Tải bản đầy đủ

Chuyên đề Sử dụng công thức tính nhanh phần Dao dộng cơ ôn thi THPT QG môn Vật Lý

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

I.CÁC ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA DAO DỘNG CƠ
1. Dao động
Dao động là chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng.
Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau vật trở lại vị
trí và chiều chuyển động như cũ.
2. Dao động điều hòa
Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hoặc sin) của
thời gian nhân với
một hằng số.
Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin.
3. Các đại lượng đặc trưng của dao điều hoà
x : li độ của dao động, là độ lệch của vật so với VTCB.
A : biên độ của dao động, là giá trị cực đại của li độ, luôn dương.
(t +): là pha của dao động, cho biết trạng thái dao động của vật tại thời điểm t.
: là pha ban đầu, cho biết trạng thái ban đầu của vật.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net


T: 098 1821 807

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 : tần số góc của dao động, là tốc độ biến đổi của góc pha.
4. Biễu diễn dao động điều hoà bằng vectơ quay


Độ dài đại số của hình chiếu trên trục Ox của vectơ quay OM biễu diễn dao động điều hoà
chính là li độ x của dao động.
5. Hệ dao động
Hệ dao động là hệ gồm vật dao động cùng với vật tác dụng lực kéo về lên vật dao động .
Dao động của hệ xảy ra dưới tác dụng chỉ của nội lực thì dao động tự do hoặc dao động
riêng .
Mọi dao tự do của hệ dao động đều có một tần số góc xác định, gọi là tần số góc riêng của
vật hay hệ vật.

II. BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC TÍNH NHANH

TT

Tên

Công thức

Phạm vi sử dụng

Ghi chú

công
thức
I) Phương trình dao động và các công thức liên quan

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net


T: 098 1821 807

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1

Phương

x”+ 2x = 0

trình

Áp dụng cho dao

[x]: m, cm hoặc

động điều hoà

rad

động lực

[]: rad/s

học
2

Phương

xmax = A (biên

x = Acos (t +)

trình dao

dương)

động

xmin = -A (biên
âm)
x

=0

(VTCB)

Khi x =  A thì v =
3

Vận tốc
trong
dao động
điều hoà

v = x’

Nhận xét: vận tốc v

= -Asin (t+)

sớm pha

=Acos(t++

0



so với li độ Khi x = 0 thì  v 
2
 


)
2

=A
vmax = A khi v>0
(vật chuyển động
theo chiều dương
qua vị trí cân
bằng)
vmin = -A khi
v<0 (vật chuyển
động theo chiều
âm qua vị trí cân
bằng)

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Nhận xét:
4

Gia tốc
trong
dao động

a= v’=x”

Khi x = 0 thì a =0

= -2 Acos(t+)

Gia tốc ngược pha với Khi x =  A thì
li độ

điều hoà

amax = 2A
amax = 2A khi x =

Véc tơ gia tốc của vật

-A

dao động điều hòa

amin = -2A khi x =

luôn hướng về vị trí

A

cân bằng và tỉ lệ với
độ lớn của li độ

Biên độ:
5

Một số
hệ thức
độc lập

A2 = x2 +

Tốc độ góc:

với thời
gian

v 2 a2 v 2
=
+
2 4 2

2 =

Sử dụng tìm nhanh
các đại lượng của dao
động điều hoà

v2
A2-x2

Vận tốc:
v2 = ( A2 - x2 )2
Tần số
f2 =

W: www.hoc247.net

2
v2
=
42 42(A2-x2)

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

6

Chu kì
Chu kì và
tần số
của dao

T=

[T]: s

2


[f] : Hz
Tần số

động
điều hoà

f=

1 
=
T 2

II) Con lắc lò xo
Cấu trúc:

Con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, một đầu

gắn cố định, đầu kia gắn với vật nặng khối lượng m.
Con lắc lò xo là một hệ dao động điều hòa (nếu đủ các ĐK).

