Tải bản đầy đủ

luận văn tính nhị phân mũ đều của họ các phương trình vi phân

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

KHOA TOÁN CƠ TIN H C

PH M TU N ANH

TÍNH NH PHÂN MŨ Đ U
C A H CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

Hà N i - Năm 2015


Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN


KHOA TOÁN CƠ TIN H C

PH M TU N ANH

TÍNH NH PHÂN MŨ Đ U
C A H CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH
Mã s : 60 46 01 02

NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C
TS. LÊ HUY TI N

Hà N i - Năm 2015


M cl c
L i c m ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

1 Ki n th c chu n b
1.1

1

Toán t ti n hóa c a phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2
Đ nh lý đi m b t đ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3
Toán t ngh ch đ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2


1.4

Công th c bi n thiên h ng s

2

1.5

B đ Gronwall-Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.......................

2 Nh phân mũ r i r c
2.1

2
4

Nh phân r i r c c a h phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . .
42.2
B t đ ng th c ki u Gronwall r i r c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52.3
M i liên h nh phân mũ r i r c gi a hai h sai phân . . . . . . . . . .

3 Nh phân mũ đ u

9
17

3.1

Nh phân mũ đ u c a h phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . .

17

3.2

M i liên h gi a nh phân mũ r i r c và nh phân mũ đ u . . . . . . . .

20

3.3

Nh phân mũ đ u ph thu c tham s

22

3.4

Đa t p tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...................

K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài li u tham kh o

29
32
33


i


L i c m ơn
Đ hoàn thành đư c chương trình đào t o và hoàn thi n lu n văn này, trong th i
gian v a qua tôi đã nh n đư c r t nhi u s giúp đ c a gia đình, Th y cô và b n bè.
Tôi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i TS. Lê Huy Ti n, Th y r t nhi t tình hư ng d n và
ch b o tôi trong quá trình hoàn thành lu n văn. Th y đã d y cho tôi cách làm vi c cũng
như cách t nghiên c u và cách seminar. Tôi cũng xin g i l i c m ơn sâu s c t i TS. Nguy
n Văn Khiêm - Gi ng viên khoa Toán Tin trư ng Đ i h c Sư ph m Hà N i, Th y luôn đ ng
hành cùng tôi trong các bu i seminar và Th y ch b o thêm cho tôi nhi u ki n th c. Tôi
cũng xin g i l i c m ơn chân thành t i t t c các Th y cô trong Khoa, đ c bi t GS. TS Nguy
n H u Dư, PGS. TS Hoàng Qu c Toàn, PGS. TS Đ ng Đình Châu, nh ng ngư i đã tr c ti
p truy n th ki n th c, gi ng d y tôi trong quá trình h c cao h c.
Tôi xin c m ơn Ban Ch nhi m khoa Toán - Cơ - Tin h c, Phòng sau Đ i h c trư ng Đ i
h c Khoa h c T nhiên đã t o đi u ki n thu n l i đ tôi hoàn thi n các th t c b o v lu n văn.

ii


L i nói đ u
Khái ni m nh phân mũ là m t ch đ chính trong lý thuy t phương trình vi phân
tuy n tính và nó đ c bi t h u ích khi ngư i ta gi i quy t các bài toán phi tuy n mà ph n tuy
n tính có nh phân mũ.
M t trong nh ng tính ch t quan tr ng c a nh phân mũ là tính v ng. Tính v ng nghĩa là
không b thay đ i b i nhi u c a ma tr n h s . Nói rõ hơn, gi s phương
.

trình vi phân tuy n tính x = A(t)x có nh phân mũ đ u,
đây A(t) là hàm ma tr n
th c liên t c theo t c d ⋅ d. N u B(t) cũng là hàm ma tr n th c liên t c theo t c
.

d ⋅ d và sup |B(t) − A(t)| ≤ δ0 đ nh thì phương trình y = B(t)y cũng có nh phân
mũ đ u.

t

Xu hư ng g n đây, các nhà toán h c không đ t lên đi u ki n c a ma tr n h s mà l i đ t
lên dòng sinh ra b i phương trình, t c là đ t lên toán t ti n hóa. Trong lu n
.

văn này không ch xét h đơn gi n x = A(t)x mà xét h các phương trình vi phân ph
thu c tham s
.

x = A(t; λ)x,

λ là tham s .

