Tải bản đầy đủ

Tổng quan về một số phương pháp nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C

TĂNG TH NGA

T NG QUAN V M T S PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN
C U TÍNH N Đ NH NG U NHIÊN

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

Ngành: Toán h c

Hà N i - 2015


Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C

TĂNG TH NGA


T NG QUAN V M T S PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN
C U TÍNH N Đ NH NG U NHIÊN

LU N VĂN TH C S

Ngành: Toán h c

Cán b hư ng d n: GS. TS. Nguy n H u Dư

Hà N i- 2015


L I C M ƠN

Trư c khi trình bày n i dung chính c a khóa lu n, em xin bày t lòng bi
t ơn sâu s c t i GS. TS. Nguy n H u Dư ngư i Th y đáng kính đã luôn t n
tình ch b o giúp đ em trong su t th i gian qua.
Nhân d p này em cũng xin đư c g i l i c m ơn chân thành t i gia đình,
b n bè đã luôn bên em, c vũ, đ ng viên, giúp đ em trong su t quá trình
h c t p và th c hi n khóa lu n t t nghi p.
M c dù có nhi u c g ng, song trong quá trình th c hi n khóa lu n em
không tránh kh i nh ng thi u sót. Vì v y, em r t mong nh n đư c ý ki n
đóng góp c a Th y Cô và b n bè đ ng nghi p, đ khóa lu n đư c hoàn thi
n hơn.
Em xin chân thành c m ơn!
Hà N i, ngày 06 tháng 06 năm 2015.
Sinh viên
Tăng Th Nga

1


M cl c
5
1 Ki n th c chu n b

5

1.1 Các khái ni m cơ b n v xác su t . . . . . . . . . . . . . 1.2 Các


12

khái ni m cơ b n v n đ nh . . . . . . . . . . . . .
2 Các phương pháp nghiên c u tính n đ nh c a h sai
phân ng u nhiên

14
14

2.1 Phương pháp s d ng hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . 2.2
Phương pháp so sánh nghiên c u tính n đ nh theo mo-

19

ment c a phương trình t a tuy n tính . . . . . . . . . .

36

2.3 Phương pháp s d ng Martingale và các b t đ ng th c .

36

2.3.1 Dáng đi u đuôi c a phân ph i xác su t. . . . . .
2.3.2

n đ nh ti m c n h u ch c ch n. . . . . . . . . .

2.3.3 Không n đ nh h u ch c ch n. . . . . . . . . . . .

40
43

K t lu n

45

Tài li u tham kh o

46

2


M đu
Nghiên c u tính n đ nh c a m t h đ ng l c là m t bài toán h t s c quan
tr ng trong c lý thuy t l n th c hành. Năm 1892, nhà toán h c n i ti ng
A.M. Lyapunov, trong b n lu n án ti n s c a mình, đã đưa ra hai phương
pháp nghiên c u tính n đ nh c a nghi m c a phương trình vi phân. Đó là
phương pháp s mũ và phương pháp hàm Lyapunov [12]. T đó đ n nay,
bài toán này đã thu hút đư c s quan tâm nghiên c u c a nhi u nhà toán
h c và có nhi u k t qu sâu s c v c lý thuy t l n
ng d ng. Chúng ta có th k đ n các nhà toán h c có nhi u đóng góp
trong lĩnh v c này như là Hahn (1967) và Lakshmikantham et al. (1989)
[10, 11] và nhi u nhà toán h c khác như X. Mao [18]; L. Arnol [2]....
Trong các h đ ng l c, h đư c mô t b i các phương trình sai phân đóng
vai trò h t s c quan tr ng. Chúng ta có th th y s xu t hi n nó trong nhi u
bài toán th c t như là mô hình tăng trư ng c a qu n th ki u Leslie, mô
hình đ ng h c kinh t đa lĩnh v c Leontief ho c là khi ta r i r c hóa đ tính
toán nghi m c a m t phương trình vi phân, trong phân tích h th ng d li u
m u c a th ng kê... Vi c phân tích d li u trong cơ khí, đi n, kĩ thu t đi u
khi n và các v n đ th c t khác cũng ph i c n đ n các nghiên c u c a
phương trình sai phân ng u nhiên.
Chính vì v y, v n đ nghiên c u tính n đ nh đ i v i nghi m c a phương
trình sai phân là bài toán đư c r t nhi u ngư i quan tâm và phát tri n nhi
u phương pháp đ nghiên c u bài toán này. Cũng như h đ ng l c kh vi,
các phương pháp Lyapunov cũng đư c s d ng đ nghiên c u tính n đ nh.
V i phương pháp hàm Lyapunov, ngư i ta xây d ng m t phi m hàm (g i là
hàm Lyapunov). Phi m hàm này đóng vai
trò như là m t "chu n" hay như "phi m hàm năng lư ng" và các qu
3


