Tải bản đầy đủ

Ứng dụng của tích phân lê bá bảo

Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu

TÍCH PHÂN

CHUYÊN Đ :
Ch đ 3:

NG D NG

NG D NG C A TÍNH PHÂN TRONG HÌNH H C

ng d ng 1:

TÍNH DI N TÍCH HÌNH PH NG

I. LÝ THUY T
f  x  liên t c trên đo n

Bài toán 1: Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ th c a hàm s

 a; b  , tr c hoành và hai đ

ng th ng x  a , x  b đ

b

c tính theo công th c:

S   f  x  dx
a

(1)
Minh h a các d ng th

ng g p:
f  x  không mang 1 d u trên

f  x   0, x   a; b  .

f  x   0, x   a; b  .

 a; b  .
y

f(x)

y

y
x
O

a
(H)

(H)

b

c

a

x

(H)

f(x)

b

a

b
O

x
O

f(x)

b

S     f  x  dx

b

S   f  x  dx

c

b

a

c

S   f  x  dx     f  x   dx

a

a

L u
B ng cách xem x là hàm c a bi n y , t c là x  g  y  , di n tích S

y

c a hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s x  g  y  liên t c trên
đo n  a; b  , tr c tung và hai đ

ng th ng y  a, y  b đ

b

g(y)

c tính

b

theo công th c:

S   g  y  dy

(H)

(2)

a

a

x

O

f  x  , g  x  liên t c

Bài toán 2: Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i các đ th c a hàm s
trên  a; b  và hai đ

ng th ng x  a , x  b đ

b

c tính theo công th c:

S   f  x   g  x  dx

(3)

a

Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...

CLB Giáo viên tr TP Hu


Chuyên đ tích phân ng d ng

Minh h a các d ng th

Lê Bá B o

ng g p:
f  x   g  x  , x   a; b  .

f  x   g  x  , x   a; b  .

f  x   g  x  , x   a; c  ;
f  x   g  x  , x  c ; b  ;  a  c  b  .

y

y
f(x)

(H)

(H)

g(x)
x

x
a

O

a

(H)

f(x)

g(x)
O

f(x)

y

g(x)

x

b

b

a

O

c

b

b

S    g  x   f  x   dx

b

S    f  x   g  x   dx

c

b

a

c

S    f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx

a

a

L u
B ng cách xem x là hàm c a bi n y , di n tích S c a hình ph ng

y

x  f  y  , x  g  y  liên t c trên

b

gi i h n b i các đ th hàm s
đo n  a; b  và hai đ

ng th ng y  a, y  b đ

c tính theo công

g(y)

f(y)
(H)

b

th c:

S   f  y   g  y  dy

(4)

a

a

O

Hình ph ng gi i h n b i nhi u h n hai đ

Bài toán 3:

Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i các đ th đ

x

ng cong

c chia thành nhi u ph n di n tích, mà m i

ph n ta có th tích theo công th c (1), (2), (3) và (4).
Minh h a các d ng th

ng g p:

f  x   h  x  , x   a; c  ;

f  y   g  y  , y   a; c  ;

g  x   h  x  , x  c ; b  ;  a  c  b  .

f  y   h  y  , y  c ; b  ;  a  c  b  .

g(x)

y

y
b

f(x)

g(y)

(H 1 )

f(y)

c

(H 1 )

(H 2 )

h(x)

h(y)

(H 2 )

O

O

a

c

c

b

a

c

b

S    f  x   h  x  dx    g  x   h  x  dx

Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)

x

a

x
c

b

a

c

S    f  y   g  y  dy    f  y   h  y  dy

The best or nothing


Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu

II. PH

NG PHÁP

Ph ng pháp: S d ng tính ch t c b n c a tích phân (thêm c n trung gian đ tính tích phân
ch a d u giá tr tuy t đ i GTTĐ .
+) Tính ch t: Hàm s y  f  x  liên t c trên K (kho ng đo n, n a kho ng) và a , b , c là ba s b t
kì thu c K Khi đó ta có

b

c

a

a

b

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
c

b

Chú ý: Khi áp d ng công th c (3):

S   f  x   g  x  dx

, ngoài vi c kh

d u GTTĐ nh

a

ph

ng pháp đã trình bày trên, ta có th kh d u GTTĐ theo ph ng pháp sau
B c 1: Gi i ph ng trình f  x   g  x   0 trên  a; b  , gi s có các nghi m

c , d   a; b  ;  a  c  d  b  . Khi đó f  x   g  x  không đ i d u trên các đo n  a; c  ; c; d  ; d; b  .
T c là:

B

b

c

d

b

a

a

c

d

c 2: S   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx
c

d

b

a

c

d

   f  x   g  x   dx    f  x   g  x   dx    f  x   g  x   dx .
Ph

ng pháp 2: Phác th o d ng đ th và đ a ra k t qu .

III. BÀI T P TR C NGHI M MINH H A
Câu 1: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i
h n b i đ th hàm s
và hai đ

y

y  f  x  , tr c hoành

f(x)

ng th ng x  a , x  b nh hình v

bên. Kh ng đ nh nào sau đây đúng
a

(H)
x

b

A. S   f  x  dx.

B. S     f  x   dx.

b

O

b

a

a

b

a

D. S   f  x  dx.

C. S   f  x  dx.

a

b

L i gi i:
b

nghĩa c a tích phân ta có k t qu : S   f  x  dx.

D a vào n i dung

a

 Ch n đáp án D.

Câu 2: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i đ
th hàm s y  f  x  , tr c hoành và hai đ ng th ng

y
f(x)

x  a , x  b nh hình v bên. Kh ng đ nh nào sau đây
đúng
b

A. S   f  x  dx.

B. S 

 f  x  dx .

b

c

b

O

a

x

(H)

a

a

c

b

c

b

a

c

a

c

C. S   f  x  dx   f  x  dx. D. S   f  x  dx   f  x  dx.
L i gi i:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...

CLB Giáo viên tr TP Hu


Chuyên đ tích phân ng d ng

D a vào n i dung

Lê Bá B o

nghĩa c a tích phân và chia đo n  a; b 
c

b

a

c

thành hai đo n thành ph n

 a; c  ; c ; b  , ta có k t qu : S   f  x  dx   f  x  dx.
 Ch n đáp án C.

Câu 3: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
th hàm s y  f  x  , y  g  x  và hai đ ng th ng x  a , x  b

y
f(x)

nh hình v bên. Kh ng đ nh nào sau đây đúng
A. S 

b

b

 g  x  dx   f  x  dx .
a

a

b

b

a

a

b

(H)

b

B. S   f  x  dx   g  x  dx.
a

a

b

b

a

a

g(x)
x

D. S   f  x  dx   g  x  dx.

C. S   g  x  dx   f  x  dx.

L i gi i: (Ch n B)
G i S1 là di n tích hình ph ng đ

a

O

b

c gi i h n b i y  f  x  , Ox và hai đ

ng th ng

c gi i h n b i y  g  x  , Ox và hai đ

ng th ng

b

x  a; x  b  S1   f  x  dx.
a

G i S2 là di n tích hình ph ng đ
b

x  a; x  b  S2   g  x  dx.
a

b

b

a

a

V y S  S1  S2   f  x  dx   g  x  dx.
Câu 4: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s y  f  x  , y  g  x  và
ng th ng x  a , x  b nh hình v bên. Kh ng đ nh nào sau đây đúng

hai đ
c

b

a

c

A. S    g  x   f  x  dx    f  x   g  x  dx.

f(x)

y

g(x)

b

B. S    f  x   g  x   dx .
a

c

(H)

b

C. S    f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx.
a

D. S 

c

c


a

x

b

f  x  dx   g  x  dx .