Trong lu n văn này, chúng tôi ch ng minh chi ti t m i liên h nh phân mũ đ u gi a h
.

.

các phương trình vi phân x = A(t; λ)x ph thu c tham s v i h y = B(t)y. Ý tư ng
ch ng minh tính liên t c c a nh phân mũ đ u cho h phương trình vi phân s chuy n v nh
phân mũ r i r c c a phương trình sai phân. Đ làm rõ đư c ch ng minh trên, chúng tôi đã
tìm hi u cách ch ng minh c a các nhà toán h c sau.
Coppel đã ch ng minh đ nh lý nhi u nhưng k t qu l i

m c đ đơn gi n (xem

[3]). Palmer đã ch ng minh đ nh lý nhi u m t cách t ng quát (xem [7]) và tương đương đ nh
lý nhi u c a Henry (xem [5]), nhưng cách ch ng minh c a Palmer khác c a Henry. Trong lu
n văn này chúng tôi cho m t ư c lư ng hi n liên quan đ n đ nh lý nhi u c a Henry cho nh
phân mũ và làm rõ các đi u ki n biên c a h s . Vì v y k t qu t t hơn so v i đ nh lý nhi u c
a Henry.
Lu n văn đư c chia làm ba chương:

• Chương 1: Ki n th c chu n b . Chương này nh c l i các ki n th c cơ b n mà
trong ch ng minh

các chương sau c n dùng. Các ki n th c chu n b g m có

toán t ti n hóa c a phương trình vi phân, đ nh lý đi m b t đ ng, toán t ngh ch đ o,
công th c bi n thiên h ng s và B đ Gronwall-Bellman.

• Chương 2: Nh phân mũ r i r c. Chương này trình bày nh phân r i r c c a h
iii


phương trình sai phân, b t đ ng th c ki u Gronwall r i r c, m i liên h nh phân
mũ r i r c gi a hai h sai phân.

• Chương 3: Nh phân mũ đ u. Chương này có ch ng minh đ nh lý chính trong
lu n văn. Chương này trình bày nh phân mũ đ u c a h phương trình vi phân,
m i liên h gi a nh phân mũ r i r c và nh phân mũ đ u, nh phân mũ đ u ph thu c
tham s , và ng d ng trên đa t p tích phân.
M t s kí hi u trong lu n văn
C(R, Rd) là không gian các hàm liên t c.
BC(R, Rd) là không gian các hàm liên t c b ch n.
M (d ⋅ d, R) là không gian các ma tr n th c c d ⋅ d.
GL(d, R) là không gian các ma tr n th c kh ngh ch c d ⋅ d.
BC(δ), U(δ) là các hình c u m bán kính δ trong không gian Banach BC và U.
I là ma tr n đơn v .
Hà n i, ngày 20 tháng 10 năm 2015
Ph m Tu n Anh

iv


Chương 1
Ki n th c chu n b
1.1. Toán t ti n hóa c a phương trình vi phân
Xét phương trình vi phân tuy n tính thu n nh t
.

x = A(t)x

(1.1.1)

đây x ∈ Rd, A ∈ C(R, Rd).
G i X(t) là ma tr n nghi m cơ b n c a h (1.1.1), t c là nghi m c a h (1.1.1) th a
mãn
x(t) = X(t)x(0).
Chúng ta đ nh nghĩa X(t, s) = X(t)X−1(s) là ma tr n ti n hóa (hay toán t ti n hóa)
c a h (1.1.1) và th a mãn các tính ch t sau
X(s, s) = I, ∀s ∈ R
X(t, τ )X(τ, s) = X(t, s), ∀t, τ, s ∈ R
X−1(t, s) = X(s, t), ∀t, s ∈ R.

