Tải bản đầy đủ

Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện lê bá bảo

[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018
CHUY£N §Ò:

MÆT TRßN XOAY

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế
SĐT: 0935.785.115 Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế

MÆt cÇu ngo¹i tiÕp, néi tiÕp khèi ®a diÖn
I- PHƯƠNG PHÁP
1. Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện:
Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét
quan trọng sau :
+ Điểm M thuộc S(O;R)  OM  R .
+ Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính của mặt cầu dưới 1 góc vuông.
2. Điều kiện cần và đủ:
+ Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp.
+ Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và
có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp.

3. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng:
Cho đoạn thẳng AB. Mặt phẳng ( ) được gọi

A

là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
khi mp ( ) đi qua trung điểm I của AB và


vuông góc với AB.

Lưu ý:   là tập hợp tất cả các điểm M trong

I
B

không gian cách đều A, B.
Dạng toán:

CHỨNG MINH KHỐI ĐA DIỆN NỘI TIẾP MẶT CẦU

Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện:
Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét
quan trọng sau:
+ Điểm M thuộc S(O;R)  OM  R .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

1

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

+ Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông.
I- Thuật toán 1: SỬ DỤNG MỘT TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN
Cho hình chóp S.A1 A2 ...An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác
định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng  : trục đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên.
Lúc đó:

S

+ Tâm O của mặt cầu:   mp( )  O


+ Bán kính: R  OA   OS  .

I

Tuỳ vào từng trường hợp.

O
D
A

C

H
B

Lưu ý:

Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp
đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất:



Suy ra:

M

M  : MA  MB  MC

MA  MB  MC  M 

A
H

C

B

2. Các bước xác định trục:
- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Bước 2: Qua H dựng  vuông góc với mặt phẳng đáy.

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

2

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

VD: Một số trường hợp đặc biệt
Tam giác vuông

Tam giác đều







H

B

Tam giác bất kì

C

B

B

C
H

C
H

A

A

A

3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng
SMO đồng dạng với SIA

S

SO SM MO


SA SI
IA



M
O
I

A

4. Nhận xét quan trọng:

 MA  MB  MC
M , S,  M  S  : 
 SM là trục đường tròn ngoại tiếp ABC .
SA  SB  SC
Thuật toán 2: SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN
Cho hình chóp S.A1 A2 ...An (thõa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để
xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng  : trục đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp.
Lúc đó:

Δ

+ Tâm I của mặt cầu:   d  I

S

+ Bán kính: R  IA   IS  . Tuỳ vào từng trường
R

hợp.

d

I
D

C
A
B

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

3

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

II- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho điểm I nằm ngoài mặt cầu  O; R  . Đường thẳng  1 qua I cắt mặt cầu tại hai điểm

A, B; đường thẳng  2 cắt mặt cầu tại hai điểm C , D. Biết IA  3  cm , IB  8  cm , IC  4  cm .
Tính độ dài ID.

A. 3  cm  .

B. 4  cm  .

C. 6  cm  .

D. 8  cm  .

Lời giải
Áp dụng tính chất: Do 4 điểm A, B, C , D cùng
thuộc

1

đường

IA.IB  IC.ID  ID 

tròn

B

nên
A

IA.IB
 6  cm  .
IC

O

 Chọn đáp án C.

I
D

C

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tam giác SAC đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD.
B. R 

A. R  a.

a 3
.
2

C. R 

a 2
.
2

D. R 

a 3
.
3

Lời giải
Ta có: SO 

a 3
. Xét hai tam giác SMI và SOC
2

đồng dạng suy ra:

S

SI SM
SM.SC a 3

 SI 

.
SC SO
SO
3

M

 Chọn đáp án D.
Nhận

xét:

I



trọng

tâm

I

2
2 a 3 a 3
SAC  R  SI  SO  .

.
3
3 2
3

D

A

C
O
B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA  2a, ABC
  1200 , AB  AC  a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A, BAC
A. R  a 5.

B. R  a 2.

C. R 

a 6
.
2

cân tại

D. R  2a.

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

4

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

  3a2
Ta có: BC 2  AB2  AC 2  2 AB.AC.cos BAC
 BC  a 3. Xét ABC :

S

BC
 2 R  R  a :

sin BAC
K

bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC.
Lúc đó: R 

2
SA2
  R   a 2.
4

I

R

C

A

 Chọn đáp án B.

