Tải bản đầy đủ

Toán tử tuyến tính trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Dung

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Dung


TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. Hoàng Ngọc Tuấn

Hà Nội – Năm 2017


Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hoàng Ngọc Tuấn đã tận tình hướng dẫn để em có
thể hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em
tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện đề tài thực tập này.
Hà Nội, ngày 23 tháng 04 năm 2017
Sinh viên
Nguyễn Thị Dung

i


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoa
Toán, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Hoàng Ngọc Tuấn.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài Toán tử tuyến tính trong không

gian Hilbert không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, ngày 23 tháng 04 năm 2017
Sinh viên
Nguyễn Thị Dung


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Những khái niệm cơ bản

1

1.1

Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . .

1

1.2

Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert
2.1

Toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . .

2.2

Toán tử khả nghịch, toán tử chuẩn tắc, toán tử đẳng cự

6
6

và toán tử Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3

Toán tử dương

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4

Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.5

Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

i


Lời mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài
toán có nguồn gốc thực tiễn. Trong đó, giải tích là một lĩnh vực đóng
vai trò quan trọng và có ứng dụng trong thực tiễn. Để nắm vững hơn
các kiến thức của giải tích nói riêng và toán học nói chung, em đã chọn
đề tài khóa luận tốt nghiệp: Toán tử tuyến tính trong không gian
Hilbert.

2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về
giải tích và đặc biệt là toán tử tuyến tính.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu toán tử tuyến tính.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận
bao gồm 2 chương:
• Chương 1: Những khái niệm cơ bản.
• Chương 2: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert.
Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS. Hoàng Ngọc Tuấn đã tận
tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận
này.

Hà Nội, ngày 23/04/2017
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Dung

2


Chương 1
Những khái niệm cơ bản
1.1

Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.1. Một hàm x → x từ không gian vectơ E đến K được
gọi là chuẩn nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:
1) x ≥ 0 ∀x ∈ E, x = 0 ⇔ x = 0;
2) λx =| λ | x ∀x ∈ E, λ ∈ K ;
3) x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ E.
Định nghĩa 1.2. Không gian vectơ cùng với một chuẩn được gọi là
không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.3. E là không gian định chuẩn. Dãy (xn ) các phần tử
của E được gọi là hội tụ đến phần tử a ∈ E nếu lim xn − a = 0.
n→∞

Định nghĩa 1.4. Dãy (xn ) là dãy Cauchy trong không gian định chuẩn
nếu

lim

m,n→∞

xm − xn = 0. Hay tương đương ∀ > 0, ∃n0 , ∀m, n ≥ n0 :

xm − xn < .
Định nghĩa 1.5. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không
gian metric đầy.

1.2

Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.6. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
K. Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính
nếu A thỏa mãn các điều kiện:
1) ∀x, y ∈ X : A(x + y) = Ax + Ay.
2) ∀x ∈ X, ∀α ∈ K thì A(αx) = αAx.
Thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính.
Khi A thỏa mãn điều kiện 1) thì A được gọi là ánh xạ cộng tính.
Khi A thỏa mãn điều kiện 2) thì A được gọi là ánh xạ thuần nhất.
Khi Y = K thì A gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.7. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử
tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian Y gọi là bị chặn
nếu tồn tại hằng số c ≥ 0:
Ax ≤ c x , ∀x ∈ X.

(1.1)

Định nghĩa 1.8. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn
X vào không gian định chuẩn Y . Hằng số c ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ
thức (1.1) gọi là chuẩn của toán tử A. Kí hiệu A .
Định lý 1.1. (Định lý 3 mệnh đề tương đương) Cho A là toán tử tuyến
tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

3 mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục.
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó trong X.
3) A bị chặn.
Định lý 1.2. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y . Nếu A bị chặn thì
A = sup Ax .
x ≤1

1.3

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.9. (Tích vô hướng) Giả sử X là không gian tuyến tính
trên trường K. Tích vô hướng trong X là ánh xạ:
f: X ×X →K
(x, y) → x, y
thỏa mãn các tiên đề sau:
1, x, x ≥ 0, ∀x ∈ X
x, x = 0 ⇔ x = 0.
2, x, y = y, x , ∀x, y ∈ X.
3, x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X.
Định nghĩa 1.10. Không gian tích vô hướng là một cặp (X, ., . ), trong
đó X là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.11. Không gian Hilbert là không gian tích vô hướng và
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

x, x , ∀x ∈ X.

là không gian định chuẩn với chuẩn x =

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian Hilbert H.
Ví dụ 1.1. Không gian C k với tích vô hướng xác định bởi:
k

x, y =

ξj θj ,
j=1

∀x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξk ), y = (θ1 , θ2 , ..., θk ) ∈ C k
là không gian Hilbert với
k

x =

1

|ξj |2 ) 2 .

x, x = (
j=1

Định lý 1.3. (Định lý Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong
không gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
f (x) = x, a , ∀x ∈ H
trong đó a ∈ H được xác định duy nhất bới phiếm hàm f và ta có:
f = a .
Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Schwarz) Cho X là không gian tích vô
hướng, khi đó ∀x, y ∈ X:
| x, y | ≤ x

4

y .


