Tải bản đầy đủ

Ôn thi vào 10 Rút gọn biểu thức

Chñ ®Ò

rót gän biÓu thøc
Cã chøa c¨n thøc bËc hai
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
x= a

1.Khái niệm: x là căn bậc hai của số không âm a
x2 = a. Kí hiệu:
.
A
A
⇔ A≥0
2.Điều kiện xác định của biểu thức
Biểu thức
xác định
.
A khi A ≥ 0
A2 = A = 
− A khi A < 0
3.Hằng đẳng thức căn bậc hai :

4.Các phép biến đổi căn thức:
A.B = A. B ( A ≥ 0; B ≥ 0 )
+)
A
A
=
( A ≥ 0; B > 0 )
B
B
+)
A 2B = A B ( B ≥ 0 )
+)
A 1
=
A.B ( A.B ≥ 0; B ≠ 0 )
B B
+)
m. A m B
m
=
B ≥ 0; A 2 ≠ B )
(
2
A −B
A± B
+)
n. A m B
n
=
( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B )
A−B
A± B
+)
3. Các dạng bài tập thường gặp:
- Rút gọn biểu thức số.
- Rút gọn biểu thức chứa chữ. Sử dụng kết quả rút gọn để:
+ Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;
+ Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với một số);
+ Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức;
+ Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến...


(

)

(

)

B. BÀI TẬP
I.RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ


* Một số chú khi làm dạng toán 1
Nhận xét biểu thức trong căn. Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng làm cho
loại toán:
+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo.
A2 = A

+ Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai
đúng
hoặc đưa về hằng đẳng thức
+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích
+ Triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai,
đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở
mẫu…
1. Các ví dụ
+ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
28 − 2 3 + 7 ) 7 + 84
20 − 45 + 3 18 + 72
a/
. b/ (
.
1
d/ 
2


1
3

2
2

2+

 1
200 ÷
÷: 8


4
5

(

c/

)

2

6 + 5 − 120

.

Giải:

20 − 45 + 3 18 + 72

a/

=
=

b/

(

28 − 2 3 + 7

)

2 2.5 − 32.5 + 3 32.2 + 6 2.2

=

2 5 −3 5 +9 2 +6 2

( 2 − 3)

7 + 84

=

5 + (9 + 6) 2 = 15 2 − 5

.

2 2.7 . 7 − 2 3. 7 + 7 . 7 + 2 2.21.
=
=

2.7 − 2 21 + 7 + 2 21

14 + 7 + ( 2 − 2 ) 21 = 21

.


1
d /
2


1
3

2
2

1
= 
4

c/

(

6+ 5

)

2−
2

 1 1
 1
2
3
4
2
200 ÷
:
=

2
+
10
.2

÷
2
÷ 8 2 2
÷: 8
2
5




2 + 8 2 ÷.8 = 2 2 − 12 2 + 64 2 = 54 2


2+
3
2

− 120

=

4
5

6 + 2 30 + 5 − 2 2.30

6 + 5 + 2 30 − 2 30 = 11

=

.

+ Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:
A=

a/

Giải:

1
1

5+ 3
5− 3

a/

B=

b/

1
1
=
A=

5+ 3
5− 3
=

B=

b/

4−2 3
6− 2

(

(

4−2 3
6− 2

C=

1
2
2
+

2+ 3
6 3+ 3

c/

) ( 5 + 3)
3) ( 5 − 3)

5− 3 −
5+

5 − 3 − 5 − 3 −2 3
=
=− 3
5−3
2


( 3)

=

2

=

(

2

− 2 3 +1

(

=

)

3 −1

3 −1

)

3 −1

=

(

(

2

c/
3

=

=

3

(

(

2

(

3 −1

)

3 −1

)

3 −1

=

1
2
=
2
2

1
1
2
+

2+ 3
3
3 3 +1

(

)

) (

) ( 3 + 1) − 2 ( 2 + 3 )
3 ( 3 + 1) ( 2 + 3 )

3 +1 + 2 + 3

2 3+4

(

)(

3 +1 2 + 3

2. 3
3

)

3 −1

2

1
2
2
+

2+ 3
6 3+ 3 =

C=

=

2

(

)

3 −1

)(

3 +1

)

3 −1

2

=

)

=

3

2 3

(

(

(

3+2

)(

)

3 +1 2 + 3

) = 3(

3 −1

3 ( 3 − 1)

