Tải bản đầy đủ

Về nghiệm ổn định của một lớp phương trình elliptic nửa tuyến tính có trọng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ THÙY LINH

VỀ NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA
TUYẾN TÍNH CÓ TRỌNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 06 - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ THÙY LINH

VỀ NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA

TUYẾN TÍNH CÓ TRỌNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Dương Anh Tuấn

HÀ NỘI, 06 - 2017


Mục lục
Lời cảm ơn

2

Lời cam đoan

3

Lời nói đầu

4

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số bất đẳng thức quan trọng .
1.1.1 Bất đẳng thức H¨older . . .
1.1.2 Bất đẳng thức Hardy . . . .
1.2 Nghiệm ổn định . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa nghiệm ổn định
1.2.2 Ví dụ về nghiệm ổn định . .

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

2 Định lí kiểu Liouville cho nghiệm ổn định
trình elliptic nửa tuyến tính có trọng
2.1 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Chứng minh các kết quả chính . . . . . . . .
2.2.1 Chứng minh Định lí 2.1.1 . . . . . .
2.2.2 Chứng minh Định lí 2.1.2 . . . . . .
2.2.3 Chứng minh Hệ quả 2.1.1 . . . . . .
2.2.4 Chứng minh Hệ quả 2.1.2 . . . . . .
2.2.5 Chứng minh Định lí 2.1.3 . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

7
7
7
10
12
12
16

của phương
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

22
23
26
26
36
39
40
41

Kết Luận

53

Tài liệu tham khảo

54

1


Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Giải tích, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng
như trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Dương
Anh Tuấn, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình
làm luận văn để luận văn được hoàn thành đúng thời hạn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, và
các bạn trong nhóm Giải tích đã có rất nhiều giúp đỡ và góp ý cho tôi
trong quá trình học tập cũng như làm luận văn.

Hà Nội, ngày 02 tháng 06 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Thùy Linh

2


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan bản luận án này là kết quả nghiên cứu của cá nhân
tôi. Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận án là trung thực.
Kết quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã được
công bố trước đó.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình.

Hà Nội, ngày 02 tháng 06 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Thùy Linh

3


Lời nói đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học luôn có một vai trò đặc biệt quan trọng trong cuộc sống. Là
một ngành khoa học phát triển đặc thù về tư duy, toán học đã mang
lại cho cuộc sống chúng ta nhiều ứng dụng thực tiễn hữu ích, làm nền
tảng cho sự phát triển của các ngành khoa học khác. Phương trình vi
phân là một chuyên ngành quan trọng của Toán học và có nhiều ứng
dụng trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ, nó được coi như cầu nối
giữa lí thuyết và ứng dụng. Vì vậy Phương trình vi phân là một chuyên
ngành được phát triển rộng rãi ở trong và ngoài nước.
Xét phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính trong RN
−div(ω1 ∇u) = ω2 f (u),

(1)

trong đó f (u) có dạng eu , up với p > 1 và −u−p với p > 0.
Trong trường hợp ω1 = constant, các kết quả về sự tồn tại và không
tồn tại nghiệm của phương trình (1) đã được nghiên cứu tương đối đầy
đủ trong những năm gần đây. Tuy nhiên trường hợp ω1 = constant, kết
quả định tính cho phương trình (1) vẫn còn tương đối ít.
Dựa trên các nghiên cứu gần đây của C.Cowan và M.Fazly "On stable
entire solutions of semi-linear elliptic equations with weights, Proceedings of AMS 2012", chúng tôi chọn đề tài "Về nghiệm ổn định của một
lớp phương trình elliptic nửa tuyến tính có trọng".
2. Mục đích nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng ta nghiên cứu khái niệm nghiệm ổn định của
phương trình đạo hàm riêng elliptic và quan tâm đến sự tồn tại hay
không tồn tại tính ổn định của nghiệm dưới - nghiệm trên của phương
4


trình (1), trong RN với ω1 (x), ω2 (x) dương, trơn và có trọng. Chúng ta
xét các trường hợp f (u) = eu , up trong đó p > 1 và −u−p với p > 0. Ta
thu được các kết quả khác nhau phụ thuộc vào số chiều N, p và cách
đưa ω1 , ω2 gần vô cùng. Hơn nữa hàm ω1 đơn điệu được nâng lũy thừa
trong một vài kết quả. Chúng ta kiểm tra tính ổn định của nghiệm trên α
nghiệm dưới trong các trường hợp cụ thể của trọng ω1 (x) = | x |2 +1 2
β

