Tải bản đầy đủ

Về độ đo phổ ngẫu nhiên và toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------------

TRẦN XUÂN QUÝ

VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TOÁN TỬ
NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------------

TRẦN XUÂN QUÝ

VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TOÁN TỬ

NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành:
Mã số:

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
62 46 01 06

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng
TS. Nguyễn Thịnh
Chủ tịch Hội đồng

T.M Tập thể hướng dẫn

GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng

HÀ NỘI - 2015


L I CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan nh ng k t qu trình bày trong lu n án là m i. Các k t
qu vi t chung v i th y hư ng d n GS. TSKH. Đ ng Hùng Th ng và TS. Nguy n
Th nh, đã đư c s đ ng ý c a các th y hư ng d n khi đưa vào lu n án. Nh ng k t
qu đư c trình bày trong lu n án là trung th c và chưa t ng đư c công b trong b t
kỳ công trình nào khác.
Tác gi lu n án

Tr n Xuân Quý

i


L I C M ƠN
Lu n án đư c hoàn thành dư i s quan tâm, đ ng viên, khích l và
hư ng d n t n tình c a GS. TSKH. Đ ng Hùng Th ng và TS. Nguy n Th nh.
Nhân d p này tác gi xin đư c bày t lòng bi t ơn sâu s c c a mình đ i v i hai Th y.
Tác gi xin đư c c m ơn Ban Giám hi u, Khoa Toán - Tin, Trư ng ĐH Khoa h

c, ĐHTN; B môn Xác su t Th ng kê, Ban ch nhi m Khoa Toán - Cơ - Tin h c,
Phòng sau Đ i h c, Ban giám hi u Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên Hà N i,
Khoa Sau đ i h c, ĐHQGHN đã t o nhi u đi u ki n thu n l i trong su t quá trình
làm nghiên c u sinh.
Tác gi xin c m ơn các thành viên c a seminar Toán t ng u nhiên, đã t o đi u
ki n cho tác gi trình bày và giúp tác gi ki m tra các k t qu nghiên c u.
Tác gi xin g i l i c m ơn t i qu NAFOSTED, đã h tr kinh phí cho tác gi
trong quá trình nghiên c u.
Cu i cùng, tác gi xin bày t lòng bi t ơn các thành viên c a đ i gia đình, đã
luôn đ ng viên, chia s và là ch d a v ng ch c v m i m t.

NCS. Tr n Xuân Quý

ii


M cl c
i

L i cam đoan

ii

L i c m ơn

v

B ng ký hi u

1

M đu

5

Chương 1. M t s ki n th c chu n b
1.1

M t s k t qu v lý thuy t ph c a toán t tuy n tính t t
đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Toán t tuy n tính liên t c . . . . . . . . . . . . . Toán t liên

5

1.1.2

h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán t t liên h p, Hermit,

9

1.1.3

và chu n t c . . . . . Đ nh lý bi u di n ph cho toán t chu

1.1.4

n t c, toán t Hermit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

12
1.2

Toán t ng u nhiên tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1

Đ nh nghĩa, các ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . M t s tính

14

1.2.2

ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . Toán t ng u nhiên tuy n

16

1.2.3

tính b ch n . . . . . . . Toán t ng u nhiên tuy n tính liên h

17

1.2.4

p . . . . . . . Toán t ng u nhiên suy r ng tuy n

23

1.2.5

tính . . . . . .

25
iii



Chương 2. Đ đo ph ng u nhiên và đ nh lý ph cho toán t
ng u nhiên tuy n tính
2.1

2.2

29

Đ nh lý ph cho toán t ng u nhiên tuy n tính chu n t c
và toán t ng u nhiên tuy n tính Hermit . . . . . . . . . .

30

Đ đo ph ng u nhiên suy r ng . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.1

Toán t ng u nhiên chi u . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.2

Đ đo ph ng u nhiên suy r ng . . . . . . . . . . .

35

Chương 3. Toán t

ng u nhiên tr u tư ng trên không gian

unitary xác su t

51

3.1

Không gian Banach xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.2

Toán t ng u nhiên tr u tư ng tuy n tính . . . . . . . . .

63

3.3

Liên h p c a toán t ng u nhiên tr u tư ng tuy n tính trên
không gian Hilbert xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . .

