thế, khi gặp dạng này tôi thường nhấn mạnh
15 3 × 5 3 5

cho các em nhớ từng bước:
Bước 1 : Phân tích mẫu số thành tích của hai số tự nhiên theo quy luật ( lúc này
tử số giữ nguyên)
Bước 2 : Phân tích thành hiệu của hai phân số ( lúc này tử số bằng 1)
Đối với dạng toán này, tôi nhấn mạnh cho học sinh: Khi các mẫu số được
phân tích thành tích của hai số chẵn hoặc hai số lẻ liên tiếp thì tử số bao giờ
cũng bằng 2. Nếu tử số là số khác thì phải biến đổi về dạng các tử số là 2.
1 1
1
1
Ví dụ 2: Tính nhanh : + + +
(²)
3 15 35 63
2
Ở ví dụ này học sinh phải biết nhân cả biểu thức với
để có tử số bằng 2:
2
2 1 1
1
1  1 2 2
2
2
× + +
+  = × + +
+ 
2  3 15 35 63  2  3 15 35 63 


1  1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 8 4
= ×  1 − + − + − + −  = × 1 −  = × =
2  3 3 5 5 7 7 9 2  9 2 9 9
Ví dụ 3: Tính nhanh:
4 4
4
4
(²)
+ +
+
3 15 35 63
Dạng bài tập này học sinh phải biết tách tử số thành 2 × 2 để có :
4 4 4
4
2× 2 2× 2 2× 2 2× 2
+ +
+
=
+
+
+
3 5 35 63
3
15
35
63
2
2
2 2
 1 1 1 1 1 1 1
+
+  = 2 × 1 − + − + − + − 
 3 15 35 63 
 3 3 5 5 7 7 9
8 16
 1
= 2 × 1 −  = 2 × =
9 9
 9

= 2× +

Như vậy với dạng toán nêu trên học sinh phải nắm vững qui luật của dãy
số đã cho từ đó vận dụng vào từng bài tập.
Ví dụ 4: Tính nhanh: ( ² )
1 1 1 1
1 2 1 1 1 1
1
+ + +
+
= ×( + + +
+
)
15 35 63 99 143 2 15 35 63 99 143
1  2
2
2
2
2 
= ×
+
+
+
+

2  3× 5 5× 7 7× 9 9× 11 11× 13
1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1  1 1  1 10 5
= × − + − + − + − + −  = × −  = ×
=
2  3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 2  3 13 2 39 39
Dạng 4: Các chữ số ở tử số và mẫu số được viết lặp lại theo một thứ tự nhất
định.
1313 373737 108108
Ví dụ 1:
(²)
×
×
1212 393939 109109
Giúp học sinh nhận xét các tử số và mẫu số là các số tự nhiên mà mỗi chữ
số được lặp lại theo thứ tự nhất định.
- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích các số ở tử số và mẫu số:
1313 = 13 × 101
1212 = 12 × 101
373737 = 37 × 10101
393939 = 39 × 10101
108108 = 108 × 1001
109109 = 109 × 1001
- Tiến hành làm bài:
1313 373737 108108 13 × 101 37 × 10101 108 × 1001
×
×
=
×
×
1212 393939 109109 12 × 101 39 × 10101 109 × 1001


=

13 37 108
1× 37× 9 37× 3 111
× ×
=
=
=
12 39 109 1× 3× 109 109 109

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau :

1  1111 1111 1111 1111 1111
×
+
+
+
+

11  1212 2020 3030 4242 5656

Tương tự ví dụ 1, tôi hướng dẫn học sinh tìm cách rút gọn các phân số
trong tổng bằng cách chia cả tử và mẫu số cho số tự nhiên nào thì lúc này các
em tìm ngay ra được là chia cả tử và mẫu số cho số tự nhiên 101 và lúc này bài
toán trở lại các dạng mà các em đã quen thuộc và giải một cách dễ dàng.
Ta có:
1  1111 1111 1111 1111 1111  1  11 11 11 11 11 
×
+
+
+
+
+ +
+ 
 = × +
11  1212 2020 3030 4242 5656  11  12 20 30 42 56 
1
1
1
1
1 
 1
= × 11 × 
+
+
+
+

