Tải bản đầy đủ

Một vài tính chất và ứng dụng của khoảng cách hausdorff

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Như Thị Ngọc Ánh

MỘT VÀI TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG
CỦA KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Như Thị Ngọc Ánh


MỘT VÀI TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG
CỦA KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYỄN QUANG HUY

Hà Nội – Năm 2017


i

Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Quang Huy đã tận tình hướng dẫn để em
có thể hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo
em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên và giúp đỡ em trong suốt quá
trình học tập và thực hiện đề tài khóa luận này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Sinh viên

Như Thị Ngọc Ánh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận
này được hoàn thành bởi chính tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.
Nguyễn Quang Huy. Các kiến thức và tài liệu được trích dẫn trong khóa
luận này là trung thực.
Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Sinh viên


Như Thị Ngọc Ánh


Mục lục

Phần mở đầu

1

1 Khoảng cách Hausdorff

4

1.1

Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Khoảng cách Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Tính chất và ứng dụng
2.1

15

Khoảng cách Hausdorff giữa các tập thỏa mãn điều kiện
Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

2.3

15

Khoảng cách Hausdorff giữa các tập con của không gian
định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Ánh xạ đa trị Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Tài liệu tham khảo

25

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

Phần mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Khái niệm khoảng cách giữa các tập hợp được nghiên cứu bởi Hausdorff. Hiện nay, khoảng cách Hausdorff được sử dụng rộng rãi trong
lý thuyết và ứng dụng của nhiều lĩnh vực toán học bao gồm Giải
tích không trơn, Lý thuyết tối ưu, Phép tính biến phân. Hơn nữa,
khái niệm này cũng được sử dụng để giải các bài toán xấp xỉ. Khái
niệm khoảng cách Hausdorff còn có mối liên hệ gần gũi với lý thuyết
điểm bất động, tính đều, phủ và các tính chất liên quan đến phủ, tính
Lipschitz và giả Lipschitz của ánh xạ đa trị.
Trong những năm qua việc nghiên cứu các tính chất và ứng dụng
của khoảng cách Hausdorff đã được phát triển mạnh mẽ. Tuy nhiên
khoảng cách Hausdorff trên lớp các tập hợp đặc thù có những tính
chất và ứng dụng riêng biệt, đây có thể coi là một chủ đề thú vị để
nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán học. Vì vậy, sau
khi học xong các kiến thức về toán giải tích, với mong muốn được tìm
hiểu sâu hơn về các kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của
chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Một vài tính chất và ứng dụng
của khoảng cách Hausdorff ”.

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số tính chất và ứng dụng của khoảng cách Hausdorff
trên một lớp các tập hợp có tính chất đặc thù và trong không gian
định chuẩn. Áp dụng kết quả đưa ra một đặc trưng cho không gian
định chuẩn hữu hạn chiều và ánh xạ đa trị Lipschitz.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tính chất và ứng dụng của khoảng cách Hausdorff; mối
tương quan giữa các điểm thuộc hai tập hợp với khoảng cách Hausdorff
giữa hai tập ấy. Áp dụng vào nghiên cứu đặc trưng của không gian
định chuẩn hữu hạn chiều, ánh xạ đa trị Lipschitz và tính ổn định
trong lý thuyết tối ưu.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Tính chất và ứng dụng của khoảng cách
Hausdorff. Phạm vi nghiên cứu: Không gian metric, không gian định
chuẩn và khoảng cách Hausdorff.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận và nghiên cứu vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên
quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước có liên quan
đến vấn để mà khóa luận đề cập.
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Sinh viên

Như Thị Ngọc Ánh

3


Chương 1
Khoảng cách Hausdorff
Trong chương này chúng ta trình bày khái niệm khoảng cách Hausdorff
và một số tính chất liên tục của ánh xạ đa trị.