và ω2 (x) = | x |2 +1 2 g(x), trong đó g(x) là một hàm dương và có giới
hạn hữu hạn tại vô cùng.
3. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu được sử dụng là phương pháp được đưa ra bởi
A. Farina kết hợp với bất đẳng thức Hardy có trọng.
4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm 2 chương với nội dung:
1. Chương 1: (Kiến thức chuẩn bị) trình bày một số bất đẳng thức
quan trọng, khái niệm và một số ví dụ nghiệm ổn định của phương
trình elliptic nửa tuyến tính.
2. Chương 2: (Định lí kiểu Liouville cho nghiệm ổn định của phương
trình elliptic nửa tuyến tính có trọng) đây là nội dung chính của luận
văn. Trình bày sự tồn tại hay không tồn tại tính ổn định nghiệm
trên - nghiệm dưới của một lớp phương trình elliptic nửa tuyến tính
có trọng.
Do thời gian và năng lực có hạn nên luận văn không tránh khỏi những
hạn chế và thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
các thầy cô và các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 02 tháng 06 năm 2017
Tác giả

5


Nguyễn Thị Thùy Linh

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số bất đẳng thức quan trọng

Trong phần này ta sẽ trình bày bất đẳng thức H¨older và bất đẳng
thức Hardy trong trường hợp có trọng và hệ quả quan trọng của hai
định lí này.
1.1.1

Bất đẳng thức H¨
older

Bổ đề 1.1.1. (Bất đẳng thức Young). Giả sử (p, q) là một cặp số mũ
liên hợp, tức là p1 + 1q = 1 với p > 1, q > 1. Khi đó với mọi a, b > 0 ta
luôn có
ap bq
a.b ≤
+ .
p
q
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ap = bq .
Chứng minh. Bổ đề hiển nhiên đúng nếu a = 0 hoặc b = 0. Trong trường
hợp còn lại, giả sử a, b > 0, xét hàm số
tp t−q
f (t) = +
, (t > 0).
p
q
Do f (t) = t−q−1 (tp+q − 1) = 0 ⇔ t = 1 và f (t) < 0 với mọi 0 < t < 1,
f (t) > 0 với mọi t > 1 nên f có giá trị cực tiểu là
f (1) =

7

1 1
+ .
p q


Như vậy

tp t−q
+
≥ 1, ∀t > 0.
p
q
1

−1

Thay t = a q .b p vào bất đẳng thức trên ta được
q

p

a q .b−1 b p .a−1
+
≥ 1.
p
q

(1.1)

Nhân hai vế của bất đẳng thức (1.1) với ab và lưu ý rằng
p
q
+ 1 = p, + 1 = q,
q
p
ta được

ap b q
+ ≥ a.b.
p
q

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1, tức là
1

−1

1

1

a q .b p = 1 ⇔ a q = b p .
Suy ra
q

b =b

pq
p

= a

1
q

pq

= ap .

Định lý 1.1.1. (Bất đẳng thức H¨older). Giả sử p, q > 1 sao cho p1 + 1q =
1. Khi đó với mọi f ∈ Lp (X), g ∈ Lq (X), (X ⊂ RN ), ta có

X



 p1 

|f (x)g(x)| dx ≤ 

| f (x) |p dx 

X

 1q
|g(x)|q dx .

(1.2)

X

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực m, n không đồng thời
bằng không sao cho
m |f (x)|p = n |g(x)|q , ∀x ∈ X.
Chứng minh. Ta xét hai trường hợp sau:
8


|f (x)|p dx hoặc

1. Nếu một trong hai tích phân
X

| g(x) |q dx bằng
X

không thì (1.2) đúng. Thật vậy, giả sử
| f (x) |p dx = 0
X

thì f ≡ 0. Suy ra f.g = 0 và do đó


|f (x)|p dx . 

| f (x)g(x) | dx = 
X

 1q

 p1 

|g(x)|q dx = 0.

X

X

Suy ra (1.2) đúng.
2. Giả sử |f (x)|p dx > 0 và

|g(x)|q dx > 0. Áp dụng Bổ đề 1.1.1,
X

X

với mỗi x ∈ X và
|f (x)|

a=

;

1
p

| g(x) |

b=

1
q

| f (x) |p dx

| g(x) |q dx

X

X

ta có
| f (x) |
1
p

| g(x) |

.

1
q

| f (x) |p dx



| g(x) |q dx

X

1
| f (x) |
+
| f (x) |p dx q

1
p
X

| g(x) |
.
| g(x) |q dx
X

X

(1.3)
Lấy tích phân hai vế ta có
|f (x)g(x)| dx
X
1
p

|f (x)|p dx

|g(x)|q dx

.

X

1
q

X
p

|g(x)|q dx

|f (x)| dx
X



|f (x)|p dx

p.