)
) = 3−

3 −1
3

3

3

= 1−

3
3

+ Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
2 2

a/

c/
Giải:

(

(

) (

3 − 2 + 1+ 2 2

4
2− 5

2 2

(

)

2

(

(

4
2+ 5

) (

)

) (

3 − 2 + 1+ 2 2

)

2

2

−2 6 =9

b/

2

3 − 2 + 1+ 2 2

a/
BĐVT ta có :
2 2



)

)

2+ 3 + 2− 3 = 6

=8

2

−2 6 =9

− 2 6 = 2 6 − 4 2 + 1 + 4 2 + 8 − 2 6 = 9 = VP

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
Bài tập đề nghị: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:


1)

4)

2 5 − 125 − 80 + 605
2 8 − 12
5 + 27

18 − 48
30 + 162
4 3
+
75
3 5

2 27 − 6

7)
2− 3

10)
13)

(

5+ 2

18)

2 + 6+4 2

+

; 2)

2− 3
2+ 3
+
2+ 3
2− 3

; 5)

(

3 − 5. 3 + 5

; 11)

5−2 6

;

8 3 − 2 25 12 + 4

(

2 − 6−4 2

;

; 19)

)

) (

2 +1 −

;
;

+

1
2 − 2− 3

;

2

5 + 2 −8 5

; 16)

(

)

2 −1

; 17)

14 − 8 3 − 24 − 12 3
3

3

20)

1−

3

+

3 +1 1 +

3 +1

II. CÁC CÂU HỎI THƯỜNG GẶP SAU BÀI TOÁN RÚT GỌN.
D¹ng 1: Tính giá trị biểu thức

Ví dụ1. Cho A =
x=

Giải Khi

Thay

2
x=
3

4
9

x
x −1

ĐKXĐ

x ≥ 0; x ≠ 1

=>

thỏa mãn ĐKXĐ
A=

vào A ta có

;

12)

2 5−4
3

192

;

4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

2 + 2+ 3

14)

16
1
4
−3
−6
3
27
75

6)

1

6−4 2

4
1
6
+
+
3 +1
3 −2
3 −3

; 3)

;

9)

3− 5 + 3+ 5

15 − 216 + 33 − 12 6

2

)

10 + 2

; 8)

( 5 + 2 6 ) ( 49 − 20 6 )
6+4 2

15)

)

10 + 2 10
8
+
5 + 2 1− 5

x=

; Tính giá trị của A khi x=
4
4 2
=
=
9
9 3

2
x
2  1
= 3 = :  − ÷ = −2
2
x −1
−1 3  3 
3

4
9

;


2 x
x

P=

Vớ d 2: Cho

Gii: Thay
P=

x = 3 2 2 =

(

(

)

2

(

2 1

)

2 1

Ví dụ3: Cho P=
Tớnh giỏ tr ca A khi

2

vi

)

2 1
2

=

x>0

; Tớnh giỏ tr ca P vi

vo biu thc

2

a + a +1
a 1

2 x
x

P=

2

2 1

2 1

ĐK

=

2 2 +1
2 1

=

x = 32 2

.

, ta cú:

1
2 1

= 2 +1

a 0; a 1

a = 19 8 3

( 4 3)

a = 19 8 3 a = 19 8 3 = 16 2.4. 3 + 3 =

(

2

= 4 3 = 4 3

)(
)(

(TMĐK)

)

24 9 3 . 3 + 3 15 3
19 8 3 + 4 3 + 1 24 9 3
=
=
=
2
4 3 1
3 3
3 3 . 3+ 3

(

)

Do đó P=
Nhng sai lm hay mc ca hc sinh:
- Khi thay giỏ tr x cn tớnh khụng i chiu iu kin u bi (TMĐK)
- Sau khi tớnh giỏ tr biu thc mu cũn cha cn thc, khụng trc cn thc
mu (Ví dụ2,3)
Dạng 2. Bài toán tìm x để biểu thức P(x) = m (m là hằng
số)
a c
= a.d = b.c
b d

Bớc 1. Sử dụng tính chất
để làm mất mu của
phơng trình.
Bớc 2. Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x.
Bớc 3. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.


x
x 1

Ví dụ1 :Cho A =
của x để:

(với x



0 và x

a) A = 2.


