Tải bản đầy đủ

Môđun chính tắc trên vành artin địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

ĐỖ THỊ KIM DUNG

MÔĐUN CHÍNH TẮC TRÊN VÀNH ARTIN ĐỊA PHƯƠNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

ĐỖ THỊ KIM DUNG


MÔĐUN CHÍNH TẮC TRÊN VÀNH ARTIN ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS: ĐỖ VĂN KIÊN

Hà Nội – Năm 2017


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

Lời cảm ơn
Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với sự
giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Đến nay,
Khóa luận của tôi đã được hoàn thành. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn
chân thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo tổ đại Số (Khoa Toán), các
thầy cô trong khoa Toán đặc biệt là thầy giáo - Thạc Sĩ Đỗ Văn
Kiên người đã trực tiếp tạo mọi điều kiện giúp đỡ, chỉ bảo tận tình
cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận này.
Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nên
khóa luận của tôi không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong
nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn sinh viên.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh, ủng
hộ, động viên tinh thần để tôi hoàn thành khóa luận này!

Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Tác giả khóa luận

Đỗ Thị Kim Dung

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Đỗ Thị Kim Dung

Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp "Môđun chính tắc trên vành Artin
địa phương" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và
nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo - Thạc Sĩ Đỗ
Văn Kiên
Trong quá trình thực hiện tôi đã tham khảo một số tài liệu như
đã viết trong phần tài liệu tham khảo. Vì vậy, tôi xin cam đoan kết
quả trong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của
tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Tác giả khóa luận

Đỗ Thị Kim Dung

1


Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Vành và iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Đối ngẫu của không gian véctơ và môđun nội xạ

19

2.1

Đối ngẫu của không gian véctơ hữu hạn chiều . . . . .

19

2.2

Môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3 Môđun chính tắc trên vành Artin địa phương

28

3.1

Hàm tử đối ngẫu trên phạm trù môđun. . . . . . . . .

28

3.2

Đỉnh và đế của một môđun . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.3

Môđun chính tắc trên vành Artin địa phương . . . . .

39

KẾT LUẬN

1

Tài liệu tham khảo

2

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Vành Cohen-Macaulay là một lớp vành rộng và vô cùng quan
trọng trong đại số và hình học. Trong khoảng hơn 50 năm trở lại đây,
lớp vành này được rất nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên cứu.
Một trong các bất biến rất quan trọng của vành Cohen-Macaulay là
môđun chính tắc của nó. Cho A là một vành Cohen-Macaulay, A là
ảnh đồng cấu của một vành Gorenstein, khi đó A có một môđun hữu
hạn sinh với chiều nội xạ hữu hạn. Hơn nữa các môđun này có thể
được chọn là các môđun Cohen-Macaulay cực đại với kiểu 1 ([BH]).
Các môđun như vậy là duy nhất sai khác đẳng cấu ([BH], [HK])và
được gọi là môđun chính tắc.
Môđun chính tắc đóng một vai trò trung tâm trong lý thuyết
đối ngẫu và lý thuyết vành Cohen-Macaulay. Nó là một trong các
đối tượng để phân loại các lớp vành. Nó "đo" sự sai khác giữa vành
Gorenstein và Cohen-Macaulay ([GTT]). Đặc biệt một vành CohenMacaulay là vành Gorenstein khi và chỉ khi nó đẳng cấu với môđun
chính tắc của nó. Một ứng dụng rất quan trọng của môđun chính tắc
là môđun chính tắc cho phép ta xây dựng được tất cả các hàm tử
đối ngẫu trên phạm trù môđun. Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét
môđun chính tắc của vành Norther địa phương (A, m) chiều không.
Trong trường hợp này môđun chính tắc của A chính là bao nội xạ của
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

trường thặng dư A/m. Với những lý do như vậy tôi đã chọn đề tài này
để nghiên cứu trong luận văn của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài đã giúp tôi bước đầu
làm quen với nghiên cứu khoa học và có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về đại
số, đặc biệt là về môđun chính tắc và cụ thể là môđun chính tắc trên
vành Artin địa phương. Đó là một cơ sở để định nghĩa vành Gorentein.

3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu về tính đối ngẫu của không gian véctơ; môđun
nội xạ, bao nội xạ và tính chất của bao nội xạ; hàm tử đối ngẫu trên
phạm trù môđun; đỉnh và đế của một môđun; môđun chính tắc trên
vành Artin địa phương.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan
đến nội dung nghiên cứu.