1
p

p

X

+

|g(x)|q dx

q.

X

X

9

1
q

q.


Hay ta có
|f (x)|p dx

|f (x)g(x)| dx
X

|f (x)|p dx

1
p

1
q

|g(x)|q dx

X



|g(x)|q dx

1X
1
+ X
p
p |f (x)| dx q |g(x)|q dx
X

X

X

=

1 1
+ = 1.
p q

Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Áp dụng Bổ đề 1.1.1, đẳng
thức của (1.3) xảy ra khi và chỉ khi
|f (x)|
1
p

|f (x)|p dx

|g(x)|

=

|g(x)|q dx

X

1
q

,

X

với mọi x ∈ X. Do đó đẳng thức của (1.2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
hai số thực m, n không đồng thời bằng không sao cho
m |f (x)|p = n | g(x) |q , ∀x ∈ X.

Hệ quả 1.1.1. Nếu p = q = 2, khi đó bất đẳng thức H¨older trở thành

 12 
 12
f 2 (x)dx 

|f (x)g(x)| dx ≤ 
X

X

1.1.2

g 2 (x)dx .

X

Bất đẳng thức Hardy

Bổ đề 1.1.2. (Bất đẳng thức Hardy trong trường hợp có trọng).
Giả sử E > 0 là một hàm trơn, khi đó ta có
1
τ−
2

2

E 2τ −2 |∇E|2 φ2 +

1
−τ
2

(−∆E)E 2τ −1 φ2 ≤

E 2τ |∇φ|2 ,
(1.4)

∀φ ∈ Cc∞ (Rn ) và 0 = τ < 12 , τ ∈ R.
10


Chứng minh. Ta có
1
−τ
(−∆E)E 2τ −1 φ2
2
1
−τ
=
∇E.∇(E 2τ −1 φ2 )
2
1
−τ
∇E (2τ − 1)∇E.E 2τ −2 φ2 + 2E 2τ −1 ∇φ.φ
=
2
(2τ − 1)2
=−
|∇E|2 E 2τ −2 φ2 + (1 − 2τ ) E 2τ −1 φ.∇φ.∇E.
2
Khi đó
1
τ−
2

2

1
−τ
2

E 2τ −2 |∇E|2 φ2 +

⇔ (1 − 2τ )

E

2τ −1

φ.∇φ∇E ≤

E 2τ |∇φ|2

(−∆E)E 2τ −1 φ2 ≤

(2τ − 1)2
E |∇φ| +
4

|∇E|2 E 2τ −2 φ2 .

2



(1.5)
Ta chứng minh (1.5) là đúng từ đó suy ra (1.4).
Thật vậy, đặt a2 := E 2τ |∇φ|2 và b2 := |∇E|2 E 2(τ −1) φ2 , khi đó áp dụng
Bất đẳng thức Cauchy ta có
(2τ − 1)2 2
(2τ − 1)2
a +
b ≥ 2 a2 .b2 .
4
4
= |(2τ − 1)ab|
2

E 2τ −1 φ.∇φ.

= (1 − 2τ )
Do đó
(1 − 2τ )2
E |∇φ| +
4


2

|∇E|2 E 2τ −2 φ2 ≥ (1 − 2τ )

E 2τ −1 φ.∇φ.

Hệ quả 1.1.2. ∀φ ∈ Cc∞ và t, α ∈ R,ta có
2

1 + |x|

α
+
+t
2

α
2

α
|∇φ| ≥ t +
2
2

2

2

|x|

|x|2
N − 2(t + 1)
1 + |x|2
11

1 + |x|

−2+ α2

2

2

1 + |x|

φ2

−1+ α2

φ2 .


Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 1.1.2 với E = 1+ | x |2 và τ =
2

α
2

2

(1+ | x | ) |∇φ| ≥
+


α

(1+ | x |2 ) 2 |∇φ|2 ≥
+

α
4

ta có

2

α 1

4 2
1 α

2 4
α
−1
2
α
−1
2

α

4 |x|2 (1 + |x|2 ) 2 −2 φ2
α

(−2N )(1 + |x|2 ) 2 −2 φ2
2

α

|x|2 (1 + |x|2 ) 2 −2 φ2
α

N (1 + |x|2 ) 2 −1 φ2

(1.6)

Thay −1 bằng t trong bất đẳng thức trên ta được
α
+t
2
α
+
+t
2

α

(1 + |x|2 ) 2 |∇φ|2 ≥



α

(1 + |x|2 ) 2 |∇φ|2 ≥

α
+t
2

α
+
+t
2

2

2

α

|x|2 (1 + |x|2 ) 2 −2 φ2
α

N (1 + |x|2 ) 2 −1 φ2

α

|x|2 (1 + |x|2 ) 2 −2 φ2

|x|2
N − 2(t + 1)
1 + |x|2

α

(1 + |x|2 ) 2 −1 φ2 .
(1.7)

Như vậy ta có được bất đẳng thức cần chứng minh.