đ o d c theo hàm này s gi m ho c tăng. Đi u đó cho phép chúng ta bi t
đư c h s n đ nh ho c không n đ nh. Như c đi m chính c a phương pháp
này là các đi u ki n đưa ra ph thu c vào hàm đư c ch n nên nói chung ch
là đi u ki n đ .
Phương pháp th hai đư c s d ng là phương pháp so sánh. đây ta so
sánh các qu đ o c a h v i các qu đ o c a h m t chi u. Ưu đi m c a
phương pháp này chúng ta có th d dàng bi t h 1 chi u có
n đ nh hay không thông qua các tiêu chu n đơn gi n. Tuy nhiên vi c so
sách này không ph i lúc nào cũng th c hi n đư c vì các qu đ o c a h nhi
u chi u nói chung là r t ph c t p.
Phương pháp ti p theo là s d ng các đ nh lý gi i h n đã có trong lý
thuy t h i t c a các quá trình ng u nhiên (ch y u là các đ nh lý gi i h n
trong lý thuy t martingale). V i phương pháp này ngư i ta phân tích quá
trình thành t ng c a m t quá trình tăng (ho c gi m) v i m t martingale. T
đó ta có th đưa ra k t lu n h h i t hay không.
N i dung chính c a lu n văn bao g m 2 chương. Trong chương 1 chúng
tôi đưa vào các ki n th c t i thi u đ s d ng v sau. Chương 2 là n i
dung chính c a b n Lu n văn. Ph n 2.1 c a chương này đ c p đ n s
d ng hàm Lyapunov đ nghiên c u tính n đ nh. Trong đó chúng tôi trình
bày các đi u ki n đáp ng tr ng thái đ xích Markov là n đ nh. Trong m c
2.2 chúng tôi s d ng phương pháp so sánh v i h 1 chi u. Đây là m t t ng
quát hóa c a đ nh lý so sánh c a Ma và Caughey's [14] và s d ng đ nh lý
này đ nghiên c u các đ nh lý n đ nh chung c a phương trình sai phân
ng u nhiên phi tuy n. M c 2.3 chúng tôi tái l p l i các ý tư ng cơ b n t các
lý thuy t c a martingale cùng v i các k t qu v t p h i t . N i dung chính c
a ph n này là hai k t qu v n đ nh ti m c n h u ch c ch n.
M c dù đã c g ng h t s c nhưng do th i gian th c hi n khóa lu n không
nhi u nên trong khóa lu n không tránh kh i nh ng h n ch và sai sót. Em
r t mong nh n đư c nh ng góp ý và s ch b o c a các th y
cô. Em xin chân thành c m ơn!

4


Chương 1

Ki n th c chu n b
1.1

Các khái ni m cơ b n v xác su t

Gi s Ω là m t t p tuỳ ý khác r ng, Φ là m t σ-đ i s các t p con c a Ω. Khi đó, c
p (Ω, Φ) đư c g i là m t không gian đo.
Gi s (Ω, Φ) là m t không gian đo. M t ánh x P : Φ → R đư c g i
là đ đo xác su t trên Φ n u
(i) P(A) 0 v i ∀A ∈ Φ (tính không âm);
(ii) P(Ω) = 1 (tính chu n hoá);
(iii) N u An ∈ Φ (n = 1, 2, 3, . . . ), Ai ∩ Aj = AiAj = ∅ (i = j) thì


P(∪

n

=1A

)=

n



=1

P(An) (tính c ng tính đ m đư c).
n

Các đi u ki n (i)-(iii) đư c g i là h tiên đ Kolmogorov v xác su t. B
ba (Ω, Φ, P) đư c g i là không gian xác su t.
Đ nh nghĩa 1.1. Gi s (Ω1, Φ1) và (Ω2, Φ2) là hai không gian đo. Ánh

x X : Ω1 −→ Ω2 g i là ánh x Φ1/Φ2 đo đư c n u v i m i B ∈ Φ2 thì X 1(B) ∈ Φ1.
M nh đ 1.1. 1. Gi s Φ1, Γ1 là hai σ-đ i s các t p con c a Ω1, Φ2, Γ2
là hai σ-đ i s các t p con c a Ω2. Khi đó, n u Φ1 ⊂ Γ1, Γ2 ⊂ Φ2 và X : Ω1 → Ω2
là ánh x Φ1/Φ2 đo đư c thì X là ánh x Γ1/Γ2 đo đư c.

2. Gi s X : Ω1 → Ω2 là ánh x Φ1/Φ2 đo đư c, Y : Ω2 → Ω3 là ánh

x Φ2/Φ3 đo đư c. Khi đó Y ◦ X : Ω1 → Ω3 là ánh x Φ1/Φ3 đo đư c.

3. Gi s Φ2 = σ(Χ). Khi đó ánh x X : Ω1 → Ω2 là Φ1/Φ2 đo đư c khi và ch


khi X 1(C) ∈ Φ1 v i m i C ∈ Χ.

5


Đ nh nghĩa 1.2. Gi s (Ω, Φ, P) là không gian xác su t, Γ là σ- đ i
s con c a σ- đ i s Φ. Khi đó ánh x X : Ω → R đư c g i là bi n ng u nhiên Γ- đo
đư c n u nó là ánh x Γ/Β(R) đo đư c (t c là v i m i B ∈ Β(R) thì


X 1(B) ∈ Γ).
Trong trư ng h p đ c bi t, khi X là bi n ng u nhiên Φ- đo đư c, thì
X đư c g i m t cách đơn gi n là bi n ng u nhiên.
Đ nh nghĩa 1.3. Gi s (Ω, Φ, P) là không gian xác su t, X : Ω → R là bi n ng
u nhiên và Γ là σ−trư ng con c a Φ. Khi đó, kỳ v ng có đi u
ki n c a X đ i v i σ−trư ng Γ là bi n ng u nhiên Y th a mãn:
(i) Y là bi n ng u nhiên Γ−đo đư c;
(ii) V i m i A ∈ Γ, ta có
A

Y dP =

A

XdP.

Ký hi u Y = E(X|Γ).
Trong toàn b lu n văn này, chúng ta xét m t không gian xác su t
đ y đ có l c (Ω, Φ, (Φn)n∈N, P).
Đ nh nghĩa 1.4. Dãy các bi n ng u nhiên X = (Xn)n∈N đư c g i là
(Φn)−martingale n u

(i) X = (Xn) ∈ N là quá trình (Φn)−phù h p;
(ii) E|Xn| < ∞ v i m i n ∈ N;

(iii) V i m i m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Φm) = Xm h.c.c.

Martingale X = (Xn) ∈ N đư c g i là martingale bình phương kh

tích n u E(|xn|2) < ∞; ∀ n ∈ N. Ký hi u t p t t c các martingale bình
phương kh tích là Μ2.