O

c

L i gi i:
G i S1 là di n tích hình ph ng đ

a

c

b

c gi i h n b i y  f  x  , y  g  x  và hai đ

ng th ng

c gi i h n b i y  f  x  , y  g  x  và hai đ

ng th ng

c

x  a; x  c  S1    f  x   g  x  dx.
a

G i S2 là di n tích hình ph ng đ
b

x  c; x  b  S2    g  x   f  x  dx.
c

c

b

a

c

V y S  S1  S2    f  x   g  x  dx    g  x   f  x  dx.
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)

The best or nothing


Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu

 Ch n đáp án C.

Câu 5: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s y  f  x   x 4  2 x 2 và
tr c hoành nh hình v bên. Kh ng đ nh nào sau đây sai?
2

y

B. S  2  f  x  dx.

f  x  dx.



A. S 

2

 2

f(x)

0

2

C. S  2    f  x   dx.

D. S 

0



 2

0

  f  x  dx 

2



O

- 2

  f  x  dx.

2

x

0

L i gi i:
Hình ph ng đ i x ng qua Oy nên S 

2

f  x  dx  2



 2

0



 2

2

  f  x  dx  2    f  x  dx.
0

 Ch n đáp án B.

Câu 6: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s

y

x  g  y  , tr c tung và hai đ

b

ng th ng y  a, y  b nh hình v bên.

Kh ng đ nh nào sau đây đúng

g(y)

(H)

b

a

b

a

b

a

A. S   g  y  dx. B. S   g  y  dy. C. S   g  y  dy. D. S 

b

 g  y  dx .
a

a

x

O

L i gi i:
D a vào n i dung

b

nghĩa c a tích phân ta có k t qu : S   g  y  dy.
a

 Ch n đáp án C.

Câu 7: Kí hi u S là di n tích hình ph ng gi i
x  f  y , x  g  y

h n b i các đ th hàm s
và hai đ

ng th ng y  a, y  b nh
b

a

c

b

hình v

bên. Kh ng đ nh nào sau đây đúng
c

y

A. S    g  y   f  y  dx    f  y   g  y  dx.

g(y)
f(y)

c

a

x

O

b

B. S    f  y   g  y   dy .
a

c

b

a

c

C. S    g  y   f  y  dy    f  y   g  y  dy.
b

D. S    f  y   g  y   dy .
a

L i gi i:

Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...

CLB Giáo viên tr TP Hu


Chuyên đ tích phân ng d ng

Lê Bá B o

G i S1 là di n tích hình ph ng đ

c gi i h n b i x  f  y  , x  g  y  và hai đ

ng th ng

c gi i h n b i x  f  y  , x  g  y  và hai đ

ng th ng

c

y  a; y  c  S1    g  y   f  y  dy.
a

G i S2 là di n tích hình ph ng đ
b

y  c; y  b  S2    f  y   g  y   dy.
c

c

b

a

c

V y S  S1  S2    g  y   f  y  dy    f  y   g  y  dy.
 Ch n đáp án C.
x
x
Câu 8: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y  e ; y  e ; x  1.
e 2  2e  1
e 2  2e  1
e 2  2e  1
e 2  2e  1
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
e
e
e
e
L i gi i:
Ph ng trình hoành đ giao đi m: e x  e  x  x  0.
1

S   e e
x

x

dx 

0

1

 e

x





 e  x dx  e x  e  x



0

1
0

 e  e 1  2 

e 2  2e  1
.
e

 Ch n đáp án B.

Câu 9: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ

ng y  x2  4x  1 , y  m, (m  3) , x  0, x  3 là:

B. 3m  6 .

A. 3m  6 .

C. 3m  6 .

D. 3m  6 .

L i gi i:

Ta có: x2  4x  1   x  2   3  3, x
2

3

 x3

Do đó S   x  4 x  1  m dx    2 x2  x  mx   6  3m .
 3
0
0
 Ch n đáp án D.
3





2

Câu 10: G i S là di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ

ng y  x2  2x  1 , y  m, (m  2) ,

x  0, x  1 . Tìm m sao cho S  48 :
A. m  4 .

B. m  6 .

C. m  8 .

D. m  10 .

L i gi i:

Ta có: x2  2x  1    x  1  2  2, x
2

3



x3
Do đó S   m  x  2x  1 dx   mx   x2  x   3m  24 .
3

0
0
S  48  3m  24  48  m  8
 Ch n đáp án C.
3



2



Câu 11: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
x  m ,  0  m  3  b ng:

A.

m 3 3m 2

.
3
2

B. 

m 3 3m 2

.
3
2

C.

ng y  x2  2x  1 , y  x  1 , x  0,

m3 m2

 2m .
3
2

D.

m3 m2

 2m .
3
2

L i gi i:
Ta có: x 2  3x  0, x  0; m  . Vì 0  m  3

Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)

The best or nothing


Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu
m

m

Do đó S   x  3x dx   
2

0



0

m

 x 3 3x 2 
3m2 m3
.
x  3x dx    

 
2 0
2
3
 3



2

 Ch n đáp án B.

Câu 12: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
x  m ,  m  0  b ng

A. 3 .

5
Khi đó giá tr m b ng:
6
B. 2 .

ng y  x2  2x  1 , y   x  1 , x  0,

D. 4 .

C. 1 .

L i gi i:
Ta có: x 2  x  0, x   m; 0  .
0

0

Do đó S   x  x dx  
2

m

m



0

 x3 x2 
m2 m3
.
x  x dx     

2
3
 3 2 m



2

m2 m3 5
5


  m  1
6
2
3
6
 Ch n đáp án C.
S

Câu 13: Hình ph ng gi i h n b i đ
A. 

ng elip ( E) : x2  16 y2  16 có di n b ng.

B. 2

D. 4

C. 3

L i gi i:
4

S  4
0

y

16  x 2 dx
  16  x 2 dx
4
0
4

  
Đ t x  4 sin t , t    ;   dx  4 cos tdt .
 2 2

Đ i c n: x  0  t  0; x  4  t 

2

S
0

4



16  x2
y
1
4

x
4

1

2







 1
2
16  16 sin t .4 cos tdt  16  cos tdt  8  1  cos 2 t  dt  8  t  sin 2t   4 .
 2
0
0
0
2

2

2

2

 Ch n đáp án C.

Câu 14: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s

y  x3 , tr c Ox và đ

ng th ng x  2 có di n

tích là
C. S  4 .

A. S  1 .
B. S  16 .
L i gi i:
Ph ng trình x3  0  x  0 .
0

Di n tích hình ph ng: S 



2

0

x dx    x 3dx 
3

2

D. S  4 .

x4 0
4.
4 2

 Ch n đáp án C.

Câu 15: Hình ph ng gi i h n b i đ
x

th hàm s

y  1

1
, tr c Ox và hai đ
x2

ng th ng

1
, x  2 có di n tích là
2

A. S  5 .

B. S 

5
.
2

C. S  2 .

D. S  1 .

L i gi i:

Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...