70
77

K t lu n và ki n ngh
K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ki n ngh v nh ng
nghiên c u ti p theo . . . . . . . . . . . . . Danh m c công trình khoa h c c
a tác gi liên quan đ n lu n án

77
78
80
81

Tài li u tham kh o

87

Ch m c

iv


B ng ký hi u
Α, Φ
B(S)
Β(X)
C[a, b]
Η
h.c.c.
Λ(X, Y )
Λ(X)

σ-đ i s
T p các ánh x đo đư c b ch n trên S

σ-đ i s Borel c a X
Không gian các hàm s liên t c trên [a, b]
Không gian Hilbert xác su t
H u ch c ch n
T p các toán t tuy n tính liên t c t X vào Y T p các
toán t tuy n tính liên t c t X vào X

ΛX(Ω)

T p h p các bi n ng u nhiên X-giá tr

0

T p h p các bi n ng u nhiên th c ho c ph c

Λ0(Ω)
Λ+(Ω)

T p h p các bi n ng u nhiên th c không âm

0

ΛH(Ω)

T p h p các bi n ng u nhiên H-giá tr

0

Trư ng s th c ho c ph c

K
(Ω, Φ, P ) Không gian xác su t đ y đ
p-lim
Q
R
r(T )
Ρ(T )

σ(T )

Ξ,Ψ


G

c a s h i t theo xác su t

i

T p h p các s h u t T p h
p các s th c

i

Bán kính ph c a toán t tuy n tính T
Mi n giá tr c a toán t tuy n tính T T p ph

h

c a toán t tuy n tính T . Các không gian
Banach xác su t.

n

v


M đu
1. Lý do ch n đ tài
Môi trư ng chúng ta đang s ng là m t môi trư ng ng u nhiên, luôn b can thi
p và tác đ ng b i các nhân t ng u nhiên. Chính vì v y mà Gi i tích trong môi
trư ng ng u nhiên (g i t t là Gi i tích ng u nhiên) là m t lĩnh v c Toán h c phát
tri n nhanh và m nh c v lý thuy t và ng d ng. M t s lư ng l n các bài báo v Gi i
tích ng u nhiên đư c tóm t t trong Math.Review đã minh ch ng đi u đó. Gi i
tích ng u nhiên mang tính liên ngành, có quan h m t thi t v i nhi u chuyên
ngành toán h c khác.
Lý thuy t toán t ng u nhiên tuy n tính là m t trong nh ng hư ng nghiên c u l
n c a Gi i tích ng u nhiên. Toán t ng u nhiên tuy n tính thu hút đư c s quan tâm
c a nhi u nhà nghiên c u không ch b i nó là s m r ng t t t đ nh sang ng u nhiên
c a lý thuy t các toán t tuy n tính mà còn v t m ng d ng r ng l n c a nó trong
nhi u ngành khoa h c khác. N u như lý thuy t các toán t tuy n tính t t đ nh là m
t lâu đài đ s c a toán h c, đã tích lũy đư c m t n i dung h t s c phong phú, các k t
qu và phương pháp c a nó đư c ng d ng trong nhi u ngành khác nhau c a toán
h c lý thuy t và toán ng d ng thì lý thuy t toán t ng u nhiên
tuy n tính hãy còn non tr và đang

giai đo n phát tri n ban đ u. Hi n

t i lý thuy t các toán t ng u nhiên tuy n tính đã thu đư c m t s k t qu m i, lý thú
cùng v i nhi u bài toán còn b ng (xem [38]-[48]).
1


