Tải bản đầy đủ

Phương pháp hàm và ứng dụng

_„I HÅC QUÈC GIAH€ NËI
TR×ÍNG _„IHÅC KHOAHÅCTÜ NHI–
N

L– H×ÌNG THƒO

PH×ÌNG PHPH€MV€ ÙNG
DÖNG

LUŠN V‹N TH„C Sß KHOA HÅC

H€ NËI - N‹M 2015


_„I HÅC QUÈC GIAH€ NËI
TR×ÍNG _„IHÅC KHOAHÅCTÜ NHI–
N

L– H×ÌNG THƒO

PH×ÌNG PHPH€MV€ ÙNG

DÖNG
LUŠN V‹N TH„C Sß KHOA HÅC
Chuy¶n ng nh : Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p
M¢ sè : 60460113

Sang

NG×ÍI H×ÎNG DˆNKHOAHÅC
PGS.TS Nguy¹n _¼nh

H€ NËI - N‹M 2015


Möc löc
Líi mð _¦u
3
B£ngk½hi»u
51 Ki¸n thùc chu©n bà
6
1.1 C¡c _ành lþ cì b£n v· h m kh£ vi . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.1 _ành ngh¾a _iºm cüc trà . . . . . . . . . . . . . . . .
61.1.2
_ành lþ Fermat . . . . . . . . . . . . . . .
.....
61.1.3
_ành lþ Rolle . . . . . . . . . . . . . . . .
.....
61.1.4
_ành lþ Lagrange . . . . . . . . . . . . . .
.....
71.1.5
_ành lþ Cauchy . . . . . . . . . . . . . . .
.....


8
1.2 Cæng thùc Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.1 Cæng thùcTaylor vîi sè d÷ d¤ng Lagrange . . . . .

81.2.2
Cæng thùc Taylor vîi sè d÷ d¤ng Peano . .
.....
9
1.3 G½a trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.1 _ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 1.3.2
Ph÷ìng ph¡p t¼m GTLN, GTNN . . . . . .
.....
13

2 Ùng döng ph÷ìng ph¡p h m
14
2.1 Ph÷ìng ph¡p h m trong gi£i ph÷ìng tr¼nh . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Ùng döng cæng thùc Taylor . . . . . . . . . . . . . . 14
1


2.1.2 Ùng döng c¡c _ành lþ cì b£n v· h m kh£ vi . . . . .
30
2.2 Ph÷ìng ph¡p h m trong gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh . . . . . . .
51
2.2.1 Cì sð ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51 2.2.2
p döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....
52
2.3 Ph÷ìng ph¡p h m trong chùng minh b§t _¯ng thùc . . . .
57
2.3.1 Cì sð ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57 2.3.2
p döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....
57

3 Gi£i v bi»n luªn ph÷ìng tr¼nh v b§t ph÷ìng tr¼nh
chùa
thamsè
63
3.1 Cì sð ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 p döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

K¸t luªn
69


T i li»u tham kh£o
70

2


Lới m _Ưu
Phữỡng phĂp h m _õng mởt vai trỏ quan trồng trong giÊi
tẵch toĂn hồc v thữớng _ữủc khai thĂc trong cĂc kẳ thi
Olympic quốc gia, quốc tá, ký thi Olympic sinh viản. _Ơy l
mởt cổng cử rĐt hiằu lỹc trong viằc giÊi cĂc b i toĂn liản
quan _án sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂctẵnhchĐtnghiằmcừacĂc
dÔng phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh , bĐt phữỡng trẳnh khĂc
nhau.
Vợi suy nghắ _õ,chúng tổi _Â chồn _ã t i: "Phữỡng phĂp
h m v ựng dửng" _ l m luên vôn cừa mẳnh. Luên vôn
n y trẳnh b y tữỡng _ối _Ưy _ừ cĂc tẵnh chĐt h m khÊ
vi v ựng dửng cừachúng v o viằckhÊo sĂt tẵnh chĐt
nghiằm phữỡng trẳnh,hằ phữỡng trẳnh ,bĐt phữỡng trẳnh.
BÊn luên vôn gỗm ba chữỡng, lới m _Ưu, kát luên, t i liằu
thamkhÊo v mửc lửc:
Chữỡng 1 : Kián thực chuân b: Chữỡng n y trẳnh b y
kián thực cƯn thiát cho chữỡng sau nhữ : tẵnh chĐt cỡ bÊn vã
h m khÊ vi cừa h m mởt bián m trồng tƠm l cĂc _nh lỵ
cỡ bÊn vã h m khÊ vi v cổng thựcTaylor.
Chữỡng 2 : Nhỳng phữỡng phĂp giÊi toĂn cõ ựng dửng kát
quÊ trong chữỡng I ta gồi l phữỡng phĂp h m. Mửc _ẵch
chẵnh cừa chữỡng n y l : ng dửng phữỡng phĂp h m _
giÊi phữỡng