R'
O
B

Ví dụ 4: Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA  OB  OC  1. Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
A. 1.

B.

1
.
2

3
.
2

C.

D.

2
.
2

Lời giải
Gọi M là trung điểm BC , qua M dựng d / /OA.
Gọi

K

là trung điểm

 / /OM    d  I :

OA,

Tâm

qua
mặt

K

cầu

A

dựng

K

OA2
3
R  IO 
 OM 2 
.
4
2

I

R

 Chọn đáp án C.

C

O
M
B

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, ABC vuông cân tại C , AC  2 2 ,
góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC.

A.

112
.
3

B.

224
.
3

C. 160 .

D. 40 .

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

5

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

 BC  AC
 BC  SAC   BC  SC
Do 
 BC  SA

 SBC ; ABC  SCA



S





R
I

  SA
Xét SAC vuông tại A : tan SCA
AC
  2 6. Do SCB vuông tại C
 SA  AC.tan SCA

nên tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
trung

điểm

C

A
60

SB
SB  R 
.
2

Tính

0

được
B

AB  4; SB  2 10  R  10. Vậy S  4 R2  40 .

 Chọn đáp án D.
Ví dụ 6: Cho hai đường tròn  C1  tâm O1 , bán kính bằng 1 ,  C2  tâm O2 , bán kính bằng 2 lần
lượt nằm trên hai mặt phẳng  P1  ,  P2  sao cho  P1  / /  P2  và O1O2   P1  ; O1O2  3. Tính diện
tích mặt cầu qua hai đường tròn đó,
A. 24 .

B. 20 .

C. 16 .

D. 12 .

Lời giải
Đặt

IO1  x  0  x  3 

R

 x 2  IB2  O1 B2  R2  1  R2  1  x 2

2
2
2
2
2
2
 3  x   IA  O2 A  R  4  R  4   3  x 
 4   3  x   1  x  x  2  R  IO  BO  5.
2

2

2
1

O2

A

P1

R
P2

2
1

B

I

O1

Vậy S  4 R2  20 .

 Chọn đáp án B.
Ví dụ 7: (Đề minh họa Bộ GD và ĐT) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1,
mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. V 

5 15
.
18

B. V 

5 15
.
54

C. V 

4 3
.
27

D. V 

5
.
3

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

6

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Gọi H là trung điểm cạnh AB, G, G lần lượt là

S

trọng tâm các tam giác ABC và SAB.

 IG  SG '
2

Ta có: SI 
2

2

 HG 2  SG ' 

2

2

1
 2

15
  HC    SH  
.
6
3
 3

Vậy

thể

tích

I
G'

khối

cầu



C

A

4
4
5 15
V   R3   SI 3 
.
3
3
54
 Chọn đáp án B.

G

H

B

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC có AB  2; AC  2 và
  1200 . Biết góc giữa SBC và ABC bằng  với tan   2. Tính bán kính mặt cầu ngoại
BAC
  

tiếp hình chóp S.ABC.
A.

B. 2.

5.

C.

D.

3.

2.

Lời giải
Gọi

M



trung

điểm

của

cạnh

 BC  AM
BC  
 BC  SAM   BC  SM.
 BC  SA
.
Suy ra SBC ; ABC  SMA







Theo giả thiết: tan  

S

K

SA
 SA  AM.tan 
AM

.tan   2.
 AB.cos BAM

C

A

  12
Ta có: BC 2  AB2  AC 2  2 AB.AC.cos BAC

α
M

 BC  a 3.

Xét

ABC :

BC
 2 R  R  2 :

sin BAC

bán

I

R

kính

R'

O

B

đường tròn ngoại tiếp ABC.

SA2
 5.
Vậy bán kính mặt cầu là R   R '  
4
2

 Chọn đáp án A.
Ví dụ 9: (Đề thử nghiệm Bộ GD và ĐT) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D' có

AB  a, AD  2a, AA '  2a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB ' C '.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

7

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
A. 3a.

B.

3a
.
4

Luyện thi THPT Quốc gia 2018
C.

3a
.
2

D. 2a.

Lời giải
Ta
chứng
minh
được
'  AB

ABC
' C '  900  A, B, B ', C ' cùng thuộc mặt

C
B

A

cầu với đường kính AC '.
Ta có: IA 

D

R

 AB '   B ' C '
2

2

I

 3a.