CLB Giáo viên tr TP Hu


Chuyên đ tích phân ng d ng

Lê Bá B o

2 x2  1
1 2
2 2
x 1
x 1
1
d
d
dx
x
x



Di n tích hình ph ng: S   1  2 dx  


2
2
x
x
x
x2
1
1
1
1
2

2

2

2

1
2




1
1
1
1 2
   1  2  dx    1  2  dx    x   1   x    1 .
x
x 1
x 
x 


1
1
2
2
 Ch n đáp án D.
1

Câu 16: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y  x3  2x và đ

ng th ng 2x  y  0 có di n tích


A. S  8 .
B. S  4 .
C. S  2 .
L i gi i:
Gi i ph ng trình x3  2x  2x  x  0  x  2  x  2.
2

Di n tích hình ph ng: S 

x

3

2

 4 x dx 

0

 x

3

2



D. S  16 .

2





 4 x dx   4 x  x3 dx  4  4  8 .
0

 Ch n đáp án A.

Câu 17: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y 

 x khi x  1
10
x  x 2 và y  
, có di n tích
3
x  2 khi x  1


A. S  13 .

B. S 

15
.
2

C. S 

13
.
2

D. S  7 .

L i gi i:
Tìm hoành đ các giao đi m:
10
10
x  x 2   x  x  0;
x  x 2  x  2  x  3.
3
3
D a vào đ th (hình bên) di n tích hình ph ng c n tìm
1
3
 10

 10

2
là S    x  x  x  dx    x  x 2  x  2  dx
3
3


0
1
13
(đ v d t)
2
 Ch n đáp án C.


3x  1
, Ox , Oy là
x 1
4
4
C. S  4 ln  1 .
D. S  4 ln  2 .
3
3

Câu 18: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ

4
4
A. S  4 ln  1 .
B. S  4 ln .
3
3
L i gi i:
3x  1
1
0x . V y S
Xét ph ng trình
x 1
3

ng y 

0




1
3

3 x  1
4
dx  4 ln  1 (đ v d t).
x 1
3

 Ch n đáp án C.

Câu 19: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ

 a; b 

a
ng y  x2  4 x  3 , y  x  3 là S  ;
b

; a  0 ;

a
là phân s t i gi n. Kh ng đ nh nào sau đây là đúng
b
b2
25

A. b  a  103  0.
B. ba  654  0.
C.
D. b  a3  107  0.
a 109

Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)

The best or nothing


Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu

L i gi i:
x  3  0

ng trình x  4 x  3  x  3    x 2  4 x  3  x  3  x  0  x  5.
 x2  4x  3  x  3
 

Xét ph

2

5





V y S   x 2  4 x  3  x  3 dx 
0

 x
5

2



 4 x  3  x  3 dx 

0

109
 a  109; b  6  b  a 3  107  0.
6

 Ch n đáp án D.

x2
x2
Câu 20: Hình ph ng (H) gi i h n b i các đ th y  4  , y 
(hình v bên). Kh ng đ nh nào sau
4
4 2
đây đúng
y

 x
 x
x 
x 

 dx.


B.



d
2
S
4
4
.
x


0  4 2
 4 2
4 
4 
2
2





2 2 
2 2 
2
2 
2
2 
x
x
x
x
 dx.
C. S   
 4   dx. D. S    4  


4 
4 4 2
2
2
2 2  4 2




A. S  2

2 2

2

0

2

2

(P)

2

2
2

(E)
x
-4

O

-2 2

2 2

L i gi i:
Ta có:

4

2 2 
x2
x2
x2
x2 
 dx.

; x  2 2; 2 2   S    4  




4 4 2
4
4
2
2 2 


 Ch n đáp án D.

Câu 21: (Đ th nghi m 2017) Ông An có m t m nh v n hình
elip có đ dài tr c l n b ng 16m và đ dài tr c bé b ng 10m .
Ông mu n tr ng hoa trên m t d i đ t r ng 8m và nh n tr c bé c a
elip làm tr c đ i x ng nh hình v ). Bi t kinh phí đ tr ng hoa
là 100.000 đ ng/ 1m2 . H i ông An c n bao nhiêu ti n đ tr ng

8m

hoa trên d i đ t đó S ti n đ c làm tròn đ n hàng nghìn).
A. 7.862.000 đ ng.
B. 7.653.000 đ ng. C. 7.128.000 đ ng. D. 7.826.000 đ ng.
L i gi i: (Ch n B)
x2 y 2
Gi s elip có ph ng trình 2  2  1 . T gi thi t ta có 2a  16  a  8 và 2b  10  b  5
a
b
5

y
64  y 2  E1 
2
2

y
x
8

 1 
V y ph ng trình c a elip là
64 25
 y  5 64  y 2  E 
1

8
Khi đó di n tích d i v n đ c gi i h n b i các đ ng  E1  ;  E2  ; x  4; x  4 và di n tích c a
d iv

4

4

5
5
64  x2 dx   64  x2 dx.
8
20
4

n là S  2 

Tính tích phân này b ng phép đ i bi n x  8 sin t ta đ


3
c S  80  
.
6 4 


3
Khi đó s ti n là T  80  
 .100000  7652891,82 7.653.000 .
6 4 
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...

CLB Giáo viên tr TP Hu

4


Chuyên đ tích phân ng d ng

Lê Bá B o

IV. BÀI T P TR C NGHI M T

LUY N Đăng k

ngochuyenlb.gr8.com đ nh n Đáp án

Câu 1: Cho hai hàm s y  f  x  , y  g  x  liên t c trên đo n  a; b  có đ th l n l t là  C1  ,  C 2 
Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i hai đ th  C1  ,  C 2  và hai đ ng th ng
x  a , x  b  a  b  b ng
b

b

a

b

b

a

a

a

C. S   g  x  dx   f  x  dx .
Câu 2: Cho hai hàm s

b

B. S   f  x  dx   g  x  dx .

A. S   f  x   g  x  dx .

D. S 

a

b

1
f  x   g  x  dx .
2 a

y  f  x  , y  g  x  liên t c trên đo n  a; b  , c   a; b  . G i S là di n tích

c a hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s y  f  x  , y  g  x  và hai đ

ng th ng x  a , x  b

Công th c nào sau đây sai?
b

A. S   g  x   f  x  dx .

B. S 

b

 f  x   g  x  dx .
a

a

b

c

b

a

c

D. S   f  x   g( x) dx   f  x   g( x) dx .

C. S   f ( x)  g( x) dx .
a

Câu 3: Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ th 3 bàm s hàm s y  f  x  , y  g  x  , y  h  x 
ph n g ch chéo hình bên d
b



c tính b i công th c là:

c

A. S    g  x   f  x  dx    h  x   f  x  dx .
a

b

b

c

y  g  x

y

a

O

y  f  x

B. S    f  x   h  x  dx    f  x   g  x  dx .
a

b

b

c

C. S    g  x   h( x) dx    g  x   f ( x) dx .
a

b

b

c

a

b

b

c

x

y  h  x

D. S    f  x   g( x) dx    f  x   h( x) dx .
Câu 4: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ

ng y  ln x, y  0, x  e

1
1
1
(đ v d t).
B. (đ v d t).
C. (đ v d t).
D. 1 (đ v d t).
2
3
4
Câu 5: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y  x2  2x  2 , y  m,  m  1 , x  0, x  3 là

A.