1.2. Đ nh lý đi m b t đ ng
Đ nh nghĩa 1.2.1. Gi s X là không gian metric v i kho ng cách d. Ánh x f : X → X
đư c g i là ánh x co n u t n t i 0 ≤ θ < 1 sao cho
d(f (x), f (y)) ≤ θ d(x, y) v i m i x, y ∈ X.
Đi m x0 ∈ X đư c g i là đi m b t đ ng c a ánh x f n u f (x0) = x0.
Đ nh lý 1.2.1. (Nguyên lý ánh x co) M i ánh x co t không gian mêtric đ y đ X vào
chính nó có duy nh t đi m b t đ ng.
1


1.3. Toán t ngh ch đ o
Đ nh lý 1.3.1. Cho X là không gian Banach và A là toán t tuy n tính b ch n trên
X. Khi đó v i m i µ ∈ C sao cho |µ| < ||A||−1 thì toán t I − µA có ngh ch đ o liên
t c, hơn n a
(I

− µA)−1



µnAn.

=
n=0

1.4. Công th c bi n thiên h ng s
Trong không gian Rd, xét phương trình vi phân tuy n tính
.

(1.4.1)

x = A(t)x,

đây A(t) là ma tr n liên t c c p d ⋅ d v i m i t ∈ R. V i m i s ∈ R và xs ∈ Rd thì phương trình
(1.4.1) có m t nghi m duy nh t x(t) th a mãn đi u ki n ban đ u
x(s) = xs. Toán t ti n hóa X(t, s) : Rd −→ Rd v i m i t, s ∈ R xác đ nh b i
X(t, s)xs = x(t).
Xét phương trình vi phân
.

(1.4.2)

x = A(t)x + f (t, x)
v i hàm f (t, x) liên t c. G i x(t) là nghi m c a phương trình (1.4.2). Khi đó, nghi m
c a h (1.4.2) đư c xác đ nh b i công th c
t

X(t, τ )f τ, x(τ ) dτ.

x(t) = x(t, s, xs) = X(t, s)x(s) +
s

Công th c (1.4.3) đư c g i là công th c bi n thiên h ng s .

1.5. B đ Gronwall-Bellman
B đ 1.5.1.
Gi s λ(t) là m t hàm th c liên t c và µ(t) là hàm liên t c không âm trên đo n
[a, b]. N u hàm liên t c y(t) th a mãn
t

y(t) ≤ λ(t) +

µ(s)y(s)ds,
a

2

(1.4.3)


v i a ≤ t ≤ b, thì trên đo n đó
y(t) ≤ λ(t) +

a

tt

λ(s)µ(s)e

s

Nói riêng, n u λ(t) ≡ λ là h ng s thì
t
a

y(t) ≤ λe

3

µ(s)

ds

.

µ(τ )



ds.


Chương 2
Nh phân mũ r i r c
Trong chương này, chúng tôi s gi i thi u đ nh nghĩa nh phân r i r c cho phương
trình sai phân tuy n tính, m i liên h tính nh phân r i r c gi a h sai phân tuy n tính và h
sai phân phi tuy n. B t đ ng th c ki u Gronwall r i r c cũng đư c đ c p đ n, b t đ ng th c
này là công c quan tr ng d n đ n k t qu r t t t cho các đánh giá. M i liên h gi a hai h
phép chi u g n nhau. Đ nh lý cu i cùng trong chương này là công c quan tr ng đ ch ng
minh đ nh lý chính trong chương sau.

2.1. Nh phân r i r c c a h phương trình sai phân
Cho {Tn}∞=−∞ là m t dãy b ch n trong GL(d, R), xét phương trình sai phân n
n ∈ Z.

xn+1 = Tnxn,

Đ nh nghĩa 2.1.1. T (n, m) là toán t ti n hóa cho (2.1.1) đư c đ nh nghĩa

n>m
Tn−1Tn−2 . . . Tm, 
n=m
T (n, m) = I,
T −1T −1 . . . T −1 , n < m.
n

n+1

m−1

Nh n xét: N u dãy (xn) là m t nghi m c a h (2.1.1) thì xn = T (n, m)xm, n, m ∈ Z.
Đ nh nghĩa 2.1.2. M t ánh x P : Z −→ không gian các toán t tuy n tính b ch n
trên Rd đư c g i là m t h phép chi u n u
PnPn = Pn, n ∈ Z.
N u P là m t h phép chi u thì ánh x Q : Z −→ không gian các toán t tuy n
tính b ch n trên Rd đư c đ nh nghĩa b i
Qn = I − Pn, n ∈ Z
cũng là m t h phép chi u và đư c g i là phép chi u bù c a P.
4

(2.1.1)


(2.1.1) đư c g i là có m t nh phân mũ r i r c lo i (θ, γ, K)

Đ nh nghĩa 2.1.3. H

v i 0 < θ < 1, γ > 1, K ≥ 1 n u có m t h phép chi u Pn, n ∈ Z th a mãn
(i)
(ii)
(iii)

TnPn = Pn+1 Tn
|T (n, m)Pm| ≤ Kθn−m, n ≥ m
|T (n, m)Qm| ≤ Kγn−m, n < m, Qm = I − Pm.

