Tải bản đầy đủ

Các dạng toán liên quan đến cực trị của hàm số vũ ngọc huyền

Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

I.II Cự


ị của hàm số và giá trị lớn nhất, giá trị


ủa hàm số.

A. Lý thuyết về cực trị của hàm số
ph n I.I ta v a h c cách s d ng đ o hàm đ tìm kho ng đ n đi u c a hàm
s , kho ng đ ng bi n, kho ng ngh ch bi n c a hàm s . ph n này ta s xác
đi m c c đ i
đ nh đi m n m gi a kho ng đ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s và ng c l i.
Nh ng đi m này đ c g i là đi m c c tr c a đ th hàm s Đi m c c tr bao
g m c đi m c c đ i và đi m c c ti u c a đ th hàm s Đ th hàm s
hình
có đi m c c đ i là đi m phía bên trái và đi m c c ti u phía bên ph i

đi m c c ti u
đi m đ c đánh d u).
O
x
Hình 1.7
Đ nh nghĩa

y

Cho hàm s y  f  x  xác đ nh và liên t c trên kho ng  a; b ( có th a là  ; b là 
) và đi m xo   a; b .
a, N u t n t i s h  0 sao cho f  x   f  x0  v i m i x   x0  h; x0  h  và x  x0 thì
ta nói hàm s

f  x  đ t c c đ i t i x0 .

b, N u t n t i s h  0 sao cho f  x   f  x0  v i m i x   x0  h; x0  h  và x  x0 thì
ta nói hàm s

f  x  đ t c c ti u t i x0 .

V i hàm liên t c thì hàm s s đ t c c tr t i đi m làm cho y '  0 ho c y '
không xác đ nh đ
y

c th hi n

hình 1.8

đi m c c đ i

O

đi m c c đ i

y

c

x


không xác đ nh

c

O

x

Hình 1.8

N u hàm s đ t c c đ i ho c c c ti u t i x  c thì x  c là đi m làm cho y '
b ng 0 ho c y ' không xác đ nh.
2. Chú ý
STUDY TIP: đi m c c tr
c a hàm s là x  c ; còn
đi m c c tr c a đ th
hàm s là đi m có t a đ



M c;f  c 



N u hàm s

f  x  đ t c c đ i (c c ti u) t i x 0 thì x 0 đ

đi m c c ti u) c a hàm s ; f  x0  đ

c g i là đi m c c đ i

c g i là giá tr c c đ i (giá tr c c ti u)





c a hàm s , kí hi u fCD  fCT  còn đi m M x0 ; f  x0  đ

c g i là đi m c c đ i

(đi m c c ti u) c a đ th hàm s .
Trong các bài tr c nghi m th ng có các câu h i đ a ra đ đánh l a thí sinh khi ph i phân bi t gi a đi m
c c tr c a hàm s và đi m c c tr c a đi m c c tr c a đ th hàm s .

Đi u ki n đ đ hàm s có c c tr

 

Khi f ' x đ i d u t d

ng sang âm qua x  c thì x  c đ

đ i c a hàm s .

Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB

®

c g i là đi m c c


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

The best or nothing

 

Khi f ' x đ i d u t âm sang d

ng qua x  c thì x  c đ

c g i là đi m c c

ti u c a hàm s .

Hình 1.9 mô t đi u ki n đ đ hàm s có c c tr :
đi m
c cđ i
y

y

đi m
c c ti u

O

y

x

c

O

y

Không
ph i đi m
c c tr

O

c

Không
ph i đi m
c c tr

O

x

x

c

c

x

Hình 1.9

Ví d 1: Hàm s y  x 4  x 3 có đi m c c tr
A. x  0; x 

3
4

B. x  0

C. x 

3
4

D. x  1

L i gi i: Ta có y '  4x3  3x2  x2  4x  3

y

x  0
y'  0  
x  3

4
x

Ta th y y ' không đ i d u qua x  0 , do v y x  0 không là đi m c c tr c a

O
đi m c c ti u
Hình 1.10

hàm s . Và y ' đ i d u t âm sang d

ng quan x 

3
3
do v y x  là đi m c c
4
4

ti u c a hàm s .

Hình 1.10 th hi n đ th hàm s , ta th y rõ đi m O  0; 0  không là đi m c c tr

c a đ th hàm s ).

N u x  c là đi m c c tr c a hàm y  f  x  thì f '  c   0 ho c f '  c  không xác
đ nh nh ng n u f '  c   0 thì ch a ch c x  c đã là đi m c c tr c a hàm s .

4. Quy t c đ tìm c c tr
Quy t c 1
Đ

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

1. Tìm t p xác đ nh.

2. Tính f '  x  Tìm các đi m t i đó f '  x  b ng 0 ho c không xác đ nh.
3. L p b ng bi n thiên.
4. T b ng bi n thiên suy ra c c tr .
Quy t c 2
1. Tìm t p xác đ nh.

2. Tính f '  x  . Gi i ph

ng trình f '  x   0 và kí hi u xi  i  1, 2, 3,..., n là các

nghi m c a nó.

3. Tính f ''  x  và f ''  xi  .
4. D a vào d u c a f ''  xi  suy ra tính ch t c c tr c a đi m xi .

Ví d 2: Cho hàm s y  x . Tìm m nh đ đúng trong các m nh đ sau:
A. Hàm s
B. Hàm s
C. Hàm s
t i x  0.
D. Hàm s
x0.

có m t đi m c c đ i.
đã cho không có c c tr .
đã cho có đ o hàm không xác đ nh t i x  0 nên không đ t c c tr
đã cho có đ o hàm không xác đ nh t i x  0 nh ng đ t c c tr t i

Đáp án D

x

L i gi i: Ta có y ' 

x2
y ' không xác đ nh t i x  0 đ o hàm c a hàm s đ i d u khi qua x  0 . Nên

y

hàm s đ t c c tr t i x  0 .
Ph n này đã đ c gi i thi u sau ph n đ nh nghĩa V i hàm liên t c thì hàm
x s s đ t c c tr t i đi m làm cho y '  0 ho c y ' không xác đ nh.
Hình 1.11 bi u th đ th hàm s y  x đ t có đi m c c ti u là O  0; 0  .

O
đi m c c ti u

Ví d 3: Tìm t t c các đi m c c tr c a hàm s y  2 x  3 3 x2 .

Hình 1.11
y
đi m c c đ i

x



L i gi i: Ta có y '  2 x  3 x

O

3

2



2
2


2
'   2 x  3x 3  '  2 



3
x





3



x 1
3

x

y' không xác đ nh t i x  0 ; y '  0  x  1 Và đ o hàm đ i d u khi qua
đi m c c ti u

Hình 1.12

x  0; x  1 . Do v y hàm s có hai đi m c c tr là x  0; x  1 .
Ví d 4: Cho hàm s y  x 3  mx 2  2 x  1 v i m là tham s . Kh ng đ nh nào
sau đây là đúng
A. V i m i tham s
B. V i m i tham s
C. V i m i tham s
c c ti u.
D. V i m i tham s

m, hàm s đã cho luôn ch có duy nh t m t c c đ i.
m, hàm s đã cho luôn ch có duy nh t m t c c ti u.
m, hàm s đã cho luôn có m t đi m c c đ i và m t đi m
m, hàm s đã cho không có c c tr .

L i gi i
Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB

®


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

The best or nothing

Xét hàm s y  x 3  mx 2  2 x  1 có y '  3 x 2  2 mx  2
Xét ph

ng trình y '  0  3 x 2  2 mx  2  0 có  '   m    2  .3  m2  6  0 .

Do v y ph

2

ng trình luôn có hai nghi m phân bi t x1  x2 . M t khác ta có m o

xét d u tam th c b c hai trong khác ngoài cùng do v y đ o hàm c a hàm s
đã cho đ i d u nh sau
x
y'

+

+

V y hàm s đã cho luôn có m t đi m c c đ i và m t đi m c c ti u v i m i
tham s m.

B. Các dạng toán liên quan ến cực trị
D ng Xác đ nh đi m c c tr c a hàm s
hàm s , tìm giá tr c c tr c a hàm s .

đi m c c tr c a đ th

Đây là d ng toán c b n nh t v c c tr , tuy nhiên xu t hi n r t nhi u trong các
đ thi th . d ng toán này ta ch áp d ng các tính ch t đã đ c nêu ph n A.
Tuy nhiên ta đi xét các ví d đ rút ra các k t qu quan tr ng.
Ví d 1 : Hàm s nào sau đây không có c c tr ?

2x
.
x3

A. y  x 3  3 x  1.

B. y 

C. y  x 4  4 x 3  3 x  1.

D. y  x 2 n  2017 x n 



*

Trích đ thi th THPT chuyên Lê H ng Phong

.

Nam Đ nh)

Đáp án B
STUDY TIP: Hàm phân
th c b c nh t trên b c
nh t không có c c tr .