A. 3m  6 (đ v d t).
B. 3m  6 (đ v d t).
Câu 6: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s

C. 3m  6 (đ v d t).
D. 3m  6 (đ v d t).
2
y  x , tr c Oy , tr c Ox và đ ng th ng x  3

có di n tích là
A. S  1 (đ v d t).
B. S  16 (đ v d t).
C. S  9 (đ v d t).
D. S  4 (đ v d t).
Câu 7: Cho Parabol  P  : y  x 2 và ti p tuy n c a  P  t i đi m
A  1;1 có ph

ng trình y  2x  1. Di n tích c a ph n bôi đ m

nh hình v là
1
5
A.
đ v d t B.
đvdt
3
3

C. 2 đ v d t D.

8
đvdt
3

Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)

The best or nothing


Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu

f  x  liên t c trên đo n  a; b  . Di n tích c a hình thang cong gi i h n b i đ
f  x  , tr c hoành và hai đ ng th ng x  a , x  b  a  b  b ng

Câu 8: Cho hàm s
th hàm s
b

A.

b

f  x  dx.



B.



b

a

a

b

C.   f 2  x  dx.

f  x  dx .

D.

Câu 9: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s

 f  x  dx.
a

a

y  x , tr c Oy , tr c Ox và đ

ng th ng x  2

3

có di n tích là
A. S  1 (đ v d t).
B. S  16 (đ v d t).
C. S  4 (đ v d t).
D. S  4 (đ v d t).
Câu 10: Cho hình ph ng  H  gi i h n b i đ th hàm s y  x  2  x  và tr c Ox . Kh i tròn xoay
t o thành khi quay hình ph ng  H  quanh tr c Ox có th tích là
16
4
512

đvtt
B. V 
đvtt
C. V 
đ v t t D. V 
đvtt
15
3
15
5
Câu 11: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s y  x3  6x và

A. V 

y  x2 (hình bên) b ng
0

 x

A. S 

3

2

C. S 

3





 6x  x dx. B. S 
2



Câu 12: Cho hàm s

 x

3



 6x  x2 dx.

2

x2  x3  6x dx. D. S 

2

3

0





x 3  6 x  x 2 dx 

2

3

 x



 6 x  x 2 dx .

3

0

f  x  liên t c trên đo n  a; b  , f  x   0, x   a; b  . G i

S là di n tích c a hình thang cong gi i h n b i đ th hàm s

f  x  , tr c hoành

ng th ng x  a , x  b  a  b  . Kh ng đ nh nào sau đây sai?

và hai đ
b

A. S     f  x   dx.

b

B.

 f  x  dx .
a

a

b

b

C. S   f  x  dx.

D.

a

 f  x  dx.
a

Câu 13: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s y  x  x  3 và y  2 x  1 là
2

1
1
5
3
(đ v d t).
B. S  (đ v d t).
C. S  (đ v d t).
D. S  (đ v d t).
7
6
8
6
Câu 14: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s y  sin x, y  0, x  0 và x   là

A. S 

A. S  4 (đ v d t).
B. S  2 (đ v d t).
C. S  4 (đ v d t).
D. S   (đ v d t).
Câu 15: Cho hàm s f  x  liên t c trên đo n  a; b  . Di n tích c a hình thang cong gi i h n b i đ
th hàm s f  x  , tr c hoành và hai đ ng th ng x  a , x  b  a  b  b ng
b

A.

b

 f  x  dx.

B.

 f  x  dx .
a

a

b

C.   f

2

 x  dx.

D.

 f  x  dx.
a

a

Câu 16: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s
hình bên đ

b

1
y  ln x , x  , x  e và tr c hoành
e

c tính theo công th c

e

1

e

1
e

1

B.  ln xdx   ln xdx.

A.  ln xdx.
1
e

1

e

1
e

1

C.   ln xdx   ln xdx.

e

D.

 ln xdx .
1
e

Câu 17: Di n tích c a hình ph ng ph n g ch chéo trong hình d
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...



c tính b i công th c:
CLB Giáo viên tr TP Hu


Chuyên đ tích phân ng d ng
c

A.


a

d

b

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.

c

B.

Lê Bá B o

c

d

d

b

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
a

c

d

c

d

b

a

c

d

C.   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
b

D.

 f ( x)dx.
a

Câu 18: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ

ng y  e x , y  e  x , x  1 .

e 2  2e  1
e 2  2e  1
e 2  2e  1
e 2  2e  1
.
.
.
.
B.
C.
D.
e
e
e
e
Câu 19: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y  x2  2x  1 , y   x  1 , x  0, x  k ,  k  0 

A.

5
Khi đó giá tr k b ng:
6
A. 3 .
B. 2 .
Câu 20: Hình ph ng gi i h n b i đ

b ng

C. 1 .
D. 4 .
2
2
ng elip ( E) : x  4 y  4 có di n b ng.

A.  .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 21: Di n tích hình thang cong gi i h n b i đ th hàm s y  x2  2, tr c hoành và hai đ

ng

th ng x  0 và x  1 là
2

A.

  x

2



 2 dx .

0

B.

0

  x

2

1



 2 dx .

C.

  x

2



 2 dx .

D. 2.

0

1

Câu 22: Hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s y  2x  x2 , y  x khi quay quanh tr c Ox t o
thành kh i tròn xoay có th tích là
1

1



B.   2x  x

A.   x dx .
2

0

2



2

1

dx .



C.   x  x

2



2

1

dx .

0

0

0



D.   2 x  x

2

1

 dx    x dx.
2

2

0

Câu 23: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hai hàm s y  x  2 và y  3x là:
2

7
.
2
Câu 24: Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i y  ln x, y  0, x  e là

A. 2 .

B. 3 .

C.

A. 2
B. 1 .
Câu 25: Gi s hình ph ng t o b i các đ
S1 . Còn hình ph ng t o b i các đ

D.

1
.
6

C. 5 .
D. 4 .
ng cong y  f ( x), y  g( x), x  a, x  b có di n tích là

ng cong y  2 f ( x), y  2 g( x), x  a, x  b có di n tích là S2 .

Trong các kh ng đ nh sau, kh ng đ nh nào đúng
A. S2  4S1 .
B. S2  S1 .
C. 2S2  S1 .
Câu 26: Cho đ th hàm s y  f  x  . Di n tích hình ph ng

D. S2  2S1 .

(ph n tô đ m trong hình bên) là
4

A.



1

f  x  dx .

B.

0

C.



3



3

3

0

3

4

0

f  x  dx   f  x  dx . D.



4

f  x  dx   f  x  dx .
1

4

f  x  dx   f  x  dx .
0

Câu 27: Di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ
Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)

ng cong y  x3 và y  x5 b ng
The best or nothing


Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu

1
.
6
Câu 28: Di n tích hình ph ng n m trong góc ph n t th nh t, gi i h n b i đ

B. 4 .

A. 0.

C.

D. 2.
ng th ng y  4 x

và đ th hàm s y  x3 là:
A. 4.