5. Cấu trúc khóa luận
Luận văn gồm 3 chương
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

của đại số giao hoán đó là: Vành, iđêan và môđun. Các kiến thức
này phục vụ cho việc chứng minh các mệnh đề và định lý của các
chương sau.
• Chương 2: Đối ngẫu của không gian véctơ và môđun nội xạ
Trong Chương 2, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản
về lý thuyết đối ngẫu của không gian véctơ. Dựa trên những tính
chất này, trong chương sau chúng tôi sẽ xây dựng định nghĩa hàm
tử đối ngẫu cho các môđun. Phần thứ hai của chương, chúng tôi
nhắc lại khái niệm môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, bao nội xạ và
một số tính chất của bao nội xạ. Những kết quả này là cơ sở để
chứng minh các mệnh đề trong chương sau.
• Chương 3: Môđun chính tắc trên vành Artin địa phương
Trong Chương 3, chúng tôi trình bày về hàm tử đối ngẫu
trên phạm trù môđun, đưa ra định nghĩa về môđun chính tắc của
một vành Artin địa phương A. Phần đầu của chương chúng tôi
đưa ra định nghĩa hàm tử đối ngẫu trên phạm trù các môđun
dựa trên các tính chất của đối ngẫu của không gian véctơ và xây
dựng hàm tử đối ngẫu trên các môđun trên một đại số hữu hạn
trên một trường. Đưa ra một số tính chất của hàm tử đối ngẫu
như bảo toàn linh hóa tử, bảo toàn độ dài, bảo toàn môđun các
đồng cấu. Phần thứ hai của chương chúng tôi trình bày về đỉnh
(top) và đế (socle) của một môđun. Sau khi trình bày về định
nghĩa đỉnh và đế của một môđun chúng tôi nêu ra một số ví dụ
tính toán cụ thể tìm đỉnh và đế của một môđun. Các khái niệm
này sẽ được dùng để đặc trưng vành Gorenstein. Trong phần cuối
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

của chương chúng tôi trình bày định nghĩa của môđun chính tắc
trên vành Artin địa phương và một số tính chất của môđun chính
tắc. Môđun này là cơ sở để định nghĩa vành Gorenstein.

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của
đại số giao hoán, phục vụ cho việc xây dựng khái niệm và chứng minh
các tính chất của các chương sau. Phần đầu tiên chúng tôi nhắc lại
một số kiến thức về vành và iđêan. Phần thứ hai của chương chúng
tôi nêu ra khái niệm của môđun, một số tính chất của môđun và một
số môđun đặc biệt. Cụ thể là môđun Noether và môđun Artin.

1.1

Vành và iđêan

Định nghĩa 1.1.1. Cho A là một tập hợp khác rỗng, trên A trang bị
hai phép toán hai ngôi gọi là phép cộng và phép nhân, kí hiệu là (+)
và (.) tương ứng. Khi đó A được gọi là một vành nếu nó thỏa mãn các
điều kiện sau
(i) A cùng với phép cộng là một nhóm abel;
(ii) A cùng với phép nhân là một nửa nhóm;
(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi x, y, z ∈ A
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

thì (x + y).z = xz + yz và z.(x + y) = zx + zy
Vành A được gọi là vành có đơn vị nếu A là một vị nhóm nhân.
Vành A được gọi là một vành giao hoán nếu phép nhân có tính
chất giao hoán.
Vành A được gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu A là một vị
nhóm nhân giao hoán.
Chú ý 1.1.2. Trong toàn bộ luận văn này phần tử không của vành
luôn được ký hiệu là 0. Phần tử đơn vị của vành (nếu có) luôn được
ký hiệu là 1.
Mệnh đề sau đưa ra một số tính chất cơ bản trong vành
Mệnh đề 1.1.3. Cho A là một vành. Khi đó
1. 0.x = x.0 = 0, ∀x ∈ A;
2. (−x).y = x.(−y) = −(xy), ∀x, y ∈ A;
3. (−x).(−y) = xy, ∀x, y ∈ A;
4. x.(y − z) = xy − xz; (x − y).z = xz − yz, ∀x, y, z ∈ A;
5. Trong X có luật phân phối tổng quát, tức là
m

n

xi yj , ∀xi , yj ∈ A;