L i gi i
V i A: Ta th y đây là hàm b c ba có y  3x 2  3 ph

ng trình y   0 luôn có

hai nghi m phân bi t nên hàm s có hai đi m c c tr (lo i).
V i B: Đây là hàm phân th c b c nh t trên b c nh t nên không có c c tr Do đó
ta ch n B.
Ví d 2: Hàm s nào sau đây có ba đi m c c tr ?
A. y  x 4  2 x 2  10.
1
C. y  x3  3x2  5x  2.
3

B. y   x 4  2 x 2  3.
D. y  2 x 4  4.

Trích đ thi th THPT Công Nghi p

Hòa Bình)

Đáp án B
L i gi i
Ta có th lo i luôn C b i hàm s b c ba ch có nhi u nh t là hai c c tr .
Ti p theo ta đ n v i các hàm b c b n. Ta có hàm b c b n trùng ph
tr ng h p, ho c là có m t đi m c c tr , ho c là có ba đi m c c tr .

Đ

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/

ng có hai


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

Đ i v i hàm b c b n trùng ph
STUDY TIP:
Đ i v i hàm b c b n trùng
ph ng có d ng

y  ax 4  bx 2  c,  a  0 

thì n u:

ab  0 thì hàm s có m t
đi m c c tr là x  0 .

ab  0 thì hàm s có ba
đi m c c tr là

x  0; x   

b
.
2a

ng d ng y  ax 4  bx 2  c a  0 .

x  0
Ta có y '  4ax  2bx  0  
 2ax 2  b  0  x 2   b

2a
3

S đi m c c tr ph thu c vào nghi m c a ph ng trình 2 ax 2  b  0 .
b
a. N u
 0 t c là a, b cùng d u ho c b  0 thì ph ng trình vô nghi m ho c
2a
có nghi m x  0 Khi đó hàm s ch có m t đi m c c tr là x  0 .
b
b.N u
 0 t c là a, b trái d u thì ph ng trình có hai nghi m phân bi t là
2a
b
b
x    . Nghĩa là hàm s có ba đi m c c tr là x  0; x    .
2a
2a

Đ n đây ta có th suy ra, n u h s c a a, b khác d u thì hàm s b c b n trùng
ph ng có ba c c tr , do v y ta ch n luôn đ c B.
Ti p t c là m t bài toán áp d ng k t qu v a thu đ c.
Ví d 3: Cho hàm s y   x 4  2 x 2  1. M nh đ nào d
A. Hàm s
B. Hàm s
C. Hàm s
D. Hàm s
STUDY TIP:
Đ i v i hàm b c b n trùng
ph ng có d ng

y  ax 4  bx 2  c,  a  0 

có ab  0 khi đó n u:
a. a  0 thì x  0 là đi m
c c ti u; x   

b

2a

hai đi m c c đ i c a hàm
s .
b. a  0 thì ng c l i

x  0 là đi m c c đ i;
x 

b
là hai đi m c c
2a

ti u c a hàm s .

i đây đúng

có m t c c đ i và hai c c ti u.
có hai c c đ i và m t c c ti u.
có m t c c đ i và không có c c ti u.
có m t c c đ i và m t c c ti u.
Trích đ thi th THPT Phan Đình Phùng

Hà N i)

Đáp án B
L i gi i
c ta có k t lu n hàm s luôn có ba đi m c c tr do

Áp d ng k t qu v a thu đ
hai h s a, b trái d u.
M t khác h s a  1  0 nên đ th hàm s có d ng ch M (m o nh ), do v y
hàm s có hai đi m c c đ i và m t c c ti u.
Đ n đây ta ti p t c thu đ c k t lu n ph n STUDY TIP.
\2 và có b ng bi n

Ví d 4: Cho hàm s y  f ( x) xác đ nh, liên t c trên

thiên phía d i:
Kh ng đ nh nào sau đây là kh ng đ nh đúng ?
A. Hàm s đ t c c đ i t i đi m x  0 và đ t c c ti u t i đi m x  4 .
B. Hàm s có đúng m t c c tr .
C. Hàm s có giá tr c c ti u b ng 1.
D. Hàm s có giá tr l n nh t b ng 1 và giá tr nh nh t b ng -15.
Trích đ thi th THPT chuyên Lê H ng Phong

x





y
y

0
0



2
+


1



4

+

Nam Đ nh)



0

15





Đáp án C
L i gi i
Nhìn vào b ng bi n thiên ta th y có hai giá tr c a x mà qua đó y  đ i d u đó
là x  0 và x  4 , do v y đây là hai đi m c c tr c a hàm s .
Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB

®


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

The best or nothing

Ta th y y đ i d u t âm sang d
ti u c a hàm s ng c l i x  4 l
T đây ta lo i đ c A, B.
V i D: D sai do đây là các giá tr c
nh t c a hàm s .
Ta ch n C b i t i x  0 thì hàm s

ng khi qua x  0 , do v y x  0 là đi m c c
i là đi m c c đ i c a hàm s .
c tr , không gi i giá tr l n nh t, giá tr nh
có giá tr c c ti u là y  1 .

Ti p t c là m t bài toán nhìn b ng bi n thiên đ xác đinh tính đúng sai c a
m nh đ :
Ví d 5: Hàm s y  f  x  liên t c trên
bên. M nh đ
A. Hàm s
B. Hàm s
C. Hàm s
D. Hàm s

nào sau đây là đúng
đã cho có hai đi m c c tr .
đã cho không có giá tr c c đ i.
đã cho có đúng m t đi m c c tr .
đã cho không có giá tr c c ti u.



x
y

1
+

y

STUDY TIP:
quy t c 1 ta có hàm s
đ t c c tr t i đi m khi n
cho đ o hàm b ng 0 ho c
không xác đ nh.

và có b ng bi n thiên nh hình v

0



2



+



3



Đáp án A

0

L i gi i
Nhìn vào b ng bi n thiên ta th y có hai giá tr c a x mà khi qua đó y  đ i d u.
Do v y hàm s đã cho có hai đi m c c tr đó là x  1; x  2 .
Chú ý: Nhi u đ c gi nghĩ r ng t i x  2 không t n t i y  thì x  2 không ph i
là đi m c c tr c a hàm s đây là m t sai l m r t l n. B i hàm s v n đ t c c
tr t i đi m khi n cho đ o hàm không xác đ nh.
Ví d : Hàm s y  x có đ o hàm không t n t i khi x  0 nh ng đ t c c ti u t i

x0.
Ví d 6. Hàm s y  f  x  có đ o hàm f '  x    x  1  x  3  . Phát bi u nào sau
2

đây là đúng
A. Hàm s
B. Hàm s
C. Hàm s
D. Hàm s

có m t đi m c c đ i
có hai đi m c c tr
có đúng đi m c c tr
không có đi m c c tr
Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP HN

Đáp án C.
L i gi i
x  1
Ta th y f   x   0  
x  3

Đ

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/

l n I)


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

Đ n đây có nhi u đ c gi k t lu n luôn hàm s có hai đi m c c tr , tuy nhiên
đó là k t lu n sai l m, b i khi qua x  1 thì f   x  không đ i d u, b i

STUDY TIP:
Trong đa th c, d u c a đa
th c ch đ i khi qua
nghi m đ n và nghi m
b i l , còn nghi m b i
ch n không khi n đa th c
đ i d u.

 x  1

2

 0 , x . Do v y hàm s ch có đúng m t đi m c c tr là x  3 .

D ng 2 Tìm đi u ki n đ hàm s có c c tr .
Chú ý:

y  f  x  xác đ nh trên D có c c tr  x0  D th a mãn hai đi u ki n

Hàm s

sau:
i Đ o hàm c a hàm s t i x0 ph i b ng 0 ho c hàm s không có đ o hàm t i x0 .
ii. f '  x  ph i đ i d u qua x0 ho c f   x0   0.

Đ i v i hàm s b c 3: y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  .
STUDY TIP:
Qua đây ta rút ra k t qu ,
đ th hàm s b c ba ho c
là có hai đi m c c tr ,
ho c là không có đi m
c c tr nào.

Ta có y   3ax 2  2bx  c .
Đ hàm s b c ba có c c tr thì ph

ng trình y '  0 có hai nghi m phân bi t.

   0  b2  3ac  0
Ng

c l i đ hàm s không có c c tr thì ph

ng trình y '  0 vô nghi m ho c

có nghi m duy nh t  b2  3ac  0 .
Đ i v i hàm b c b n trùng ph

ng d ng y  ax4  bx2  c  a  0  .

x  0
Ta có y '  4ax3  2bx  0  
2
2ax  b  0
Đ n đây ta có nh n xét hàm s b c b n trùng ph
S đi m c c tr ph thu c vào nghi m c a ph

ng luôn có đi m c c tr .
ng trình 2ax2  b  0 .

b
 0 t c là a, b cùng d u ho c b  0 thì ph ng trình vô nghi m
2a
ho c có nghi m x  0 Khi đó hàm s ch có m t đi m c c tr là x  0 .
a. N u

b.N u

b
 0 t c là a, b trái d u thì ph
2a

là x   

y  ax4  bx2  c ,  a  0  .

C

Ta v a ch ng minh

A
O

b
b
. Nghĩa là hàm s có ba đi m c c tr là x  0; x   
.
2a
2a

D ng 3: Tìm đi u ki n đ hàm s đã cho có đi m c c tr th a mãn
đi u ki n cho tr c.
3.1 Xét hàm s b c b n trùng ph ng có d ng

y
B

ng trình có hai nghi m phân bi t

x

x  0; x   

d ng 2, n u ab  0 thì hàm s có ba đi m c c tr là

b
.
2a

Khi đó đ th hàm s đã cho s có ba đi m c c tr là:


 

b
b
A  0; c  ; B    ;   ; C   ;   v i   b2  4ac (Hình minh h a)

2a 4a  
2a 4a 


Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB

®


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

The best or nothing
4

2




b 
b 
b 
ab2 b2
c
(Ch ng minh: ta có f     a.     b.     c  2 



2a
2a 
2a 
2a 
4a



ab2  2ab2  4a 2 c ab2  2ab2  4a 2 c ab 2  4ac b 2  4ac




đpcm
4a
4a2
4a2
4a2

y
A

B

b4
b
b
 ; BC  2 
2
2a
2a
16a

 AB  AC 

C
x

O

Bài toán 1: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s

y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba đi m c c tr t o thành tam giác vuông.