B. 5.

Câu 29: Cho đ

C. 3.

D. 3,5.

ng cong C  : y  x . G i d là ti p tuy n c a  C  t i đi m M  4, 2  Khi đó di n

tích c a hình ph ng gi i h n b i  C  ; d và Ox là

22
8
2
16
.
B. .
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 30: Vi t công th c tính di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ th c a hai hàm s
y  f ( x), y  g( x) và các đ ng th ng x  a, x  b là

A.

b

b

B. S   f ( x)  g( x) dx.

A. S    f ( x)  g( x) dx.
a

a

b

b

C. S   f ( x)  g( x) dx.

D. S    f ( x)  g( x) dx.

a

2

a

Câu 31: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y  x2 và đ

ng th ng y  2 x là:

4
3
5
23
.
.
B. .
C. .
D.
2
3
3
15
Câu 32: Di n tích mi n D đ c gi i h n b i hai đ ng: y  2x2 và y  2 x  4 là

A.

3
.
B. 9.
13
Câu 33: Di n tích hình ph ng đ

A.

1
13
.
D. .
9
3
2
c gi i h n b i đ th c a hàm s y  x , tr c hoành và hai đ

C.

ng

th ng x  1, x  3 là
28
28
1
1
dvdt  .
dvdt  .
A.
B.
C.  dvdt  .
D.  dvdt  .


9
3
3
5
2
Câu 34: Di n tích hình ph ng đ c gi i h n b i đ ng y  x  x  3 và đ ng th ng y  2 x  1 là
7
1
1
dvdt  .
B.   dvdt  .
C.  dvdt  .
D. 5  dvdt  .

6
6
6
Câu 35: Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i  C  : y  x 2 và d : x  y  2 b ng

A.

7
9
11
13
.
.
.
B. .
C.
D.
2
2
2
2
Câu 36: Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i  C1  : y  x 2 và C2  : y  x b ng

A.

2
4
5
.
B. .
C. .
3
3
3
Câu 37: Tính di n tích hình ph ng S gi i h n b i đ th hàm s

A.

1
.
3
y  x3  3x  2 và đ th hàm s

D.

y  x  2 .
A. S  8
B. S  4
C. S  16
D. S  2
Câu 38: Xét hai phát bi u:
(1) cho y1  f1  x  và y2  f2  x  là hai hàm s liên t c trên đo n  a; b  . Gi s :
 và  , v i a      b , là các nghi m c a ph ng trình f1  x   f2  x   0 Khi đó di n tích c a
hình ph ng gi i h n b i đ

ng th ng và đ th đ





b

a





c cho b i công th c:

S   f1  x   f2  x  dx   f1  x   f 2  x  dx   f1  x   f 2  x  dx
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...

CLB Giáo viên tr TP Hu


Chuyên đ tích phân ng d ng

Lê Bá B o

C)ng v i gi thi t nh

S

nh ng





b

  f  x   f  x   dx    f  x   f  x   dx    f  x   f  x   dx
1

2

1

2

1

2

a

Ch n đáp án đúng
A.
đúng nh ng
sai.
B.
đúng nh ng
sai.
C. C

đ u đúng.
D. C

đ u sai.
Câu 39: Tính di n tích hình ph ng S gi i h n b i đ th hàm s y  x3  3x  2 và đ th hàm s

y  x  2 .
A. S  8
B. S  4
C. S  16
D. S  2
Câu 40: Vi t công th c tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y  x2  1 , tr c hoành,
tr c tung và đ

ng th ng x  2 .

2

A. S   x 2  1 dx .

B. S 

0

 x
2

0

2



 1 dx .

2

C. S   x 2  1 dx .
1

1

D. S   x 2  1 dx .
1

Câu 41: Di n tích gi i h n b i đ th hai hàm s : y  x2  1, y  x  3 b ng:
A. 3.

B. 4.

C.

9
.
2

D. 5.

Câu 42: G i  là di n tích c a hình ph ng gi i h n b i các đ

ng y 

cos x  sin x
3  sin 2 x

; x  0; x 


2



tr c Ox. Tìm giá tr c a cos  .

3
2
.
C. 0.
D.
.
2
2
nghĩa hình h c c a tích phân, hãy tìm kh ng đ nh sai trong các kh ng đ nh

1
.
2
Câu 43: D a vào
sau:

A.

B.

1

1

0

0

A.  ln  1  x  dx  

x 1
dx
e 1





4

4

0

0

B.  sin 2 xdx   sin 2 xdx .

2

2
3
 1 x 
dx .
C.  e  x dx   
D.  e x dx   e x dx .

1 x 
0
0
0
0
Câu 44: Kí hi u S là di n tích hình thang cong gi i h n b i đ th c a
hàm s liên t c y  f  x  , tr c hoành và hai đ ng th ng x  a , x  b

1

1

1

1

nh trong hình v bên. Kh ng đ nh nào sai?
b

A. S   f  x  dx.
a

b

C. S   f  x  dx.
a

b

B. S     f  x   dx.
a

D. S 

b

 f  x  dx .
a

Câu 45: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s

y  x3 , tr c Oy , tr c Ox và đ

ng th ng x  2

có di n tích là S . Kh ng đ nh nào sau đây đúng

 1


A. tan  1.
B. sin  .
C. tan  1.
D. tan  3.
S
S
S
S 2
Câu 46: Kí hi u S là di n tích hình thang cong gi i h n b i đ th c a hàm s liên t c y  f  x  ,
tr c hoành và hai đ

ng th ng x  a , x  b nh trong hình v bên. Kh ng đ nh nào đúng

Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)

The best or nothing


Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu

b

b

b

C. S   f  x  dx.

B. S    f  x  dx.

A. S   f  x  dx.
a

a

a

Câu 47: Di n tích S c a hình ph ng  H  gi i h n b i đ th c a hàm s
t c và hai đ

ng th ng x  a , x  b đ

b

A. S   f  x   g  x  dx .

B. S 

b


a

a

b

 f  x  dx .

D. S 

a

y  f  x  , y  g  x  liên

c tính theo công th c
b

b

b

a

a

a

f  x   g  x  dx .C. S    f  x   g  x  dx . D. S   f  x  dx   g  x  dx .

Câu 48: Di n tích hình ph ng  H  gi i h n b i đ th hàm s

y

1
, tr c hoành và hai đ
x2

ng

th ng x  1, x  2 b ng
1
1
A. .
B. 4 .
C. .
D. 2 .
6
2
Câu 49: Di n tích hình ph ng  H  gi i h n b i các đ ng y  x2 ; y  x  2 b ng

9
15
9
15
.
B.
.
C. .
D.  .
2
2
2
2
x
Câu 50: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y  e , tr c Oy , tr c Ox và đ ng th ng x  1

A.

có di n tích là
A. S  1 . B. S  e  1 .
C. S  e .
D. S  e  1 .
Câu 51: Hình ph ng B gi i h n b i đ th hàm s đ c cho b i hình bên d
ph ng B b ng
A. S 

1

  2x

2

B. S 

1



2

2

3





4











i. Di n tích hình

 4 x  6 dx   2 x  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx.
1
3



2

3



4



2 x2  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx.