1.1

Kiến thức chuẩn bị

Cho Γ là một ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y
và cho x0 là điểm thuộc X. Ta nói Γ là nửa liên tục dưới tại x0 nếu
tập mở G và G ∩ Γ(x0 ) = ∅ tồn tại lân cận U(x0 ) sao cho
Γ(x) ∩ G = ∅ ∀x ∈ U (x0 ).
Ta nói rằng Γ là nửa liên tục trên tại x0 nếu với mỗi tập mở G và
Γ(x0 ) ⊂ G tồn tại một lân cận U(x0 ) sao cho
Γ(x) ⊂ G ∀x ∈ U (x0 ).
Ánh xạ Γ là liên tục tại x0 nếu nó nửa liên tục trên và nửa liên tục
dưới tại x0 .
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

Nếu Γ là ánh xạ đơn trị thì định nghĩa nửa liên tục dưới và nửa
liên tục trên đưa ra ở trên trùng với định nghĩa liên tục thông thường.
Ta nói rằng Γ là nửa liên tục dưới trên X nếu nó nửa liên tục dưới
tại mọi điểm trên X. Và ta nói Γ là nửa liên tục trên X nếu nó nửa
liên tục trên tại mọi điểm trên X.
Ví dụ 1.1.1. Cho Γ là một ánh xạ từ X vào Y sao cho Γ(x) =
K(x0 ), ∀x ∈ X, K0 là tập compact trong Y . Khi đó Γ là nửa liên tục
dưới và nửa liên tục trên do đó nó liên tục.
Định lý 1.1. Điều kiện cần và đủ để Γ nửa liên tục dưới là với mỗi
tập mở G trong Y , thì tập Γ− (G) cũng là tập mở.
Chứng minh. Giả sử Γ là nửa liên tục dưới. Rõ ràng Γ− (G) là tập mở
nếu nó là tập rỗng.
Giả sử rằng Γ− (G) = ∅. Nếu x0 ∈ Γ− (G) thì Γ(x0 ) ∩ G = ∅ và nó
là một lân cân U (x0 ) sao cho
x ∈ U (x0 ) ⇒ Γ(x) ∩ G.
Do
U (x0 ) ⊂ Γ− (G).
Nên Γ− (G) là một lân cận của mỗi điểm của nó và do đó Γ− (G) là
tập mở.
Bây giờ giả sử rằng Γ− (G) là tập mở với mỗi tập mở G trên Y . Cho
tập mở G giao với Γ(x0 ), khi đó Γ− (G) là lân cận mở của x0 và ta có
x ∈ Γ− (G) ⇒ Γ(x) ∩ G = ∅.
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

Do đó Γ là nửa liên tục dưới.
Định lý 1.2. Điều kiện cần và đủ để Γ nửa liên tục trên là tâp Γ(x)
là tập compact với mỗi x với mỗi tập mở G trên Y thì tập Γ+ (G) là
tập mở,ở đó, với ánh xạ liên tục trên, ta định nghĩa Γ+ (G) bởi
Γ+ (G) = {x | x ∈ X : Γ(x) ∩ G}.
Chứng minh. Giả sử Γ là nửa liên tục trên. Nếu Γ+ (G) là rỗng thì nó
là tập mở. Giả sử Γ+ (G) = ∅ và cho x0 ∈ Γ+ (G). Khi đó tồn tại lân
cận U (x0 ) sao cho
x ∈ U (x0 ) ⇒ Γ(x) ⊂ G.
Do đó Γ là nửa liên tục trên.
Ánh xạ từ X đến Y là nửa liên tục trên có tính chất cơ bản như
sau:
Định lý 1.3. Nếu Γ là nửa liên tục trên thì ảnh Γ(K) của một tập
con compact K của X cũng là compact.
Chứng minh. Cho { Gi | i ∈ I } là một phủ mở của Γ(K). Nếu x ∈
K thì tập Γ(x) là compact có thể được phủ bởi một số hữu hạn các
tập Gi . Gọi Gx là kí hiệu của hợp các tập trong một họ hữu hạn. Do
đó (Γ+ (Gx ) | x ∈ K) là một phủ mở của K cho nên nó chứa phủ con
hữu hạn Γ+ (Gx1 ), Γ+ (Gx2 ),..., Γ+ (Gxn ). Các tập Gx1 , Gx2 ,..., Gxn phủ
Γ(K) nên Γ(K) được phủ bởi một số hữu hạn các tập Gi .
Ta nói rằng Γ là ánh xạ đóng từ X đến Y nếu với mọi x0 ∈ X, y0
∈ Y , y0 ∈
/ Γ(x0 ) ở đó tồn tại hai lân cận U (x0 ) và V (y0 ) sao cho x ∈
U (x0 ) ⇒ Γ(x) ∩ V (y0 ) = ∅ .
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