=
Giải: Ta có:



1). Tìm các giá trị
2
3

b) A =

c) A

1
2

x

a) A = 2

x 1



x



=2
x



x

= 2(

x

- 1)

x



2= 2
=2
Vậy với x = 4 thì A =2.

a)

A=

2
3

x
x 1

=



2
3

3

x

x

3

-2

x

x

= 2(

=-2

- 1)
x





x



=2

b)

A=

1
2

x
x 1




=
2

x

1
2

+

2
x

x

=-(

=1



3

-2

x = 4 (TMĐK)

3

x

x

=2

-2

= - 2 (VN)

Vậy không có giá trị nào của x để A =


x

x

- 1)
x



=1

2



x

x

2
3

.

==

x

+1

1
3

x=

(TMĐK)
Vậy với x =

1
9

Ví dụ2: Cho biểu thức:



1
2

thì A =
.
1
1

P = 1 +
ữ.
x 1 x x


( x > 0; x

1

)

1
9


5 + 2 6.
T×m x ®Ó P.

(

)

2

x − 1 = x − 2005 + 2 + 3.


1 
1
x
1

P = 1 +
=

÷.
x −1 x − x  x −1

x x −1


(

Bµi gi¶i:

P. 5 + 2 6.

(

)

x −1

(

1

2.

)

x −1

(

) (

5+2 6
th× P.
 1

+
x− x

(

)

2

2+ 3 .

⇔ 2 + 3 = x − 2005 + 2 + 3 ⇔ x = 2005

)

2

(TM§K )

2


 :
x −1
1

(

x +1

)

x −1

2

1
3

Tim giá trị của x để A = .
HƯỚNG DẪN GIẢI:

a). Điều kiện

0< x ≠ 1

A=

Với điều kiện đó, ta có:

b). Để A =
x=

Vậy

9
4

1
3

thì

thì A =

x

(

x +1

:

) (

x −1

x +1

)

x −1

x −1 1
3
9
= ⇔ x = ⇔ x=
3
2
4
x
1
3

)

x −1

2

x − 1 = x − 2005 + 2 + 3

x − 1 = x − 2005 + 2 + 3

Bài 4: Cho biểu thức A =
a

(

1

2

= x − 2005 + 2 + 3 ⇔

VËy x = 2005

)


÷ ⇔P=
÷


2

=

x −1
x

(thỏa mãn điều kiện)


Nhng sai lm hay mc ca hc sinh:
- Mt s hc sinh sau khi tỡm c giỏ tr ca x xong khụng kt hp vi iu
kin bi ó kt lun
- Mt s hc sinh dựng du = khi bin i
x
2
1
A=(
+
):
x 1 x x
x 1

Bài 1: Cho biểu thức
( x > 0; x 1)
a) Rút gọn A
2
b)Tính giá trị của A khi x=3-2
Bài giải:
x
2
1
x
2
1
A=(
+
):
=(
+
):
x 1 x x
x 1
x 1
x 1
x( x 1)
a)
( x )2 + 2
x 1 (x + 2)( x 1) x + 2
A=
.
=
=
1
x ( x 1)
x ( x 1)
x


b. Khi x= 3-2
A=

2

32 2 + 2
( 2 1)

2

=
=

( 2 1) 2

52 2
=
2 1

(

(TMĐK)
52 2

)(

1

) =1+ 3

2 +1

1
1
3
P=
+
ữ:
x +1 x +1
x 1

2

Bài 2: Cho biểu thức
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
5
4
b) Tìm các giá trị của x để P =
0; x 1
Bài giải: a) ĐKXĐ x


P=






3

(

P=

)(

x −1

(
(
5

4

1 
3 + x −1
x +1
+
=
.
1
x + 1  ( x − 1) x + 1
x +1


)

)(
x + 1) (

x +2

(

)=
x − 1)
x +1

x +2 5
= ⇔4
x −1 4

b)
⇔ x = 13 ⇔ x = 168

(

)

=

x +2
x −1

) (

)

x +2 =5

x − 1 ⇔ 4 x + 8 = 5 x − 5.

