Tải bản đầy đủ

thaytoan net cac phuong phap tinh tich phan

http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu

Cách chọn
  
Đặt x = |a| sint; với t    ;  hoặc x = |a| cost;
 2 2
với t   0;  

a2  x2

a
a
  
; với t    ;  \ 0 hoặc x =
;

sint
cost
 2 2
 
với t  0;   \  
2
  
Đặt x = |a|tant; với t    ;  hoặc x = |a|cost;
 2 2
với t   0;  

x 2  a2

Đặt x =

a2  x 2

ax
hoặc
ax

Đặt x = acos2t

ax
ax

Đặt x = a + (b - a)sin2t

 x  a  b  x 
1
a  x2

  
Đặt x = atant; với t    ; 
 2 2

2

1


Bài 1: Tính I 


2
2

1  x2
dx
x2

Giải:

  
Đặt x = cost, t    ;  .  dx = - sint dt
 2 2
Đổi cận:
x

2
4
2
t
1
0
1

Khi đó:

I


2
2

=

2

0

2

1 x
1  cos t .sint
dx =  
dt =
2
x
cos 2t



4


0

sin t .sin t
dt =
cos 2t


4

2

sin t


4

 1



 cos t dt =   cos t  1dt
2

0

2

0

4




tan
t

t

 4 = 1  . (vì t  0;  nên sint  0  sin t  sin t )
4
 4
0

1


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

a

Bài 2: Tính I   x 2 a 2  x 2 dx
0

Giải:

  
Đặt x = asint, t    ;  .  dx = acostdt
 2 2
Đổi cận:
x
0
a
t
0

2

2

a

Khi đó: I   x 2 a 2  x 2 dx =

a

2




2



sin 2 t a 2 1  sin 2 t .acostdt = a 4  sin 2 tcos 2tdt =

0

0


4 2

0

a
4

 sin

2

2tdt

0


4 2

a
=
8


a4  1
 a4

1

cos
4
t
dt
=
t

sin
4
t
=


2

0
8  4
16
0

1

Bài 3: Tính I   x 2 1  x 2 dx
0

Giải:

  
Đặt x = sint, t    ;  .  dx = costdt
 2 2
Đổi cận:
x
0
1
t
0

2

2

1


2

Khi đó: I   x 2 1  x 2 dx =  sin 2 t 1  sin 2 t .costdt =
0

0


2

1
1
sin 2 tcos 2 tdt =  sin 2 2tdt =

40
40


2


1 1
1


=  1  cos 4t dt =  t  sin 4t  2 =
80
8 4
 0 16
1

Bài 4: Tính I   x 3 1  x 2 dx
0

Giải:
Đặt t = 1  x 2  t2 = 1 - x2  xdx = -tdt
Đổi cận:
x
0
1
t
1
0
1

1

Khi đó: I   x 3 1  x 2 dx = I   x 2 1  x 2 xdx =
0

e2

Bài 5: Tính I  
e

0

1

1





1  t 2 .t.tdt =

0


0

 t3 t5  1 2
.
t 2  t 4 dt =    =
3
5
0
15





dx
x ln 5 x

2


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

Giải:
Đặt t = lnx  dt =
Đổi cận:
x
t

dx
x

e2
2

e
1
e2

Khi đó: I  
e

2

dx
=
x ln 5 x

1

 1  2 15
=  4   .
 4t  1 64

dt

t

5

1

4

Bài 6: Tính I   x3  x 4  1 dx
0

Giải:

Đặt t = x4 + 1  dt = 4x3dx  x 3dx 
Đổi cận:
x
t

0
1

dt
4

1
2

1

4

Khi đó: I   x3  x 4  1 dx =
0

2
1 4
 1  2 31
t dt   t 5   .

41
 20  1 20


2

Bài 7: Tính I   sin 5 xcoxdx
0

Giải:

Đặt t = sinx ;  dt  cosxdx
Đổi cận:
x
0

2
t
0
1

2

1

Khi đó: I   sin 5 xcoxdx   t 5 dt 
0

0

1
.
6


12

Bài 8: Tính I 

 tan

4

xdx

0


12


12

sin 4 x

 tan 4 xdx   cos 4 x dx

Giải: Ta có:

0

0

Đặt t = cos4x ;  dt  4 s in 4 xdx  sin 4 xdx  
Đổi cận:
x
t

0
1

dt
4


12
1
2

3


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

12

Khi đó: I 


12

 tan 4 xdx  
0

0

1
2

1
1
sin 4 x
1 dt 1 dt 1
1
dx       ln t 1  ln 2.
cos 4 x
41 t 41 t 4
4
2
2


2

Bài 9: Tính I   cos 5 xdx
0

Giải:

2

Ta có:


2


2

5

 cos xdx   cos
0

4





2

xcoxdx   1  sin 2 x coxdx

0

0

Đặt t = sinx ;  dt  cosxdx
Đổi cận:
x
0

2
t
0
1
Khi đó:

2


2
5



2




2

2



I   cos xdx   1  sin x coxdx   1  t
0

0

2

0


4

Bài 10: Tính I  
0



2


2



2

dt   1  2t  t

4

0



 2t 3 t 5  1 5
dt   t 
   .
3
5  0 18


1
dx
cos 4 x

Giải:
Đặt t = tanx ;  dt 
Đổi cận:
x

0

t

Khi đó: I  
0


2

Bài 11: Tính I  

6

Giải:


4
1

0

4

1
dx
cos 2 x


4

1
 t3  1 4
1
1
2
2
dx

1

tan
x
dx

1

t
dt

t    .
0
0
cos 4 x
cos 2 x
30 3










cos 3 x
dx
s in 2 x

Đặt t = sinx ;  dt  cosxdx
Đổi cận:
x


6
2
t
1
1
2

4


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

2


2

1
1
1
cos 3 x
(1  s in 2 x)
1 t 2
1
1

 1 
Khi đó: I  
dx  
cosxdx   2 dt    2  1 dt     t  1  .
2
2
s in x
t
2

 t 
 s in x

1
1t
2
6
6
2
2

2

Bài 12: Tính I   sin 3 xcos 3 xdx
0

Giải:
Đặt t = sinx ;  dt  cosxdx
Đổi cận:
x
0

2
t
0
1
Khi đó:

2


2

1
1
 t4 t6  1 1
I   sin 3 xcos3 xdx   sin 3 x 1  sin 2 x cosxdx   t 3 1  t 2 dt   t 3  t 5 dt      .
 4 6  0 12
0
0
0
0


2













2

Bài 13: Tính I   esin x sin 2 xdx
0

Giải:
Đặt t = sin2 x ;  dt  s in2 xdx
Đổi cận:
x
0

2
t
0
1

2

Khi đó: I   e

1
sin 2 x

sin 2 xdx   et dt  et

0

0

1
0

 e  1.


2

sin 2 x
dx
2
1

cos
x
0

Bài 14: Tính I  
Giải:

Đặt t = 1 + cos2x ;  dt   s in 2 xdx  s in 2 xdx   dt
Đổi cận:
x
0

2
t
2
1

2

1
2
2
sin 2 x
dt
dt
Khi đó: I  
dx




ln
t
 ln 2.


2 t 1 t
1  cos 2 x
1
0


4

Bài 15: Tính I   tan 3 xdx
0

5


http://thaytoan.net
Giải:

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

Đặt t = tanx ;  dt  1  tan 2 x  dx  1  t 2  dt  dx 
Đổi cận:
x

0

t


4
1

0

4

Khi đó:

dt
t 1
2



0





2
1
1
1
1
t3
t 
1 2t
t 2 1 1 d t 1

dt

t

dt

tdt

dt





2
2
2
2




0
t

1
t

1
2
t

1
2
2
t

1


0
0
0
0
0
1

I   tan 3 xdx  

1 1 1
1 1
1
 ln t 2  1   ln 2  1  ln 2  .
0 2 2
2 2
2





1

1
dx
x
0 1

Bài 16: Tính I  
Giải:

Đặt t = x ;  t 2  x  dx  2tdt
Đổi cận:
x
1
0
t
0
1
1
1
1
1
1
t
1 

Khi đó: I  
dx  2 
dt  2  1 
 dt  2  t  ln 1  t   2 1  ln 2  .
1 t
1 t 
0
x
0 1
0
0
1

Bài 17: Tính I   x 3 3 1  x 4 dx
0

Giải:

3
Đặt t = 3 1  x 4  t 3  1  x 4  x3dx   t 2 dt
4
Đổi cận:
x
1
0
t
1
0
1
1
3
3 1 3
Khi đó: I   x 3 3 1  x 4 dx   t 3dt  t 4  .
40
16 0 16
0
0

Bài 18: Tính I 

x

1

2

1
dx
 2x  4

Giải:
0

0

1
1
dx  
2
2
x  2x  4
1
1  x  1 

Ta có: 

 3

2

dx

  
Đặt x  1  3 tan t với t    ;  .  dx  3 1  tan 2 t dt
 2 2
Đổi cận:
x
-1
0





6


http://thaytoan.net
t

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
0


6

6


1
3
3
 3
Khi đó: I   2
dx 
dt 
t 6
.

x  2x  4
3 0
3
18
1
0
0

1

x3
dx
1  x8
0

Bài 19: Tính I  
Giải:
1

1

x3
x3
Ta có: 
dx

0 1  x 4
1  x8
0

 

dx

2

1
  
Đặt x 4  tan t với t    ;  .  x 3dx  1  tan 2 t dt
4
 2 2
Đổi cận:
x
0
0
t
0

4



1

1

3

x
x
Khi đó: I  
dx  
8
4
1 x
0
0 1 x

 

e

1

Đặt t  1  ln x  t 2  1  ln x  2tdt 
Đổi cận:
x
t

1
1
e

Khi đó: I  
1

1

Bài 21: Tính I  
0

Giải:

2


4


1 1  tan t
1
1

dx  
dt   dt  t 4  .
2
4 0 1  tan t
40
4
16
0
2

1  ln x
dx
x

Bài 20: Tính I  
Giải:


4

3



dx
x

e

2
1  ln x
dx 
x

ln  2  x 
2 x

2

2

2
 t.2tdt 2  t dt 2
1

1





t3 2 2 2 2 1

.
31
3

dx

Đặt t  ln  2  x   dt 

 dx
2 x

Đổi cận:
x
t

1
1
ln2
0
1
0
ln 2
ln  2  x 
t 2 ln 2 ln 2 2
Khi đó: I  
dx    tdt   tdt 

.
2 x
2 0
2
0
ln 2
0

7


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân


2

cosx
dx
1  sin 2 x
0

Bài 22: Tính I  
Giải:

  
Đặt sin x  tan t với t    ;   cosxdx  1  tan 2 t dt
 2 2
Đổi cận:
x
0

2
t
0

4




2







4
4
cosx
1  tan 2 t

Khi đó: I  
dx

dt

dt 
2
2


1  sin x
1  tan t
4
0
0
0


2

Bài 23: Tính I  

3

Giải:

1
dx
sin x

x
1
x
2dt
 dt   1  tan 2  dx  dx 
2
2
2
1 t2
1
1
2tdt 1
Ta tính:
dx 
.
 dt
2t 1  t 2 t
sin x
1 t2
Đổi cận:
x


3
2
t
1
3
3

1
1
2
1
1
3 1
Khi đó: I  
dx   dt   ln t  3   ln
 ln 3.
t
3
2
 sin x
3
3
3
3
Đặt t  tan

e

Bài 24: Tính I  
1

1
dx
x 1  ln x 

Giải:
Đặt t  1  ln x  dt 
Đổi cận:
x
t

1
1
e

Khi đó: I  
1

dx
x

e
2
2
2
1
dt
dx    ln t  ln 2.
x 1  ln x 
t
1
1

8


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

1
3

Bài 25: Tính I   x5e x dx
0

Giải:

Đặt t  x3  dt  3x 2 dx  x 2 dx 
Đổi cận:
x
t

0
0

1
1

1
3

Khi đó: I   x 5e x dx 
0

1 5
2

Bài 26: Tính I 


1

dt
3

1
1
1 t
1 t1 1 t
e 1 t1 1
te
dt

te

e
dt

 e 
3 0
3 0 3 0
3 3 0 3

x2  1
dx
x4  x2 1

Giải:
1 5
2

Ta có:



2

x 1
dx 
x  x2 1
4

1

Đặt t  x 
Đổi cận:
x


1

1

1
x2

x2  1 

1 5
2

1
x2

dx 


1

1 

1  2 
 x  dx
2
1

x


 1
x


1
1 

 dt   1  2  dx
x
 x 
1

t

1 5
2

1 5
2
1

0
1

dt
1 t2
0

Khi đó: I  





Đặt t  tan u  dt  1  tan 2 u du
Đổi cận:
x
t

0
0

1

4





4
4
dt
1  tan 2 u

Vậy I  

du   du  u 4  .
2
2
1 t
1  tan u
4
0
0
0
0
1

2

Bài 27: Tính I  
1

dx
x 1  x3

Giải:
2

Ta có:

x
1

dx
1  x3

2


1

x 2 dx
x3 1  x3

Đặt t  1  x3  t 2  1  x 3  2tdt  3x 2 dx  x 2 dx 

2tdt
3

9


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

Đổi cận:
x
t

1

2

2
3

Khi đó:
2

I 
1



dx
x 1  x3

2

x 2 dx



x 3 1  x3

1



2
3

3

dt
1
 t 2 1  3
2

3

 1

1 

  t  1  t  1  dt 
2

3
 1 t 1  3
1
1 1
2 1  1
2 1
1
ln t  1  ln t  1 
  ln
  ln  ln
 ln

  ln


3
2 1  3 2 2 1 3
2  3 t 1  2 3  2



2

Bài 28: Tính I  
0



1





2

2 1

3x3
dx
x2  2 x  1

Giải:
2

Ta có:

2

3 x3
3x3
dx

0 x 2  2 x  1 0  x  12 dx

Đặt t  x  1  dt  dx
Đổi cận:
x
0
2
t
2
3
Khi đó:





3
2
3
3
3 t 3  3t 2  3t  1
3  t  1
3x3
3x 3
I  2
dx  
dx  
dt  
dt 
2
2
2
x

2
x

1
t
t
x

1


0
0
1
1
2

3

 t2
9
1 3 3

2 
   3t  9   3t  dt   3  9t  9ln t  3   32  12  9  3  1  9  ln 3  ln1  1  3  9 ln 3  8
t
t1 2

 2
1



ln 2

Bài 29: Tính I 


0



e 2 x  3e x
dx
e 2 x  3e x  2

Giải:
Đặt t  e x  dt  e x dx
Đổi cận:
x
0
ln2
t
1
2

10


http://thaytoan.net
ln 2

I


0

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

Khi đó:
ln 2
2
2
e 2 x  3e x
ex  3
t 3
1 
 2
x
dx

e
dx

dt



dt 
2x
x
2x
x
2



e  3e  2
e  3e  2
t  3t  2
t 1 t  2 
0
1
1

2

2
2
2
1
1
3
4
9
4
27
 2
dt  
dt  2 ln t  1  ln t  2  2  ln 3  ln 2    ln 4  ln 3  2 ln  ln  ln  ln  ln
1
1
t 1
t2
2
3
4
3
16
1
1
4

