Tải bản đầy đủ

Chuyên đề tích phân hàm lượng giác

http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC


Dạng 1: Tính tích phân dạng I   f  cos x .sin x dx đặt t  cos x  dt   sin dx


Bài tập giải mẫu:

2

2


Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx
0

Giải:
Cách 1: Ta có:

2


2

2

I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2 cos x  cos2 x  dx 
0

0

Đặt t  cos x  dt   sin xdx
x  0
t  1

Đổi cận 
 
t  0
 x  2
Khi đó


2

  cos x  2 cos

2

x  cos3 x .sin xdx

0

http://dethithu.net


0
1
 t 2 2t 3 t 4  1 17
I     t  2t 2  t 3  dt    t  2t 2  t 3  dt   
  
3
4  0 12
2
1
0
Cách 2:


2

2


2


2

0

0

I   sin x cos x 1  cos x  dx   sin x cos x 1  2 cos x  cos2 x  dx     cos x  2 cos 2 x  cos3 x .d  cos x
0

 cos 2 x 2 cos3 x cos4
 


3
4
 2


x
17
 2 
 0 12

Cách 3:
sin xdx   dt
Đặt t  1  cos x  
… bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất)
cos x  t  1
Cách 4:
du   sin xdx
u  cos x

3
Đặt 

2
2
1  cos x 

d
v

sin
x
1

cos
x
dx


1

cos
x
d
1

co
s
x



 
 v  


3
Khi đó

1
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

www.DETHITHU.NET



Gmail: Loinguyen1310@gmail.com




1
12
2 12
3
3
3
I   cos x. 1  cos x  2   sin x 1  cos x  dx    1  cos x  d 1  cos x 
3
30
3 30
0

2 1
17
4
  1  cos x  2 
3 12
12
0

2

Bài 2: Tính tích phân sau I  

3

dx
sin x

Giải:
Cách 1:
Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được

2

I

dx


2

 sin x  


3


3


2

sin xdx
sin xdx

2
sin x  1  cos 2 x
3

Đặt t  cos x  dt   sin xdx


x
t  0


2
Đổi cận 
 1
x  
t  2


3
Khi đó
0

1
2

1
2

http://dethithu.net

1
2

1
2

 dt
dt
1  1
1 
1 dt 1 dt

 

dt   
 

2
2
2
1

t
1

t
2
t

1
2 0 t 1
1

t


1 1 t
0
0
0

I
2

1
1
1
   ln t  1  ln t  1  2  ln 3
2
2
0
Cách 2:
x
1
x 
2dt
1
Đặt t  tan  dt   tan 2  1 dx  dx  2

dx 
2
2
2 
t 1
sin x

1
2tdt 1
.
 dt
2t 1  t 2 t
1 t2




x

3

t 
3
Đổi cận 

3

x 
t  1


2

http://dethithu.net
2
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

2

1
dx 
Khi đó I  
 sin x
3

1

1
 t dt   ln t 
3
3

1

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

3 1
 ln 3.
3   ln
3
2
3

Cách 3:
x


d  tan 
dx
dx
dx
x 2 1
2
I 

dx  
 
 ln tan
 ln 3
x
x
x
x
x
2  2
2
 sin x



2 sin cos
2 tan cos
tan
3
3
3
2
2
2
2 3
2
3
Cách 4:
I 


2


2


2


2

dx


2


2


2

3

3

sin xdx
sin xdx
1 1  cos x   1  cos x 

 
d  cos x
2
2
2  1  cos x 1  cos x 
x  1  cos x

 sin x   sin


3




2


3


2


2


2

3

3

3

1 
1
1
1
1
1
1


d 1  cos x   
d 1  cos x 

 d  cos x    

2   1  cos x 1  cos x 
2  1  cos x
2  1  cos x



1
1
1
  ln 1  cos x 2  ln 1  cos x 2  ln 3
 2
 2
2
3
3
Cách 5:
u  sin x
du  cos xdx

Đặt 
…. Bạn đọc tự giải nhé
dx  
v   cot x
dv  sin 2 x

2

Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I  
0

sin 2 x  sin x
1  3cos x

http://dethithu.net

dx

Giải:
Cách 1:
Ta có: sin 2 x  sin x  sin x  2 cos x  1 .
Đặt t  1  3cos x ta được dt 

3sin x

2 1  3cos x
t 1
2t  1
cos x 
 2 cos x  1 
3
3
x  0
t  2

Đổi cận 
 
t  1
 x  2
Khi đó
2

dx 

sin x
1  3cos x

dx  

2dt
;
3

2

http://dethithu.net

3
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

2
 4t 2 2 
2  2 34
 4
I  
  dt   t 3  t  
9
9
9  1 27
 27
1
Cách 2: Đặt t  1  3cos x … bạn đọc tự giải
Cách 3:
u  2 cos x  1
du  2 sin x


Đặt 
d 1  3cos x   
2
sin x
dx  
v   1  3cos x
dv 

3

1  3cos x
3 1  3cos x

Khi đó






2
42
2 42
I    2 cos x  1 1  3cos x 2   sin x 1  3cos xdx    1  3cos xd 1  3cos x 
3
30
3 90
0
2 8
 