11
 3× 4 4× 5 5× 6 6 × 7 7 ×8 

1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+
+
+
+
= − + − + − + − −
3× 4 4× 5 5× 6 6× 7 7× 8 3 4 4 5 5 6 6 7 8
1 1 5
= − =
3 8 24
Như vậy ở dạng toán này phải biết phân tích tử số, mẫu số thành tích của
2 số trong đó 1 số sẽ là số: 101 ; 10101 ; 1010101;..hoặc 1001;
1001001;...100010001;..
(Đã dạy học sinh ở bài rút gọn phân số)
Trong trường hợp các em không nhớ cách phân tích thành tích của hai số
thì tôi sẽ hướng dẫn các em một thủ thuật đó là: lấy tử hoặc mẫu của phân số
chia cho 1 cặp số tự nhiên lặp lại là ra số cần phân tích.
=

Ví dụ: Đối với phân số

213213213
, các em không biết phân tích thế nào, tôi
432432432

hướng dẫn học sinh như sau: Lấy 213213213 : 213 = 1001001
Vậy

213213213
213 × 1001001 213
=
=
432432432
432 × 1001001 432

Dạng 5: Phân số mà tử số và mẫu số đều là 1 biểu thức có nhiều phép tính.
Cùng với các dạng toán nêu trên, dạng toán này đòi hỏi sự vận dụng nhiều
kiến thức vào 1 bài toán yêu cầu học sinh phải nhận xét nhanh, biết phân tích số,
áp dụng các qui tắc các tích chất của số tự nhiên,...
Do tích chất phức tạp của tử số và mẫu số nên ở dạng toán này học sinh phải
nhớ được các dạng kiến thức cơ bản sau :
- Biết tìm ra qui luật của dãy số.
- Nhớ các dạng nhân nhẩm: 10; 100...;
- Nắm được cách rút gọn phân số.
Ví dụ : Tìm giá trị biểu thức sau bằng cách nhanh nhất :


2 × 317 × 7 + 14 × 352 + 4634
(³)
2 + 5 + 8 + ... + 65 − 597
* Xét tử số :
2 × 317 × 7 + 14 × 3520 + 4634 = 2 × 7 × 317 + 14 × 352 + 14 × 331
= 14 × 317 + 14 × 352 + 14 × 331 = 14 × (317 + 352 + 331)
14 × 1000 = 14000
* Xét mẫu số: Nhận thấy :
5-2=3
8 - 5 = 3 .............
Vậy qui luật của dãy số trên là mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng
trước nó cộng thêm 3.
Số số hạng của dãy là:
(65 - 2) : 3 + 1 = 22 (Số)
Nên: 2 + 5 + 3 +...+ 65 = (2 + 65) × 22 : 2 = 737
A=

14000
14000
=
= 100
737 − 597
140
Trên đây là một ví dụ cụ thể trong khi giải toán còn gặp rất nhiều dạng toán
này, mỗi dạng có một qui luật riêng chính vì vậy giáo viên cần phải giúp HS
nhận ra quy luật của bài tập để các em có thể vận dụng các kiến thức đã học vào
giải toán.
Dạng 6: Chứng minh một dãy số bao gồm các phép tính về phân số không
phải là số tự nhiên.
Ở dạng bài tập này, GV giúp HS nắm được cách làm bài so sánh dãy số
với 2 số tự nhiên liên tiếp; với 2 phân số ở trong khoảng 2 số tự nhiên liên tiếp.
1 1 1 1 1
Ví dụ : S = + + + + có phải là số tự nhiên không ? Vì sao ? ( ³ )
2 3 4 5 6
Để trả lời cho câu hỏi có phải là số tự nhiên không? ta phải tìm được kết
quả hoặc so sánh S với 2 số tự nhiên liên tiếp.
- Cách 1: Quy đồng mẫu số các phân số rồi tính kết quả và khi đã biết được kết
quả ta sẽ trả lời được câu hỏi của bài toán. Nhưng cách này với nhiều phân số
hơn sẽ như thế nào? Đó là sẽ tính toán lâu và rất phức tạp.
- Cách 2: HS vận dụng kiến thức về phép cộng, nhân, chia với:
+ Số chẵn - Số chẵn
+ Số lẻ - Số lẻ
+ Số lẻ - Số chẵn
Khi quy đồng mẫu số để tính S thì mẫu số chung là một số chẵn (Vì chẵn × lẻ ×
chẵn × lẻ × chẵn = chẵn )
1 1 1 1
Với mẫu số chung này thì ; ; ; sẽ là các phân số mà tử số là số chẵn,
2 3 5 6
1
chỉ có trở thành phân số mà tử số là lẻ. Vậy S là một phân số có tử số là số lẻ
4
và mẫu số là số chẵn nên S không phải là số tự nhiên (Vì số lẻ không chia hết
cho số chẵn).