1.2
1.2.1

Nghiệm ổn định
Định nghĩa nghiệm ổn định

Định nghĩa 1.2.1. Xét hàm liên tục E : R → R, một điểm t0 ∈ R là
một điểm cực tiểu địa phương của E nếu
E (t0 ) = 0,
E (t0 ) > 0.
Định nghĩa 1.2.2. Cho I là một khoảng mở của R và E : I → R là
một hàm thuộc lớp C 2 . Khi đó t0 ∈ I là một điểm tới hạn ổn định của
12


E nếu
E (t0 ) = 0,
E (t0 ) ≥ 0.
Chú ý 1.2.1. Một điểm t0 của cực tiểu địa phương của E là một điểm
tới hạn ổn định.
Xét ví dụ một miền Ω bị chặn trong không gian Euclid RN , với biên
trơn ∂Ω và cho Y = C 2 (Ω). Trong tập các hàm số trong Y , chúng ta
chọn các hàm triệt tiêu trên biên ∂Ω và ký hiệu bởi X = C02 (Ω), là không
gian con của Y . Bây giờ chúng ta xét phiếm hàm EΩ : X → R xác định
bởi
1
(1.8)
|∇u|2 dx − F (u)dx,
EΩ (u) =
2




với u ∈ X, ở đây F : R → R là hàm cho trước thuộc lớp C 2 . Cố định
u ∈ X, chúng ta xét hàm E : R → R được định nghĩa với bởi
E(t) = EΩ (u + tϕ), t ∈ R.

(1.9)

Khi nào 0 là điểm tới hạn ổn định của E? Ta xét
E(t) − E(0)
t
F (u + tϕ) − F (u)
|∇ϕ|2 dx −
= ∇u∇ϕdx +
dx.
t
2
t






Lấy |t| ≤ 1 và viết a = u L∞ (Ω) + ϕ L∞ (Ω) , áp dụng hệ quả của Định lý
F (u + tϕ) − F (u)
≤ f L∞ ([−a,a]) , ở đây f = F
giá trị trung bình ta có
t
1/2

và chú ý rằng u

L2 (Ω)

p

|u| dx

=

.



Bởi Định lý hội tụ bị chặn, chúng ta có thể lấy giới hạn khi t → 0 :
E (0) = 0 nếu và chỉ nếu
∇u∇ϕdx =


f (u)ϕdx.


Lấy tích phân từng phần, ta được
(−∆u − f (u))ϕdx = 0.


13


Nếu u thuộc X và phương trình trên đúng với ϕ ∈ X tùy ý, khi đó chúng
ta có thể kết luận rằng u là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng nửa
tuyến tính (PDE), được biết đến là phương trình Euler-Lagrange cho
phiếm hàm (1.8):
−∆u = f (u) trong Ω,
(1.10)
u=0
trên ∂Ω.
Nó là đúng trong trường hợp đặc biệt u là điểm tới hạn của EΩ , nghĩa
là nếu EΩ khả vi tại u và lấy đạo hàm Fréchet của nó DEΩ (u) = 0.
Chú ý 1.2.2. Ta có EΩ định nghĩa bởi (1.8) là khả vi trong X và với
mọi u ∈ X, đạo hàm Fréchet của E tại u được cho bởi
∇u∇ϕdx −

DEΩ (u).ϕ =


f (u)ϕdx, ϕ ∈ X.


Chúng ta có thể đồng nhất nghiệm u ∈ X của (1.10) với điểm tới hạn
của EΩ .
Như vậy ta có Mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.2.1. Cho Ω là một miền biên trơn của RN , N ≥ 1. Cho
f : R → R là một hàm số thuộc lớp C 1 và F là một nguyên hàm của f .
Cho
X = C02 (Ω) = u ∈ C02 (Ω) : u(x) = 0 với mọi x ∈ ∂Ω
được trang bị chuẩn thông thường . C 2 (Ω) . Cho E : X → R định nghĩa
bởi (1.8). Khi đó, u ∈ C 2 (Ω) là một nghiệm của (1.10) nếu và chỉ nếu
u là điểm tới hạn của EΩ .