Hơn n a th k tr l i đây, hư ng nghiên c u này đã nh n đư c s quan
tâm c a nhi u nhà toán h c và thu đư c nhi u k t qu . Tuy nhiên, ph n l n các k t
qu nghiên c u c a lý thuy t toán t ng u nhiên l i t p trung vào phương trình toán
t ng u nhiên, ch y u là đi m b t đ ng ng u nhiên, m r ng các k t qu m t cách
riêng l , không h th ng. Kh i đ u v i các k t qu nghiên c u v đi m b t đ ng ng u
nhiên là O. Hans và A. Spacek trong nh ng năm 1950 (xem [25]-[28]). Sau các
k t qu này, nhi u k t qu m r ng đã đư c ch ng minh. Lý thuy t toán t ng u nhiên
th c s đư c ti p thêm s c m nh b i s ra đ i c a các cu n sách Random integral
equations (1972) c a A.T. Bharucha-Reid. V i các k t qu nghiên c u c a A.V
Skorohod và là tác gi cu n sách Random Linear Operators (1984), nghiên c
u toán t ng u nhiên trong không gian Hilbert, xem xét s h i t y u và m nh c a
các toán t ng u nhiên, hàm các toán t ng u nhiên, phương trình và tích phân ng
u nhiên. Đã thu hút nhi u nhà toán h c m r ng các k t qu c a lý thuy t toán t ng
u nhiên. Nhi u nhà toán h c đã thành công trong vi c m r ng các k t qu . C th
hơn, g n đây nhóm nghiên c u đ ng đ u là Guo Tiexin đã thu đư c nhi u k t qu
ng u nhiên hóa các k t qu c a gi i tích hàm (xem [20]-[24]). Trong nư c, d n đ u
là GS. Đ ng Hùng Th ng cùng nhóm h c trò, t cu i nh ng năm 1980 tr l i đây b t
đ u nghiên c u v lý thuy t toán t ng u nhiên và đã thu nhi u k t qu (xem [38][48]). C th , v hư ng đi m b t đ ng ng u nhiên và phương trình ng u nhiên đư c
công b trong các công trình tiêu bi u là [2],[46],[48]; thác tri n toán t ng u nhiên
[3],[45]...
M t ch đ l n chính th ng c a lý thuy t toán t tuy n tính (t t đ nh) là lý thuy
t ph các toán t tuy n tính (g i t t là lý thuy t ph ). Theo s hi u bi t c a chúng tôi,
các k t qu nghiên c u v lý thuy t ph các toán t ng u nhiên tuy n tính đ n nay
còn tương đ i ít. Thành th
chúng tôi đã ch n đ tài nghiên c u cho lu n án là: V đ đo ph ng u
2


nhiên và toán t ng u nhiên tr u tư ng tuy n tính v i hy v ng g t hái
đư c nh ng k t qu m i trong lĩnh v c nghiên c u đ y h a h n này.
2. M c tiêu nghiên c u
Tìm đư c d ng ng u nhiên c a các đ nh lý ph t t đ nh (ch ng h n như đ nh lý
bi u di n ph c a toán t chu n t c, toán t t liên h p...).
Nói cách khác m c tiêu lu n án là m r ng các đ nh lý ph c a toán t tuy n tính t
t đ nh sang trư ng h p toán t ng u nhiên tuy n tính.
3. Đ i tư ng nghiên c u
Các toán t ng u nhiên tuy n tính trên không gian Hilbert.
4. Phương pháp nghiên c u
Lu n án s d ng các công c và k t qu c a xác su t, gi i tích, gi i tích hàm (lý
thuy t các toán t tuy n tính, không gian Hilbert), lý thuy t đ đo véc tơ, lý thuy t
xác su t trên các không gian vô h n chi u.
5. Ý nghĩa khoa h c và th c ti n
Các k t qu c a lu n án b sung và làm phong phú thêm v lý thuy t
các toán t ng u nhiên tuy n tính. N u như lý thuy t ph các toán t
tuy n tính t t đ nh đã có r t nhi u áp d ng trong phương trình vi phân, phương
trình đ o hàm riêng, v t lý h c thì có cơ s đ hy v ng r ng lý thuy t ph các toán t
ng u nhiên tuy n tính s tìm đư c áp d ng trong phương trình vi phân ng u
nhiên, phương trình đ o hàm riêng ng u nhiên, v t lý th ng kê, v t lý lư ng t .
6. C u trúc lu n án
Lu n án đư c trình bày trong ba chương.
Chương 1: Trình bày th ng nh t m t s khái ni m cơ b n và m t s
k t qu c a các tác gi khác mà đư c s d ng trong ph n sau c a lu n án. Trư c tiên
chúng tôi trình bày l i m t s khái ni m và k t qu v toán t tuy n tính t t đ nh, đ đo
ph t t đ nh, tích phân c a hàm đo đư c b ch n đ i v i đ đo ph t t đ nh và m t s k
t qu liên quan, ch ng h n
3