STUDY TIP:
Qua đây ta rút ra k t qu ,
đ đ th hàm s

L i gi i t ng quát
V i ab  0 thì hàm s có ba đi m c c tr .

y  ax  bx  c ,
4

2

 a  0  có ba đi

Do đi m A  0; c  luôn n m trên Oy và cách đ u hai đi m B, C. Nên tam giác ABC

m c c tr

ph i vuông cân t i A Đi u này t
r i).

t o thành tam giác vuông
cân đi u ki n là

b3
 8 . Ta lo i đ
a

ng v i AB  AC (do AB  AC có s n



b
b2 
b
b2 
M t khác ta có AB     ;   ; AC    ;  


2a 4a 
2a 4a 



c

đi u ki n a, b trái d u do
t công th c cu i cùng
thu đ c thì ta luôn có a,
b trái d u.

ng đ

Do AB  AC nên AB.AC  0 

b3
b
b4

 8


0
2a 16a 2
a

Ví d 1: Tìm t p h p t t c các giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s
y  x 4  8 m2 x 2  3 có 3 đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác vuông

cân.

1
B.  
8 

A. 0

Đáp án D
Cách 1: L i gi i thông th

 1 1
D.  ; 
 8 8

 1
C.   
 8

Cách 2:
Áp d ng công th c.
TXĐ D  .
Đ các đi m c c tr
2
2
c
a đ th hàm s là
Ta có: y  4 x x  4 m .
ba đ nh c a m t tam
Hàm s có ba đi m c c tr khi và ch khi ph ng giác vuông cân thì
trình y  0 có 3 nghi m phân bi t  m  0 .
b3
 8
Lúc đó ba đi m c c tr là: A 2m; 16m2  3 , a
3
8m2
2
B  0; 3  , C 2m; 16 m  3 .

 8
1
Nên BA  BC Do đó tam giác ABC cân t i B .
1
m
Khi đó tam giác ABC vuông cân khi và ch khi:
8



ng













BA.BC  0  4m2  256m4  0  1  64m2  0  m  0 


1
m  8
.

m   1

8

Đ

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/




Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

Nh n xét: Rõ ràng vi c nh công th c và làm nhanh h n r t nhi u so v i vi c suy ra
t ng tr

ng h p m t.

Bài t p rèn luy n l i công th c:
STUDY TIP:
Đ c gi nên làm các bài
t p rèn luy n này mà
không nhìn l i công th c
đ có th ghi nh công
th c lâu h n

y  x4  2mx2  m2  2 Tìm m đ hàm s có ba đi m c c tr và các đi m

1. Cho hàm s

c c tr c a đ th hàm s là ba đ nh c a m t tam giác vuông?
A. m  1

D. m  2

C. m  2

B. m  1

Trích đ thi th THPT Tr n H ng Đ o
2. Cho hàm s

Nam Đ nh)

y  f  x   x 4  2  m  2  x 2  m 2  5m  5 (Cm ) . Giá tr nào c a m đ đ th

c a hàm s đã cho có các đi m c c đ i, c c ti u t o thành m t tam giác vuông cân
thu c kho ng nào sau đây

4 3
A.  ;  .
7 2

 3 21 
B.  ;  .
 2 10 

 1
C.  0;  .
 2

D.  1;0  .

3. Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s
y   x 4   m  2015  x 2  2017 có

A. m  2017

đi m c c tr t o thành tam giác vuông cân.

B. m  2014

D. m  2015

C. m  2016

4. Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s
y  x 4  2  m  2016  x 2  2017m  2016 có ba đi m c c tr t o thành tam giác vuông cân.

A. m  2017

B. m  2017

D. m  2015

C. m  2018

5. Tìm m đ đ th hàm s f  x   x 4  2  m  1 x 2  m 2 có các đi m c c đ i, c c ti u t o
thành m t tam giác vuông.
A. m  2.

B. m  1.

D. m  1.

C. m  0.

Bài toán 2: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s
y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba đi m c c tr t o thành tam giác đ u.

L i gi i t ng quát
STUDY TIP:
Qua đây ta rút ra k t qu ,
đ đ th hàm s

y  ax  bx  c ,
4

2

 a  0  có ba đi
b3
 24 .
a

Do AB  AC , nên ta ch c n tìm đi u ki n đ AB  BC .
M t khác ta có

m c c tr

t o thành tam giác đ u
thì

V i ab  0 thì hàm s có ba đi m c c tr .

 AB  AC 

b4
b
b
 ; BC  2 
2
2a
16a 2a

Do v y AB  BC  

b3
2b
b
b4



 24
2
2a 16a
a
a

Ví d 2: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m sao cho đ th c a hàm s
y  x 4  2mx 2  m  1 có ba đi m c c tr t o thành m t tam giác đ u. Ta có k t qu :

A. m  3

B. m  0

C. m  0

D. m  3 3

Trích đ thi th THPT chuyên Lam S n Thanh Hóa

Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB

®


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

The best or nothing

Đáp án D
L i gi i
Áp d ng công th c v a ch ng minh trên ta có

STUDY TIP:
Qua đây ta rút ra k t qu ,
đ đ th hàm s

y  ax4  bx2  c ,

 2m   24  m  3 3
b3
 24 
.
1
a

 a  0  có ba đi

Bài t p rèn luy n l i công th c:

3

m c c tr

t o thành tam giác đ u

1. Cho hàm s

b3
 24 .
thì
a

đ th

C 
m

y  x 4  2  m  2  x 2  m 2  5m  5  C m  . V i nh ng giá tr nào c a m thì

có đi m c c đ i và đi m c c ti u đ ng th i các đi m c c đ i và đi m c c

ti u l p thành m t tam giác đ u?

Mà tam giác vuông thì
3

b
 8 .
a

3
B. m  2  3

3
A. m  2  3

Vuông - đ u -24

D. m  5  2 3 3

C. m  5  2 3 3

9 4
x  3  m  2017  x 2  2016 có đ th (Cm ) . Tìm t t c các giá tr c a
8
m sao cho đ th (Cm ) có ba đi m c c tr t o thành tam giác đ u?
2. Cho hàm s

y

A. m  2015
3. Cho hàm s

B. m  2016

D. m  2017

C. m  2017

y  x4  2mx2  2 . Tìm t t c các giá tr c a m sao cho đ th hàm s có

ba đi m c c tr t o thành tam giác đ u?
B. m   3 3

A. m  3 3
4. Cho hàm s

C. m  3

D. m   3

y  mx4  2mx2  m . Tìm t t c các giá tr c a tham s m sao cho đ th

hàm s có ba đi m c c tr t o thành tam giác đ u.
A. m  3; m   3; m  0

B. m   3; m  3

C. m  0

D. m  3

Bài toán 3: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th hàm s các giá tr
y
H

B

th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba đi m c c

C

tr t o thành tam giác có di n tích b ng S 0 .
L i gi i t ng quát

A

G i H là trung đi m c a BC thì lúc này H n m trên đ
th ng BC (hình v ).

x

O

ng th ng ch a đo n


b2 


Lúc này H  0;    AH   0;   .Di n tích tam giác ABC đ
4a 
4a 


STUDY TIP:
Qua đây ta rút ra k t qu ,
đ đ th hàm s

công th c: SABC
 S0 2 

y  ax  bx  c ,
4

2

 a  0  có ba đi

m c c tr

t o thành tam giác có
di n tích là S0 thì có đi u
ki n là S 0 2  

1  b2 
1
 .AH.BC  So 2  .  
4  4a 
2

2


b 
. 2.  

2a 


c tính b ng

2

1 b 4 2b
b 5
2
.
.