Vậy giá trị của A là:


- Cách 3: So sánh với 2 số tự nhiên liên tiếp, hoặc phân số cùng mẫu số.
+ So sánh tổng của các phân số với số hạng của dãy nhân với phân số bé nhất.
+ So sánh tổng của các phân số với số hạng của dãy nhân với phân số lớn nhất.
Cụ thể :
1 1 1 1
< < <
Ta có
6 5 4 3
1 1 1 1
1 4 2
2 1
7
Nên + + + > 4 × = =
Vì vậy: S > + ⇒ S >
3 2
6
3 4 5 6
6 6 3
1 1 1 1
1 1 1 1
1 4
Mặt khác : > > >
Nên + + + < 4 × =
3 4 5 6
3 3
3 4 5 6
4 1
11
Vì vậy: S < + ⇒ S <
3 2
6
7
11

nên S không phải là số tự nhiên.
6
6
Học sinh nắm được 3 cách làm nêu trên thì chắc chắn các em sẽ có hứng
thú với cách làm 3 vì cách này tính toán rất nhẹ và phát huy trí thông minh của
các em hơn.
Dạng 7: Phân tích số của tử số và mẫu số để tạo thành phân số có số của tử
số giống số của mẫu số.
Khi làm bài tập này thì học sinh phải thấy được mối liên hệ giữa tử số và
mẫu số.
1995 × 1994 − 1
Ví dụ: Tính bằng cách hợp lí :
(³)
1993 × 1995 + 1994
Giáo viên giúp học sinh nhận thấy ở phép tính nhân của tử số và phép tính
nhân của mẫu số có 2 thừa số bằng nhau và một thừa số này lớn hơn một thừa số
kia 1 đơn vị.
Nên ta có thể làm như sau:
Cách 1:
1995× 1994− 1
1995× (1993+ 1) − 1 1995× 1993+ 1995− 1
=
=
1993× 1995+ 1994 1993× 1995+ 1994 1993× 1995+ 1994
1995× 1993+ 1994
=
=1
1993× 1995+ 1994
Cách 2:
1995 × 1994 − 1
1995 × 1994 − 1
1995 × 1994 − 1
=
=
1993 × 1995 + 1994 (1994 − 1) × 1995 + 1994 1994 × 1995 − 1995 + 1994
1995 × 1994 − 1
=
=1
1994 × 1995 − 1

Đối với dạng bài này, học sinh cần phải nắm vững và vận dụng thành thạo
quy tắc: “nhân một số với một tổng” . Như vậy đối với từng dạng toán cần phải
giúp học sinh phát hiện được cách làm của từng dạng, mỗi dạng có cách vận
dụng các kiến thức khác nhau vào để làm bài tập. Chính vì vậy đòi hỏi học sinh