1

Phương

x = Acos (t +)

trình dao

Điều kiện DĐĐH:
Bỏ qua ma sát, lực

động

cản và vật dao động
trong giới hạn đàn
hồi

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2

tốc độ
góc, chu

Tốc độ góc: =

kì, tần số

k
m

Chu kì: T = 2

m
k

1
2

k
m

Tần số: f =

3
Năng
lượng
của vật
trong
dao động
điều hoà

Động năng

- Động năng và
thế năng luôn

1
Wđ = m2 A2 sin2(t+)
2

biến đổi tuần
hoàn theo thời

Thế năng

gian với chu kì
T
T’= ; f’=2f ; ’=
2

1
Wt = m2 A2 cos2 (t+)
2

2

Cơ năng

- Cơ năng của con

1
W= Wđ +Wt = k A2
2

lắc lò xo luôn bảo
toàn và tỉ lệ với
bình phương biên
độ dao động.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

A = xmax =
4

vmax


Cách tìm
biên độ
dao động
của con
lắc lò xo

=

Fmax
=
k

2W
k

F max : lực kéo về
cực đại

1
= ( lmax -lmin)
2

W

: cơ năng

của con lắc lò xo.
lmax ,lmin là chiều
dài cực đại, cực
tiểu của lò xo.

5

Lực kéo

F = -kx = -m2x

Đối với con lắc lò xo

về ( lực

nằm ngang thì lực

phục

kéo về cũng chính là

hồi)

lực đàn hồi (điều này

- Đặc điểm:
Luôn hướng về vị
trí cân bằng.

không đúng với

Biến thiên điều

trường hợp khác)

hoà cùng tần số
với li độ.
- Lưu ý:
Lực kéo về của
con lắc lò xo tỉ lệ
thuận với độ cứng
của lò xo, không
phụ
thuộc khối lượng
vật

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

6

Lực đàn

*Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn

- Để xác định lực

hồi

hồi là một (vì tại VTCB lò xo không biến dạng) (1 )

đàn hồi cực đại,
cực tiểu, ta cần
phân biệt được

*Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng lực đàn hồi và lực
nghiêng(2)

phục hồi.

- Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:
Fđh = kl + x với chiều dương hướng xuống
Fđh = kl - x với chiều dương hướng lên

- Đối với TH(2), ở
VTCB lò xo bị biến
dạng “dãn xuống”
một đoạn l.

- Lực đàn hồi cực đại (lực kéo):
FMax = k(l + A) (lúc vật ở vị trí thấp nhất)

- Lực đàn hồi kéo
và lực đàn hồi
đẩy:

- Lực đàn hồi cực tiểu:
+ Khi lò xo bị
+ Nếu A < l , khi đó: FMin = k(l - A)

biến dạng nén thì

+ Nếu A ≥ l , khi đó:

lực đàn hồi đóng
vai trò là lực đàn

FMin = 0 (lúc lò xo không biến dạng)
Lực đẩy đàn hồi cực đại: FĐmax = k(A - l)

hồi đẩy.
+ Khi lò xo biến
dạng dãn thì lực

(lúc vật ở vị trí cao nhất).

đàn hồi đóng vai
trò là lực đàn hồi
kéo.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

7

Độ biến
dạng của
lò xo

*Độ biến dạng của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB:
l 

l
mg
 T  2
k
g

*Độ biến dạng của lò xo khi vật ở
VTCB với con lắc lò xo nằm trên mặt
phẳng nghiêng có góc nghiêng α:

l

l
mg sin 
 T  2
l 
k
g sin 

+ Chiều dài lò xo tại VTCB: lCB = l0 +

l (l0 là chiều dài tự nhiên)

-A
-A

nén

l

giãn

O

O

giãn

A
x
Hình a (A < l)

A
x
Hình b (A > l)

+ Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất): lMin = l0 + l – A
+ Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất): lMax = l0 + l + A

 lCB = (lMin + lMax)/2

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

8

Xác định
thời gian
nén, dãn
Khi A > l (Với Ox

trong
một chu

-A



Nén

l

0

giãn

hướng xuống).