3 27

1  3cos x 

3


34
2
27
0

http://dethithu.net

Cách 4:
Phân tích

2
1
1  3cos x  
1 2 cos x  1
1 3
3 d 1  3cos x 
dx   .
d 1  3cos x    .
3 1  3cos x
3
1  3cos x
1  3cos x
2
1

1  3cos xd 1  3cos x  
d 1  3cos x 
9
9 1  3cos x
… Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé
Chú ý:
Nếu ta đặt t  cos x thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần nữa mất công nên ta
lựa chọn cách nào là phù hợp nhất


a. sin 2 x  b sin x
a.sin 2 x  bcosx
Tổng quát: 
dx hoặc 
dx ta đặt c  d cos x  t .
c  d cos x
c  d s inx


sin 2 x  sin x


2

sin 2 x.cos x
dx
1  cos x
0

Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I  
Giải:
Cách 1:

2


2

sin 2 x.cos x
sin x.cos2 x
dx  2 
dx
1  cos x
1  cos x
0
0

Ta có I  

dt   sin xdx
Đặt t  1  cos x  
cos x  t  1

http://dethithu.net
4
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498



t  1
x 
Đổi cận 
2
t  2
 x  0
Khi đó
2
1
2
 t  1
 t2
1

I  2 
dt  2   t  2   dt  2   2t  ln
t
t
2
2
1
Cách 2:

2


2

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

2
t   2 ln 2  1
1


2

1  cos2 x   1
sin 2 x.cos x
sin x.cos x
 d cos x
I 
dx  2 
dx  2  


1  cos x
1  cos x
1  cos x
0
0
0
2


2




1
cos2 x


 2  1  cos x 
 ln 1  cos x  2  2 ln 2  1
 d  cos x    sin x 
1

cos
x
2



0
0
Chú ý: d  cos x   d 1  cos x  và ta có thể đặt t  cos x


Tổng quát: I  


a sin 2 x.cos x
dx ta đặt t  b  c.cos x hoặc t  cos x
b  c.cos x

2

4 sin 3 x
dx
1

cos
x
0

Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau I  
Giải:

4 sin 3 x 1  cos x 
4 sin 3 x 1  cos x 
4sin 3 x
Ta có


 4 sin x  4 sin x cos x  4 sin x  2 sin 2 x
1  cos x 1  cos x 1  cos x 
sin 2 x
Cách 1:

2

3

4sin x
Khi đó I  I  
dx 
1  cos x
0


2


0  4sin x  2sin 2 x  dx   cos 2 x  4cos x 2  2
0

Cách 2:

2
0

I


2
0

3

4sin x
dx  
1  cos x


2


2



2
 4sin x  4sin x cos x dx  4  sin xdx  4  cos xd  cos x  4cos x 2  2 cos x 2  2
0
0
0
0

Cách 3:

2


2

4 1  cos2 x  sin x
4sin x
I 
dx  
dx
1

cos
x
1

cos
x
0
0
3

 dt  sin xdx
Đặt t  1  cos x  
cos x  t  1

http://dethithu.net

5
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

www.DETHITHU.NET

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com



t  1
x 
Đổi cận 
2
t  2
 x  0
2
1 4 1   t  1 
2
2

Khi đó I    
dt    4t  8  dt   2t 2  8t   2
1
t
2
1
Chú ý: Có thể đặt t  cos x
Cách 4:

dt
dx 

x
2t

Đặt t  tan  sin x 
2
1 t2


1  t2
cos
x


1 t2

Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau
4sin 3 x 4sin x (1  cos x )(1  cos x )

 4sin x  2sin 2 x … lại có mấy cách khác, bạn đọc tự làm và khám
1  cos x
1  cos x
phá nhé!

2

4 cos3 x
Tương tự I  
dx  2
1  sin x
0

12

Bài 5: Tính tích phân sau I 

 tan 4 xdx
0

Giải:
Cách 1:

12

Ta có:


12

sin 4 x

 tan 4 xdx   cos 4 x dx
0

0

Đặt t  cos 4 x  dt  4sin 4 xdx  sin 4 xdx  

dt
4

x  0
t  1


Đổi cận 
  1
 x  12
t  2

12


12

1
2

1
1
sin 4 x
1 dt 1 dt 1
1
Khi đó I   tan 4 xdx  
dx       ln t 1  ln 2.
cos 4 x
41 t 41 t 4
4
0
0
2
2
Cách 2:

6
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

12

I


12

 tan 4 xdx  
0

0

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com




sin 4 x
1 12 d  cos 4 x 
1
1
dx   
  ln cos 4 x 12  ln 2
cos 4 x
4 0 cos 4 x
4
4
0

2

cos3 x
dx
 1  sin x

Bài 6: Tính tích phân sau I  
4

Giải:

2

3


2


2

2

1  sin x  cos xdx 
2

cos x
cos x
dx  
cos xdx  
 1  sin x
 1  sin x
 1  sin x

I 
4

4


2

 1  sin x  cos xdx


4

4

Đến đây ta đặt t  1  sin x
Hoặc


1
1
3 2 2


I    cos x  cos x sin x dx   cos xdx   sin 2 xdx   sin x  sin 2 x  2 
2
4
4




4
4
4
4

2


2


2

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

2

3sin x  4 cos x
 3
dx 
 ln 3
2
2
6
0 3sin x  4 cos x

Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: I  
HD:

2



2
sin x
cos x
Tách làm hai tích phân I  3
dx

4
dx kết hợp với công thức
2
2

2
2
3sin
x

4
cos
x
3sin
x

4
cos
x
0
0

sin 2 x  cos 2 x  1 ta sẽ được kết quả

2

3cos x  4 sin x
dx
2
2
0 3sin x  4 cos x

Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là J  


3

Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   sin 2 x.tan xdx  ln 2 
0

3
8

HD:
Ta có sin 2 x. tan x  1  cos 2 x 

sin x
và đặt t  cos x
cos x

2

sin 3 x
dx  1  3ln 2
1  cos x
0

Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I  
HD:

7
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

2



Gmail: Loinguyen1310@gmail.com



2
2 sin x 4 cos 2 x  1

dx và đặt t  1  cos x
sin 3 x
3sin x  4 sin3 x
Ta có I  
dx  
dx  
1  cos x
1  cos x
1  cos x
0
0
0


2

sin 3 x

dx   1
2
2
0 1  cos x

Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau I  
HD:

sin 3 x
1  cos2 x
Ta có

sin x và đặt t  cos x
1  cos2 x 1  cos 2 x

2

Bài 5: Tính tích phân sau I  

sin x

x
0 sin x  2 cos x.cos
2
2

dx  ln 2

2

HD:
Ta có sin 2 x  2 cos x.cos 2

x
 sin 2 x  cos x 1  cos x   1  cos x và đặt t  1  cos x
2

2

cos 2 x

dx   1
1  cos x
2
0

Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: I  

6

sin 3 x  sin 3 3 x
1 1
dx    ln 2
1  cos 3 x
6 3
0

Bài 7: Tính tích phân: I  

HD:
Phân tích sin 3x  sin 3 3x  sin 3x 1  sin 2 3 x   sin 3x.cos 3x và đặt t  1  cos 3 x

2

Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: I   ecos x sin 2 xdx  2
0

HD:
Sử dụng công thức nhân đôi sin 2 x  2 sin x cos x và đặt t  cos x

4

1

Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau: I    tan x  esin x cos x dx  ln 2  e

2

1

0

HD:
Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản

2

Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: I    esin x  cos x  cos xdx  e 
0


1
4

HD:
Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản

2

Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I  
0

sin 2 x
dx
4  cos 2 x

8
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

3

Bài 12: Tính tích phân sau: I  

2 sin 2 x  sin x
6 cos x  2

0

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

dx

HD:
Đặt t  6 cos x  2 hoặc t  6 cos x  2

4


4

1  cos2 x  sin x

4 sin x
Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: I  
dx  4 
dx
4
1  cos4 x
0 1  cos x
0
HD: Đặt t  cos x

2

cos x

Bài 14: Tính tích phân sau: I  

1  cos 2 x

0

dx 

3


4

HD:
Phân tích 1  cos 2 x  2  sin 2 x từ đó đặt t  sin x

2

sin 4 x
3
dx  2  6 ln
2
4
0 1  cos x

Bài 15: Tính tích phân sau I  
HD:
Phân tích

sin 4 x
2 sin 2 x cos 2 x

và đặt t  3  cos 2 x hoặc t  cos 2 x
2
1  cos 2 x
1  cos x
1
2
b

Dạng 2: Tính tích phân dạng I 

 f sin x.cos xdx

đặt u  sin x  du  cos xdx

a

Để tính tích phân dạng



a.sin 2 x  b.sin x
c  d .cos x

dx ta đổi biến bằng cách đặt t  c  d .cos x

Bài tập giải mẫu:

4

1  2 sin 2 x
Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau I  
dx
1  sin 2 x
0
Giải:
Cách 1:

4

Ta có I 

2

1  2sin x


4

cos 2 x

 1  sin 2 x dx   1  sin 2 x dx
0

0

Đặt 1  sin 2 x  t  cos 2 xdx 

dt
2

9
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com



t  2
x 
Đổi cận 
4
t  1
 x  0
2
2 1
1 dt 1
Khi đó I    ln t  ln 2
1 2
21 t
2
Hoặc đặt sin 2x  t
Cách 2:

4


4



'

cos 2x
1 1  sin 2 x 
1 4 d (1  sin 2 x ) 1
1
I
dx  
dx  
 ln 1  sin2 x 4  ln 2
1  sin 2 x
2 0 1  sin 2 x 
2 0 1  sin 2 x
2
2
0
0
Cách 3:
2
Biến đối 1 – 2 sin 2 x   cos x  sin x  cos x – sin x  và 1  sin 2 x   cos x  sin x 


4


4


4


d  cos x  sin x 
1  2sin x
cos x  sin x
1
I 
dx  
dx  
 ln cos x  sin x 4  ln 2
1  sin 2 x
cos x  sin x
cos x  sin x
2
0
0
0
0
Hoặc đặt t  sin x  cos x
2