2.2. B t đ ng th c ki u Gronwall r i r c
B t đ ng th c ki u Gronwall r i r c đư c trình bày trong b đ dư i đây. K t qu
c a b đ này khá quan tr ng, nó liên quan đ n các ư c lư ng.
B đ 2.2.1.
Cho {gn}∞=−∞ là m t dãy s dương b ch n. Gi s dãy đó th a mãn b t đ ng th c n


gn ≤

K θ +b
n

k =n

n−1

γn−k−1gk

+c



gn ≤ Kγn + b

k =n

k=−∞

θn−k−1gk,

n≥0
(2.2.1)

n−1

γn−k−1gk + c

k=−∞

θn−k−1gk,

n < 0,

đây θ ∈ (0, 1), γ ∈ (1, ∞) và K, b, c là các h ng s dương. V i m i θ1 ∈ (θ, 1),

γ1 ∈ (1, γ) t n t i m t h ng s L = L(θ, γ, θ1, γ1, b, c) sao cho n u L < 1 thì dãy {gn}
th a mãn
n≥0
gn ≤ 1 K Lθn, −1
gn ≤ 1 K L γ n , −1

n < 0.

H ng s L đư c xác đ nh b i bi u th c
 b + c , n u c ≥ (θ1 − θ)(γ1 − θ)

1
b
θ1 − θ
(γ − θ1)(γ − γ1)
L



 b + c , n u c < ( θ1 − θ)(γ1 − θ) •
b
γ − γ 1
γ1 − θ
(γ − θ1)(γ − γ1)
Ch ng minh. Xét {fn}∞=−∞ là m t dãy s dương b ch n v i chu n đư c đ nh nghĩa n
|f | = |{fn}| = max { sup |fn|θ−n, sup |fn|γ−n}.
n≥0

1

n≤0

1

Kí hi u B(θ1, γ1) là t p h p ch a t t c các dãy trên. Ta s ch ra r ng B(θ1, γ1) là
m t không gian mêtric đ y đ v i mêtric đư c c m sinh b i chu n trên. Th t v y:
5


• Xác đ nh dương
V i m i f, g ∈ B(θ1, γ1), |f − g| = max { sup |fn − gn|θ−n, sup |fn − gn|γ−n} ≥ 0;
1

n≥0

1

n≤0

D u b ng x y ra khi và ch khi fn = gn, ∀n ⇔ f = g.

• Đ i x ng
|f − g| = max { sup |fn − gn|θ−n, sup |fn − gn|γ−n}
1

n≥0

= max { sup |gn −
n≥0

1

n≤0

− fn|γ−n} 1

f

=|g − f |, ∀f, g ∈ B(θ1, γ1).

• B t đ ng th c tam giác
V i m i f, g, h ∈ B(θ1, γ1), ta có
sup |fn − gn| ≤ sup |fn − hn| + sup |hn − gn|,
n≥0

n≥0

n≥0

sup |fn − gn| ≤ sup |fn − hn| + sup |hn − gn|.
n≤0

n≤0

n≤0

Do đó |f − g| ≤ |f − h| + |h − g|, ∀f, g, h ∈ B(θ1, γ1).

• M i dãy cơ b n có gi i h n trong B(θ1, γ1)
Xét dãy cơ b n f k = {fnk} ∈ B(θ1, γ1). Khi đó
∀ > 0 ∃n0 = n0(ε), ∀k, m ≥ n0 =⇒ |f k − f m| < ε
=⇒ max { sup |fnk − fnm|θ−n, sup |fnk − gm|γ−n} < ε
1

n≥0

n≤0

n

1

=⇒ |fnk −fn | < ε, ∀k, m ≥ n0, −∞ ≤ n ≤ +∞.
m

Do đó, dãy {fnk} h i t t i ph n t kí hi u là {fn0}.