như: Đ nh lý h i t b ch n đ i v i đ đo ph t t đ nh và k t qu bi u
di n ph c a toán t t t đ nh s đư c xây d ng phiên b n ng u nhiên
Chương 2. Ti p theo chúng tôi trình bày l i khái ni m v toán t ng u nhiên tuy n
tính và m t s k t qu đã đ t đư c và toán t ng u nhiên suy r ng tuy n tính.
Chương 2: Trình bày m t ph n k t qu chính c a lu n án v bi u di n ph c a
toán t ng u nhiên tuy n tính: trư c tiên chúng tôi đưa ra đ nh nghĩa đ đo ph ng
u nhiên, toán t ng u nhiên chi u và đ đo ph ng u nhiên suy r ng. Xây d ng tích
phân c a hàm đo đư c b ch n đ i v i đ đo ph ng u nhiên suy r ng. Ch ng minh
đư c đ nh lý h i t b ch n đ i v i đ đo ph ng u nhiên suy r ng và m i đ đo ph ng u
nhiên suy r ng có b n sao là đ đo ph ng u nhiên.
Chương 3: Chúng tôi đưa ra khái ni m không gian ng u nhiên t ng quát, ch
ng h n như: không gian tuy n tính xác su t, không gian đ nh chu n xác su t,
không gian Banach xác su t và không gian Hibert xác su t. Ti p theo chúng tôi
trình bày khái ni m toán t ng u nhiên tr u tư ng tuy n tính, m r ng m t s k t qu
đ t đư c trên không gian ng u nhiên t ng quát. Chúng tôi ch ng minh đư c
phiên b n ng u nhiên c a đ nh lý bi u di n Riesz. Ng u nhiên hóa k t qu c a
Friedrichs - Stone -Wintner trong trư ng h p t t đ nh cho toán t đ i x ng n a b
ch n. Ch ra đư c r ng
n u Φ : D(Φ) → Η là toán t ng u nhiên tr u tư ng tuy n tính t liên
h p và α là s ph c v i ph n o khác không thì Φ = αI − Φ : D(Φ) → Η
−1

α

là song ánh và (Φ ) : Η → Η là toán t ng u nhiên tr u tư ng tuy n
α

tính chu n t c.
Hà N i, ngày 05 tháng 15 năm 2015
Tác gi lu n án
NCS. Tr n Xuân Quý
4


Chương 1

M t s ki n th c chu n
b
1.1

Mts

k t qu

v

lý thuy t ph

ca

toán t tuy n tính t t đ nh
Trong m c này s trình bày toán t tuy n tính liên t c, toán t tuy n tính
liên h p, đ i x ng, chu n t c, t liên h p, đ nh lý bi u di n ph cho toán t chu n t c.
M t s k t qu liên quan đ n các bài toán m r ng cho toán t ng u nhiên cũng s đư
c trình bày.

1.1.1

Toán t tuy n tính liên t c

Gi s H1 và H2 là hai không gian vector trên trư ng K. Toán t tuy n
tính T t H1 vào H2 là m t ánh x tuy n tính t D(T ) vào H2 (v i D(T )
là m t không gian con c a H1, và ta có th vi t là T : ∆(T ) ⊂ H1 → H2).
D(T ) đư c g i là mi n xác đ nh c a T, t p h p Ρ(T ) = {T x : x ∈ D(T )}
đư c g i là mi n giá tr c a T (hay là nh c a T ). Vì ch xét toán t tuy n
tính, nên xuyên su t ph n này ta s th ng nh t g i là toán t thay vì g i
5


toán t tuy n tính.
N u H1 = H2 = H thì T đư c g i là toán t trên H. Toán t t H vào
K đư c g i là phi m hàm tuy n tính. Mi n giá tr c a toán t T là không
gian con c a H2. M t toán t là đơn ánh n u và ch n u T x = 0 suy ra
x = 0. Trong trư ng h p này toán t ngư c T

−1

c a T đư c xác đ nh như

sau




D(T 1) = Ρ(T ), T 1y = x v i y = T x ∈ Ρ(T ).
Ta có T

−1

là toán t t H2 vào H1. V i toán t T t H1 vào H2 và a ∈ K,

toán t aT đư c xác đ nh như sau
D(aT ) = aD(T ), (aT )x = a(T x) v i x ∈ D(aT ).
Xét hai toán t S, T t H1 vào H2, toán t t ng S + T đư c xác đ nh như
sau
D(S + T ) = D(S) ∩ D(T ), (S + T )x = Sx + T x v i x ∈ D(S + T ).
N u S là toán t t H1 vào H2 và T là toán t t H2 vào H3 thì toán t
tích T S đư c đ nh nghĩa như sau
D(T S) = {x ∈ D(S) : Sx ∈ D(T )}, (T S)x = T (Sx) v i x ∈ D(T S).
Gi s S và T là hai toán t t H1 vào H2. Toán t T đư c g i là m t m
r ng (hay thác tri n) c a S n u ta có
D(S) ⊂ D(T ) và Sx = T x v i x ∈ D(S).
Ta ký hi u S ⊂ T .
Gi s H1 và H2 là hai không gian đ nh chu n v i chu n tương ng là