(TM§K)
 x+4
x 2 + 3x
1
19 − x 2 
:
+
+

÷
x 2 − 8 x + 16  x
x − 4 x2 − 4x 

P=

Bài 3 :Cho biểu thức:
a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P tại

x = 4+2 3 − 4−2 3

Giải:

a) ĐKXĐ:
P=

x ≠ 4
 x( x − 4) ≠ 0


⇔ x ≠ 0
x+ 4
1
19 − x 2
+
+
≠0


x − 4 x2 − 4x
 x
 x ≠ −3
x( x + 3)  x 2 − 16 + x + 19 − x 2  x( x + 3)  x( x − 4) 
x2
:
=
.
=
÷
÷
2 
2 
x( x − 4)
( x − 4) 
 ( x − 4)  x + 3  x − 4

x = 4+ 2 3 − 4−2 3 =

b)

(

)

(

2

3 +1 −

P=

Thay x=2 TM§K vào P ta có
 1

+
x− x

Bài 4: Cho biểu thức A =

)

3 −1

= 3 +1−

2

2
= −2
2−4


 :
x −1
1

2

(

x +1

)

x −1

2

(

)

3 −1 = 2

( TM§K)


1
3

Tim giá trị của x để A = .
HƯỚNG DẪN GIẢI:

b

a). Điều kiện

0< x ≠ 1

A=

x

(

x +1

b). Để A =
x=

Vậy

9
4

1
3

) (

x −1

Với điều kiện đó, ta có:

x +1

:

)

x −1

x −1 1
3
9
= ⇔ x = ⇔ x=
3
2
4
x

thì

2

=

x −1
x

(thỏa mãn điều kiện)

1
3

thì A =

dạng bài chứng minh hoặc so sánh
x + 2 x +1
x

: Cho M =

(ĐK: x

≥ 0;



x 1)

Bài 1
So sánh M và 4
x +1

: Cho P =

2 x

Bài 2

(ĐK: x > 0)
1
2

So sánh P với

Bài 3:

M =

x −2
x

(ĐK: x >0)

Chứng minh M <1
x

Bài 4: M =

x +2

(ĐK: x

≥0

)


So sánh M với 1
x +1
x +3

Bài 5: B =

(ĐK: x >0)

Chứng minh B >Bài 6: A =
Chứng minh A <

x
x + x +1

(ĐK: x

4 x +4
x+2 x +5

P=
Bài 7:



(ĐK: x >0)

Chứng minh P 1
P=

2x +1
4 x

(ĐK: x

> 0;



x 1)

Bài 8:
Chứng minh P>
P=

4 a + 2a + 2
a

(ĐK: a

> 0;



a 1)

Bài 9:
So sánh P với 6
B=

x +1
x +3

(ĐK: x

> 0;



x 9)

Bài 10:
Chứng minh B>
M=

x +1
x +2

(ĐK: x

Bài 11:
So sánh M với M2
Cho A =
Bài 12:

x
x +1

≥ 0;



x 4)

≥ 0;



x 1)


ChoB =

x −2
x

(ĐK: x

> 0;



x 1)

So sánh A và B
Đáp án:
Ôn tập phần rút gọn dạng bài chứng minh hoặc so sánh
x + 2 x +1
x

Bài 1: Cho M =

. So sánh M và 4
x + 2 x +1
x − 2 x + 1 ( x − 1) 2
−4 =
=
x
x
x

Xét hiệu: M – 4 =
( x − 1) 2 ≥ 0

ĐK : x

> 0;



x 1


x >0
⇒ M −4>0⇒ M > 4

x +1

cho P =

2 x

Bài 2:
1
2

So sánh P với
TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT
3
M=
( x ≥ 0)
x +3

Bài 1: Cho biểu thức:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M
2
P=
( x ≥ 0)
x + x +1
Bài 2: Cho biểu thức:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
x −1
A=
( x ≥ 0)
x +1
Bài 3: Cho biểu thức:


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
x + x +1
B=
( x > 0)
x
Bài 4: Cho biểu thức:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
x + 16
C=
( x ≥ 0)
x +3
Bài 5: Cho biểu thức:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C
x
P=
( x ≥ 0; x ≠ 1)
x −1
Bài 6: Cho biểu thức:
P
P
Khi
có nghĩa, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
4 x
M=
( x ≥ 0)
3( x − x + 1)
Bài 7: Cho biểu thức:
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức M
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
M ≤ 1, ∀x
Bài 1:
TMĐK
max M = 1 ⇔ x = 0
Vậy
P ≤ 2 ∀x
Bài 2:
,
TMĐK
max P = 2 ⇔ x = 0
Vậy
2
A = 1−
≥ −1
x +1
∀x
Bài 3:
,
TMĐK
min A = −1 ⇔ x = 0
Vậy
1
B= x+
+1 ≥ 3
x
Bài 4:
1
⇔ x=
⇔ x =1
x
Dấu “=” xảy ra
(TMĐK)
min B = 3 ⇔ x = 1
Vậy
25
C = x +3+
−6≥ 4
x +3
Bài 5:


⇔ x +3=

 x + 3 = 5 ⇔ x = 4 ( TMĐK )
25
⇔
x +3
 x + 3 = −5 (VN )

Dấu “=” xảy ra
min C = 4 ⇔ x = 4
Vậy
Bài 6:
⇔ x >1
P
+)
có nghĩa
1
P = x +1+
= x −1+
x −1
+)
⇔ P ≥2
⇔ x −1 =

+) Dấu “=” xảy ra
min P = 2 ⇔ x = 4
Vậy
Bài 7:
M ≥ 0 ∀x
+)
,
TMĐK
min M = 0 ⇔ x = 0
Vậy
+) Với x > 0:
1 3
1
 3
=  x+
− 1÷ ≥
M 4
x  4
4
⇔M ≤
3

1
+2≥4
x −1

 x −1 = 1
 x = 4(TMĐK )
1
⇔
⇔
x −1
 x = 0 ( KTMĐK )
 x − 1 = −1

⇔ x =1
Dấu “=” xảy ra
(TMĐK)
4
max M = ⇔ x = 1
3
Vậy

P−

Xét hiệu:

1
x +1 1 2 x + 2 − 2 x
1
=
− =
=
2
2
2 x
4 x
2 x


1> 0


1
1
⇒ P− > 0⇒ P >
2
2
2 x > 0 



Bài 3:

x −2
x

M =

Chứng minh M < 1
x −2
−2
−1 =
<0
x
x

M −1 =

Xét hiệu:



−2 < 0 
 ⇒ M −1 < 0 ⇒ M < 1
x > 0 
x
x +2

Bài 4: M =
So sánh M với 1
M −1 =

Xét hiệu



x ≥0

nên

B=

x
−1 =
x +2

x − x −2
=
x +2

−2
x +2

x + 2 > 0 
 ⇒ M −1 < 0 ⇒ M < 1
− 2 < 0 

x +1
x +3

Bài 5:
Chứng minh B >
1
B− =
3
⇒B>

Xét hiệu

1
3

x +1 1
2 x
− =
>0
x + 3 3 3( x + 3)


x
x + x +1

Bài 6: A =
Chứng minh A <
A−

Xét hiệu:
Vì :

x≥0

x ≠1

nên


nên
Bài 7:

1
x
1 3 x − x − x − 1 −( x − 2 x + 1)
−( x − 1) 2
=
− =
=
=
3 x + x +1 3
3( x + x + 1)
3( x + x + 1) 3( x + x + 1)

x + x +1 > 0

( x − 1)2 > 0 ⇒ −( x − 1) 2 < 0
1
1
⇒ A− < 0 ⇒ A <
3
3

−( x − 1) 2
−( x − 1)2
=
x + 2 x + 5 ( x + 1) 2 + 4
⇒ P ≤1
P −1 =

Bài 8:
1 2x − 2 x +1
P− =
=
2
4 x
1
⇒P>
2

1
1
1
1
2( x − x + ) x − x +
( x − )2 +
2 =
2=
2
4
4 x
x
2 x

Bài 9:
4 a + 2 + 2a
2a − 2 a + 2 2(a − a + 1)
P−6 =
−6 =
=
=
a
a
a
⇒P>6

Bài 10: Xét hiệu:
B−

1
=
3

x +1 1
2 x
− =
x + 3 3 3( x + 3)


1
1

⇒ B− >0⇒ B >
3
3
x > 0 ⇒ 3( x + 3) > 0 

x >0⇒2 x >0

Bài 11: Ta có M>0

1
3
2( a − ) 2 +
2
4 >0
a


x +1
1
=
>0
x +2
x +2
⇒ 1− M > 0 ⇒ M < 1 ⇒ 0 < M < 1

1− M = 1−

M − M 2 = M (1 − M ) > 0 ⇒ M > M 2

Xét
Bài 12: Xét hiệu:

x
x − 2 x − ( x + 2)( x + 1)

=
=
x +1
x
x ( x + 1)

x +2
x ( x + 1)

A–B=


x >0⇒ x >0⇒ x +2 >0
⇒ x +1 > 0
⇒ A> B

∀x > 0
∀x > 0

∀x > 0



x ≠1

x ≠1



x ≠1

Vậy A- B >0
với

* Những sai lầm học sinh hay mắc lỗi:



- Khi xét hiệu không được dùng dấu “ ”.
- Một số bài HS chưa biết biến đổi tử số, hoặc mẫu số về dạng HĐT.
- Lập luận để đưa biểu thức về dạng

A
B

>0 hoặc

A
B

<0 còn nhầm lẫn.

CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN TỔNG HỢP
1. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho biểu thức : A =

x x +1 x −1

x −1
x +1

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A khi x =

9
4

c) Tìm các giá trị của x để A < 1.

Giải : a) ĐKXĐ:

x ≥ 0

x ≠ 1

,


x x +1 x −1
x x + 1 − ( x − 1).( x − 1)

=
x −1
x −1
x +1

Rút gọn : A =
A=

b) x =

9
4

1+ x + x −1
x .( x + 1)
=
=
x −1
( x − 1).( x + 1)

x
x −1

.

thì A = 3

c) A < 1 ⇒

0 ≤ x <1

.
− a −a+6

Ví dụ 2 : Cho biểu thức : M =
a

3+ a

Rút gọn M
M ≥1

b

Tìm a để

c

Tìm giá trị lớn nhất của M
Giải

a

ĐK: a ≥ 0
−a− a +6

M=

a +3

=

a +3

Vậy với a ≥ 0 thì M = 2 -

b

Để

Vậy

(

( a + 3) 2 − a

) = 2−

a

a

2 − a ≥ 1
 a ≤1
M ≥1⇔ 2− a ≥1⇔ 
⇔

a

2

1
a

3



0 ≤ a ≤ 1
M ≥1⇔ 
 a≥9

a ≤ 1
a ≥ 9



c

M=2-

a

≤ 2 Vậy Max M = 2

* Ví dụ 3: Cho biểu thức

⇔a=0

1 
a +1
 1
M =
+
÷:
a −1  a − 2 a +1
a− a

với a >0 và a

≠1

a/ Rút gọn biểu thức M.
b/ So sánh giá trị của M với 1.
Giải:

a/
=

Đkxđ: a >0 và a

≠1

1 
a +1 = (
 1
M =
+
÷:
a −1  a − 2 a +1
a− a

1+ a
.
a a −1

(

)

M =

b/ Ta có

(

)

(

2

(

1

)

a a −1

)(

)

1

+

a −1

2

a −1
1+ a a −1
=
=
a +1
a a −1 a +1
a −1
a

= 1−

(

)(

)

):

)

a −1

1

, vì a > 0 =>

a >0

2

a −1
a

1
a

(

a +1

=>

a

1−

>0

nên

Vậy M < 1.

* Ví dụ 4: Cho biểu thức

1
x − 3  2
x+ 2

P = 




x

x

1
x

1

2
2

x
2
x

x




a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b/ Rút gọn biểu thức P.
c/ Tính giá trị của P với
Giải:

x = 3−2 2

.

1
a

<1










a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :

x
x

⇔
x

x


=


2−

x ≠0

x −1 −

2 ≠0

x ≥ 1

⇔ x ≠ 2
≠2
x ≠ 3

≠3

x ≥ 1; x ≠ 2; x ≠ 3

1
x−

(

x −1 ≥ 0

>0
≥1

b/ Đkxđ :

P = 


x >0

x −1

(



x −1 −

x + x −1

x − x −1

)(



2 

x−3

)

x + x −1

2
2−

x

( x − 3) (



) (

)(

)

)


2


x −1 + 2  2 − x

x −1 + 2

x −1 − 2

(

2

2 x − x 

x+



)

x

(

 x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2  2 x − x − 2
=

.
(
)
(
)
x

x

1
x

1

2
x 2− x



= 


=

(

(

)

(

(

)

)

x + x − 1 ( x − 3) x − 1 + 2  − 2 − x
.

 x 2− x
x − x +1
x−3


) − x1 = (

x + x −1 − x −1 − 2 .

c/ Thay

x = 3− 2 2 =

(

)

2 −1

(

)

x − 2 .( − 1)
x

)

=

2− x

P=

2

vào biểu thức

x

2− x
x

, ta có:



2− x 

x+ 2

)


P=

2−

(

(

)

2 −1

)