Đ nh nghĩa 1.5. Dãy các bi n ng u nhiên X = (Xn) ∈ N đư c g i là
(Φn)−martingale dư i n u các đi u ki n (i) và (ii) đư c th a mãn và
(iii') V i m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Φm) ≤ Xm h.c.c.

Đ nh nghĩa 1.6. Dãy các bi n ng u nhiên X = (Xn)n∈N đư c g i là
(Φn)−martingale trên n u các đi u ki n (i) và (ii) đư c th a mãn và
(iii") V i m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Φm) ≥ Xm h.c.c.
6


Đ nh nghĩa 1.7. Dãy các bi n ng u nhiên X = (Xn)n∈N đư c g i là
(Φn)−hi u martingale n u các đi u ki n (i) và (ii) đư c th a mãn và
(iii") V i m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Φm) = 0 h.c.c.

B đ 1.1. Gi s {Xn}n∈N là m t Φn-martingale, và xác đ nh ξn =
Xn − Xn−1. Khi đó {ξn}n∈N là m t Φn-hi u-martingale.
B đ 1.2. Gi s {ξn}n∈N, n ∈ N là môt dãy các bi n ng u nhiên đ c
l p sao cho Eξn = 0 và E |ξn| < ∞, v i m i n ∈ N. Đ nh nghĩa

Zn = n=1 ξi. Khi đó {Zn}n∈N là m t Φn-martingale và {ξn}n∈N, n ∈ N i
là m t Φn-hi u-martingale.
B đ 1.3. Gi s {ξn}n∈N là môt dãy các bi n ng u nhiên đ c l p sao cho Eξn = 0 và
E |ξn| < ∞, v i m i n ∈ N và (Φn)n∈N là b l c đư c
sinh ra b i {ξn}n∈N. Gi s {yn}n∈N là m t dãy các bi n ng u nhiên Φn-

đo đư c. Đ t Zn+1 = n=0 yiξi+1. Khi đó {Zn}n∈N là m t Φn-martingale i
B đ 1.4. Gi s {Xn}n∈N là m t dãy các bi n ng u nhiên đ c l p
Φn-đo đư c. N u EXn = 1 và Zn = n=1 Xi, v i m i n ∈ N. Khi đó i
{Zn}n∈N là m t Φn-martingale.

B đ 1.5. Gi s {ξn}n∈N là m t hi u-martingale, bình phương kh

tích. Khi đó t n t i m t dãy {µn}n∈N c a Φn-hi u-martingale và m t dãy ng u
nhiên dương Φn−1-đo đư c {ηn}n∈N sao cho v i m i n = 1, 2, ...
h u ch c ch n.
µ n = ξ 2 − E ξ 2 /Φ n −1 .
trong đó ηn = E ξ2/Φn−1 , n
2
ξ = µ n + ηn , n
n

n

B đ 1.6. N u {Xn}n∈N là m t dãy ng u nhiên tăng v i E |Xn| < ∞
v i ∀n ∈ N thì {Xn}n∈N là m t martingale dư i.
B đ 1.7. N u {Xn}n∈N là m t Φn-martingale không âm, thì limn Xn
→∞
t n t i, h.c.c.
Đ nh lý 1.1. Gi s r ng {Xn}n∈N là m t Φn-martingale dư i. Khi đó
t n t i m t Φn-martingale {Mn}n∈N và m t dãy ng u nhiên tăng Φn−1-đo đư
c {An}n∈N sao cho v i ∀n = 1, 2, ...

h u ch c ch n.

Xn = M n + An,
7

(1.1)


Đ nh lý 1.2. Gi s {Xn}n∈N là m t Φn-martingale dư i không âm
v i khai tri n Doob's (1.1). Khi đó, {A < ∞} ⊆ {Xn →} . Trong đó


{Xn →} là t p t t c các ω ∈ Ω mà nlim Xn(ω) t n t i và h u h n. →∞
B đ 1.8. Gi s {Zn}n∈N là m t quá trình Φn-đo đư c không âm, v i
E |Zn| < ∞ v i m i n ∈ N và
Zn+1 ≤ Zn + un − υn + ςn+1,

n = 0, 1, 2, ...,

trong đó {ςn}n∈N là m t Φn-hi u-martingale, {un}n∈N, {υn}n∈N là các quá
trình Φn-đo đư c không âm và E |un| , E |υn| < ∞ v i m i n ∈ N. Khi đó


ω:
n=1



un < ∞

ω:



n=1

υn < ∞

đây {Zn →} là t p các ω ∈ Ω trong đó limn

∩ {Zn →} .

Z t n t i và h u h n.

→∞ n

Ch ng minh. Ta có
Zn+1 = Zn + un − υn + ςn+1 − (Zn − Zn+1 + un − vn + ςn+1)

(1.2)

= Zn + un − υn + ςn+1 − wn+1,
trong đó wn+1 = Zn − Zn+1 + un − υn + ςn+1 là m t quá trình Φn+1-đo
n
đư c. Vì dãy Zn =
w là dãy tăng và Φ -đo đư c v i E |Z | ≤ i=1 i
n

n

n

E |w | < ∞ v i m i n ∈ N, nên theo b đ 1.6 {Z }

i=1

i

là m t
Φn-martingale dư i. Do đó, theo Đ nh lý 1.1 chúng ta có bi u di n
Zn+1 = Cn + Mn(1) , +1
trong đó

n n∈

Mn(1)

n∈N

N

là m t Φn-martingale và {Cn}n∈N quá trình tăng

+1

Φn-đo đư c. K t h p v i (1.2) ta thu đư c
Zn+1 = Z0 + Un − (Vn + Cn) + (Mn+1 − Mn(1) ), +1

(1.3)

trong đó Un = n=1 ui, Vn = n=1 υi, Mn = n=1 ςi. Chúng ta đ nh nghĩa
(1)

i

i

i

M n = Mn − Mn , U n = Z0 + Un. Khi đó đó theo phương trình (1.3) v i
m i n ∈ N thì
Zn+1 + (Vn + Cn) = U n + M n+1 = Yn+1.