cần phải sử dụng qui tắc, công thức, tính chất, phân tích số thành thạo, kĩ năng
nhận xét nhanh qua các dạng toán.
Dạng 8: So sánh một dãy số bao gồm các phép tính về phân số với một số tự
nhiên.
1 1 1 1 1
Ví dụ 1: S = + + + + . So sánh S với 1. ( ³ )
5 6 7 8 9
Ở dạng bài này tôi cho học sinh nhận xét xem mẫu số của các phân số
trong tổng có dạng như thế nào, từ đó nhận biết được giá trị các phân số sau so
với phân số trước như thế nào từ đó dễ dàng làm được dạng bài.
Nhận xét: Mẫu số của các phân số trong tổng là các số tự nhiên liên tiếp tăng
dần, giá trị các phân số sau nhỏ hơn phân số trước nên hiển nhiên ta có:
1 1 1 1 1
1
+ + + + < 5× = 1
5 6 7 8 9
5
Vậy S < 1
1 1 1
1 1
Ví dụ 2: ChoS = + + + ...+ +
(³)
5 6 7
18 19
So sánh S với 2.
Tương tự như ví dụ 1, tôi cho học sinh nhận xét rồi nhóm các phân số thành 2
nhóm, mỗi nhóm gồm các phân số có tổng bé hơn 1.
1 1 1 1 1
1
Ta thấy: + + + + < 5× = 1
5 6 7 8 9
5
1 1 1
1 1
1
+ +
+ ...+ + < 10× = 1
10 11 12
18 19
10
Vậy S < 2
1 1 1
1
Ví dụ 3: Cho S = 1+ + + + ...+ . So sánh S với 2. ( ³ )
3 6 10
45
Ở dạng bài tập này tôi hướng dẫn học sinh trước hết phải tính tổng S. Để
xuất hiện mẫu số là tích các thừa số tự nhiên liên tiếp ta nhân cả tử và mẫu của
từng phân số trong tổng với 2, ta có:
2 2
2 2
1
1
1 
 1
S = 1+ +
+ ...+
+
= 1+ 2 × 
+
+ ...+
+

6 12
72 90
8× 9 9× 10
 2× 3 3× 4
9
Tương tự dạng toán 2, dễ dàng tính được S = . Vậy S < 2.
5
Đối với dạng bài này, tôi hướng dẫn học sinh cần phải linh hoạt để nhận
dạng được bài toán, từ đó biết nhóm các đối tượng trong bài toán lại để so sánh
với một số tự nhiên cụ thể từ đó giải một cách dễ dàng.
Rõ ràng việc rèn luyện kĩ năng tính nhanh, tính nhẩm thành thạo rất có lợi
cho tư duy của học sinh và giúp học sinh làm các bài toán tốt hơn.
Giải pháp 4: Tổ chức cho học sinh làm các bài kiểm tra qua từng phần,
từng dạng để bổ sung kịp thời những thiếu sót cho học sinh.


Sau khi dạy xong từng dạng toán, tôi thường cho các em làm bài kiểm tra
để khắc sâu kiến thức cho các em và bổ sung những thiếu sót mà các em thường
mắc phải khi tính nhanh, tính nhẩm dạng phân số nhằm giúp các em phát triển
óc tư duy, sáng tạo. Từ đó các em yêu thích dạng toán hơn.
Giải pháp 5: Học tập kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi của các trường
bạn trong và ngoài huyện.
Ngoài việc nghiên cứu tài liệu, tôi thường xuyên trao đổi với những giáo
viên hay tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi ở các trường bạn để tìm hiểu cách
dạy hay, cách dạy mà học sinh dễ hiểu nhất nhằm nâng cao chất lượng học sinh
mũi nhọn do mình phụ trách.
Tôi thường xuyên tham khảo các đề thi của các trường bạn hoặc đề thi học
sinh giỏi trên mạng để các em được cọ sát.
4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Với sự cố gắng nỗ lực của bản thân, tôi đã dạy học sinh làm thành thạo
các dạng toán về tính nhanh, tính nhẩm phân số, mặc dù bài toán có biến đổi hơn
so với những ví dụ tôi đã nêu trong đề tài nhưng các em vẫn nhận ra và vận
dụng giải các bài tập.
Năm học 2016 - 2017 này, mặc dù không tổ chức Giao lưu câu lạc các
cấp, nhưng qua thực tế học tập và làm bài kiểm tra vừa qua tôi thấy các em nắm
phần phân số nói chung, phần tính nhanh phân số nói riêng rất vững. Điều đó
cho thấy tôi đã đi đúng hướng và đã có hiệu quả. Kết quả cụ thể như sau:
Tổng
10 em