Γ(x) của Γ trên X × Y , nó là tập đóng nếu và

Xét sự biểu diễn
x∈X

chỉ nếu Γ là ánh xạ đóng, điều kiện trên tương đương với
U (x0 ) × V (x0 ) ⊂ −

Γ(x).
x∈X

Ta thấy hệ quả trực tiếp từ định nghĩa rằng nếu Γ là một ánh xạ đóng
thì tập Γ(x) là tập đóng trên Y .
Ví dụ 1.1.2. Nếu f là một hàm số liên tục trên X × Y , ánh xạ được
định nghĩa bởi Γ(x) = {y | y ∈ Y, f (x, y) ≤ 0} là ánh xạ đóng từ X
đến Y , có đồ thị được biểu diễn bởi
Γ(x) = {(x, y) | f (x, y) ≤ 0}
x∈X

là một tập đóng.
Đặc biệt, nếu λ là một hàm số liên tục trên không gian metric
(X, d) thì ánh xạ
Γ(x) = Bλ(x) (x) = {y | y ∈ X, d(x, y) − λ(x) ≤ 0}
là ánh xạ đóng.
Định lý 1.4. Nếu Γ là một ánh xạ đóng thì




(xn ) → x0



⇒y0 ∈ Γ(x0 ).
(yn ) → y0





(∀n) : yn ∈ Γ(xn )

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

Chứng minh. Tập biểu diễn của Γ là một tập đóng
((xn , yn )) → (x0 , y0 )

(x0 , y0 ) ∈

Γ(x).
x∈X

Do đó
(x0 , y0 ) ∈

Γ(x).
x∈X

Định lý 1.5. Nếu (Γi | i ∈ I) là một họ các ánh xạ đóng từ X đến
Y , thì Γ =

i∈I

Γi cũng là ánh xạ đóng.

Chứng minh. Nếu y0 ∈
/ Γ(x0 ) thì tồn tại một chỉ số i0 sao cho
y0 ∈
/ Γi0 (x0 ).
Do đó tồn tại lân cận U (x0 ), V (y0 ) sao cho
Γi0 U (x0 ) ∩ V (y0 ) = ∅

ΓU (x0 ) ∩ V (y0 ) = ∅.
Vì vậy Γ là một ánh xạ đóng.
Định lý 1.6. Mọi ánh xạ nửa liên tục trên đều đóng.
Chứng minh. Cho Γ là ánh xạ nửa liên tục trên từ X đến Y và giả
sử rằng y0 ∈
/ Γ(x0 ). Vì Γ(x0 ) là compact do đó tồn tại một tập mở G
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

trên Y chứa Γ(x0 ) và một lân cận V (y0 ) sao cho
G ∩ V (y0 ) = ∅.
Vì Γ là nửa liên tục trên, nên tồn tại một lân cận U (x0 ) sao cho
x ∈ U (x0 ) ⇒ Γ(x) ⊂ G.
Do
x ∈ U (x0 ) ⇒ Γ(x) ∩ V (y0 ) = ∅.
Vậy Γ là đóng.
Định lý 1.7. Nếu Γ1 là một ánh xạ đóng từ X vào Y và Γ2 là một
ánh xạ nửa liên tục trên từ X vào Y thì Γ = Γ1 ∩ Γ2 cũng là một ánh
xạ nửa liên tục trên.
Chứng minh. Với mọi x ∈ X, tập Γ(x) là compact vì nó là tập đóng
chứa trong một tập compact Γ2 . Cho G là một tập mở sao cho
Γ(x0 ) = Γ1 (x0 ) ∩ Γ2 (x0 ) ⊂ G.
Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một lân cận U (x0 ) sao cho ΓU (x0 ) ⊂ G.
Nếu Γ2 ⊂ G thì ta luôn có điều phải chứng minh. Giả sử Γ2 (x0 ) ∩
(−G) = K = ∅ . Cho y là một điểm thuộc K, khi đó tồn tại lân cận
V (y) và Uy (x0 ) sao cho
Γ1 Uy (x0 ) ∩ V (y) = ∅.
Vì K là tập compact, do đó tồn tại các phần tử y1 , y2 ,. . . , yn trên K
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