IA 3a
 .
2
2
 Chọn đáp án C.

D'

Suy ra R 

C'

B'

A'

Ví dụ 10:Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước a, b, c. Gọi T  là một tứ diện có sáu cạnh là
sáu đường chéo của sáu mặt bên của hình hộp đã cho. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
đó.






 a
D. S 

A. S  4 a2  b2  c 2 .





C. S  2 a  b  c .
2

2

2


c 
.

B. S   a2  b2  c 2 .
2

 b2
2

2

Lời giải
Nhận xét rằng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.
Vậy bán kính mặt cầu là R 

a2  b2  c 2
suy ra diện tích mặt cầu là S  4 R2   a2  b2  c 2 .
2





 Chọn đáp án B.
Ví dụ 11:Cho hình lập phương cạnh a. Gọi R1 , R2 , R3 lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả
các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. R22  R1 .R3 .

B. R22  R12  R32 .

C. R12  R22  R32 .

D. R32  R1 .R2 .

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

8

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Ta có: R1 

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

B' D 3 a
AB a

; R2 
 ;
2
4
2
2

R3  IO2  OM 2 

D
M

C

O
B

A
R3

a2 a2 a 2


 R12  R22  R32 .
4 4
2

R2

R1

 Chọn đáp án C.

D'

C'

B'

A'

Ví dụ 12:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h  2. Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A.

9
.
8

B.

9
.
4

C.

3
.
4

D.

3
.
2

Lời giải
Xét hai tam giác SHI và SOC đồng dạng:

S

SH SI
SH.SC 9

 SI 

SO SC
SO
8
9
 R  SI  .
8
 Chọn đáp án A.

H

I
D

C
O

A

B

Ví dụ 13:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h 

3
. Tính bán kính
2

mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD.
A.

3.

B.

3
.
2

3
.
4

C.

D.

3
.
6

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

9

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Ta có SPK cân và có PK  1, SO 

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

3
 SPK
2

S

đều.


GH   SBC 
Gọi G là trọng tâm SPK  

GO   ABCD 

H
G

1
a 3
 R  GO  GH  SO 
.
3
6
 Chọn đáp án D.

D
C
P

K

O

A

B

Ví dụ 14:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h  2. Tính bán kính
mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD.
A.

17
.
8

B.

17  1
.
8

C.

17  1
.
4

D.

17  2
.
4

Lời giải

Đặt GH  x  GO  R  0  x  2  .

(Sử dụng hình trên)

Xét hai tam giác đồng dạng SHG và SOK :

S

HG SG
x
2x



 17 x  2  x
1
OK SK
17
2
2

x

2
1  17



H

1  17
1  17
R
.
8
8

G

 Chọn đáp án B.
P

K
O

  600. Biết hai mặt
Ví dụ 15:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, BAD
phẳng  SDC  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , góc giữa SC và mặt đáy bằng

450. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD.
A. 7 .

B.

7
.
2

C.

7
.
4

D.

7
.
3

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

10

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018


 SDC    ABCD 
 SD   ABCD 
Ta có: 
SAD

ABCD






.
 SC ; ABCD  SCD



S





Mặt
khác:
cân
tại
ABD
A
  600  ABD đều  BCD đều.
BAD

R

K



I

Gọi G là trọng tâm BCD và I là giao điểm

45

D

hai đường như hình vẽ.

G

O

21
R  SI  SK 2  KI 2 
.
6

A

Vậy mặt cầu có diện tích S  4 R2 

0

C

M
B

7
.
3

 Chọn đáp án D.

  600 , SA vuông góc với
Ví dụ 16:Cho hình chóp S.ABC với ABC có AB  1, AC  2 và BAC
đáy. Gọi B1 , C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính diện tích mặt cầu qua
các đỉnh A, B, C , B1 , C1 .
B. 12 .

A. 16 .

C. 8 .

D. 4 .

Lời giải
3
Ta có: BC 2  AB2  AC 2  2 AB.AC.cos BAC

S

 BC  3. Lúc đó AB  BC  AC  ABC
2

2

2

vuông tại B.

C1

 BC  SA
 BC   SAB   BC  AB1
Ta có: 
BC

AB

 AB1  SBC   AB1  B1C .