S
0
4 16a2 a
32 a 3

Ví d 3: Cho hàm s y  x 4  2 mx 2  2 m  m4 . V i giá tr nào c a m thì đ th

C  có
m

đi m c c tr đ ng th i đi m c c tr đó t o thành m t tam giác có

b5

di n tích b ng 4

32a 3

A. m  5 16

B. m  16

C. m  3 16

D. m   3 16

Trích đ thi th S GD ĐT H ng Yên đ thi th THPT chuyên Lam S n

Đ

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

Đáp án A.
Áp d ng công th c

L i gi i
trên ta có, hàm s có ba đi m c c tr t o thành m t tam

giác có di n tích b ng 4  32.a3 S0 2  b5  0  32.13 .4 2   2m   0  m  5 16 .
5

Bài t p rèn luy n l i công th c:
1. Cho hàm s

y  x4  2m2x2  1. V i giá tr nào c a m thì đ th hàm s đã cho có

đi m c c tr đ ng th i đi m c c tr đó t o thành m t tam giác có di n tích b ng 32.
B. m  0; m  2
A. m  2; m  2
D. m  2; m  2; m  0

C. m  0; m  2
2. Cho hàm s

y  f(x)  x4  2(m  2)x2  m2  5m  5 . Tìm t t c các giá tr c a m đ

đ th hàm s đã cho có đi m c c tr t o thành m t tam giác có di n tích b ng 1.
A. m  3
B. m  3
C. m  2
D. m  2
3. Cho hàm s

y  3x4  2mx2  2m  m4 . Tìm t t c các giá tr c a m đ đ th hàm s

đã cho có ba đi m c c tr t o thành tam giác có di n tích b ng 3.
A. m  3
B. m  3
C. m  4
D. m  4
4. Cho hàm s

y  x4  2mx2  m  1 (1) , v i m là tham s th c Xác đ nh m đ hàm s

có ba đi m c c tr đ ng th i các đi m c c tr c a đ th t o thành m t tam giác có
di n tích b ng 4 2 .
A. m  2

B. m  2

C. m  4

D. m  4

Bài toán 4: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th hàm s các giá tr

th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba đi m c c
tr t o thành tam giác có di n tích l n nh t.
L i gi i t ng quát
bài toán 3 ta có S0 2  

b5
32 a 3

.

 b 
Do v y ta ch đi tìm Max 
3 
 32a 

Bài toán 5: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th hàm s các giá tr

th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba đi m c c
tr t o thành tam giác có góc
STUDY TIP:
Qua đây ta rút ra k t qu ,
đ đ th hàm s

y  ax  bx  c ,
4

2

 a  0  có ba đi

m c c tr

t o thành tam giác có góc
đ nh là  thì có đi u
ki n là cos  

b  8a
b 3  8a
3


Ho c 8a  b .tan
0.
2
3

2

đ nh cân b ng

.

L i gi i t ng quát
Cách 1:
Ta có cos  

AB. AC
AB. AC

 AB. AC  AB2 .cos   0 

 b
b
b4
b4 





 .cos   0
2 a 16a 2  2 a 16 a 2 

 8 a  1  cos    b 3  1  cos    0  cos  

b3  8a
b3  8a

Cách 2:
G i H là trung đi m c a BC, tam giác AHC vuông t i H có:

tan


BC
 HC



 BC 2  4.AH 2 .tan 2  0  8a  b3 .tan 2  0
2
2 AH 2 AH
2

Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB

®


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

The best or nothing

Bài toán 6: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th hàm s các giá tr

th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba đi m c c
tr t o thành tam giác có ba góc nh n.
L i gi i t ng quát
Do tam giác ABC là tam giác cân nên hai góc đáy b ng nhau. M t tam giác
không th có hai góc tù, do v y hai góc đáy c a tam giác ABC luôn là góc
nh n. Vì th cho nên đ tam giác ABC là tam giác có ba góc nh n thì góc đ nh
ph i là góc nh n. T c là tìm đi u ki n đ
STUDY TIP:
Qua đây ta rút ra k t qu ,
đ đ th hàm s

y  ax4  bx2  c ,

 a  0  có ba đi



Đ góc BAC nh n thì

m c c tr

t o thành tam giác có ba
góc nh n thì



bài toán trên ta v a tìm đ

b. b3  8a  0 .

BAC   là góc nh n.

c cos BAC  cos  

b3  8 a
.
b3  8 a

b3  8a
0
b3  8a

Cách khác đ rút g n công th c:
Do cos  

AB. AC
AB. AC

nên đ  là góc nh n thì

Mà AB . AC  0 do đó AB.AC  0 

AB. AC
AB. AC

0.

b
b4

 0  b. b3  8a  0
2a 16a 2





Bài toán 7: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th hàm s các giá tr
th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba đi m c c
tr t o thành tam giác có bán kính đ

ng tròn n i ti p là r .

L i gi i t ng quát
Ta có S0  p.r (công th c tính di n tích tam giác theo bán kính đ

ng tròn n i

ti p).

r 

2S0

AB  AC  BC

2. 
2 

b5
32 a 3

r

b
b4
b

2 
2 a 16 a 2
2a

b2

b3 
4 a .1  1  

8a 



Bài toán 8: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th hàm s các giá tr

th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba đi m c c
tr t o thành tam giác có bán kính đ

ng tròn ngo i ti p là R.

L i gi i t ng quát
Tr

c tiên ta có các công th c sau: SABC 

AB.BC.CA
4R

G i H là trung đi m c a BC khi đó AH là đ

ng cao c a tam giác ABC, nên

1
AB.BC.CA
AH.BC 
 2.R 2 . AH 2  AB4
2
4R
2

 b
b3  8a
b4
b4 

R
2.R .






16a2  2a 16a2 
8. a .b
2

Đ

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

Bài toán 9: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th hàm s các giá tr

th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba đi m c c
tr t o thành tam giác có
a. Có đ dài BC  m0
b. Có AB

AC

n0

L i gi i t ng quát
ngay đ u D ng 3 ta đã có các công th c

b
b
 

A  0; c  ; B    ;   ; C   ;   v i   b2  4 ac



2a 4a  
2a 4a 


 AB  AC 

b4
16a

2



b
b
; BC  2 
2a
2a

Do v y đây v i các ý a, b ta ch c n s d ng hai công th c này Đây là hai
công th c quan tr ng, vi c nh công th c đ áp d ng là đi u c n thi t!
Bài toán 10: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th hàm s các giá tr
th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba đi m c c
tr t o thành tam giác
a. nh n g c t a đ O là tr ng tâm.
b. nh n g c t a đ O làm tr c tâm.
c. nh n g c t a đ O làm tâm đ ng tròn ngo i ti p.
L i gi i t ng quát
a. Nh n g c t a đ O làm tr ng tâm.
công th c v a nh c l i bài toán 9, ta có t a đ các đi m A, B, C thì ch c n
x  xB  xC
y  yB  yC
áp d ng công th c xG  A
(v i G là tr ng tâm tam
; yG  A
3
3
giác ABC).
 
b 
b
 3.0
0       


2a 
2a
b2

Lúc này ta có  
   3c  0
2a
 b2 
  b2 
c
c
c
3.0












 4a 
  4a 
a.

STUDY TIP:
V i nh ng d ng toán
này ta l u ta luôn có
tam giác ABC cân t i A,
nên ta ch c n tìm m t
đi u ki n là có đáp án
c a bài toán.

 b2  6ac  0
b. Nh n g c t a đ O làm tr c tâm.
Do tam giác ABC cân t i A, mà A n m trên tr c Oy nên AO luôn vuông góc v i
BC. Do v y đ O là tr c tâm c a tam giác ABC thì ta ch c n tìm đi u ki n đ
OB  AC ho c OC  AB .
b
b4
b2c


 0  b4  8ab  4b2 c  0
OB  AC  OB.AC  0 
2a 16a2 4a

 b3  8a  4ac  0
c. Nh n O làm tâm đ ng tròn ngo i ti p.
Đ tam giác ABC nh n tâm O làm tâm đ ng tròn ngo i ti p thì OA  OB  OC .
Mà ta luôn có OB  OC , do v y ta ch c n tìm đi uk i n cho
2b 2 c 2
b
b4

 c  b4  8ab2 c  8ab  0
OA  OB  c 2   
2
2a 16a
4a
 b3  8a  8abc  0

Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB

®


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

The best or nothing

Bài toán 11: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th hàm s các giá tr
y

th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax 4  bx 2  c ,  a  0  có ba đi m c c

A

tr t o thành tam giác sao cho tr c hoành chia tam giác ABC thành hai ph n
có di n tích b ng nhau.
L i gi i t ng quát
G i M, N là giao đi m c a AB, AC v i tr c hoành, kí hi u nh hình v

M

O

N

2

x
B

C

H

SAMN  OA 
1

  (Do tr c hoành chia tam giác ABC
SABC  AH 
2
thành hai ph n có di n tích b ng nhau).

Ta có ANM ACB 

 AH  2OA  b2  4 2 ac

3.2 Xét hàm s b c ba có d ng y  ax3  bx2  cx  d,  a  0  .
Có y   3ax 2  2bx  c , hàm s có hai đi m c c tr khi và ch khi ph

ng trình

y   0 có hai nghi m phân bi t    b2  3ac  0 .
Bài toán 1: Vi t ph

ng trình đi qua hai đi m c c đ i, c c ti u c a đ th

hàm s y  ax  bx  cx  d,  a  0  .
3

2

L i gi i t ng quát
Gi s hàm b c ba y  f  x   ax3  bx2  cx  d,  a  0  có hai đi m c c tr là
x1 ; x2 Khi đó th c hi n phép chia f  x  cho f '  x  ta đ

c

f  x   Q  x  . f   x   Ax  B .
 f  x1   Ax1  B
Khi đó ta có 
(Do f   x1   f   x2   0 ).
 f  x2   Ax2  B

V y ph

ng trình đi qua hai đi m c c đ i, c c ti u c a đ th hàm s y  f  x 

có d ng y  Ax  B.
Đ n đây ta quay tr v v i bài toán toán 1, v y nhi m v c a chúng ta là đi tìm
s d đó m t cách t ng quát.
STUDY TIP:
Ph ng trình đ ng
th ng đi qua hai đi m
c c tr c a đ th hàm s
b c ba bi u di n theo y

y

y là

 g  x  y 

y.y
18a

Ta có y  3ax2  2bx  c ; y  6ax  2b .
Xét phép chia y cho y thì ta đ
b 
1
y  y. x    g  x   *  ,
9a 
3
c a đ th hàm s b c ba.