sao cho V (y1 ), V (y2 ), ..., V (yn ) phủ K. Ta có
n

V (K) =

V (yi ).
i=1

Do đó tồn tại một lân cận U (x0 ) sao cho
u ∈ U (x0 ) ⇒ Γ2 (x) ⊂ (G ∪ V (K)),
U (x0 ) = Uy1 (x0 ) ∩ Uy2 (x0 ) ∩ . . . Uyn (x0 ) ∩ (U )(x0 ).
Ta có



Γ1 U (x0 ) ∩ V (K) = ∅,

.


Γ2 U (x0 ) ⊂ (G ∪ V (K))
Do đó
(Γ1 ) ∩ Γ2 )U (x0 ) ⊂ G.
Vậy Γ là nửa liên tục dưới.
Hệ quả 1.1. Nếu Y là không gian compact, một ánh xạ từ X đến Y
là đóng nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục trên.
Chứng minh. Nếu Γ là đóng và ∆ là ánh xạ sao cho ∆(x) = Y với mọi
x, do đó Γ = Γ ∩ ∆ là nửa liên tục trên (do ∆ là nửa liên tục trên).
Vậy hệ quả được suy ra từ Định lý 1.6 .

1.2

Khoảng cách Hausdorff

Cho A và B là hai tập đóng khác rỗng trong không gian X và viết
ρ(A, B) = sup {d(x, B) | x ∈ A} ,
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

ρ(B, A) = sup {d(y, A) | y ∈ B} .
Trong đó, d(x, B) là khoảng cách từ một điểm x ∈ A đến tập B. Hàm
số δ được định nghĩa bởi
δ(A, B) = max {ρ(A, B), ρ(B, A)} ,
được gọi là khoảng cách Hausdorff.
Ta sẽ chứng minh rằng δ thỏa mãn những tính chất cần thiết của
một metric trong một họ T của những tập đóng khác rỗng
(i)

δ(A, B) ≥ 0;

δ(A, B) = 0 ⇔ ρ(A, B) = 0

⇒ A ⊂ B do tính đổi xứng nên A = B.
(ii)
(iii)

δ(A, B) = δ(B, A).
Phải chứng minh bất đẳng thức tam giác, ta thấy rằng x ∈ A
và ε > 0. Khi đó tồn tại các điểm y ∈ B và z ∈ C sao cho
d(x, B) + d(B, C) ≥ d(x, y) − ε + d(y, C)
≥ d(x, y) + d(y, z) − 2ε
≥ d(x, z) − 2ε
≥ d(x, C) − 2ε.

Vì bất đẳng thức được thỏa mãn với mọi ε > 0 nên ta có
d(x, C) ≤ d(x, B) + δ(B, C).

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

Do đó
ρ(A, C) = sup d(x, C) ≤ δ(A, B) + δ(B, C).
x∈A

Trong bất đẳng thức này, ta có thể đổi chỗ A và C cho nhau mà không
có sự thay đổi ở vế phải, do đó
δ(A, C) ≤ δ(A, B) + δ(B, C).
Như vậy, ta có thể coi T như một không gian metric với metric δ.
Định lý 1.8. Cho X và Y là hai không gian metric, K là họ những
tập compact khác rỗng trên Y . Γ là một ánh xạ từ X đến Y sao cho
với mỗi x, Γ(x) = ∅. Khi đó Γ là ánh xạ liên tục từ X tới Y nếu nó
là một ánh xạ đơn trị liên tục của X trong K .
Chứng minh. Kí hiệu