14


Nghiệm nào được gọi là ổn định? Để tìm ra, chúng ta tính E (0)
E (t) − E (0) E (t)
=
t
t
DEΩ (u + tϕ).ϕ
=
t
1
=
∇u∇ϕdx +
t








f (u + tϕ) − f (u)
ϕdx.
t

|∇ϕ|2 dx −

=

1
f (u + tϕ)ϕdx.
t

|∇ϕ|2 dx −



Áp dụng Định lý Hội tụ bị chặn,
|∇ϕ|2 dx −

E (0) =


f (u)ϕ2 dx.


Ta có định nghĩa tính ổn định như sau.
Định nghĩa 1.2.3. Cho f ∈ C 1 (R) và Ω kí hiệu là một tập mở của
RN , N ≥ 1. Một nghiệm u ∈ C 2 (Ω) của
−∆u = f (u)

trong Ω

(1.11)

là ổn định nếu
|∇ϕ|2 dx −

Qu (ϕ) :=


f (u)ϕ2 dx ≥ 0,

∀ϕ ∈ C01 (Ω).

(1.12)



Chú ý 1.2.3.
• Dạng bậc hai Qu được gọi là sự thay đạo hàm cấp hai của EΩ .
• u là ổn định trong Ω nếu và chỉ nếu mọi miền con ω ⊂⊂ Ω. Đặc biệt,
khái niệm của sự ổn định cũng đúng với miền không bị chặn và/hoặc
miền Ω không trơn.
• Tuy nhiên, nếu u là ổn định trong hai miền ω1 , ω2 thì u không cần ổn
định trong ω1 ∪ ω2 .
• Nếu Ω là bị chặn hoặc nếu chỉ f (u)− là bị chặn trong Ω thì có thể đưa
ra ϕ ∈ H01 (Ω) trong định nghĩa ở trên.
15


1.2.2

Ví dụ về nghiệm ổn định

Trong các ví dụ được đưa ra sau đây, chúng ta giả sử rằng Ω có biên
trơn.
Định nghĩa 1.2.4. Cho X là một không gian Banach với chuẩn . .
Giả sử X chứa trong Cc1 (Ω) và cho EΩ : X → R, là một ánh xạ. Khi đó
u ∈ X là một cực tiểu địa phương của EΩ nếu tồn tại t0 > 0 sao cho
EΩ (u) ≤ EΩ (u + ϕ)

với mọi ϕ ∈ Cc1 (Ω) sao cho

ϕ < t0 .

Ví dụ 1.2.1. Cực tiểu địa phương của hàm liên tục E : R → R là ổn
định.
Thật vậy, giả sử u là điểm cực tiểu địa phương của EΩ định nghĩa bởi
(1.8). Khi đó 0 là một điểm cực tiểu địa phương của E định nghĩa bởi
(1.9). Suy ra
E (0) = 0,
E (0) ≥ 0.
Vậy u là nghiệm ổn định của (1.10).
Định nghĩa 1.2.5. Cho X là một không gian Bannach chứa trong Cc1 (Ω)
và EΩ : X → R là một hàm số. Khi đó u ∈ X là một cực tiểu địa phương
một phía của EΩ nếu tồn tại t0 > 0 và ε ∈ {−1, 1} sao cho
EΩ (u) ≤ EΩ (u + εϕ)

với mọi ϕ ∈ Cc1 (Ω) sao cho ϕ > 0 và

ϕ < t0 .

Ví dụ 1.2.2. Điểm tới hạn làm cho E đạt cực tiểu từ một phía là ổn
định.
Thật vậy, giả sử rằng u vừa là điểm tới hạn và vừa là điểm cực tiểu một
phía của EΩ định nghĩa bởi (1.8) và ε = +1. Khi đó, cho ϕ ≥ 0, 0 là
một điểm cực tiểu địa phương của E|[0,t0 ) , ở đây E được định nghĩa bởi
(1.9). Suy ra E (0) = 0, E (0) ≥ 0 và (1.12) đúng với ϕ ≥ 0. Bây giờ ta
chọn hàm tùy ý ϕ ∈ Cc1 (Ω) và tách nó thành các phần dương và phần
âm: ϕ = ϕ+ − ϕ− . Với Ω bị chặn, (1.12) đúng cho các phần ϕ+ , ϕ− . Khi
đó
Qu (ϕ) = Qu (ϕ+ ) + Qu (ϕ− ) ≥ 0
16

và như vậy u là ổn định.