A

x

Xét trong một chu
kì(một dao động):
Hình vẽ thể hiện góc quét lò xo
nén và giãn trong 1 chu kỳ (Ox
hướng xuống)

- Thời gian lò xo
nén tương ứng đi
từ M1  M2

-Thời gian lò xo
giãn tương ứng đi
từ M2  M1

9

Cắt lò xo

Một lò xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các lò xo có độ cứng k1,
k2, …
và chiều dài tương ứng là l1, l2, … thì có: kl = k1l1 = k2l2 = …
- Nối tiếp

1 1 1
   ...  cùng treo một vật khối lượng như nhau thì: T2 =
k k1 k2

T12 + T22
10

Ghép lò
xo

W: www.hoc247.net

- Song song: k = k1 + k2 + …  cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:
1
1
1
 2  2  ...
2
T
T1 T2
F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 10


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

11

Tìm chu

Gắn lò xo k vào vật khối lượng m1 được chu kỳ T1, vào vật khối lượng m2

kì dao

được T2, vào vật khối lượng m1+m2 được chu kỳ T3, vào vật khối lượng m1

động

– m2 (m1 > m2) được chu kỳ T4.
Thì ta có:
T32  T12  T22
T42  T12  T22

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 11


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

12

Điều
kiện của
biên độ
dao động

* Vật m1 được đặt trên vật m2 dao động

m1
m2

điều hoà theo phương thẳng đứng. Để m1 luôn
nằm yên trên m2 trong quá trình dao động thì:
A

g



2



(m1  m2 ) g
k

* Vật m1 và m2 được gắn hai đầu của lò xo

m1

đặt thẳng đứng , m1 d đ đ h . Để m2 luôn nằm
m2

yên trên mặt sàn trong quá trình m1 dao động thì :
A

g



2



(m1  m2 ) g
k

* Vật m1 đặt trên vật m2 d đ đ h theo phương ngang.Hệ số ma sát giữa m1
và m2 là  , bỏ qua masát giữa m2 với mặt sàn.

Để m1 không trượt trên m2 trong quá trình dao động
Thì : A  
13

Con lắc
lò xo
nằm
ngang
trong

g



2



(m1  m2 ) g
k

VTCB mới:


E nằm ngang, có tác

k.lo = |q| E
 lo =

|q|E
k



Fđ = q E

dụng kéo( nén) lò xo.
(=A)

điện
trường
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 12


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

- Là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian (năng -Đây là phần lý
14

Dao

lượng giảm dần theo thời gian).

thuyết cho dao

động tắt

- Nguyên nhân: Do môi trường có độ nhớt (có ma sát,

dần

lực cản) làm tiêu hao năng lượng của hệ.

động tắt dần.

- Nếu vật(hệ vật)dao động điều hoà với tần số góc 0 -Các công thức để
chịu tác dụng của lực cản nhỏ thì dao động của vật( hệ giải quyết những
vật) ấy là dao động tắt dần chậm (coi gần đúng dạng bài toán dao động
tắt dần sẽ được

sin với tần số góc 0 )
- Nếu coi môi trường tạo nên lực cản thuộc về hệ dao
động thì dao động tắt dần có thể coi là dao động tự do.

soạn riêng trong
một chuyên mục
ở dưới đây.

III) Con lắc vật lý
Cấu trúc: hòn bi khối lượng m treo ở đầu sợi dây không giãn có chiều dài l

1

Phương
trình
động lực

s” + 2 s = 0

học

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Điều kiện dao động

s : li độ cong, s =

điều hoà:

l

T: 098 1821 807

Trang | 13


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2

Phương
trình dao
động

Li độ cong

Bỏ qua ma sát, lực

s = s0 cos(t +)

 : li độ góc

cản và 0 << 1 rad
hay S0 << l

Li độ góc
 = 0 cos(t +)
 v = s’ = -S0sin(t + ) = lα0sin(t + )
 a = v’ = -2S0cos(t + ) = 2lα0cos(t + ) = -2s = -2αl

Tốc độ góc
3

Tốc độ
góc, chu
kì, tần số

=

g
l

Chu kì
T = 2

l
g

Chu kì dao động của

Tốc độ góc của

con lắc đơn phụ

con lắc đơn không

thuộc độ cao, độ sâu,

phụ thuộc vào

vĩ độ địa lí và nhiệt

khối lượng của

độ môi trường

vật còn tốc độ góc
của con lắc lò xo

Tần số
1
f=
2

W: www.hoc247.net

phụ thuộc vào
khối lượng của

g
l

F: www.facebook.com/hoc247.net

vật

T: 098 1821 807

Trang | 14


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

4

Một số
hệ thức
độc lập

a = -2s = -2αl
v
S02  s 2  ( )2



 02   2 

v2
gl

Tìm chiều dài con lắc:


5

v 2 max  v 2
 2g

Vị trí bất kì:
Vận tốc
vật đi
qua

v =  2gl(cos-cos0) *
  gl(



02- 2)

VTCB

|v|max = 2gl(1-cos0) *

- Các CT(*) đúng
trong cảc trường hợp
0 lớn
- Các CT gần đúng
khác chỉ được áp
dụng khi vật dao

 0 gl = s0

6

Lực kéo
về
(lực hồi
phục)

động điều hoà

Lưu ý:
F= -mg sin = -mg
s
= -mg = mg2 s
l

+ Với con lắc đơn

Lực kéo về ở đây
chính là thành


lực hồi phục tỉ lệ phần Pt của
thuận với khối lượng.
trọng lực
+ Với con lắc lò xo
lực hồi phục không
phụ thuộc vào khối
lượng.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 15


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

7

Lực căng
dây khi
vật

Ở vị trí bất kì
T=mg( 3cos- 2cos0 )*
 mg (1-

3 2
 + 02 )
2

l

T
F

O

P

s
Ft

F’

Khi vật ở vị trí
Ở VTCB

cân bằng

Tmax = mg(3 -2cos0 ) *

 = 0  cos =1

 mg(1+02)
Ở vị trí biên

Khi vật ở vị trí
biên

Tmin =mg coso

 = 0  cos =

02
 mg (1)
2

8

cos0

Năng
lượng
của con
lắc đơn
trong

Động năng:

Cơ năng của con
lắc đơn được bảo

1
Wđ = mv2
2

toàn nếu bỏ qua
  1rad,  (rad)

dao động Thế năng:
điều hoà
W t=

ma sát

1
mgl2
2

Cơ năng:
W = Wt + Wđ =

W: www.hoc247.net

1
mgl 02
2

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 16


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

9

Tìm chu


Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l1 có chu kỳ T1, con lắc đơn chiều dài
l2 có chu kỳ T2, con lắc đơn chiều dài l1 + l2 có chu kỳ T2,con lắc đơn chiều
dài l1 - l2 (l1>l2) có chu kỳ T4.
Thì ta có:
T32  T12  T22
T42  T12  T22

-Ban đầu đồng hồ

T h
=
T R
10

Bài toán

Khi đưa đồng hồ lên

đồng hồ

Đồng hồ chạy chậm hơn so với

độ cao h so với mặt

quả lắc

ban đầu

đất

T h
=
T 2R

chạy với chu kì
T(có thể chạy
đúng hay chạy
sai)

-Sau khi có các
Khi đưa đồng hồ

Đồng hồ chạy chậm hơn so với

yếu tố làm thay

xuống độ sâu h so với

ban đầu

đổi g hoặc l dẫn

mặt đất

đến chu kì biểu
kiến là T’

T 1
= t0
T
2
Khi tăng nhiệt độ lên
Đồng hồ chạy chậm hơn so với

-Một chu kì, sự sai

ban đầu

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 17


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

khác: T = T’ - T

T 1
= t0
T
2
Khi giảm nhiệt độ
Đồng hồ chạy nhanh hơn so

xuống

với ban đầu

-Trong khoảng
thời gian t đồng
hồ thực hiện
được n dao động (
t = n T ), khi đó
đồng hồ đã chạy
sai một lượng:
= t

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

T
T

Trang | 18


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài toán kết hợp nhiều yếu tố:

Các công thức

-Nếu đồng hồ đồng thời đưa lên độ cao và thay đổi
mhiệt độ:

-Đưa lên độ cao h

T
-2h
Đồng hồ vẫn chạy đúng:
= 0  t0 =
( nhiệt độ
T
R
giảm)
- Nếu đồng hồ đồng thời đưa xuống độ sâu h và thay

g’= G
T’
=
T

M
(R+h)2
g R+h
=
g’
R

-Thay đổi nhiệt

đổi nhiệt độ:

độ

h 1
=
+ t0
2R 2
T
-h
= 0  t0 =
(nhiệt độ
T
R

giảm)

W: www.hoc247.net

minh các kết quả
trên:

T h 1
= + t0
T R 2

Đồng hồ vẫn chạy đúng :

dùng để chừng

F: www.facebook.com/hoc247.net

l=lo (1+ t0 )
T’
=
T

T: 098 1821 807

l’
l

Trang | 19


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

11
Bài toán
con lắc
chịu tác
dụng của
một số

Khi con lắc đơn chịu thêm các lực khác như lực điện

Trọng lực biểu

trường, lực từ, lực quán tính... thì con lắc đơn sẽ dao

kiến là sức nặng

động với chu kì mới và có thể có vị trí cân bằng mới.

của vật được thể
hiện qua giá trị đo

ngoại lực
không

của cân lò xo hay
Tổng quát:

lực kế lò xo.