• 1, • 2. Toán t T t H1 vào H2 đư c g i là liên t c t i x ∈

D(T ) n u,

v i m i dãy (xn) ⊂ D(T ) th a mãn limn xn = x thì ta có limn T xn = T x. Toán t T đư c
g i là liên t c n u nó liên t c v i m i x ∈ D(T ). Toán
6


t T đư c g i là b ch n n u t n t i C



Tx

2

Cx

1

vimi

x ∈ D(T ).
Đ nh lý 1.1.1. ([50], Đ nh lý 4.2). Gi s T là m t toán t t H1 vào H2.
Khi đó ta có các kh ng đ nh sau là tương đương:
(a) T liên t c,
(b) T liên t c t i 0,
(c) T b ch n.
T là toán t b ch n t H1 vào H2, chu n T đư c xác đ nh như sau
T = inf{C

Tx

0:

Cx

2

Ký hi u Λ(H1, H2) là t p các toán t

1

v i m i x ∈ D(T )}.

b ch n t

xác đ nh H1, ta có Λ(H1, H2), .

H1 vào H2 v i mi n

là không gian đ nh chu n, n u H2 là

không gian Banach thì Λ(H1, H2), .

cũng là không gian Banach. N u

S ∈ Λ(H1, H2) và T ∈ Λ(H2, H3) thì T S ∈ Λ(H1, H3) v i chu n
D(T S) = {x ∈ H1 : Sx ∈ D(T ) = H2} = H1

T Sx

3

S.T

. x

23

1

v i m i x ∈ H1.

Ta s ký hi u Λ(H) thay cho Λ(H, H). V i S, U, T ∈ Λ(H) thì ta có
S(T + U ) = ST + SU, (S + T )U = SU + T U.
Toán t I v i mi n xác đ nh D(I) = H và Ix = x v i m i x ∈ H. D th y
r ng I = 1 và IT = T I = T v i m i T ∈ Λ(H). Ta g i I là toán t đ ng
nh t trên H.
Toán t T : ∆(T ) ⊂ H1 → H2 đư c g i là xác đ nh trù m t n u D(T )
là t p trù m t trong H1.
7



23




Đ nh lý 1.1.2. ([50], Đ nh lý 4.5). Gi s T là toán t tuy n tính b ch n
t không gian đ nh chu n H1 vào không gian Banach H2. Khi đó t n t i
duy nh t m t toán t m r ng b ch n S c a T sao cho D(S) = D(T ), và
ta có S = T .
Ti p theo ta xét phi m hàm tuy n tính liên t c xác đ nh trên không
gian Hilbert H. Đ nh lý bi u di n Riesz là m t đ nh lý có ý nghĩa cơ b n trong
toàn b lý thuy t không gian Hilbert.
Đ nh lý 1.1.3. (F. Riesz). ([50], Đ nh lý 4.8). V i m i a ∈ H t n t i
phi m hàm tuy n tính liên t c Ta v i D(Ta) = H và
Ta(x) = a, x

(1.1)

Ta = a .

(1.2)

vi

Ngư c l i, b t kỳ phi m hàm tuy n tính liên t c Ta nào đó trên không gian
Hilbert H đ u có th bi u di n m t cách duy nh t dư i d ng (1.1) trong đó
a ∈ H th a mãn (1.2).
Ti p theo, chúng tôi nh c l i các khái ni m v giá tr riêng, vector riêng,
t p ph và t p gi i c a toán t (toán t tuy n tính t t đ nh). S z đư c g i là giá tr
riêng c a toán t T n u t n t i x ∈ ∆(T )∴{0} sao cho T x = zx, nghĩa là toán t z −T
= zI −T không ph i là đơn ánh (Ker(z −T ) = {0}). Ph n t x đư c g i vector riêng c a
toán t T ng v i giá tr riêng z. Không gian con Ker(z −T ) đư c g i là không gian giá
tr riêng c a z. N u z không ph i là giá tr riêng c a toán t T thì ta đ t R(z, T ) = (z −