B1

  AB


Do ABC
C  AC
C  900  A, B, C , B1 , C1
1
1

cùng

thuộc

AC  R 

mặt

cầu



đường

kính

A

60

0

R

I

AC
 1.
2

Vậy diện tích mặt cầu là S  4 R2  4 .

B

 Chọn đáp án D.
Ví dụ 17:Ba tia Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc, C là một điểm cố định trên Oz , đặt OC  1, A, B
thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA  OB  OC. Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện OABC.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

11

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

C


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
A.

6
.
4

B.

Lời giải

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

6
.
3

6
.
2

C.





Đặt OB  b, OA  a  a  b  1 ; a; b   0;1 .

D.

6.

z

Gọi H , K lần lượt là trung điểm AB, OC

C

1 b2  c 2

4
4
2
1 1
1 1 3
   a  b   
4 8
4 8 8

 R  IH 2  OH 2  R2 




1 1
 .2. b2  c 2
4 8



K

6
6
 Rmin 
.
4
4
 Chọn đáp án A.

R

I
B

b

O

y

H

a
A

x

Ví dụ 18:Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB  1 ,
góc giữa A ' C và  ABC  bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C '.ABB ' A '.
A.

5
.
2

B. 5 .

5
.
4

C.

D.

5
.
6

Lời giải






Ta có: AA '   ABC   A ' C;  ABC   A
' CA.

A'

C'
K

Xét A ' CA vuông tại A :
AA '

 AA '  AC.tan A
' CA  3.
AC
Nhận xét: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C '.ABB ' A '

tan A
' CA 

B'

R

cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' .
Gọi H , K

lần lượt là trung điểm các cạnh

BC , B ' C '.
Bán kính mặt cầu là R  IC '  IK   KC ' 
2

2

5

.
2

5
 5 .
Vậy diện tích mặt cầu là S  4 R  4.
4
 Chọn đáp án B.

60

A

0

C

H

2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

B

12

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Ví dụ 19:Cho hình lăng trụ đứng

Luyện thi THPT Quốc gia 2018
ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC

là tam giác vuông tại

A, AB  3, BC  5 , hình chiếu vuông góc của B ' trên  ABC  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC. Biết góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABB ' A '  bằng 600. Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp B '.ABC.
A.

73 3
.
48

B.

73 3
.
24

C.

73 6
.
48

D.

73 3
.
24

Lời giải
Gọi



K

AB 



 ABB ' A ' ;  ABC 



trung

B
' KH.

vuông
B ' KH

B ' H  KH.tan B
' KH  2 3.

Xét

tại

Suy ra: B ' A  AH 2  B ' H 2 
tam

giác

điểm

73
.
2
B ' PI

A'

C'
B'

H:

Xét

hai

B ' HA :

B' I
B' P
B ' A.B ' P 73 3

 IB ' 

.
B' A B' H
B' H
48

P



R

I

73 3
.
48
 Chọn đáp án A.

C

A

 R  IB ' 

H

K
B

Ví dụ 20: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng  ABC  và  BCD  vuông góc với nhau. Biết tam
giác ABC đều cạnh a , tam giác BCD vuông cân tại D . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện ABCD.
A.

a 2
.
3

B.

a 3
.
2

C.

2a 3
.
3

D.

a 3
.
3

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

13

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , H là trung
điểm cạnh BC . Do

 ABC    BCD 

A

và tam giác

BCD vuông cân tại D nên AH là trục đường tròn

ngoại tiếp tam giác BCD .

a

Suy ra : G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD và bán kính mặt cầu là :

G

2
a 3
AH 
.
3
3
 Chọn đáp án D.

D

B

R  AG 

H
C

Ví dụ 21: Tính Bán kính mặt cầu nội tiếp hình bát diện đều có cạnh bằng a.
A. r 

a 6
.
6

B. r 

a 6
.
3

C. r 

2a 6
.
3

D. V 

a 6
4

Lời giải
Gọi H là trung điểm BC và O là tâm hình vuông

E

ABCD . Dựng OK  EH  OK  SBC  .

Dễ chứng minh tương tự với các mặt khác thì khoảng

a

cách từ O đến các mặt của bát diện đều bằng nhau và

K

bằng OK  O là tâm và r  OK là bán kính mặt cầu

D

C

nội tiếp bát diện đều.
H

O

1
1
1
a 6
Xét SOH :


 OK 
.
2
2
2
6
OK
OH OE
 Chọn đáp án A.