3


trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, bĐt _ng thực.Trong chữỡng n y s
Ăp
dửng khai trin Taylor _ giÊi phữỡng trẳnh bêc ba, bêc bốn,
sỷ dửng tẵnh _ỡn _iằu, _nh lỵ Largange, _nh lỵ Cauchy
_ giÊi phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, bĐt
_ng thực.
Chữỡng 3 : GiÊi v biằn luên phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng
trẳnh chựa tham số: Chữỡng n y trẳnh b y cĂc ựng dửng,
cĂc phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh nhữ
chữỡng II cởng thảm mởt v i phữỡng phĂp mợi _ giÊi v
biằn luên phữỡng trẳnh,bĐt phữỡng trẳnh chựathamsố.
_ ho n th nh luên vôn n y em xin chƠn th nh cÊm ỡn
tợi ngữới thƯy kẵnh mán PGS.TS Nguyạn _ẳnh Sang _Â
d nh nhiãu thới gian hữợng dăn, ch dÔy trong suốt thới gian
xƠy dỹng _ã t i cho _án khi ho n th nh luên vôn. Em xin
chƠn th nh cÊm ỡn tợi cĂc thƯy cổ trong khoa ToĂn - Cỡ -Tin
hồc, Ban GiĂm Hiằu, Phỏng Sau _Ôi hồc trữớng _HKHTN
_Â tÔo _iãu kiằn thuên lủi trong thới gian hồc têp tÔi trữớng.
Mc dũ _Â cõ nhiãu cố gng những do thới gian v nông
lỹc cỏn hÔn chá nản bÊn luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng
thiáu sõt, rĐt mong thƯy cổ v cĂc bÔn gõp ỵ xƠy dỹng. Em xin
chƠn th nh
cÊmỡn!
H Nởi, ng y 25 thĂng 9 nôm
2015
Hồc


vi¶n
L¶H÷ìng
Th£o
4


B£ng c¡c k½ hi»u vi¸t tt
N

N
Z
Z+

Z
R

R
R+

R
i

Tªp c¡c sè tü nhi¶n
Tªp c¡c sè tü nhi¶n kh¡c 0
Tªp c¡c sè nguy¶n
Tªp c¡c sè nguy¶n d÷ìng
Tªpc¡c sè nguy¶n ¥m
Tªp c¡c sè thüc
Tªp c¡c sè thüc kh¡c 0
Tªp c¡c sè thüc d÷ìng
Tªp c¡c sè thüc ¥m
_ìn và £o
Tªp c¡c sè phùc

C

5


Chữỡng 1
Kián thực chuân b
1.1 CĂc _nh lỵ cỡ bÊn vã h m khÊ vi

1.1.1 _nh nghắa _im cỹc tr
Cho khoÊng (a, b) R , h m số f : (a, b) R. Ta nõi rơng h m f
_Ôt
cữc _Ôi _a phữỡng (tữỡng ựng cỹc tiu _a phữỡng) tÔi x0 (a,
b), náu tỗn tÔi mởt số > 0 sao cho (x0, x0+) (a,b) v f(x) f(x0)
(tữỡng ựng f(x) f(x0) ) vợi mồi x (x0 , x0 + ).
Cỹc _Ôi _a phữỡng hoc cỹc tiu _a phữỡng gồi chung l cỹc tr
cừa h m f. _im (x0, y(x0)) l _im cỹc tr.

1.1.2 _nh lỵ Fermat
Cho khoÊng (a, b) R , h m số f : (a, b) R. Náu h m số _Ôt
cỹc
tr tÔi x = c v tỗn tÔi f (c) thẳ f (c) = 0.

1.1.3 _nh lỵ Rolle
GiÊ sỷ h m f :[a,b] R cõ cĂc tẵnh
chĐt:
(1)f liản tửc trản [a, b].
(2) f khÊ vi trong khoÊng (a,b).


(3) f(a) = f(b).
6


Khi _õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt _im c (a, b) sao cho f (c)
= 0.

1.1.4 _nh lỵ Lagrange
GiÊ sỷ h m f:[a,b] R cõ cĂc tẵnh
chĐt:
(1) f liản tửc trản [a, b].
(2) f khÊ vi trong khoÊng (a,b).
Khi _õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt _im c (a, b) sao
cho :
f (b) f (a) = f (c)(b a).