2 −1

2

2

=

2−

2 −1

2 −1

=

2 − 2 +1
2 −1

=

1
2 −1

= 2 +1

* Ví dụ 5: Cho biểu thức
A=

2x
x + 1 3 − 11 x


x + 3 3 − x x2 − 9

với

x ≠ ±3

a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A < 2.
c/ Tìm x nguyên để A nguyên.
Giải:
a/ Đkxđ:

A=
=
=

x ≠ ±3

2x
x + 1 3 − 11 x
2x
x +1
3 − 11 x

− 2
=
+

x + 3 3 − x x − 9 x + 3 x − 3 ( x + 3)( x − 3)

2 x( x − 3) + ( x + 1)( x + 3) − ( 3 − 11 x ) 2 x 2 − 6 x + x 2 + 3x + x + 3 − 3 + 11 x
=
( x + 3)( x − 3)
( x + 3)( x − 3)

3x 2 + 9 x
3 x ( x + 3)
3x
=
=
( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) x − 3

A=
b/ Ta có

3x
x−3

, A < 2 tức là

3x
3x
3x − 2( x − 3)
<2⇔
−2<0⇔
<0
x−3
x−3
x −3
3x − 2 x + 6
x+6

<0⇔
< 0(*)
x−3
x −3


Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi

x + 6 > 0

x − 3 < 0

⇔ −6 < x < 3
Vậy với
A=
c/ Ta có


−6< x <3

thì A < 2.

3x
9
9
= 3+
∈Ζ ⇔
∈ Ζ ⇔ x − 3 ∈ U (9)
x−3
x−3
x−3

U (9) = { ± 1;±3;±9}

nên ta có:



x – 3 = - 1 <= > x = 2 ( tm đkxđ )



x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ )



x – 3 = - 3 <= > x = 0 ( tm đkxđ )



x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ )



x – 3 = - 9 <=> x = - 6 ( tm đkxđ )



x – 3 = 9 <= > x = 12 ( tm đkxđ )

Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên.
* Ví dụ 6: Cho biểu thức

 2x + 1
 1 + x3
x


.
B=


x
  1+ x
3

x
+
x
+
1
 x −1



a/ Rút gọn B;
b/ Tìm x để B = 3.
Giải:

Đkxđ :

x≥0



x ≠1

với

x≥0



x ≠1


a/


 2x + 1
 1 + x3
x

.
B = 


x

3


 x −1 x + x +1  1+ x


) ( x + 1)( x − x + 1) −
( )(
)
x +1
2x + 1 − x + x
=
( x − 1)(. x + x + 1) .(1 − 2 x + x )
x + x +1
=
( x − 1)(. x + x + 1) .( x − 1) = x − 1
=

(

x −1 
.
x −1. x + x +1 

2x + 1 − x


x


2

b/ Ta có

B = x −1

x − 1 = 3 ⇔ x = 4 ⇔ x = 16

và B = 3, tức là

( t/m đkxđ)

Vậy với x = 16 thì B = 3.
* Ví dụ 7: Cho biểu thứ
 1
 x3 + y x + x y + y3

1
2
1
1
.
A = 
+
+ + :


x y 
x
y
x
+
y

x 3 y + xy 3


với x > 0 , y > 0

a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Giải:

a/

Đkxđ : x > 0 , y > 0

 1
1 
2
1
A = 
+
.
+ +
y  x + y x
 x

1
:
y 

 x+ y
2
x + y 
=
.
+
:


xy
xy
x
+
y



(

x3 + y x + x y + y 3
x 3 y + xy 3

)(

)

x + y x − xy + y + xy
xy

(

x+ y

)

(

x+ y

)


(

 2
x + y 
=
+
:
 xy

xy



(
=

b/ Ta có

x+ y
xy




)

2

.

xy ( x + y )

xy
x+

)

y ( x + y)

x+

y

=

x+
xy

x+
xy

.

2

y  ≥ 0 ⇔ x + y − 2


x−


A=

y

y



2

Do đó

xy
xy

=

x+
2

16
16

xy ≥ 0

y ≥2

xy .

=1

( vì xy = 16 )

Vậy min A = 1 khi


 x= y
⇔ x = y = 4.

xy
=
16



*Một số chú ý khi giải các bài toán rút gọn tổng hợp
(Đây là dạng toán cơ bản và có tính tổng hợp cao)

Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… nếu
bài toán chưa cho)
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi
căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×