c:

đây g  x  là ph

ng trình đi qua hai đi m c c tr

3ax  b
6ax  2b
 g  x
 g  x   y  y '.
9a
18a
y .y 
 g  x  y 
18a

Ti p t c ta có  *   y  y.

 y  y '.

y
 g  x
18a

Sau đây tôi xin gi i thi u m t cách b m máy tính đ tìm nhanh ph ng trình
đ ng th ng đi qua hai đi m c c tr c a đ th hàm s b c ba nh sau
Tr c tiên ta xét ví d đ n gi n:
Đ

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

Ví d 1: Ph ng trình đ
y  x 3  2 x 2  3 x  1 là:

Sử dụng máy tính
S d ng tính toán v i s
ph c đ gi i quy t bài
toán.

ng th ng đi qua hai đi m c c tr c a đ th hàm s

A. 26x  9y  15  0

B. 25x  9y  15  0

C. 26x  9y  15  0

D. 25x  9 y  15  0

Đáp án A
L i gi i
Ph ng trình đ ng th ng đi qua hai đi m c c tr c a đ th hàm s xác đ nh
6x  4
b i: g  x   x3  2x2  3x  1  3x2  4x  3 .
18
Chuy n máy tính sang ch đ tính toán v i s ph c b ng cách nh p:
MODE  2:CMPLX
Nh p vào máy tính bi u th c g  x  nh sau





 6X18 4



X 3  2X 2  3X  1  3X 2  4X  3 .

n CALC, gán X b ng i ( máy tính i là nút ENG) khi đó máy hi n:
5 26
 i .
3 9
V y ph ng trình đi qua hai đi m c c tr c a đ th hàm s đã cho là
5 26
y 
x  26x  9 y  15  0 .
3 9
Ti p theo ta có m t bài tham s .
Ví d 2: Cho hàm s y  x3  3x2  3 1  m x  1  3m , tìm m sao cho đ th
hàm s có đi m c c đ i, c c ti u đ ng th i tìm đ ng th ng đi qua hai đi m
c c tr c a đ th hàm s đã cho
A. m  0;  : 2mx  y  2m  2  0 B. m  0;  : 2mx  y  2m  2  0
D. m  0;  : y  202  200x

C. m  0;  : y  202  200 x
Đáp án B

L i gi i

Ta có y  3x  6x  3 1  m , y  6x  6 .
2

Đ đ th hàm s có đi m c c đ i, c c ti u thì   32  9. 1  m  0  m  0 .
STUDY TIP:
V i nh ng d ng toán
này ta l u r ng tr c
tiên, tâ c n tìm đi u ki n
đ hàm s có hai c c tr .

V i m  0 thì ta th c hi n:
Chuy n máy tính sang ch đ MODE 2:CMPLX
y 
Nh p vào máy tính bi u th c y  y 
ta có
18a



X 3  3X 2  3 1  M  X  1  3M  3X 2  6X  3 1  M 

 6X18 6

n CALC
Máy hi n X? nh p i =
Máy hi n M? nh p 100 =
Khi đó máy hi n k t qu là 202  200i
Ta th y 202  200i  2.100  2  2.100.i  y  2m  2  2mx
V y ph ng trình đ ng th ng đi qua hai đi m c c tr c a đ th hàm s đã
cho có d ng 2mx  y  2m  2  0 .
Ta rút ra k t lu n v cách làm d ng toán vi t ph ng trình đ
hai đi m c c tr c a đ th hàm b c ba này nh sau
Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB

®

ng th ng đi qua


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

The best or nothing
c 1: Xác đ nh y; y .

B
STUDY TIP:
V i b c cu i cùng, ta
c n có kĩ năng khai tri n
đa th c s d ng máy tính
c m tay, do khuôn kh
c a sách nên tôi không
th gi i thi u vào sách, do
v y mong qu đ c gi
đ c thêm v ph n này.

B c 2: Chuy n máy tính sang ch đ tính toán v i s ph c:
MODE  2:CMPLX
y 
Nh p bi u th c y  y .
.
18 a
Chú ý:
N u bài toán không ch a tham s thì ta ch s d ng bi n X trong máy, tuy nhiên
n u bài toán có thêm tham s , ta có th s d ng các bi n b t kì trong máy đ bi u
th cho tham s đã cho trong sách này ta quy c bi n M đ d đ nh hình.
B c 3: Gán giá tr .
n CALC , gán X v i i, gán M v i 100
Lúc này máy hi n k t qu , t đó tách h s và i đ đ a ra k t qu cu i cùng,
gi ng nh trong hai ví d trên.

Bài toán 2: Vi t ph

ng trình đi qua hai đi m c c đ i, c c ti u c a đ th

hàm s y  ax  bx  cx  d,  a  0  .
3

2

3.3 Xét hàm phân th c.
Tr c tiên ta xét bài toán liên quan đ n c c tr hàm phân th c nói chung. Ta có
m t k t qu khá quan tr ng nh sau
Xét hàm s d ng f  x  
thì ta có f   x  

u  x

v  x

xác đ nh trên D

u  x  .v  x   u  x  .v   x 
v2  x 

.

Đi m c c tr c a hàm s này là nghi m c a ph
u  x  .v  x   u  x  .v   x 
0
f   x  0 
v2  x 

L u

ux
v x

STUDY TIP:
công th c



u  x 
đ gi i
v  x 

quy t các bài toán m t
cách nhanh g n h n

 u '  x  .v  x   u  x  .v  x   0 

u  x

v  x



ng trình

u  x 

v  x 

Nh n xét: Bi u th c trên đ c th a mãn b i các giá tr là c c tr c a hàm s đã cho
Do đó thay vì tính tr c ti p tung đ c a các đi m c c tr , ta ch c n thay vào bi u th c
đ n gi n h n sau khi đã l y đ o hàm c t l n m u. V n d ng tính ch t này, ta gi i
quy t đ c nhi u bài toán liên quan đ n đi m c c tr c a hàm phân th c.
Ví d : Vi t ph
s y

ng trình đ

ng th ng đi qua hai đi m c c tr c a đ th hàm

ax  bx  c
, a  0, a  0 .
ax  b
2

Theo công th c v a nêu
và m u s .
Suy ra y 

2ax  b
là ph
a

có) c a đ th hàm s y 

Đ

trên thì ta l n l

ng trình đ

t tìm bi u th c đ o hàm c a t s

ng th ng đi qua hai đi m c c tr (n u

ax2  bx  c
, a  0, a  0 .
ax  b

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

Bài tập rèn luyện kỹ năng
I. Các dạng tính toán thông thường liên quan ến cực trị
Câu 1: S đi m c c đ i c a đ th hàm s

y  x4  100

y

là:
A. 0
B. 1
C. 3
D. 2
(Trích đ thi th THPT chuyên Tr n Phú- H i Phòng)

3

y  x4  2x2  2017 có bao nhiêu đi m

Câu 2: Hàm s
c c tr ?
A. 1

B. 2
C. 0
D. 3
(Trích đ thi th THPT Tri u S n
1
Câu 3: Cho hàm s y  x3  4x2  8x  5 có hai đi m
3
c c tr là x1 , x2 . H i t ng x1  x2 là bao nhiêu?
A. x1  x2  8

B. x1  x2  8

C. x1  x2  5

D. x1  x2  5

Câu

4:

Hàm

(Trích đ thi th THPT Tri u S n
s
có đ o hàm
y  f  x

f '  x    x  1  x  3  . Phát bi n nào sau đây là đúng
2

A. Hàm s
B. Hàm s
C. Hàm s
D. Hàm s

có m t đi m c c đ i
có hai đi m c c tr
có đúng đi m c c tr
không có đi m c c tr
(Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP HN

Câu 5: Đ th hàm s
là:

y  x3  3x2  1 có đi m c c đ i

A. I  2; 3 

B. I  0;1

C. I  0; 2 

D. Đáp án khác

(Trích đ thi th THPT Kim Thành

H iD

ng

Câu 6: Hàm s

y  x  2x  2017 có bao nhiêu đi m

c c tr ?
A. 1

B. 2

4

2

-1

x

O 1
-1
A. Hàm s đ t giá tr nh nh t b ng 1 và đ t giá
tr l n nh t b ng 3

B. Đ th hàm s có đi m c c ti u A  1; 1 và

đi m c c đ i B  1; 3 
C. Hàm s có giá tr c c đ i b ng 1

D. Hàm s đ t c c ti u t i A  1;  1 và c c đ i t i
B  1; 3 

(Trích đ thi th THPT chuyên Lam S n Thanh Hóa)
Câu 9: Cho hàm s

y  f  x  xác đ nh trên

\1;1 ,

liên t c trên m i kho ng xác đ nh và có b ng bi n
thiên sau:
x
1
0
1


y'
+
+
+
y

3
2
-3







nào sau đây là đúng
A. Hàm s đ t c c ti u t i đi m x  1

H i kh ng đ nh nào d i đây là kh ng đ nh sai?
A. Hàm s không có đ o hàm t i x  0 nh ng v n
đ t c c tr t i x  0
B. Hàm s đ t c c ti u t i đi m x  1
C. Đ th hàm s có hai ti m c n đ ng là các đ ng
th ng x  1 và x  1

trên   ;1

đ

Câu 7: Cho hàm s

C. 0
D. 3
Trích đ thi th THPT Tri u S n

y  x3  3x2  3x  1. Kh ng đ nh

B. Hàm s đ ng bi n trên  1;   và ngh ch bi n
C. Hàm s đ t c c đ i t i đi m x  1
D. Hàm s đ ng bi n trên
(Trích đ thi th THPT Kim Thành

H iD

ng

Câu 8: Cho hàm s y  f  x  có đ th nh hình v bên,
các kh ng đ nh sau kh ng đinh nào là đúng

D. Đ th hàm s có hai ti m c n ngang là các
ng th ng y  3 và y  3

(Trích đ thi th THPT chuyên H Long l n I)
Câu 10: Kh ng đ nh nào sau đây là kh ng đ nh đúng
1
A. Hàm s y  2 x 
có hai đi m c c tr .
x1
B. Hàm s y  3x3  2016x  2017 có hai đi m c c tr .
C. Hàm s

Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB

®

y

2x  1
có m t đi m c c tr .
x 1


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

The best or nothing
D. x0  1 đ

y  x4  3x2  2 có m t đi m c c tr .