(1.4)


8


Dãy ng u nhiên {Yn}n∈N đư c đ nh nghĩa b i (1.4) là m t Φn-martingale
dư i không âm, và nó có th đư c phân tích duy nh t thành t ng c a
Φn-martingale dư i {Mn}n∈N và m t dãy tăng Φn-đo đư c U n n∈N, đó
là Yn+1 = U n + M n+1. Theo đ nh lý (1.2) chúng ta k t lu n r ng
Ω1 = U < ∞ ⊆ {Yn →} .


(1.5)

Đi u này có nghĩa là limn Yn t n t i h u ch c ch n trên Ω1 và dó đó
→∞
Yn+1 b ch n trên Ω1 h u ch c ch n. Theo v trái c a (1.4) chúng ta có
khai tri n khác c a Yn+1, c th là

Yn+1 = Zn+1 + (Vn + Cn).

(1.6)

Vì Yn+1 b ch n h u ch c ch n trên Ω1 và quá trình Zn+1 là không âm,
quá trình Vn + Cn cũng b ch n trên Ω1 h u ch c ch n. Vì Vn và Cn tăng, có gi i
h n h u h n h u ch c ch n limn
limn

Z cũng t n t i trên Ω1.

→∞

Vn và limn

C trên Ω1. Do đó gi i h n

→∞ n

→∞ n

Gi thi t 1.1. {ξn}n∈N là m t dãy các bi n ng u nhiên Φn-đo đư c,
trong đó
Eξ2 = 1, n và E|ξn|3
b ch n đ u,
E [ξn/Φn−1] = 0,

(1.7)

và m i ξn có hàm phân ph i pn th a mãn
lim x3pn(x) = 0.

|x|→∞

(1.8)

Đ nh lý 1.3. Xét φ : E → E sao cho t n t i δ > 0, và φ : E → E th a
mãn
(i) φ ≡ φ trên U = [1 − δ, 1 + δ] ,
δ
(ii) φ ∈ C3(E), φ (x) ≤ M v i M b t kỳ và v i m i x ∈ E,

φ − φ dx < ∞.

(iii)
E

Gi s fn và gn là các bi n ng u nhiên b ch n đ u Φn-đo đư c. Và
{ξn}n∈N là m t dãy các bi n ng u nhiên th a mãn gi thi t 1.1. Khi đó

E φ(1 + fnh + gn hξn+1)/Φn
φ
= φ(1) + φ (1)fnh + (1)g2h + hfnO(h)
2
n
+hg2O(h), n
9

(1.9)


trong đó O(h) → 0 h i t đ u theo n khi h → 0.
Ch ng minh. Đ cho ng n g n, chúng ta s gi
tương ng và s d ng kỳ v ng không có đi u
trư ng h p t ng quát đư c th c hi n tương t

s fn và gn là h ng s
ki n, ch ng minh trong
. Ch ng minh bao g m

hai ph n chính, đ u tiên chúng tôi đưa ra công

th c (1.9) đ i v i E φ .

Sau đó, chúng tôi s ch ng minh r ng φ là m t x p x t t c a φ. Chính
xác hơn, chúng ta ch ng minh ư c lư ng sau đây cho sai s E[φ − φ] =
hg2O(h).
Theo công th c Taylo m r ng

φ(1 + x) = φ(1) + φ (1)x + φ2 x2 + φ 6(θ)x3,

v i θ n m gi a 0 và x. Thay x = f h + g hξ và l y kỳ v ng. S d ng
tính ch t c a {ξn}n∈N ta thu đư c E(x) = fnh, Ex2 = f 2h2 + g2h và do
đó
E
Eφ(1 + x) = φ(1) + φ (1)f g + φ g2h + φ f 2h2 + [φ (θ)x ]. 3
2
2

6

Vì φ (θ) b ch n đ u chúng ta có th ư c lư ng,
E[φ (θ)x3] ≤ M E x3 ≤ f h2O(f √h) + g2hO(g√h) + g2hO(f h).
6
6

Ti p theo chúng ta kí hi u c1 = 1 + hf , c2 = hg và tìm m t ư c lư ng

cho sai s ∆ = E φ(c1 + c2ξ) − φ(c1 + c2ξ) , ta có

φ(c1 + c2ξ) − φ(c1 + c2ξ) p(ξ)dξ

∆=
E

=

(φ(r) − φ(r))p(r − c1 )|dr|
c2

E

=
E/U

δ

(φ(r) − φ(r))p(r − c1 )|dr|,
c2

10

c2
c2


trong đó, bi n r = c1 + c2ξ và b đi U trên c n l y tích phân b i vì
δ
φ(r) − φ(r) = 0 trên U . Bây gi chúng ta ư c lư ng
δ

1

|∆| ≤ sup p r − c1

c2

r∈U
δ
/

≤ |c2|2C sup p r − c1
r∈U

δ

/

φ(r) − φ(r) dr

|c2|

E

1
|c2|3

c2

p(y)y3

= hg2C sup
r∈U /
δ

,
3

(r − 1 − hf )


trong đó y = (r − 1 − hf )/ hg. N u ho c h b ch n, và f, g → 0 ho c
|f | , |g| b ch n và h → 0, d th y y → ∞ đ u trên r ∈ E/U . Do đó theo
δ
3
3
đi u ki n (r − 1 − hf ) b ch n b i 0, gi thi t p(y)y → 0 suy ra
sup p(y)y3/(r − 1 − hf )3 = O(h),
r∈U /
δ

do đó, |∆| ≤ hg2O(h).
Đ nh nghĩa 1.8. Gi s {X, Xn, n 1} là h bi n ng u nhiên cùng xác
đ nh trên không gian xác su t (Ω, Φ, P). Ta nói:
• Dãy {Xn, n 1} h i t h u ch c ch n đ n X khi n → ∞ n u t n
t i t p N ∈ Φ sao cho P(N ) = 0 và Xn(ω) → X(ω) khi n → ∞ v i m i
ω ∈ Ω∴N .
Ký hi u Xn → X h. c. c. ho c Xn − c.→ X khi n → ∞.
h. c.
−−
• Dãy {Xn, n
1} h i t đ y đ đ n X khi n → ∞ n u v i m i
ε > 0 thì

c

n=1

P(|Xn − X| > ε) < ∞.