T |f k − f m| < ε, ∀k, m ≥ n0, cho m −→ ∞, khi đó |f k − f 0| < ε, ∀k ≥ n0. T
đó ta có
|fnk − fn0| < ε, ∀k ≥ n0, −∞ ≤ n ≤ +∞.
Suy ra {fn0} là dãy s dương và b ch n hay {fn0} ∈ B(θ1, γ1).
V y B(θ1, γ1) là m t không gian mêtric đ y đ .
Xét ánh x
F : B(θ1, γ1) −→ B(θ1, γ1)
f −→ F (f ) = (F f )n xác đ nh như v ph i c a (2.2.1).
Ánh x F là ánh x liên t c. Th t v y, ta s ch ra r ng
|F (f ) − F (g)| ≤ L|f − g|.
6


• Xét trư ng h p n ≥ 0, ta có


n−1

γn−k−1f k+c

F (f ) = K θ +b
n

k=n

k=−∞



θn−k−1fk,

n−1

γn−k−1g k+c

F (g) = K θ +b
n

k=n

k=−∞

θn−k−1gk.

Khi đó
−n

sup |F (f ) − F (g)|θ ≤ b 1
n≥0


k =n
n−1

γn−k−1 sup |fk − gk|θ−n 1
k ≥0

θn−k−1 sup |fk − gk|θ−n 1
k ≥0

+c
k=−∞


≤b
k =n

γn−k−1θk−n sup |fk − gk|θ−k
1

k≥0

1

n−1

+c
k=−∞

θn−k−1θk−n sup |fk − gk|θ−k


≤b• 1

γ

γ
θ

k =n

1



k ≥0

1

b+c
γ − θ1 θ1 − θ

n−k

|f − g| + c • θ1 1

1
n−1

k=−∞

θ
θ

n−k−1

|f − g|

1

|f − g|.

• Tương t v i trư ng h p n < 0, ta có
−n

sup |F (f ) − F (g)|γ ≤ 1
n<0

b+c
γ − γ1 γ1 − θ

|f − g|.



Đt




b+c,
 γ− θ θ − θ

1 1
L=





b+c•
γ − γ1 γ1 − θ

Do đó |F (f ) − F (g)| ≤ L|f − g| hay F là ánh x liên t c. B i v y, n u L < 1 thì F là
m t ánh x co và khi đó s t n t i m t dãy đi m b t đ ng {gn}∞ . −∞
N u chúng ta đ nh nghĩa m t dãy {fn} ∈ B(θ1, γ1) b i
fn = 1 K L θ n ,

−1


n≥0
fn = 1 K L γ n , −1
7

n < 0.


thì chúng ta s ch ra đư c
n ∈ Z.

(F f )n < fn,
Th t vây:

• Xét trư ng h p n ≥ 0, ta có
(F f )n ≤

K θn +b



γn−k−1

K θk + c n−1 θn−k−1 K θk
k=−∞
1−L 1

k =n

≤ 1 KL −

(1 − L)θn +b


k =n

γn−k−1θk 1 +c

(1 − L)θn + b • 1 • θ−n





k=−∞

γ

≤ 1 KL

n−1

θn−k−1θk 1

n−k−1

θ

γ 1 k=n

1−L 1

+ c • θ1 • θ

1

1

θn

1

≤ 1 K L (1 − L)θn + γ − θ + θ c θ b


1



1

1

≤ 1 K L ((1 − L)θn + Lθn)


1

< 1 K L θn • −1

• Tương t v i trư ng h p n < 0, ta có
(F f )n < 1 K Lγn• −1
Do đó,
(F f )n < fn,

n ∈ Z.

M t khác, n u dãy {gn} th a mãn b t đ ng th c (2.2.1) thì
gn ≤ (F g)n,

n ∈ Z.