Bài 30: Tính I  
1

dx



x 1 x



Đặt x  t 2  dx  2tdt
Đổi cận:
x
1
4
t
1
2
4
2
2
2
dx
2tdt
dt
1 1 
I 
 2
2
2  
 dt 
t
1

t
t
1

t
t
1

t






x
1

x
1
1
1
1
Khi đó:
2
1
4
 2
 2  ln t  ln t  1   2  ln  ln   2 ln .
1
2
3
 3

Giải:





1

Bài 31: Tính I  

3

1  x  dx
2

0

 
Đặt x  sin t , t  0;   dx  costdt
 2
Đổi cận:
x
0
1
t
0

2
Khi đó:

Giải:

1

I 
0


2

3

0


2


2

2

 1  cos 2t 
1  sin t .costdt   cos t.costdt   cos tdt   
 dt 
2

0
0
0

1  x  dx   
2


2


2

2



3

3


2


2

4


2




1
1
1
1
1  1 sin 2t
12
  1  2cos 2t  cos 2 2t dt   dt   cos 2tdt   2cos 2 2tdt  .  .

2
1  cos 4t dt 
40
40
20
80
4 2 2 2
8 0
0

2


2


 1
1
  1 sin 4t
  3
   dt   cos 4tdt    .
.
2  
8 80
80
8 16 8 4
8 16 16
0

2

Bài 32: Tính I   cos 3 xdx

6

Giải:

11


http://thaytoan.net

2


2


2

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân



2

sin 3 x  2
I   cos 3 xdx   cos 2 x.cosxdx   1  sin 2 x cosxdx   1  sin 2 x d  sin x    sin x 
 
3 





6
6
6
6
6
1 1 1
5
 1  

3 2 24 24










4

sin 4 x
sin x  cos 4 x
0

Bài 33: Tính I  

4

Giải:

4


4


4


4

sin 4 x
2 sin 2 xcos2 x
2sin 2 xcos 2 x
2sin 2 xcos2 x
dx   4
dx  
dx  
dx 
4
4
2
2
1
sin
x

cos
x
sin
x

cos
x
1

2sin
xcos
x
2
0
0
0
0 1
sin 2 x
2

I

4

4


1 2
1
 1 2 

d  1  sin 2 x    ln 1  sin 2 x 4   ln  ln 2
1 2
2
2

0 1
sin 2 x  2
0
2
1


2

cos 3 x
dx
 1  sin x

Bài 34: Tính I  
4

Giải:

2



4

4









2
2 1  sin 2 x
2
cos 3 x
cos 2 x
I 
dx  
cosxdx  
cosxdx   1  sin x cosxdx 
 1  sin x
 1  sin x
 1  sin x

4

4


1
1

 2 3 2 2
   cosx  cosx sin x dx   cosxdx   s in 2 xdx   sin x  sin 2 x  
2
4
4




4
4
4
4

2


2


2


2

 sin x  cosx 
Bài 35: Tính I   
dx
  sin x  cosx 
4

Giải:


 d  sin x  cosx 
 sin x  cosx 
I  
dx  
   ln sin x  cosx  2  ln 2


sin
x

cosx
sin
x

cosx



4
4
4

2


2


2

Bài 36: Tính I   sin 3 xdx
0

12


http://thaytoan.net

2


2


2

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

3


cos x 
1 2
I   sin 3 xdx   sin 2 x sin xdx    1  cos 2 x d  cosx     cosx 
 2  1 
3 
3 3

0
0
0
0

Giải:

Bài 37: Tính I  





cos3 x
dx
sin x

Giải:
3

cos 3x
4cos x  3cosx
I 
dx  
dx  
sin x
sin x



4cos 2 x  3
sin x


2

 .cosxdx  4 1  sin x   3.d  sin x  

0

2

sin x

1 
1 2

   4 sin x 
d  sin x   4. sin x  ln  sin x   C
sin1 
2

Bài 38: Tính I  
I 

s in3x
dx
sin x

s in3x
3s inx  4sin 3 x
1
dx  
dx   3  4 sin 2 x dx  3x  2 1  cos 2 x dx  3 x  2 x  2. sin 2 x  c
sin x
sin x
2





 x  sin 2 x  C
1

Bài 39: Tính I  
0

Giải:

x
dx
x  x2 1
4

2

Đặt t  x  dt  2 xdx
Đổi cận:
x
0
1
t
0
1
1
1
x
1
dt
Khi đó: I   4
dx

2

x  x 1
2 0  1 2 3
0
t   
 2 4
1
Đặt y  t   dy  dt
2
Đổi cận:
t
0
1
y
1
3
2
2
3
1

1
dt
12
dy
Khi đó: I  

2
2

2 0  1 3 2 1
 3
2
t   
2 y 

 2 4
 4

3
2
y  dz 
dy
4
3
Đổi cận:
y
1
3
2
2

Đặt z 

13


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

z

1
3

3

3

12
Khi đó: I  
21

dy
2



 3
2
2 y 

 4
Đặt z  tan u  dz  1  tan 2 u du

Đổi cận:
z
u





1
3

6

3

Ta được: I 

1
3

Bài 40: Tính I  
0

Giải:


1

3

dz



3 2 3
z 
4
4

1
3

3


1

dz

z 1
2

3


dz
1 1  tan u
1

3

du 
u 
2
2

z 1
3  1  tan u
3  6 3
6
6

3

3


1

x

 2 x  1

2

Đặt t  2 x  1  x 
Đổi cận:
x
t

3


3

3

1

3
4

2

dx
t 1
dt
 dx 
2
2

0
1

1
3

t 1
3
dt 1  1 1 
1
1 3 1 
2
2
Khi đó: I  
dx   2 .     2  dt   ln t     ln 3  
2
t
2 4 1t t 
4
t 1 4
3
0  2 x  1
1
1

3

x

0
9

Bài 41: Tính I   x 2  x  1 dx
1

Giải:

Đặt t  x  1  dt  dx
Đổi cận:
x
-1
0
t
0
1
0

1
9

1
2

1









I   x 2  x  1 dx    t  1 t 9 dt   t 2  2t  1 t 9 dt   t11  2t10  t 9 dt 
Khi đó:

1

0

0

0

 t12
t 11 t10  1 1 2 1
1
 2      
11 10  0 12 11 10 660
 12

2

dx
1  cosx
0

Bài 42: Tính I  
Giải:

14


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

x
d 

dx
dx
x
2

I


 tan 2  1
x
x
1

cosx
2
2
2
0
0 2cos
0 cos
0
2
2

2


2


2

1

Bài 43: Tính I   x15 . 1  3 x8 .dx
0
1

Ta có:

1

15
8
8
8
7
 x . 1  3x .dx   x . 1  3x .x dx
0

0

Đặt t  1  3x 8  dt  24 x 7 dx  dx 
Đổi cận:
x
t
Khi đó:

0
1

dt
24

1
4

 5
3 
4
2
2  4

3
1
t

1
1
1
1
t
t
29
I   x15 . 1  3 x8 .dx   x8 . 1  3x8 .x 7 dx  
. t . dt   t 2  t 2 dt  



3 1 270
3
24
72 1
72  5
0
0
1

2 
 2
1

1

1

Bài 44: Tính I  
0

4

x3
x  x2  1





dx

Giải:
1

I 
0

x3

1

x3
2

x  x 1

dx  
0

1



1

2



x2 1  x

x 1  x





2

x 1  x

1

  x 3 x 2  1dx   x 4 dx   x 2 x 2  1.xdx 
0

0

1

0



dx  
0

x3



x2 1  x

x

2

1 x

2



 dx 

1

x
0

3



x 2  1  x 4 dx 

1
x5 1
1
  x 2 x 2  1.xdx 
5 0 0
5

J

Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx
Đổi cận:
x
0
t
1

1
2

2
2
2
2
3
1
1
1
1 3
1 1
1 5 2 2 3 2
J    t  1 t . dt   t 2  t 2 dt   t 2 dt   t 2 dt  t 2  t 2 
1 3
1
2
21
21
21
5
1



Khi đó:

5



3

2 2 1 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2

 
 

 

5 5 3 3
5
3
15 15 15
2 2 1
Vậy I 

15 15

4

sin 4 x
dx
1  cos 2 x
0

Bài 45: Tính I  
Giải:

15


http://thaytoan.net

4

Ta có:

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

4

sin 4 x

 1  cos

2

0

x

dx  
0

2sin 2 xcos 2 x
dx
1  cos 2 x

2

Đặt t  1  cos x  dt  2sin xcosxdx   sin 2 xdx
cos 2 x  t  1  cos 2 x  2cos 2 x  1  2  t  1  1  2t  3
Đổi cận:
x
0

4
t
2
3
2
3
2

Khi đó:

3

2
2
2  2t  3 dt 2 
6
6

I 
   4  dt    4  dt   4t  6 ln t  3 
t
t
t
3
2
2
2
2

3 
3
4

 4  2    6  ln 2  ln   2  6 ln
2 
2
3


2

dx
 1  sin 2 x

Bài 46: Tính I  
4


2


2


2


2

dx
dx
dx
1
dx
1




 
 tan  x  
2
2
 2
2
4


 1  sin 2 x
  sin x  cosx 
 
 

cos 2  x  
4
4
4  2 cos  x 
4

4

4 



Giải: I  


4

Bài 47: Tính I  
0

co s 2 x
3

 sin x  cosx  2 


21
 2
4

dx

Giải:

4


4

 cosx  sin x  cosx  sin x  dx
3
0  sin x  cosx  2 
 sin x  cosx  2 
0
Đặt t  cosx  sin x  2  dt   cosx  sin x  dx
co s 2 x