δ(Γ(x), Γ(x0 )) ≤ ε ⇔





Γ(x) ⊂ Bε (Γ(x0 )),

Γ(x0 ) ⊂ Bε (Γ(x),


Γ(x) ⊂ Bε (Γ(x0 )),

(∀Γ(x ) (y)) : Bε (y) ∩ Γ(x) = ∅.
0

Nếu Γ là ánh xạ liên tục từ X đến Y thì với mỗi ε > 0 tồn tại một sỗ
η sao cho
d(x, x0 ) ≤ η.
Nghĩa là
Γ(x) ⊂ intBε (Γ(x0 )) ⊂ Bε (Γ(x0 )).
Hơn nữa, vì Γ(x0 ) là compact chữa các điểm y1 , y2 ,. . ., yn sao cho
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

các hình cầu B 2ε (yi ) phủ Γ(x0 ). Do đó tồn tại số η sao cho
d(x, x0 ) ≤ η ⇒ (∀i) : B 2ε (yi ) ∩ Γ(x) = ∅
⇒ (∀Γ(x0 ) y) : Bε (y) ∩ Γ(x) = ∅.
Khi đó ta có
d(x, x0 ) ≤ min {η, η } ⇒ δ(Γ(x), Γ(x0 )) ≤ ε.
Ngược lại, giả sử rằng Γ là một ánh xạ đợn trị liên tục của X trên
K . Cho G là tập mở con của Y chứa Γ(x0 ), khi đó tồn tại ε sao cho
x ∈ Bη (x0 ) ⇒ Γ(x) ⊂ Bε (Γ(x0 )) ⊂ G.
Do đó Γ là nửa liên tục trên. Ngoài ra, nếu G là một tập mở có giao
với Γ(x0 ) khi đó tồn tại điểm y0 trên Γ(x0 ) ∩ G và một số ε sao cho
Bε (y0 ) ⊂ G, hơn nữa tồn tại η sao cho
x ∈ Bη (x0 ) ⇒ Γ(x) ∩ Bε (y0 ) = ∅ ⇒ Γ(x) ∩ G = ∅.
Khi đó Γ là nửa liên tục dưới.
Hệ quả 1.2. Nếu Γ là một ánh xạ liên tục được định nghĩa trên một
không gian metric đầy đủ X, Γ là một ánh xạ liên tục đều, khi đó với
mỗi ε > 0 tương đương với việc có một số η sao cho với mỗi cặp (x, x )
ta có
d(x, x ) ≤ n ⇒ δ(Γ(x), Γ(x )) ≤ ε.
Nhận xét 1.1. Khoảng cách Hausdorff cho phép ta tối ưu hóa họ T
của những tập đóng khác rỗng trên X. Trong trường hợp X không là
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

không gian metric, ta có những vẫn đề tổng quát hơn, đó là: chúng ta
có thể kết hợp với T một topo có cấu trúc sao cho việc nghiên cứu
tính liên tục của ánh xạ Γ với giá trị trên X được chuyển sang một
ánh xạ đơn trị với giá trị trên T .

14


Chương 2
Tính chất và ứng dụng
Trong chương này chúng ta trình bày một số tính chất và ứng dụng
của khoảng cách Hausdorff trong không gian định chuẩn.

2.1

Khoảng cách Hausdorff giữa các tập thỏa mãn
điều kiện Bolzano-Weierstrass

Định lý 2.1. Cho M và N là những tập đóng, tập N thỏa mãn điều
kiện Bolzano-Weierstrass, tức là mọi dãy bị chặn trong N đều có một
dãy con hội tụ. Khi đó
∀x ∈ M, ∃y ∈ N : ρ(x, y) ≤ h(M, N ).

(2.1)

Chứng minh. Đặt r = h(M, N ).
Không mất tính tổng quát giả sử rằng r < ∞. Với x ∈ M theo định
nghĩa khoảng cách Hausdorff suy ra rằng với mỗi số tự nhiên n tồn tại
yn ∈ N sao cho ρ(yn , x) ≤ r + n1 . Vậy {yn } bị chặn. Do đó tồn tại dãy
con {ynm } và một điểm y ∈ X sao cho {ynm } hội tụ tới y. Theo giả
thiết N là tập đóng do đó y ∈ N . Chuyển qua giới hạn cho m → ∞
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

trong bất đẳng thức: ρ(ynm , x) ≤ r +

1
nm

ta được ρ(x, y) ≤ r.