(1)

Nhên xt: _nh lỵ Rolle l trữớng hủp _c biằt cừa _nh lỵ
Lagrange.

HằquÊ
GiÊ sỷ f :[a,b] R liản tửc trản [a,b] v khÊ vi trong khoÊng
[a,b].
Khi _õ:
(a) Náu f (x) = 0 vợi x (a, b) thẳ f l h m hơng trản
[a,b].
(b) Náu f (x) 0(f (x) 0) v f (x) = 0 tÔi hỳu hÔn _im trản (a,b)
thẳ f tông (giÊm) thỹc sỹ trản [a,b].
Chựngminh:
a) GiÊ sỷ a x1 x2 b. Theo _nh lỵ Lagrange tỗn tÔi c
(a, b)


saocho:
f (x2) − f (x1) = f (c)(x2 − x1)

(2).

V¼ f (c) = 0, tø _â suy ra f(x2) = f(x1). Vªy f l h¬ng sè.
b) N¸u f (x) ≥0 vîi måi x ∈ (a, b), th¼ tø (2) do f (c) ≥0
N¶n f(x2) − f(x1) ≥ 0. Vªy f l h m t«ng.
7


1.1.5 _nh lỵ Cauchy
GiÊ sỷ cĂc h m f,g : [a,b] R cõ cĂc tẵnh
chĐt :
(1) f v g liản tửc trản [a,b].
(2) f,g khÊ vi trản (a,b).
Khi _õ tỗn tÔi c (a, b) sao
cho:
[f (b) f (a)]g (c) = [g(b) g(a)]f (c).

(3)
Hỡn nỳa, náu g
(x) khĂc 0 vợi

mồi x (a, b)
thẳ cổng
thực (3) cõ
dÔng:
f (c

(

(a)

4
)

Nhên xt:
_nh lỵ
Lagrange l
trữớng hủp riảng
cừa _nh lỵ
Cauchy
v

g (c)
g(b)g(
a)


îi
h
m

thº vi¸t d÷îi d¤ng
sau:
f

g(x)
=

f (k)(x0)(x − x

(
x
)

x.

k=0

1.2.1 Cæng thùcTaylor vîi sè
d÷ d¤ng Lagrange
Gi£ sû f : [a, b] → R câ _¤o h m _¸n c§p
(n+1) trong kho£ng (a,b),
x0 ∈ (a, b). Khi _â,
vîi ∀x ∈ (a, b), ta câ:
n

f (k)(x0)(x − x )k + f (n+1)(c)(x − x )n+1
(1.4)
k=0

k

0

(n +
1)!

0

trong _â c
n¬m giúa x
v x0 .

Nhªn x²t: V¼ c n¬m giúa x v x n¶n (1.4) câ
n

θ(x − x0))(x −
x )n+1 (1.5)

=

1.2 Cæng
thùc Taylor

f
(x
)
=

)k + f (n+1)(x0 +

0

k

(

0



Trong _õ 0 < < 1. _Ôi lữủng:
f (n+1)(x0 + (x x0))(x x )n+1 0
(n + 1)!
rnx =

_ữủc gồi l số dữ thự n cừa cổng thực Taylor dữợi dÔng
Lagrange.

1.2.2 Cổng thựcTaylor vợi số dữ dÔng Peano
GiÊ sỷ f :(a, b) R khÊ vi _án cĐp n trong mởt lƠn cên n o
_õ cừa
x0 (a, b)

v

f (n)(x)

liản tửc tÔi x0. Khi _õ vợi x trong lƠn cên

nõi trản
cừa x0 ta cõ :
f (x) = f (x0) + 1!

f (x0)(x x ) + ... + f (n)(x0)(x x )n + o((x x )n)
0
0
n!

0

Trong _õ o((x x0)n) l vổ cũng b bêc cao hỡn (x x0)n . Tực
l :
xx lim0

o((xx xx0))n )

=0
(



0 n

_Ôi lữủng rn(x) = o((x x0)n) _ữủc gồi l số dữ dÔng
Peano.

Nhên xt : Khai trin Taylor cừa h m f(x) trong lƠn cên cừa _im
x0 = 0 cỏn _ữỡc gồi l

khai trin Mac-Laurin.

Sau _Ơy l mởt số khai trin Mac-Laurin cừa mởt số h m sỡ cĐp cỡ


b£n.

1) H m f(x) = e . H m n y kh£ vi væ h¤n v
x

n ∈ N.