Điểm 9-10

Điểm 7-8

Điểm 5-6

Điểm < 5

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

4 em

40%

4 em

40%

2 em

20%

0

0

III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN.
Trong quá trình dạy toán nói chung và bồi dưỡng học sinh tại câu lạc
bộ “Em yêu toán” nói riêng. Giáo viên cần lựa chọn các biện pháp dạy học phù
hợp với đối tượng học sinh của mình. Muốn truyền đạt cho học sinh nắm chắc
cách giải các bài toán về phân số, người giáo viên cần phải nghiên cứu tài liệu
để tìm ra các dạng bài tập theo nội dung kiến thức khác nhau một cách cụ thể,
sau đó sắp xếp các bài toán đó theo hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến
phức tạp.
Dạy các bài toán tính nhanh, tính nhẩm về phân số đòi hỏi học sinh phải
huy động, phối hợp nhiều nội dung kiến thức khác nhau về môn toán như các
dạng toán cơ bản, các tính chất của phép tính. Để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ,
người giáo viên phải phối hợp nhiều phương pháp trong giảng dạy đặc biệt coi
trọng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. Người giáo viên
chỉ là người gợi mở, dẫn dắt để học sinh tự tìm ra cách giải. Dạy cho học sinh
quan sát, phân tích các dữ kiện của đầu bài, tìm hiểu mối liên hệ giữa các dữ
kiện để tìm ra cách giải.


Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần quan tâm đến việc chấm, chữa
bài cho học sinh, tìm ra những hạn chế của các em để kịp thời bổ sung kiến thức.
Tóm lại: Nếu người giáo viên luôn chuyên tâm, trăn trở để nghiên cứu kĩ
bài dạy, tìm đọc sách tham khảo và sử dụng tài liệu thích hợp, chú trọng rèn kĩ
năng cho học sinh, tự ra đề thi sau mỗi dạng toán sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho
học sinh học tập và rèn luyện thì kết quả học tập của các em sẽ như mong muốn.
Với những kinh nghiệm đã nêu ở trên tôi đã thu được một số kết quả đáng
mừng. Tuy nhiên cũng không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Mong được
sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để kinh nghiệm của tôi ngày càng phong
phú hơn góp phần nâng cao hiệu quả trong quá trình bồi dưỡng kiến thức môn
toán tại câu lạc bộ trí tuệ tuổi thơ của nhà trường.
2. KIẾN NGHỊ.
a. Đối với nhà trường:
Nên thường xuyên tổ chức các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi để tất
cả cán bộ giáo viên trong trường có thể học hỏi kinh nghiệm từ các đồng nghiệp.
Mua thêm tài liệu nâng cao của môn toán cho giáo viên tham khảo.
b. Đối với giáo viên:
Không ngừng tự học, tự bồi dưỡng, nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm để
nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, nâng cao tay nghề cho bản thân.
Tích cực mạnh dạn đổi mới phương pháp, hình thức tổ chức dạy học. ứng
dụng công nghệ thông tin vào bài giảng nhằm thu hút học sinh học tập.
c. Đối với học sinh:
Nắm vững kiến thức cơ bản môn toán, nhớ được các kiến thức trọng tâm
mà giáo viên cung cấp. Tăng cường tự học, tự nghiên cứu tài liệu, sách tham
khảo để tăng thêm kiến thức cho bản thân.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Hà Ngọc, ngày 20 tháng 2 năm 2017
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép, coppi
nội dung của người khác

Doãn Thị Hoa

TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT
Tên tài liệu
1
Sách giáo khoa toán 4.

Tác giả
Đỗ Đình Hoan
( Chủ biên)

Nhà xuất bản
Nhà Xuất bản
Giáo dục và đào


2

Tuyển chọn 400 bài toán lớp 5

3

Rèn luyện và nâng cao kĩ năng
giải toán cho học sinh tiểu học
( Quyển 2)

tạo
Tô Hoàng Phong
Nhà Xuất bản
Huỳnh Minh Chiến Đà Nẳng
Trần Huỳnh Thống
Đỗ Như Thiên
Nhà Xuất bản
Giáo dục



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×