T ) 1. T p h p

ρ(T ) = {z ∈ K : z − T đơn ánh, và R(z, T ) ∈ Λ(H)} đư c g i là t p gi i
c a toán t T , v i K là trư ng s th c ho c ph c. N u toán t T không
đóng thì z −T và R(z, T ) cũng không đóng, do đó ρ(T ) = ∅. N u toán t T
8


đóng thì theo đ nh lý đ th đóng ta có ρ(T ) = {z ∈ K : z −T là song ánh}.
Ánh x
R(., T ) : ρ(T ) → Λ(H) , z → R(z, T )
đư c g i là gi i c a toán t T . V i m i z ∈ ρ(T ) toán t R(z, T ) đư c g i
là gi i c a toán t T t i đi m z. T p h p σ(T ) = K∴ρ(T ) đư c g i là t p
ph c a toán t T .

1.1.2

Toán t liên h p

Đ nh nghĩa 1.1.4. Gi s H1, H2 là các không gian Hilbert và toán t


T : ∆(T ) ⊂ H1 → H2 v i mi n xác đ nh ∆(T ) trù m t. Toán t T :




∆(T ) ⊂ H2 → H1 v i mi n xác đ nh ∆(T ) như sau


∆(T ) = {y ∈ H2 : phi m hàm x → T x, y liên t c trên ∆(T )}
th a mãn




T x, y = x, T y v i m i x ∈ ∆(T ), y ∈ ∆(T ),
đư c g i là toán t liên h p c a T . Tương t , ta ký hi u T
liên h p c a T

∗∗

là toán t



Đ nh lý 1.1.5. ([50], Đ nh lý 4.14). Gi s T là toán t xác đ nh trù m t
t H1 vào H2. Khi đó


(a) T b ch n khi và ch khi T ∈ Λ(H2, H1).


(b) N u T b ch n thì T = T .
(c) N u T b ch n thì T

∗∗

là thác tri n liên t c c a toán t T lên toàn b
∗∗

không gian H1. V i T ∈ Λ(H1, H2) ta có T = T.

9






N u S và T xác đ nh trù m t t H1 vào H2 và S ⊂ T thì T ⊂ S . Ta
có k t qu sau.
Đ nh lý 1.1.6. ([50], Đ nh lý 4.19, 4.20). Gi s T1, T2 tương ng là toán
t xác đ nh trù m t t H1 vào H2 và t H2 vào H3. Khi đó






(a) N u T2T1 xác đ nh trù m t, thì ta có T1 T2 ⊂ (T2T1) .






(b) N u T2 ∈ Λ(H2, H3), thì ta có (T2T1) = T1 T2 .
Gi s S, T là các toán t t H1 vào H2, khi đó




(a) N u T xác đ nh trù m t, thì ta có (aT ) = aT , ∀a = 0.






(b) N u T1 + T2 xác đ nh trù m t, thì ta có T1 + T2 ⊂ (T1 + T2) .


(c) N u S ∈ Λ(H1, H2) và T xác đ nh trù m t, thì ta có (T1 + T2) =




T1 + T2 .

1.1.3

Toán t t liên h p, Hermit, và chu n t c

Đ nh nghĩa 1.1.7. 1. Toán t T trên không gian Hilbert H đư c g i là
đ i x ng n u
T x, y = x, T y v i m i x, y ∈ D(T ).
2. Toán t T xác đ nh trù m t trên không gian Hilbert H đư c g i là




toán t chu n t c n u nó b ch n và T T = T T.
T trên không gian Hilbert H đư c g i là t

3. Toán t

liên h p n u



T=T .
4. Toán t T trên không gian Hilbert H đư c g i là Hermit n u nó b
ch n, D(T ) = H và đ i x ng.
10


Toán t t liên h p là toán t chu n t c. N u T là toán t chu n t c
thì z + T cũng là toán t chu n t c, v i m i z ∈ K. N u T đ i x ng và
D(T ) = H thì T t liên h p.
Đ nh lý 1.1.8. ([50], Đ nh lý 5.23, 5.24).
(a) Toán t đ i x ng T trên không gian Hilbert ph c H là t liên h p n u
và ch n u σ(T ) ⊂ R.
(b) N u toán t T t liên h p thì các kh ng đ nh sau là tương đương
(i) z ∈ ρ(T ).
(ii) t n t i c > 0 sao cho (z − T )x

c x v i m i z ∈ D(T ), nghĩa


là (z − T ) là đơn ánh và R(z, T ) < c 1.
(iii) Ρ(z − T ) = H.
K t qu dư i đây đ m b o s t n t i c a toán t t liên h p m r ng
c a l p toán t đ i x ng. M t toán t đ i x ng S trên không gian Hilbert