A

B

a

F

Ví dụ 22:Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh 2a. Gọi H là trung điểm AB và
SH  a 3 là độ dài đường cao của hình chóp. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp đó.
A. R 

a 21
.
3

B. R 

a 21
.
7

C. R 

a 7
.
3

D. R 

a 3
.
3

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

14

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

S

Δ

Qua O dựng    ABCD    / /SH.


SH   ABCD 
Ta có: 
 OH   SAB 

 SAB    ABCD   AB

R

d

I

G
B

C

H

O

A

D

Mặt khác: SAB cân có AB  2a và SH  a 3 suy ra SAB đều cạnh 2a. Gọi G là trọng tâm
SAB , qua G dựng d  SAB   d  OI .

 IA  IB  IC  ID
Lúc đó: d    I . Ta có: 
 IA  IB  IC  ID  IS hay I là tâm mặt cầu ngoại
 IA  IB  IS
tiếp hình chóp S.ABCD và có bán kính R  SI .
2

4 2 2 a 21
2

.3a  a 
.
Xét SGI vuông tại G, ta có: SI  SG  GI   SH   IO 2 
9
3
3

2

2

 Chọn đáp án A.
Ví dụ 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AB  AD  a, CD  2a .
Cạnh bên SD   ABCD  và SD  a . Gọi E là trung điểm của DC. Xác định tâm và tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE.
A. R 

a 11
.
4

B. R 

a 11
a 11
. C. R 
.
2
3

D. R 

2a 11
.
11

Lời giải

  900
Vì AB  DE  AD  a và DAB

S

Δ

nên ABED là hình vuông.

N
I

Tam giác BCD có EB  ED  EC  a
nên vuông tại B, BE  CD nên

J

a

trung điểm M của BC là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác EBC.

a

D

E

a

C

a
A

M
a

B

+ Qua M dựng    ABCD    / /SD.

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

15

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

+ Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh SC, mặt phẳng này cắt  tại I.

 IB  IE  IC
 IB  IE  IC  IS. . Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BEC và

 IC  IS

Ta có:
R  IC

SN / / DM

* Kẻ

SD  a

cắt MI tại N, ta có SDMN là hình chữ nhật, với







2

AB2  AD  DC 2 EC 2  EB2 5a2
DB2  DC 2 BC 2
.
DM 




2
4
2
2
4
2

Ta có: SI  SN  NI  SN   NM  IM 
2

2

2

2

Mặt khác : IC 2  IM 2  MC 2  IM 2 
Suy ra:

2
5a 2

  a  IM  .
2

2

a2
và R  IC  SI .
2

2
a2 a 11
5a 2
a2
3a

.
.  R  IC  IM 2 
  a  IM   IM 2   IM 
2
2
2
2
2

 Chọn đáp án B.
Ví dụ 24:Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB  AC  a, SBC    ABC  và
SA  SB  a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết SC  x.

A. R 

a2
3a 2  2 x 2

B. R 

a2  1

C. R 

3a 2  x 2

a2

D. R 

a2  x2

a2
3a 2  x 2

Lời giải
Gọi K là trung điểm AB, qua K dựng đường trung trực

A

của AB. Tâm I của mặt cầu là giao điểm của trục
đường tròn  của SBC và đường trung trực của AB.

a

a

K

Lúc đó: R  IA . Xét hai tam giác KAI và OAB đồng

a

dạng:

AB2
a2
AI KA
AB.KA



 AI 
AB AO
AO
2 AC 2  OC 2
3a 2  x 2
a2
R  AI 
.
2
2
3a  x

O

B

C
I
a

x
S

 Chọn đáp án D.
III-BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Câu 1.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 . Xét điểm M trong không gian mà

MA2  MB2  MC 2  MD2  2 . Trong các câu sau, tìm câu đúng.

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

16

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

A. M thuộc một mặt cầu có tâm là trọng tâm tam giác ABC và có bán kính

2
.
2

B. M thuộc một mặt cầu có tâm là trọng tâm tứ diện ABCD và có bán kính

2
.
4

C. M thuộc một mặt cầu có tâm là trọng tâm tứ diện ABCD và có bán kính

2
.
2

D. M thuộc một đường tròn cầu có tâm là trọng tâm tam giác ABC và có bán kính
Câu 2.

Trong các hình dưới đây, hình nào không có mặt cầu ngoại tiếp?

hình 1

hình 2

A. Hình 1.
Câu 3.

2
.
4

hình 4

hình 3

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

Ba tia Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc. C là điểm cố định trên Oz , C  O ; A, B là hai điểm
thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA2  OB2  k 2 ( k cho trước). Kí hiệu (S) là tập hợp tâm các
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . Trong các câu sau, tìm câu đúng.