Định nghĩa 1.2.6. Một hàm số u ∈ C 2 (Ω) thỏa mãn
−∆u ≤ f (u) trong Ω,
u≤0
trên ∂Ω.
được gọi là nghiệm dưới của (1.10). Tương tự, một hàm số u ∈ C 2 (Ω)
thỏa mãn
−∆u ≥ f (u) trong Ω,
u≥0
trên ∂Ω.
được gọi là nghiệm trên của (1.10).
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử rằng nghiệm dưới và nghiệm trên đều tồn tại
và có: u ≤ u trong Ω. Bởi nguyên lý cực trị mạnh ta có bất đẳng thức là
ngặt:
(1.13)
u < u trong Ω.
Bổ đề 1.2.1. Cho Ω là một miền bị chặn của RN , N ≥ 1 và f ∈ C 1 (R).
Giả sử tồn tại u, u ∈ C 2 (Ω) là nghiệm dưới và trên của (1.10). Ngoài ra,
ta giả sử có (1.13). Khi đó, tồn tại một nghiệm duy nhất u của (1.10),
với nghiệm u2 ∈ C 2 (Ω) bất kì của (1.10) thỏa mãn u2 ≥ u, có các tính
chất sau:
1. u ≥ u ≥ u2 .
2. u là cực tiểu hóa EΩ trong số tất cả các hàm số ν ∈ C 2 (Ω) sao cho
u ≥ ν ≥ u2 .
Khi đó u được gọi là nghiệm cực tiểu của (1.10) tương ứng của u.
Chứng minh. Định nghĩa hàm cắt


f (u(x))
g(x, u) =
f (u)


f (u(x))

của g(x, u) cho x ∈ Ω và u ∈ R bởi
nếu u < u(x),
nếu u(x) ≤ u ≤ u(x),
nếu u > u(x).

(1.14)

u

g(x, t)dt và định nghĩa EΩ : H01 (Ω) → R bởi

Cho G(x, u) =
0

EΩ (u) =

1
2

|∇u|2 dx −


G(x, u(x))dx.


17

(1.15)


Khi đó, EΩ bị chặn dưới. Tồn tại dãy cực tiểu (un ) của Eb . Đặt a =
min(Ω)
¯, tồn tại các hằng số C1 , C2 , C3 > 0 sao cho
¯ và b = max(Ω)
¯ u
1
2

|∇un |2 dx ≤ EΩ (un ) +

G(x, un (x))dx




≤ C1 f

|un |dx

L∞ (a,b)


≤ C1 + C2

un

≤ C1 + C3

∇un

L2 (Ω)
L2 (Ω) ,

ở đây, chúng ta sử dụng Định lý giá trị trung bình trong bất đẳng thức
thứ hai, bất đẳng thức H o¨lder trong bất đẳng thức thứ ba, và bất đẳng
thức Poincaré trong bất đẳng thức cuối cùng.
Chứng minh bất đẳng thức trước cho ∇un L2 (Ω) , suy ra un bị
chặn trên H01 (Ω). Nó kéo theo một dãy con (ukn ) hội tụ đến một hàm
u ∈ H01 (Ω), hội tụ yếu trong H01 (Ω), hội tụ mạnh trong L2 (Ω) và hội tụ
hầu khắp nơi trong Ω.
Từ đó |G(x, ukn (x)| ≤ C|ukn (x)|, suy ra G(x, un (x))dx → G(x, u(x))dx




khi n → ∞.
Vì u → |∇u|2 dx là nửa liên tục dưới yếu trong H 1 (Ω), do đó


EΩ (u) ≤ lim E (ukn ) = inf Eb (u).
n→∞


u∈H01 (Ω)

Nên, u nhỏ nhất trong EΩ . Đặc biệt u là một nghiệm yếu của
∆u = g(x, u)
u=0

trong Ω,
trên ∂Ω.

Ở đây, u ∈ H01 (Ω), với mọi ϕ ∈ Cc1 (Ω),
∇u∇ϕdx =


g(x, u)ϕdx.


18

(1.16)


Ngoài ra, u ∈ C 1,α (Ω).
Để ý rằng nghiệm bất kỳ của (1.16) thỏa mãn u ≤ u ≤ u và là
nghiệm của (1.10).
Thật vậy, giả sử phản chứng rằng ω = {x ∈ Ω : u(x) ≤ u(x)} là tập
khác rỗng. Khi đó, ν = u − u là hàm điều hòa trong ω và ν ≥ 0 trên ∂ω.
Ta có ν ≥ 0 trong ω, điều này là vô lý bởi định nghĩa của ω, vậy u ≥ u.
Tương tự, u ≤ u.
Bởi (1.14) và (1.16), u là một nghiệm của (1.10).
Cho u2 là một nghiệm trên khác của (1.10) sao cho u2 ≥ u. Định
nghĩa hàm cắt g 2 của g bởi