γx

H đư c g i là b ch n dư i n u t n t i γ ∈ R sao cho x, Sx

2

vi

m i x ∈ D(S).
Đ nh lý 1.1.9. ([50], Đ nh lý 5.32). Gi s S là toán t đ i x ng trên không
gian Hilbert H và th a mãn đi u ki n t n t i γ ∈ R sao cho x, Sx

γx

v i m i x ∈ D(S). Khi đó v i m i θ < γ t n t i toán t m r ng t liên
h p T c a S th a mãn x, T x
θ

θ

θ x 2, ∀x ∈ D(Tθ).

Đ nh lý sau là m t k t qu m r ng cho toán t Hermit b ch n.
Đ nh lý 1.1.10. ([50], Đ nh lý 5.33). Gi s S là toán t Hermit b ch n
trên không gian Hilbert H khi đó t n t i toán t

m r ng t

liên h p

T ∈ Λ(H) c a S th a mãn T = S . N u Ρ(S) trù m t thì m i toán t thác tri n t liên h p c
a S là đơn ánh.
11

2


1.1.4

Đ nh lý bi u di n ph

cho toán t

chu n t c,

toán t Hermit
Trong ph n này chúng tôi s trình bày v đ đo ph và đ nh lý ph cho
toán t chu n t c và toán t Hermit. K t qu ng u nhiên hóa cho v n đ này trong
trư ng h p ng u nhiên s đư c trình bày trong chương 2.
Xét H là không gian Hilbert, M là không gian con đóng c a H. Khi đó v i
x ∈ H có bi u di n duy nh t d ng x = u + v v i u ∈ M và v ∈ M ⊥.
Xét ánh x P v i D(P ) = H và P x = u thì P là m t toán t tuy n tính
trên H, và đư c g i là toán t chi u tr c giao trên M . N u M = {0} thì
P = 0, còn n u M = {0} thì P

= 1. Vì P x = x ∀x ∈ M nên ta có

P 2 = P P = P. Ta l i có Ρ(P ) = M, Ker(P ) = M ⊥. Đ đơn gi n, ta g i toán t chi
u tr c giao là toán t chi u. Ta có đ nh nghĩa v đ đo ph như sau.
Đ nh nghĩa 1.1.11. (xem [11], Chương 5, đ đo ph và tích phân, ho c
xem [15, 18] ). Cho t p h p S, và Α là σ−đ i s các t p con c a S, và H là không gian
Hilbert, đ đo ph trên (S, Α, H) là ánh x E : Α → Λ(H)
th a mãn các đi u ki n sau;
(a) v i m i M ∈ Α, ánh x E(M ) là toán t chi u;
(b) E(∅) = 0 và E(S) = I;
(c) E(M ∩ N ) = E(M )E(N ) v i M, N ∈ Α;
(d) n u {Mn}



=1 là dãy các t p đôi m t r i nhau trong Α thì n


E∪

=1

Mn = n


n=1

E(Mn).

N u E là đ đo ph trên (S, Α, H) và x, y ∈ H thì
Ex,y(M ) = E(M )x, y
12


là m t đ đo σ− c ng tính trên Α v i bi n phân toàn ph n không vư t
y . V i ánh x f : S → K đo đư c b ch n thì ta đã có đ nh nghĩa

quá x

tích phân c a hàm đo đư c b ch n đ i v i đ đo ph E đư c ký hi u là
Sf

E(ds) (xem [11], trang 130). Đ nh lý h i t b ch n trong lý thuy t đ

đo là m t k t qu kinh đi n, nó là chìa khóa c a các k t qu m r ng v
sau. Đ i v i đ đo ph cũng có k t qu tương t như v y. K t qu dư i đây là đ nh lý
h i t b ch n đ i v i đ đo ph .
Đ nh lý 1.1.12. (xem [11], Đ nh lý 2 trang 132). Gi s E là đ đo ph
trên (S, Α, H). Gi s r ng (fn) là dãy các hàm trong B(S) th a mãn, t n
fn

t iM>0đ

M v i m i n. N u limn

f = f, khi đó v i m i

→∞ n

x ∈ H ta có
lim S
n

fn(s)E(ds)x =

S

f (s)E(ds)x.