3

Bài 2: Tính tích phân sau I 2 


0

cos x
2  cos 2 x

dx

Giải:
Đặt t  sin x  dt  cos xdx
t  0
x  0


Đổi cận 
 
3
 x  3
t 

2

3

Khi đó I 2 


0

cos x
2  cos 2 x

3
2

dx 


0

dt
3  2t

2



1
2

3
2


0

dt
3 2
t
2

3
3
cos u  dt  
sin udu
2
2


t  0
u


2
Đổi cận 
3 
t 
u  

2

4
Khi đó
Đặt t 

10
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com



I

1
2

3
2

dt



3 2
t
2

0




2

1



2

4


3
2
sin udu
4
1
1

2

du 
u 

3
2
2
4 2
1  cos 2 u 


4
2
4

Chú ý:

3
cos u thì bài toán sẽ nhanh hơn
2

Ta có thể dùng một bước đặt là sin x 
Bài 3: Tính tích phân sau I  

cos 3 x
dx
sin x

Giải:
3

cos 3 x
4 cos x  3cos x
I
dx  
dx  
sin x
sin x

 4 cos

2

x  3

sin x


2

4 1  sin 2 x   3
.cos xdx  
. d  sin x 
sin x
0

1 
1 2

    4 sin x 
d  sin x   4. sin x  ln  sin x   C
sin x 
2

Hoặc đặt t  sin x

2

2

Bài 4: Tính tích phân sau I   esin x sin 2 xdx
0

Giải:
Đặt t  sin 2 x  dt  sin 2 xdx
x  0
t  0

Đổi cận 
 
t  1
 x  2

2

1
sin 2 x

Khi đó I   e

sin 2 xdx   et dt  et

0


2

Hoặc I   e
0

0

sin 2 x


2

sin 2 x

sin 2 xdx   e

1
 e  1.
0
sin 2 x

d  sin x   e
2

0


2  e 1
0

Bài tập tự giải và có hướng dẫn

2

Bài 1: (Bộ đề 96) Tính tích phân sau I  
0

cos x
2  cos 2 x

dx

HD:
Ta có 2  cos 2 x  3  2sin 2 x và đặt t  sin x
Bài 2: (CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006) Tính tích phân sau

11
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

2

3

I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx 
0

www.DETHITHU.NET

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

15
4

HD:
3

3

Ta có sin 2 x 1  sin 2 x   2sin x 1  sin 2 x  cos x và đặt t  sin x

4

x

Bài 3: Tính tích phân sau I   1  tan x.tan  sin xdx
2
0
HD:
x
x
x
2sin cos sin
x
2
2.
2 .sin x  sin x .sin 2 x  1  cos x .sin x và đặt t  cos x
Ta có tan x. tan .sin x 
x
2
cos x
cos x
2
cos x
cos
2
2  1
Đs: I  1 
  ln 2
2
4 2

2

Bài 4: (ĐHĐN – 1998) Tính tích phân sau I  
0

cos x
1  cos2 x

dx 


4

HD:
Phân tích 1  cos2 x  1  1  sin 2 x  2  sin 2 x và đặt t  2  sin 2 x hoặc t  2  sin 2 x

2

Bài 5: (ĐHBKHN – 1998) Tính tích phân: I   cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x  .dx  0
0

HD:
1
Phân tích sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x và đặt t  sin 2 x
2

2

Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau: I  
0

sin 2 x
4
dx  ln
2
3
4  cos x

2

sin x cos3 x
dx
2
0 1  cos x

Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau: I  


6

Bài 8: (CĐSP HCM – 1997) Tính tích phân sau: I  
0


2

Bài 9: (CĐHQ – 1999) Tính tích phân sau I  
0

cos xdx
10
 ln
2
9
6  5sin x  sin x

cos x
7  cos 2 x

dx 


6 2


2

cos xdx
2
0 11  7 sin x  cos x

Bài 10: (CĐHQ HCM – 1999) Tính tích phân sau I  

12
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

2

Bài 9: Tính tích phân I   6 1  cos3 x .sin x.cos5 xdx 
0

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

12
91

HD:
t  6 1  cos3 x  cos3 x  1  t 6 . Hoặc t  1  cos3 x
b

Dạng 3: Tính tích phân dạng I  
a

 sin 2 x 
sin 2 x
 du  sin 2 xdx
f   2  sin 2 xdx đặt u   2  
cos x  du  sin 2 xdx
  cos x 

Bài tập giải mẫu:

2

sin 2 x
dx
2
0 1  cos x

Bài 1: Tính tích phân sau I  

Giải:
Đặt t  1  cos2 x  dt   sin 2 xdx  sin 2 xdx   dt
x  0
t  2

Đổi cận 
 
t  1
 x  2

2

1
2
2
sin 2 x
dt
dt
dx



 ln t  ln 2.
2


t 1 t
1
0 1  cos x
2

Khi đó I  
Hoặc

2


2


d 1  cos 2 x 
sin 2 x
2
I 
dx   
  ln 1  cos x 2  ln 2
2
2
1

cos
x
1

cos
x
0
0
0

4

sin 4 x
dx
2
0 1  cos x

Bài 2: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I  
Giải:

4

Ta có:


4

sin 4 x

 1  cos
0

2

x

dx 


0

2sin 2 x cos 2 x
dx
1  cos 2 x

2

Đặt t  1  cos x  dt  2sin x cos xdx   sin 2 xdx và
cos 2 x  t  1  cos 2 x  2 cos 2 x  1  2  t  1  1  2t  3
x  0
t  2