Ký hi u Xn − X khi n → ∞. →
• Dãy {Xn, n 1} h i t theo xác su t đ n X khi n → ∞ n u v i
m i ε > 0 thì
lim P(|Xn − X| > ε) = 0.

n→∞

Ký hi u Xn −P X khi n → ∞. →
11


• Dãy {Xn, n

1} h i t theo trung bình c p p > 0 đ n X khi

n → ∞ n u X, Xn (n 1) kh tích b c p và nlim E|Xn − X|p = 0. →∞
Λ

Ký hi u Xn −p X khi n → ∞. →
• Dãy {Xn, n 1} h i t theo phân ph i (h i t y u) đ n X khi
n→∞n u
v i m i x ∈ C(F ).

lim Fn(x) = F (x)

n→∞

Trong đó Fn(x) và F (x) tương ng là hàm phân ph i c a các bi n ng u
nhiên Xn và X, C(F ) là t p h p các đi m mà t i đó F (x) liên t c.
d

Ký hi u Xn − X. →
H i t h u ch c ch n còn đư c g i là h i t v i xác su t 1, h i t
theo trung bình c p p còn đư c g i là h i t trong Λp.
1.2

Các khái ni m cơ b n v

n đ nh

L y (Ω, Φ, Φn, P) là không gian xác su t đ y đ v i b l c {Φn}. Xét
phương trình sai phân ng u nhiên
xk+1 = F (k, xk) + G(k, xk)ξk, k ∈ Z
x 0 = ϕ0 .
trong đó F : N ⋅ Rd → Rd,
= 0.

(1.10)

G : N ⋅ Rd → Rd th a mãn F (i, 0) = 0, G(i, 0)

Đ nh nghĩa 1.9. (i) Nghi m t m thư ng c a phương trình (1.10) đư c
g i là n đ nh ng u nhiên hay n đ nh theo xác su t n u v i m i
c p ∈ (0; 1) và r > 0 t n t i δ = δ( , r, n0) > 0 sao cho
P{|xn| < r v i m i n ≥ n0} ≥ 1 −

khi |x0| < δ. Ngư c l i, nghi m c a phương trình đư c g i là không
n đ nh.
(ii) Nghi m t m thư ng c a phương trình (1.10) đư c g i là n đ nh ti m
c n ng u nhiên n u nó n đ nh ng u nhiên và v i m i ∈ (0; 1) t n
12


t i δ = δ( , n0) > 0 sao cho
P{nlim xn = 0} ≥ 1 − →∞

khi |x0| < δ.
(iii) Nghi m t m thư ng c a phương trình (1.10) đư c g i là n đ nh
h u ch c ch n n u nó n đ nh ng u nhiên và v i m i x0 ∈ Rd thì
P{nlim xn = 0} = 1. →∞

Đ nh nghĩa 1.10. Nghi m t m thư ng c a phương trình (1.10) đư c
g i là n đ nh mũ h u ch c ch n n u
lim sup 1 log |xn| < 0 h.c.c
n

n→∞

Đ nh nghĩa 1.11. (i) Nghi m t m thư ng c a phương trình (1.10) đư c
g i là n đ nh moment c p p v i p > 0 n u v i ε ∈ (0; 1) t n t i

δ = δ(ε) > 0 sao cho
E|xk|p < ε, ∀k ∈ N.
khi E|xk|p < δ.
(ii) Nghi m t m thư ng c a phương trình (1.10) đư c g i là n đ nh t a
ti m c n moment c p p v i p > 0 n u t n t i δ0 > 0 sao cho
E|xk|p → 0 khi k → ∞.
khi E|xk|p < δ0;
(iii) Nghi m t m thư ng c a phương trình (1.10) đư c g i là n đ nh
ti m c n moment c p p v i p > 0 n u nó n đ nh moment c p p và
n đ nh t a ti m c n moment c p p.

13


Chương 2

Các phương pháp nghiên c u tính
n đ nh c a h sai phân ng u nhiên
2.1

Phương pháp s d ng hàm Lyapunov

Cho {Xn} là m t xích Markov thu n nh t trong m t không gian
Balan Ξ , và V : Ξ → R+ là m t hàm đo đư c đư c hi u như là m t
"chu n", m t "hàm Lyapunov" ho c "hàm năng lư ng". Trong các đ nh
lý m c này, chúng ta gi thi t r ng supxV (x) = ∞. Chúng tôi s
d ng các kí hi u chu n t c Px(A) = P (A/X0 = x) và ExY đ ch xác
su t có đi u ki n c a bi n c A hay kỳ v ng c a bi n ng u nhiên Y
theo đ đo xác su t Px. Đ d ch chuy n (drift) c a hàm V trên xích

Markov X sau n đơn v th i gian là hàm x → Ex [V (Xn) − V (X0)]. D
dàng th y r ng n u P (n, x, •) là xác su t chuy n c a quá trình Markov
Xn thì Ex[V (Xn) − V (X0)] = V (y)P (n, x, dy) − V (x). Gi s r ng
Ξ
g : Ξ → N là m t hàm đo đư c khác. Ta hi u g(x) như là hàm th i gian
ph thu c tr ng thái x. Đ d ch chuy n c a V sau g(x) bư c là hàm
x → Ex V (Xg(x)) − V (X0) .
Cho h : Ξ → R là hàm đo đư c th ba sao cho −h đư c xem như ư c
lư ng đ l n c a hàm đ d i sau th i gian g(x) bư c. Gi s r ng:

• (L1) h b ch n dư i: infx∈Ξ h(x) > −∞.
• (L2) h đ n cu i cùng dương: limV (x)→∞h(x) > 0.
• (L3) g b ch n trên đ a phương: supv(x)≤N g(x)/h(x) < ∞,∀N > 0
14


• (L4) g đ n cu i cùng b ch n b i h: limv(x)→∞g(x)/h(x) < ∞.
Đ i v i m t t p đo đư c B ⊂ Ξ b t kỳ ta đ nh nghĩa:

τB = inf {n > 0 : Xn ∈ B} .
τB đư c hi u là l n tr l i đ u tiên đ n B c a quá trình Xn. T p B đư c
g i là t p h i quy n u Px(τB < ∞) = 1 v i ∀x ∈ B. Nó đư c g i là h i
quy dương n u supx∈BExτB < ∞.

Đ nh lý 2.1. Gi s r ng đ d ch chuy n c a V sau g(x) bư c th a mãn
"đi u ki n d ch chuy n"
Ex V (Xg(x)) − V (X0) ≤ −h(x).

Trong đó V , g, h th a mãn (L1)-(L4). Đ t

τ ≡ τN = inf {n > 0 : V (Xn) ≤ N } .
Khi đó t n t i N0 > 0, ∀N > N0 và x ∈ Ξ b t kì, chúng ta có Exτ < ∞.
Ngoài ra supV (x)≤N Exτ < ∞.
Ch ng minh. Hi n nhiên t đi u ki n d ch chuy n ta suy ra V (x) −
h(x) ≥ 0 v i m i x. Chúng ta ch n N0 sao cho V (inf h(x) > 0 và x)>N
sup g(x)/h(x) < ∞ v i m i N ≥ N0. V i m i N > N0 đ t
V (x)>N

d = sup g(x)/h(x).
V (x)>N

T đi u ki n (L2) và (L4) ta suy ra 0 < d < ∞. Đ t
−H = infx∈Xh(x).
Khi đó t gi thi t (L1) ta có H < ∞. Chúng ta đ nh nghĩa m t dãy
tăng tn các th i đi m d ng xây d ng b ng phương pháp đ quy như sau
t0 = 0,

tn = tn−1 + g(Xtn−1),

n ≥ 1.

Do Xn là xích Markov m nh nên các bi n ng u nhiên
Yn = Xt n ,
15


cũng t o thành m t xích Markov (có th không thu n nh t). B ng quy
n p theo n d dàng ch ng minh đư c r ng ExV (Yn+1) ≤ ExV (Yn) + H
và ExV (Yn) < ∞ v i m i n và x. Ta đ nh nghĩa th i đi m d ng

γ = inf {n ≥ 1 : V (Yn) ≤ N } ≤ ∞.
Rõ ràng

γ ≤ tγ,

h.c.c.

Gi s Fn là σ đ i s sinh b i Y0, ..., Yn. Lưu ý r ng γ là th i đi m d ng
d báo đư c, t c là 1 γ≥i ∈ Fi−1 v i m i i. Chúng ta đ nh nghĩa "năng
{ }
lư ng tích lũy" gi a 0 và γ ∧ n b i
γ∧n

En =

i=0

n

V (Yi) =

i=0

V (Yi)1

{

γ
,

}

và ư c lư ng thay đ i Ex(En − E0) theo m t "ki u mactingale":
n

Ex(En − E0) = Ex

i=1
n

= Ex
≤ Ex
≤ Ex

i=1
n
i=1
n+1

i=1

Ex(V (Yi)1

1

{

1
1

γ≥i

{

{

{

γ≥i

/Fi−1)

}

E (V (Yi)/Fi−1)

} x

γ≥i

E (V (Yi−1) − h(Yi−1)/Fi−1)

} x

γ≥i−1 E (V (Y − ) − h(Y − )/Fi− )
i 1
i 1
1
} x
n

= E x En − E x

i=0

h(Yi)1

γ≥i .
{ }

Trong ư c lư ng này chúng ta đã s d ng V (x) − h(x) ≥ 0 và trong b t
đ ng th c cu i, chúng ta cũng dùng 1 γ≥i ≤ 1 γ≥i−1 và l y t ng t 0
{ }
{
}
t i n + 1. T đây chúng ta thu đư c
n

Ex
i=1

h(Yi)1

{

γ≥i

}

≤ ExV (X0) = V (x).

16

(2.1)


Gi s V (x) > N . N u i < γ thì theo đ nh nghĩa c a γ ta có V (Yi) > N .
Như vây t đ nh nghĩa c a d ta nh n đư c


h(Yi) ≥ d 1g(Yi) > 0,

i < γ.

(2.2)

Cũng theo đ nh nghĩa c a H ta có
h(Yi) ≥ −H,

∀i.

(2.3)

S d ng các ư c lư ng (2.2) và (2.3) vào (2.1) chúng ta có:
n

n

V (x) ≥Ex
i=0

h(Yi)1

{

γ≥i

}

+ Ex
i=0

h(Yi)1

{

γ=i}

(γ−1)∧n
−1

≥d Ex
i=0

g(Yi) − HPx(γ ≤ n).

Lưu ý r ng g(Y0) + ... + g(Yk) = tk+1, suy ra:


V (x) ≥ d 1Ext ∧(n+1) − HPx(γ ≤ n).
γ

L y gi i h n khi n → ∞ (c hai dãy tương ng đang tăng theo n) và
thu đư c
Ext ≤ d(V (x) + H).
γ

Do τ ≤ t nên ta suy ra Exτ < ∞.
γ

Ta xét trư ng h p V (x) ≤ N . L y kỳ v ng có đi u ki n theo bi n Y1
chúng ta có
Exτ ≤ g(x) + Ex(ExY1τ 1(V (Y1 > N ))

≤ g(x) + Ex(d(V (Y1) + H)1(V (Y1) > N ))
≤ g(x) + dH + d(V (x) + H).
Do đó,
sup Exτ ≤ sup g(x) + d(2H + N ).