g(u(x)) nếu u < u(x),


g 2 (x, u) =
g(x, u) nếu u(x) ≤ u ≤ u2 (x),


g(x, u2 (x)) nếu u > u2 (x).
Từ trên, ta có thể xây dựng một nghiệm u2 của (1.16), thỏa mãn u ≤
u2 ≤ u2 . Dễ thấy rằng u2 là nghiệm của (1.10) và u2 ≤ u.
Sau đó, lấy hữu hạn họ của các nghiệm trên i = {u, u2 , ..., un } sao cho uk ≥
u với k = 2, ..., n. Cho I là tập của tất cả các họ như vậy (sắp thứ tự
bởi quan hệ bao hàm). Lặp lại quy trình phương pháp chặt cụt quy
nạp, chúng ta tìm được một nghiệm ui của (1.10) sao cho u ≤ ui ≤
u, u2 , ..., un , i ∈ I. Chúng ta có thể xây dựng định nghĩa dãy tổng quát
(ui )i∈I , chứa trong tập K của tất cả các nghiệm u thỏa mãn u ≤ u ≤ u.
Bởi ước lượng elliptic thông thường, K là một tập compact thuộc C 2 (Ω)
nên tồn tại một dãy con suy rộng (uφ(j) )j∈J hội tụ đến một nghiệm u
của (1.10).
Bây giờ, kiểm tra nghiệm trên tùy ý ν ≥ u và cho i1 := {ν, u} ∈ I.
Đưa ra , cho j0 ∈ J sao cho j > j0 =⇒ uφ(j) − u ∞ < .
Cũng chọn j1 ∈ J sao cho j > j1 =⇒ φ(j) > i1 .
Cuối cùng, chọn j2 > j0 , j1 . Khi đó, với j > j2 ,
u ≤ uφ(j) − u



+uφ(j) ≤ + ν.

Cho → 0, kết luận rằng u ≤ ν với bất kỳ nghiệm trên ν ≥ u, mà chứng
19


minh ý 1 của Bổ đề. Từ đó, mỗi ui đạt cực tiểu toàn cục của phương
pháp chặt cụt năng lượng, uφ(j) , j > j1 nhỏ nhất EΩ trong số tất cả các
hàm số ν ∈ C 2 (Ω) sao cho u ≤ ν ≤ ν. Lấy giới hạn, ta có u.
Từ Bổ đề trên ta có ví dụ sau.
Ví dụ 1.2.3. Nghiệm cực tiểu là ổn định. Để thấy điều này, ta giả sử u
là nghiệm cực tiểu tương ứng của u, bởi nguyên lý cực trị mạnh suy ra
hoặc u ∈ {u, u} hoặc u < u < u. Giả sử u = u (các trường hợp khác
có thể làm tương tự). Khi đó, bởi (1.13), cho ϕ ∈ Cc1 (Ω), ϕ ≥ 0, tồn
tại t0 > 0 sao cho u ≤ u + tϕ ≤ u với 0 ≤ t < t0 .
Từ ý hai của Bổ đề trêm, ta kết luận rằng 0 là một điểm cực tiểu của
E|[0,t0 ) . Vì u là nghiệm của (1.10), ta có E (0) = 0. Do đó E (0) ≥ 0
và (1.12) đúng với ϕ ≥ 0. Phân tích hàm số ϕ tùy ý thành phần âm và
phần dương như trong Chú ý (1.2.2), chúng ta kết luận u là ổn định.
Xét phương trình trong RN có dạng
−div(ω1 (x)∇u) = ω2 (x)f (u),

(1.17)

trong đó f (u) là một trong những hàm không tuyến tính sau: eu , up với
p > 1 và −u−p với p > 0. Giả sử ω1 (x) và ω2 (x) có trọng, dương, trơn
(ta cho ω2 = 0 tại một điểm) và thỏa mãn các điều kiện tăng trưởng tại
∞.
Định nghĩa 1.2.7. Ta nói nằng một C 2 nghiệm trên hoặc nghiệm dưới
của (1.17) là ổn định nếu
ω2 f (u)ψ 2 ≤

ω1 |∇ψ|2 , ∀ψ ∈ Cc2 (RN ),

trong đó Cc2 là tập hợp các hàm C 2 trên RN có giá compact.
Ta chú ý rằng (1.17) có thể được viết lại như sau
−∆u + ∇γ(x).∇u = ω2 /ω1 f (u),
trong RN , trong đó γ = −log(ω1 ), và do đó ta có chú ý sau.
20

(1.18)


Chú ý 1.2.4. Nếu ω1 đủ điều kiện khả tích, khi đó nếu u là một nghiệm
ổn định của (1.17) thì ta có ω2 f (u) = 0 (giả sử f là hàm tăng).
Để thấy điều này, ta lấy 0 ≤ ψ ≤ 1 bị giới hạn trong một hình cầu
bán kính 2R, tâm tại gốc (B2R ) với ψ = 1 trên BRN và | ∇ψ |≤ CR trong
đó C > 0 không phụ thuộc vào R (độc lập với R).
Thay ψ vào (1.18) ta được
ω2 f (u) ≤