Đ t (Hg)n = (F g)n − gn. Vì F liên t c và đơn đi u nên H cũng liên t c và đơn đi u.
Ta có
(Hg)n ≥ 0,
(Hf )n < 0.

n

n−1

θ

k=−∞

θ1

n−k−1


Khi đó, s t n t i {gn} sao cho gn ≤ gn < fn và th a mãn (Hg)n = 0, rõ ràng {gn} là
dãy đi m b t đ ng c a ánh x co F .
V y b đ đã đư c ch ng minh.
8


2.3. M i liên h nh phân mũ r i r c gi a hai h sai phân
Perron đã ch ra m i liên h nh phân mũ đ u gi a h phương trình vi phân tuy n
tính và h phi tuy n nhưng v i trư ng h p đơn gi n khi ma tr n h s là ma tr n h ng (xem
trong [2]). Đ nh lý ti p theo có th đư c hi u như ki u Đ nh lý Perron r i r c (t c là áp d ng
cho h sai phân).
Đ nh lý 2.3.1. H

(2.1.1) có m t nh phân mũ r i r c khi và ch khi h phi tuy n
(2.3.1)

xn+1 = Tnxn + fn
có m t nghi m duy nh t b ch n v i m i dãy b ch n {fn}∞=−∞ ⊂ Rd. Hơn n a, nghi m n
đó có th đư c xác đ nh


xn =
đây Gn,m là hàm Green c a h

(2.3.2)

Gn,k+1fk,

k=−∞

(2.1.1) đư c đ nh nghĩa
T (n, m)Pm,

Gn,m =

n≥m

(2.3.3)

−T (n, m)Qm, n < m.

Ch ng minh.
Đi u ki n c n: Gi s phương trình xn+1 = Tnxn có m t nh phân mũ r i r c. S d ng
các đ nh nghĩa trên ta thu đư c


xn =

Gn,k+1fk,

k=−∞

là nghi m duy nh t b ch n c a phương trình xn+1 = Tnxn + fn,

đây Gn,m là hàm

Green và đư c đ nh nghĩa như (2.3.3).
Đi u ki n đ : Gi s B = l∞(Z, Rd) là không gian Banach c a dãy b ch n x = {xn} ∈
Rd v i chu n |x| = sup |xn|. Gi s L là toán t tuy n tính {xn} −→ {xn+1 − Tnxn}
n

v i mi n xác đ nh g m t t c các x ∈ B sao cho Lx ∈ B. Khi đó, L là toán t tuy n
tính đóng (do {fn} b ch n trong Rd) và là ánh x m t - m t t B vào chính nó. Theo
đ nh lý đ th đóng, L có toán t kh ngh ch b ch n G trong L (B) và đư c xác đ nh
dư i d ng



(Gf )n =

k=−∞

Gn,k+1fk,

v i các dãy {fk} đ nh và fk = 0 n u |k| r t l n.

−∞ < n < ∞,
đây, m i Gn,m ∈ L (Rd) v i

|Gn,m| ≤ |G|L (B) và
0 n u n = k,

Gn+1,k+1 − TnGn,k+1 =

I n u n = k.
9


Gn,m = T (n, m)Pm, v i n ≥ m,

N u chúng ta đ nh nghĩa Pm = Gm,m,

T (m, n)Gn,m = −(I − Pm), v i n < m. Chúng ta s ch ra Pm là h phép chi u và h xn+1 = Tnxn có nh
phân mũ r i r c. Đi u này đư c ch ng minh d a vào toán t G
v i m i f ∈ B, nhưng ta ch c n ch ng minh cho dãy h u h n. Th t v y:
Gi s xn+1 = Tnxn, n ≥ m là m t dãy xác đ nh b ch n. Chúng ta có th gi s
xn = 0 khi n < m, do đó xn+1 − Tnxn = 0 v i n = m − 1 và xm − Tm−1xm−1 = xm v i n = m−1. Như v y xn
= Gn,mxm v i m i n và đ c bi t xm = Pmxm hay (I −Pm)xm = 0.
V i m i x ∈ Rd, gi s xn = Gn,mx. Khi đó v i xn+1 = Tnxn, n ≥ m, thì xn là b ch n.
Ta có (I − Pm)xm = 0 = (I − Pm)Gm,mx = (I − Pm)Pmx. Vì v y Pm = Pm. Cũng lưu 2
ý r ng n u (I − Pm)x = 0 thì xm = x và (I − Pm+1)xm+1 = 0. Do đó, ta có
0 = (I − Pm+1)xm+1 = (I − Pm+1)Gm+1,mx = (I − Pm+1)T (m + 1, m)Pmx
= TmPmx − Pm+1TmPmx = TmPmx − Pm+1Tmx,

khi Pmx = x

khi Pmx = x.