Câu 4.

A. (S) là một mặt trụ.

B. (S) là một mặt phẳng.

C. (S) là một đoạn thẳng.

D. (S) là một cung tròn.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.

Câu 5.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA  a. Hình chiếu của S
trên  ABC  là trung điểm H của BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm SH.
B. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là H.
C. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trọng tâm của tam giác ABC.
D. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm AH.

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

17

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]
Câu 6.

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Ba tia Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc. C là điểm cố định trên Oz , C  O ; A, B là hai điểm
thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA  OB  OC . Kí hiệu (S) là tập hợp tâm các mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện OABC . Trong các câu sau, tìm câu đúng.

Câu 7.

A. (S) là một mặt phẳng.

B. (S) là một mặt trụ.

C. (S) là một đoạn thẳng.

D. (S) là một cung tròn.

Xét các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R . Trong các mệnh đề sau đây, tìm mệnh
đề đúng: tổng độ dài các cạnh của hình hộp lớn nhất.
A. Khi hình hộp có đáy là hình vuông.
B. Khi hình hộp là hình lập phương.
C. Khi hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số cộng với công sai khác 0 .
D. Khi hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1 .

Câu 8.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Khẳng định nào sau
đây là đúng?
A. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là tâm của đáy.
B. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm của đoạn thẳng nối S với
tâm của mặt đáy.
C. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trọng tâm của tam giác SAC.
D. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là S.

Câu 9.

Hình chóp D.ABC có DA vuông góc với

 ABC  ,

BC vuông góc với DB , AB  c ,

BC  a AD  h . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

1 2 2 2
1 2 2 2
B.
C. a2  b2  c 2 .
D. 2 a2  b2  c 2 .
a b c .
a b c .
3
2
Câu 10. Mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh a có bán kính là :

A.

A.

a 2
.
2

B.

a 2
.
4

D. 2a 2.

C. a 2.

Câu 11. Gọi O1 , O2 , O3 lần lượt là tâm các mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tiếp xúc với các cạnh của
hình lập phương. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng.
A. O1 trùng với O2 nhưng khác O3 .
B. O2 trùng với O3 nhưng khác O1 .
C. Trong ba điểm O1 , O2 , O3 không có hai điểm nào trùng nhau.
D. O1 , O2 , O3 trùng nhau.
Câu 12. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 . Gọi B , C  , D lần lượt là trung điểm các cạnh
AB , AC , AD . Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B , C , D , B , C  , D .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

18

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

11
11
22
22
.
B.
.
C.
.
D.
.
8
4
8
8
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh cùng bằng a . Tính bán kính mặt cầu
A.

ngoại tiếp của hình chóp đó.
a 2
.
C. a 3 .
2
Câu 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy

A. a 2 .

B.

a 3
.
2
là tam giác vuông tại

D.

ABC

C , AC  a , AB  2 3a , AC '  a 5. Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ
ABC.A ' B ' C '.

A.

8 a 3
..
3

B.

4 a 3
.
3

C.

16 a3
.
3

D.

Câu 15. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h 

32 a 3
.
3

3
. Tính tỉ số thể tích
2

khối cầu nội tiếp hình chóp và thể tích khối chóp đã cho.





.
B. .
C. .
D. .
4
9
2
3
Câu 16. Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 1. Tính tỉ số thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình chóp và thể tích khối chóp đã cho.
27
27
27
27
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
2
4
8
16
  1200 , cạnh bên bằng
Câu 17. Hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' , đáy ABC có AC  1, BC  2, ACB
A.

2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
40
40
40
.
C.
.
D.
.
3
9
27
Câu 18. Cho hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh cùng bằng 1 . Tính diện tích mặt cầu ngoại

A. 40 .

B.

tiếp hình lăng trụ.
A. 7 .

B.

7
.
2

C.

7
.
3

D.

7
.
6

Câu 19. Cho tam giác đều ABC cạnh 1 . Gọi  P  là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt
phẳng  ABC  . Trong  P  xét đường tròn T  đường kính BC . Tính diện tích mặt cầu nội
tiếp hình nón có đáy T  , đỉnh là A .
A.