C
R2

BR

ω1
R<|x|<2R

và do đó nếu vế phải dần đến 0 khi R → ∞ thì ta có kết quả mong muốn.
Sự tồn tại hay không tồn tại nghiệm ổn định của −∆u = f (u) trong
RN hay −∆u = g(x)f (u) trong RN ngày nay được hiểu khá rõ, tham
khảo trong [5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]. Chú ý rằng trong số các kết quả
ta đang kiểm tra trong các trường hợp khi ∆ được thay thế bởi ∆p
(p-Laplacian), và cũng có nhiều trường hợp tác giả quan tâm tính hữu
hạn chỉ số Morse các nghiệm hoặc các nghiệm ổn định ngoài một tập
compact. Phần lớn sự quan tâm của các dạng định lí Liouville bắt nguồn
từ thực tế rằng việc không tồn tại của một nghiệm ổn định là liên quan
tới sự tồn tại của một đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm ổn định của
một phương trình liên quan trên một miền bị chặn.
Trong [14] phương trình tương đương −∆u =| x |α up được kiểm tra
trên hình cầu đơn vị trong RN với điều kiện biên Dirichlet 0. Nó chỉ ra
rằng với α > 0 ta có thể thu được nghiệm dương với p trên tới hạn đối
với phép nhúng Sobolev và do đó ta có thể thấy rằng số hạng | x |α được
khôi phục một số tính compact. Một đặc điểm tương tự xảy ra đối với
phương trình có dạng
−∆u =| x |α f (u)
trong RN , giá trị của α có thể làm thay đổi lớn sự tồn tại hay không tồn
tại của một nghiệm ổn định, tham khảo trong [7, 8, 9, 10].

21


Chương 2
Định lí kiểu Liouville cho nghiệm
ổn định của phương trình elliptic
nửa tuyến tính có trọng
Trong nội dung này , chúng ta quan tâm đến sự tồn tại hay không tồn
tại tính ổn định của nghiệm dưới, nghiệm trên của phương trình trong
RN có dạng
−div(ω1 (x)∇u) = ω2 (x)f (u),

(2.1)

trong đó f (u) là một trong những hàm không tuyến tính sau: eu , up với
p > 1 và −u−p với p > 0. Giả sử ω1 (x) và ω2 (x) có trọng, dương, trơn
(ta cho ω2 = 0 tại một điểm) và thỏa mãn các điều kiện tăng trưởng tại
∞.
Nhắc lại rằng u ∈ C 2 (RN ) được gọi là nghiệm trên của (2.1) nếu
−div(ω1 (x)∇u) ≥ ω2 (x)f (u)
và u ∈ C 2 (RN ) được gọi là nghiệm dưới của phương trình (2.1) nếu
−div(ω1 (x)∇u) ≤ ω2 (x)f (u).

22


2.1

Kết quả chính

Xét 3 phương trình trong RN
−div(ω1 ∇u) = ω2 eu ,

(G)

−div(ω1 ∇u) = ω2 up ,

(L)

−div(ω1 ∇u) = −ω2 u−p ,

(M)

trong đó ta hạn chế (L) với p > 1 và hạn chế (M ) với p > 0. Với một
nghiệm của các phương trình trên ta luôn hiểu là C 2 nghiệm.
Ta định nghĩa một số đại lượng sau:
IG := R

−4t−2
R<|x|<2R

JG := R

−2t−1
R<|x|<2R

ω12t+1
dx,
ω22t
|∇ω1 |2t+1
dx,
ω22t
1

IL := R

−2(2t+p−1)
p−1

R<|x|<2R

JL := R

− p+2t−1
p−1
R<|x|<2R

IM := R−2

(p+2t+1)
p+1

R<|x|<2R

JM := R

− (p+2t+1)
p+1
R<|x|<2R

ω1p+2t−1 p−1
) dx,
(
ω22t
1
p−1

|∇ω1 |p+2t−1
ω22t
ω1p+2t+1
ω22t

dx,
1
p+1

|∇ω1 |p+2t+1
ω22t

dx,
1
p+1

dx.

Bây giờ chúng ta đi đến các kết quả chính, cách tiếp cận ở đây để
nghiên cứu sự tồn tại hay không nghiệm ổn định là phương pháp của
Farina, (xem [5, 11, 12]).
Định lý 2.1.1. 1. (G) không có nghiệm dưới ổn định nếu IG , JG → 0
khi R → ∞ với 0 < t < 2.
23


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×