Ta có:

x

0

t

2
2 2

I


0

Khi đó:


dx  
3


4
2 2

 t  2  dt 2
t

3


0

2

1
1
1 1
1 2
 1 1  2 2


  
 t 2  t 3  dt    t  t 2 
2 2 6 4 2 3 9



0

1 2  2 2 2
1 2
2
  
 
9 2
6 4 2 9 9 2 32 2





1





2 1



4 2  49
18





2 1



4 2 5
18





2 1

16


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân


4

co s 2 x
dx
sin x  cosx  2
0

Bài 48: Tính I  
Giải:

4

Ta có:


0


4

 cosx  sin x  cosx  sin x  dx
co s 2 x
dx  
sin x  cosx  2
sin x  cosx  2
0

Đặt t  cosx  sin x  2  dt   cosx  sin x  dx
Đổi cận:
x
0

4
t
2
2 2
Khi đó:
2 2

I


0

 t  2  dt 2



t

0

2

2 2
 2
 2  2  2 ln 2  2  3  2 ln 3 
1   dt   t  2 ln t 
0
 t





3
 2  1  2  ln 3  ln 2  2   2  1  2 ln


2 2




2



3





Bài 49: Tính I   sin 2 x 1  sin 2 x dx
0

Giải:
Đặt t  1  sin 2 x  2  dt  2sin xcosxdx  sin 2 xdx
Đổi cận:
x
0

2
t
1
2

2

2

3





Khi đó: I   sin 2 x 1  sin 2 x dx   t 3dt 
0

1


2

t4 2
1 15
 4 
41
4 4

2

Bài 50: Tính I   sin xcosx 1  cosx  dx
0

Giải:
Ta có:

2

2


2






2





I   sin xcosx 1  cosx  dx   sin xcosx 1  2cosx  cos 2 x dx   cosx  2cos 2 x  cos3 x .sin xdx
0

0

0

Đặt t  cosx  dt   sin xdx
Đổi cận:
x
0

2
t
1
0

17


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
0

1

 t 2 2t 3 t 4  1 17
Khi đó: I     t  2t 2  t 3  dt    t  2t 2  t 3  dt   
  
3
4  0 12
2
1
0

2

sin xcosx

Bài 51: Tính I  

a 2cos 2 x  b 2 sin 2 x

0

dx

Giải:

2


2

sin xcosx

Ta có: I  

a 2cos 2 x  b 2 sin 2 x

0

dx  
0


2

sin xcosx





a 2 1  sin 2 x  b 2 sin 2 x



dx  
0

sin xcosx





dx

b 2  a 2 sin 2 x  a 2



 2tdt  2 b 2  a 2 sin xcosxdx

Đặt t  b2  a 2 sin 2 x  a 2  t 2  b 2  a 2 sin 2 x  a 2  
tdt
sin xcosxdx  2
b  a2

Đổi cận:
x
0

2
t
|a|
|b|
b
b
ba
tdt
1
1
Khi đó: I  

.
t


2
2
2
2
2
2
b a
ab
a b a
a t b a









2

Bài 52: Tính I  
0





x 1
dx
3
3x  2

Giải:Đặt t  3 3 x  2  t 3  3 x  2  3t 2 dt  3dx; x 
Đổi cận:
x
t

0
3

t3  2
3

2
2

2
t3  2
2
1 2
1  t5 t 2  2
1  42 4 2  37  4 2
Khi đó: I   3 .t 2 dt   t 4  t dt     3   
 1 
t
3
3
5
2
3
5
5
15
2
3
3




2
2
4
dx
Bài 53: Tính I  
2
7 x x 9
Giải:
dx tdt
tdt
Đặt t  x 2  9  t 2  x 2  9  t  0   tdt  xdx;  2  2
x
x
t 9
Đổi cận:
x
4
7





t

4
5
dt
1 t 3 5 1 7
Khi đó:  2
 ln
 ln
t 9 6 t 3 4 6 4
4
5

18


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân


4

dx
1  tan x
0

Bài 54: Tính I  
Giải:

Đặt t  tan x  dt 
Đổi cận:
x

1
dt
dt
dx  1  tan 2 x dx  dx 

2
2
cos x
1  tan x 1  t 2



0

t




4
1

0

1 
dt
1
t 1




2
2 1 t  2 1 t2
0 1  t  1  t
0 
 
1

I 

Khi đó:










1 1 dt 1 1 tdt 1 1 dt
dt  
 
 
2 01 t 2 0 t 2 1 2 0 t2 1



  


J1

J2

J3

1

Tính: J1 

1 ln 2
1 dt
1
 ln t  1 

2 0 t 1 2
0
2

Tính: J 2 

2
1
1
1 ln 2
1 tdt
1 d t 1 1
2


ln
t

1

2
2
2 0 t  1 4 0 t  1
4
0
4




4

1

Tính: J 3 



1 dt
1

  du  (với t = tanu)
2

2 0 t 1 2 0
8

Vậy I 

ln 2 ln 2   ln 2

  
2
4
8 8
4

2

Bài 55: Tính I  

3

dx
sin x

Giải:

2



3

3



2
dx
sin xdx 2 sin xdx
Ta có: 