Nhận xét 2.1. Rõ ràng, mọi tập compact đều thỏa mãn điều kiện
Bolzano-Weierstrass. Hơn nữa nếu X = Rn định lý Bolzano-Weierstrass
chỉ ra rằng mọi tập đóng N ⊂ Rn thỏa mãn điều kiện BolzanoWeierstrass.
Điều ngược lại không đúng. Cụ thể hơn trong không gian vô hạn phần
tử với metric rời rạc điều kiện (2.1) được thỏa mãn với mọi tập đóng
M, N ; tuy nhiên, tồn tại một dãy bị chặn không có điểm hội tụ. Thật
vậy, cho X là một tập vô hạn phần tử, ρ là một metric rời rạc trên X

ρ(x, y) =



0,

x = y,


1,

x = y.

Rõ ràng mọi tập con của X đều là tập đóng. Hơn nữa h(M, N ) = 1
khi và chỉ khi M = N . Vậy điều kiện (2.1) được thỏa mãn. Cho {xn }
là dãy các phần tử sao cho xn = xm , ∀n = m. Hiển nhiên dãy đó bị
chặn nhưng không có điểm hội tụ nào.
Trong giả thiết của Định lý 2.1 dấu bất đẳng thức trong (2.1) không
thể thay thế bằng dấu đẳng thức. Hơn nữa trong ví dụ sau, mọi giả
thiết của Định lý 2.1 thỏa mãn, tuy nhiên
∀x ∈ M, ∀y ∈ N : ρ(x, y) < h(M, N ).
Ví dụ 2.1.1. Cho X = L2 , N = {0}
M = xn = (xn1 , xn2 , . . .) ∈ N ; xnn = 1 − n−1 ; xnj = 0; ∀j = n .
Do đó h(M, N ) = 1, tuy nhiên, ρ(0, xn ) = 1 − n−1 < 1 ∀n.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

Một ví dụ nữa trong không gian X thỏa mãn điều kiện BolzanoWeierstrass, tuy nhiên
∀x ∈ M, ∀y ∈ N : ρ(x, y) = h(M, N )
và tồn tại những điểm x, u ∈ M ; y, v ∈ N sao cho
ρ(x, y) < h(M, N ); ρ(u, v) > h(M, N ).
Ví dụ 2.1.2. Cho X = R
M = {xn = 3n : n = 2, 3, . . .}
N = yn = 3n − 1 + n−1 : n = 2, 3, . . .
∀x ≥ 2 và ∀j ≥ 2, ta có ρ(xn , yi ) = 3(n − j) + 1 − j −1 = 1, tuy
nhiên, ρ(xn , xn ) = 1 − n−1 < 1; ∀n, và ρ(x2 , y3 ) = 2 + 3−1 > 1.
Bây giờ ta giới thiệu một mệnh đề đảm bảo sự tồn tại của điểm
x ∈ M và y ∈ N sao cho khoảng cách giữa chúng trùng với khoảng
cách Hausdorff giữa M và N .
Mệnh đề 2.1. Cho M và N là các tập compact. Khi đó
∃x ∈ M, ∃y ∈ N : ρ(x, y) = h(M, N ).
Chứng minh. Từ định nghĩa của khoảng cách Hausdorff ta suy ra
h(M, N ) = max sup
x∈M

inf ρ(x, y) , sup

y∈N

y∈N

inf ρ(x, y)

x∈M

Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng
h(M, N ) = sup
x∈M

17

inf ρ(x, y) .

y∈N

.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

Do hàm số x → inf ρ(x, y) là liên tục và tập M compact do đó tồn
y∈N

tại điểm x ∈ M sao cho inf ρ(x, y) = h(M, N ).
y∈N

Do y → ρ(x, y) là liên tục và N compact, nên tồn tại điểm y ∈ N
sao cho ρ(x, y) = h(M, N ).
Chú ý rằng, nếu tập M bị chặn và h(M, N ) < ∞ thì tậpN bị chặn.
Trong trường hợp đó, hiển nhiên N là compact nếu nó thỏa mãn điều
kiện Bolzano-Weierstrass.