D. Hàm s

(Trích đ thi th THPT Kim Liên)
Câu 11: S đi m c c tr c a hàm s
b ng:
A. 2.

B. 0.

A. x  1.
C. x  2.

C. 3.
D. 4.
(Trích đ thi th THPT Kim Liên)
B. x  0.
D. x  1.
(Trích đ thi th THPT Kim Liên)

y  f  x  xác đ nh, liên t c trên

Câu 13: Cho hàm s

và có b ng bi n thiên:
x
-1




Trích đ thi th THPT chuyên Vĩnh Phúc l n 3)
y  x3  6 x2  9 x  2 C  . Đ

ng

th ng đi qua đi m A  1; 1 và vuông góc v i đ

ng

Câu 17: Cho hàm s

th ng đi qua hai đi m c c tr c a  C  là:

0

2



0

Câu 18: Tính kho ng cách gi a các đi m c c ti u c a
đ th hàm s



y  x4  2x2  1.

-3

Kh ng đ nh nào sau đây là kh ng đ nh đúng
A. Hàm s có đúng hai c c tr
B. Hàm s có giá tr c c ti u b ng -1 ho c 1
C. Hàm s có giá tr l n nh t b ng 0 và giá tr nh
nh t b ng -3
D. Hàm s đ t c c đ i t i x  0
(Trích đ thi th THPT chuyên V Thanh H u Giang)

B. 2 yCT  3yCÐ

C. yCT  2 yCÐ

D. yCT  yCÐ

Trích đ thi th THPT chuyên Vĩnh Phúc l n 3)
y  f  x  xác đ nh, liên t c trên

Câu 16: Cho hàm s

và có b ng bi n thiên:
1

0



0
+

0



1
-

0

+



2
1

B. f  1 đ

và có b ng

bi n thiên nh hình v bên. M nh đ nào sau đây là
đúng



x
y

1
+

y



2



0

+



3

c g i là đi m c c đ i c a hàm s
c g i là giá tr c c ti u c a hàm s

C. Hàm s đ ng bi n trên các kho ng  1; 0  và

1;  


A. Hàm s
B. Hàm s
C. Hàm s
D. Hàm s

0
đã cho có hai đi m c c tr .
đã cho không có giá tr c c đ i.
đã cho có đúng m t đi m c c tr .
đã cho không có giá tr c c ti u.

sau đây là đúng
A. Hàm s có giá tr c c ti u là 0.
5
2
và  .
3
48
C. Hàm s ch có m t giá tr c c ti u.

B. Hàm s có hai giá tr c c ti u là 

D. Hàm s có giá tr c c ti u là 
đ i là 

2
và giá tr c c
3

5
.
48

Trích đ thi th THPT chuyên ĐH Vinh l n 1)

1

Kh ng đ nh nào sau đây là sai
A. M  0; 2  đ

y  f  x  liên t c trên

Trích đ thi th THPT chuyên ĐH Vinh l n 1)
2
Câu 21: Cho hàm s y  x 4  x 3  x 2 . M nh đ nào
3

y  x3  2x là:

A. yCT  yCÐ  0

-

Câu 20: Hàm s

2

tr c c ti u yCT c a hàm s

y
y

B. x  1 C. x  1
D. x  0
Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP l n 2)

y  x  3x  1 đ t c c tr đ i t i các
3

đi m nào sau đây
A. x  2
B. x  1
C. x  0; x  2
D. x  0; x  1
Trích đ thi th THPT chuyên Nguy n Trãi H i D ng
Câu 15: H th c liên h gi a giá tr c c đ i yCÐ và giá



y  2 x 4  3x 2  1.



A. x  1
-3

x

B. y 

B. 3
C. 2 3
D. 4 3
Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP l n 2)
Câu 19: Tìm t t c các đi m c c đ i c a hàm s

+

0

Câu 14: Hàm s

1
3
x
2
2
D. x  2 y  3  0

1
3
A. y   x 
2
2
C. y  x  3

A. 2 4 3

+

0



y

y  x  4x  3
2

y  x4  x2  1 đ t c c ti u t i:

Câu 12: Hàm s

y

3

c g i là đi m c c ti u c a hàm s

Câu 22: Cho hàm s

y   x  1 x  2  . Trung đi m
2

c a đo n th ng n i hai đi m c c tr c a đ th hàm s
n m trên đ

ng th ng nào d

i đây

A. 2x  y  4  0.

B. 2x  y  4  0.

C. 2x  y  4  0.

D. 2x  y  4  0.

Trích đ thi th THPT chuyên Nguy n Quang Diêu)
Đ

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12
Câu

23:

Cho

hàm

Ngọc Huyền LB

f

s



f   x   x  x  1  x  2  v i m i x 
2

3

đ o

hàm



. S đi m c c tr

f là

c a hàm s

B. 1.

A. 0.

Trích đ thi th

T p chí Toán h c và Tu i tr l n 7 &
THPT chuyên KHTN l n
Câu 24: Cho hàm s y  f ( x) liên t c trên
và có
b ng bi n thiên nh sau



x

+

y



0



0

0

+



0



-4

Kh ng đ nh nào sau đây là kh ng đ nh SAI ?
A. Hàm s đ ng bi n trên kho ng (0; ).
B. Hàm s đ t c c ti u t i x  0 .
C. Hàm s đ t c c ti u t i x  2 .
D. Hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( 2; 0) .
Trích đ thi th THPT chuyên Lê Qu Đôn
Câu

25:

Cho

hàm

s

y  f ( x) có

f '( x)  ( x  1)2 ( x  2) xác đ nh trên
sau đây là m nh đ đúng
A. Hàm s y  f ( x) đ ng bi n

đ o

hàm

M nh đ nào
trên kho ng

( 2; ).
B. Hàm s y  f ( x) đ t c c đ i t i x  2.
C. Hàm s

y  f ( x) đ t c c ti u t i x  1.

D. Hàm s y  f ( x) ngh ch bi n trên kho ng ( 2;1).
Trích đ thi th THPT chuyên Lê Qu Đôn
Câu 26: K t lu n nào sau đây v c c tr c a hàm s

y  x5 x là đúng

B. Hàm s không có c c tr .
1
C. Hàm s có đi m c c ti u là x 
.
ln 5

D. Hàm s có đi m c c đ i là x  ln 5.
Vĩnh Phúc

II Tìm đi u ki n đ hàm s có c c tr th a mãn
đi u ki n cho tr c.
Câu 27: V i giá tr nào c a m thì hàm s
y  x 3  m2 x 2   4m  3  x  1 đ t c c đ i t i x  1 ?
A. m  1 và m  3
B. m  1
C. m  3
D. m  1
Trích đ thi th S GD ĐT Hà Tĩnh
Câu 28: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m sao
cho hàm s

A. 3

B. 3

3
2

D.

3
2

(Trích đ thi th S GD ĐT Nam Đ nh)
Câu 30: Tìm m đ hàm s :
y





1 3
x  mx2  m2  m  1 x  1 đ t c c tr t i
3

đi m

x1 , x2 th a mãn x1  x2  4.
A. m  2

B. m  2

C. Không t n t i m

D. m  2

Trích đ thi th THPT chuyên Vĩnh Phúc l n 3)
Câu 31: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m sao
cho hàm s y  x 3   m  1 x 2  3mx  1 đ t c c tr t i
đi m x0  1.
A. m  1
B. m  1
m

2
C.
D. m  2
Câu 32: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m sao

y  x4  2mx2  m2  m có đúng m t đi m

cho hàm s

c c tr .
A. m  0
B. m  0
C. m  0
D. m  0
Câu 33: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s a sao
1
1
cho hàm s y  x3  x2  ax  1 đ t c c tr t i x1 , x2
3
2







th a mãn: x12  x2  2a x22  x1  2a  9.
A. a  2
B. a  4
C. a  3
D. a  1
Trích đ thi th THPT chuyên Thái Bình l n 3)
Câu 34: Tìm t t c các giá tr th c c a m đ hàm s

1
A. Hàm s có đi m c c đ i là x 
.
ln 5

Trích đ thi th THPT Yên L c

y  x3  3x2  mx  1 có hai đi m c c tr

x1 , x2 th a mãn x12  x2 2  3.