Taà x0 = 0 ta câ fn(0) = 1 vîi måi n. Do _â :
e

.

x

x + x2 + ... + xn + o(xn)
n!

= 1 + 1! 2!
9

f(n)(x) = ex

vîi måi


2) H mf(x) = sinx kh£ vi måi c§p v
x0 = 0

.

f(n)(x) = sin(x + nπ2). T¤i

ta câ f(2n)(0) = sin nπ = 0, f(2n+1)(0) = (−1)n. Do _â:
x3 + x5 − x7 + ... + (−1)n−1 x2n−1 + o(x2n)
5!
7!
(2n − 1)!
sin x = x − 3!

3) H m f(x) = cosx kh£ vi måi c§p v

f(n)(x) = cos(x + nπ2).

T¤i x0 = 0 ta câ f(2n)(0) = (−1)n, f(2n+1)(0) = 0. Do _â:
.

x2 + x4 − x6 + ... + (−1)n x2n + o(x2n+1)
4!
6!
(2n)!
cos x = x − 2!

4) H m f(x) = ln(1 + x) kh£ vi måi c§p vîi x > −1 v
f (n)(x) = (−1)n−1(n − 1)!(1 + x)


n

. T¤i x0 = 0 ta câ f(n)(0) = (−1)n−1(n − 1)!
Do _â:
ln(1 + x) = 1 − x + x + ... + (−1)n−1 x + o(xn)
2
n
2
3
n

.

5) H m f(x) = (1 + x)α,α ∈ R,(x > −1) câ :
α

f k(x) = α(α − 1)...(α − k + 1)(1 + x)

−k

T¤i x0 = 0 ta câ fk(0) = α(α − 1)...(α − k + 1).Do _â:
α

.

(1 + x) = 1 + αx + α(α2! 1)x2 + ... + α(α − 1)(n! − n + 1) + o(xn)
α


6)Cæng thùc Taylor vîi mët _a thùc: N¸u f(x)= P (x) l mët _a
n

thùc
bªc n cõa x th¼ f(n+1)(x) = 0 vîi måi x. Do _â ta câ:
Pn(x) = pn(a) + 1!

pn(a)(x − a) + p"n(a)(x − a)2 + ... + p(nn)(a)(x − a)n
2!
n!
10



.

1.3 Gẵa tr lợn nhĐt, giĂ tr nhọ nhĐt

1.3.1 _nh nghắa
_nh nghắa 1.3.1.1
Cho h m số f(x) xĂc _nh trản D R.
1) M _ữủc gồi l giĂ tr lợn nhĐt (hay cỹc _Ôi to n cửc) cừa h m
số
trản D náu _ỗng thới thọa mÂn hai _iãu kiằn :
f(x) M, x D v tỗn tÔi x0 D sao cho f(x0) = M
Khi _õ:
M = max f (x)
xD

2) m _ữủc gồi l giĂ tr nhọ nhĐt (cỹc tiu to n cửc)cừa h m số trản
D
náu _ỗng thới thóa mÂn hai _iãu kiằn:
f(x) m x D v tỗn tÔi x1 D sao cho f(x1) = m
Khi _õ :
m = min f (x)
xD

Cỹc _Ôi to n cửc v cỹc tiu to n cửc gồi chung l cỹc tr to n
cửc.

Nhên xt
1) Mởt h m số liản tửc trản [a,b] thẳ _Ôt giĂ tr lợn nhĐt, giĂ tr nhọ
nhĐt trản _oÔn _õ. Kỵ hiằu :
max f (x)
[a,b]

min f (x)
[a,b]

2) Mởt h m số f liản tửc v _ỡn _iằu thỹc sỹ trản [a,b] R
thẳ :


max f (x) = max{f (a), f (b)}
[a,b]

11


min f (x) = min{f (a), f (b)}
[a,b]

3) _im dứng: CĂc _im thuởc têp xĂc _nh cừa h m f(x) m
tÔi _õ
_Ôo h m cừa nõ bơng 0 hoc khổng tỗn tÔi _ữủc gồi l _im dứng
(_im tợi hÔn) cừa h m số _Â cho.
4) GiÊ sỷ f(x) l h m số liản tửc trản [a,b] R v ch cõ mởt số
hỳu
hÔn _iảm tợi hÔn x1, x2, ..., xn. Khi _õ:
max f (x) = max{f (a), f (x1), f (x2), ..., f (xn), f (b)}
[a,b]

min f (x) = min{f (a), f (x1), f (x2), ..., f (xn), f (b)}
[a,b]


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×