2.2

Khoảng cách Hausdorff giữa các tập con của
không gian định chuẩn

Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa của Birkhoff-James về tính trực
giao trong không gian định chuẩn và chứng minh một vài mệnh đề bổ
trợ.
Định nghĩa 2.1. Vector x được gọi là trực giao với vector y trong
không gian định chuẩn X, nếu
x ≤ x + αy

∀α ∈ R.

Kí hiệu là x ⊥ y. Một vector x được gọi là trực giao với không gian
con L ⊂ X, khi và chỉ khi
x⊥y

∀y ∈ L,

điều này tương đương với
x ≤ x+y
18

∀y ∈ L.

(2.2)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

Định nghĩa 2.2. Chuỗi {en }∞
n=1 được gọi là trực chuẩn trong không
gian định chuẩn X, khi và chỉ khi với mọi n nguyên dương ta có
en = 1,

en+1 ⊥ L (e1 , e2 , . . . , en ) .

(2.3)

Trong đó L(e1 , e2 , . . . , en ) là kí hiệu bao tuyến tính của hệ vector
e1 , e2 , . . . , en .
Bổ đề 2.1. Cho X là một không gian hữu hạn chiều và L là không
gian con của X, L = X. Khi đó tồn tại x ∈ X sao cho x = 0 và
x ⊥ L.
Chứng minh. Do L = X, do đó ∃y ∈ X sao cho y ∈
/ L. Ta định nghĩa
hàm g như sau
g:

L→R
v → g(v) = v + y .

Dế thấy g là liên tục và
∃R ≥ 0 :

inf

g(v) = inf g(v).

v∈B(0,R)∩L

v∈L

Định lý Weierstrass chỉ ra rằng tồn tại v0 ∈ L sao cho
g(v0 ) = inf g(v).
v∈L

Đặt x = y + v0 . Từ (2.4) ta có
x = g(v0 ) ≤ g(v0 + v) = y + v0 + v = x + v ,

19

(2.4)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như Thị Ngọc Ánh

với mọi v ∈ L. Thêm nữa, x = 0 vì nếu trái lại thì y = v0 ∈ L mâu
thuẫn với giả thiết y ∈
/ L.
Bổ đề 2.2. Trong mọi không gian định chuẩn vô hạn chiều, luôn tồn
tại một chuỗi định chuẩn.
Chứng minh. Cho X là không gian định chuẩn vô hạn chiều, ta sẽ
chứng minh quy nạp theo k. Trước tiên, ta chọn một vector đơn vị
theo e1 ∈ X. Do X là không gian định chuẩn vô hạn chiều nên tồn tại
một vector f2 ∈ X sao cho e1 , f2 là độc lộc tuyến tính. Vì vậy L(e1 )
là không gian con thực sự của không gian hữu hạn chiều L(e1 , f2 ).
Theo Bổ đề 2.1, tồn tại một vector e2 ∈ L(e1 , f2 ) sao cho e1 ⊥ e2 .
Giả sử các vector đơn vị e1 , . . . , ek , fk+1 là độc lập tuyến tính. Vì vậy,
L(e1 , . . . , ek ) là một không gian con thực sự của không gian hữu hạn
chiều L(e1 , . . . , ek , fk+1 ). Theo Bổ đề 2.1 tồn tại một vector đơn vị
ek+1 ∈ L(e1 , . . . , ek ). Bằng quy nạp, ta chứng minh được sự tồn tại
của chuỗi trực chuẩn.
Định lý 2.2. Trong không gian định chuẩn vô hạn chiều X, luôn tồn
tại những tập khác rỗng, đóng và bị chặn M , N sao cho
x − y > h(M, N ),
với mọi x ∈ M và y ∈ N .
Chứng minh. Ta sẽ xây dựng các tập M và N . Theo Bổ đề 2.2 tồn tại
chuỗi trực chuẩn en ∞
n=1 . Đặt fn =
n−1

fn −
k=1

n+1
n en ,

ta có

1
ak f k ≥ f n = 1 + .
n
20

(2.5)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×