Đổi cận 
  3
 x  4
t  2
Khi đó

13
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
3
2

I

2  2t  3 dt

2

t

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

3
2

2
2
6
6
4


   4  dt    4  dt   4t  6 ln t  3  2  6 ln
t
t
3
3
2
2
2

Cách khác:

4


4


4


4

2 1  cos x   3
sin 4 x
2 sin 2 x cos 2 x
2 cos x  1
2
I 
dx

dx


2
d
1

cos
x


2
d 1  cos 2 x 


2

2

2

2
1  cos x
1  cos x
0 1  cos x
0
0 1  cos x
0

4


4

2

2


4
 8  sin xd  sin x   6 
 4 sin x  6 ln 1  cos x 4  2  6 ln
2
3
1  cos x
0
0
0
sin 4 x
2 sin 2 x.cos 2 x
sin 2 x.cos 2 x
Hoặc phân tích

4
và đặt t  3  cos 2 x
2
1  cos 2 x
3  cos 2 x
1  cos x
1
2
d 1  cos2 x 



2


2



2

3

Bài 3: Tính tích phân sau I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx
0

Giải:
Đặt t  1  sin 2 x  dt  2sin x cos xdx  sin 2 xdx
x  0
t  1

Đổi cận 
 
t  2
 x  2

2

2

t4 2
1 15
Khi đó I   sin 2 x 1  sin x  dx   t dt 
 4 
41
4 4
0
1
Cách khác:
3

2


2

3

I   sin 2 x 1  sin x  dx 
2

0

3


2

1  sin x 

2

3

 1  sin x  d 1  sin x 
2

2

0


2

Bài 4: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau: I  
0

4

sin 2 x
2

4

2


15
2
4
0

dx

cos x  4 sin x

HD:
Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số

2

I




2

sin 2 x
2

2

dx  

sin 2 x
2

dx

1  sin x  4sin x
1  3sin x
0
dt
Đặt t  1  3sin 2 x 
 sin 2 xdx
3
0

14
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

www.DETHITHU.NET

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com



t  4
x 
Đổi cận 
2
t  1
 x  0
4
4
1
4 2
1 dt 1  2
2
Khi đó I  
  t dt 
t 
31 t 31
3 1 3
Hoặc đặt t  1  3sin 2 x
Chú ý: Không cần biến đổi mà có thể đặt luôn t  cos 2 x  4 sin 2 x hoặc t  cos 2 x  4sin 2 x
Cách 2:

2

I 


2

sin 2 x



2

dx 

2

1  sin x  4 sin x

2
2
2
 1  3sin x 2 
3
3
0
Cách 3:
0




0



12
dx   1  3sin 2 x
30
1  3sin 2 x
sin 2 x







1
2



d 1  3sin 2 x






2

Ta có I 


2

sin 2 x



dx  

sin 2 x

1  cos 2 x
1  cos 2 x
5  3cos 2 x
0
0
4
2
2
2
5  3cos 2 x
5  3cos 2 x
Và đặt t 
hoặc t 
2
2

2

Tổng quát: Để tính I =

sin x cos xdx



2

a cos 2 x  b 2 sin 2 x

0

Ta đặt: u =

2

dx

với a, b  0

2

a cos x  b 2 sin 2 x

2

Bài 5: Tính tích phân sau I  
0

sin x cos xdx
4 cos 2 x  9sin 2 x

HD :
Đặt u = 4 cos 2 x  9 sin 2 x  u2 = 4cos 2 x  9 sin 2 x  udu  5sin x cos xdx
Khi đó
3

I 


2

1 udu
1
.

u
5
u
5

3
2



1
5


Bài 6: (ĐHTCKTHN - 95) Tính tích phân sau I 

2


0

sin x.cos x
b2 cos 2 x  c 2 sin 2 x

dx

HD:

15
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498


1
Nếu b 2  c 2  b   c thì I 
2b
2

2

1

 sin 2 xdx  2 b

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

;

0

2

2

2

2

Nếu b  c  b   c thì đặt t  b cos x  c sin

2

c
x . Khi đó dt 

2

 b 2  sin x.cos x.dx

b 2 cos 2 x  c 2 sin 2 x

1
bc

và tính được I 


2

sin x cos x

Bài 7: Tính tích phân sau I  

a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x

0

dx

Giải:
Cách 1:

2


2

sin x cos x

Ta có I  

sin x cos x

dx  

a 2 cos 2 x  b 2 sin 2 x

0


2

a 2 1  sin 2 x   b 2 sin 2 x

0

dx  
0

sin x cos x

 b2  a2  sin 2 x  a 2

dx

2tdt  2  b 2  a 2  sin x cos xdx

Đặt t   b 2  a 2  sin 2 x  a 2  t 2   b 2  a 2  sin 2 x  a 2  
tdt
sin x cos xdx  2
b  a2



t  b
x 
Đổi cận 
2
 x  0
t  a
b

b
ba
tdt
1
1
 2
.t  2

2
2
2
b a
ab
a b a
a t b  a 

Khi đó I  

2

Cách 2:
Đặt t  a 2 sin 2 x  b 2 cos 2 x  dt  2( b 2  a 2 ) sin x cos xdx

 x  0  t  a2

Đổi cận 

2
x   t  b

2
Nếu a  b

2

Khi đó I  
0

sin x.cos x
a 2 .sin x  b 2 .cos x

dx 

1
2 b2  a 2

b2



a2

dt

1
 2
2
t b a

b2



t
a2

ab
2

b a

2



1
ab

Nếu a  b

2

Khi đó I  
0


2

sin x.cos x
2

2

2

2

a .sin x  b .cos x


2


2

sin x.cos xdx
1
1
1

sin 2 xdx  
cos 2 x 

a
2a 0
4a
2a
0
0

dx  

Bài tập tự giải có hướng dẫn:
16
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com


4

sin 4 x
4
dx  ln 2
6
3
0 sin x  cos x

Bài 1: (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau I  

6

HD:

sin 4 x
2 sin 2 x cos 2 x
3

và đặt t  sin 2 x hoặc t  1  sin 2 2 x
6
3
4
sin x  cos x
1  sin 2 2 x
4


14
1
1
3 2
4
 3 2 
Hoặc I  
d  1  sin 2 x    ln 1  sin 2 x 4  ln 2
3
30
4
3
4
3

1  sin 2 2 x 
0
4
Phân tích

6


4

Bài 2: Tính tích phân sau: I  
0

e tan x
dx
cos 2 x

HD: Đặt t  tan x
3
8

Bài 3: (Đề 104) Tính tích phân sau: I 

 sin


8
3
8

Cách 2: Phân tích I  4 

8

Cách 3: Đặt t  tan

2

dx

x cos 2 x

3
8



1

  cos


8

2

x



1 
dx  4
sin 2 x 

dx
sin 2 2 x

x
2


Dạng 4: Tính tích phân dạng I   f  tan x 


1
1
dx đặt u  tan x  du 
dx  1  tan 2 x  dx
2
cos x
cos 2 x







Hoặc: I   f  tan x  1  tan 2 x dx đặt u  tan x  du 


1
dx
cos2 x

Bài tập giải mẫu:

4

dx
1  tan x
0

Bài 1: Tính tích phân sau I  
Giải:
Đặt t  tan x  dt 

1
dt
dt
dx  1  tan 2 x  dx  dx 

2
2
cos x
1  tan x 1  t 2

17
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

x  0
t  0

Đổi cận 
 
t  1
 x  4
1
dt
1
t 1 
1 1 dt 1 1 tdt
1 1 dt


Khi đó I  


dt  
 
 
2
2 1  t  2 1  t 2  
2 0 1 t 2 0 t2  1 2 0 t2 1
0 1  t  1  t 
0




  


1

J1

J2

J3

1

Tính: J1 

1 ln 2
1 dt
1
 ln t  1 

2 0 t 1 2
0
2

2
1
1
1 ln 2
1 tdt
1 d  t  1 1
Tính: J 2   2
  2
 ln t 2  1 
2 0 t 1 4 0 t 1
4
0
4


4

1

Tính: J 3 
Vậy I 

1 dt
1

  du  (với t  tan u )

2
2 0 t 1 2 0
8

ln 2 ln 2   ln 2

  
2
4
8 8
4

Cách 2:

1
cos x
1  cos x  sin x    cos x  sin x 

 .
1  tan x sin x  cos x 2
sin x  cos x



14
1 4 d  sin x  cos x  1
 1
Khi đó I   dx  
  x  ln sin x  cos x  4   ln 2
20
2 0 sin x  cos x
2
8 4
0
Phân tích

Hoặc: Sử dụng đồng nhất thức cos x  A  cos x  sin x   B  cos x  sin x  đồng nhất hai vế tìm A và B

4

Bài 2: Tính tích phân I 

sin 2 x

 cos x  tan
4



4

2

x  2 tan x  5

dx

Giải:

4

Phân tích I 


4

2

sin x

 cos x  tan
4

2



4

Đặt t  tan x  dt 

x  2 tan x  5

dx 

  tan



4

tan 2 x
2

x  2 tan x  5 .cos 2 x

dx

1
dx
cos2 x



x  4
t  1
Đổi cận 

t  1
x   

4
Khi đó

18
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

 2t  2 
t2
dt
1 t 2  2t  5 dt  1 dt  1 t 2  2t  5dt  31  t  1 2  4
1

I

www.DETHITHU.NET

1



 t  ln t 2  2t  5
1

Tính I1 

1

1

 1  3 I

1

1

 2  5 ln 2  3I1

dt

  t  1

2

1

4

Đặt t  1  2 tan u  dt  2  tan 2 u  1 du

0
1 0
1

Khi đó I1  
du

du

u



2
2 
2 
8
 4  tan u  1


4
4
4
3
Vậy I  2  5 ln 2 
8
0

2  tan 2 u  1


4

1
dx
4
cos
x
0

Bài 3: Tính tích phân sau I  
Giải:
Cách 1:

4


4

1
1
1
dx  
.
dx
4
2
2
cos
x
cos
x
cos
x
0
0
1
Đặt t  tan x  dt 
dx
cos2 x
x  0
t  0