C. 

-2

y

B. m  0
D. m  0
(Trích đ thi th S GD ĐT Nam Đ nh)
Câu 29: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m sao
cho hàm s

D. 3.

C. 2.

A. m  0
C. m  0

y  x3  3mx2  3m  1 có đi m c c tr .

y  4x3  mx2  12x đ t c c ti u t i đi m x  2.
A. m  9
B. m  2
C. Không t n t i m
D. m  9
Trích đ thi th THPT chuyên Thái Bình l n 3)
Câu 35: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m sao
cho hàm s y  mx4   m2  2  x2  2 có hai c c ti u và
m t c c đ i.
A. m   2 ho c 0  m  2.
B.  2  m  0.
C. m  2.
D. 0  m  2.
Trích đ thi th THPT Phan Đình Phùng Hà N i)
Câu 36: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m sao
cho đ th hàm s

y  x4  2mx2  2m có ba đi m c c

tr t o thành tam giác có di n tích b ng 1.

Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB

®


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12
A. m 

1

cho di n tích tam giác IAB đ t giá tr l n nh t khi m
có giá tr là:

B. m  3

5

4
C. m  1

The best or nothing

D. m  1
Trích đ thi th S GD ĐT Nam Đ nh)
y  x 3  3mx  1  1 . Cho A  2; 3  ,

Câu 37: Cho hàm s

 1

tìm m đ đ th hàm s

có hai đi m c c tr B và

C sao cho tam giác ABC cân t i A.
1
3
1
3
A. m 
B. m 
C. m 
D. m 
2
2
2
2
Trích đ thi th THPT chuyên Nguy n Trãi H i
D ng
Câu 38. Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m sao

y  x4  2mx2  2m  m4 có ba đi m

cho đ th hàm s

c c tr t o thành m t tam giác đ u.
A. m  3 3

B. m  1  3 3

C. m  1  3 3
D. m   3 3
(Trích đ thi th THPT chuyên V Thanh
Câu 39: Tìm
đ
đ
th
m

H u Giang)
hàm s

y  x4  2(m  1)x2  2m  5 có ba đi m c c tr l p thành
tam giác đ u?
A. m  1 .

B. m  1  3 3 .

C. m  1  3 3 .

D. m  1  3 .

Trích đ thi th THPT Công Nghi p
Câu 40: Cho hàm s

hàm s là ba đ nh c a m t tam giác vuông cân?
D. m  2.

C. m  2.

Trích đ thi th THPT Tr n H ng Đ o
Câu 41: Cho hàm s

C .
m

Ninh Bình)

y  x4  mx2  2m  1 có đ

C 

Tìm t t c các giá tr c a m đ

m



th

đi m

c c tr cùng v i g c t a đ t o thành b n đ nh c a m t
hình thoi.

1 3
2

2 5
2 3
D. m 
2
3
Trích đ thi th THPT Tr n H ng Đ o Ninh Bình)
Câu 44: Cho hàm s

C. m 





y  2 x3   2m  1 x 2  m2  1 x  2 .

H i có t t c bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s m
đ hàm s đã cho có hai đi m c c tr .
A. 4 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 6
Trích đ thi th THPT Phan Đình Phùng
Câu 45: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m đ
hàm s y  x 3  x 2   2 m  1 x  4 có đúng hai c c tr .
2
4
2
. C. m   . D. m   .
3
3
3
Trích đ thi th THPT Phan Đình Phùng
Câu 46: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ hàm
1
1
s y  x3   m  5  x 2  mx có c c đ i, c c ti u và
3
2

A. m 

4
.
3

B. m  

B. m  6

C. m  6; 0

D. m  0; 6

Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP l n 2)
Câu 47: Bi t đ th hàm s

y  ax3  bx2  cx  d có 2

đi m c c tr là  1;18  và  3; 16  . Tính a  b  c  d.
B. 1.

A. 0.

C. 2.

D. 3.

Trích đ thi th THPT chuyên KHTN l n 3)
Câu 48: V i giá tr nào c a c a tham s th c m thì
x1

đi m
c c
ti u
c a
hàm
s
1
y  x3  mx 2  m2  m  1 x ?
3





A. m  1  2 ho c m  1  2

A. m  2; 1 .

B. m  2.

B. Không có giá tr m

C. m  1.

D. không có m.

C. m  4  2 ho c m  4  2
D. m  2  2 ho c m  2  2
Trích đ thi th THPT chuyên Phan B i Châu)
Câu 42: Cho hàm s

y  x4  2mx2  2m  m4 . V i giá

tr nào c a m thì đ th

C 
m



đi m c c tr đ ng

th i đi m c c tr đó t o thành m t tam giác có di n
tích b ng 2.
B. m  16

A. m  5 4

C. m  16
D. m   16
Trích đ thi th THPT Tr n H ng Đ o Ninh Bình)
Câu 43: Đ ng th ng đi qua đi m c c đ i, c c ti u c a
3

5

đ

B. m 

A. m  0
Hòa Bình)

y  x4  2mx2  m2  2 . Tìm m đ

B. m  1.

2 3
2

xCĐ  xCT  5.

hàm s có đi m c c tr và các đi m c c tr c a đ th
A. m  1.

A. m 

th hàm s

y  x3  3mx  2 c t đ

I  1;1 , bán kính b ng 1 t i

ng tròn tâm

đi m phân bi t A, B sao
Đ

Trích đ thi th THPT chuyên KHTN l n 3)
Câu 49: Tìm t t c các giá tr th c c a tham s m đ





hàm s : y   m2  5m x3  6mx2  6 x  6 đ t c c ti u
t i x1
A. Không có giá tr th c nào c a m th a mãn yêu
c u đ bài.
B. m  1
C. m  2;1

D. m  2
Trích đ thi th THPT Tr n H ng Đ o
Câu 50: Cho hàm s

Ninh Bình)

f ( x)  x2  ln( x  m) . Tìm t t c

giá tr th c c a tham s m đ hàm s đã cho có đúng
hai đi m c c tr .
9
A. m  2.
B. m  .
4

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

Ngọc Huyền LB

C. m   2.
D. m  2.
Trích đ thi th THPT chuyên Lê Qu Đôn
Câu 51: Cho hàm s

f ( x)  3mx4  8mx3  12(m  1)x2 .

Trích đ thi th THPT chuyên S n La l n 1)

mx2  2 x  m  1
Đ ng
2x  1
th ng n i hai đi m c c tr c a đ th hàm s này
y

Câu 58: Cho hàm s

T p h p t t c giá tr th c c a tham s m đ hàm s
đã cho có c c ti u là
2
2
A. ( ; 1)  ( 1;  )  (0; ). B. ( ;  )  (0; ).
3
3
2
2
C. ( ; 1)  ( 1;  ]  (0; ). D. (  ; 0).
3
3
Trích đ thi th THPT chuyên Lê Qu Đôn

Câu 59: Đ

ng th ng n i đi m c c đ i v i đi m c c

Câu 52: Cho đ th hàm s

ti u c a đ

th hàm s

y  f ( x)  ax  bx  c có
3

2

hai đi m c c tr là A(0; 1) và B( 1; 2) . Tính giá tr c a

vuông góc v i đ
nh t khi m b ng

1
.
2
Trích đ thi th t p chí Toán h c & Tu i tr l n 7)

A. 0.

y   1  m  x 3  3 x 2  3 x  5 có c c tr ?

Trích đ thi th THPT Yên L c Vĩnh Phúc
1
Câu 54: Cho hàm s y  x 3  mx 2   2m  1 x  1. Tìm
3

C. m  1 thì hàm s có c c đ i và c c ti u
D. m  1 thì hàm s có c c tr
Trích đ thi th THPT chuyên Phan B i Châu)



y  mx4  m2  9 x2  1 có

hai đi m c c đ i và m t đi m c c ti u.
A. 3  m  0

B. 0  m  3

C. m  3

D. 3  m

Câu 56: Tìm t t c các giá tr c a tham s

m đ

x

bi t x1 ; x2 sao cho x1  x2   là

27
2
9
C. m  3 3
D. m  .
2
Trích đ thi th THPT Ngô Gia T - Vĩnh Phúc
3
2

B. m 

Câu 57: Bi t A  1; 0  , B  3; 4  là các đi m c c tr c a
đ th hàm s

y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  . Tính giá tr

c a hàm s t i x  1.
A. y  1  2

B. y  1  2

C. y  1  1

D. y  1  3

f  x  x  m 

n
(v i m, n là
x 1
các tham s th c). Tìm m, n đ hàm s đ t c c đ i t i
x  2 và f  2   2.
A. Không t n t i giá tr c a m, n.
B. m  1; n  1 .
C. m  n  1 .

đ

ng th ng qua hai đi m c c tr có ph
A. y  2x  m2  6m  1



ng trình là



B. y  2 m2  m  6 x  m2  6m  1
C. y  2x  m  6m  1

ng trình 9  2m.3  2 m  0 có hai nghi m phân

A. m  

D. m t giá tr khác.

2

Trích đ thi th THPT chuyên Phan B i Châu)

ph

C. 0.

Trích đ thi th THPT chuyên H ng Yên l n 2
Câu 61: Gi s đ th hàm s
y  x 3  3mx 2  3  m  6  x  1 có hai c c tr Khi đó

B. Hàm s luôn có c c đ i và c c ti u

x

B. 1.

D. m  n  2 .

A. m  1 thì hàm s có hai đi m c c tr



y  x3  x  m đi qua đi m

Trích đ thi th t p chí Toán h c & Tu i tr l n 7)

m nh đ sai.