(x1 + x2 + ... + xm )(y1 + y2 + ... + yn ) =
i=1 j=1

6. (nx)y = x(ny) = n(xy), ∀x, y ∈ A, n ∈ Z;

ở đó n(x) :=




x + ··· + x




n



nếu n > 0

0
nếu n = 0






(−x) + ... + (−x) nếu n < 0


−n

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

7. Nếu A là một vành giao hoán thì
n

Cni xi y n−i ∀x, y ∈ A, n ∈ N∗

n

(x + y) =
i=0

.
Định nghĩa 1.1.4. Cho A, B là hai vành. Một ánh xạ f : A → B
được gọi là đồng cấu vành nếu với mọi a, b ∈ A thì
(i) f (a + b) = f (a) + f (b);
(ii) f (ab) = f (a).f (b);
Nếu A, B đều là hai vành có đơn vị thì đòi hỏi thêm điều kiện
(iii) f (1) = 1.
Định nghĩa 1.1.5. Cho đồng cấu f : A → B. Ta nói f là đơn cấu
(toàn cấu hay đẳng cấu) nếu ánh xạ f là đơn ánh (toàn ánh hay song
ánh, tương ứng). Trong trường hợp f là đẳng cấu thì ta nói hai vành
A và B là đẳng cấu với nhau, ký hiệu A ∼
= B.
Các mệnh đề dưới đây đưa ra một số tính chất cơ bản của đồng
cấu vành, việc chứng minh chúng dễ dàng suy ra từ định nghĩa.
Mệnh đề 1.1.6. Cho đồng cấu vành f : A → B. Khi đó
1. f (0) = 0;
2. f (−a) = −f (a) với mọi a ∈ A;
3. f (a − b) = f (a) − f (b) với mọi a, b ∈ A.
Mệnh đề 1.1.7. Nếu f : A → B, g : B → C là hai đồng cấu vành
thì tích (ánh xạ hợp thành) g ◦ f : A → C cũng là một đồng cấu vành.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

Định nghĩa 1.1.8. Một iđêan a của vành A là một tập con của A
thoả mãn các điều kiện sau
(i) a = φ;
(ii) a − b ∈ a với mọi a, b ∈ a;
(iii) ax ∈ a và xa ∈ a với mọi x ∈ A và mọi a ∈ a.
Định nghĩa 1.1.9. Các phép toán trên iđêan
a) Giao của một họ các iđêan của vành A là một iđêan của vành A.
b) Nếu A là một vành có đơn vị, a là một iđêan của vành A chứa đơn
vị của A thì a = A.
c) Cho a, b là hai iđêan của vành A, khi đó ta định nghĩa

a + b = {a + b | a ∈ a, b ∈ b}.
n

ab = {

ai bi | ai ∈ a, bi ∈ b}.
i=1

là các iđêan của A, gọi là tổng, tích của hai iđêan.
a :A b = {x ∈ A | xb ⊆ a}
là iđêan của A và được gọi là iđêan chia. Trong đó xb = {xb | b ∈ b}.
Khái niệm iđêan cho ta một đối tượng quan trọng trong vành là
vành thương.
Định nghĩa 1.1.10. Cho a là một iđêan của vành A. Dễ thấy rằng
quan hệ hai ngôi
a

trên A cho bởi
b ⇔ a − b ∈ a với mọi a, b ∈ A
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

là một quan hệ tương đương. Đặt tập thương A/a = {x + a : x ∈ A}.
Trên A/a ta trang bị hai phép toán
(x + a) + (y + a) = (x + y) + a với mọi x + a, y + a ∈ A/a
(x + a)(y + a) = (xy) + a với mọi x + a, y + a ∈ A/a
Khi đó A/a cùng với hai phép toán này lập thành một vành và
được gọi là vành thương của vành A theo iđêan a.
Định nghĩa 1.1.11. Đồng cấu tự nhiên
ϕ : A −→ A/a
x −→ x + a
là một toàn cấu vành, gọi là toàn cấu chính tắc từ A lên vành thương
A/a. Hơn nữa, Kerϕ = a.
Mệnh đề dưới đây là một trong các tính chất quan trọng nhất
của đồng cấu vành.
Mệnh đề 1.1.12. Cho f : A → B là một đồng cấu vành. Khi đó hạt
nhân Kerf := f −1 (0) là một iđêan của A, ảnh Imf = f (A) là một
vành con của B và f cảm sinh một đẳng cấu vành A/Kerf ∼
= Imf .
Định nghĩa 1.1.13. Một iđêan thực sự p của vành A được gọi là
iđêan nguyên tố nếu xy ∈ p thì suy ra x ∈ p hoặc y ∈ p.
Một iđêan thực sự m của vành A được gọi là iđêan tối đại nếu
chỉ có hai iđêan của A chứa m là m và A.
Đặc trưng của iđêan nguyên tố và tối đại được cho bởi mệnh đề
sau mà việc chứng minh là sơ cấp.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