V (x)≤N

v(x)≤N

Theo gi thi t (L3), v ph i là m t h ng s h u h n. Do v y
sup E τ < ∞.

V (x)
17


Đ nh lý 2.1 ch cho chúng ta th y t p BN = {x ∈ Ξ : V (x) <

N } = V 1(0, N ) là m t t p quay tr l i dương. Đây là đ nh lý t ng quát
hóa nhi u k t qu đã bi t trư c đó. Th t v y, n u ta ch n g(x) ≡ 1 và
h(x) = −C11

V (x)≤C2
{
}

ta nh n đư c tiêu chu n Foster-Lyapunov c đi n

[7] (n u Ξ = Z đư c g i là B đ Pakes [19]). M t cách tương đương,
tiêu chu n Foster-Lyapunov mu n tìm ki m hàm V sao cho ExV (X1) −
V (x) < − < 0 khi V (x) > C2 và supV (x)≤C2 ExV (X1) < ∞.
Trong trư ng h p g(x) = [V (x)] (ký hi u [y] là ph n nguyên c a y)
và h(x) = V (x) − C11 V (x)≤C2 ta nh n đư c tiêu chu n Meyn-Tweedie
{
}
[17]. Chúng ta cũng có th tham kh o các k t qu này trong tài li u
tham kh o c a Fayolle, Malyshev và Menshikovnov.
Chúng ta chú ý r ng đây chúng ta không đòi h i r ng t p h p ph i "nh
" theo nghĩa nó h u h n hay có tính compact. T t nhiên n u ta quan tâm
đ n tính n đ nh, chúng ta c n ch ng minh r ng các t p compact là h i quy
dương. Đ nh lý trên đ m b o cho chúng ta ngay c t p không compact
cũng h i quy dương.
Ta cũng chú ý r ng đi u ki n (L4) không ch có tính ch t k thu t
mà còn đóng vai trò quan tr ng. Chúng ta xét thí d
Ví d 2.1. Cho Ξ = N và xét quá trình Markov (Xn), nh n giá tr trên
Ξ , có xác su t chuy n
p1,1 = 1,

pk,k+1 ≡ pk,

pk,1 = 1 − pk ≡ qk,

k = 2, 3, ...,
trong đó 0 < pk < 1, ∀k ≥ 2 và pk → 1, khi k → ∞. Như v y bư c nh y

c a quá trình có kích thư c +1 ; ho c có bư c nh y −k n u t tr ng thái
k ngay l p t c chuy n đ n tr ng thái 1. Ta gi s qk = 1/k, k ≥ 2. Khi
đó, b t đ u v i X0 = 2, chúng ta có P (τ = n) = 1/(n + 1)n, n = 1, 2, ...
Vì v y

n
Ex τ =
n(n + 1) = ∞.
n=1

Do đó chu i Markov không th h i quy dương. Đ t
V (k) = log(1 ∨ log k),
18

g(k) = k2.


Chúng ta có th ư c lư ng đ d ch chuy n và th y r ng
Exk V (Xg(k)) − V (k) ≤ −h(k),

(2.4)

trong đó h(k) = c1Vk − c2, v i c1, c2 là h ng s dương. D th y r ng (L1)-(L3) đư c
th a mãn, nhưng (L4) thì không. Đi u này gi i thích t i
sao đ nh lý 2.1 không áp d ng đư c m c dù đ l ch âm.
Chúng ta xét trư ng h p đ c bi t khi xích Markov (Xn) đư c cho b i
phương trình sai phân. Cho Ξ và Y là hai không gian Balan, f :
Ξ ⋅ Y → Ξ là hàm đo đư c. Xét phương trình
Xn+1 = f (Xn, ξn+1),

(2.5)

n = 0, 1, 2, ...,

trong đó (Xn) là dãy bi n ng u nhiên đ c l p, cùng phân ph i, nh n giá tr
trên Y , có phân ph i xác su t chung là µ(•). Ta ch ng minh (Xn)
là quá trình Markov thu n nh t. Th t v y, g i Fn là σ−đ i s sinh b i
X0, X1, ..., Xn. D th y Fn đ c l p v i ξn+1. Vì th , v i m i hàm u đo
đư c gi i n i ta có
E[u(Xn+1)/Fn] = E[u(f (Xn, ξn+1)/Fn] = E[u(f (Xn, ξn+1)/Xn].
Hơn n a
P (Xn+1 ∈ A/Xn = x) = P (f (Xn, ξn+1) ∈ A/Xn = x)
= P (f (x, ξn+1) ∈ A) =

Y

1A(f (x, y)µ(dy).

Cho các hàm V, g, h th a mãn các đi u ki n L(1)...L(4) thì ta th y Xn
s quay tr l i dương.
2.2

Phương pháp so sánh nghiên c u tính n đ nh theo moment c a phương trình t a tuy n tính

Gi s Ak(ω), ω ∈ Ω (k = 0, 1, 2, ...) là ma tr n ng u nhiên đ c l p
c n ⋅ n tương ng. Ta ký hi u N0 là t p các s nguyên không âm, R+
là t p các s th c không âm.
19


Xét phương trình sai phân ng u nhiên tuy n tính và phương trình sai
phân ng u nhiên có nhi u dư i đây
xk+1 = Ak(ω)xk,

k ∈ N0.

(2.6)


xk+1 = Ak(ω)xk + f (k, xk),

k ∈ N0.