đổi
-Trọng lực biểu kiến( trọng lực hiệu dụng): P '  P  F
-Gia tốc trọng trường biểu kiến

: g' g

- Chu kỳ dao động của con lắc đơn khi đó: T '  2

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

F
m
l
g'

Trang | 20


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chu kì biểu kiến:

phương thẳng đứng

l

T’ = 2

Khi lực quán tính có

ga

(trong các bài toán
con lắc đơn treo
trong thang máy
l

= 2

=

a
g(1 )
g

chuyển động lên
xuống)

, độ lớn F = ma
()

+ a hướng lên:
Thang máy đi lên
nhanh dần hoặc

T
1

-Lực quán tính:

đi xuống chậm

a
g

dần

+ a hướng xuống:
Thang máy đi
xuống nhanh dần
hoặc đi lên chậm
dần .

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 21


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chu kì biểu kiến:

Khi lực quán tính có

Trọng lực hiệu

phương nằm ngang

dụng

l
g2+a2

T’ =2

g’2 = g2 + a2

Chu kì biểu kiến:

Điện trường có
phương thẳng đứng

Lực điên:


F =qE

l

T’= 2 .

g(1+

qE
)
mg
Trọng lực hiệu
dụng

=

W: www.hoc247.net

T


q
E
 
g’ = g +
m

qE
1+
mg

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 22


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chu kì biểu kiến:

Điện trường có
phương nằm ngang

dụng

l

T=2 .

Trọng lực hiệu

(qE)2

g2+

2

m2

qE
g’2= g2 +  m 




T

=
4

1+

(qE)2
m2
-Lực đẩy Ac-si-

Chu kì biểu kiến:

Khi có lực đẩy Ac-simet

l

T’= 2

g(1-

D0
)
D

met:


FA = -V d
-Trọng lực hiệu
dụng:

=

T
1-

g’=g ( 1-

D0
D

D0
)
D

-Trong đó:
D: khối lượng
riêng của vật
nặng khối lượng
m.
D0 : khối lượng
riêng của môi
trường.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 23


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

12

Trong cùng một thời gian t, con lắc 1 thì được N1 dao động, con lắc 2 thu được N2 , thì
N1 f1 T2
= = =
N2 f2 T1

l2
l1

IV) Bài toán quãng đường, thời gian, vận tốc trung bình, tốc độ trung bình

1

-Quãng đường đi được trong một chu kì : s = 4A
-Quãng đường đi được trong một nửa chu kì : s = 2A
-Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại

2

Vận tốc trung bình =

Lưu ý: phân biệt

độ_dời
t

rõ giữa vận tốc
trung bình và tốc
độ trung bình nêu
dưới đây

3

Tốc độ trung bình =

s
4 A vmax
. Tốc độ TB trong một chu kỳ: vtb 

t
T
2

s: quãng đường đi
được trong thời
gian t

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 24


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

4
*Xét trong khoảng thời gian: 0 < t <

T
2

Tính
quãng

a) Góc quýet:  =  t

đường

b) Smax = 2A sin

dài nhất,
ngắn


2

c) Smin = 2A (1- cos


)
2

nhất đi
M2

được

M1

M2

P


2

trong

A

-A
O

P2

thời

x

P
1

-A
O


2

A

P

gian t

x

M1

H1: Smax

H2:Smin

*) Trong trường hợp t > T/2
T
2

Tách t  n  t '

trong đó n  N * ;0  t ' 

T
2

Trong thời gian n

T
quãng đường luôn là 2nA
2

Trong thời gian t’ thì quãng đường lớn nhất,
nhỏ nhất tính như trên.
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×