Mệnh đề 1.1.14. Cho I là một iđêan của vành A. Khi đó
1. I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A/I là một miền nguyên
2. I là iđêan tối đại khi và chỉ khi A/I là một trường
Hệ quả là mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố.
Nhận xét 1.1.15. Nhờ bổ đề Zorn ta dễ dàng suy ra mọi vành A đều
chứa ít nhất một iđêan tối đại.
Định nghĩa 1.1.16. Một vành được gọi là vành địa phương nếu nó
chỉ có một iđêan tối đại.
Định nghĩa 1.1.17. Cho a là một iđêan của vành A. Khi đó
r(a) = {x ∈ A | ∃n ∈ N∗ : xn ∈ a}
là một iđêan của a và được gọi là căn của a.
Đặc biệt r(0) = {x ∈ A | ∃n ∈ N∗ : xn = 0} được gọi là căn lũy linh
của A.
Nhận xét 1.1.18. Cho a là một iđêan của vành A, p và m lần lượt
là iđêan nguyên tố và iđêan tối đại của A, khi đó
r(a) =

p, J(A) =

m
m∈M axA

p∈SpecA

Trong đó: SpecA là phổ của vành A - là tập hợp gồm tất cả các iđêan
nguyên tố của A.
J(A) được gọi là căn Jacobson của vành A.
MaxA là tập tất cả các iđêan tối đại của A.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

Định nghĩa 1.1.19. Cho A là một vành. Đặt (0 :A x) là tập gồm tất
cả các phần tử a ∈ A thoả mãn a.x = 0. Khi đó (0 :A x) là một iđêan
của A và được gọi là linh hoá tử của x trong A, kí hiệu AnnA (x) hoặc
Ann(x). Tức là
AnnA (x) = (0 :A x) = {a ∈ A | ax = 0} .
Đặc biệt AnnA 1 = 0, AnnA 0 = A
Định nghĩa 1.1.20. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1. Một
xích các iđêan nguyên tố trong A là một dãy tăng thực sự các iđêan
nguyên tố trong A có dạng
p0

···

p1

pn

Số nguyên n được gọi là độ dài của xích này. Ta gọi cận trên đúng của
độ dài tất cả các xích trong A là chiều (Krull) của A, ký hiệu dim A,
tức là
dim A = sup{n | ∃p0

p1

···

pn , pi là xích trongA}

Ví dụ 1.1.21.
(1) dim Z = 1 vì các xích cực đại trong Z là 0
tố.
(2) dim k = 0 với k là một trường tùy ý.
(3) dim A = 0 nếu A là một vành Artin.

11

pZ với p là số nguyên


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Đỗ Thị Kim Dung

Môđun

Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một vành có đơn vị 1. Một A - môđun
là một tập hợp M cùng với hai phép toán (+) : M × M → M và
(·) : A × M → M thoả mãn
(i) M là một nhóm abel đối với phép cộng, với phần tử trung lập là 0;
(ii) a(x + y) = ax + ay với mọi a ∈ A và mọi x, y ∈ M ;
(iii) (a + b)x = ax + bx với mọi a, b ∈ A và mọi x ∈ M ;
(iv) a(bx) = (ab)x với mọi a, b ∈ A và mọi x ∈ M ;
(v) 1x = x với mọi x ∈ M .
Mệnh đề 1.2.2. Cho M là một A - môđun, p là iđêan nguyên tố của
A. Khi đó hai khẳng định sau là tương đương.
(i) Tồn tại phần tử 0 = x ∈ M sao cho AnnA (x) = p;
(ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với A/p.
Định nghĩa 1.2.3. Cho M là một A - môđun. Một iđêan nguyên tố
p của A được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai
điều kiện của mệnh đề 1.2.2 được thỏa mãn.
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssA M
(hoặc AssM nếu không để ý đến vành A).
Định nghĩa 1.2.4. Cho M , N là hai A - môđun. Một ánh xạ
f : M −→ N là một đồng cấu A - môđun (hay A - tuyến tính) nếu
(i) f (x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ M ;
(ii) f (ax) = a.f (x) với mọi a ∈ A và mọi x ∈ M .
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