→∞

K t qu sau th hi n m i liên h gi a đ đo ph v i toán t chu n t c
và toán t Hermit.
Đ nh lý 1.1.13. (xem [15, 18, 50, 51]).
1. N u E là đ đo ph trên (S, Α, H) và f : S → C là m t hàm đo
đư c b ch n, thì T =


Sf

E(dz) là m t toán t chu n t c, nghĩa là



TT = T T.
2. Gi s T là m t toán t chu n t c và t p ph σ(T ) ⊂ C. Khi đó σ(T )
là t p compact và t n t i đ đo ph E xác đ nh trên các t p Borel c a

σ(T ) th a mãn
T=

σ (T )

zE(dz).

3. Gi s T là m t toán t Hermit và t p ph σ(T ) ⊂ R. Khi đó σ(T )
là t p compact và t n t i đ đo ph E xác đ nh trên các t p Borel c a

σ(T ) th a mãn
T=

σ(T )

13

λE(dλ).

(1.3)


1.2

Toán t ng u nhiên tuy n tính

Trong m c này chúng tôi trình bày khái ni m v toán t ng u nhiên tuy n
tính. Tương t như trong trư ng h p t t đ nh, chúng tôi đưa ra khái ni m
toán t ng u nhiên tuy n tính b ch n theo nghĩa h u ch c ch n, toán t
ng u nhiên tuy n tính liên t c. Đ nh lý 1.2.15 ch ra m t đi u ki n c n và đ đ toán
t ng u nhiên b ch n đư c ch ng minh b i GS. Đ ng Hùng Th ng và TS. Nguy n
Th nh (xem bài báo [43]).

1.2.1

Đ nh nghĩa, các ví d

Gi s X và Y là các không gian Banach kh ly và (Ω, Φ, P ) là không gian
xác su t đ y đ . ΛX(Ω) là t p h p các bi n ng u nhiên trên Ω nh n giá 0
tr trong X (X−giá tr ).
Đ nh nghĩa 1.2.1. (xem [38, 43]).
1. M t ánh x A t X vào ΛY (Ω) đư c g i là m t ánh x ng u nhiên 0
t X vào Y hay còn g i là ánh x ng u nhiên Y −giá tr v i mi n xác
đ nh là X.
2. Ánh x ng u nhiên A t X vào Y đư c g i là ánh x ng u nhiên tuy n
tính n u v i m i x1, x2 ∈ X và λ1, λ2 ∈ R ta có
A(λ1x1 + λ2x2) = λ1A(x1) + λ2A(x2) h.c.c.

(1.4)

Chú ý r ng, t p b qua đư c nói chung ph thu c vào λ1, λ2 và x1, x2.
3. Ánh x ng u nhiên A t X vào Y đư c g i là liên t c ng u nhiên t i
x0 ∈ X n u
p − xlim0 Ax = Ax0.
→x

14

(1.5)



t c là
x

lim0 P

( →x

Ax − Ax0 > t) = 0 ∀t > 0.
4. Ánh x ng u nhiên t X vào Y đư c g i là
toán t ng u nhiên tuy n
tính t X vào Y (hay còn g i là toán t ng u
nhiên tuy n tính Y − giá tr v i mi n xác đ nh
là X) n u nó tuy n tính và liên t c ng u
nhiên.
5. H (ui, i ∈ I) các bi n ng u nhiên Y −giá tr đư c g i
là b ch n ng u
nhiên (hay
b ch n theo
xác su t) n u
lim sup P ( ui > t)
= 0,
(1.6)

t


i

I

và đư c g i là b ch n (hay b ch n h u ch c
ch n) n u t n t i m t
bi n ng u nhiên th c
k(ω) sao cho v i m i i ∈ I
ui(ω)
h.c.c.,

k(ω)
(1.7)

v i t p ω th a mãn b t đ ng th c (1.7) ph
thu c vào i ∈ I.
Dư i đây là ví d v toán t ng u nhiên tuy n
tính. Các ví d này đã
đư c trình bày trong
các tài li u [3, 7],[38]-


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×