⇒ TmPmx = Pm+1Tmx,

Gi s xn+1 = Tnxn, n ≤ m là m t dãy xác đ nh b ch n. Chúng ta có th gi s

xn = 0 khi n > m và xn = −Gn,m+1Tmxm v i m i n. Ch ng minh tương t ta có
khi Pmx = 0.

Pm+1Tmx = TmPmx,
K t h p t hai trư ng h p trên, ta có

∀n.

TnPn = Pn+1 Tn,
Lưu ý r ng, t đ ng th c trên ta ch ng minh đư c

∀n, m.

T (n, m)Pm = PnT (n, m),

Bây gi , ta ch n x ∈ Rd. N u T (n, m)x = 0, ∀n ≥ m, khi đó T (p, m)x = 0, ∀p ≥ n.
N u T (n, m)Pmx = 0,
Φ−1 = |Tk,mPmx| > 0, k


m≤k≤n

n

k=m

n

T (n, k) Pk T (k, m) Pm x Φk = T (n, m) Pm x

Do đó
Φ−1

n
k =m

Φk ≤ |G|.

n

10

k =m

Φk.


N u Ψn =

n
k =m

Φk thì ta có Ψ−1 ≤ (1 − |G|−1)Ψn và n
Φn ≥ |G|−1(1 − |G|−1)m−nΦm
|T (n, m) Pm x| ≤ |G|2(1 − |G|−1)n−m|x|,

n ≥ m.
Đ
n
g
t
h
c
t
r
ê
n
v
n
đ
ú
n
g
k
h
i
v
t
r
á
i
l
à
t
m
t
h
ư
n
g
.
Ch ng minh
tương t , n u ρ−1
= |T (n, m)(I − Pm)x| >


(i (θ, γ, K). Đ nh
lý đã đư c ch ng
P
minh.
+

0,
n<
m
thì

+ Đ nh lý ti p theo s nghiên c u tính v ng
c a nh phân mũ r i r c đ i v i hai h
xs

ta


na

m

ρnρ
+
k


|
G
|

ρ
n


|
G
|

1

(
1
+
|
G
|

1

)
m

Đ
t
K
=
(1
+|
G|
)2 ,
θ
=
1
−|
G|
−1
,
γ=
1
+|
G|
−1
.
V
yh
xn+
=
1
Tn
xn

m
t
nh
p

n

1

ũ

ρ
m

l
o
|T

(2.3.4)
c
ó
m

p
h
â
n

h
â
n

m
ũ

.

r
Đ nh lý 2.3.2. Gi s h
(2.1.1) có m t
nh phân mũ r i r c lo i (θ, γ, K) v i m t
dãy b ch n {Tn}∞=−∞ ⊂ GL(d, R). V i m i θ1 ∈ (θ,

i
r

1), γ1 ∈ (1, γ), K1 > K t n t i n

c

m t h ng s ε > 0 sao cho v i b t kỳ dãy b ch

l
o

n {Sn}∞=−∞ ⊂ GL(d, R) th a mãn n
đ
i

i

u

1

(
θ
,

γ

k
i

1

,

K

n

1

)
.
s

up |Tn − Sn| ≤ ε
n

m

= Snx n

n
h

p

â



n+1

t

i

h
n

x

t
h
ì
h

Ch ng minh. Theo Đ nh
lý 2.3.1, h (2.3.4) có nh
phân mũ r i r c khi và ch
khi h
p
h
i


{(Sk −
Tk)xk}
+

t
h

u
y

(

=

3
x.
+5
+) (
T
đ
(2.3.5)
ư
có m t
nghi m

c

duy nh t
b ch n v i b
m i dãy b i
ch
n {fn} ⊂

u

d

R . Hơn n
a, theo

d

(2.3.2)

i

n
g

n

h
i



xGx
m

nk
,

d

k

u

+

y

1

n
h

+
f

{k
(}
S
k ∞

t

G

n

c

T,
k

a

,
k

.

k

)+
1

+
1

1 G
1
n

2

n

−∞

f

k




Nghi m duy nh t xn b ch n trong Rd n u đi u ki n sau th a mãn


sup

|Gn,k+1(Sk − Tk)| < 1.

k=−∞

n

(2.3.6)

Vì Gn,m là hàm Green c a h (2.1.1) và h đó có nh phân mũ lo i (θ, γ, K) nên ta có
Kθn−m, n ≥ m

|Gn,m| ≤

Kγn−m, n < m.