(2.7)

trong đó, xk ∈ Rd và f là hàm liên t c xác đ nh trên N0 ⋅ Rd, nh n giá
tr trên Rd v i f (k, 0) = 0 v i m i k ∈ N0. Gi s r ng đi u ki n ban

đ u là bi n ng u nhiên x0 nh n giá tr trong Rn, đ c l p v i {Ak(ω)}.
Trư c h t, chúng ta đưa ra các đ nh nghĩa liên quan t i các khái ni m
b ch n, ti m c n và ti p c n c p p c a nghi m t m thư ng xk ≡ 0 c a
phương trình thu n nh t (2.6).
Đ nh nghĩa 2.1. Nghi m c a phương trình (2.6) đư c g i là
(i)

n đ nh m nh trung bình c p p v i b c C n u t n t i h ng s C ≥ 1
sao cho
E( Am−1...An p) ≤ C

ii)

v i m i ∀m > n ≥ 0.

n đ nh m nh t a-ti m c n trung bình c p p n u:
lim E( Am−1...An p) = 0

x→∞

v i ∀ m > n ≥ 0.

Đ nh nghĩa 2.2. Các nghi m c a (2.6) đư c g i là ti p c n đ n 0 v i t c đ
nhanh c p (C, δ) n u t n t i m t h ng s C ≥ 1 và 0 < δ < 1 sao
cho
E( Am−1...An ) ≤ Cδn−m+1 v i ∀m > n ≥ 0.

Đ nh nghĩa 2.3. Các nghi m c a (2.6) đư c g i là ti p c n đ n 0 v i
t c đ nhanh c p (K, p, α) n u t n t i m t h ng s K ≥ 1 p sao cho
2

E( Am−1...An ) ≤ K(n + 1)p/mp

v i ∀m > n ≥ 0.

20


Đ nh nghĩa 2.4. Các nghi m c a (2.6) đư c g i là ti p c n đ n 0 v i t c
đ nhanh c p (K, p, δ) n u t n t i m t h ng s K ≥ 1 p và 0 < δ < 1
2

sao cho
E( Am−1...An ) ≤ K(1/m)pδm−n+1

v i ∀m > n ≥ 0.

Đ nh nghĩa 2.5. Các nghi m c a (2.6) đư c g i là ti p c n đ n 0 v i
t c đ nhanh c p (β, t, p) n u t n t i các dãy dương {βn} và {tn} sao
cho (n + 1)pβn → 0 khi n → ∞ và

E( Am−1...An ) ≤ βmtn.

Ph n ti p theo chúng ta đưa ra các đ nh nghĩa liên quan đ n tính n
đ nh ng u nhiên đ i v i nghi m t m thư ng c a phương trình(2.7).
Đ nh nghĩa 2.6. Nghi m t m thư ng c a (2.7) đư c g i là
(S1) n đ nh trung bình c p p v i p > 0 n u v i m i ε > 0, t n t i m t
δ(ε) > 0 sao cho
E ( x k p) < ε

v i m i k ∈ N0

v i đi u ki n là E( x0 p) < δ0,
(S2) n đ nh t a-ti m c n trung bình c p p v i p > 0 n u t n t i m t

δ0 > 0 sao cho

E( xk p) → 0 khi k −→ ∞

v i đi u ki n là E( x0 p) < δ0,
(S3) n đ nh ti m c n trung bình c p p v i p > 0 n u nó là n đ nh
trung bình c p p và n đ nh t a-ti m c n trung bình c p p.
Chúng tôi đưa ra m t s b đ c n thi t đ s d ng trong vi c ch ng
minh các đ nh lý liên quan đ n tính n đ nh.
B đ 2.1. N u ai ≥ 0 v i m i s nguyên không âm i, thì tích vô h n


i=0

(1 + ai)



h i t khi và ch khi chu i

i=0

ai h i t .
21


Ký hi u [y] là ph n nguyên c a y. Khi đó,
B đ 2.2. N u m t dãy aj h i t đ n 1 và 0 < α < 1, thì
n

lim

n→∞

j=0

[(aj)pα] = 0.

Ch ng minh. L y β > 0 sao cho 1 < β < 1/(α)p. Do an → 1 khi n → ∞
nên t n t i m t s nguyên dương N sao cho n u n ≥ N ta có 0 < an < β.
Như v y,

n

[(a )α] <

j=1

Do (β

p

α)n−N

n

j

N

[(a )pα]

j=1

j

→ 0 khi n → ∞ nên nlim →∞

p

j=N
+1
n
j=0

[β α] v i m i n > N .

[(aj)pα] = 0. B đ đư c

ch ng minh.
Ti p theo chúng tôi s trình bày b đ mà đóng vai trò cơ s cho ph n này.
B đ 2.3. Gi s F (n, s, u) : N0 ⋅ N0 ⋅ R+ → R+ là m t hàm liên t c, đơn đi u
không gi m theo u và gi s {υn} và {xn} là hai dãy dương
th a mãn các đi u ki n tương ng sau:
n −1

υn ≥

xn ≤ ρ(n)

s=0

F (n, s, vs) + pn ,

pn ≥ 0

n −1
s=0

F (n, s, vs) + pn ,

pn ≥ 0

Hơn n a, gi s r ng các đi u ki n sau đây th a mãn v i m i n > s
(a) 0 < ρ(n) ≤ 1 và F (n, s, u) ≤ F (n, s, αu), α ≥ 1, ,
(b) ρ(n) ≥ 1 và αF (n, s, u) ≤ F (n, s, βu), 0 ≤ α ≤ β ≤ 1.
Khi đó,
N u (a) th a mãn, thì xn ≤ ρ(n)υn v i m i n ∈ N0 v i đi u ki n

x0 ≤ ρ(0)υ0.

N u (b) th a mãn, thì xn ≤ n=0 ρ(i)υn v i m i n ∈ N0 v i đi u ki n i
x0 ≤ ρ(0)υ0.
22


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×