Đổi cận 
 
t  1
 x  4
Ta có I  


4

Khi đó I  
0

1
 t3  1 4
1
2
dx

1

t
dt

0    t  3  0  3 .
cos 4 x

Cách 2:

4


4

1
1
I
dx   1  tan 2 x 
dx 
4
cos 2 x
0 cos x
0


4



tan3 x 
4
0 1  tan x d  tan x   tan x  x  4  3
0
2

Cách 3:

1
sin 2 x  cos 2 x sin 2 x
1
tan 2 x
1





4
4
4
2
2
cos x
cos x
cos x cos x cos x cos2 x
… đến đây thì quá dễ rùi phải không
Cách 4:
Phân tích

19
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

1

u  cos2 x
Đặt 
… Mời bạn đọc tự làm, dễ thôi mà
dv  1 dx

cos 2 x
Hoặc : Đặt t  tan x

4

Bài 4: Tính tích phân sau I   tan 6 xdx
0

Giải:
Cách 1:
Đặt t  tan x  dt   tan 2 x  1 dx  dx 

dt
1 t2

x  0
t  0

Đổi cận 
 
t  1
 x  4
Khi đó

4


1

1

6

1

4 t 5 t 3

t dt
1 
13 

I   tan 6 xdx   2
   t4  t2  1  2
dt

   t    du  

15 4
t 1
5 3
0 0
0
0 t 1
0
Cách 2:
Phân tích
tan 6 x   tan 6 x  tan 4 x    tan 4 x  tan 2 x    tan 2 x  1  1
 tan 4 x  tan 2 x  1  tan 2 x  tan 2 x  1   tan 2 x  1  1
  tan 4 x  tan 2 x  1

1
1
cos 2 x

Khi đó

4




4
 tan5 x tan 3 x

1
13 
4
2
I    tan x  tan x  1
dx   dx  

 tan x  x  4  
2
3
cos x
 5
 0 15 4
0
0

4

Bài 5: Tính tích phân sau I   tan 3 xdx
0

Giải:
t  tan x  dt  1  tan 2 x  dx  1  t 2  dt  dx 

dt
t 1
2

x  0
t  0

Đổi cận 
 
t  1
 x  4
Khi đó

20
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

4

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

2
1
1
1
1
t3
t 
1
2t
t 2 1 1 d  t  1

I   tan xdx   2
dt    t  2
dt 

 dt   tdt   2
t 1
t 1
2 0 t 1
2 0 2 0 t 2  1
0
0
0
0
1

3



1 1 1
1 1
1
 ln  t 2  1   ln 2  1  ln 2  .
0 2 2
2 2
2

Hoặc phân tích tan 3 x   tan 3 x  tan x   tan x  tan x.
 /4

Bài 6: Tính tích phân sau I 

 sin

2

0

1
 tan x …bạn đọc tự giải
cos 2 x

dx
x  2sin x.cos x  cos 2 x

Giải:
Chia cả tử và mẫu cho cos2 x ta được
dx
 /4
 /4
d  tan x 
cos 2 x
I 

2
2

0 tan x  2 tan x  1
0 tan x  2 tan x  1
1
Đặt t  tan x  dt 
dx
cos2 x


t  1
x 
Đổi cận 
4
t  0
 x  0
Khi đó
1

1
dt
dt

2

2
0 t  2t  1
0  t  1 

I

 2

2



1
2 2

ln

t 1 2 1
t 1 2 0

Cách khác:
dt

 dx  t 2  1
Đặt x  tan t  
… bạn đọc tự giải
2 sin x cos x  2t

t2  1
Bài tập tự giải có hướng dẫn:

4

Bài 1: Tính tích phân sau I  
0

 tan x  1
2

cos x

2

dx 

7
3

HD: Đặt t  tan x  1

4

Bài 2: Tính tích phân sau I  
0

sin 3 x
2

 tan 2 x  1 cos5 x

dx

HD:

21
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Phân tích

sin 3 x

 tan

2

2

x  1 cos5 x



tan 3 x

 tan

2

x  1

2

.

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

1
và đặt t  tan x
cos 2 x

6

Bài 3: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau I  
0

tan 4 x
1
10
dx  ln 2  3 
cos 2 x
2
9 3





HD:
Biến đổi cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  1  tan 2 x  cos 2 x và đặt t  tan x
Hoặc sử dụng công thức cos 2 x 

1  tan 2 x
1  tan 2 x

6

tan 3 x
Bài 4: (ĐHKTQD – 2001) Tính tích phân sau I  
dx
cos 2 x
0
HD:
Biến đổi cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  1  tan 2 x  cos 2 x và đặt t  tan x
Hoặc sử dụng công thức cos 2 x 

3

Bài 5: Tính tích phân sau I  

4

1  tan 2 x
1  tan 2 x
tan x

cos x. 1  cos 2 x

dx  5  3

HD:
 1

Phân tích cos x 1  cos 2 x  cos x cos 2 x 
 1   cos 2 x tan 2 x  2 và đặt t  tan 2 x  2
2
 cos x 
Hoặc đặt t  tan x