Đánh giá v trái c a (2.3.6) ta có


sup
n

|Gn,k+1(Sk − Tk)|

k=−∞





≤ ε sup
n

k=−∞

|Gn,k+1| ≤ ε sup K

n−1

k =n

n

γn−k−1



=ε K

+K

θn−k−1



γl + K

θl

l=−1

l=0



K+K
γ−1 1−θ



k=−∞

Đi u ki n (2.3.6) đư c th a mãn n u ta ch n ε > 0 đ nh sao cho

ε<

−1

K+K
γ−1 1−θ



(2.3.7)

V y n u ta ch n ε như (2.3.7) thì nghi m duy nh t xn c a h (2.3.5) b ch n trong Rd. Khi đó, h
(2.3.4) có m t nh phân mũ r i r c (theo Đ nh lý 2.1.1).
Ti p theo, ta s ch ra r ng h (2.3.4) có nh phân mũ r i r c lo i (θ1, γ1, K1).
Gi s Gn,m là hàm Green đư c liên k t v i nh phân mũ r i r c cho h (2.3.4). N u
đ t fn = 0 trong (2.3.5) ta đư c


Gn,m = Gn,m +

Gn,k+1(Sk − Tk)Gn,m.

k=−∞

Khi đó, ta có
|Gn,m| ≤

Kθn−m

+ εK


k=n

n−1

γn−k−1|G

n,m

|

+ εK



|Gn,m| ≤ Kγn−m + εK

k=n

k=−∞

θn−k−1|Gn,m|,

n≥m

θn−k−1|Gn,m|,

n < m.

n−1

γn−k−1|Gn,m| + εK

12

k=−∞

(2.3.8)


Áp d ng b t đ ng th c lo i Gronwall r i r c (theo B đ 2.2.1) cho (2.3.8) ta có k t
qu như sau. V i m i θ1 ∈ (θ, 1), γ1 ∈ (1, γ) t n t i m t h ng s L = L(θ, γ, θ1, γ1, K)
sao cho n u εL < 1 thì Gn,m th a mãn
K

n≥m

|Gn,m| ≤ 1 − εL θn−m, 1
K

(2.3.9)

n < m,

|Gn,m| ≤ 1 − εL γn−m, 1
đây L đư c xác đ nh b i bi u th c

 K + K , n u1≥

1
θ1 − θ


γ

θ

(θ1 − θ)(γ1 − θ)
(γ − θ1)(γ − γ1)

L=
 K + K , n u1<
γ −θ 1
γ − γ 1


(θ1 − θ)(γ1 − θ) •
(γ − θ1)(γ − γ1)

Vì θ1 ∈ (θ, 1), γ1 ∈ (1, γ) nên ta có
L > γK 1 + 1K θ


⇒ L−1 < γ K 1 + 1 K θ

K t h p v i đi u ki n

−1




(2.3.7), ta có th thu h p giá tr c a ε, t c là

ε < L−1.
K
V y h (2.3.4) có nh phân mũ lo i (θ1, γ1, K1) trong đó K1 = 1 − εL . Đi u ph i ch ng
minh c a Đ nh lý 2.2.1.
V i đi u ki n gi thi t như trong đ nh lý trên không nh ng h (2.3.4) có nh phân
mũ mà phép chi u tương ng c a hai h cũng g n nhau.
H qu 2.3.1. N u Pn và Pn l n lư t là các phép chi u tương ng v i nh phân r i
r c cho h
(2.1.1) và h
(2.3.4) thì
sup |Pn − Pn| ≤ (sup |Sk − Tk|)γKK1θ + (sup |Sk − Tk|)γK− θ1 K
n
k1−
k≥n
≤ε

KK 1 + KK 1
γ1 − θ γ − θ1



1

Ch ng minh. Theo hàm Green cho t ng h và m i liên h gi a hai hàm Green, ta có


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×