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

Định nghĩa 1.12. (Sự hội tụ yếu) Một dãy (xn ) các vectơ trong một
không gian tích vô hướng E được gọi là hội tụ yếu tới một vector x ∈ E
nếu xn , y → x, y khi n → ∞, ∀y ∈ E.

5


Chương 2
Toán tử tuyến tính trong không
gian Hilbert
2.1

Toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp

Định nghĩa 2.1. (Toán tử liên hợp) Cho A là một toán tử bị chặn trong
không gian Hilbert H. Toán tử A∗ : H → H xác định bởi:
Ax, y = x, A∗ y , ∀x, y ∈ H
được gọi là toán tử liên hợp của A.
Các tính chất sau được suy ra từ định nghĩa
(A + B)∗ = A∗ + B ∗ ,
(αA)∗ = αA∗ ,
(A∗ )∗ = A,
I ∗ = I,

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

(AB)∗ = B ∗ A∗ ;
với A, B là các toán tử bất kỳ và vô hướng α tùy ý.
Định lý 2.1. Toán tử liên hợp A∗ của toán tử bị chặn A là bị chặn. Hơn
nữa, ta có A = A∗ và A∗ A = A 2 .
Chứng minh. Ta chỉ ra rằng toán tử liên hợp A∗ của toán tử bị chặn A
là bị chặn. Vì Ax, y và x, A∗ y cùng xác định một hàm song tuyến
tính. Suy ra A = A∗ .
Ta có
A∗ A ≤ A∗

A = A 2.

Mặt khác, với mọi x ∈ H, ta có
Ax

2

= Ax, Ax = A∗ Ax, x ≤ A∗ Ax

x ≤ A∗ A

2

x 2.

Do đó A∗ A = A 2 .
Các toán tử A và A∗ không bằng nhau, ví dụ H = C 2 và cho A được
xác định bởi
A(z1 , z2 ) = (0, z1 ).
Khi đó A(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) = x1 y2 và (x1 , x2 ), A(y1 , y2 ) = x2 y1 .
Định nghĩa 2.2. (Toán tử tự liên hợp) Nếu A = A∗ thì là toán tử tử
tự liên hợp, khi đó Ax, y = x, Ay với mọi x, y ∈ H.
Ví dụ 2.1. Cho H = C N và e1 , e2 , ..., eN là cơ sở trực chuẩn trong H.
A là một toán tử biểu diễn bằng ma trận (aij ), ở đó aij = Aej , ei . Khi

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

đó toán tử A∗ được biểu diễn bằng ma trận bkj = A∗ ej , ek . Do đó
bkj = ej , Aek = Aek , ej = ajk .
Vậy toán tử A là tự liên hợp khi và chỉ khi aij = aji . Một ma trận thỏa
mãn điều kiện này thường được gọi là Hermitian.
Ví dụ 2.2. Cho H là không gian có số chiều vô hạn tách được và
e1 , e2 , e3 , ... là dãy trực giao đầy đủ trong H. A là một toán tử bị chặn
trong H biểu diễn bởi ma trận vô hạn (αij ). Đối với trường hợp hữu hạn
chiều, toán tử liên hợp A∗ biểu diễn bởi một ma trận hữu hạn (αji ). A
là tự liên hợp khi và chỉ khi aij = aji với mọi i, j ∈ N .
Ví dụ 2.3. Cho T là một toán tử Fredholm trong L2 ([a, b]) xác định bởi
b

(T x)(s) =

K(s, t)x(t)dt,
a

trong đó K là một hàm xác định trên [a, b] × [a, b] sao cho
b

b

|K(s, t)|2 ds.dt < ∞.
a

a

Chú ý rằng điều kiện được thỏa mãn nếu K liên tục, ta có:
b

b

T x, y =

K(s, t)x(t)y(s)dsdt
a

a
b

b

T x, y =

K(s, t)x(t)y(s)dsdt
a

a

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung
b

T x, y =

b

K(s, t)y(s)dsdt.