.
2

B.


.
3

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

C.  .

19

D.  .

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018


Câu 20. Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh 1, BC
D  1200 , SD vuông góc với mặt

phẳng ( ABCD) , góc giữa SB và mặt đáy bằng 600 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
SBCD

13
13
13
.
C.
.
D.
.
4
2
8
Câu 21. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB  2a. Trên đường thẳng đi qua A và

A.

13 .

B.

vuông góc với mặt phẳng  ABC  , lấy điểm S sao cho SC tạo với mặt phẳng  ABC  một
góc 600. Tính theo a đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

a 10
B. 2 5a.
C. 10a.
D. 2 10a.
.
2
Câu 22. Xét mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều cạnh bằng 1 . Tính bán kính mặt
A.

cầu đó.

2
2
.
B.
.
C. 2 .
D. 2 2 .
2
4
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  a, BC  2a . Mặt bên SCD là
A.

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD là

50 a2
16 a2
32 a2
14 a2
A. S 
B. S 
C. S 
D. S 
.
.
.
.
9
3
3
3
Câu 24. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật mà AD  3 , AC  5 ; SA vuông góc

với mặt phẳng  ABCD  , góc giữa  SCD  và mặt phẳng  ABCD  bằng 450 . Tính thể tích
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .

17 34
17 34
17 34
.
B.
.
C. 34 34 .
D.
.
3
6
9
Câu 25. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A , B , AB  BC  1 ; AD  2 ;
A.

mặt phẳng  SAD  vuông góc với  ABCD  và tam giác SAD đều. Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện SABC .

3
5
.
B. 2 .
C. 5 .
D.
.
2
2
Câu 26. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân tại A , AB  a . Tam giác BCD là tam
A.

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Thể tích khối cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD là

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

20

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

16 6 a3
.
27
  600 , SA  1 , tam giác SAB
Câu 27. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 1, A
2
vuông tại S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Tính diện tích mặt
A. V 

4 6 a3
.
27

8 6 a3
.
9

B. V 

C. V 

8 6 a3
.
27

D. V 

cầu ngoại tiếp SABD .
A.

4
.
27

B.

4
.
9

C.

4
.
6

D.

4
.
3

Câu 28. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a , AD 

a 3
. Tính bán
2

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

a 11
a 21
a 15
a 13
B. R 
C. R 
D. R 
.
.
.
.
6
6
3
6
Câu 29. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB  1 ; các cạnh bên cùng
A. R 

tạo với đáy góc 600 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
8
.
6
Câu 30. Cho hình

A.

8
.
9
S.ABC

8
.
3

SA  2a

B.
chóp

D. 8 .

C.



 ABC  , BC  2 AB  2a, AC  a

vuông

góc

với

mặt

phẳng

5. Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABC.

A. 9 a2 .

B. 3 a2 .

D. 4 5 a2 .
   ,. Gọi B , C là
Câu 31. Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ( ABC) , AB  1, AC  2, BAC
1
1
C.

5 a2 .

hình chiếu của A trên SB, SC . Tính bán kính mặt cầu đi qua A, B, C , B1 , C1 .
A.

5  4 cos 
3 sin 

.

B.

2 5  4 cos 
3 sin 

.

C.

5  4 cos 

.

D.

5  4 cos 
.
2 sin 

2 sin 
  BDC
  CDA
  900 . Tìm một đường
Câu 32. Cho tứ diện ABCD nội tiếp một mặt cầu mà ADB
kính của mặt cầu đó.
A. AB .

B. BC .
C. CA .


D. DD trong đó DD  3DG với G là trọng tâm của tam giác ABC .
Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh cùng bằng 1 . Tính bán kính mặt cầu nội
tiếp hình chóp đều đó.
A.



2

2 1 3



.

B.



2

4 1 3

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...



.

C.

21



3

2 1 3



.

D.



3

4 1 3



.

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


[...Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12...]

Luyện thi THPT Quốc gia 2018

Câu 34. Hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC vuông cân tại A, AB  1 , chiều cao bằng

6
,
2

điểm A ' cách đều ba điểm A, B, C . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp A ' ABC .
A.

8
.
3

B.

4
.
3

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

C.

22

16
.
3

D.

32
.
3

CLB Giáo viên trẻ TP Huế



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×