1



1

3

3





4







C. S    2 x  4 x  6 dx   2 x  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx.
2

D. S 

1



2

2



1

3

2

3





4





2 x2  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx   2 x 2  4 x  6 dx.
1

3

Câu 52: Hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y  x3  3x  2 , tr c Oy , tr c Ox và đ
x  1 có di n tích là
7
A. S   .
4

B. S 

1
.
4

C. S 

5
.
4

D. S 

ng th ng

7
.
4

Câu 53: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th (hình bên) b ng
9
3
9
9
A. S  1.
B. S  ln 3  . C. S  ln 3  4. D. S  ln 3  2.
2
2
2
2
Câu 54: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y  x  sin x và y  x  0  x  2  b ng
A. 4.

B. 4.

Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...

C. 0.

D. 1.
CLB Giáo viên tr TP Hu


Chuyên đ tích phân ng d ng

Lê Bá B o

Câu 55: Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s

y  x2  4x  3 và y  x  3 có k t qu

a
(là phân s t i gi n Khi đó a  2b b ng
b
A. 67.
B. 121.
C. 136.
D. 217.
Câu 56: (Đ th nghi m 2017) Cho hình thang cong  H  gi i h n b i các

d ng

đ

H 

ng y  e x , y  0 , x  0 , x  ln 4 Đ

y

ng th ng x  k (0  k  ln 4) chia

thành hai ph n có di n tích là S1 và S2 nh hình v bên. Tìm k đ

S1  2S2 .

2
8
ln 4 .
B. k  ln 2 .
C. k  ln .
D. k  ln 3 .
3
3
Câu 57: (Chuyên Qu c H c_Hu L n 1) Trong m t ph ng t a đ Oxy xét

A. k 

hai hình H 1 , H 2 đ



c xác đ nh:





S2
S1

x

O







k

ln 4





H1  M( x; y )|log 1  x 2  y 2  1  log( x  y) , H 2  N ( x; y )|log 2  x 2  y 2  2  log( x  y) .

G i S1 , S2 l n l

t là di n tích c a các hình H 1 , H 2 . Tính t s

S2
.
S1

A. 99.
B. 101.
C. 102.
D. 100.
Câu 58: (Đ minh h a 2017) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s

y  x3  x và

đ th hàm s y  x  x2 .
37
9
81
.
B. .
C.
.
D. 13 .
12
12
4
Câu 59: (T p chí THTT Đ 04/2017) Di n tích c a hình ph ng gi i h n b i các đ
ln x
x  1, x  e , y  0, y 
b ng:
2 x

A.

ng

A. 3  e .
B. 2  e .
C. 2  e .
D. e  3 .
Câu 60: (T p chí THTT Đ 03/2017) Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y  2x2  x4
và tr c hoành là:
A.

8 2
.
15

Đáp án s đ

B.

c g i vào

16 2
.
15

h ngày

C. 4 2.

D. 2 2.

các em vui lòng đăng k t i http://ngochuyenlb.gr8.com/ đ nh n)

Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)

The best or nothing


Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu

ng d ng 2:

TÍNH TH TÍCH V T TH

I. LÝ THUY T
Bài toán 1: Tính th tích c a v t th
Cho m t v t th trong không gian v i h t a đ Oxyz
G i B là ph n c a v t th gi i h n b i hai m t ph ng
vuông góc v i tr c Ox t i các đi m a và b . G i S  x 
là di n tích thi t di n c a v t th b c t b i m t ph ng
vuông góc v i tr c Ox t i đi m có hoành đ
x  a  x  b  (hình bên). Gi s S  S  x  là m t hàm
liên t c trên  a; b  .
b

V   S  x  dx

Khi đó th tích V c a B là

(5)

a

* S d ng công th c
ta tìm đ c công th c m t s v t th quen thu c trong hình h c nh
1) Th tích kh i chóp c t: Cho kh i chóp c t có chi u cao h , di n tích đáy nh và đáy l n theo th
h
t là S0 , S1 . Th tích V là: V  S0  S0S1  S1
.
3
2) Nh n xét: Kh i chóp đ c coi là kh i chóp c t có S0  0. Vì v y, th tích kh i chóp có chi u cao





hS
.
3
3) Th tích kh i lăng tr : Kh i lăng tr có chi u cao h và di n tích đáy S có th tích là: V  hS
.
Bài toán 2: Tính th tích kh i tròn xoay
M t hình ph ng quay quanh m t tr c nào đó t o nên m t kh i tròn xoay.
D ng 1: (Hình ph ng quay quanh Ox) Cho hình ph ng đ c
y
f(x)
gi i h n b i đ th hàm s y  f  x  liên t c trên  a; b  , tr c

h và di n tích đáy S là:

Ox và hai đ

V

ng th ng x  a , x  b quanh tr c Ox ta đ
b

kh i tròn xoay có th tích là:

Vx    f

2

 x  dx

c
x

O

(6)

a

b

a

D ng 2: (Hình ph ng quay quanh Oy) Cho hình ph ng đ
gi i h n b i đ th hàm s

Oy và hai đ

c

x  g  y  liên t c trên  a; b  , tr c

ng th ng y  a, y  b quanh tr c Oy ta đ

y
b

c

g(y)

b

kh i tròn xoay có th tích là:

Vy    g 2  y  dy

(7)

a

a

x

O

D ng 3: Th tích kh i tròn xoay có đ

c khi quay nhi u đ th hàm s quanh m t tr c.

Ta ti n hành chia ph n th tích V thành các ph n th tích thành ph n V1 , V2 ,... mà m i
ph n đ

c tính b ng các công th c (6), (7).

Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...

CLB Giáo viên tr TP Hu


Chuyên đ tích phân ng d ng

Lê Bá B o

Minh h a các d ng th

ng g p:
g  x   f  x  , x   a; b  .

f  x   g  x  , x   a; b  .
y

y
f(x)

g(x)

g(x)
O

f(x)

x

a

O

b

x

a

b

b

 x   g  x  dx

V     g 2  x   f 2  x  dx

f  y   g  y  , y   a; b  .

g  y   f  y  , y   a; b  .

b

V     f

2

2

a

a

y

y

b

b

f(y)

f(y)

g(y)

g(y)
a

a

x

x
O

O

b

 y   g  y  dy

V     g 2  y   f 2  y  dy

f  x   g  x  , x   a; c  ;

f  x   h  x  , x   a; c  ;

g  x   f  x  , x  c ; b  .

g  x   h  x  , x  c ; b  .

b

V     f

2

2

a

a

y

y
f(x)

g(x)
f(x)

g(x)

h(x)

x
O a

c

x

b

O

a

c

b

c

b

c

b

a

c

a

c

V     f 2  x   g 2  x  dx     g 2  x   f 2  x  dx V     f 2  x   h 2  x  dx     g 2  x   h 2  x  dx





Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)

The best or nothing


Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu

II. BÀI T P TR C NGHI M MINH H A:
Câu 1: Th tích kh i tròn xoay do ph n hình ph ng S trong hình v d
b ng công th c:

i quanh tr c Ox đ

b

c tính

A. V     f1 ( x)  f2 ( x) dx
2

a

b

B. V     f1 ( x)  f2 ( x) dx
2

a

b

C. V     f12 ( x)  f22 ( x)dx
a

b

D. V     f1 ( x)  f2 ( x)dx
a

L i gi i
b

Ta có: f1  x   f2  x   0; x   a; b   V     f12 ( x)  f22 ( x) dx.
a

 Ch n đáp án C.
Câu 2: Cho hình ph ng gi i h n (H nh hình v bên. Th tích kh i tròn xoay sinh ra khi quay
hình ph ng (H) quanh tr c Ox là
b