x(t)
a

a

Điều này chứng tỏ rằng
b

(T ∗ x)(s) =

K(s, t)x(t)dt.
a

Do đó một toán tử Fredholm là tự liên hợp nếu hạt nhân của nó thỏa
mãn đẳng thức K(s, t) = K(t, s).
Ví dụ 2.4. Cho A là một toán tử trong L2 ([a, b]) được xác định bởi
(Ax)(t) = tx(t).


b

b

x(t)ty(t)dt = x, Ay .

tx(t)y(t)dt =

Ax, y =

a

a

A là tự liên hợp.
Định lý 2.2. Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H.
Toán tử T1 = A∗ A và T2 = A + A∗ là tự liên hợp.
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H ta có
T1 x, y = A∗ Ax, y = Ax, Ay = x, A∗ Ay = x, T1 y
T2 x, y = (A + A∗ )x, y = x, (A + A∗ )∗ y = x, (A + A∗ )y = x, T2 y .

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

Định lý 2.3. Tích của hai toán tử tự liên hợp là một toán tử tự liên hợp
khi và chỉ khi hai toán tử đó là giao hoán.
Chứng minh. Cho A và B là các toán tử tự liên hợp, khi đó
(ABx, y) = (Bx, Ay) = (x, BAy).
Do đó nếu AB = BA thì AB là tự liên hợp. Nếu AB là tự liên hợp thì
từ trên suy ra AB = (AB)∗ = BA.
Hệ quả 2.1. Nếu A là tự liên hợp thì đa thức bất kỳ nào của A với các
hệ số thực αn , ...., α0 cũng là tự liên hợp
αn An + ... + α1 A + α0 I.
Định lý 2.4. Với mọi toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert H
đều tồn tại các toán tử tự liên hợp A và B sao cho T = A + iB và
T ∗ = A − iB.
Chứng minh. Giả sử T là một toán tử bị chặn trong H. Đặt
1
1
A = (T + T ∗ ), B = (T − T ∗ ).
2
2i
Rõ ràng, A và B là tự liên hợp và T = A + iB. Hơn nữa với mọi
x, y ∈ H ta có
T x, y = (A + iB)x, y
= (Ax, y) + i(Bx, y)
= x, Ay + i x, By
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

= x, (A − iB)y .
Do đó T ∗ = A − iB.
Định lý 2.5. Cho T là một toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert
H. Khi đó
T = sup | T x, x |.
x =1

Chứng minh. Cho
M = sup | T x, x |.
x =1

Nếu x = 1 thì
|(T x, x) ≤ T x

x = Tx ≤ T

x = T .

Do đó M ≤ T . Mặt khác với mọi x, z ∈ H, ta có
(T (x + z), x + z) − (T (x − z), x − z) = 2((T x, z) + (T z, x)) = 4Re(T x, z).
Do đó
Re(T x, z) ≤

M
( x+z
4

2

+ x − z 2) =

M
( x
2

2

+ z 2 ).

(2.1)

Bây giờ ta giả sử x = 1 và T x = 0.
Nếu ta cho z =

Tx
Tx

, thì Re(T x, z) = Re(T x,

Tx
Tx

) = T x và từ

(2.1), ta có
Re(T x, z) ≤

M
( x
2

2

Do đó T = M .

11

+

Tx
Tx

2

)=M


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

Nguyễn Thị Dung

Toán tử khả nghịch, toán tử chuẩn tắc, toán tử
đẳng cự và toán tử Unita

Định nghĩa 2.3. (Toán tử khả nghịch)
Cho A là một toán tử xác định trong một không gian vector con
của E. Một toán tử B xác định trên R(A) (hạng của A) được gọi là
nghịch đảo của A nếu ABx = x với mọi x ∈ R(A) và BAx = x với mọi
x ∈ D(A) (miền xác định của A). Một toán tử mà có toán tử nghịch đảo
thì được gọi là khả nghịch. Nghịch đảo của A kí hiệu là A−1 .
Nếu một toán tử có nghịch đảo thì nghịch đảo đó là duy nhất. Thật
vậy, giả sử B1 và B2 là các nghịch đảo của A thế thì
B = B1 I = B1 AB2 = IB2 = B2 .
Chú ý rằng D(A−1 ) = R(A) và R(A−1 ) = D(A).
Định lý 2.6. (a) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử
tuyến tính.
(b) Một toán tử A là khả nghịch khi và chỉ khi Ax = 0 dẫn đến x = 0.
(c) Nếu một toán tử A là khả nghịch và các vector x1 , x2 , ..., xn là độc
lập tuyến tính thì Ax1 , Ax2 , .., Axn là độc lập tuyến tính.
(d)Nếu các toán tử A, B khả nghịch thì toán tử AB cũng khả nghịch
và ta có (AB)−1 = B −1 A−1 .
Từ phần (c) của định lý trên suy ra nếu E là một không gian hữu hạn
chiều và A là một toán tử tuyến tính khả nghịch trong E thì R(A) = E.