Chú ý 1.2.5. Nếu A là trường thì một đồng cấu A – môđun giống
như một ánh xạ tuyến tính của các không gian véctơ.
Đồng cấu A – môđun được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu
nếu ánh xạ f tương ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh.
Nếu có một đẳng cấu A – môđun từ M đến N thì ta nói M và
N đẳng cấu với nhau, ký hiệu M ∼
= N.
Mệnh đề 1.2.6. Nếu f : M −→ N , g : N −→ L là hai đồng cấu
A – môđun thì tích (ánh xạ hợp) g ◦ f : M −→ L cũng là đồng cấu
A – môđun.
Định nghĩa 1.2.7. Cho A – môđun M và N là tập con của M . Khi
đó, N được gọi là môđun con của M nếu
(i) N = φ;
(ii) x − y ∈ N với mọi x, y ∈ N ;
(iii) ax ∈ N với mọi x ∈ N , a ∈ A.
Định nghĩa 1.2.8. Cho N là môđun con của A – môđun M . Tập
thương M/N có cấu trúc A – môđun với hai phép toán
• Với mọi x + N, y + N ∈ M/N : (x + N ) + (y + N ) = (x + y) + N ;
• Với mọi x + N ∈ M/N , a ∈ A : a(x + N ) = ax + N .
Ta gọi đó là môđun thương của môđun M trên môđun con N .
Mệnh đề 1.2.9. Nếu f : M → N là một đồng cấu A – môđun thì
Kerf := f −1 (0) là một môđun con của M , Imf = f (M ) là một môđun
con của N và f cảm sinh một đẳng cấu A – môđun: M/Kerf ∼
= Imf .
Định nghĩa 1.2.10. Cho M là một A - môđun. M được gọi là môđun
đơn nếu M có hai môđun con tầm thường là 0 và M .
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

Mệnh đề 1.2.11. (Bổ đề Nakayama) Cho M là một A - môđun hữu
hạn sinh và a là một iđêan của A được chứa trong căn Jacobson của A,
tức là giao của tất cả các iđêan cực đại trong A. Khi đó, nếu aM = M
thì suy ra M = 0.
Chú ý 1.2.12. Nếu A là một vành địa phương, m là iđêan tối đại của
nó, M là một A – môđun hữu hạn sinh. Khi đó M/mM được triệt tiêu
bởi m, do đó M/mM là một A/m – môđun, nghĩa là A/m – không
gian véctơ hữu hạn chiều. Chiều của M/mM bằng số phần tử sinh tối
tiểu của M .
Mệnh đề 1.2.13. Cho x1 , . . ., xn là những phần tử của M mà ảnh
của chúng trong M/mM tạo thành một cơ sở của không gian véctơ
này. Khi đó {x1 , x2 , ..., xn } là một hệ sinh của M .
Một đối tượng quan trong trong lý thuyết đồng điều là dãy khớp.
Định nghĩa 1.2.14. Một dãy các A – môđun và A – đồng cấu
fn+1

fn

· · · −→ Mn−1 −→ Mn −→ Mn+1 −→ · · ·

(*)

được gọi là khớp tại Mi nếu Imfi = Kerfi+1 , với mọi i.
Dãy (*) được gọi là dãy khớp nếu dãy đó khớp tại mọi Mi .
f

g

Một dãy khớp dạng 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 được gọi là
dãy khớp ngắn.
Nếu dãy (*) chỉ đòi hỏi Imfi ⊆ Kerfi+1 thì dãy này được gọi là
một phức.
Mệnh đề sau chỉ ra một điều kiện tương đương của dãy khớp
ngắn.
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung
f