2
2
 sin x
 sin x
 1  co s x
3

Đặt t  cosx  dt   sin xdx
Đổi cận:
x


3
2
t
0
1
2
Khi đó:
1
2

1
2

1
2

1
2

1
 dt
dt
1  1
1 
1 dt 1 dt
1
1 1
3
I 

 

dt   
 
   ln t  1  ln t  1  2    ln  ln  

2
2
1 t
2 0  1 t 1 t 
2 0 t 1 2 0 t 1
2
2 2
2
1 1 t
0
0
0

2

19


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

1 1 1
  ln  ln 3
2 3 2
1
x  sin x
Bài 56: Tính I  
dx
2
cos
x
0
Giải:
1
1
1
x  sin x
xdx
sin x
Ta có: I  
dx


dx
2
2
2


cos
x
cos
x
cos
x
0
0
0


 


I1


3

Tính I1  
0

I2

xdx
cos 2 x

u  x
 du  dx

Đặt 

1
dv  cos 2 x dx v  tan x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:




 3

3
3
xdx
 3
sin x
 3 3 d  cosx   3
I1  

x
tan
x

tan
xdx


dx




ln
cosx
3 

3
2


cos
x
3
cosx
3
cosx
3
0
0
0
0 0
0


 3
1
 ln
3
2

3




3
 d  cosx 
sin x
1
Tính I 2  
dx  

3  2 1  1
2
2
cos
x
cos
x
cosx
0
0
0

 3
 ln 2  1
3
1
x3
Bài 57: Tính I  
dx
x2 1
0 x
Giải:
Ta có:
Vậy I 

1

I 
0

2

x  x 1

1

x3

1

x3

dx  
0

x 

1


2

x2  1  x

x 1





2

x 1  x

1

  x3 x 2  1.dx   x 4   x 2 x 2  1.xdx 
0

0

0

1



dx  
0

x3



x2 1  x
2

x 1 x

2

dx 

1

x
0

3



x 2  1  x 4 dx 

1
x5 1
1
  x 2 x 2  1.xdx 
5 0 0
5

2

Đặt t  x  1  dt  2 xdx
Đổi cận:
x
0
t
1

1
2

20


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

Khi đó:
2

1
1
1 12 3
1
1 12 3
12 1
I    t  1 t . dt    t 2  t 2 dt      t 2 dt   t 2 dt
2
5 21
5
5 21
21
1





5

3

1 1 5 2 1 3 2 2
1 2 2 2 2 1 1 1 2 4 2 2 2
1 2 2
    t 2.  t 2.    

    

 
5 2
5 2
31
5 5
5 5 3 3 5
5
3
15 15
1

Bài 58: Tính I 

x

dx
5  4x
Đặt t  5  4 x  dt  4dx
Đổi cận:
x
-1
1
t
9
1



1

Giải:

1

I
Khi đó:



1



5t  1 
9
9
   dt 1 9 5  t
x
5 1
1
4  4
dx  
 
dt  
dt   tdt 
16 1 t
812 t
16 1
5  4x
t
9
1

9 1 2 3 9 5
5
1
5 13 1
t  .
t
  3  1   27  1   
1 8
8 1 16 3
24
4 12 6

9

Bài 59: Tính I   x 3 1  xdx
1

Giải:

Đặt t  1  x  dt   dx
Đổi cận:
x
1
9
t
0
-8
Khi đó:

9

8
3

I   x 1  xdx 
1

0

3 43 3 7 3  0
3
3
468
4
7
t  t 
   2    2   
7  8
4
7
7
4


3 4
 1  t  t  dt     3 t  t  dt  
3

0

3

8

dx



sin
x
sin
x


6
6 


Bài 60: Tính I  
Giải:

3


3


3

dx
dx
2dx



2
 

 3
  3 sin x  sin xcosx
1

sin x sin  x   6  sin x  
sin x  cosx  6
6
6

2
2



I

21


http://thaytoan.net

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân


3



6


3

2dx

 co s x  
2

2

3 tan x  tan x





6


3

2d  tan x 

 tan x  



3 tan x  1

 2 3

6

d  tan x 



3 tan x







3 tan x  1


3


1
1

 2 3 

d  tan x  
3 tan x  1 
  3 tan x
6


3

 2

6


3

d  tan x 
 2
tan x


d





  2 ln tan x  3  2 ln

3 tan x  1
3 tan x  1




6

6



1 
3
3 tan x  1
 2  ln 3  ln
  2  ln 4  ln 2  

3

6



3
 2 ln 3  2 ln 2  ln  
2
1

dx
e 3
0

Bài 61: Tính I  

2x

Giải:
Đặt t  e x  dt  e x dx
Đổi cận:
x
0
t
1
Khi đó:

1
e

 

e
e
e
e
d t2
dx
dt
tdt
1
2tdt
1
I   2x



  2 2
e  3 1 t t 2  3 1 t 2 t 2  3 2 1 t 2 t 2  3
2 1 t t 3
0
1

















e
e 1
1 1 1
1 
1 2
e2  3 
2
2

 .  2  2
d
t

ln
t

ln
t

3

2

ln

1 6
2 31t
t  3 
6
4 


 