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

Ví dụ 2.5. Cho E = l2 . Xác định một toán tử A trên E
A(x1 , x2 , ...) = (0, x1 , x2 , ...).
Đây là toán tử khả nghịch trong l2 .
Định lý 2.7. Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H
sao cho R(A) = H. Nếu A có nghịch đảo bị chặn thì liên hợp A∗ là khả
nghịch và (A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
Chứng minh. Ta chỉ ra rằng
(A−1 )∗ A∗ x = A∗ (A−1 )∗ x = x.

(2.2)

với mọi x ∈ H.
Thật vậy, với bất kỳ y ∈ H ta có


(y, A−1 A∗ x) = (A−1 y, A∗ x) = (AA−1 y, x) = y, x

(y, A∗ (A−1 )∗ x) = (Ay, (A−1 )∗ x) = (A−1 Ay, x) = y, x .
Do đó


(y, A−1 A∗ x) = (y, A∗ (A−1 )∗ x) = y, x .
với mọi x, y ∈ H.
Điều này dẫn đến (2.2).
Hệ quả 2.2. Nếu một toán tử bị chặn tự liên hợp A có nghịch đảo bị
chặn A−1 thì A−1 là tự liên hợp.
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

Chứng minh.
(A−1 )∗ = (A∗ )−1 = A−1 .

Định nghĩa 2.4. (Toán tử chuẩn tắc) Toán tử bị chặn T được gọi là
toán tử chuẩn tắc nếu nó giao hoán với toán tử liên hợp của nó, tức là
T T ∗ = T ∗T .
Chú ý rằng T chuẩn tắc khi và chỉ khi T ∗ chuẩn tắc. Mọi toán tử tự
liên hợp là chuẩn tắc. Các định lý sau giúp ta đi tìm những ví dụ về
toán tử chuẩn tắc mà không tự liên hợp.
Định lý 2.8. Một toán tử bị chặn T là chuẩn tắc khi và chỉ khi
T x = T ∗ x , ∀x ∈ H.
Chứng minh. Với mọi x ∈ H, ta có:
(T ∗ T x, x) = (T x, T x) = T x 2 .
Nếu T là chuẩn tắc, thì ta cũng có
(T ∗ T x, x) = (T T ∗ x, x) = (T ∗ x, T ∗ x) = T ∗ x 2 .
và do đó T x = T ∗ x .
Bây giờ ta giả sử rằng T x = T ∗ x , với mọi x ∈ H. Theo lập luận
trên ta có (T T ∗ x, x) = (T ∗ T x, x), với mọi x ∈ H. Suy ra T T ∗ = T ∗ T .

Định lý 2.9. Nếu A là chuẩn tắc thì (αI − A) là chuẩn tắc với bất kỳ
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

α ∈ C.
Chứng minh. Vì (αI − A)∗ = (αI − A∗ ), ta có
(αI − A)(αI − A)∗ = |α|2 I − αA − αA∗ + AA∗ = (αI − A)∗ (αI − A).

Định lý 2.10. Cho T là toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H, A
và B là các toán tử liên hợp trong H sao cho T = A + iB. Khi đó T là
chuẩn tắc khi và chỉ khi A và B giao hoán.
Chứng minh. Nếu T = A + iB thì T ∗ = A − iB và ta có
T T ∗ = (A + iB)(A − iB) = A2 + B 2 − i(AB − BA)

(2.3)

T ∗ T = (A − iB)(A + iB) = A2 + B 2 + i(AB − BA).

(2.4)



Nếu T là chuẩn tắc thì AB − BA = 0.
Mặt khác, nếu A, B giao hoán thì từ (2.3), (2.4) dẫn đến
T ∗ T = A2 + B 2 = T T ∗ .

Định lý 2.11. Nếu T là toán tử chuẩn tắc thì T n = T

n

n ∈ N.
Chứng minh. Với bất kỳ toán tử bị chặn T ta có T n ≤ T

15

n

.

với mọi


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chỉ ra rằng T n ≥ T

Nguyễn Thị Dung
n

ta lấy x sao cho x = 1 và chỉ ra rằng
T nx ≥ T x n.