g

Mệnh đề 1.2.15. Dãy 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 (∗) các A môđun và các A - đồng cấu là dãy khớp ngắn khi và chỉ khi
(i) f là đơn cấu;
(ii) g là toàn cấu;
(iii) Imf = Kerg.
Định nghĩa 1.2.16. Cho M là A - môđun, M được gọi là môđun
Noether (Artin) nếu mọi tập khác rỗng các môđun con của M luôn
chứa ít nhất một phần tử cực đại (cực tiểu) theo quan hệ bao hàm.
Một vành được gọi là vành Noether hay Artin nếu nó là môđun
Noether hay Artin trên chính vành đó.
Định lý 1.2.17. Điều kiện tương đương môđun Noether
Cho M là A - môđun, các điều kiện sau là tương đương
(i) M là A - môđun Noether;
(ii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh;
(iii) Mọi dãy tăng các môđun con của M
M1 ⊆ M2 ⊆ . . . ⊆ Mn ⊆ . . .
đều dừng, tức tồn tại k > 0 để Mk = Mk+1 = . . .
Ví dụ 1.2.18. Z là Z - môđun Noether.
Định lý 1.2.19. Điều kiện tương đương môđun Artin
Cho M là một A - môđun. Các điều kiện sau là tương đương
(i) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực tiểu.
(ii) Dãy giảm bất kì các môđun con của M
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

M1 ⊇ M2 ⊇ . . . ⊇ Mn ⊇ . . .
đều dừng, tức tồn tại k > 0 để Mk = Mk+1 = . . .
Định nghĩa 1.2.20. Vành A được gọi là vành Artin nếu nó là
A - môđun Artin.
Ví dụ 1.2.21.
(i) Trường k bất kì là vành Artin.
(ii) Vành hữu hạn bất kì là vành Artin.
(iii) Cho G ⊆ Q/Z là tập gồm tất cả các phần tử có bậc là lũy thừa
của một số nguyên tố p nào đó. Khi đó có thể thấy rằng G là nhóm
con hữu hạn thực sự của Q/Z. Do đó G là một Z - môđun Artin. Nó
không là Noether trên Z.
(iv) A = Z không là vành Artin. Ví dụ như dãy của các iđêan
(n) ⊇ (n2 ) ⊇ (n3 ) ⊇ . . . không dừng, với n ∈ Z, n > 1
(v) Cho A = k[X], trường k không là Artin. Ví dụ như dãy của các
iđêan (X) ⊇ (X 2 ) ⊇ (X 3 ) ⊇ . . . không dừng. Nhưng k[X] là một vành
Noether.
(vi) Cho A = k[X1 , X2 , . . . , Xn , . . .], là vành đa thức vô hạn biến
X1 , X2 , . . . , Xn , . . . với các hệ tử trên trường k. Khi đó A không là
vành Artin cũng không là vành Noether.
Hệ quả 1.2.22. Cho dãy
0 −→ M −→ M −→ M −→ 0
là một dãy khớp ngắn các A - môđun. Khi đó M là môđun Artin
(Noether) khi và chỉ khi M , M là môđun Artin (Noether).
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hệ quả 1.2.23. Cho M =

Đỗ Thị Kim Dung
n
i=1 Mi ,

khi đó M là Artin (Noether) khi

và chỉ khi Mi là Artin (Noether), với mọi i = 1, . . ., n.
Hệ quả 1.2.24. Môđun hữu hạn sinh bất kì trên vành Artin là môđun
Artin.
Hệ quả 1.2.25. Nếu I là một iđêan trong một vành Artin thì vành
A/I cũng là vành Artin.
Mệnh đề 1.2.26. Cho M là A - môđun, N là A - môđun con của M .
Khi đó M là A - môđun Artin (Noether) khi và chỉ khi N và M/N là
A - môđun Artin (Noether).
Tính chất 1.2.27. Cho A là một vành Artin. Khi đó mọi iđêan nguyên
tố của A đều tối đại.
Hệ quả 1.2.28. A là vành Artin khi và chỉ khi A là vành Noether và
dimA = 0.
Hệ quả 1.2.29. Trong một vành Artin, căn lũy linh bằng căn Jacoboson.
Tính chất 1.2.30. Một vành Artin chỉ có hữu hạn các iđêan cực đại.
Định nghĩa 1.2.31. Xích các môđun con của môđun M là một dãy
M1 , . . ., Mn các môđun con của M thoả mãn
M = M0

M1

...