Câu 55: Tìm m đ hàm s

D.

A. 1.

Câu 60: Cho hàm s

B. m  1
D. m  0

A. m  1
C. 0  m  1

C. 1.

B. 1.

M  3; 1 khi m b ng

abc .
A. 0.

B. 2.
C. 4.
D. 6.
Trích đ thi th THPT chuyên Lê Qu Đôn
Câu 53: Tìm t t c các giá tr c a m đ hàm s

ng phân giác c a góc ph n t th

D. T t c đ u sai
Trích đ thi th THPT Ph m Văn Đ ng)
Câu 62: Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ ba
đi m c c tr c a đ th hàm s
y  x 4   6m  4  x 2  1  m là ba đ nh c a m t tam

giác vuông:
2
A. m 
3

1
C. m  1 D. m  3 3
3
Trích đ thi th THPT Nguy n Đình Chi u)
Câu 63: V i giá tr nào c a m thì đ th hàm s
B. m 

y  x4  2m2 x2  1 có ba c c tr t o thành tam giác
vuông cân
A. m  0 B. m  1 C. m  1 D. m  2
(Trích đ thi th THPT Ph m Văn Đ ng Phú Yên)
Câu 64: Tìm m đ

C  : y  x
m

4

 2mx 2  2 có

c c tr là đ nh c a m t tam giác vuông cân:
A. m  4 B. m  1 C. m  1 D. m  3
(Trích đ thi th THPT Qu ng X

Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB

®

đi m

ng I


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

The best or nothing

Đ

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

The best or nothing

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I. Các dạng tính toán thông thường liên quan ến cực trị
Câu

Đáp án A.

L i gi i: T p xác đ nh: D 
y  4x
y'  0  x  0

Tuy nhiên do h s c a x 4 trong hàm s
Suy ra hàm s không có đi m c c đ i.

Phân tích sai l m: Nhi u đ c gi ch n luôn B, có m t
đi m do không xét kĩ xem x  0 là đi m c c đ i hay
đi m c c ti u c a hàm s .

y  4 x 3  4 x





y '  0  4x x2  1  0  x  0
đi m c c tr .

Xem l i STUDY TIP đ i v i hàm b c b n trùng
ng có d ng y  ax 4  bx 2  c  a  0  .
N u ab  0 thì hàm s có

đi m c c tr là x  0.

Nh n th y 1  0 và 2  0.

Vì hàm s có hai đi m c c tr là x1 , x2  x1 , x2 là
nghi m c a ph

ng trình x 2  8 x  8  0.

Theo đ nh lí Vi

ét ta có: x1  x2  8

c luôn x  0 là

suy ra đi m c c đ i c a đ

y   3x 2  6 x  3
y  0  3  x  1  0  x  1
2

Ta có b ng bi n thiên:
x





1
+

0

+


f x

c a hàm s do y   0 x  D.
.

Nên hàm s luôn đ ng bi n trên
Câu

đi m c c tr tuy nhiên đó là k t lu n sai l m, b i khi
thì


Tuy r ng y   0 t i x  1 nh ng x  1 không là c c tr

2

Đ n đây có nhi u đ c gi k t lu n luôn hàm s có hai
không

đ i

d u,

b i

.

.

Đáp án B

Chú ý: Phân bi t giá tr l n nh t (nh nh t) và c c đ i
(c c ti u)

ph n lý thuy t v GTLN GTNN đ

c tôi

trình bày trong chuyên đ sau.
Ph

ng án A. Sai: 1 là giá tr c c ti u.
3 là giá tr c c đ i.

 0, x.

Do v y hàm s ch có đúng m t đi m c c tr là x  3.
Câu

d ng N (m o Lúc này ta suy ra đ

T duy nhanh Nh n th y y  3  x  1  0 , x 

x  1
Ta th y f   x   0  
x  3

 x  1

duy nhanh Nh n th y hàm s đã cho có h s

a  3  0 và có hai đi m c c tr nên đ th hàm s có

V y hàm s đ ng bi n trên

Đáp án B

2

T

2

y  x 2  8 x  8

x1

V y đi m c c đ i c a đ th hàm s là I  0;1 .

y

T p xác đ nh: D 

qua

3

y

đi m c c tr .

Đáp án B

Câu



T p xác đ nh: D 

Cách 2:

Câu

+

Câu Đáp án A
Nh n th y đây là hàm b c b n trùng ph ng có h s
a, b cùng d u nên có duy nh t m t đi m c c tr .
Câu Đáp án D

T p xác đ nh: D 

V y hàm s có



th hàm s là I  0; 1 .

Cách 1:

ph



2
0



đi m c c đ i c a hàm s

Đáp án A

V y hàm s có

0
0
1

+

y  x4  100

là 1  0 do đó hàm s có duy nh t m t đi m c c ti u.

Câu



x
y
y

3

Đáp án B

T p xác đ nh: D 

Ph

ng án B. Đúng

Ph

ng án C. Sai: Giá tr c c đ i là 3.

Ph

ng án D. Sai: N u nói hàm s đ t c c ti u thì ph i

nói t i x  1 còn A  1; 1 là đi m c c ti u c a đ

y   3x 2  6 x

th hàm s

x  0
y  0  3x  x  2   0  
x  2

Câu

Ta có b ng bi n thiên:

Ta có: D 
Đ t

t

ng t v i B  1; 3  ).

Đáp án B.
\1; 1 .

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/


Công Phá Toán tập 3 – Lớp 12

The best or nothing

Ph

ng án A. Đúng Do qua x  0 thì y đ i d u t

d

ng sang âm nên hàm s v n đ t c c tr t i x  0 .

Ph

ng án B. Nh n th y hàm s không đ t c c ti u t i

x  1 do t i x  1 thì hàm s không xác đinh

Ph

y  4 x 3  2 x



B ng bi n thiên



x

ng án C. Đúng Do

lim y    x  1 là ti m c n đ ng c a đ th .
x 1



y  0  2 x x 2  1  0  x  0


0

y





0





y

lim y    x  1 là ti m c n đ ng c a đ th .
x 1

Ph

1

ng án D. Đúng Do

lim y  3  y  3 là ti m c n ngang c a đ th .

x 

lim y  3  y  3 là ti m c n ngang c a đ th .

x 

Câu
Ph

Đáp án D
ng án A. Sai: T p xác đ nh: D 

y  2 
Ph

1

 x  1

2

\1 .

 0 nên hàm s không có c c tr .

Do đ th hàm s có d ng parabol có đ nh

ng xu ng d

Câu

ng án C. Sai: Hàm phân th c b c nh t trên b c

Đáp án D

T p xác đ nh: D 
Đáp án A Sai Do hàm s có 3 c c tr .
Đáp án B Sai Hàm s

đ t c c ti u t i x1  1 và

x2  2 còn hàm s có giá tr c c ti u t
nh t) và c c đ i (c c ti u).
Đáp án D Đúng



y  0  2x 2x2  3  0  x  0

Câu

Đáp án

V y hàm s có m t đi m c c tr .

T p xác đ nh: D 

(Ho c dùng STUDY TIP cho hàm b c b n trùng

y   3x 2  6 x

ng ta th y 1  0; 3  0   1 .  3   0  Hàm

s có m t đi m c c tr là x  0 )

x  0
y  0  3x  x  2   0  
x  2

Câu

B ng bi n thiên:

Đáp án C

T p xác đ nh: D 
Đ t x t

ng ng là 3.

Đáp án C Sai: Chú ý phân bi t giá tr l n nh t (nh

ng án D Đúng T p xác đ nh D  .

y  4x3  6x

ph

i).

D a vào b ng bi n thiên ta có:

ng án B. Sai: T p xác đ nh D  .



duy nhanh: Không dùng b ng bi n thiên, ta có

a  1  0 nên hàm s có duy nh t m t đi m c c ti u

h

nh t luôn không có c c tr .
Ph

T

x0

y  9x2  2016  0 nên hàm s không có c c tr .
Ph

V y hàm s đ t c c ti u t i x  0.

x
y
y

t  0 

Khi đó y  t 3  4t 2  3


+

0
0
-1



2
0



+


y   3t 2  8t

5

V y hàm s đ t c c tr t i x  0; x  2 .

 t  0 ( t / m)  x  0
 8
 t  ( t / m)  x   8

3
3

T duy nhanh K t lu n luôn hàm s đ t c c tr t i

y   0  t  3t  8   0

x  0; x  2 do hàm b c ba ho c là không có c c tr ,

ho c là có hai c c tr . (STUDY TIP đã nói

B ng bi n thiên:
x



y
y

8
3




0

8
3

0
+

0



0



+




3

175

27
Do v y hàm s có đi m c c tr .

Continue

(M i các em và quý th y cô đ c tr n v n

Công phá Toán đ c m nh n đ y đ tâm huy t c a Ng c
Huy n LB trong su t 5 tháng làm vi c)
Đ t tr

c t i: http://cpt.gr8.com/

Lovebook xin chân thành c
175

27

Câu 12: Đáp án B
T p xác đ nh: D 
Đ t

c ch duy nh t t i: http://cpt.gr8.com/



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×