A. V     f

2

b

B. V     g 2  x   f 2  x   dx.

 x   g  x  dx.
2

f(x)

y

a

a

(H)
g(x)
c

b

C. V     f 2  x   g 2  x  dx     g 2  x   f 2  x  dx.
a

x
O

c

c

D. V     g  x   f
2

a

c

b

b

2

a

 x  dx     f  x   g  x  dx.
2

2

c

L i gi i
Ta có: f  x   g  x   0; x   a; c  ; g  x   f  x   0; x  c ; b 
c

b

a

c

V     f 2  x   g 2  x  dx     g 2  x   f 2  x  dx.
 Ch n đáp án C.
Câu 3: Cho hình ph ng gi i h n (H nh hình v bên. Th tích kh i tròn xoay sinh ra khi quay
hình ph ng (H) quanh tr c Oy là
b

A. V     g 2  y   f 2  y   dx.
a

b

B. V     f 2  y   g 2  y   dy.

y
b
f(y)

a

g(y)

a

C. V     g  y   f
2

2

 y  dy.

b

b

D. V     f

2

 y   g  y  dy.

a
x

2

O

a

L i gi i
a

Ta có: g  y   f  y   0; y   a; b   V     g 2  y   f 2  y  dy.
b

 Ch n đáp án C.
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...

CLB Giáo viên tr TP Hu


Chuyên đ tích phân ng d ng

Lê Bá B o

Câu 4: Cho hình ph ng  H  gi i h n b i đ th hàm s

y  x  2  x  và tr c Ox . Kh i tròn xoay

t o thành khi quay hình ph ng  H  quanh tr c Ox có th tích là
A. V 

4
.
3

B. V 

16
.
15

512
.
15

C. V 

D. V 


5

.

L i gi i
Ph ng trình x  2  x   0  x  0 ho c x  2 .
2

2





Th tích kh i tròn xoay: V    x  2  x  dx    x2 x 2  4x  4 dx
2

2

0

0

2
 x5
4 x 3  2 16
.
   x 4  4 x 3  4 x 2 dx     x 4 
 
3  0 15
 5
0
 Ch n đáp án B.





Câu 5: Cho hình ph ng  H  gi i h n b i đ th hàm s

1
, tr c Ox và hai đ ng th ng
x
x  1, x  2 . Kh i tròn xoay t o thành khi quay hình ph ng  H  quanh tr c Ox có th tích là

A. V 

7
.
3

C. V 

B. V  ln 2 .


2

y

D. V   .ln 2 .

.

L i gi i
2

Th tích kh i tròn xoay: V   
1

 Ch n đáp án C.

Câu 6: Cho hàm s

1
 2


dx  
    .
2
x1
2
2
x

 C  , kh

y  4  x4 có đ th

i tròn xoay t o thành khi quay hình ph ng gi i

h n b i  C  và tr c Ox , quanh tr c Oy có th tích là
A. V 

C. V 

32
.
3

16
.
3

 16  2 4  2


V

D.
3

B. V 



1024 2 
.
45



3
2




 .

L i gi i:
Do tính đ i x ng nên th tích c n tìm b ng th tích kh i tròn xoay t o
thành khi quay hình ph ng gi i h n b i đ
tr c Oy và hai đ

ng cong x  4 4  y ,

ng th ng y  0, y  4 quanh tr c Oy .

4

4

0

0

1

V    4  y dy     4  y  2 dy 

3
4 16
2
4  y2 
.

0
3
3

 Ch n đáp án B.

Câu 7: Cho hàm s y   x  2  có đ th
2

h n b i  C  , tr c Ox , tr c Oy và đ
33
.
5
32
C. V 
.
5

A. V 

 C  , kh

i tròn xoay t o thành khi quay hình ph ng gi i

ng th ng x  3 có th tích là
34
.
5
33
D. V 
.
5

B. V 

Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)

The best or nothing


Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu

L i gi i:
Ta có:
2
33
đvtt
V     x  2   dx 


5
0
3

2

 Ch n đáp án D.

Câu 8: Th tích kh i tròn xoay sinh b i khi quay hình ph ng gi i h n b i các đ th hàm s
y  2x  x2 , y  x quanh tr c Ox là
A. V 

1
.
5

B. V 


5

C. V 

.

1
.
6

D. V 


6

.

L i gi i:

x  0
ng trình 2 x  x2  x  x 2  x  0  
; 2 x  x 2  x , x  0;1 .
x  1

Xét ph

1



 V     2x  x2

0



2



 x2 dx 
đvtt

5

 Ch n đáp án B.

Câu 9: Cho hình thang cong  H  gi i h n b i các đ

y  e x , y  0 , x  0 , x  ln 4 Đ

ng

ng th ng x  k; (0  k  ln 4)

chia  H  thành hai hình ph ng là S1 và S2 nh hình v bên.
Quay S1 , S2 quanh quanh tr c Ox đ
th tích l n l

c các kh i tròn xoay có

t là V1 và V2 . V i giá tr nào c a k thì V1  2V2 ?

1 32
A. k  ln .
2
3
L i gi i:
k

 

Ta có: V1    e

x

1
ln 11.
2

B. k 

C. k 

k

2

0

1 11
ln .
2
3

ln 4
 e2x 
 e2k 
 và V2    e x
dx   
 
2
2
 2 0
k

Theo gi thi t: V1  2V2 

 e2k
2

 



D. k  ln

32
.
3

ln 4

2

 e2x 
 e2k
.
dx   
  8 
2
 2 k


 e2k 
1
2k
 2  8 
  e  11  2 k  ln11  k  ln11.
2
2 
2




 Ch n đáp án B.

Câu 10: Th tích kh i tròn xoay khi cho hình ph ng gi i h n b i đ
quanh Ox b ng
A.  .

ng elip ( E) : x2  9 y2  9 quay

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

L i gi i:
Ta có: x2  9 y 2  9  y 2 

9  x2
9  x2
 V    y 2 dx   
dx  4 .
9
9
3
3
3

3

 Ch n đáp án D.

Câu 11: Th tích c a kh i tròn xoay khi quay hình ph ng D gi i h n b i các đ

ng y  x và

y  x quanh tr c Ox b ng
1

A.  
0





x  x dx.

1





B.   x  x dx.
0

Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...

1





C.   x  x 2 dx.
0

1





D.   x 2  x dx.
0

CLB Giáo viên tr TP Hu


Chuyên đ tích phân ng d ng

Lê Bá B o

L i gi i:
Xét ph

 x  0
 x  0; x  1
x x
2
 x  x

ng trình

1



1





2
x  x x  0;1  V     x  x 2  dx.    x  x 2 dx.

0
0

 Ch n đáp án C.