Mn = 0

Ta gọi độ dài của xích là n.
Định nghĩa 1.2.32. Một dãy hợp thành của M là một xích cực đại
các môđun con của môđun M , tức là không có môđun con nào có thể
bổ sung thêm vào xích.
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

Mệnh đề 1.2.33. Xích M = M0
thành khi và chỉ khi Mi−1 /Mi (0

M1
i

...

Mn = 0 là dãy hợp

n) là đơn. Nghĩa là không có

môđun con nào ngoài 0 và chính nó.
Định nghĩa 1.2.34. Nếu A - môđun M có một dãy hợp thành có độ
dài n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n. Khi đó
độ dài chung của các dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của
môđun M và kí hiệu là

A (M ).

Nếu A - môđun M không có dãy hợp thành thì ta quy ước độ dài
A (M )

= ∞ và được gọi là môđun có độ dài vô hạn.

Mệnh đề 1.2.35. Cho M , M , M là các A - môđun, khi đó ta có
các tính chất sau
(i) Một A - môđun M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là
môđun Noether vừa là môđun Artin.
(ii) Cho dãy khớp ngắn các A - môđun
0 −→ M −→ M −→ M −→ 0.
Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M và M có độ dài hữu
hạn, và ta luôn có
A (M )

=

A (M

)+

A (M

).

(iii) Nếu M là A - môđun con của A - môđun M và M có độ dài hữu
hạn thì

A (M )

=

A (M

)+

A (M/M

18

).


Chương 2
Đối ngẫu của không gian véctơ và
môđun nội xạ
Trong Chương 2, chúng tôi trình bày một số kiến thức là cơ sở
để chứng minh các định lý và mệnh đề trong chương sau. Phần thứ
nhất chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản của lý thuyết đối ngẫu
của không gian véctơ. Dựa trên những tính chất này, trong chương
sau chúng tôi sẽ đi xây dựng hàm tử đối ngẫu cho các môđun. Phần
thứ hai chúng tôi nhắc lại định nghĩa môđun nội xạ, môđun xạ ảnh,
bao nội xạ và một số tính chất của bao nội xạ.

2.1

Đối ngẫu của không gian véctơ hữu hạn chiều
Cho E, F là hai không gian véctơ trên một trường K. Ta quan

tâm đến các ánh xạ K - tuyến tính ϕ : E → F . Tập hợp tất cả các ánh
xạ tuyến tính này được kí hiệu là HomK (E, F ). Trong HomK (E, F )
ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng như sau
(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x);
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Kim Dung

(aϕ)(x) = aϕ(x),
với x ∈ E và a ∈ K. Khi đó HomK (E, K) là một K - không gian
véctơ với các phép toán trên.
Định nghĩa 2.1.1. Cho E là không gian véctơ trên trường K. Khi
đó không gian véctơ HomK (E, K) được gọi là không gian véctơ đối
ngẫu của E và kí hiệu là E ∗ .
Cho v1 , . . ., vn là một cơ sở của không gian véctơ E. Xét các
phiếm hàm vi∗ ∈ E ∗ được xác định bởi điều kiện

vi∗ (vj ) =



0 nếu i = j

1 nếu i = j

Bổ đề 2.1.2. Hệ các phiếm hàm v1∗ , . . ., vn∗ là một cơ sở của không
gian đối ngẫu E ∗ .
Chứng minh. Trước tiên ta chỉ ra v1∗ , . . ., vn∗ là một hệ sinh của E ∗ .
Cho f ∈ E ∗ và x ∈ E tuỳ ý. Vì v1 , . . ., vn là cơ sở của E nên ta có
n
j=1 aj vj

thể viết x =

vi∗ (x) = vi∗ (

với a1 , . . ., an ∈ K nào đó. Ta có

n
j=1 aj vj )

=

n

j=1 aj vi (vj )

=

n
j=1 aj f (vj )

=

n
j=1 aj δij

= ai ,

với i = 1, . . ., n. Khi đó
f (x) = f (
=[
Suy ra f =

n
j=1 aj vj )

n

j=1 f (vj )vj ](x)

n

j=1 f (vj )vj

=

n

j=1 vj (x)f (vj )

với mọi x ∈ E.

là tổ hợp tuyến tính của v1∗ , . . ., vn∗ .

20


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×