2

dx
1
1  sin 2 x
0

Bài 6: (ĐHCĐ – 1999) Tính tích phân sau I  

HD:
2
Phân tích 1  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x   sin x  cos x   cos2 x  tan x  1 và đặt t  tan x  1
Cách khác:





dx 
2
2
2
dx
dx
4
I

 
2

0 1  sin 2 x
0  sin x  cos x 
0 2cos 2 x 
4

4

Bài 7: (ĐHSP TPHCM – 2001) Tính tích phân: I  

1

0  sin x  2 cos x 

2

dx

HD:
2
Phân tích  sin x  2cos x   cos2 x  tan x  2 và đặt t  tan x  2

22
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

www.DETHITHU.NET
4
3

Bài 8: (ĐH Y HN – 1999) Tính tích phân sau I 





Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

dx
 ln 3
x
sin
2

HD:

x

d  tan 
dx
dx
1
dx
4


2 
x
x
x 2
x
x
x
sin
2sin .cos
tan .cos2
tan
2
4
4
4
4
4

2

dx
1
1  cos x
0

Bài 9: (HVQY – 1999) Tính tích phân sau I  
HD:
dx

1  cos x

dx

x

 d  tan 
x
2

2 cos 2
2

4

cos 2 x
dx
sin 2 x  cos 2 x
0

Bài 10: (ĐHTS – 2001) Tính tích phân sau I  
HD:
Phân tích

cos 2 x
1 2  cos 2 x  sin 2 x   2  cos 2 x  sin 2 x 

sin 2 x  cos 2 x 4
sin 2 x  cos 2 x

4

Bài 11: Tính tích phân sau I   1  tan 8 x  dx 
0

76
105

HD:
Phân tích 1  tan 8 x    tan 8 x  tan 6 x    tan 6  tan 4 x    tan 4 x  tan2 x    tan2 x  1 


Dạng 5: Tính tích phân I   f  cot x


1
1
dx đặt u  cot x  du   2 dx
2
sin x
sin x



Hoặc: I   f  cot x 1  cot 2 x  dx đặt u  cot x  du  


1
dx
sin 2 x

Bài tập giải mẫu:

2

Bài 1: (KTQS – 1997) Tính tích phân sau: I  

3

sin 3 x  sin x
cot xdx
sin 3 x

Giải:

23
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

www.DETHITHU.NET

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

Cách 1:

2 3

I

3


2

3

sin x  sin x
1
cot x
cot xdx   3 1 
. 2 dx
3
2
sin x
sin x sin x

3

Đặt t  cot x  dt  

1
dx
sin 2 x



t  0
x  2

Đổi cận 

1
x  
t  3


3
0

Khi đó I   
1

3

8 0
3 3
1
t .tdt   t dt  t 1   3
8
8 3
1
3
3
5
3

0

3

2

Cách 2:

2 3

I

3


2 3
sin 3 x  sin x
sin 3 x  sin x cot x
cot
xdx

dx
 sin x
sin 3 x
sin 2 x

3


1
3
1
2
  3 1  2 .cot xd  cot x    3  cot 2 x .cot xd  cot x     cot xd  cot x    cot x   3

8
sin x
8 3



3
3
3
3
Cách 3:

2


2


2 3

I

3


2

5
3

8
3


2
sin 3 x  sin x
cos x 3 sin 3 x  sin x
cot
xdx

dx

sin 3 x
sin 4 x

3

Đặt t  sin x  dt  cos xdx


t  1
x



2
Đổi cận 

3
x  
t 

2

3
1 3

Khi đó I 


3
2

Đặt u  3 1 

3

t t
dt 
t4

1


3
2

3

1
t 2 dt
3

1
t

1
1
3
dt
 u 3  1  2  u 2 du  3
2
2
t
t
t

24
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


http://dethithu.net - Đề Thi Thử Đại Học - THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật hằng ngày!
www.DETHITHU.NET

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Gmail: Loinguyen1310@gmail.com

t  1
u  0


Đổi cận 
3  u   1
t 

3
3

2

0
0
3
3 u4
1
3
Khi đó I   u du 
1  3
2 1
2 4 3
8 3
3
3
3

2

Bài 2: (ĐHY TB – 2000) Tính tích phân sau I  
0

1
dx
2  cos 2 x

Giải:

4

1

dx
dx
1
0 2 sin 2 x  cos 2 x  0 cos2 x 2 tan 2 x  1  2 0

Ta có I 

Đặt t 


4





1
2

Khi đó I 

tan u  I 

1
2 0



dt
 1 
u2  

 2

2

dt
 1 
t 

 2

2

2

, (với tan   2)

2
(với tan   2 )
2

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

2

Bài 1: Tính tích phân sau I 

dx


 sin

4

x



4
3

4

HD:
Phân tích

1
1
1
1

. 2 
1  cot 2 x  và đặt t  cot x

4
2
2
sin x sin x sin x sin x

2

Bài 2: Tính tích phân sau I  

4

3cot x  1
dx
sin 2 x

HD: Đặt t  3cot x  1 hoặc t  3cot x  1

4

Bài 3: Tính tích phân sau: I  

6

1
2

sin x cot x

dx

HD: Đặt t  cot x

25
www.DETHITHU.NET
Tham gia ngay! Group FB : ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×