Câu 12: Trên m t ph ng Oxy , cho hình ph ng ( H) gi i h n b i các đ

ng y  3x  x2 và tr c

hoành. Th tích c a kh i tròn xoay khi quay ( H) quanh tr c Ox b ng
9
81
7
A.
B.
C.
D. 9 .
.
.
.
2
10
6
L i gi i:
3
2
x  0
81
Xét ph ng trình 3x  x2  0  
 V    3x  x2 dx 
.
10
x  3
0
 Ch n đáp án B.
Câu 13: Kh i tròn xoay do hình gi i h n b i các đ ng y  f ( x), y  0, x  a, x  b,(a  b) quay





quanh tr c Ox có th tích là V1 . Kh i tròn xoay do hình gi i h n b i các đ

x  a, x  b,(a  b) quay quanh tr c Ox có th tích là V2 . Ch n ph
B. 6.V1  V2 .

A. V1  9V2 .

ng y  3 f ( x), y  0,

ng án đúng
D. 9.V1  V2 .

C. V1  V2 .

L i gi i:
b

b

a

a

b

Ta có: V1    f 2  x  dx; V2     3 f  x  dx  9  f 2  x  dx  9V1 .
2

a

 Ch n đáp án D.

Câu 14: Th tích v t th tròn xoay khi quay hình ph ng gi i h n b i các đ
a
;  a; b 
b
B. 17.

;

quanh tr c Ox có k t qu d ng
A. 11.
L i gi i:

1



a
là phân s t i gi n Khi đó a  b có k t qu là:
b
C. 31.
D. 25.



2

Ta có: 1  x  0  x  1  x  1. V y V    1  x2 dx 
2

1

16
 a  16; b  15  a  b  31.
15

 Ch n đáp án C.
Câu 15: M t Bác th g m làm m t cái l có d ng kh i tròn xoay đ

ph ng gi i h n b i các đ
có đ

ng kính l n l
A. 8 dm 3 .

3



t là dm và dm khi đó th tích c a l là:
14
15
B.  dm 3 .
C.  dm 3 .
3
2



2

x  1 dx 

0

c t o thành khi quay hình

ng y  x  1 và tr c Ox quay quanh tr c Ox bi t đáy l và mi ng l

L i gi i:
Do đ ng kính đáy l là 2 dm  bán kính đáy l là 1 dm. T
y  1  x  0; y  2  x  3.
V y V 

ng y  1  x2 , y  0

D.

15
dm 3 .
2

ng t , bán kính mi ng l là 2 dm.

15
dm3 .
2

 Ch n đáp án B.

Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)

The best or nothing


Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu

Câu 16: Cho hình ph ng  H  gi i h n b i đ th hàm s y  2x  5 , y  x2  2 . Tính th tích kh i
tròn xoay t o thành khi quay hình ph ng  H  quanh tr c Ox . M t h c sinh trình bày bài gi i
nh sau

 x  1
c 1: x2  2  2 x  5  
x  3
2
3
2
c 2: VOx     x 2  2   2 x  5   dx

1 


B



B



3

 x5

576
B c 3: VOx      10 x2  21x  
đvtt
5
 5
 1
H i l i gi i trên đúng hay sai, n u sai thì sai t b c nào?
A. L i gi i đúng
B. Sai t b c 1.
C. Sai t b c 2.
D. Sai t b c 3.
L i gi i:
3
 2 x  5 2  x 2  2 2  dx.

1;
3
V



Ta có: 2 x  5  x 2  2; x  

Ox


1 

 Ch n đáp án C.
Câu 17: Quay hình ph ng  H  nh hình đ c tô đ m



trong hình v bên quanh tr c Ox ta đ
có th tích là



y

c kh i tròn xoay
y=1

A. V  4 3 .

B. V  6 3 .

1

C. V  5 3 .

D. V  2 3 .

O

1

2
x

L i gi i:
 x 2  y 2  4
 x 2  3

 x   3  x  3.
ng trình 
 y  1
 y  1
Do  H  đ i x ng nhau qua Oy nên

Xét h ph

V  2

3

3

  4  x   1  dx  2  
2

0

2

0

y=1
1

2

3


x3 
3  x 2 dx  2  3 x    4 3 .
3 0




y

O

x

 Ch n đáp án A.

Câu 18: Quay hình ph ng  H  nh hình đ

c tô đ m trong hình

v bên quanh tr c Ox ta đ c kh i tròn xoay có th tích là
46
46
.
.
A. V 
B. V 
9
15
23
.
C. V 
D. V  13 .
9

y

y= 3x2

2

x

1

L i gi i:
Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...

CLB Giáo viên tr TP Hu


Chuyên đ tích phân ng d ng

Xét h ph

H 

Do
V  2

3

 x 2  y 2  4
ng trình 
 x  1  x  1.
 y  3x
đ i

x ng

 


3 x  dx  2



2
 4  x 

 
0

Lê Bá B o



nhau

2

y

qua

3

 4  x

2

Oy

y= 3x2

nên



 3 x 4 dx

2

1

x

0

3


x3 3x5 
46
.
 2  4 x  
 
3
5 0
15

 Ch n đáp án B.

Câu 19: Quay hình ph ng  H  nh hình đ

c tô đ m trong

y

3

hình v bên quanh tr c Ox ta đ c kh i tròn xoay có th
tích là
A. V  3 2 .
B. V   2 .
2 2
.
C. V 
D. V  2 2 .
3

2

1
1

x

O

L i gi i:
 y  1  1  x2
Ta có: x   y  1  1   y  1  1  x  
.
 y  1  1  x2

2

2

2

 



2

Ta có: V  2   1  1  x2  1  1  x2
0 
    
Đ t x  sin t ;  t    ;  
  2 2 
1



y

2



2

3
2


2
dx  8  1  x dx .

0
1

1

O



1



 sin 2t  2
 V  8  cos2 tdt  4  1  cos 2t  dt  4  t 
 2 2 .

2 0

0
0
2

2

 Ch n đáp án D.

Câu 20: Trên m t ph ng Oxy , cho hình ph ng ( H) gi i h n b i các đ

ng

( P) : y  x , ( P ) : y  4x và (d): y  4 . Th tích c a kh i tròn xoay khi quay ( H) quanh tr c
2

/

2

Ox b ng

A.

9
.
5

B.

4
5

C.

7
.
5

D. 2 .

L i gi i:

Biên t p: Ng c Huy n LB (facebook.com/huyenvu2405)

The best or nothing

x


Lê Bá B o

Giáo viên chuyên luy n thi THPT qu c gia TP Hu

Xét ph

ng trình hoành đ giao đi m c a (P) và (d):
x  2
x2  4  
 x  2
Xét ph ng trình hoành đ giao đi m c a (P ) và (d):
x  1
4x2  4  
 x  1
Đ t V là th tích c n tìm.

(P)

(P') y A

-1

VOAC

VOAB

 y  4x2

là th tích kh i tròn xoay sinh b i khi quay  H''  :  y  4 quanh Ox.
Oy


 

2

 

d

C

x

1

-2

 y  x2

là th tích kh i tròn xoay sinh b i khi quay  H'  :  y  4 quanh Ox.
Oy


2

B

4

2





O

1



2



2
2
Lúc đó V  VOAC  VOAB     4  x2  dx     4  4 x2  dx    4  x4 dx    4  16 x4 dx




0
0
0
0



32
16  4
x5  2
x5  1

   4 x      4 x  16.     8   4   
5 0
5 0
5
5 5




 ®.v.t.t  .

 Ch n đáp án B.

Giáo viên: LÊ BÁ B O...0935.785.115...

CLB Giáo viên tr TP Hu


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×