1

Bài 62: Tính I 





dx

 11  5 x 

2

2

Giải:

Đặt t  11  5 x  dt  5dx
Đổi cận:
x
-2
1
t
1
6
1
6
dx
1 dt
1 6 1 1 1
Khi đó: I  



 
2
2

1
5
t
5
t
30
5 6
11

5
x


2
1
e

Bài 63: Tính I  

sin  ln x 
x

1

Giải:

Đặt t  ln x  dt 
Đổi cận:
x

1

dx

dx
x

e

22


http://thaytoan.net
t

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
0

1
sin  ln x 

e

Khi đó: I  

x

1

1

dx   sin tdt  cost
0

1
0

  cos1  cos 0  1  cos1

5

Bài 64: Tính I   x 2  9dx
3

Giải:
t2  9
2t
2
t  9 t2  9
t2  9
x2  9  t  x  t 

 dx 
dt
2t
2t
2t 2
Đổi cận:
x
3
5
t
3
9
Khi đó:
5
9 2
9
 t2 9
t  9 t2  9
81  9
 t 9 81 
I   x 2  9dx  
. 2 dt      3  dt    ln t  2   ...
2t
2t
4 2t 4t 
6t  3
8 2
3
3
3

t  x  x2  9  x 
Đặt


4

Bài 65: Tính I 

1

  sin x  cosx 



2

dx

12

Giải:

4

I

1

  sin x  cosx 



2

1
dx 
2

12


1

3

 4
 2    dx   2 cot  x  4    2
 sin  x 

12
4 
12


4

1

1

Bài 66: Tính I   sin xdx
0

Đặt t  x  dx  2td
Đổi cận:
x
0
t
0
Khi đó:

1
1

1

I  2  t sin tdt
0

u  t
du  dt
Đặt 

dv  sin tdt v  cosx
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:
1
1
1
1
I  2  tcost   2  costdt  2  tcost   2  sin t   2  sin1  cos1
0 0
0
0

II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
23


http://thaytoan.net
1

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân

Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax trong đó P(x) là một đa thức Đặt
u  P  x 

dv  ...

2

u  ln x
dv  ...

Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt 
1

Bài 1: Tính I   xe 2 x dx
0

du  dx
u  x

Đặt 

1 2x
2x
dv  e dx v  e

2
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1
1
1
1 1
1 2x 1 1 2x
1 2 1 2x
1
1
1
e2  1
2x
I   xe dx  xe
  e dx  e   e d  2 x   e 2  e 2 x  e 2   e 2  1 
2
0 20
2
40
2
4
0 2
4
4
0

3

Bài 2: Tính I  
0

x
dx
cos 2 x

u  x
du  dx

Đặt 
dx  
v  tan x
dv  co s 2 x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:




 4

3
x
 3 3 sin x
 3 3 d  cosx   3
 3
I
dx  x tan x 3   tan xdx 

dx 


 ln cosx 3 
 ln 2
2
cos
x
3
cosx
3
cosx
3
3
0
0
0
0 0
0
1

Bài 3: Tính I   x 2e x dx
0

2

u  x
du  2 xdx
Đặt 


x
x
dv  e dx v  e
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1
1
1
2 x
2 x 1
x
I   x e dx  x e  2  xe dx  e  2 xe x dx
0 0
0
0
1

Tiếp tục tính: J   xe x dx
0

u  x
du  dx
Đặt 


x
x
dv  e dx v  e
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:

24


http://thaytoan.net
1

J   xe x dx  xe x
0

Chuyên đề: Các phương pháp tính tích phân
1
0

1

  xe x dx  1
0

Vậy I = e - 2
1

Bài 4: Tính I    3x  1 e 3 x dx
0

du  3dx
u  3x  1

Đặt 

1 3 x
3 x
dv  e dx v   3 e

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
1
1
1
1 1
1
1
1
1 3 x
1
3 x
3 x 1
3 x
3 x 1
I    3x  1 e dx    3x  1 e
  e dx    3x  1 e
  e d  e3 x     3 x  1 e 3 x  e 3 x 
3
0 0
3
0 30
3
0 3
0
0

2

Bài 5: Tính I   x sin 2 xdx
0


2


2


 2

2
1

cos
2
x
1


Ta có: I   x sin 2 xdx   x
dx    xdx   xcos 2 xdx 
2
2 0
0
0
0





2
x2
2
0 xdx  2 2  8
0


2

Tính

 xcos 2 xdx
0

du  dx
u  x

Đặt 

1
dv  cos 2 xdx v  sin 2 x

2
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:




2
1
12
cos 2 x
1
0 xcos 2 xdx  2 x sin 2 x 2  2 0 sin 2 xdx  0  4 2   2
0
0

2

Vậy I   x sin 2 xdx 
0

2 4
16


2

Bài 6: Tính I   esin x sin 2 xdx
0


2

Giải:


2

Ta có: I   esin x sin 2 xdx  2  esin x sin xcosxdx
0

0

Đặt t  sin x  dt  cosxdx

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×