(2.5)

với mọi n ∈ N .
Rõ ràng (2.5) đúng với n = 1. Nếu T x = 0, thì đẳng thức trên đúng
với mọi n ∈ N . Bây giờ ta giả sử T x = 0 và (2.5) đúng với n = 1, 2, ..., m.
Trước hết lưu ý rằng
T 2 x = T ∗ T x ≥ T ∗ T x, x = T x 2 .

(2.6)

Bây giờ từ (2.6) và giả thiết quy nạp ta được
T m+1 x = T x
= Tx

1−m

T 2x

Tm
m

Tx
Tx

≥ Tx

≥ Tx
1−m

Tx

2m

T

Tx
Tx

= |T x

m

m+1

.

Định nghĩa 2.5. (Toán tử đẳng cự) Toán tử bị chặn T trong không
gian Hilbert H được gọi là đẳng cự nếu T x = x với mọi x ∈ H.
Ví dụ 2.6. Cho (en ), n ∈ N là dãy trực giao đủ trong không gian Hilbert
H. Tồn tại duy nhất một toán tử A sao cho Aen = en+1 , với mọi n ∈ N .
Nếu x =
Ax

2

=


n=1 αn en

thì Ax =


n=1

n

αn


n=1 αn en+1 .

Rõ ràng A là tuyến tính và

= x 2 . Do đó A là toán tử đẳng cự.

Định lý 2.12. Một toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert H là
đẳng cự khi và chỉ khi T ∗ T = I trong H.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

Chứng minh. Nếu T là đẳng cự thì với mọi x ∈ H ta có T x

2

= x

2

và do đó
T ∗ T x, x = T x, T x = T x

2

= x

2

= x, x

với mọi x ∈ H.
Do đó T ∗ T = I. Tương tự nếu T ∗ T = I thì
Tx =

T x, T x =

T ∗ T x, x = x

với mọi x ∈ H.
Chú ý rằng, toán tử đẳng cự "bảo toàn tích vô hướng", nghĩa là
T x, T y = x, y với mọi x, y ∈ H. Đặc biệt x⊥y khi và chỉ khi T x⊥T y.
Một toán tử đối xứng là một đẳng cấu từ không gian Hilbert H vào
R(T ).
Định nghĩa 2.6. (Toán tử Unita) Toán tử bị chặn T trong không gian
Hilbert H được gọi là toán tử Unita nếu T ∗ T = T T ∗ = I trong H.
Các định lý sau suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Định lý 2.13. Một toán tử T là Unita khi và chỉ khi nó khả nghịch và
T −1 = T ∗ .
Ví dụ 2.7. Cho H = L2 ([0, 1]), toán tử T trong H xác định bởi
(T x)(t) = x(1 − t) là Unita. T là ánh xạ 1-1 từ H vào H và T x = x
với mọi x ∈ H. Một toán tử Unita là toán tử chuẩn tắc, điều ngược lại
chưa chắc đúng. Như trong trường hợp toán tử tự liên hợp A bất kỳ sao
cho A = 1.
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Dung

Định lý 2.14. Cho T là một toán tử Unita, khi đó T −1 và T ∗ là Unita.
Chứng minh. Ta có
(T −1 )∗ T −1 = T ∗∗ T −1 = T T −1 = I.
Tương tự T −1 (T −1 )∗ = I và do đó T −1 là Unita. Vì T ∗ = T −1 , T ∗ cũng
là Unita.

2.3

Toán tử dương

Nếu A và B là các toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H,thì ta
viết A ≥ B (hoặc B ≥ A). Nếu (Ax, x) ≥ (Bx, x) với mọi x ∈ H. Quan
hệ này có các tính chất sau:
Nếu A ≥ B thì −A ≤ −B;
Nếu A ≥ B và C ≥ D thì A + C ≥ B + D;
Nếu A ≥ 0 và α ≥ 0 (α ∈ R) thì αA ≥ 0;
Nếu A ≥ B và B ≥ C thì A ≥ C.
Ví dụ 2.8. Cho ϕ và ψ là các hàm không âm liên tục trên [a, b] và A, B
là các toán tử trên L2 [a, b] xác định bởi Ax = ϕx và Bx = ψx. Nếu
ϕ(t) ≥ ψ(t) với mọi t ∈ [a, b] thì A ≥ B. Bất kỳ x ∈ L2 [a, b] ta có
b

Ax, x =

b

a

a

b

b

ψ(t) x(t) 2 dt =


a

ϕ(t) x(t) 2 dt

ϕ(t)x(t)x(t)dt =

ψ(t)x(t)x(t)dt = Bx, x .
a

18


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×